初二数学上学期知识点和典型例题总结

全等三角形

类型一：全等三角形性质的应用

1、如图，△ABD≌△ACE，AB=AC，写出图中的对应边和对应角.

思路点拨: AB=AC，AB和AC是对应边，∠A是公共角，∠A和∠A是对应角，按对应边所对的角是对应角，对应角所对的边是对应边可求解.

解析：AB和AC是对应边，AD和AE、BD和CE是对应边，∠A和∠A是对应角，∠B和∠C，∠AEC和∠ADB是对应角.

总结升华：已知两对对应顶点，那么以这两对对应顶点为顶点的角是对应角，第三对角是对应角；再由对应角所对的边是对应边，可找到对应边.

已知两对对应边，第三对边是对应边，对应边所对的角是对应角.

举一反三：

【变式1】如图，△ABC≌△DBE.问线段AE和CD相等吗？为什么？

【答案】证明：由△ABC≌△DBE，得AB=DB,BC=BE，

则AB-BE=DB-BC，即AE=CD。

【变式2】如右图，，。

求证：AE∥CF

【答案】

∴AE∥CF

2、如图，已知ΔABC≌ΔDEF，∠A=30°，∠B=50°，BF=2，求∠DFE的度数与EC的长。

思路点拨:由全等三角形性质可知：∠DFE=∠ACB，EC+CF=BF+FC，所以只需求∠ACB的度数与BF的长即可。

解析：在ΔABC中，

∠ACB=180°-∠A-∠B，

又∠A=30°，∠B=50°，

所以∠ACB=100°.

又因为ΔABC≌ΔDEF，

所以∠ACB=∠DFE，

BC=EF（全等三角形对应角相等，对

应边相等）。

所以∠DFE=100°

EC=EF-FC=BC-FC=FB=2。

总结升华：全等三角形的对应角相等，对应边相

等。

举一反三：

【变式1】如图所示，ΔACD≌ΔECD，ΔCEF≌ΔBEF，∠ACB=90°.

求证：（1）CD⊥AB；（2）EF∥AC.

【答案】

(1）因为ΔACD≌ΔECD，

所以∠ADC=∠EDC（全等三角形的对

应角相等）.

因为∠ADC+∠EDC=180°，所以∠

ADC=∠EDC=90°.

所以CD⊥AB.

(2）因为ΔCEF≌ΔBEF,

所以∠CFE=∠BFE（全等三角形的对

应角相等）.

因为∠CFE+∠BFE=180°，

所以∠CFE=∠BFE=90°.

因为∠ACB=90°,所以∠ACB=∠BFE.

所以EF∥AC.

类型二：全等三角形的证明

3、如图，AC＝BD，DF＝CE，∠ECB＝∠FDA，求证：△ADF≌△BCE．

思路点拨:欲证△ADF≌△BCE，由已知可知已具备一边一角，由公理的条件判断还缺少这角的另一边，可通过AC＝BD而得

解析：∵AC＝BD(已知)

∴AB-BD＝AB-AC(等式性质)

即 AD＝BC

在△ADF与△BCE中

∴△ADF≌△BCE(SAS)

总结升华：利用全等三角形证明线段(角)相等的一般方法和步骤如下：

(1)找到以待证角(线段)为内角(边)的两个三角形，

(2)证明这两个三角形全等；

(3)由全等三角形的性质得出所要证的角(线段)相等．

举一反三：

【变式1】如图，已知AB∥DC，AB＝DC，求证：AD∥BC

【答案】∵AB∥CD

∴∠3＝∠4

在△ABD和△CDB中

∴△ABD≌△CDB(SAS)

∴∠1＝∠2(全等三角形对应角相等)

∴AD∥BC(内错角相等两直线平行)

【变式2】如图，已知EB⊥AD于B，FC⊥AD于C，且EB＝FC，AB＝CD．求证 AF＝DE．

【答案】∵EB⊥AD(已知)

∴∠EBD＝90°(垂直定义)

同理可证∠FCA＝90°

∴∠EBD＝∠FCA

∵AB＝CD，BC＝BC

∴AC＝AB+BC

＝BC+CD

＝BD

在△ACF和△DBE中

∴△ACF≌△DBE(S．A．S)

∴AF＝DE(全等三角形对应边相等)

类型三：综合应用

4、如图，AD为ΔABC的中线。求证：

AB+AC>2AD.

思路点拨:要证AB+AC>2AD，由图想到：AB+BD>AD，AC+CD>AD，所以

AB+AC+BC>2AD，所以不能直接证出。由2AD想到构造一条线段等于2AD，即倍长中线。

解析：延长AD至E，使DE=AD，连接BE

因为AD为ΔABC的中线，

所以BD=CD.

在ΔACD和ΔEBD中，

所以ΔACD≌ΔEBD(SAS).

所以BE=CA.

在ΔABE中，AB+BE>AE，所以AB+AC>2AD.

总结升华：通过构造三角形全等，将待求的线段放在同一个三角形中。

举一反三：

【变式1】已知：如图，在RtΔABC中，AB=AC,∠BAC=90°,∠1=∠2，CE ⊥BD的延长线于E，

求证：BD=2CE.

【答案】分别延长CE、BA交于F.

因为BE⊥CF,所以∠BEF=∠

BEC=90°.

在ΔBEF和ΔBEC中，

所以ΔBEF≌ΔBEC(ASA).

所以CE=FE=CF.

又因为∠BAC=90°,BE⊥CF.

所以∠BAC=∠CAF=90°，∠1+∠BDA=90°，∠1+∠BFC=90°.

所以∠BDA=∠BFC.

在ΔABD和ΔACF中，

所以ΔABD≌ΔACF(AAS)

所以BD=CF.所以BD=2CE.

5、如图，AB＝CD，BE＝DF，∠B＝∠D，

求证：(1)AE＝CF，(2)AE∥CF，(3)∠AFE＝∠CEF

思路点拨: (1)直接通过△ABE≌△CDF而得，(2)先证明∠AEB＝∠CFD，(3)由(1)(2)可证明△AEF≌△CFE而得，总之，欲证两边(角)相等，找这两边(角)所在的两个三角形然后证明它们全等．

解析：

(1)在△ABE与△CDF中

∴△ABE≌△CDF(SAS)

∴AE＝CF(全等三角形对应边相等)

(2)∵∠AEB＝∠CFD(全等三角形对应角相等)

∴AE∥CF(内错角相等，两直线平行)

(3)在△AEF与△CFE中