2012年高考考前模拟预测试题(三)及答案

高三考前预测试题第Ⅰ卷 （选择题 满分60分）一、选择题：（本大题共12题，每小题5分，共60分,在每小题给出的四个选项中 ，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A = {y |x 2+y 2=1}和集合B = {y |y 2= x 2}，则A I B 等于( )A ．( 0，1 )B ．[ 0,1 ]C ．( 0，+∞ )D ．{( 0，1 )，( 1，0 )} 【答案】B【解析】本题考查集合的基本运算,容易得出选项B 正确.2. (34)i i +⋅ （其中i 为虚数单位）在复平面上对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】B【解析】因为(34)i i +⋅=43i -+,所以在复平面上对应的点位于第二象限,选B. 3. “1a =”是“函数()lg()f x ax =在(0,)+∞单调递增”的（ ） A.充分不必要条件 B.充分必要条件C.必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】显然函数()lg(1)f x x =+()lg(21)f x x =+在(0,)+∞上均单调递增，所以“1a =”是“函数()lg(1)f x ax =+在(0,)+∞单调递增”的充分不必要条件.4．设,l m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是 （ ）A ．若,l m m α⊥⊂ ，则l α⊥B ．若,//l l m α⊥，则m α⊥C ．若//,l m αα⊂，则//l mD ．若//,//l m αα，则//l m 【答案】B【解析】当两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另外一条也垂直这个平面，故选项B 中的结论正确.5．已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．8B ．203 C ．173 D ．143【答案】C几何体是正方体截去一个三棱台，311172(22323V =-⋅+⨯=.6.已知非零向量,,a b c 满足++=a b c ０，向量,a b 的夹角为120，且||2||=b a，则向量a 与c 的夹角为( )A ．︒60 B ．︒90 C ．︒120 D ． ︒150【答案】B【解析】本题考查平面向量的有关知识.7．若实数x ，y 满足不等式组：⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+-≥-3311y x y x y x ，则该约束条件所围成的平面区域的面积是( )A ．3B ．25 C ．2D ．22【答案】C【解析】可行域为直角三角形，其面积为12.2S =⨯=8.由直线2+=x y 上的点向圆()()22421x y -++= 引切线，则切线长的最小值为( ) A ．30 B ．31 C ．24 D ．33 【答案】B【解析】切线长的长短由该点到圆心的距离来确定.即圆心()4,2-到直线2+=x y 的最短距离.d ===9．如图是歌手大奖赛中，七位评委为甲，乙两名选手打出的分数的茎叶图（其中m 为数字 0—9中的一个），去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为12,a a ，则一定有（ ）A ．12a a >B ．21a a >C ．12a a =D ．12,a a 的大小不确定【答案】B【解析】1284,85a a ==.10.一个算法的程序框图如图所示，该程序输出的结果为( )A ．89 B ．910 C ．1011 D ．1112【答案】B 【解析】1111223910+++=⨯⨯⨯ 910,故选B.11.要得到y ＝sin(2x －π3)的图象，只要将y ＝sin2x 的图象 ( ) A.向左平移π3个单位 B.向右平移π3个单位C. 向右平移π6个单位D. 向左平移π6个单位【答案】C【解析】因为y ＝sin(2x －π3)= sin2(x －6π),故选C.12.已知函数()f x 的定义域为[]15-，，部分对应值如下表。

()f x 的导函数()y f x '=的图象如图所示。

下列关于函数()f x 的命题： ① 函数()y f x =是周期函数； ② 函数()f x 在[]02，是减函数；③ 如果当[]1,x t ∈-时，()f x 的最大值是2，那么t 的最大值为4； ④ 当12a <<时，函数()y f x a =-有4个零点。

其中真命题的个数是 ( )A 、4个B 、3个C 、2个D 、1个 【答案】D【解析】①显然错误；③容易造成错觉，m x 5a t =；④错误，()2f 的不确定影响了正确性；②正确，可有()'fx 得到.第II 卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分, 共16分.13.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0,()3,(2)x x f x f <=-时则= . 【答案】19【解析】因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以(2)(2)f f =--=19. 14.在等差数列{}n a 中，若1232,13a a a =+=，则456a a a ++= ． 【答案】42【解析】由等差数列的性质知，1232315a a a a ++==，所以25a =，即公差3d =，所 以51424314a a d =+=+⨯=，故45653a a a a ++==42.15.在集合{}2,3A =中随机取一个元素m ，在集合{}1,2,3B =中随机取一个元素n ，得到点(,)P m n ，则点P 在圆229x y +=内部的概率为 .【答案】13【解析】由题意得到的(),P m n 有：()()()()()()2,1,2,2,2,3,3,1,3,2,3,3，共计6个，在圆229x y +=的内部的点有()()2,1,2,2，所以概率为2163= 16.已知抛物线24y x =的弦AB 的中点的横坐标为2，则AB 的最大值为 ． 【答案】6【解析】当直线AB斜率不存在时AB =当直线AB 斜率k 存在时，设中点坐标为()2,t ，()()1122,,,,A x y B x y 则1242k y y t==+，()22y t x t-=-，与24y x =联立得212122,28y y t y y t +==-， ()()2222212123636,4t AB y y t ⎛⎫=+-=--+≤ ⎪⎝⎭6.AB ≤三．解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，正明过程和演算步骤.17.（本小题满分12分）在锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知3cos 24C =-.（Ⅰ）求sin C ；（Ⅱ）当2c a =，且b =a . 【解析】解：（Ⅰ）由已知可得2312sin 4C -=-.所以27sin 8C =.因为在ABC ∆中，sin 0C >，所以sin 4C =. ……………………………………………6分 （Ⅱ）因为2c a =，所以1sin sin 2A C ==. 因为ABC ∆是锐角三角形，所以cos C =，cos A =. 所以sin sin()B A C =+sin cos cos sin A C A C =+==由正弦定理可得：sin sin aB A=，所以a =. …………………………12分 18.(理科)（本小题满分12分）第26届世界大学生夏季运动会将于2011年8月12日到23日在深圳举行 ，为了搞好接待工作，组委会在某学院招募了12名男志愿者和18名女志愿者。

将这30名志愿者的身高编成如右所示的茎叶图（单位：cm ）： 若身高在175cm 以上（包括175cm ）定义为“高个子”， 身高在175cm 以下（不包括175cm ）定义为“非高个子”， 且只有“女高个子”才担任“礼仪小姐”。

（1）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中 中提取5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是 “高个子”的概率是多少？ （2）若从所有“高个子”中选3名志愿者，用ξ表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望。

【解析】（1）根据茎叶图，有“高个子”12人，“非高个子”18人，…………1分用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是61305=， ………………2分 所以选中的“高个子”有26112=⨯人，“非高个子”有36118=⨯人．…………3分用事件A 表示“至少有一名“高个子”被选中”，则它的对立事件A 表示“没有一名“高个子”被选中”，则()P A =-12523C C 1071031=-=． …………………5分 因此，至少有一人是“高个子”的概率是107． ………………6分（２）依题意，ξ的取值为0,1,2,3． ………………7分5514C C )0(31238===ξP ， 5528C C C )1(3122814===ξP ， 5512C C C )2(3121824===ξP ， 551C C )3(31234===ξP ． …………………9分 因此，ξ的分布列如下：15513551225528155140=⨯+⨯+⨯+⨯=ξ∴E ． …………12分 【考查意图】本题主要考察茎叶图、分层抽样、随机事件的概率、对立事件的概率、随机变量的分布列以及数学期望等基础知识，考查运用概率统计知识解决简单实际问题 的能力数据处理能力和应用意识．(文科)（本小题满分12分）设连续掷两次骰子得到的点数分别为m n 、， 令平面向量(,)a m n = ,(1,3)b =-．(Ⅰ)求使得事件“a b ⊥”发生的概率；(Ⅱ)求使得事件“||||a b ≤”发生的概率；(Ⅲ)使得事件“直线x nmy =与圆()1322=+-y x 相交”发生的概率． 解：（1）由题意知，{1,2,3,4,5,6};{1,2,3,4,5,6}m n ∈∈， 故(,)m n 所有可能的取法共36种. ．．．．．．．．．．．．．．2分使得a b ⊥，即30m n -=，即3m n =，共有2种(3,1)6,2、（），所以 求使得a b ⊥ 的概率213618P ==．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 (2)||||a b = 即2210m n +≤，共有(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,1)、（2,2）、（3,1）6种使得||||a b ≤ 的概率61366P ==．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 （3）由直线与圆的位置关系得，1d =<，即m n <，共有11112,,,34566，,5种，所以直线x nmy =与圆()1322=+-y x 相交的概率536P = ．．．．．．．12分19.(理科)（本小题满分12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ， 1,AB BC CA AA D ===为AB 的中点. (1) 求证：1BC ∥平面1DCA ；(2) 求二面角11D CA C --的平面角的余弦值.【命题意图】本小题主要考查立体几何的相关知识，具体涉及到线面的平行关系、二面角的求法及空间向量在立体几何中的应用.【试题解析】(方法一)⑴证明：如图一，连结1AC 与1AC 交于点K ，连结DK . 在△1ABC 中，D 、K 为中点，∴DK ∥1BC . (3分) 又DK ⊂平面1DCA ，1BC ⊄平面1DCA ，∴1BC ∥平面1DCA . (5分) ⑵解：二面角11D CA C --与二面角1D CA A --互补. 如图二，作DG AC ⊥，垂足为G ，又平面ABC ⊥平面11ACC A ，∴DG ⊥平面11ACC A . 作GH ⊥1CA ，垂足为H ，连结DH ，则1DH CA ⊥，∴∠DHG 为二面角1D CA A --的平面角. (8分) 设12AB BC CA AA ====，在等边△ABC 中，D 为中点，∴14AG AC =，在正方形11ACC A 中，138GH AC =,∴DG =3GH =⨯=DH =.cos GH DHG DH ∠===∴.(11分)∴所求二面角的余弦值为 (12分)(方法二)证明：如图三以BC 的中点O 为原点建系，设12AB BC CA AA ====. 设(,,)n x y z =是平面1DCA 的一个法向量，则100n CD n CA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ .又3(2CD =，1(1CA = ，∴020z x y +=+=⎪⎩.令1,1x z y ===，∴(1,1,n = . (3分) ∵1(2,2,0)BC =- ，∴12200n BC ⋅=-++=. 又1BC ⊄平面1DCA ，∴1BC ∥平面1DCA . (5分)⑵解：设111(,,)m x y z =是平面11CAC 的一个法向量，则1100m CC m CA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ .又1(0,2,0)CC =，1(1CA = ，∴11100y x =⎧⎪⎨+=⎪⎩.令111,z x ==(m = . (8分)∴cos ,m n <>== . (11分)∴所求二面角的余弦值为. (12分) (文科)（本小题满分12分）如图，五面体11A BCC B -中，41=AB ．底面ABC 是正三角形，2=AB ．四边形11BCC B 是矩形，二面角1A BC C --为 直二面角．（Ⅰ）若D 是AC 中点，求证： 1AB ∥平面1BDC ； （Ⅱ）求该五面体的体积.解：（Ⅰ）证明:连结1B C 交1BC 于O ,连结DO∵ 四边形11BCC B 是矩形 ∴O 为1B C 中点又D 为AC 中点, 从而1//DO AB (4分)∵1AB ⊄平面1BDC ,DO ⊂平面1BDC ∴//1AB 平面1BDC (6分)ACD B1C 1B C 1B 1O（Ⅱ）过A 作BC AH ⊥，垂足为H ，ABC ∆ 为正三角形，H ∴为BC 中点，322=-=BH AB AH(8分)二面角1C BC A --为直二面角，⊥∴AH 面11B BCC ,又322211=-=AB AB BB ,故矩形11B BCC 的面积343221=⨯=⋅=BB BC S (10分) 故所求五面体体积4334313111=⋅⋅=⋅==-AH S V V B BCC A (12分) 20.（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的公差大于0,且53,a a 是方程045142=+-x x 的两根,数列{}n b 的前n 项的和为n S ，且*1()2nn b S n N -=∈． （1） 求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）若n n n b a c ⋅=求数列{}n c 的前n 项和n T ．解：（1）∵a 3，a 5是方程045142=+-x x 的两根，且数列}{n a 的公差d >0，∴a 3=5，a 5=9，公差.23535=--=a a d∴.12)5(5-=-+=n d n a a n ………………3分 又当n =1时，有11112b b S -==113b ∴= 当).2(31),(21,2111≥=∴-=-=≥---n b b b b S S b n n n n n n n n 有时 ∴数列{n b }是首项113b =，公比13q =等比数列， ∴111.3n n nb b q-==…………6分 （2）由（Ⅰ）知nn n n n b a c 312-== …………8分 设数列{}n c 的前n 项和为n T ，12313521........3333n nn T -=++++ （1） 13n T ∴= 23411352321 (33333)n n n n +--+++++ (2) ………………10分 (1)(2)-：2312122221.....333333n n n n T +-=++++-=2311111212(.....)33333n n n +-++++-化简得：113n nn T +=- ………………………12分 21.（本题满分12分）已知椭圆E ：22221x y a b+=(0a b >>)过点(3, 1)P ，其左、右焦点分别为12, F F ， 且126F P F P ⋅=- ．（1）求椭圆E 的方程；（2）若,M N 是直线5x =上的两个动点，且12F M F N ⊥，则以MN 为直径的圆C 是否过定点？请说明理由．解：（1）设点12,F F 的坐标分别为(,0),(,0)(0)c c c ->， 则12(3,1),(3,1),F P c F P c =+=-故212(3)(3)1106F P F P c c c ⋅=+-+=-=- ，可得4c =， …………………2分所以122||||a PF PF =+=4分故22218162a b a c ==-=-=，所以椭圆E 的方程为221182x y +=． ……………………………6分 （2）设,M N 的坐标分别为(5,),(5,)m n ，则12(9,),(1,)F M m F N n == ，又12F M F N ⊥ ，可得1290F M F N mn ⋅=+= ，即9mn =-， …………………8分又圆C 的圆心为(5,),2m n +半径为||2m n -， 故圆C 的方程为222||(5)()()22m n m n x y +--+-=， 即22(5)()0x y m n y mn -+-++=，也就是22(5)()90x y m n y -+-+-=， ……………………11分令0y =，可得8x =或2，故圆C 必过定点(8,0)和(2,0)． ……………………12分（另法：（1）中也可以直接将点P 坐标代入椭圆方程来进行求解；（2）中可利用圆C 直径的两端点直接写出圆C 的方程）22.（本题满分14分）已知二次函数)3()(2<++=c c bx ax x h 其中，其导函数)('x h y =的图象如图，).(ln 6)(x h x x f +=（1）求函数3)(=x x f 在处的切线斜率；（2）若函数1()(1,)2f x m +在区间上是单调函数，求实数m 的取值范围；（3）若(],0,6y x x =-∈函数的图像总在函数)(x f y =图象的上方，求c 的取值范围．解：（1）由已知，b ax x h +=2)('，其图象为直线，且过)0,4(),8,0(-两点， 82)('-=∴x x h…………1分 c x x x h b a b a +-=⇒⎩⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧-==∴8)(818222 …………2分 c x x x x f +-+=∴8ln 6)(2826)('-+=∴x x x f …………3分 0)3('=∴f ，所以函数))3(,3()(f x f 在点处的切线斜率为0 …………4分（2）xx x x x x f )3)(1(2826)('--=-+=0>x)(x f ∴的单调递增区间为（0，1）和),3(+∞)(x f ∴的单调递减区间为（1，3） …………6分要使函数)(x f 在区间1(1,)2m +上是单调函数，则112132m m ⎧<+⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩，解得1522m <≤…………8分（3）由题意，(]()0,6x f x x -≥∈在恒成立，得(]26ln 80,6x x x x c x -≥+-+∈在恒成立， 即26ln 7c x x x ≤--+(]0,6x ∈在恒成立， 设(]min 2)(,6,0,7ln 6)(x g c x x x x x g ≤∈+--=则…………10分xx x x x x x x x g )2)(32(672762)('2---=-+-=+--= 因为为增函数时当)(,0)(',)2,23(,0x g x g x x >∴∈∴> 当3(0,)(2,),'()0,()2x g x g x ∈+∞∴<和时为减函数 )(x g ∴的最小值为)6()23(g g 和的较小者．…………12分 ,02ln 12496ln 623ln 649)6()23(,6ln 66426ln 636)6(,23ln 643323723ln 649)23(>+=+-=--=+--=-=⨯+--=g g g g .6ln 66)6()(min -==∴g x g…………13分又已知3<c , 6ln 66-≤∴c ． …………14分。