高考数学平面解析几何第3节直线与圆、圆与圆的位置关系文北师大

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高中数学第二章解析几何初步2.3直线与圆、圆与圆的位置关系第二课时圆与圆的位置关系课件北师大版必修2

第二课时圆与圆的位置关系
[学习目标] 1.掌握圆与圆的位置关系及判定方法． 2.能利用直线与圆的位置关系解决简单的实际问题． 3.体会用代数方法处理几何问题的思想.
课前自主学习
【主干自填】
圆与圆的位置关系及判定已知两圆 C1：(x－x1)2＋(y－y1)2＝r21，C2：(x－x2)2＋(y－y2)2＝r22，则圆心分别为 C1(x1，y1)，C2(x2，y2)，半径分别为 r1，r2，圆心距 d＝|C1C2|
答案
类题通法求弦长的常用方法
(1)求圆的弦长，一般运用垂径定理构造直角三角形，利用半径、弦心距先求半弦长，即得弦长．
(2)求两圆的公共弦长及公共弦所在直线方程一般不用求交点的方法，常用如下方法：
[变式训练2] 判断两圆 C1：x2＋y2－2x＝0 与 C2：x2＋y2－4y＝0 的位置关系．若相交，求其公共弦长．
答案
解析
答案
由圆 C1 的方程，易得 C1(1,0)，|AC1|＝1. 两圆的方程相减，得直线 OA 的方程为 x－2y＝0.
从而|C1M|＝ |112－＋2×－02|2＝ 15.
于是|OA|＝2|AM|＝2
|AC1|2－|C1M|2＝2

12－
152＝4
5
5 .
答案
易错点⊳两圆位置关系考虑不全面 [典例] 求与圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4 相切于点 A(4，－1)且半径为 1 的圆的方程． [错解] 设所求圆的圆心为 C(a，b)，则 a－42＋b＋12＝1 ①，当两圆相切时，有 a－22＋b＋12＝3②，由①②解得 a＝5，b＝－1. ∴所求圆的方程为(x－5)2＋(y＋1)2＝1. [错因分析] 错解中误认为两圆相切就是两圆外切，而丢掉两圆内切时的情况．

2-2-3直线与圆、圆与圆的位置关系(二)课件(北师大版必修二)

自学导引 1．判断圆与圆的位置关系 (1)几何法： O1：圆 (x－x1)2＋(y－y1)2＝r2(r1＞0)， O2：圆 (x－x2)2 1 ＋ (y － y2)2 ＝ r 2 (r2 ＞ 0) ，两圆的圆心距 d ＝ |O1O2| ＝ 2 x1－x22＋y1－y22， d＞r1＋r2⇔圆 O1 与圆 O2 相离，如图①所示； d＝r1＋r2⇔圆 O1 与圆 O2外切，如图②所示； |r1－r2|＜d＜r1＋r2⇔圆 O1 与圆 O2相交，如图③所示； d＝|r1－r2|⇔圆 O1 与圆 O2内切，如图④所示； d＜|r1－r2|⇔圆 O1 与圆 O2 内含，如图⑤所示．
2．圆系方程具有某些共同性质的圆的集合称为圆系． (1)与直线系方程一样，了解一些常见的圆系方程可以帮助我们简化解题思路． ①同心圆系：与圆 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 同心的圆系方程为 x2 ＋y2＋Dx＋Ey＋λ＝0.
②相交圆系：过两圆 x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0 与 x2＋y2＋D2x ＋E2y＋F2 ＝0 的交点的圆系方程为(x2 ＋y2 ＋D1x＋E1y＋F1)＋ λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)．λ＝－1 时为两圆公共弦所在直线方程(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(F1－F2)＝0，特别地，两圆相切时，此方程表示两圆的公切线方程． ③过直线 l：Ax＋By＋C＝0 与圆 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋ E2－4F＞0)的交点的圆系方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋ By＋(1，－5)，过 C1，C2 的直线方程为＝，即－5＋1 1＋1 2x＋y＋3＝0.
2x＋y＋3＝0，由 y＝－x，
得所求圆的圆心为(－3,3)，
|－3－6＋4| 它到 AB 的距离为 d＝＝ 5， 5 ∴所求圆的半径为 5＋5＝ 10， ∴所求圆的方程为(x＋3)2＋(y－3)2＝10.

高考数学大一轮总复习第八章平面解析几何 8.4 直线与圆、圆与圆的位置关系课件文北师大版

到直线
x＋2y－3＝0
的距离为
d＝|2＋2×12＋－212－3|＝
3， 5
所求弦长 l＝2 r2－d2＝2 4－95＝2 555。
R 热点命题深度剖析
考点一直线与圆的位置关系
• 【例1】 (1)直线x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x－1＝0有两个不同交点的一个充分不必要条件( )
• A．－3<m<1 B．－4<m<2 • C．0<m<1 D．m<1
d__<___r d__＝___r d__>___r
代数法
Δ___>__0 Δ__＝___0 Δ___<__0
2.圆与圆的位置关系设圆 O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21(r1>0)，圆 O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r2>0)。
方法几何法：圆心距d与r1，r2的位置关系关系
解析 k＝1 时，图像如图(1)，此时△OAB 的面积 S＝12×1×1＝12，所以 k＝1 是△OAB 面积为12的充分条件；而当△OAB 面积为12时，直线 l 有 l1 或 l2 两种可能，如图(2)，k＝1 或 k＝－1。综上，可知选 A。
• 答案 A
• • 图(1)
图(2)
• 4．以点A(－1,3)为圆心，且与圆(x－3)2＋y2＝9外切的圆的 (x方＋1程)2＋为(y_－__3_)2_＝_4______________。
解析由题意知点在圆外，则 a2＋b2>1，圆心到直线的距离 d＝ a21＋b2<1，故直线与圆相交。
答案 B
3．直线 l：y＝kx＋1 与圆 O：x2＋y2＝1 相交于 A，B 两点，则“k＝1”

【数学】2.2.3 直线与圆、圆与圆的位置关系课件(北师大必修2)

解答
2 2 圆 ( x 1 ) ( y 1 ) 4 上到直线 3 x 4 y 6 0
的距离为 2 的点共有 ____ 2 个。
圆与圆的位置关系有几种？
在等圆的前提下有四种，一般情况下有五种
圆与圆的五种位置关系
两圆无公共点
R O1 r O2
O
1
R
O
r
2
外离
两圆仅有一公共点
C.x-y-3=0
例.己知圆C: x2+y2－2x－4y－20=0, 直线l: (2m+1)x+(m+1)y－7m－4=0(m∈R)
(1)证明: 无论m取何值直线l与圆C恒相交.
(2)求直线l被圆C截得的最短弦长,及此时直线l的方程.
分析: 若直线经过圆内的一定点，那么该直线必与圆交于两点，因此可以从直线过定点的角度去考虑问题.
C.5
D. 5.5
2、M(3.0)是圆x2+y2-8x-2y+10=0内一点，则过点M最长的弦所在的直线方程是( C )
A.x+y-3=0
A.相交
D.2x+y-6=0 3、直线l: x sina+y cosa=1与圆x2+y2=1的关系是（B ）
B.相切 C. 相离 D.不能确定
B. 2x-y-6=0
直线与圆的位置关系
把直线方程与圆的方程联立成方程组利用消元法，得到关于另一个元的一元二次方程求出其Δ 的值比较Δ 与0的大
切 ;当Δ >0时,直线与圆相交。
直线与圆部分练习题
1、从点P(x.3)向圆（x+2)2+(y+2)2=1作切线，则切线长度的最小值是（B ） A. 4 B. 2 6

高考数学大一轮复习第九章平面解析几何 9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系教师用书文北师大版(

位置关系教师用书文北师大版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系教师用书文北师大版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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圆的位置关系教师用书文北师大版1．判断直线与圆的位置关系常用的两种方法(1）几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系．d〈r⇔相交；d＝r⇔相切；d>r⇔相离．（2)代数法:错误!错误!2．圆与圆的位置关系设圆O1：(x－a1）2＋(y－b1)2＝r2，1(r1>0），圆O2:(x－a2）2＋(y－b2)2＝r错误!（r2〉0）。

(2）过圆(x－a)2＋(y－b）2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a）(x－a)＋(y0－b）(y－b）＝r2.（3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2。

2．圆与圆的位置关系的常用结论（1）两圆的位置关系与公切线的条数：①内含：0条；②内切：1条；③相交:2条；④外切：3条;⑤相离：4条．（2)当两圆相交时，两圆方程（x2,y2项系数相同)相减便可得公共弦所在直线的方程．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”）(1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．( ×)(2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．（×）(3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．（×)（4)过圆O：x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0）的圆的切线方程是x0x＋y0y＝r2.( √)（5)过圆O：x2＋y2＝r2外一点P（x0，y0）作圆的两条切线，切点分别为A，B,则O,P，A，B四点共圆且直线AB的方程是x0x＋y0y＝r2.（√）1．(教材改编)圆（x－1)2＋（y＋2）2＝6与直线2x＋y－5＝0的位置关系是( )A．相切B．相交但直线不过圆心C．相交过圆心D．相离答案B解析由题意知圆心(1,－2）到直线2x＋y－5＝0的距离d＝错误!＝错误!<错误!且2×1＋（－2)－5≠0，所以直线与圆相交但不过圆心．2．(2016·全国甲卷）圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a 等于( )A．－43B．－错误! C。

北师大版课件直线和圆的位置关系

详细描述
相交的位置关系是直线和圆之间最常见的一种，此时直线与圆只有一个公共点。当直线穿过圆心时，交点为圆心；当直线不穿过圆心时，交点为切点。在相交的情况下，圆心到直线的距离小于圆的半径。
相切
总结词
当直线与圆只有一个交点，即直线与圆完全接触时，称直线与圆相切。
详细描述
相切的位置关系是直线和圆之间的一种特殊情况，此时直线与圆只有一个公共点，即切点。在相切的情况下，圆心到直线的距离等于圆的半径。总结词
当直线与圆没有交点时，称直线与圆相离。
详细描述
相离的位置关系是直线和圆之间的一种特殊情况，此时直线与圆没有公共点。在相离的情况下，圆心到直线的距离大于圆的半径。
REPORT
CATALOG
DATE
ANALYSIS
SUMMAR Y
03
判定定理
直线和圆相交的判定定理
01
02
03
总结词
根据直线和圆相交的判定定理，如果直线到圆心的距离小于半径，则直线和圆相交。
直线和圆相切时，直线与圆只有一个交点，此时圆心到直线的距离等于圆的半径。
数学表达式
若 d = r，则直线与圆相切。其中 d 为圆心到直线的距离，r 为圆的半径。
直线和圆相离的判定定理
总结词
数学表达式
根据直线和圆相离的判定定理，如果直线到圆心的距离大于半径，则直线和圆相离。
若 d > r，则直线与圆相离。其中 d 为圆心到直线的距离，r 为圆的半径。
详细描述
直线和圆相交时，直线与圆有两个不同的交点，此时圆心到直线的距离小于圆的半径。
数学表达式
若 d < r，则直线与圆相交。其中 d 为圆心到直线的距离，r 为圆的半径。

北师大版必修2高中数学第2章解析几何初步22.3直线与圆圆与圆的位置关系第1课时直线与圆的位置关系

[解] 由例题知圆心 C(0,1)，圆的标准方程为 x2＋(y－1)2＝5. 因为 12＋(2－1)2<5，故点 M(1,2)在圆内．则当 CM 与直线垂直时弦长最短，又 kCM＝1，所以所求直线的斜率为－1，又过点 M(1,2)，所以直线方程为 y－2＝－(x－1)，即 x＋y－3＝0.
线与圆相交弦长的求法：,1几何法：求圆心到直线的距离 d，
10 2.
可设直线斜率为 k，则直线方程为 y＝k(x－2)，
所以 d＝|－k12－＋21k|＝ 210，解得 k＝－3 或 k＝13，
所以直线方程为 y＝－3(x－2)或 y＝13(x－2)，
即 3x＋y－6＝0 或 x－3y－2＝0.
2．本例若改为“求过点 M(1,2)且被圆 C：x2＋y2－2y－4＝0 所截弦长最短时，直线的方程”，又如何求解？
提示：|AB|＝ x1－x22＋y1－y22 ＝ x1－x22＋kx1－kx22 ＝ 1＋k2|x1－x2| ＝ 1＋k2 x1＋x22－4x1x2.
【例 3】求直线 l：3x＋y－6＝0 被圆 C：x2＋y2－2y－4＝0 截得的弦长．
[思路探究] 本题可以考虑利用弦心距，半弦长和半径构成的直角三角形求解，若交点坐标易求，则可以联立解方程组，求出交点坐标，利用两点间的距离公式求解．
过圆外一点作圆的切线一定有两条.其求法有两种方法： 1几何法：设切线方程为 y－y0＝kx－x0，即 kx－y－kx0＋y0＝0，由圆心到直线的距离等于半径，可求得 k，进而求出切线方程.
2代数法：设切线方程为 y－y0＝kx－x0，即 y＝kx－kx0＋y0，代入圆的方程，得一个关于 x 的一元二次方程，由 Δ＝0 求得 k，切线方程即可求出.,另外：要注意过圆外一点的切线必有两条，无论用几何法还是代数法.当求得 k 值是一个时，则另一条切线的斜率一定不存在.

高中数学第二章解析几何初步2.3直线与圆、圆与圆的位置关系第一课时直线与圆的位置关系课件北师大版必修2

答案 D 解析设圆心为(x0,0)，则由题意知圆心到直线 x＋2y＝0 的距离为 5，故有 1|2x＋0| 22＝ 5，∴|x0|＝5.又圆心在 y 轴左侧，故 x0＝－5.∴圆的方程为(x ＋5)2＋y2＝5，选 D.
答案
解析
3．若点 P(2，－1)为圆 C：(x－1)2＋y2＝25 的弦 AB 的中点，则直线 AB 的方程为( )
答案
解法二：已知圆的方程可化为(x－2)2＋(y－1)2＝4，即圆心为 C(2,1)，半径
r＝2.
圆心
C(2,1)到直线
mx－y－m－1＝0
的距离
d＝|2m－11＋－mm2－1|＝
|m－2| 1＋m2.
当 d<2 时，即 m>0 或 m<－34时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；
当 d＝2 时，即 m＝0 或 m＝－34时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；
答案
例 2 过点 A(4，－3)作圆(x－3)2＋(y－1)2＝1 的切线，求此切线的方程． [解] 因为(4－3)2＋(－3－1)2＝17>1，所以点 A 在圆外． ①若所求直线的斜率存在，设切线斜率为 k，则切线方程为 y＋3＝k(x－ 4)．因为圆心 C(3,1)到切线的距离等于半径 1，所以|3k－1k－2＋3－1 4k|＝1，即|k ＋4|＝ k2＋1，所以 k2＋8k＋16＝k2＋1.解得 k＝－185. 所以切线方程为 y＋3＝－185(x－4)，即 15x＋8y－36＝0.
答案 D
解析圆心 (1 ，－ 1) 到直线 3x ＋ 4y ＋ 12 ＝ 0 的距离 d ＝ |3×1＋43×2＋－421＋12|＝151<r.
答案

高中数学第二章解析几何初步 2.2.3.1 直线与圆的位置关系课件北师大版必修2

22 +(-1)2
答案:D
K12课件
17
探究一
探究二
探究三
易错辨析
探究三圆的弦长问题
【例3】求经过点P(6,-4)且被定圆x2+y2=20截得的弦长为 6 2 的直线的方程.
=
5,解得 a=±1.
答案:±1
K12课件
7
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“ ”,错误的
打“×”.
(1)过圆外一点可以作圆的两条切线且切线长相等.
()
(2)直线 ax+y=1 与圆 x2+(y-1)2=1 的位置关系与 a 有关. ( )
(3)过圆 C 内一点 M 作一直线 l,要使直线与圆相交所得弦长最
解析:圆心(0,0)到直线x-3y+1=0的距离d=
1 10
<
1,
3
故直线与圆
相交,但不过圆心.
答案:D
K12课件
6
做一做2 若直线2x+ay+3=0与圆x2+y2-2x-4=0相切,则实数a等
于
.
解析:圆的方程可化为(x-1)2+y2=5,因此圆心坐标为(1,0),半径
r= 5,
依题意得
|2+3| 4+�� 2
分析:可根据直线与圆的方程构成的方程组的解的情况,或圆心到直线的距离与圆半径之间的关系,求解b的值或b的取值范围.
解法一:联立直线和圆的方程组成方程组
�� = �� + ��, ��2 + ��2 = 1.
消去 y 并整理,可得 2x2+2bx+b2-1=0,则 Δ=4(2-b2).

圆的方程、直线与圆及圆与圆的位置关系+课件-2025届高三数学一轮基础专项复习

代数法
联立直线与圆的方程，消元后得到关于（或）的一元二次方程，利用判断.
点与圆的位置关系法
若直线过定点且该定点在圆内，则可判断直线与圆相交.
注意在直线与圆的位置关系的判断方法中,若直线和圆的方程已知或圆心到直线的距离易表达,则用几何法;若直线或圆的方程中含有参数,且圆心到直线的距离不易表达,则用代数法.
5.[人A选必一P86例4变式,2022全国乙卷（理）]过四点，，，中的三点的一个圆的方程为_ ____________________________________________________________________________________________.
或或或
【解析】若圆过,,三点,设过这三点的圆的一般方程为 ,分别将三点的坐标代入,可得解得易得 ,所以过这三点的圆的方程为,即 .若圆过,,三点,通解设过这三点的圆的一般方程为 ,分别将三点的坐标代入,可得解得易得 ,所以过这三点的圆的方程为,即 .
第八章平面解析几何
2025年高考数学专项复习
第三节圆的方程、直线与圆及圆与圆的位置关系
目录
圆的方程
壹
直线与圆的位置关系
贰
圆与圆的位置关系
叁
与圆有关的最值问题
肆
圆的方程
壹
教材知识萃取
1.圆的定义与方程
教材知识萃取
规律总结（1）若没有给出，则圆的半径为 .（2）在圆的一般方程中：当时，方程表示一个点 ;当时，方程没有意义，不表示任何图形.（3）以，为直径端点的圆的方程为 .
注意在求过一定点的圆的切线方程时，应先判断定点与圆的位置关系，若点在圆上，则该点为切点，切线只有一条；若点在圆外（此时一定要注意斜率不存在的情况），则切线有两条；若点在圆内，则切线不存在．

高考数学一轮复习第8章平面解析几何第4讲直线与圆、圆与圆的位置关系课件理北师大版

2．若直线 x－y＝2 被圆(x－a)2＋y2＝4 所截得的弦长为 2 2，
则实数 a 的值为( D )
A．－1 或 3
B．1 或 3
C．－2 或 6
D．0 或 4
解析：圆心(a，0)到直线 x－y＝2 的距离 d＝|a－2|， 2
则2
2
2
2＋|a－22|
2
＝
22，所以
a＝0
或
[解析] (1)因为 M(a，b)在圆 O：x2＋y2＝1 外，所以 a2＋b2 ＞1，从而圆心 O 到直线 ax＋by＝1 的距离 d＝|a·0a＋2＋b·b02－1|
＝ a21＋b2＜1，所以直线与圆相交． (2)法一：将直线方程代入圆的方程，得(k2＋1)x2＋4kx＋3 ＝0，直线与圆没有公共点的充要条件是Δ ＝16k2－12(k2＋
所以切线方程为 y－ 3＝ 3(x－1)， 3
即 x－ 3y＋2＝0.
4 ．若圆 C1 ： x2 ＋ y2 ＝ 1 与圆 C2 ： x2 ＋ y2 － 6x － 8y ＋ m ＝ 0 外切，则实数m＝____9____．
解析：圆 C1 的圆心是原点(0，0)，半径 r1＝1，圆 C2：(x－3)2 ＋(y－4)2＝25－m，圆心 C2(3，4)，半径 r2＝ 25－m，由两圆外切，得|C1C2|＝r1＋r2＝1＋ 25－m＝5，所以 m＝9.
1．(2016·贵阳一检)对任意实数 k，直线 y＝kx＋1 与圆 x2＋
y2＝4 的位置关系一定是( C )
A．相离
B．相切
C．相交且不过圆心
D．相交且过圆心
解析:因为直线 y＝kx＋1 恒过定点(0，1)，且斜率存在，又点(0，1)在圆 x2＋y2＝4 内，所以直线 y＝kx＋1 与圆 x2＋y2 ＝4 相交，且直线不过圆心，故选 C.

北师大版版高考数学一轮复习平面解析几何直线与圆圆与圆的位置关系教学案理解析版

[考纲传真] １．能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系.２．能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.３．初步了解用代数方法处理几何问题的思想．１．判断直线与圆的位置关系常用的两种方法（１）几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系．d<r⇔相交；d＝r⇔相切；d>r⇔相离．（２）代数法：错误!错误!２．圆与圆的位置关系设两个圆的半径分别为R，r，R＞r，圆心距为d，则两圆的位置关系可用下表来表示：位置关系相离外切相交内切内含几何特征d＞R＋r d＝R＋rR—r＜d＜R＋rd＝R—r d＜R—r代数特征无实数解一组实数解两组实数解一组实数解无实数解公切线条数４３２１0错误!１．当两圆相交（切）时，两圆方程（x２，y２项的系数相同）相减便可得公共弦（公切线）所在的直线方程．２．圆的切线方程常用结论（１）过圆x２＋y２＝r２上一点P（x0，y0）的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r２.（２）过圆（x—a）２＋（y—b）２＝r２上一点P（x0，y0）的圆的切线方程为（x0—a）（x—a）＋（y0—b）（y—b）＝r２.（３）过圆x２＋y２＝r２外一点M（x0，y0）作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r２.[基础自测]１．（思考辨析）判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．（）（２）如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．（）（３）从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．（４）过圆O：x２＋y２＝r２外一点P（x0，y0）作圆的两条切线，切点分别为A，B，则O，P，A，B四点共圆且直线AB的方程是x0x＋y0y＝r２. （）[答案] （１）×（２）×（３）×（４）√２．直线x—y＋１＝0与圆（x＋１）２＋y２＝１的位置关系是（）Ａ．相切Ｂ．直线过圆心Ｃ．直线不过圆心，但与圆相交Ｄ．相离B[依题意知圆心为（—１,0），到直线x—y＋１＝0的距离d＝错误!＝0，所以直线过圆心．]３．（教材改编）圆（x＋２）２＋y２＝４与圆（x—２）２＋（y—１）２＝9的位置关系为（）Ａ．内切Ｂ．相交Ｃ．外切Ｄ．相离B[两圆圆心分别为（—２,0），（２,１），半径分别为２和３，圆心距d＝错误!＝错误!.∵３—２<d<３＋２，∴两圆相交．]４．圆Q：x２＋y２—４x＝0在点P（１，错误!）处的切线方程为（）Ａ．x＋错误!y—２＝0 Ｂ．x＋错误!y—４＝0Ｃ．x—错误!y＋４＝0 Ｄ．x—错误!y＋２＝0D[因为点P（１，错误!）是圆Q：x２＋y２—４x＝0上的一点，故在点P处的切线方程为x—错误!y＋２＝0，故选Ｄ．]５．（教材改编）圆x２＋y２—４＝0与圆x２＋y２—４x＋４y—１２＝0的公共弦长为________．２错误![由错误!得x—y＋２＝0．由于x２＋y２—４＝0的圆心为（0,0），半径r＝２，且圆心（0,0）到直线x—y＋２＝0的距离d＝错误!＝错误!，所以公共弦长为２错误!＝２错误!＝２错误!.]直线与圆的位置关系►考法１直线与圆位置关系的判定【例１】直线l：mx—y＋１—m＝0与圆C：x２＋（y—１）２＝５的位置关系是（）Ａ．相交Ｂ．相切Ｃ．相离Ｄ．不确定A[法一：∵圆心（0,１）到直线l的距离d＝错误!<１<错误!.故直线l与圆相交．法二：直线l：mx—y＋１—m＝0过定点（１,１），∵点（１,１）在圆C：x２＋（y—１）２＝５的内部，∴直线l与圆C相交．]►考法２切线问题【例２】已知点P（错误!＋１,２—错误!），点M（３,１），圆C：（x—１）２＋（y—２）２＝４．（１）求过点P的圆C的切线方程；（２）求过点M的圆C的切线方程，并求出切线长．[解] 由题意得圆心C（１,２），半径r＝２．（１）∵（错误!＋１—１）２＋（２—错误!—２）２＝４，∴点P在圆C上．又k PC＝错误!＝—１，∴切线的斜率k＝—错误!＝１．∴过点P的圆C的切线方程是y—（２—错误!）＝x—（错误!＋１），即x—y＋１—２错误!＝0．（２）∵（３—１）２＋（１—２）２＝５＞４，∴点M在圆C外部．当过点M的直线斜率不存在时，直线方程为x＝３，即x —３＝0．又点C （１,２）到直线x —３＝0的距离d ＝３—１＝２＝r ，即此时满足题意，所以直线x ＝３是圆的切线．当切线的斜率存在时，设切线方程为y —１＝k （x —３），即kx —y ＋１—３k ＝0，则圆心C 到切线的距离d ＝错误!＝r ＝２，解得k ＝错误!. ∴切线方程为y —１＝错误!（x —３），即３x —４y —５＝0．综上可得，过点M 的圆C 的切线方程为x —３＝0或３x —４y —５＝0． ∵|MC |＝错误!＝错误!，∴过点M 的圆C 的切线长为错误!＝错误!＝１． ►考法３弦长问题【例３】设圆x ２＋y ２—２x —２y —２＝0的圆心为C ，直线l 过（0,３），且与圆C 交于A ，B 两点，若|AB |＝２错误!，则直线l 的方程为（）Ａ．３x ＋４y —１２＝0或４x —３y ＋9＝0 Ｂ．３x ＋４y —１２＝0或x ＝0 Ｃ．４x —３y ＋9＝0或x ＝0Ｄ．３x —４y ＋１２＝0或４x ＋３y ＋9＝0B [当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝0，联立方程得错误!得错误!或错误!∴|AB |＝２错误!，符合题意．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋３，∵圆x ２＋y ２—２x —２y —２＝0，即（x —１）２＋（y —１）２＝４，其圆心为C （１,１），圆的半径r ＝２，圆心C （１,１）到直线y＝kx ＋３的距离d ＝错误!＝错误!，∵d ２＋错误!２＝r ２，∴错误!＋３＝４，解得k ＝—错误!，∴直线l 的方程为y ＝—错误!x ＋３，即３x ＋４y —１２＝0．综上，直线l 的方程为３x ＋４y —１２＝0或x ＝0．故选Ｂ．]判断，能用几何法求解的，尽量不用代数法．２．（１）处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形．（２）处理圆的切线问题时，一般通过圆心到直线的距离等于半径建立关系式解决问题．若点M（x0，y0）在圆x２＋y２＝r２上，则过点M的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r２.２２范围为（）Ａ．（—∞，＋∞）Ｂ．（—∞，0）Ｃ．（0，＋∞）Ｄ．（—∞，0）∪（0，＋∞）（２）直线y＝kx＋３与圆（x—２）２＋（y—３）２＝４相交于M，N两点，若|MN|≥２错误!，则k的取值范围是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!∪[0，＋∞）Ｃ．错误!Ｄ．错误!（３）已知P是直线l：kx＋４y—１0＝0（k＞0）上的动点，PA，PB是圆C：x２＋y２—２x＋４y ＋４＝0的两条切线，A，B是切点，C是圆心，若四边形PACB面积的最小值为２错误!，则k的值为（）Ａ．３Ｂ．２Ｃ．错误!Ｄ．错误!（１）D（２）C（３）A[（１）由题意可知，圆心为（１,１），半径r＝１，若直线与圆相交，则错误!＜１，即错误!＞１，∴m≠0，故选Ｄ．（２）若|MN|＝２错误!，则圆心（２,３）到直线y＝kx＋３的距离为错误!＝错误!＝１，解得k＝±错误!.若|MN|≥２错误!，则—错误!≤k≤错误!.（３）圆的标准方程为（x—１）２＋（y＋２）２＝１，则圆心为C（１，—２），半径为１，则直线与圆相离，如图，S四边形PACB＝S△PAC＋S△PBC，而S△PAC＝错误!|PA|·|CA|＝错误!|PA|，S△PBC＝错误!|PB|·|CB|＝错误!|PB|，又|PA|＝|PB|＝错误!，所以当|PC|取最小值时，|PA|＝|PB|取最小值，即S△PAC＝S△PBC取最小值，此时，CP⊥l，四边形PACB面积的最小值为２错误!，S△PAC＝S△PBC＝错误!，所以|PA|＝２错误!，所以|CP|＝３，所以错误!＝３，因为k＞0，所以k＝３．]圆与圆的位置关系【例４】已知两圆C１：x２＋y２—２x—6y—１＝0和C２：x２＋y２—１0x—１２y＋４５＝0．（１）求证：圆C１和圆C２相交；（２）求圆C１和圆C２的公共弦所在直线的方程和公共弦长．[解] （１）证明：圆C１的圆心为C１（１,３），半径r１＝错误!，圆C２的圆心为C２（５,6），半径r２＝４，两圆圆心距d＝|C１C２|＝５，r１＋r２＝错误!＋４，|r１—r２|＝４—错误!，∴|r１—r２|＜d＜r１＋r２，∴圆C１和圆C２相交．（２）圆C１和圆C２的方程左、右两边分别相减，得４x＋３y—２３＝0，∴两圆的公共弦所在直线的方程为４x＋３y—２３＝0．圆心C２（５,6）到直线４x＋３y—２３＝0的距离＝错误!＝３，故公共弦长为２错误!＝２错误!.[规律方法] （１）判断两圆位置关系的方法常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和及差的绝对值的大小关系判断，一般不用代数法．重视两圆内切的情况，作图观察．（２）两圆相交时，公共弦所在直线方程的求法两圆的公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x２，y２项得到．（３）两圆公共弦长的求法求两圆公共弦长，常选其中一圆，由弦心距d，半弦长错误!，半径r构成直角三角形，利用勾股定理求解．２２线段的长度是２错误!，则圆M与圆N：（x—１）２＋（y—１）２＝１的位置关系是（）Ａ．内切Ｂ．相交Ｃ．外切Ｄ．相离（２）若圆C１：x２＋y２＝１与圆C２：x２＋y２—6x—8y＋m＝0外切，则m＝（）Ａ．２１Ｂ．１9Ｃ．9 Ｄ．—１１（１）B（２）C[（１）法一：由错误!得两交点为（0,0），（—a，a）．∵圆M截直线所得线段长度为２错误!，∴错误!＝２错误!.又a>0，∴a＝２．∴圆M的方程为x２＋y２—４y＝0，即x２＋（y—２）２＝４，圆心M（0,２），半径r１＝２．又圆N：（x—１）２＋（y—１）２＝１，圆心N（１,１），半径r２＝１，∴|MN|＝错误!＝错误!.∵r１—r２＝１，r１＋r２＝３,１<|MN|<３，∴两圆相交．法二：∵x２＋y２—２ay＝0（a>0）⇔x２＋（y—a）２＝a２（a>0），∴M（0，a），r１＝a.∵圆M截直线x＋y＝0所得线段的长度为２错误!，∴圆心M到直线x＋y＝0的距离d＝错误!＝错误!，解得a＝２．以下同法一．（２）圆C１的圆心为C１（0,0），半径r１＝１，因为圆C２的方程可化为（x—３）２＋（y—４）２＝２５—m，所以圆C２的圆心为C２（３,４），半径r２＝错误!（m＜２５）．从而|C１C２|＝错误!＝５．由两圆外切得|C１C２|＝r１＋r２，即１＋错误!＝５，解得m＝9，故选Ｃ．]１．（２0１6·全国卷Ⅲ）已知直线l：mx＋y＋３m—错误!＝0与圆x２＋y２＝１２交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点．若|AB|＝２错误!，则|CD|＝________.４[由直线l：mx＋y＋３m—错误!＝0知其过定点（—３，错误!），圆心O到直线l的距离为d＝错误!.由|AB|＝２错误!得错误!２＋（错误!）２＝１２，解得m＝—错误!.又直线l的斜率为—m＝错误!，所以直线l的倾斜角α＝错误!.画出符合题意的图形如图所示，过点C作CE⊥BD，则∠DCE＝错误!.在R t△CDE中，可得|CD|＝错误!＝２错误!×错误!＝４．]２．（２0１４·全国卷Ⅱ）设点M（x0,１），若在圆O：x２＋y２＝１上存在点N，使得∠OMN＝４５°，则x0的取值范围是________．[—１,１] [如图，过点M作⊙O的切线，切点为N，连接ON.M点的纵坐标为１，MN与⊙O相切于点N.设∠OMN＝θ，则θ≥４５°，即sin θ≥错误!，即错误!≥错误!.而ON＝１，∴OM≤错误!.∵M为（x0,１），∴错误!≤错误!，∴x错误!≤１，∴—１≤x0≤１，∴x0的取值范围为[—１,１]．]３．（２0１５·全国卷Ⅰ）已知过点A（0,１）且斜率为k的直线l与圆C：（x—２）２＋（y—３）２＝１交于M，N两点．（１）求k的取值范围；（２）若错误!·错误!＝１２，其中O为坐标原点，求|MN|.[解] （１）由题设可知直线l的方程为y＝kx＋１．因为直线l与圆C交于两点，所以错误!<１，解得错误!<k<错误!.所以k的取值范围为错误!.（２）设M（x１，y１），N（x２，y２）．将y＝kx＋１代入方程（x—２）２＋（y—３）２＝１，整理得（１＋k２）x２—４（１＋k）x＋7＝0．所以x１＋x２＝错误!，x１x２＝错误!.错误!·错误!＝x１x２＋y１y２＝（１＋k２）x１x２＋k（x１＋x２）＋１＝错误!＋8．由题设可得错误!＋8＝１２，解得k＝１，所以直线l的方程为y＝x＋１．故圆心C在直线l上，所以|MN|＝２．。

高考数学一轮复习第九章解析几何9.4直线与圆、圆与圆的位置关系课件文北师大版

代数法:两圆方程联立组成方程组的解的情况无解
一组实数解两组不同的实数解一组实数解
无解
-4-
知识梳理双基自测自测点评
123
3.常用结论
(1)当两圆相交(切)时,两圆方程(x2,y2项的系数相同)相减便可得
公共弦(公切线)所在的直线方程.
(2)①过圆x2+y2=r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为x0x+y0y=r2. ②过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为(x0-a)(x-
几何法 d< r d= r d> r
代数法 Δ> 0 Δ= 0 Δ< 0
-3-
知识梳理双基自测自测点评
123
方法位置关系外离外切相交内切
内含
几何法:圆心距 d 与 r1,r2 的关系 d>r1+r2 d=r1+r2 |r1-r2|<d<r1+r2 d=|r1-r2|(r1≠r2) 0≤d<|r1-r2|(r1≠r2)
.
关闭
由题意可知线段 AB 的中点 ��+1 ,2 在直线 x-y+��=0 上,代入得
2
2
m+c=3. 关闭
3解析答案ຫໍສະໝຸດ -9-知识梳理双基自测自测点评
12345
5.在平面直角坐标系xOy中,直线x+2y-3=0被圆(x-2)2+(y+1)2=4截
得的弦长为
.
易知圆心坐标为(2,-1),半径 r=2,所以圆心到直线的距离为
A.(√3,2) B.(√3,3)
1+

高中数学第二章解析几何初步 2.2.3 直线与圆、圆与圆的位置关系课件2 北师大版必修2

标. 解：(1) 变为标准方程：C1：(x－1)2+y2=4;
C2：(x-2)2+(y+1)2=2. 圆心坐标分别为(1,0)和(2,-1)，
圆心距d= 2 ,半径分别为r1=2, r2= 2,
因为 | r1 r2 | 2 2, r1 r2 2 2
所以 | r1 r2 | d r1 r2
13
1.代数法判断圆与圆的位置关系
利用两个圆的方程组成方程组的实数解的个数：
设方程组( x ( x

a)2 c)2
(y (y
b)2 d)2

r12 r2 2
的解的个数为n
△<0
n=0
两圆相离或内含
△=0
n=1
两圆外切或内切
△>0
n=2
两个圆相交
K12课件
14
方法探索
我们发现仅靠公共点个数，无法区分外离和内含、外切和内切。思考：两圆位置关系与哪些量有关？
圆心距d （两点间距离公式）
比较d和r1，r2的大小，下结论
(
(x a1)2 ( y b1)2 x a2 )2 ( y b2 )2
r12， r22，
消去y（或x）
px2 qx r 0
Δ > 0:相交
Δ = 0:内切或外切
K12课件 Δ < 0:相离或内含
A 21 B 19 C 9 D -11
K12课件
26
【能力提升】
(2016·山东高考)已知圆 M:x2+y2-2ay=0(a>0)截直线 x+y=0 所得线段的长度是 2 2 ,则圆 M 与圆 N:(x-1)2+(y-1)2=1 的位置关系是 ( ) A.内切 B.相交 C.外切 D.相离

高中数学解析几何初步3.1直线与圆的位置关系课件北师大版必修

[答一答] 1．(1)“代数法”与“几何法”判断直线与圆的位置关系，各有什么优势？ (2)如何选择判断直线与圆的位置关系的方法？
提示：(1)“代数法”与“几何法”判断直线与圆的位置关系是从不同的方面，不同的思路来判断的，“代数法”侧重于“数”，更多倾向于“坐标”与“方程”；而“几何法”则侧重于“形”，结合了图形的几何性质．
在直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为圆心的圆与直线 x－ 3y －4＝0 相切．
(1)求圆 O 的方程； (2)若已知点 P(3,2)，过点 P 作圆 O 的切线，求切线的方程．
解：(1)设圆 O 的方程为 x2＋y2＝r2，由题可知，半径即为圆心到切线的距离，故 r＝ 4 ＝2，∴圆 O 的方程是 x2＋y2＝4.
C 相离．故正确答案为 D.
类型二直线与圆相切问题【例 2】已知圆的方程是 x2＋y2＝4，求经过圆上一点 M( 2， 2)的切线方程．【思路探究】方法一，已知圆上一点，可直接利用相关结论，经过圆上一点(x0，y0)的圆 x2＋y2＝r2 的切线方程是 xx0＋yy0 ＝r2，代入点的坐标，整理即可．方法二，点 M( 2， 2)既在圆上，又是切点，则 OM 与切线垂直，得切线的斜率，切线方程可求．
解法二：(几何法) 圆 x2＋y2＝100 的圆心为(0,0)，半径 r＝10，则圆心到直线的距离 d＝－|3a|2＋42＝|a5|， ①当直线和圆相交时，d<r，即|a5|<10，－50<a<50； ②当直线和圆相切时，d＝r，即|a5|＝10，a＝50 或 a＝－50； ③当直线和圆相离时，d>r，即|a5|>10，a<－50 或 a>50.
位置关系是( D )