数学家 欧拉
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四、在数论方面。
•欧拉首先发现二次互反律，欧拉还引入了以他名字命名的数论中的欧拉函数
五、在几何方面
•欧拉引入了曲线的参数表示
六、在变分学方面
•研究出欧拉方程。1756年他把这个命名新学科为变分学。
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欧拉公式 欧拉函数 欧拉定理 欧拉方程
欧拉角 欧拉线
•欧拉公式
欧拉公式是指以欧拉命名的诸多公式。其中最著名的有，复变函数中的欧拉幅角公 式--将复数、指数函数与三角函数联系起来； 拓扑学中的欧拉多面体公式；初等数论中 的欧拉函数公式。 此外还包括其他一些欧拉公式，比如分式公式等等。例如：
分式里的欧拉公式
a^r/(a-b)(a-
c)+b^r/(b-c)(b-a)+c^r/(ca)(c-b) 当r=0,1时式 子的
值为0 当r=2时值 为1 当r=3时 值为a+b+c
初等数论里的欧拉公式
欧拉φ函数：φ(n)是所有小于n的正整数里，和n 互素的整数的个数。n是一个正整数。欧拉公式 欧拉证明了下面这个式子：
欧拉方程
1755年,瑞士数学家L.欧拉在《流体运动的一般原理》一书中首先提出这个方程。 在研究一些物理问题，如热的传导、圆膜的震动、电磁波的传播等问题时，常常碰到如 下形式的方程： （ax^2D^2+bxD+c）y=f(x), 其中a、b、c是常数，这是一个二
阶变系数线性微分方程。它的系数具有一定的规律：二 阶导数D^2y的系数是二次函数ax^2，一阶导数Dy的系数 是一次函数bx，y的系数是常数。这样的方程称为欧拉方 程
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• 欧拉角
•
用来确定定点转动刚体位置的3个一组独立角参量，由章动
角θ、旋进角（即进动角）ψ和自转角j组成，为欧拉首先提出
而得名。
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欧拉定理
在数论中，欧拉定理是一个关于同余的性质。欧拉定理得名于瑞士数学家莱昂哈德·欧 拉，该定理被认为是数学世界中最美妙的定理之一。此外还有平面几何中的欧拉定理、 多面体欧拉定理(在一凸多面体中，顶点数-棱边数+面数=2)。西方经济学中欧拉定理又 称为产量分配净尽定理，指在完全竞争的条件下，假设长期中规模收益不变，则全部产 品正好足够分配给各个要素。
一对应的关系。因此φ(n)的值使用算术基本定理便知， 若 n= ∏p^(α （下标p）) p|n 则φ(n)=∏(p-1)p^(α（下标p）-1)=n∏(1-1/p) p|n p|n 例如φ(72)=φ(2^3×3^2)=(2-1)2^(3-1)×(3-1)3^(2-1)=24 与欧拉定 理、费马小定理的关系 对任何两个互质的正整数a, m, m>=2有 a^φ(m)≡1(mod m) 即欧拉定理
二、在初等数学方面
•欧拉抛弃了陈旧的概念，采用新的思想方法去叙述、处理问题建立了新的初等数学体系。
欧拉的主要贡献
三、在微分方程方面
•欧拉将一类二阶方程通过变量替换化为一阶方程给出了用累次积分计算这种积分的程序 •研究了谐振子方程、谐振子的强迫振动方程，并得到了解答 •指出弦的运动是周期性的，还用三角级数表出了解。
莱昂哈德·欧拉
简介
制作：
欢迎进入
伟大的数学家 ——欧拉
生平介绍 主要贡献 纪念照片 以欧拉之名 评价
莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler ，1707年4月5日～1783 年9月18日）是瑞士数学家和物理学家。他被数学史 学者称为历史上最伟大的两位数学家之一
@ 欧拉1707年4月15日出生於瑞士的巴塞尔，1783年9月18日於俄国 的彼得堡去逝。
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欧拉线
三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心，依次位于同一直线上，这条直线就 叫三角形的欧拉线，且外心到重心的距离等于垂心到重心距离的一半。 莱昂哈德·欧 拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的重心在欧拉线上， 即三角形的重心、垂心和外心共线。他证明了在任意三角形中，以上四点共线。欧拉线 上的四点中，九点圆圆心到垂心和外心的距离相等，而且重心到外心的距离是重心到垂 心距离的一半。
*1735年，他因工作过度以致右眼失明。
*1741年，他受到普鲁士腓特烈大帝的邀请到德国科学院担任物理 数学所所长一职，长达25年。
*他在柏林期间的研究内容更加广泛，涉及行星运动、刚体运动、热 力学、弹道学、人口学等等，这些工作与他的数学研究互相推动着。 与此同时，他在微分方程、曲面微分几何及其他数学领域均有开创 性的发现
此函数以其首名研究者欧拉命名，它又称为Euler's totient function、φ函数、欧拉 商数等。 例如φ(8)=4，因为1,3,5,7均和8互质。 从欧拉函数引伸出来在环论方面的事 实和拉格朗日定理构成了欧拉定理的证明。
证明 设A, B, C是跟m, n, mn互质的数的集，据中国剩余定理，A*B和C可建立一
@欧拉出生於牧师家庭，自幼受到父亲的教育。13岁时入读巴塞尔大 学，15岁大学毕业，16岁获得硕士学位。
@1727年欧拉到俄国的彼得堡科学院从事研 究工作，并在1731年接替丹尼尔第一伯努利， 成为物理学教授。
@在俄国的14年中，他努力不懈地投入研 究工作，在分析学、数论及力学方面均有 出色的表现。此外，欧拉还应俄国政府的 要求，解决了不少如地图学、造船业等的 实际问题。
如果n的标准素因子分解式是 p1^a1*p2^a2*……*pm^am，其中众pj(j=1,2,……,m) 都是素数，而且两两不等。则有 φ(n)=n(11/p1)(1-1/p2)……(1-1/pm) 利用容斥原理可以证 明它。
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•欧拉函数 欧拉函数，在数论，对正整数n，欧拉函数是少于或等于n的数中与n互质的数的数目。
•先后发表了《无穷小分析引论》（1748）、《微分学》（1755）、《积分学》（1768） 等著作。 •给出了函数的新定义，定义了多元函数概念，引入了超越函数概念 •给出了用累次积分计算这种积分的程序 •研究了数列｛（1+1/n）n｝极限的存在性，建立了自然对数 •把实函数的许多结果形式地推广到复数域，推动了复变函数理论的发展。
*1766年，他应俄国沙皇喀德林二世的礼聘重回彼得堡
*1771年，一场重病使他的左眼亦完全 失明，但他以其惊人的记忆力和心 算技巧继续从事科学创作。他通 过与助手们的讨论以及直接口授 等方式完成了大量的科学着作， 直至生命的最后一刻。
*1783年9月18日逝世于俄国的彼 得堡
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欧拉的主要贡献
一、在微积分Hale Waihona Puke Baidu面
•欧拉首先发现二次互反律，欧拉还引入了以他名字命名的数论中的欧拉函数
五、在几何方面
•欧拉引入了曲线的参数表示
六、在变分学方面
•研究出欧拉方程。1756年他把这个命名新学科为变分学。
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欧拉公式 欧拉函数 欧拉定理 欧拉方程
欧拉角 欧拉线
•欧拉公式
欧拉公式是指以欧拉命名的诸多公式。其中最著名的有，复变函数中的欧拉幅角公 式--将复数、指数函数与三角函数联系起来； 拓扑学中的欧拉多面体公式；初等数论中 的欧拉函数公式。 此外还包括其他一些欧拉公式，比如分式公式等等。例如：
分式里的欧拉公式
a^r/(a-b)(a-
c)+b^r/(b-c)(b-a)+c^r/(ca)(c-b) 当r=0,1时式 子的
值为0 当r=2时值 为1 当r=3时 值为a+b+c
初等数论里的欧拉公式
欧拉φ函数：φ(n)是所有小于n的正整数里，和n 互素的整数的个数。n是一个正整数。欧拉公式 欧拉证明了下面这个式子：
欧拉方程
1755年,瑞士数学家L.欧拉在《流体运动的一般原理》一书中首先提出这个方程。 在研究一些物理问题，如热的传导、圆膜的震动、电磁波的传播等问题时，常常碰到如 下形式的方程： （ax^2D^2+bxD+c）y=f(x), 其中a、b、c是常数，这是一个二
阶变系数线性微分方程。它的系数具有一定的规律：二 阶导数D^2y的系数是二次函数ax^2，一阶导数Dy的系数 是一次函数bx，y的系数是常数。这样的方程称为欧拉方 程
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• 欧拉角
•
用来确定定点转动刚体位置的3个一组独立角参量，由章动
角θ、旋进角（即进动角）ψ和自转角j组成，为欧拉首先提出
而得名。
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欧拉定理
在数论中，欧拉定理是一个关于同余的性质。欧拉定理得名于瑞士数学家莱昂哈德·欧 拉，该定理被认为是数学世界中最美妙的定理之一。此外还有平面几何中的欧拉定理、 多面体欧拉定理(在一凸多面体中，顶点数-棱边数+面数=2)。西方经济学中欧拉定理又 称为产量分配净尽定理，指在完全竞争的条件下，假设长期中规模收益不变，则全部产 品正好足够分配给各个要素。
一对应的关系。因此φ(n)的值使用算术基本定理便知， 若 n= ∏p^(α （下标p）) p|n 则φ(n)=∏(p-1)p^(α（下标p）-1)=n∏(1-1/p) p|n p|n 例如φ(72)=φ(2^3×3^2)=(2-1)2^(3-1)×(3-1)3^(2-1)=24 与欧拉定 理、费马小定理的关系 对任何两个互质的正整数a, m, m>=2有 a^φ(m)≡1(mod m) 即欧拉定理
二、在初等数学方面
•欧拉抛弃了陈旧的概念，采用新的思想方法去叙述、处理问题建立了新的初等数学体系。
欧拉的主要贡献
三、在微分方程方面
•欧拉将一类二阶方程通过变量替换化为一阶方程给出了用累次积分计算这种积分的程序 •研究了谐振子方程、谐振子的强迫振动方程，并得到了解答 •指出弦的运动是周期性的，还用三角级数表出了解。
莱昂哈德·欧拉
简介
制作：
欢迎进入
伟大的数学家 ——欧拉
生平介绍 主要贡献 纪念照片 以欧拉之名 评价
莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler ，1707年4月5日～1783 年9月18日）是瑞士数学家和物理学家。他被数学史 学者称为历史上最伟大的两位数学家之一
@ 欧拉1707年4月15日出生於瑞士的巴塞尔，1783年9月18日於俄国 的彼得堡去逝。
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欧拉线
三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心，依次位于同一直线上，这条直线就 叫三角形的欧拉线，且外心到重心的距离等于垂心到重心距离的一半。 莱昂哈德·欧 拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的重心在欧拉线上， 即三角形的重心、垂心和外心共线。他证明了在任意三角形中，以上四点共线。欧拉线 上的四点中，九点圆圆心到垂心和外心的距离相等，而且重心到外心的距离是重心到垂 心距离的一半。
*1735年，他因工作过度以致右眼失明。
*1741年，他受到普鲁士腓特烈大帝的邀请到德国科学院担任物理 数学所所长一职，长达25年。
*他在柏林期间的研究内容更加广泛，涉及行星运动、刚体运动、热 力学、弹道学、人口学等等，这些工作与他的数学研究互相推动着。 与此同时，他在微分方程、曲面微分几何及其他数学领域均有开创 性的发现
此函数以其首名研究者欧拉命名，它又称为Euler's totient function、φ函数、欧拉 商数等。 例如φ(8)=4，因为1,3,5,7均和8互质。 从欧拉函数引伸出来在环论方面的事 实和拉格朗日定理构成了欧拉定理的证明。
证明 设A, B, C是跟m, n, mn互质的数的集，据中国剩余定理，A*B和C可建立一
@欧拉出生於牧师家庭，自幼受到父亲的教育。13岁时入读巴塞尔大 学，15岁大学毕业，16岁获得硕士学位。
@1727年欧拉到俄国的彼得堡科学院从事研 究工作，并在1731年接替丹尼尔第一伯努利， 成为物理学教授。
@在俄国的14年中，他努力不懈地投入研 究工作，在分析学、数论及力学方面均有 出色的表现。此外，欧拉还应俄国政府的 要求，解决了不少如地图学、造船业等的 实际问题。
如果n的标准素因子分解式是 p1^a1*p2^a2*……*pm^am，其中众pj(j=1,2,……,m) 都是素数，而且两两不等。则有 φ(n)=n(11/p1)(1-1/p2)……(1-1/pm) 利用容斥原理可以证 明它。
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•欧拉函数 欧拉函数，在数论，对正整数n，欧拉函数是少于或等于n的数中与n互质的数的数目。
•先后发表了《无穷小分析引论》（1748）、《微分学》（1755）、《积分学》（1768） 等著作。 •给出了函数的新定义，定义了多元函数概念，引入了超越函数概念 •给出了用累次积分计算这种积分的程序 •研究了数列｛（1+1/n）n｝极限的存在性，建立了自然对数 •把实函数的许多结果形式地推广到复数域，推动了复变函数理论的发展。
*1766年，他应俄国沙皇喀德林二世的礼聘重回彼得堡
*1771年，一场重病使他的左眼亦完全 失明，但他以其惊人的记忆力和心 算技巧继续从事科学创作。他通 过与助手们的讨论以及直接口授 等方式完成了大量的科学着作， 直至生命的最后一刻。
*1783年9月18日逝世于俄国的彼 得堡
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欧拉的主要贡献
一、在微积分Hale Waihona Puke Baidu面