《2.4.1抛物线及其标准方程》优质课教学设计
2.4.1抛物线的标准方程教案(苏教版选修2(1))-
2.4.1抛物线的标准方程教案(苏教版选修2（1)）-2.4抛物线2.4.1抛物线标准方程低三维目标1。
知识和技能(1)理解抛物线的定义，掌握抛物线的标准方程及其求导。
(2)阐明了p在抛物线标准方程中的几何意义。
它可以解决寻找抛物型标准方程的简单问题。
2.过程和方法(1)通过比较抛物线、椭圆和双曲线的偏心率，我们可以了解三条二次曲线之间的内在区别和联系。
(2)通过比较四种不同形式的标准方程，熟练掌握求曲线方程的基本方法，培养学生的分析和归纳能力。
3。
情感、态度和价值观引导学生发现问题、探索问题、解决问题，培养学生的创新意识。
体验数学中的简单与和谐之美。
●重点和难点重点:抛物线的定义和标准方程的推导。
通过学生独立系统的建立和方程的讨论，突出重点。
难点:抛物线概念的形成。
通过条件E = 1的描述性设计，标准方程与二次函数的比较，突破难点。
(教师专用书籍)●教学建议本章中，此部分位于省略号和双曲线之后。
一方面，有必要统一定义三条二次曲线。
抛物线是偏心率e = 1的特例。
另一方面，它也是对“用方程研究曲线”的解析几何基本思想的重新强化。
本节对抛物线定义的研究呼应了初中阶段的二次函数形象，体现了数学的和谐之美。
教材的安排是为了分散难度，符合循序渐进的原则。
是充分调动学生的积极性。
要将学生的被动学习转变为主动学习，很容易采用“引导式探究”教学模式。
在课堂教学中，始终贯彻“教师为主导，学生为主体，探究为主线”的教学理念。
通过引导学生进行实验、观察、比较、分析和总结，使学生充分利用手、嘴和大脑参与整个教学过程。
本课基于实验绘图，以问题为核心，创建场景。
通过教师的及时指导和师生之间的交流与互动，启发学生的思维，让学生通过自己对抛物线概念的分析、反思、比较和形成，构建自己的知识体系，并尝试愉快地一起学习，体验成功的喜悦。
●教学过程设置场景并引入新的课程。
在课程开始时，计算机被用来显示太阳系九大行星的运行图，并且随着热天文事件“冥王星”的降级而引入了一个新的课程:学生们，我们的太阳系最近发生了一个重大事件，你们知道吗？？引导探究并获得新知识(1)复习椭圆和双曲线的第二定义，椭圆和双曲线的偏心距e的范围是什么？(2)偏心率e = 1的含义是什么？你能设计一个计划并画出这样一个点吗？(3)这条曲线是什么？？学生建立自己的系统，找到抛物线的标准方程，并根据不同的焦点位置写出四个不同的标准方程。
教学设计2：2.4.1 抛物线及其标准方程
2.4.1 抛物线及其标准方程教学内容抛物线及其标准方程三维目标【知识与技能】1．理解抛物线的定义。
明确焦点、准线的概念2．掌握抛物线的方程及标准方程的推导3．熟练掌握抛物线的四个标准方程。
【过程与方法】通过抛物线概念的讲解和抛物线标准方程的推导，让学生更加熟悉求曲线方程的方法，培养学生的转化能力和数形结合能力。
【情感态度与价值观】通过抛物线概念的讲解和抛物线标准方程的推导，培养学生数形结合思想和对立统一的辩证唯物主义观点。
教学重点抛物线的定义和标准方程，四种抛物线标准方程的应用，理解坐标法的基本思想. 教学难点抛物线标准方程的推导与化简，坐标法的应用．教学方法启发引导，分析讲解，练习领会。
教学过程复习引入一．引入新课【师】前面我们已经探究过，椭圆和双曲线都可以叙述为“平面内到一个定点F的距离和它到一条定直线l（F不在l上）的距离的比是常数e（0>e）的动点的轨迹”。
其中当()1,0∈e时是椭圆，当()+∞∈,1e时是双曲线。
那么，当1=e时，动点的轨迹是什么？它的方程如何呢？点题，板书课题。
新课学习二．新课讲解1．实验观察、实现构建探究1 点F与直线l的位置关系（1）点F在直线l上（引导学生求出动点的轨迹）点F的轨迹是过点F且与直线l垂直的直线。
（2）点F不在直线l上用《几何画板》演示，观察点M的轨迹。
2.观察曲线的动态形成过程, 你能发现点M的轨迹是一条什么曲线吗？FlFHMl· oF y x lK (学生会猜想到轨迹是抛物线)3.如果曲线是抛物线，只要适当建立平面直角坐标系，就可以得到形如c bx ax y ++=2()0≠a 的轨迹方程，是否真是这样呢？（在学生思考的基础上引导学生先求出点M 的轨迹方程。
）4.如何建立坐标系求点M 的轨迹方程？（师生探讨建立不同方案，以下面方案为例进行推导）解：取经过点F 且垂直于直线l 的直线为y 轴，垂足为K ，并使原点与线段KF 的中点重合，建立平面直角坐标系。
教学设计4：2.4.1抛物线的标准方程
2.4.1抛物线的标准方程教学目标1．知识与技能(1)理解抛物线的定义，掌握抛物线的标准方程及其推导．(2)明确抛物线标准方程中p的几何意义，能解决简单的求抛物线标准方程问题．2．过程与方法(1)通过对抛物线和椭圆、双曲线离心率的比较，体会三种圆锥曲线内在的区别和联系．(2)熟练掌握求曲线方程的基本方法，通过四种不同形式标准方程的对比，培养学生分析、归纳的能力．3．情感、态度与价值观引导学生用运动变化的观点发现问题、探索问题、解决问题，培养学生的创新意识，体会数学的简捷美、和谐美．教学重点：抛物线的定义及其标准方程的推导．通过学生自主建系和对方程的讨论突出重点．教学难点：抛物线概念的形成．通过条件e＝1的画法设计、标准方程与二次函数的比较突破难点．教学过程问题导思1．用《几何画板》画图，如图，点F是定点，l是不经过点F的定直线．H是l上任意一点，过点H作MH⊥l，线段FH的垂直平分线m交MH于点M.拖动点H，观察点M的轨迹．你能发现点M满足的几何条件吗？【答案】点M随着H运动的过程中，始终有|MF|＝|MH|，即点M与定点F和定直线l的距离相等．2．比较椭圆、双曲线标准方程的建立过程，你认为应如何选择坐标系，使所建立的抛物线的方程更简单？【答案】根据抛物线的几何特征，我们取经过点F且垂直于直线l的直线为x轴，垂足为K ，并使原点与线段KF 的中点重合，建立直角坐标系xOy (如图所示)．设|KF |=p (p >0)，则焦点F 的坐标为(2p ，0 )，准线l 的方程为x =- 2p . 设M （x ，y ）是抛物线上任意一点，点M 到直线l 的距离为d ，由抛物线的定义可知，点M 在抛物线上的充要条件是|MF |=d .因为|MF 22(),2p x y -+.2p d x =+ 所以上述条件转化为坐标表示，就是22().22p px y x -+=+将上式两边平方并化简，得方程①叫做抛物线的标准方程.它所表示的抛物线的焦点在x 轴的正半轴上， 坐标是(2p ，0 )；它的准线方程是x = 2p，其中p 是焦点到准线的距离. 典例精析例1：(1)已知抛物线的标准方程是y 2=6x ,求它的焦点坐标和准线方程． (2)已知抛物线的焦点是F (0,-2)，求它的标准方程.解：(1)因为p ＝3，故抛物线的焦点坐标为 3,02（） ，准线方程为3.2x =-(2)因为抛物线的焦点在y 轴的负半轴上,且2,4,2pp ==故所求抛物线的标准方程为x 2=-8y. 练一练1、一抛物线的焦点在y 轴上，抛物线上一点M (m ，－3)到焦点的距离为5，求抛物线的标准方程．22(0).y px p =>①解 设所求抛物线的方程为x 2＝－2py (p >0)，则其准线方程为y ＝p2.由抛物线的定义知点M 到焦点的距离等于点M 到准线的距离， ∴p2－(－3)＝5，即p ＝4. ∴所求抛物线的方程为x 2＝－8y .2、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程： (1)y 2＝20x ；(2)2y 2＋5x ＝0；(3)y ＝ax 2(a ≠0)．解 (1)由方程可得抛物线开口向右，且2p ＝20，即p ＝10，所以抛物线的焦点坐标为(5,0)，准线方程为x ＝－5.(2)将方程2y 2＋5x ＝0变形为y 2＝－52x ，焦点在x 轴的负半轴上，又2p ＝52，所以p ＝54，所以焦点坐标为(－58，0)，准线方程为x ＝58.(3)将方程y ＝ax 2(a ≠0)化为x 2＝1ay ，焦点在y 轴上．当a >0时，抛物线的焦点在y 轴的正半轴上，又2p ＝1a ，所以焦点坐标为(0，14a )，准线方程为y ＝－14a；当a <0时，抛物线的焦点在y 轴的负半轴上，又2p ＝－1a ，所以焦点坐标为(0，14a )，准线方程为y 1＝－14a .课后检测1．抛物线y 2＝8x 的准线方程是________． 【解析】 ∵p ＝4，∴准线方程为x ＝－2. 【答案】 x ＝－22．顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线经过点(2,2)，则此抛物线的方程为________． 【解析】 设抛物线方程为y 2＝mx ，将(2,2)代入得m ＝2， ∴抛物线方程为y 2＝2x . 【答案】 y 2＝2x3．抛物线y 2＝2x 上一点M 到焦点的距离为1，则点M 的横坐标是________． 【解析】 准线x ＝－12，∴x M ＋12＝1，∴x M ＝12.【答案】 124．若动点P 在y ＝2x 2＋1上，则点P 与点Q (0，－1)连线中点的轨迹方程是________．【解析】 设P (x 0，y 0)，中点(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2xy 0＝2y ＋1.∵y 0＝2x 20＋1，∴2y ＋1＝2(2x )2＋1，∴y ＝4x 2.【答案】 y ＝4x 25．设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是________． 【解析】 由抛物线的方程得p 2＝42＝2，再根据抛物线的定义，可知所求距离为4＋2＝6.【答案】 66．若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点重合，则p 的值为________．【解析】 因为椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点为(2,0)，故抛物线的焦点为(2,0)，所以p2＝2，解得p ＝4.【答案】 47．抛物线y ＝－14x 2上的动点M 到两定点(0，－1)，(1，－3)的距离之和的最小值为________．【解析】 将抛物线方程化成标准方程为x 2＝－4y ，可知焦点坐标为F (0，－1)， 因为－3<－14，所以点E (1，－3)在抛物线的内部，如图所示，设抛物线的准线为l ，过点E作EQ ⊥l 于点Q ，过点M 作MP ⊥l 于点P ，所以MF ＋ME ＝MP ＋ME ≥EQ ，又EQ ＝1－(－3)＝4，故距离之和的最小值为4. 【答案】 48．求适合下列条件的拋物线方程． (1)顶点在原点，准线x ＝4；(2)拋物线的顶点是双曲线16x 2－9y 2＝144的中心，焦点是双曲线的左顶点． 解 (1)由题意p2＝4，∴p ＝8.∴拋物线方程为y 2＝－16x .(2)双曲线中心为(0,0)，左顶点为(－3,0)， ∴拋物线顶点为(0,0)，焦点为(－3,0)， ∴拋物线方程为y 2＝－12x . 课堂小结图形 标准方程 焦点坐标 准线方程y 2＝2px (p >0)F (p2，0) x ＝－p 2y 2＝－2px (p >0)F (－p2，0)x ＝p 2x 2＝2py (p >0)F (0，p 2)y ＝－p 2x 2＝－2py (p >0)F (0，－p2)y ＝p 2。
2.4.1抛物线及其标准方程-教案
教学过程：一、设置情景，导入新课（借助多媒体）先给出一张姚明的图片。
（此时学生的兴趣来啦！）师：姚明是我们中国人的骄傲，我们要向他学习！大家都知道姚明的投篮非常精准！为什么呢？生：天赋、身高！生：勤奋练习！（再给出两张姚明的图片）生：与投篮时的弧线有关！生：这弧线是抛物线！师：对！姚明有许多优越的先天条件，同时好的技术也是一个关键的因素，今天我们就着手研究这个内容。
（进而引出本节研究的课题：抛物线及其标准方程）【学情预设】学生被教师设置的情景所吸引，学习的热情高涨。
【设计意图】一个引人入胜的开头会拓宽学生思路，尊重学生的生命活动，激发兴趣，陶冶情操，大大提高教学效率。
二、引导探究，获得新知师：在初中我们已经从函数角度学过抛物线，那么，这一节课我们将冲破初中的界限从曲线和方程的角度来学习抛物线。
师：这抛物线是怎么画出来的啊！师：（出示预先准备的圆锥曲线教具）师：现在我介绍这个教具的用法，将直尺与定直线重合，竖直固定在黑板上，再将绳子的一个端点固定在定点上，拉紧白线，就可以画出来了。
谁上来试试？（两位学生积极上台板演）师：在作图的过程中请注意观察笔尖到点F与到直线L的距离有什么关系？师：这两位同学表现非常好！这就是我们见过的拋物线！【活动设计】两位学生上台演示教具画抛物线的过程。
【学情预设】教师应先介绍教具的使用方法，然后学生尝试。
在尝试的过程中，学生可能会遇到困难，教师应给予指导。
【设计意图】体现数学实践在数学学习中的地位和作用，同时教师应多鼓励学生，多引导学生间进行合作交流，培养合作学习的意识，体验成功带来的喜悦。
师：接下来我也来演示下抛物线的形成过程。
（打开几何画板软件）师：笔尖到点F与到直线L的距离有什么关系？（利用几何画板软件同步动态演示）生：AP+PC和AP+PF等于AC所以点P在运动时，CP始终等于PF。
师：这位同学观察很敏锐，直接抓住关键地方！师：那这样画出来的图象是？众生：抛物线！师：很好！【活动设计】利用几何画板软件演示抛物线的形成过程。
教学设计1：2.4.1 抛物线及其标准方程
2.4.1抛物线及其标准方程教学目标：知识与技能目标使学生掌握抛物线的定义、抛物线的标准方程及其推导过程．过程与方法目标要求学生进一步熟练掌握解析几何的基本思想方法，提高分析、对比、概括、转化等方面的能力．情感，态度与价值观目标（1）培养学生用对称的美学思维来体现数学的和谐美。
（2）培养学生观察，实验，探究与交流的数学活动能力。
教学重点：使学生掌握抛物线的定义、抛物线的标准方程及其推导过程．教学难点：使学生掌握抛物线的定义、抛物线的标准方程及其推导过程．一.复习引入回忆平面内与一个定点F的距离和一条定直线l的距离的比是常数e的轨迹，当0＜e＜1时是椭圆，当e＞1时是双曲线，那么当e=1时，它又是什么曲线？二.思考分析如图，我们在黑板上画一条直线EF，然后取一个三角板，将一条拉链AB固定在三角板的一条直角边上，并将拉链下边一半的一端固定在C点，将三角板的另一条直角边贴在直线EF上，在拉锁D处放置一支粉笔，上下拖动三角板，粉笔会画出一条曲线．问题1：画出的曲线是什么形状？提示：抛物线问题2：|DA|是点D到直线EF的距离吗？为什么？提示：是．AB是直角三角形的一条直角边．问题3：点D在移动过程中，满足什么条件？提示：|DA|＝|DC|.三.抽象概括抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.抛物线标准方程的几种形式1．抛物线定义的实质可归结为线的焦点；一条定直线l ，即为抛物线的准线；一个定值，即点M 与点F 的距离和M 到l 的距离之比等于1.定点F 不能在直线上，否则，动点M 的轨迹就不是抛物线．2．抛物线的焦点坐标、准线方程以及开口方向取决于抛物线的标准方程形式，规律是：焦点取决于一次项，开口取决于正负号，即标准方程中，如果含的是x 的一次项，则焦点就在x 轴上，并且焦点的横坐标为2p 4(或－2p 4)，相应的准线是x ＝－2p 4(或x ＝2p4)；如果含的是y 的一次项，有类似的结论．3．抛物线标准方程中的参数p 的几何意义是焦点到准线的距离． 四.例题分析及练习[例1] 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程： (1)准线方程为2y ＋4＝0； (2)过点(3，－4)；(3)焦点在直线x ＋3y ＋15＝0上．[思路点拨] 确定抛物线的类型→设出标准方程→确定参数→写出方程[精解详析] (1)准线方程为2y ＋4＝0，即y ＝－2，故抛物线焦点在y 轴的正半轴上，设其方程为x 2＝2py (p >0)．又p2＝2，所以2p ＝8，故抛物线的标准方程为x 2＝8y .(2)∵点(3，－4)在第四象限，∴设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p >0)或x 2＝x －2p 1y (p 1>0)．把点(3，－4)的坐标分别代入y 2＝2px 和x 2＝－2p 1y ，得(－4)2＝2p ·3,32＝－2p 1·(－4)，即2p ＝163，2p 1＝94. ∴所求抛物线的标准方程为y 2＝163x 或x 2＝－94y .(3)令x ＝0得y ＝－5；令y ＝0得x ＝－15. ∴抛物线的焦点为(0，－5)或(－15,0)．∴所求抛物线的标准方程为x 2＝－20y 或y 2＝－60x .[感悟体会] 求抛物线方程的主要方法是待定系数法，若已知抛物线的焦点位置，则可设出抛物线的标准方程，求出p 值即可；若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况讨论．另外，焦点在x 轴上的抛物线方程可统一设成y 2＝ax (a ≠0)，焦点在y 轴上的抛物线方程可统一设成x 2＝ay (a ≠0)． 训练题组11．以双曲线x 216－y 29＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为( )A ．y 2＝16xB ．y 2＝－16xC ．y 2＝8xD ．y 2＝－8x解析：由双曲线方程x 216－y 29＝1，可知其焦点在x 轴上．由a 2＝16，得a ＝4，∴该双曲线右顶点的坐标是(4,0)，∴抛物线的焦点为F (4,0)．设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p >0)，则由p2＝4，得p ＝8，故所求抛物线的标准方程为y 2＝16x .答案：A2．已知抛物线的焦点在x 轴上，抛物线上的点M (－3，m )到焦点的距离是5. (1)求抛物线方程和m 的值； (2)求抛物线的焦点和准线方程．解：(1)法一：∵抛物线焦点在x 轴上，且过点M (－3，m )， ∴设抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)，则焦点坐标F (－p2，0)．由题意知⎩⎪⎨⎪⎧m 2＝6p ， m 2＋3－p 22＝5，解得⎩⎨⎧ p ＝4，m ＝26，或⎩⎨⎧p ＝4，m ＝－2 6.∴所求抛物线方程为y 2＝－8x ，m ＝±2 6.法二：设抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)，则焦点坐标F (－p 2，0)，准线方程x ＝p2.由抛物线定义知，点M 到焦点的距离等于5，即点M 到准线的距离等于5， 则3＋p2＝5，∴p ＝4，∴抛物线方程为y 2＝－8x .又点M (－3，m )在抛物线上，∴m 2＝24，∴m ＝±26，∴所求抛物线方程为y 2＝－8x ，m ＝±2 6. (2)∵p ＝4，∴抛物线的焦点坐标为(－2,0)，准线方程是x ＝2.[例2] 已知抛物线的方程为x 2＝8y ，F 是焦点，点A (－2,4)．在此抛物线上求一点P ，使|PF |＋|P A |的值最小．[思路点拨] 把|PF |转化为点P 到准线的距离→画出草图→数形结合 →求出点P 的坐标 [精解详析] ∵(－2)2<8×4，∴点A (－2,4)在抛物线x 2＝8y 的内部．如图，设抛物线的准线为l ，过点P 作PQ ⊥l 于点Q ，过点A 作AB ⊥l 于点B .由抛物线的定义可知：|PF |＋|P A |＝|PQ |＋|P A |≥|AQ |≥|AB |，当且仅当P ，Q ，A 三点共线时，|PF |＋|P A |取得最小值，即为|AB |.此时P 的横坐标为－2，代入x 2＝8y 得y P ＝12.故使|PF |＋|P A |的值最小的抛物线上的点P 的坐标为(－2，12)．[感悟体会] 利用抛物线的定义可实现抛物线上的点到焦点和到准线距离的相互转化．解此类最值、定值问题时，首先要注意抛物线定义的转化应用；其次是注意平面几何知识的应用，如两点之间线段最短，三角形中三边间的不等关系，点与直线上点的连线中垂线段最短等． 训练题组23．点P 为抛物线y 2＝2px 上任一点，F 为焦点，则以PF 为直径的圆与y 轴( ) A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．位置由F 确定解析：如图，抛物线的焦点为F (p 2，0)，M 为PF 的中点，准线是l ：x ＝－p2.作PH ⊥l 于H ，交y 轴于Q ，那么|PF |＝|PH |，且|QH |＝|OF |＝p2.作MN ⊥y 轴于N ，则MN 是梯形PQOF 的中位线，即|MN |＝12(|OF |＋|PQ |)＝12|PH |＝12|PF |，故以PF 为直径的圆与y 轴相切．答案：B4．已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点(0,2)的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( ) A.172B ．3 C. 5 D.92解析：由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离．由图可知，P 点，A (0,2)点，抛物线的焦点F (12，0)三点共线时距离之和最小．所以最小距离d ＝|AF |＝0－122＋2－02＝172.答案：A[例3] 某大桥在涨水时有最大跨度的中央桥孔，已知上部呈抛物线形，跨度为20米，拱顶距水面6米，桥墩高出水面4米．现有一货船欲过此孔，该货船水下宽度不超过18米，目前吃水线上部中央船体高5米，宽16米，且该货船在现有状况下还可多装1 000吨货物，但每多装150吨货物，船体吃水线就要上升0.04米．若不考虑水下深度， 问：该货船在现在状况下能否直接或设法通过该桥孔？为什么？[思路点拨] 分析题意→建立平面直角坐标系→设出抛物线标准方程→确定点的坐标求p →利用方程求值→回答实际问题[精解详析] 如图所示，以拱顶为原点，过拱顶的水平直线为x 轴，竖直直线为y 轴，建立直角坐标系．∵拱顶距水面6米，桥墩高出水面4米，∴A (10，－2)．设桥孔上部抛物线方程是x 2＝－2py (p >0)，则102＝－2p (－2)，∴p ＝25，∴抛物线方程为x 2＝－50y ，即y ＝－150x 2.若货船沿正中央航行，船宽16米，而当x ＝8时，y ＝－150×82＝－1.28，即船体在x ＝±8之间通过，B (8，－1.28)，此时B 点距水面6＋(－1.28)＝4.72(米)．而船体高为5米，∴无法通行．又∵5－4.72＝0.28(米)，0.28÷0.04＝7，150×7＝1 050(吨)， 所以若船通过增加货物通过桥孔，则要增加1 050吨，而船最多还能装1 000吨货物，所以货船在现有状况下不能通过桥孔．[感悟体会] 涉及桥的高度、隧道的高低等抛物线型问题，通常用抛物线的标准方程解决．建立直角坐标系后，要结合点的位置分析坐标的符号，根据实际问题中的数据准确写出点的坐标，再结合实际问题求解． 训练题组35．探照灯反光镜的纵断面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点处．已知灯口直径是60 cm ，灯深40 cm ，则光源到反光镜顶点的距离是( ) A ．11.25 cm B ．5.625 cm C ．20 cmD ．10 cm解析：如图，建立直角坐标系，设抛物线方程是y 2＝2px (p >0)．∵A (40,30)在抛物线上，∴302＝2p ×40，∴p ＝454，∴光源到反光镜顶点的距离为p 2＝4524＝458＝5.625 (cm)． 答案：B6．一辆卡车高3 m ，宽1.6 m ，欲通过断面为抛物线形的隧道，已知拱口宽恰好是拱高的4倍，若拱口宽为a m ，求使卡车通过的a 的最小整数值．解：以隧道顶点为原点，拱高所在直线为y 轴建立直角坐标系，则点B 的坐标为(a2，－a4)，如图所示．设隧道所在抛物线方程为x 2＝my ，则(a 2)2＝m ·(－a4)，∴m ＝－a ，即抛物线方程为x 2＝－ay .将(0.8，y )代入抛物线方程，得0.82＝－ay ，即y ＝－0.82a.欲使卡车通过隧道，应有y －(－a 4)>3，即a 4－0.82a>3.解得a >12.21或a <－0.21(舍去)．∴使卡车通过的a 的最小整数值为13. 五.课堂小结与归纳1．求抛物线的标准方程时，由于其标准方程有四种形式，易混淆，解题时一定要做到数形结合，按照“定型”(确定焦点位置)→定量(参数p 的值)的程序求解．2．应用定义可以解决两类问题：①求抛物线的方程；②涉及抛物线的最值问题，通常将到焦点的距离转化为到准线的距离，充分利用直角梯形的性质解题． 六.当堂训练1．抛物线y ＝4x 2的焦点坐标是( ) A ．(0,1) B ．(1,0) C ．(0，116)D ．(116，0)解析：由y ＝4x 2得x 2＝14y ，∴抛物线焦点在y 轴正半轴上且2p ＝14，∴p ＝18，∴焦点为(0，116)．答案：C 2．若抛物线y 2＝2px的焦点与椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点重合，则p 的值为( )A ．－2B ．2C ．－4D ．4解析：由椭圆方程可知a ＝6，b ＝2，∴c ＝a 2－b 2＝2， ∴椭圆右焦点为(2,0)，∴p2＝2，∴p ＝4.答案：D3．已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( ) A.34B ．1 C.54 D.74解析：根据抛物线定义与梯形中位线定理，得线段AB 的中点到y 轴的距离为12(|AF |＋|BF |)－14＝32－14＝54. 答案：C4．设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，P A ⊥l ，A 为垂足．如果直线AF 的斜率为－3，那么|PF |＝( ) A ．4 3B ．8C ．8 3D ．16解析：由抛物线的定义得|PF |＝|P A |，由直线AF 的斜率为－3， 可知∠P AF ＝60°.△P AF 是等边三角形，∴|PF |＝|AF |＝4cos60°＝8. 答案：B5．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线与圆(x －3)2＋y 2＝16相切，则p 的值为________． 解析：由抛物线方程y 2＝2px (p >0)，得其准线方程为x ＝－p2.又圆的方程为(x －3)2＋y 2＝16，∴圆心为(3,0)，半径为4.依题意，得3－(－p2)＝4，解得p ＝2.答案：26． 右图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽______米．解析：以抛物线的顶点为原点，对称轴为y 轴建立直角坐标系．设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，则点(2，－2)在抛物线上，代入可得p ＝1，抛物线方程为x 2＝－2y .当y ＝－3时，x 2＝6，所以水面宽为26米． 答案：267．根据下列条件求抛物线的标准方程．(1)抛物线的焦点是双曲线16x 2－9y 2＝144的左顶点；(2)抛物线的焦点在x 轴上，直线y ＝－3与抛物线交于点A ，|AF |＝5. 解：(1)双曲线方程化为x 29－y 216＝1，左顶点为(－3,0)．由题意设抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)且－p2＝－3，∴p ＝6，∴方程为y 2＝－12x .(2)设所求焦点在x 轴上的抛物线方程为y 2＝2px (p ≠0)，A (m ，－3)． 由抛物线定义得5＝|AF |＝|m ＋p2|.又(－3)2＝2pm ，∴p ＝±1或p ＝±9，故所求抛物线方程为y 2＝±2x 或y 2＝±18x .8．如图所示，花坛水池中央有一喷泉，水管O ′P ＝1 m ，水从喷头P 喷出后呈抛物线状，先向上至最高点后落下．若最高点距水面2 m ，P 距抛物线的对称轴1 m ，则水池的直径至少应设计为多少米？(精确到1 m)解：如图所示，建立平面直角坐标系．设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)． 依题意有P ′(1，－1)在此抛物线上，代入得p ＝12.故得抛物线方程为x 2＝－y .B 在抛物线上，将B (x ，－2)代入抛物线方程得x ＝2， 即|AB |＝2，则|AB |＋1＝2＋1，因此所求水池的直径为2(1＋2) m ，约为5 m ， 即水池的直径至少应设计为5 m.。
2.4.1抛物线及其标准方程教案(人教版_选修2-1)
2.4.1 抛物线及其标准方程屯溪一中 丁 俊一、三维目标（一）知识与技能（1）掌握抛物线的定义、几何图形； （2）会推导抛物线的标准方程；（3）能够利用给定条件求抛物线的标准方程。
（二）过程与方法通过“观察”、“思考”、“探究”与“合作交流”等一系列数学活动，培养学生观察、类比、分析、概括的能力、运算能力以及逻辑思维的能力，使学生学会数学思考与推理，学会类比、对称和变换的思想，学会反思与感悟，形成良好的数学观，并进一步感受坐标法及数形结合的思想。
（三）情感态度与价值观进一步培养学生合作、交流的能力和团队精神，培养学生实事求是、善于观察、勇于探索、严密细致的科学态度；激发学生积极主动地参与数学学习活动，养成良好的学习习惯；同时通过欣赏生活中一些抛物线型图片，不但加强了学生对抛物线的感性认识，而且使学生感到数学美，陶冶了情操。
二、教学重点抛物线的定义及标准方程三、教学难点抛物线定义的形成过程及抛物线标准方程的推导（关键是坐标系方案的选择）四、教学过程1.情景导入情境导入（吸引学生的注意力，激发学生的学习热情） 这就是我们今天要研究的内容。
（板书课题：2.4.1 抛物线及其标准方程） 2、新课引入图片展示（增强学生的感性认识，培养学生美的情操，以愉悦的心情进入今天的课堂）3、新授课：（1）复习切入：我们刚刚学习过椭圆和双曲线这两种曲线，我们知道,椭圆、双曲线都有共同的几何特征：都可以看作是,在平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是常数e 的点的轨迹. (其中定点不在定直线上)e dMF= 当10<<e 时，轨迹是椭圆，当1>e 时轨迹是双曲线那么,当e =1时，它又是什么曲线 ？（类比设置疑问，激发学生探索新知） （2）、动手感知：让学生动手操作（激发学生积极主动地参与数学学习活动，养成良好的学习习惯，培养学生合作、交流的能力和团队精神） （几何画板进行演示）可以发现,点M 满足|MF |=|MH |,即点M 与点F 和定直线l 的距离相等.点M 生成的轨迹是曲线C的形状.(如图)，我们把这样的一条曲线叫做抛物线.（3）、概念形成我们把平面内与一个定点F 和一条定直线l （l 不经过点F ）距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
《2.4.1抛物线及其标准方程》教学设计
《2.4.1抛物线及其标准方程》教学设计【教材分析】“抛物线及其标准方程”是高中数学教材选修2-1第二章第四部分的第一节课。
此节是建立在已学过圆、椭圆、双曲线（特别是后两者）的基础上，由圆锥曲线的第二定义展开，得到的一类特殊的曲线，同时也弥补了离心率为1的情况。
同时，抛物线的定义也为后续抛物线的几何性质做了铺垫。
所以“抛物线及其标准方程”这节课不仅在教材中起到了承上启下的作用，同时也对圆锥曲线提出了统一的定义（第二定义：到焦点的距离与到相应准线的距离的比为常数（e））。
该课时通过引导学生观察，寻找到几何和代数之间的桥梁——建系，再次巩固了学生对于几何问题代数化的一种同法。
【学情分析】本人所带班级学生的学习习惯的差异导致学生课前准备有所差异，比如建系的过程，有课前预习的同学普遍会把坐标系建成满足标准方程的格式，而未预习的学生可能建系就有所差异，甚至于无从下手。
建系时，引导学生回顾已学过的椭圆、双曲线的建系规则，向着最简、最美的方向想，充分考查曲线的对称性的特点。
对于已预习的同学，建议可否还有其他建系方式等。
【学习目标及要求】：1.学习目标：（1）.使学生掌握抛物线的定义、抛物线的标准方程及其推导过程．（2）.要求学生进一步熟练掌握解析几何的基本思想方法，提高分析、对比、概括、转化等方面的能力．（3）.通过观察实物图和一个简单实验引入抛物线的定义，可以对学生进行理论来源于实践的辩证唯物主义思想教育．2.重点：抛物线的定义和标准方程．(解决办法：通过观察实物图和一个简单实验与椭圆、双曲线的定义相比较引入抛物线的定义；通过一些例题加深对标准方程的认识)．3. 难点：运用坐标法建立抛物线的标准方程．【教学方法】：合作探究【教学过程】：一．新课引入：学生观察实物图得出图片的共同性。
由此引入课题，以投篮运动的轨迹联系以前所学的二次函数，引出抛物线有哪些几何特征？二、探究精讲探究一：如图，把一根直尺固定在画图板内直线l的位置上，一块三角板的一条直角边紧靠直尺的边缘；把一条绳子的一端固定于三角板另一条直角边上的点A，截取绳子的长等于A到直线l的距离AC，并且把绳子另一端固定在图板上的一点F；用一支粉笔扣着绳子，紧靠着三角板的这条直角边把绳子绷紧，然后使三角板紧靠着直尺左右滑动，这样粉笔就描出一条曲线，这条曲线叫做抛物线．反复演示后，请同学们思考抛物线有怎样的几何特征，并归纳抛物线的定义，教师总结．定义：平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F不在定直线l上)．定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．探究二：抛物线的标准方程设定点F到定直线l的距离为p(p为已知数且大于0)．下面，我们来求抛物线的方程．怎样选择直角坐标系，才能使所得的方程取较简单的形式呢？让学生议论一下，教师启发辅导，小结：取过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴，x轴与l交于K，以线段KF的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系(图2-32)．抛物线上的点M(x，y)到l的距离为d，抛物线是集合p={M||MF|=d}．化简后得：y2=2px(p＞0)．讨论得出抛物线四种形式，完成下表师：如何看焦点的确定焦点位置？椭圆：看分母。
人教版高中数学选修2-1《2.4.1抛物线及其标准方程》教学设计
“抛物线及其标准方程”（第一课时）教学设计一、指导思想与理论依据：1、指导思想：《数学课程标准》明确指出“有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践，自主探索和合作交流是学生学习数学的重要方式.”并且把过程性目标确定为“经历”、“体验”和“探索”三个方面.要倡导积极主动，勇于探索的学习方式，数学教学应从学生的生活经验和已有的知识背景出发，向他们提供充分的从事数学活动和交流的机会，让他们在自己的生活中寻找数学、发现数学、探究数学、认识数学和掌握数学.2、理论依据：建构主义学习理论认为，个体的学习不是在一片空白或完全相同的背景下进行的，他的已有知识经验、信念、个性、情感等都不同程度地参与其中；学习不仅是个体的活动，而且也是在与他人的交互作用中实现地，是一种与他人互助合作的社会活动.所以，建构主义不仅强调在“学习共同体”中成员之间交流合作的重要性，还强调了学习的主动性、真实性、社会性、情境性和多元性.杜威的“教育即生活”理论也昭示了教育的生活意义.因此新课程背景下的课程应与学生的生活、经验相联系，将教学内容纳入学生与自然的关系、学生与社会的关系、学生与自我的关系以及学生与文化的关系中，引导学生在习得书本知识的同时，形成对待生活世界中各种问题的良好的情感、态度和价值观.基于此，本节课教学从学生熟悉的生活中投篮时篮球的运动轨迹、桥梁的拱形、喷泉的纵截面等图片以及一元二次函数2(0)y ax a =≠的图像出发，让学生感知抛物线的重要应用.通过数学实验探索抛物线上点的几何特征，通过自主探索与合作交流探究抛物线的方程来理性解释方程2(0)y ax a =≠的图像就是抛物线，从而完成了对新知从感知到认识与理解的探究过程，最终完善了对新知的认知结构.二、教学背景分析 1．学习内容分析本节课是人民教育出版社出版的A 版数学选修2-1 第二章《圆锥曲线与方程》 第3节《抛物线及其标准方程》（第一课时）.本节课的重点内容分为两部分：一是抛物线的定义，二是抛物线的标准方程.教材由实例引入抛物线，并给出了抛物线的定义，这是本节课的重点之一.教材接着推导出了抛物线的标准方程，这是本节课的另一个重点.由于建立直角坐标系的方法不同，相应的抛物线的标准方程也不同，共有四种.教材重点介绍了焦点在x 轴正半轴上的抛物线的标准方程，它是学习抛物线的性质及其应用的基础.本节课的难点是抛物线标准方程的推导.教材贯彻了研究解析几何的基本方法——解析法，同时渗透了数形结合的数学思想.在教材处理上，本节课列举了一些与实际生活联系的素材，通过数学实验，创设使学生主动参与的情境.抛物线概念的引入从感性知识入手，借助几何直观，运用逐步抽象的方法进行，比较适应学生的认知水平和思维能力.通过小组探究活动使学生总结出推导抛物线方程的最优建系方案.以问题“一元二次函数2(0)y ax a =≠的图像为什么是抛物线？”为主线，激发学生的求知欲望，调动学生学习的积极性.2．学生情况分析本节课的授课对象是顺义区第十中学高二年级的学生，数学基础较差，学习的积极性及主动性不够.当然学生已经有了学习椭圆、双曲线的经验，具备了一定的观察、分析、概括、推理和探索的能力及研究方法.学生可将这些经验迁移到抛物线的学习中来.3．前期教学状况、问题及对策在前期的学习中，椭圆、双曲线的定义讨论的是到两定点距离之和与之差的问题，而抛物线讨论的是动点到定点与到定直线的距离相等的关系问题.学生在概括抛物线的定义时会受到椭圆、双曲线的定义同化的影响.为了促进学生思维的发展，本节课中可引导学生在电脑上动画试验，得出抛物线的定义.这样，学生在探索和实验中可体会数学概念的形成过程，加深对抛物线的理解.同时，通过教师创设的“问题连续体”的学习环境，学生能积极主动地、充满自信地学习数学，并通过相互合作去解决所面临的问题，从而获得成功的体验，促进对知识的掌握、理解和运用.4．教学策略本节课整合了建构主义中的抛锚式教学理论与认知派心理学家杰罗姆·布鲁纳的“发现学习”理论.抛锚式教学的主要目的是使学生在一个完整的、真实的问题情境中（如本节问题：一元二次函数2(0)y ax a =≠的图像为什么是抛物线？），产生学习的需要，并通过学习共同体中成员间的互动、交流，即合作学习，凭借自己的主动学习、生成学习，亲身体验从识别目标到提出和达到目标的全过程.通过能够引起学生强烈的学习动机和主动的探究性活动，引发教师——学生的相互交流，最终生成对知识的新的洞察和理解.5．教学方式与教学手段本节课采用的是“引导发现”、“讨论交流”、“合作探究”相结合的教学方式.在学生概括抛物线的定义时，采用的是“引导发现”的教学方法，以引导学生归纳、抽象、概括.在推导抛物线的方程时，采用的是“讨论交流”、“合作探究”的教学方法，及“观察－分析－综合”的学习方法，引导学生思考、讨论，形成自己的看法，并在学生的交流中，使学生学会聆听，学会整理自己的思路，学会恰当地表达自己的思想，从交流中获取对新知的认识与理解.通过几个探究活动的设置，逐步完成对知识的主动建构过程.6．媒体资源的运用为了突出重点，突破难点，本节课使用的媒体资源主要是《几何画板》课件.课件的制作力求将学生的思维过程考虑到位.一是利用动画演示抛物线的动态生成过程，以利于学生概括抛物线的定义；二是利用动画演示直角坐标系的移动，渗透解析法的思想.三、教学目标设计1．知识与技能：（1）理解抛物线的定义，能用抛物线的定义判断曲线的形状.掌握抛物线的标准方程及其推导；（2）了解抛物线标准方程中P的几何意义，能解决简单的求抛物线标准方程问题.2．过程与方法：（1）通过数学实验活动，加深学生对抛物线概念的理解；（2）引导学生的思维由问题开始，使学生学会数学思考与推理，学会反思与感悟，逐步培养学生发现问题、探索问题、解决问题的能力；（3）通过抛物线标准方程的推导，让学生进一步感受解析法及数形结合的思想.3、情感态度与价值观：（1）通过学生在活动中的探索、交流，体验成功与提升的喜悦，培养学生的合作意识，激发学生学习数学的兴趣；（2）通过对问题的讨论，培养学生清晰地表达自己的思维过程与科学求真的精神.四、教学流程设计：否是是 否五、教学过程设计：教学阶段教师活动学生活动设计意图(一)创设情境，引出课题【演示】向学生展示生活中投篮时篮球的运动轨迹、桥梁的拱形、喷泉的纵截面等图片以及一元二次函数2(0)y ax a=≠的图像.【设问】初中老师告诉同学们一元二次函数2(0)y ax a=≠的图像是抛物线，但一元二次函数2(0)y ax a=≠的图像为什么是抛物线而不是双曲线的一支呢？那满足什么条件的点的轨迹是抛物线？【板书】2.3.1 抛物线及其标准方程观察思考初中老师只是直观的告诉同学们一元二次函数的图像是抛物线，但并没有证明为什么一元二次函数的图像是抛物线.通过问题导入，激发学生求知的欲望.(二) 直观演练，概括定【演示】用《几何画板》画图，如图，点F是定点，直线L是不经过点F的定直线.H是L上任意一点，过点H作MH⊥L，线段FH的垂直平分线m交MH于点M，拖动点H，观察点M的轨迹.你能发现点M满足的几何条件吗？观察思考：点M在运动中总满足MF MH=用动画演示抛物线的形成过程，使学生真正看到了“轨迹”，突出了轨迹点的几何特性.不仅利于学生概括抛物线的定义，也为后面求抛物线的轨迹(三) 合作交流，推导方程线过原点，方程不含常数项，形式更为简单，便于应用.通过实物演示仪展示小组3的推导过程【探究】方程()220y px p=>为所求抛物线的方程么？【板书】二、抛物线的标准方程【设问】抛物线的开口方向还有几种情况？你能得出它们的方程吗？在学生探究的基础上，师生共同完成下表【演示】计算机展示图表【反思】图形的位置特征和方程的形式应结合起来记忆，通过四种标准方程对比，可以总结出哪些结论？LHK F xyM第3小组代表汇报①由推导过程可知抛物线上任意一点的坐标满足方程；②反之，可证以方程的解为坐标的点都在抛物线上.探究其他三种形式的方程并整理笔记观察、归纳，寻找抛物线四个标准方程的联系与区别①方程的一次项决定焦点的位置.②一次项系数的符作的意识.了解曲线与方程的“完备性”与“纯粹性”，渗透“数”与“形”的矛盾与统一.培养学生把握事物的全面性与多样性，并学会用对称与类比的方法解决问题.计算机展示图表，总结四种形式抛物线标准方程，使本节的知识系统化.通过口诀强化学生区别并记忆抛物线的四个标准方程图形焦点准线22y px=()0p>,02p⎛⎫⎪⎝⎭2px=-22y px=-()0p>,02p⎛⎫-⎪⎝⎭2px=22x py=()0p>0,2p⎛⎫⎪⎝⎭2py=-22x py=-()0p>0,2p⎛⎫-⎪⎝⎭2py=六、板书设计2.3.1 抛物线及其标准方程 一、知识点：（一）抛物线的定义： 1、文字定义： 2、符号定义： 3、焦点、准线.（二）抛物线的标准方程：二、巩固与练习： 例1.例2.练习A 组练习B 组标准方程图形焦点准线22y px =()0p >,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭2p x =-22y px =-()0p >,02p ⎛⎫- ⎪⎝⎭2p x =22x py =()0p >0,2p ⎛⎫ ⎪⎝⎭2p y =- 22x py =-()0p >0,2p ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 2p y =七、教学效果评价设计: 1、学生学习效果评价设计2、教师自身教学效果评价设计八、本节教学设计特点与教学反思： 1、重视了概念的引入与形成的教学数学概念的引入是数学概念教学的必经环节，通过这一过程使学生明确：“为什么引入这一概念”以及“将如何建立这一概念”，从而使学生明确活动目的，激发学习兴趣，提取有关知识，为建立概念的复杂智力活动做好心理准备.同时由于新概念是对已有概念的继承、发展和完善.有些概念由于其内涵丰富、外延广泛等原因，很难一步到位.因此本节课在抛物线概念的引入与形成过程中，从学生熟悉的生活中投篮时篮球的运动轨迹、桥梁的拱形、喷泉的纵截面等图片以及一元二次函数2(0)y ax a =≠的图像出发，让学生感知抛物线的重要应用.通过数学实验探索抛物线上点的几何特征，组织学生讨论、合作学习，挖掘抛物线的内涵，促进了学生对抛物线概念的概括.2．以问题为导向，激发学生参与课堂的积极性抛物线是中学数学的重要内容，它贯穿在整个中学数学教材中，并随着学生认知水平的提高而不断加深.抛物线最早见于初三数学，但初中老师只是直观的告诉同学们一元二次函数的图像是抛物线，并没有证明为什么一元二次函数的图像是抛物线？对于这种曲线的本质学生并不清楚.本节以问题“一元二次函数2(0)y ax a =≠的图像为什么是抛物线？”为主线，激发学生求知的欲望.首先在探究出抛物线的定义后，学生发现并不能用定义来判断一元二次函数2(0)y ax a =≠的图像上的点满足抛物线定义的几何特征.从而激励学生探究抛物线的方程，通过曲线方程的代数形式来解释方程所表示的几何图形.即顶点在原点，焦点在y 轴正半轴的抛物线的方程是22(0)x py p =>，而方程22(0)x py p =>对应的图像就是抛物线.进而因为一元二次函数2(0)y ax a =≠的表达式可化成21x y a=，从而可说明当0a >时，方程21x y a =表示的是顶点在原点，焦点在y 轴正半轴，开口向上的抛物线；当0a <时，方程21x y a=表示的是顶点在原点，焦点在y 轴负半轴，开口向下的抛物线.从而完善了学生的认知，体验成功与提升的喜悦，激发了学生学习数学的兴趣.教材的这种安排，不仅是解析几何“用方程研究曲线”这一基本思想的再次强化，也符合认知的渐进性原则.通过本节课的教学实践，使我再次体会到：课堂上的真正主人应该是学生，教师只是活动的组织者、引导者、合作者.要在教学中，让学生充分经历探索与发现的过程，着重于知识形成过程的探索，更加注重对学生能力的培养.在今后的教学中要继续注重引导学生自我探索与自我发现，注重挖掘教材的能力生长点，着眼于学生终身发展的需要.。
《2.4.1抛物线及其标准方程》教学设计07
《抛物线及其标准方程》教学设计一、教材分析本节内容是人教A版数学选修2-1第二章第四节的第一课时。
是在学生初中已经通过学习二次函数的图像对抛物线有所认识的基础上，在学生进入高中学习了平面解析几何初步及本章椭圆、双曲线的知识后进行的。
通过本节的学习学生要从曲线的几何特征及曲线的形成上对抛物线有一个新的认识，然后归纳形成抛物线的定义。
再用坐标法对曲线的几何性质进行研究。
让学生充分体会和加深理解解析几何是一门用数来研究形的学科，是数形结合数学思想的体现。
通过本节课的学习，学生不仅能掌握抛物线的几何特征，定义和标准方程，为后面学习抛物线的性质及其在实际问题中的应用打好基础.而且有助于学生观察分析能力与抽象概括能力的培养，有助于学生运算技能的训练与提高，对学生进一步理解解析法和数形结合思想有很好的作用.也进一步巩固了圆锥曲线的学习流程与研究方法.二、学情分析抛物线是圆锥曲线中的一种，也是日常生活中常见的一种曲线.学生很早就认识了抛物线，知道斜抛物体的轨迹是抛物线，一些拱桥的桥拱形状是抛物线，一元二次函数的图像是抛物线等等.可以说学生对抛物线的几何图形已经有了直观的认识. 这节课的授课对象是我校高二的学生，他们的数学基础知识比较扎实，具有一定的空间想象能力、抽象概括能力和推理运算的技能，有较好的学习习惯和方法.在本节课之前，学生已经学习了椭圆，对圆锥曲线的研究过程和研究方法有了一定的了解和认识，这对于圆锥曲线的后续学习有借鉴、迁移的作用.三、教学目标和重点难点依据对教材和学情的分析，遵循《普通高中数学课程标准》对本节的教学要求，我将这节课的教学目标、重点和难点设置为：教学目标：1.经历从具体情景中抽象出抛物线几何特征的过程；2.掌握抛物线的几何图形，定义和标准方程；3.进一步巩固圆锥曲线的研究方法，体会类比法，直接法，待定系数法和数形结合思想在数学中的应用；4.感受抛物线的广泛应用和文化价值，体会学习数学的乐趣和数学美. 教学重点:1.掌握抛物线的定义与相关概念；2.掌握抛物线的标准方程；教学难点:从抛物线的画法中抽象概括出抛物线的定义.教学过程【环节一：复习与引入】教师活动：同学们，我们在前面学习了椭圆和双曲线，它们都有两个定义，我们一起来回顾一下它们的第二定义：平面内到定点的距离与到定直线的距离之比为常数e 的点的轨迹，当01e <<表示椭圆，当1e >的时候表示双曲线，那么当1e =的时候呢，它又表示什么曲线呢？我们先来看一个动画【环节二：亲身体验,感受新知】教师活动：在纸一侧固定一根直尺，将直角三角板的一条直角边紧贴直尺，取长等于另一直角边长的绳子，固定绳子一端在三角板点A 上，固定绳子另一端在直尺外的一点F 上，用笔将绳子拉紧,并使绳子紧贴三角板的直角边，上下移动三角板,用笔画出轨迹。
《2.4.1 抛物线的标准方程》 教学案
《2.4.1 抛物线的标准方程》 教学案教学目标1． 掌握抛物线的定义和标准方程及其推导过程，理解抛物线中的基本量； 2． 掌握求抛物线的标准方程的基本方法；教学重难点能根据已知条件求抛物线的标准方程教学流程一、复习引入1．回顾椭圆和双曲线的定义．2．生活中抛物线的引例．二、讲解新课1．抛物线定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线．注: (1)定点F 不在这条定直线l 上；(2)定点F 在这条定直线l 上，则点的轨迹是什么？2．推导抛物线的标准方程：如图所示，建立直角坐标系，设KF p =(0p >)， 那么焦点F 的坐标为)0,2(p ，准线l 的方程为2p x -=，设抛物线上的点(,)M x y ，则有 |2|)2(22p x y p x +=+-． 化简方程得 ()022>=p pxy ． 方程()022>=p px y 叫做抛物线的标准方程．3．抛物线的标准方程：(1)抛物线都过原点；(2)对称轴为坐标轴；(3)准线都与对称轴垂直，垂足与焦点在对称轴上关于原点对称；它们到原点的距离都等于一次项系数绝对值的41，即242p p =． 不同点：(1)图形关于x 轴对称时，x 为一次项，y 为二次项，方程右端为px 2±、左端为2y ；图形关于y 轴对称时，x 为二次项，y 为一次项，方程右端为py 2±，左端为2x ．(2)开口方向在x 轴(或轴)正向时，焦点在x 轴(或y 轴)的正半轴上，方程右端取正号；开口在x 轴(或y 轴)负向时，焦点在x 轴(或y 轴)负半轴时，方程右端取负号．三、讲解范例例1 已知抛物线标准方程，求它的焦点坐标和准线方程．(1) x y 202-=； (2)26x y = ；(3) ()022≠=a ax x ； (4)()02≠=m mx y ． 例2 求满足下列条件的抛物线的标准方程：(1)焦点坐标是F (0，－3)(2)经过点A(－3，2)四、课堂练习1．求下列抛物线的焦点坐标和准线方程．(1)y 2＝8x (2)x 2＝4y (3)2y 2＋3x ＝0 (4)261x y -= 2．根据下列条件写出抛物线的标准方程．(1)焦点是F (－2，0)．(2)准线方程是31=y ．:] (3)焦点到准线的距离是4，焦点在y 轴上．(4)经过点A(6，－2)3．抛物线x 2＝4y 上的点p 到焦点的距离是10，求p 点坐标． 点评：练习时注意，(1)由焦点位置或准线方程正确判断抛物线标准方程的类型；(2)p 表示焦点到准线的距离，故p ＞0；(3)根据图形判断解有几种可能．五、小结抛物线的定义、焦点、准线及其方程的概念．。
人教版高中数学选修2.4.1《抛物线及其标准方程》教案
《2.4.1 抛物线的标准方程》教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
掌握抛物线的定义、几何图形，会推导抛物线的标准方程，能够利用给定条件求抛物线的标准方程，灵活运用定义解决具体问题.
（二）过程与方法
通过观察、思考、探究与合作交流等一系列数学活动，锻炼观察、类比、分析、概括的能力以及逻辑思维的能力，学会数学思考与推理，学会反思与感悟，形成良好的数学观，进一步感受坐标法及数形结合的思想.
（三）情感态度与价值观
通过观看介绍我国研发的FAST射电望远镜、实验演示抛物线原理等视频，激发学习兴趣，体会抛物线极为广泛而重要的应用，同时也增强民族自豪感.
二、教学重点
抛物线的定义及标准方程.
三、教学难点
抛物线定义的形成过程及抛物线标准方程的推导.
四、教学过程。
《2.4.1抛物线及其标准方程》优质课教学设计
求抛物线标准方程的步骤：
（1）确定抛物线的形式
（2）求p值
（3）写抛物线方程
注意：焦点或开口方向不定，则要注意分类讨论
巩固提高：求过点A（-3，2）的抛物线的标准方程。
师总结：经过第一象限的点，有焦点在x正半轴和在y正半轴两条抛物线，经过第二象限的点，有焦点在x负半轴和在y正半轴两条抛物线，
例2.已知抛物线的焦点坐标是F(0， 2)，求它的标准方程．
小结：求抛物线的标准方程的步骤。
根据下列所给条件，写出抛物线的标准方程：
(1)准线方程是x=-1/4
答案：y = x；
(2)焦点到准线的距离是2．
答案：y =4x，y = 4x，x =4y，x = 4y．
例3：一种卫星接收天线的轴截面如下图所示。卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处。已知接收天线的径口（直径）为4.8m，深度为0.5m。建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标。
定义：
平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F不在定直线l上)．定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．
探究二：
抛物线的标准方程
设定点F到定直线l的距离为p(p为已知数且大于0)．下面，我们来求抛物线的方程．怎样选择直角坐标系，才能使所得的方程取较简单的形式呢？
经过第三象限的点，有焦点在x负半轴和在y负半轴两条抛物线，
经过第四象限的点，有焦点在x正半轴和在y负半轴两条抛物线。
四．小结反思
小结：1、理解抛物线的定义,四种标准方程类型.
2、会求不同类型抛物线的焦点坐标、准线方程
3、会求抛物线标准方程
五．布置作业
讲义:抛物线及其标准方程
2_4_1抛物线及其标准方程教学设计望城职业中专周庆宇
《抛物线及其标准方程》教学设计一、教学分析（一）教学内容分析本节对拋物线定义的研究，与初中阶段二次函数的图象遥相呼应，表达了数学的和谐之美。
教材的这种安排，是为了分散难点，符合认知的渐进性原则。
学习四种标准方程及方程的推导，然后做一些简单的练习；（二）学情分析在此之前，学生已经熟练掌握二次函数图象，已经学习过圆锥曲线中的椭圆与双曲线。
（三）教学环境分析（1）教师自制的PPT课件（2）学习环境是多媒体的教室（3）通过使用计算机几何画板演示抛物线，让学生通过观察轨迹主动发现、主动探索，不但使学生的逻辑思维水平、空间现象水平得到较好的训练，而且还有效地培养了学生的发散思维和直觉思维，充分表达信息技术与数学教学整合的必要性。
（4）多媒体教学，学生能够自己控制和掌握学习主动权，发挥主体积极性，激发学生的学习兴趣，促动学生眼、耳、手、脑并用，学、练、思结合，同时学生在这种学习过程中，能持续产生成功的喜悦，增强学习数学的信心，从而真正让学生自然、和谐、健康、主动的学习【教学目标】知识与技能：（1）理解抛物线的定义、几何图形和标准方程；（2）求抛物线的标准方程，焦点坐标，准线方程。
过程与方法：从生活中的数学引入，加深学生对抛物线概念的理解，标准方程的推导，公式的应用，逐步培养学生发现问题、探索问题、解决问题的水平和创造性思维的水平。
情感、态度与价值观：面向全体学生，创造良好平等的气氛，发挥学生的主体作用，调动学生的主动性和积极性，激发学生学习的兴趣。
【教学重点、难点】教学重点是：抛物线的定义和标准方程（四种方程的差异与共同规律）教学难点是抛物线的标准方程的推导。
【教法、学法】为了很好地突出重点，突破难点，圆满地完成本节课的教学任务，取得良好的教学效果，本节课的教学方法是，提前给学生发课前的导学案，使学生提前有一个预习和对本节课整体教学结构的一个理解。
在学法上主要指导学生掌握“观察——猜测——推导——应用”这个思维方法，逐步培养学生发现问题、探索问题、解决问题的水平。
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授课者：时间：
【学习目标及要求】：
1.学习目标：
(1).使学生掌握抛物线的定义、抛物线的标准方程及其推导过程.
(2).要求学生进一步熟练掌握解析几何的基本思想方法，提高分
析、对比、概括、转化等方面的能力.
(3).通过观察实物图和一个简单实验引入抛物线的定义，可以对
学生进行理论来源于实践的辩证唯物主义思想教育.
师：如何看焦点的确定焦点位置？
椭圆：看分母。
双曲线：看符号。
抛物线：看一次项，再看一次项系数定开口 探究三：
二次函数y=ax2(a>0)的图像为以上四种形式的那一种？并求其焦
点和准线。
3.巩固练习
例1
(1)已知抛物线的标准方程是y2=6x,求它的焦点坐标和准线方程;
练习1.求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：(1)y2=20x
定义：
平面内与一定点F和一条定直线l的 距离相等的点的轨迹叫做抛物线（定点F不在定直线l上）.定点F叫做抛物线的 焦点，定直线l叫做抛物线的准线.
探究二：
抛物线的标准方程
设定点F到定直线l的距离为p（p为已知数且大于0）.下面, 我们来求抛物线的方程.怎样选择直角坐标系，才能使所得的方程 取较简单的形式呢？
例3:一种卫星接收天线的轴截面如下图所示。卫星波束呈近似平行 状态射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处。已知
接收天线的径口(直径)为4.8m,深度为0.5m。建立适当的坐标系, 求抛物线的标准方程和焦点坐标。
解题感悟：
求抛物线标准方程的步骤：
(1)确定抛物线的形式
(2)求p值
(3)写抛物线方程
二、探究精讲
探究一：叩
如图，把一根直尺固定在画图板内直线l的位置上，一块三角板的
一条直角边紧靠直尺的边缘；把一条绳子的一端固定于三角板另一 条直角边上的点A,截取绳子的长等于A到直线l的距离AC并且 把绳子另一端固定在图板上的一点F;用一支粉笔扣着绳子，紧靠着 三角板的这条直角边把绳子绷紧，然后使三角板紧靠着直尺左右滑 动，这样粉笔就描出一条曲线，这条曲线叫做抛物线.反复演示后， 请同学们思考抛物线有怎样的几何特征，并归纳抛物线的定义，教 师总结.
⑵y=2x2;⑶2y2+5x=0;⑷x2+8y=0;.
例2.已知抛物线的焦点坐标是F(0 ,2),求它的标准方程.
小结：求抛物线的标准方程的步骤。
根据下列所给条件，写出抛物线的标准方程：
(1)准线方程是x=-1/4
答案：y2= x;
⑵焦点到准线的距离是2.
答案：y2=4x, y2= 4x, x2=4y, x2= 4y.
让学生议论一下，教师启发辅导，
小结：取过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴，x轴与l交于K,以线段KF的垂直平分 线为y轴，建立直角坐标系（图2-32）.
设pT|=P则焦点F的坐标为（§,0）,准线1的方程为
抛物线上的点M（x, y）到l的距离为d,抛物 线是集合p=（M||MF|=d}.
线四种形式，完成下表
2.重点：抛物线的定义和标准方程.(解决办法：通过观察实物图 和一个简单实验与椭圆、双曲线的定义相比较引入抛物线的定义；
通过一些例题加深对标准方程的认识).
3.难点：运用坐标法建立抛物线的标准方程.
【教学过程】：
1. 新课引入：
学生观系以前所学的二次函数，引出抛物线有哪些几何特征？
注意：焦点或开口方向不定，贝U要注意分类讨论
巩固提高：求过点A (-3 , 2)的抛物线的标准方程。
师总结：经过第一象限的点，有焦点在x正半轴和在y正半轴两条
抛物线，经过第二象限的点，有焦点在x负半轴和在y正半轴两条 抛物线，
经过第三象限的点，有焦点在x负半轴和在y负半轴两条抛物线，
经过第四象限的点，有焦点在x正半轴和在y负半轴两条抛物线。