多自由度系统受迫振动的Stroh公式

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这里的# 是一个!&! 的单位矩阵。 由于 & 是正定的对称矩阵， 可逆， 即 & !’存在， 所以可以找到式 （ ） 等号右侧矩阵的逆矩阵， 有 % !"& 用式 （ ） 的第一个矩阵式左乘式 （ ） ， 可得到 ( % 这里
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其中
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* 受迫振动的初值问题
多自由度系统自由振动的方程
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（ ） ’ ( （ ） ’ ) （ ） ’ , （ ） * "
对应的初值条件为 （ ） + " $. 设方程的解为
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共轭， 可以将它们表示为 （! ， *， …， ） " $! . / 0 ’ ! ! # # # （ "， ） % ! " $ $ " 令 （ ， *， …， ） ($ $ $ ’ $ ! （ ，*， …， ） )$ % % ’ % ! ） 、 式 （ ） 和式 （ ） 改写为 利用上述定义可以将式 （ + 1 )
第 -期
赵宝生， 等： 多自由度系统受迫振动的 0 1 2 3 4公式
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! ! ! ""! # "$# ） 代入初值条件 （ ） 中， 并根据等式 （ ） 和 （ ） ， 有 将方程的解 （ " % " & $ ’ $ " * * ［! ［! $ !$ ( ) ! ］ ( )wk.baidu.com# ］ & #! %#$ ’
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% ) KM （& J! ’） ( ! 式 （ ） 和式 （ ） 的矩阵形式是 A B
收稿日期： 。 ! $ $ # F $ D F % $ 万方数据 作者简介： 赵宝生 （ ， 男， 吉林四平人， 副教授。 % " D @ M）
（ ） B
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鞍山科技大学学报
第* ,卷
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! ( 2" ( " 2" ( " 2 &( " " $" # ) $ " ( 2 &( " ’’ ’*# ( ( ! ( ( " " $ # ’+ ’’$ ) ) " ) ) " " ［ ］ 3 根据多自由度系统的 4 5 6 7 8理论 有 # # # # # # # # ( ) ( 2( ) $ ) ( 2( ) $ ( ) 2( ) $) ( 2) ( $# ’ # # # # # # # # ) ) ( 2( ) $ ) ( 2( ) $ ( ( 2( ( $) ) 2) ) $"
［ ］ B 赵宝生和王敏中 根据 7 给出多自由度振动的 7 ! $ $ B年， 5 ) ’ 0 理论， 5 ) ’ 0 理论和 G + I 4 5 5 F H ’ 5 0 4张 量， 并利用该理论解答了多自由度系统自由振动的初值问题。本文继续这方面的研究， 利用 7 5 ) ’ 0 理论 ［ ， ］ % !
［! ［! ( !$ ( ) ! ! ］ ( ) ! # ］ & #! ! %#$ ’
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利用等式 （ ） 和 （ ） 解得 " , " -
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鞍山科技大学学报 < ’ , = ! "> ’ = # ， ? 4 8 = ! $ $ # & ’ ( ) * + , ’ -. * / 0 + *1 * 2 3 4 ) / 2 5 7 8 2 4 * 8 4 + * 9: 4 8 0 * ’ , ’ 6’ ; 6 ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !
摘
要： 尤其在平面问题中经常被应用。由于其本征方程与多自由 7 5 ) ’ 0理论在弹性力学中应用非常广泛， 度振动的方程非常相似， 本文利用 7 理论的方法解决多自由度受迫振动的初值问题。 5 ) ’ 0
关键词： 受迫振动； 本征值； 本征向量 7 5 ) ’ 0理论； 中图分类号： （ ） E @ ! % 文献标识码： . 文章编号： % # D ! F A A % $ ! $ $ # $ # F $ B C % F $ @ 自被提出以后， 被广泛地应用在材料科学、 应用数学和物理学中。在各向异性材料的 7 5 ) ’ 0理论 ［ ， ］ @ A 半无限条、 薄板、 压电材料的断裂、 夹杂等问题中 。由于 G 可以得到只与材 + ) * 4 5 5 F H ’ 5 0 4张量的关系， 料的弹性常数有关的解。 传统上， 解决多自由度振动的问题时， 需要事先找到系统的固有频率 （特征值） 和固有振型 （特征向 量） 。然而， 在弹性力学的 7 虽然有与多自由振动相似的本征方程， 但是通过 G 5 ) ’ 0理论中， + I 4 5 5 F H ’ 5 0 4 张量， 不需要求得系统的固有频率和固有振型， 而直接获得结果。
来研究多自由度受迫振动的问题， 获得的解只与系统质量矩阵、 阻尼矩阵和刚度矩阵有关， 而不需要先 求出频率和振型。
［ ］ B % 多自由度振动的 7 5 ) ’ 0理论
! 维系统振动的齐次方程是 " % （ ） ! # J$ # J& # K$ % : 如果 ! 、 和 都是 正定的对称矩阵， 任取一个满足 的矩阵 ， 将式 （ ） 分解， 并设 $ & !L! $K’J’ ’ % ! " （ ） （ ） # " K( 4 ! 代入式 （ ） 中， 并利用指数函数值总大于零的性质， 原方程变为 % ! ｛ （’ J’:） （ ） & J! ( K$ @ J! ! ｝ 令 （’: J! （ ） )K !） ( A ） 可知， 根据式 （ @ ) 还可以写成
（
）
5
（
）
+ 结
论
求解多自由度受迫振动的初值问题的传统方法都需要事先得到系统的固有频率 （本征值） 和固有振 型 （本征向量） ， 而利用从 0 （ ） ， 则省去了这个步骤， 直接得到受迫振动初值问题的 1 2 3 4 理论获得的式 $ 6 解。由此可以发现， 它在各种领域的应用非常值得研究。 0 1 2 3 4理论的应用非常广泛， 参 考 文 献：
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第! "卷 第 #期 ! $ $ #年 % !月
多自由度系统受迫振动的 7 5 ) ’ 0 公式
赵宝生%， 高 阳!， 王敏中@
（ 辽宁科技大学 机械工程与自动化学院， 辽宁 鞍山 % ； 中国农业大学 理学院， % = % A $ B % ! = 北京 % ； 北京大学 湍流与复杂系统国家重点实验室， 北京 % ） $ $ $ C @ @ = $ $ C D %