第5章 优选法
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第5章 优选法
在生产过程中，为了取得满意的效果，需要对工 艺参数及相关因素，进行最佳点选择，对最佳点 的选择，有直接用数学的方法，而大量使用的都 是试验方法。试验方法很多，对某一具体问题来 讲，用什么方法才能迅速找到最佳点？这就是， 优选法要解决的问题。
1.间接最优化 2.直接最优化
优选法：根据生产和科研中的不同问题，利用数学原理， 合理地安排试验点，减少试验次数，以求迅速地找到最佳 点的一类科学方法。 适用于：
试验指标与因素间不能用数学形式表达 表达式很复杂
优选法的应用在我国从70年代初开始，首先由我们数学 家华罗庚等推广并大量应用 优选法也叫最优化方法
探究（一）：优选法
b＝2.618或b＝3.
分数法的概念
思考1：在配置某种清洗液时，需要加入某种材料. 经验表明，加入量大于130ml肯定不好.用150ml的 锥形量杯计量加入量，该量杯的量程分为15格， 每格代表10ml，能否用0.618法找出这种材料的最 优加入量？为什么？
不方便，因为用0.618法算出的试点不是10ml的整 数倍，锥形量杯难以精确计量.
每次取存优范围的中点作为试点.
5.1.4 对分法
优选方法：
甲（有电）
ຫໍສະໝຸດ Baidu
A(有电) B (无电) 乙（无电）
特点：
每次只做1次试验
每次试验区间可以缩小一半
适用条件：
要有一个标准（或具体指标） 要预知该因素对指标的影响规律
5.1.5 抛物线法
在三个试验点x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，分别得试验值y1， y2，y3，根据Lagrange插值法可以得到一个二次函数：
( x x2 )( x x3 ) ( x x3 )( x x1 ) ( x x1 )( x x2 ) y y1 y2 y3 ( x1 x2 )( x1 x3 ) ( x2 x3 )( x2 x1 ) ( x3 x1 )( x3 x2 )
设二次函数在x4取得最大值：
例：设某试验的因素范围是[0，1]，如果只能做2 次试验，则应取哪个渐近分数代替0.618？两个试 点分别选在何处？精度为多少？
0
1
2 3
1 2 第1试点选在 处，第2试点选在 处， 3 3 1
精度为
3
.
如果只能做3次试验，则应取哪个渐近分数代替 0.618？精度为多少？一般地，如果只能做k次试 验，则应取哪个渐近分数代替0.618？精度为多少？
分数法优选方法：
3/8 5/8
x2 x2
x1
2/5 3/5
x1 x1
x3
1/3 2/3
x3
x4
适用于 ：
试验值只能取整数的情况
试验次数有限时
分数法试验次数：
在优选法中，用渐近分数近似代替0.618确 定试点的方法叫做分数法，那么在什么情况下使 用分数法？
因素范围由一些离散的、间隔不等的点组成， 试点只能取某些特定值.
思考2：一个盲人爬山时已到某处，假设山是 单峰的，且只有一条直道经过山顶，试设想 他如何判断其立足之处是否为山顶？
对前后两个方向进行试探，如果前面高了， 就向前走一步，否则试探后面.如果前后都比 某点低，就说明到达山顶了.
5.1.7 逐步提高法（爬山法）
方法：
找一个起点 寻找方向
注意：
思考1：有一种商品价格竞猜游戏，参与者在只知 道售价范围的前提下，对一件商品的价格进行竞 猜.当竞猜者给出的估价不正确时，主持人以“高 了”或“低了”作为提示语，再让竞猜者继续估 价，在规定时间或次数内猜对了即可获得相应奖 品.如果你参与这项活动，每次会怎么给出估价？
下图中的两个函数称为区间 [a，b]上的单峰函 数，那么单峰函数的定义特征是
lg n 1 lg 0.618
思考
1已知某因素范围是[100，1100]，用黄金分割法 寻找最佳点，已知前6次试验后的好点包含在区间 [700，750]内，求第6次试验后的存优范围.
[684，774]
2 调酒师为了调制一种鸡尾酒，每100kg烈性酒中 需要加入柠檬汁的量在1kg到2kg之间，用0.618法 寻找它的最佳加入量，要求加入柠檬汁的误差不 超出1g，问需要做多少次试验？ 需要做19次试验 3 在用0.618法寻找最佳点的过程中，若某次试验 后的存优范围是[2，b]且2.382是这个存优范围内 的一个好点，求b的值.
迅速找到曲面的
z
最高峰.
y
x
把试验范围内z＝f(x，y)取同一值的曲线叫做等高线， 各条等高线在水平面上的投影是一圈套一圈的曲线， 那么双因素优选问题转化为寻找哪圈等高线？
z
y
x
最里边的一圈等高线.
3.双因素优选法的基本思路：
以横坐标表示因素Ⅰ，纵坐标表示因素Ⅱ，假设因素 Ⅰ的试验范围为[a1，b1]，因素Ⅱ的试验范围为 [a2，b2]用什么策略寻找峰顶在水平面上的投影点？
x2
x1
b
例：炼某种合金钢，需添加某种化学元素 以增加强度，加入范围是1000－2000克， 求最佳加入量
小
1000 1100
大
1900 2000
第一步 先在试验范围长度的0.618处做第（1）个 试验 x1=a+(b-a)×0.618=1000+(20001000)×0.618=1618克 第二步 第（2）个试验点计算 x2=大＋小－第一点=2000+10001618=1382克 第三步 比较（1）与（2）两点上所做试验的效 果，现在假设第（1）点比较好，就去掉第（2） 点，即去掉[1000,1382]那一段范围。留下 [1382,2000 ]
5.1.3 分数法
菲波那契数列 ：
F0＝1，F1＝1，Fn＝Fn-1＋Fn-2
(n≥2)
1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，…
分数：
Fn Fn+1
3 5 8 13 21 34 55 89 144 , , , , , , , , 5 8 13 21 34 55 89 144 233
y f( x) y g(x ) O a C b
x
O a
C
b
x
函数f(x)在区间[a，b]上只有唯一的最大(小)值点 C，且在点C的两侧单调，并具有相反的单调性.
5.1 单因素优选法
基本命题
试验指标f(x)是定义区间(a，b)的单峰函数
用尽量少的试验次数，来确定f(x)的最大值的近似位置
5.1.1 来回调试方法
3.分批试验法每批同时做几个试验， 可以加快试验进度，根据存优范围越小 效率越高的原理，比例分割法比均分法 效果要好. 4.优选法主要针对单峰情形，对多峰 问题应转化为单峰问题.
5.1.8 多峰情况
（1）不论“单峰”还是“多峰”，按前述方法优选
（2）先做一批分布得比较均匀、疏松的试验，看是否有 “多峰”现象，分别找出这些“峰”
把a分成2n＋2段，相邻两段为a1，b1(a1＞b1)，且a1＝b
长短段的比例 ：
1 n5 λ= ( 1) 2 n 1
当n=0时，λ=0.618
思考1：当电视机画面有“雪花”时，可以用 遥控器进行频道微调，使画面达到清晰状态， 具体如何操作？
先往前面方向微调，如果画面清晰一些了就 继续往这个方向微调，否则就往后面方向微 调.如果前后微调的清晰度都比某点低，则该 点为清晰状态最佳点.
1 y1 ( x x ) y2 ( x x ) y3 ( x x ) x4 2 y1 ( x2 x3 ) y2 ( x3 x1 ) y3 ( x1 x2 )
2 2 2 3 2 3 2 1 2 1 2 2
在x ＝x4处做试验，得试验结果y4
假定y1，y2，y3，y4中的最大值是由xi’给出 除xi’之外，在x1，x2，x3和x4中取较靠近xi’的左右两点， 将这三点记为 x1’，x2’，x3’ 此处x1’＜x2’＜x3, ，若在处的函数值分别为 y1’，y2’， y3’,……
小 1382
1618 (1)
中点
1764 (3)
大 2000
x3=大＋小－第一点=1382+2000-1618=1764 克
思考2：用0.618法确定试点时，n次试验后的精度 δ n为多少？ δ n＝0.618n－1 思考3：用0.618法寻找最佳点时，若给定精度δ ， 为了达到这个精度，至少要做多少次试验？
5.2 双因素优选法
1.命题：
设某个优选问题同时受到某两个因素的影响，用x，y表示 两个因素的取值，z＝f(x，y)表示目标函数，那么双因素优 选问题的本质是什么？ 迅速找到二元目标函数z＝f(x，y)的最大值或最小值及其对 应的点(x，y).
2.几何意义：
假设函数z＝f(x，y)在某一区域内单峰，其几何意义是 把曲面z＝f(x，y)看作一座山，顶峰只有一个，从几何 上如何理解双因素优选问题的本质？
0
1
1 3 渐近分数取 ，精度为 ； 5 5
渐近分数取
1 Fk ，精度为 F . Fk 1 k 1
思考1：在商品价格竞猜游戏中，竞猜者以怎 样的方式估价，可以尽快猜对商品的价格？
每次取存优范围的中点值作为估价.
思考2：有一条10km长的输电线路出现了故障， 在线路的一端A处有电，在另一端B处没有电， 你有什么办法通过试点迅速查出故障所在位 置？
5.1.6 分批试验法
（1）均分法
每批做2n个试验
先把试验范围等分为（2n+1）段，在2n个分点上作第一批 试验 比较结果，留下较好的点，及其左右一段 *
*
然后把这两段都等分为（n+1）段 分点处做第二批试验
（2）比例分割法
每一批做2n＋1个试验 把试验范围划分为2n+2段，相邻两段长度为a和b(a＞b) 在（2n＋1）个分点上做第一批试验，比较结果，在好试 验点左右留下一长一短
因素Ⅰ
c1 d1 b1
如此继续下去，不断缩小存优区域，直至找到最
佳点为止，这个方法又称为纵横对折法.其中每次
可以采用什么方法对一个因素进行优选？
黄金分割法，分数法，对分法，盲人爬山法，
分批试验法等.
例5-3 某炼油厂试制磺酸钡，其原料磺酸是磺 化油经乙醇水溶液萃取出来的，试验目的是 选择乙醇水溶液的合适浓度和用量，使分离 出的磺酸最多. 根据经验，乙醇水溶液浓度变化范围为 50％－90％（体积百分比），用量范围为30 ％～70％（重量百分比），精度为±5％。
若f(x1)< f(x2) a x1 若f(x2)< f(x3) x1 x2 b x4 x3 x2 x1 x3 x2 b
……
5.1.2 黄金分割法（0.618法）
黄金分割 ：
5 1 2
0.382
0.6180339887
优选步骤：
0.618
a
x2
x1
0.382 0.618
b x3 ……
起点
B＜ A A C＞ A
步距：“两头小，中间大”
D＞ C F E＜D
小结
1.如果每作一次试验，根据结果可以 决定下次试验的方向，就可以用对分法 寻找最佳点.相对于0.618法和分数法， 对分法更简单，易操作.
2.盲人爬山法是一种采用小步调调整 策略的优选法，在生产实践和科学试验 中，如果某些因素不允许大幅度调整， 可以用盲人爬山法寻找最佳点.
先固定一个因素，对另一个因素进行优选，再固定
第二个因素，对第一个因素进行优选.
5.2.1 对开法
如图，先将因素Ⅰ固定在试验范围的中点c1处，对因 素Ⅱ进行单因素优选，得到最佳点A1；再将因素Ⅱ固 定在试验范围的中点c2处，对因素Ⅰ进行单因素优选， 得到最佳点B1，比较点A1和B1的试验结果，若B1是好点， 则存优范围是哪个区域？
因素Ⅱ
b2 c2
c1≤Ⅰ≤b1， a2≤Ⅱ≤b2.
A1
B1 c b
因素Ⅰ
a2 a
将因素Ⅰ固定在新范围(c1，b1]的中点d1处，对因素Ⅱ 进行单因素优选，得到最佳点A2，比较点A2和B1的试验 结果，若A2是好点，则存优范围是哪个区域？
因素Ⅱ
b2
c1≤Ⅰ≤b1， c2≤Ⅱ≤b2.
c2
a2 a1
A2 B1
作法：先横向对折，即将用量固定在50％，用单因素的0．618 法选取最优浓度为80％的点3。而后纵向对折，将浓度固定在 70％，用0．618法对用量进行优选，结果是点9较好。比较点3 与点9的试验结果，点3比点9好，于是丢掉试验范围左边的一 半。在剩下的范围内再纵向对折，将浓度固定在80％，对用量 进行优选，试验点11、12的结果都不如3好，于是找到了好点， 即点3，试验至此结束
在生产过程中，为了取得满意的效果，需要对工 艺参数及相关因素，进行最佳点选择，对最佳点 的选择，有直接用数学的方法，而大量使用的都 是试验方法。试验方法很多，对某一具体问题来 讲，用什么方法才能迅速找到最佳点？这就是， 优选法要解决的问题。
1.间接最优化 2.直接最优化
优选法：根据生产和科研中的不同问题，利用数学原理， 合理地安排试验点，减少试验次数，以求迅速地找到最佳 点的一类科学方法。 适用于：
试验指标与因素间不能用数学形式表达 表达式很复杂
优选法的应用在我国从70年代初开始，首先由我们数学 家华罗庚等推广并大量应用 优选法也叫最优化方法
探究（一）：优选法
b＝2.618或b＝3.
分数法的概念
思考1：在配置某种清洗液时，需要加入某种材料. 经验表明，加入量大于130ml肯定不好.用150ml的 锥形量杯计量加入量，该量杯的量程分为15格， 每格代表10ml，能否用0.618法找出这种材料的最 优加入量？为什么？
不方便，因为用0.618法算出的试点不是10ml的整 数倍，锥形量杯难以精确计量.
每次取存优范围的中点作为试点.
5.1.4 对分法
优选方法：
甲（有电）
ຫໍສະໝຸດ Baidu
A(有电) B (无电) 乙（无电）
特点：
每次只做1次试验
每次试验区间可以缩小一半
适用条件：
要有一个标准（或具体指标） 要预知该因素对指标的影响规律
5.1.5 抛物线法
在三个试验点x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，分别得试验值y1， y2，y3，根据Lagrange插值法可以得到一个二次函数：
( x x2 )( x x3 ) ( x x3 )( x x1 ) ( x x1 )( x x2 ) y y1 y2 y3 ( x1 x2 )( x1 x3 ) ( x2 x3 )( x2 x1 ) ( x3 x1 )( x3 x2 )
设二次函数在x4取得最大值：
例：设某试验的因素范围是[0，1]，如果只能做2 次试验，则应取哪个渐近分数代替0.618？两个试 点分别选在何处？精度为多少？
0
1
2 3
1 2 第1试点选在 处，第2试点选在 处， 3 3 1
精度为
3
.
如果只能做3次试验，则应取哪个渐近分数代替 0.618？精度为多少？一般地，如果只能做k次试 验，则应取哪个渐近分数代替0.618？精度为多少？
分数法优选方法：
3/8 5/8
x2 x2
x1
2/5 3/5
x1 x1
x3
1/3 2/3
x3
x4
适用于 ：
试验值只能取整数的情况
试验次数有限时
分数法试验次数：
在优选法中，用渐近分数近似代替0.618确 定试点的方法叫做分数法，那么在什么情况下使 用分数法？
因素范围由一些离散的、间隔不等的点组成， 试点只能取某些特定值.
思考2：一个盲人爬山时已到某处，假设山是 单峰的，且只有一条直道经过山顶，试设想 他如何判断其立足之处是否为山顶？
对前后两个方向进行试探，如果前面高了， 就向前走一步，否则试探后面.如果前后都比 某点低，就说明到达山顶了.
5.1.7 逐步提高法（爬山法）
方法：
找一个起点 寻找方向
注意：
思考1：有一种商品价格竞猜游戏，参与者在只知 道售价范围的前提下，对一件商品的价格进行竞 猜.当竞猜者给出的估价不正确时，主持人以“高 了”或“低了”作为提示语，再让竞猜者继续估 价，在规定时间或次数内猜对了即可获得相应奖 品.如果你参与这项活动，每次会怎么给出估价？
下图中的两个函数称为区间 [a，b]上的单峰函 数，那么单峰函数的定义特征是
lg n 1 lg 0.618
思考
1已知某因素范围是[100，1100]，用黄金分割法 寻找最佳点，已知前6次试验后的好点包含在区间 [700，750]内，求第6次试验后的存优范围.
[684，774]
2 调酒师为了调制一种鸡尾酒，每100kg烈性酒中 需要加入柠檬汁的量在1kg到2kg之间，用0.618法 寻找它的最佳加入量，要求加入柠檬汁的误差不 超出1g，问需要做多少次试验？ 需要做19次试验 3 在用0.618法寻找最佳点的过程中，若某次试验 后的存优范围是[2，b]且2.382是这个存优范围内 的一个好点，求b的值.
迅速找到曲面的
z
最高峰.
y
x
把试验范围内z＝f(x，y)取同一值的曲线叫做等高线， 各条等高线在水平面上的投影是一圈套一圈的曲线， 那么双因素优选问题转化为寻找哪圈等高线？
z
y
x
最里边的一圈等高线.
3.双因素优选法的基本思路：
以横坐标表示因素Ⅰ，纵坐标表示因素Ⅱ，假设因素 Ⅰ的试验范围为[a1，b1]，因素Ⅱ的试验范围为 [a2，b2]用什么策略寻找峰顶在水平面上的投影点？
x2
x1
b
例：炼某种合金钢，需添加某种化学元素 以增加强度，加入范围是1000－2000克， 求最佳加入量
小
1000 1100
大
1900 2000
第一步 先在试验范围长度的0.618处做第（1）个 试验 x1=a+(b-a)×0.618=1000+(20001000)×0.618=1618克 第二步 第（2）个试验点计算 x2=大＋小－第一点=2000+10001618=1382克 第三步 比较（1）与（2）两点上所做试验的效 果，现在假设第（1）点比较好，就去掉第（2） 点，即去掉[1000,1382]那一段范围。留下 [1382,2000 ]
5.1.3 分数法
菲波那契数列 ：
F0＝1，F1＝1，Fn＝Fn-1＋Fn-2
(n≥2)
1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，…
分数：
Fn Fn+1
3 5 8 13 21 34 55 89 144 , , , , , , , , 5 8 13 21 34 55 89 144 233
y f( x) y g(x ) O a C b
x
O a
C
b
x
函数f(x)在区间[a，b]上只有唯一的最大(小)值点 C，且在点C的两侧单调，并具有相反的单调性.
5.1 单因素优选法
基本命题
试验指标f(x)是定义区间(a，b)的单峰函数
用尽量少的试验次数，来确定f(x)的最大值的近似位置
5.1.1 来回调试方法
3.分批试验法每批同时做几个试验， 可以加快试验进度，根据存优范围越小 效率越高的原理，比例分割法比均分法 效果要好. 4.优选法主要针对单峰情形，对多峰 问题应转化为单峰问题.
5.1.8 多峰情况
（1）不论“单峰”还是“多峰”，按前述方法优选
（2）先做一批分布得比较均匀、疏松的试验，看是否有 “多峰”现象，分别找出这些“峰”
把a分成2n＋2段，相邻两段为a1，b1(a1＞b1)，且a1＝b
长短段的比例 ：
1 n5 λ= ( 1) 2 n 1
当n=0时，λ=0.618
思考1：当电视机画面有“雪花”时，可以用 遥控器进行频道微调，使画面达到清晰状态， 具体如何操作？
先往前面方向微调，如果画面清晰一些了就 继续往这个方向微调，否则就往后面方向微 调.如果前后微调的清晰度都比某点低，则该 点为清晰状态最佳点.
1 y1 ( x x ) y2 ( x x ) y3 ( x x ) x4 2 y1 ( x2 x3 ) y2 ( x3 x1 ) y3 ( x1 x2 )
2 2 2 3 2 3 2 1 2 1 2 2
在x ＝x4处做试验，得试验结果y4
假定y1，y2，y3，y4中的最大值是由xi’给出 除xi’之外，在x1，x2，x3和x4中取较靠近xi’的左右两点， 将这三点记为 x1’，x2’，x3’ 此处x1’＜x2’＜x3, ，若在处的函数值分别为 y1’，y2’， y3’,……
小 1382
1618 (1)
中点
1764 (3)
大 2000
x3=大＋小－第一点=1382+2000-1618=1764 克
思考2：用0.618法确定试点时，n次试验后的精度 δ n为多少？ δ n＝0.618n－1 思考3：用0.618法寻找最佳点时，若给定精度δ ， 为了达到这个精度，至少要做多少次试验？
5.2 双因素优选法
1.命题：
设某个优选问题同时受到某两个因素的影响，用x，y表示 两个因素的取值，z＝f(x，y)表示目标函数，那么双因素优 选问题的本质是什么？ 迅速找到二元目标函数z＝f(x，y)的最大值或最小值及其对 应的点(x，y).
2.几何意义：
假设函数z＝f(x，y)在某一区域内单峰，其几何意义是 把曲面z＝f(x，y)看作一座山，顶峰只有一个，从几何 上如何理解双因素优选问题的本质？
0
1
1 3 渐近分数取 ，精度为 ； 5 5
渐近分数取
1 Fk ，精度为 F . Fk 1 k 1
思考1：在商品价格竞猜游戏中，竞猜者以怎 样的方式估价，可以尽快猜对商品的价格？
每次取存优范围的中点值作为估价.
思考2：有一条10km长的输电线路出现了故障， 在线路的一端A处有电，在另一端B处没有电， 你有什么办法通过试点迅速查出故障所在位 置？
5.1.6 分批试验法
（1）均分法
每批做2n个试验
先把试验范围等分为（2n+1）段，在2n个分点上作第一批 试验 比较结果，留下较好的点，及其左右一段 *
*
然后把这两段都等分为（n+1）段 分点处做第二批试验
（2）比例分割法
每一批做2n＋1个试验 把试验范围划分为2n+2段，相邻两段长度为a和b(a＞b) 在（2n＋1）个分点上做第一批试验，比较结果，在好试 验点左右留下一长一短
因素Ⅰ
c1 d1 b1
如此继续下去，不断缩小存优区域，直至找到最
佳点为止，这个方法又称为纵横对折法.其中每次
可以采用什么方法对一个因素进行优选？
黄金分割法，分数法，对分法，盲人爬山法，
分批试验法等.
例5-3 某炼油厂试制磺酸钡，其原料磺酸是磺 化油经乙醇水溶液萃取出来的，试验目的是 选择乙醇水溶液的合适浓度和用量，使分离 出的磺酸最多. 根据经验，乙醇水溶液浓度变化范围为 50％－90％（体积百分比），用量范围为30 ％～70％（重量百分比），精度为±5％。
若f(x1)< f(x2) a x1 若f(x2)< f(x3) x1 x2 b x4 x3 x2 x1 x3 x2 b
……
5.1.2 黄金分割法（0.618法）
黄金分割 ：
5 1 2
0.382
0.6180339887
优选步骤：
0.618
a
x2
x1
0.382 0.618
b x3 ……
起点
B＜ A A C＞ A
步距：“两头小，中间大”
D＞ C F E＜D
小结
1.如果每作一次试验，根据结果可以 决定下次试验的方向，就可以用对分法 寻找最佳点.相对于0.618法和分数法， 对分法更简单，易操作.
2.盲人爬山法是一种采用小步调调整 策略的优选法，在生产实践和科学试验 中，如果某些因素不允许大幅度调整， 可以用盲人爬山法寻找最佳点.
先固定一个因素，对另一个因素进行优选，再固定
第二个因素，对第一个因素进行优选.
5.2.1 对开法
如图，先将因素Ⅰ固定在试验范围的中点c1处，对因 素Ⅱ进行单因素优选，得到最佳点A1；再将因素Ⅱ固 定在试验范围的中点c2处，对因素Ⅰ进行单因素优选， 得到最佳点B1，比较点A1和B1的试验结果，若B1是好点， 则存优范围是哪个区域？
因素Ⅱ
b2 c2
c1≤Ⅰ≤b1， a2≤Ⅱ≤b2.
A1
B1 c b
因素Ⅰ
a2 a
将因素Ⅰ固定在新范围(c1，b1]的中点d1处，对因素Ⅱ 进行单因素优选，得到最佳点A2，比较点A2和B1的试验 结果，若A2是好点，则存优范围是哪个区域？
因素Ⅱ
b2
c1≤Ⅰ≤b1， c2≤Ⅱ≤b2.
c2
a2 a1
A2 B1
作法：先横向对折，即将用量固定在50％，用单因素的0．618 法选取最优浓度为80％的点3。而后纵向对折，将浓度固定在 70％，用0．618法对用量进行优选，结果是点9较好。比较点3 与点9的试验结果，点3比点9好，于是丢掉试验范围左边的一 半。在剩下的范围内再纵向对折，将浓度固定在80％，对用量 进行优选，试验点11、12的结果都不如3好，于是找到了好点， 即点3，试验至此结束