二分图及二分图匹配

9.1 二 分 图9.1.1 二分图的基本概念定义9.1 无向图G = <V，E，Y>称为二分图（bipartite graph），如果有非空集合X，Y使X∪Y = V，X∩Y =φ，且对每一e∈E，Y(e) = (x, y)，x∈X，y∈Y。

此时常用<X，E，Y>表示二分图G。

若对X中任一x及Y中任一y恰有一边e∈E，使Y(e) = (x, y), 则称G为完全二分图（complete bipartite graph）。

当|X| = m，|Y| = n时，完全二分图G记为K m,n。

简而言之，就是顶点集V可分割为两个互不相交的子集，并且图中每条边依附的两个顶点都分属于这两个互不相交的子集。

例9.1 图9.1中（a），（b）为二分图，（c）为完全二分图K3,3，(d), (e)不是二分图。

二分图的下列特征性是重要的。

定理9.1 无向图G为二分图的充分必要条件是，G至少有两个顶点,且其所有回路的长度均为偶数。

证 先证必要性。

设G为二分图<X，E，Y>。

由于X，Y非空，故G至少有两个顶点。

若C 为G中任一回路，令C = ( v0,v 1,v2,…,v l-1,v l = v0 )其中诸v i ( i = 0,1,…,l )必定相间出现于X及Y中，不妨设{v0,v2,v4,…, v l = v0} Í X{v1,v3,v5,…, v l-1} Í Y因此l必为偶数，从而C中有偶数条边。

再证充分性。

设G的所有回路具有偶数长度，并设G为连通图（不失一般性，若G 不连通，则可对G的各连通分支作下述讨论）。

令G的顶点集为V，边集为E，现构作X，Y，使<X，E，Y> = G。

取v0ÎV,置X = {v | v= v0或v到v0有偶数长度的通路}Y = V-XX显然非空。

现需证Y非空，且没有任何边的两个端点都在X中或都在Y 中。

由于|V|≥2并且G为一连通图，因此v0必定有相邻顶点，设为v1，那么v1ÎY；故Y不空。

设有边(u, v), 使uÎX，vÎX。

那么，v0到u有偶数长度的通路，或u = v0；v0到v有偶数长度的通路，或v = v0。

无论何种情况，均有一条从v0到v0的奇数长度的闭路径，因而有从v0到v0的奇数长度的回路（因从闭路径上可能删去的回路长度总为偶数），与题设矛盾。

故不可能有边（u, v）使u, v均在X中。

“没有任何边的两个端点全在Y中”的证明可仿上进行，请读者思考。

二分图是十分有用的一种数学模型，许多问题可以用它来刻划。

例如“资源分配”、“工作安排”、“人员择偶”等等。

但是，利用二分图分析解决这类问题时，还需要有关二分图的另一个概念——匹配。

匹配定义9.2设G = <X，E，Y>为二分图，M∈E。

称M为G的一个匹配（matching），如果M中任何两条边都没有公共端点。

G的所有匹配中边数最多的匹配称为最大匹配（maximal matching）。

如果X(Y)中任一顶点均为匹配M中边的端点，那么称M为X(Y)-完全匹配(perfect matching)。

若M既是X-完全匹配又是Y-完全匹配，则称M为G的完全匹配。

例9.2图9.2中各图的粗线表示匹配中的边（简称匹配边）。

（b）中匹配是最大的，X-完全的，（c）中匹配是完全的（从而也是最大的）。

注意，最大匹配总是存在但未必唯一。

此外，X(Y)-完全匹配及完全匹配必定是最大的，但反之则不然；X(Y)-完全匹配未必存在。

为讨论最大匹配的求法及完全匹配的存在条件，需要下列术语。

定义9.3设G = <X，E，Y>，M为G的一个匹配。

（1）M中边的端点称为M-顶点，其它顶点称为非M-顶点。

（2）G中v k到v l的通路P称为交替链，如果P的起点v k和终点v l为非M-顶点，而其边的序列中非匹配边与匹配边交替出现（从而首尾两边必为非匹配边，除顶点v k，v l以外各顶点均为M-顶点）。

特别地，当一边（v, v'）两端点均为非M-顶点，通路（v, v'）亦称为交替链。

匈牙利算法以下算法可把G中任一匹配M扩充为最大匹配，此算法是Edmonds 于1965年提出的，被称为匈牙利算法，其步骤如下：（1）首先用（*）标记X中所有的非M-顶点，然后交替进行步骤（2），（3）。

（2）选取一个刚标记（用（*）或在步骤（3）中用（y i）标记）过的X中顶点，例如顶点x i，然后用（x i）去标记Y中顶点y，如果x i与y为同一非匹配边的两端点，且在本步骤中y尚未被标记过。

重复步骤（2），直至对刚标记过的X中顶点全部完成一遍上述过程。

（3）选取一个刚标记（在步骤（2）中用（x i）标记）过的Y中结点，例如y i，用（y i）去标记X中结点x，如果y i与x为同一匹配边的两端点，且在本步骤中x尚未被标记过。

重复步骤（3），直至对刚标记过的Y中结点全部完成一遍上述过程。

（2），（3）交替执行，直到下述情况之一出现为止：（Ⅰ）标记到一个Y中顶点y，它不是M-顶点。

这时从y出发循标记回溯，直到（*）标记的X中顶点x，我们求得一条交替链。

设其长度为2k+1，显然其中k条是匹配边，k+1条是非匹配边。

（Ⅱ）步骤（2）或（3）找不到可标记结点，而又不是情况（Ⅰ）。

（4）当（2），（3）步骤中断于情况（Ⅰ），则将交替链中非匹配边改为匹配边，原匹配边改为非匹配边（从而得到一个比原匹配多一条边的新匹配），回到步骤（1），同时消除一切现有标记。

（5）对一切可能，（2）和（3）步骤均中断于情况（Ⅱ），或步骤（1）无可标记结点，算法终止（算法找不到交替链）。

我们不打算证明算法的正确性，只用一个例子跟踪一下算法的执行，来直观地说明这一点。

例9.3 用匈牙利算法求图9.3的一个最大匹配。

（1）置M = Æ，对x1-x6标记（*）。

（2）找到交替链（x1, y1）（由标记（x1），（*）回溯得），置M = {(x1, y1)}。

（3）找到交替链（x2, y2）（由标记（x2），（*）回溯得），置M = {(x1, y1), (x2, y2),}。

（4）找到交替链（x3, y1, x1, y4）（如图9.4所示。

图中虚线表示非匹配边，细实线表示交替链中非匹配边，粗实线表示匹配边），因而得M = {(x2, y2), (x3, y1),(x1, y4)}。

（5）找到交替链（x4, y3）（由标记（x4），（*）回溯得），置M = {(x2, y2), (x3, y1),(x1, y4), (x4, y3)}。

（6）找到交替链（x5, y4, x1, y1, x3, y7）（如图9.5所示，图中各种线段的意义同上），因而得M = {(x2, y2), (x4, y3),(x5, y4), (x1, y1), (x3, y 7)}即为最大匹配（如图9.6所示）。

图9.6霍尔婚姻定理(完全匹配的存在条件)现在我们来讨论完全匹配的存在条件。

为此，定义图G = <V，E，Y>的顶点子集SÍV的相邻顶点集N(S)（所有与S中顶点相邻的顶点组成的集合）：N(S) = {v | vÎV∧$u$e(uÎS∧eÎE∧Y(e) = (u, v))}或N(S) = {v | $u$e(uÎS∧Y(e) = (u, v))}定理9.2设图G = <X，E，Y>。

G有X-完全匹配的充分必要条件是：对每一SÍX有|N(S)|≥| S |此定理是霍尔（Hall）于1935年证明的，通常称为霍尔婚姻定理。

证必要性是易证的。

设G有X-完全匹配{(x0, y i0), (x1, y i1),…,(x m, y im)} ( m = | X | )其中诸x i互不相同，诸y ij也各不一样，因此对任一SÍX，S中有多少元素，N(S)中至少也有同样多的元素，即 |N(S)|≥| S |。

现证充分性。

设G满足：对任一SÍX，|N(S)|≥| S |，但G无X-完全匹配。

作G的最大匹配M，据假设，至少有顶点xÎX，x不是M-顶点。

用匈牙利算法求起始于x的所有交替链。

由于M已是最大匹配，上述构作过程必定在步骤（3）中因情况(Ⅱ)停止，即它们都只能是末尾边为匹配边的链（暂称伪交替链）。

用Q表示这些伪交替链上的顶点集合，易知，Q中只有x不是M-顶点。

置S = Q∩X，S'= Q∩Y（参阅图9.7）图9.7显然，S - {x}中顶点与S'中顶点一一对应，因此| S'| = | S | - 1S'ÍN(S)事实上N(S) = S'，因为对每一yÎN(S)，都有顶点uÎS = Q∩X（因而uÎQ）使(u, y)为一伪交替链中的边，从而yÎQ，即yÎQ∩Y=S'之中。

据以上讨论，|N(S)| = | S'| = | S | - 1|N(S)| < | S |与题设矛盾，因此M必是X-完全匹配。

定理9.2证毕。

对Y-完全匹配有类似的结论，不赘述。