1一元多项式的带余除法
数域上的一元多项式的带余除法及其应用
莆田学院数学与应用数学系《高等代数选讲》课程论文题目数域上一元多项式环中的带余除法及其应用学生姓名黄秋秋学号010401018专业数学与应用数学（师范）班级数学1012013年 6 月 6 日数域上的一元多项式环中的带余除法及其应用摘要：本文通过介绍了数域上的一元多项式在环数域上的带余除法的定理，证明以及它的两种计算格式和两种求带余除法的算法—辗转相除法和其在数域上的应用并举例子来说明带余除法的广泛用法。
关键词：一元多项式 带余除法 算法一、数域上的一元多项式环中的带余除法的定义与性质[1]带余除法的定义：对于[]p x 中任意两个多项式()f x 与()g x ，其中()0g x ≠。
一定有[]p x 中多项式()q x ，()r x 存在，使()()()()f x q x g x r x =+成立。
其中()()()()r x g x ∂<∂或()0r x =。
并且这样的()q x ，()r x 是唯一决定的。
证明：存在性()1()0f x =，取()()0q x r x ==。
()2设()0f x ≠，令()(),f x g x 的次数分别为,n m 对()f x 的次数n 作数学归纳当n m <时，显然()0q x =，()()r x f x =成立。
当n m ≥时，令,n m ax bx 分别为()(),f x g x 的首项。
显然()1n m b ax g x --与()f x 有相同的首项，因而多项式()()()11n m f x f x b ax g x --=-的次数小于n 或0。
对于次数为0，取()1n m q x b ax --=，()0;r x =对于次数小于n ，由归纳法假设，对()()1,f x g x 有()()11,q x r x 存在。
使 ()()()()111f x q x g x r x =+，其中()()()()1r x g x ∂<∂或者()10r x =。
高等代数多项式 一元多项式 整除的概念
又 f ( x), g( x) 均为实系数多项式 ， 从而必有 g( x) h( x) 0. f ( x) g( x) h( x) 0. (2) 在 C上不成立．如取 f ( x) 0, g( x) ix, h( x) x
二、多项式环
定义 所有数域 P中的一元多项式的全体称为数域
使得 f1 x q1 x g x r1 x
其中 r1 x < g( x) 或者 r1( x) 0. 于是
f x b1axnm q1 x g x r1 x.
即有 q( x) b1axnm q1 x , r x r1 x 使
f ( x) q( x)g( x) r( x),
成立． 由归纳法原理，对 f ( x), g( x) 0, q( x),r( x)
的存在性得证．
再证唯一性．
若同时有 f x q x g x r x,
其中 r x g x或r x＝0.
③ 若 a0 a1 an 0 ，即 f ( x) 0，则称之 为零多项式．零多项式不定义次数．
区别：
零多项式 f ( x) 0 零次多项式 f ( x) a, a 0 , ( f ( x))=0.
2．多项式的相等
若多项式 f ( x) 与 g( x) 的同次项系数全相等，则 称 f ( x)与 g( x)相等，记作 f ( x) g( x).
n
f ( x) an xn an1xn1 L a1x a0 ai x i ,
i0 m
g( x) bm xm bm1 xm1 b1x b0 bj x j ,
高等代数
7．矩阵的迹、方阵多项式；
8．广义逆矩阵。
（4）线性方程组求解
1．线性方程组有解的充分必要条件；
2．Gauss消元法；
3．三角分解。
（5）线性空间和线性变换；
1．向量的线性相关和线性无关；
3．矩阵的Jordan标准形及其唯一性；
4．初等因子和不变因子；
5．矩阵函数。
（10）极限和范数
1．向量和矩阵的极限；
2．向量范数和范数等价定理；
3．相容范数和从属范数；
4．矩阵依范数的收敛性。
（11）Sturm定理及其应用
2．特征向量、特征子空间、度数和重数；
3．非亏损矩阵的完全特征向量系和谱分解；
4．特征值估计的圆盘定理；
5．三对角矩阵的特征值与Sturm定理。
（7）内积空间和等积变换
1．Euclid空间的标准正交基，施密特（Schmidt）正交化；
2．Gram行列式；
3．正交变换及其矩阵表示；
4．初等旋转和镜像变换；
5．QR分解；
6．酉空间和酉变换；
7．正交相似变换和酉相似变换；
8．向量到子空间的距离、最小二乘。
（8）二次型和对称矩阵
1．二次型及其标准形、惯性定理；
2．实对称矩阵正定的充分必要条件；
（9）实对称矩阵及其性质
（10）矩阵Jordan标准型的计算及其应用
（11）矩阵范数与矩阵收敛
3．Rayleign商；
4．极大－极小原理、极小－极大原理；
5．正定矩阵的开方和Cholesky分解；
6．Hermite型和Hermite矩阵；
一元多项式的定义和运算讲解
令f (x)是F [x]的一个次数大于零的多项式，并且
此处
定理 2.4.2
例 在有理数域上分解多项式 为不可约因式的乘积.容易看出
（2）
一次因式x + 1自然在有理数域上不可约.我们证明， 二次因式 也在有理数域上不可约.不然的话, 将能写成有理数域上两个次数小于2的因式 的乘积，因此将能写成
这个定义的条件也可以用另一种形式来叙述
若多项式 有一个非平凡因式 而 ，那么 与 的次数显然都小于 的次数.反之，若 能写成两个这样的多项式的乘积，那么 有非平凡因式.因此我们可以说：
这里
多项式的减法
2.1.5 多项式加法和乘法的运算规则
（1）加法交换律:
（2）加法结合律:
（3）乘法交换律:
（4）乘法结合律:
（5）乘法对加法的分配律:
注意：
要把一个多项式按“降幂”书写
当
时，
叫做多项式的首项.
2.1.6 多项式的运算性质
定理
是数环R上两个多项式,并且
定义 2
设 是多项式 与 的一个公因式.若是 能被 与 的每一个公因式整除,那么 叫做 与 的一个最大公因式.
定义 1
的任意两个多项式 与 一定有最大公因式.除一个零次因式外, 与 的最大公因式是唯一确定的,这就是说，若 是 与 的一个最大公因式，那么数域F的任何一个不为零的数 c与 的乘积 ，而且当 与 不全为零多项式时，只有这样的乘积是 与 的最大公因式.
由此得出，
是
与
的最大公因式，而
定理 2.3.3
的两个多项式 与 互素的充分且必要条 件是：在 中可以求得多项式 与 ，使
高等代数第二章
q x , r x F[ x], 使得 f x g x q x r x
这里 r x 0 ，或者 0 r x 0 g x .
并且满足上述条件的 q x 和r ( x) 只有一对。
注1： q x , r x 分别称为 g x 除f ( x )所得的商式和 余式 注2： g x 0, g x | f x r x 0.
证：先证定理的前一部分——存在性.
（i）若 f x 0 , 或
0 f x 0 g x .
则可以取
q x 0, r x f x 0 0 g x . 把f x 和g ( x) f x , 且 （ii）若 f x 0
g x 不能整除 f x ，记为
二、 多项式整除性的一些基本性质
（1） h x | g x , g x | f x h x | f x
（2） h x | f x , h x | g x h x | f x g x
f x a 0 a1 x a 2 x 2 a n x n
g x b0 b1 x b2 x 2 bm x m
2
f(x)和g(x)的乘法定义为
f x g x c 0 c1 x c 2 x c n n x
证 由 f x g x f x hx 得 f x g x h x 0 。但
f x 0。所以由推论1必有 g x h x 0 ,即
g x h x
例
当 a, b, c 是什么数时，多项式
多项式带余除法定理证明
多项式带余除法定理证明一、多项式带余除法定理设f(x)，g(x)是数域P上的两个多项式，g(x)≠0，则在数域P上存在唯一的一对多项式q(x)，r(x)，使得f(x)=q(x)g(x)+r(x)，其中r(x)=0或者∂(r(x))<∂(g(x))。
这里∂(p(x))表示多项式p(x)的次数。
二、证明存在性1. 当f(x) = 0或者∂(f(x))<∂(g(x))时- 取q(x)=0，r(x)=f(x)，显然f(x)=0× g(x)+f(x)满足f(x)=q(x)g(x)+r(x)且r(x) = f(x)满足r(x)=0或者∂(r(x))<∂(g(x))。
2. 当∂(f(x))≥slant∂(g(x))时- 设f(x)=a_nx^n + a_{n - 1}x^n-1+·s+a_1x + a_0，g(x)=b_mx^m + b_{m - 1}x^m-1+·s+b_1x + b_0，其中n≥slant m。
- 令f_1(x)=f(x)-(a_n)/(b_m)x^n - mg(x)。
- 那么∂(f_1(x))<∂(f(x))。
- 如果f_1(x)=0或者∂(f_1(x))<∂(g(x))，则取q(x)=(a_n)/(b_m)x^n - m，r(x)=f_1(x)，有f(x)=q(x)g(x)+r(x)。
- 如果∂(f_1(x))≥slant∂(g(x))，对f_1(x)重复上述过程。
- 由于f(x),f_1(x),·s的次数不断降低，经过有限次这样的步骤后，必然得到f_k(x)=0或者∂(f_k(x))<∂(g(x))。
- 假设经过k次得到，此时q(x)=(a_n)/(b_m)x^n - m+·s（由每次构造q(x)的部分相加得到），r(x)=f_k(x)，满足f(x)=q(x)g(x)+r(x)。
三、证明唯一性1. 假设存在两组不同的q_1(x),r_1(x)和q_2(x),r_2(x)满足条件- 即f(x)=q_1(x)g(x)+r_1(x)，其中r_1(x)=0或者∂(r_1(x))<∂(g(x))；f(x)=q_2(x)g(x)+r_2(x)，其中r_2(x)=0或者∂(r_2(x))<∂(g(x))。
多项式
(2) 数域 P 上的多项式 g(x) 称为整除
f (x) ，如果有数域 P 上的多项式 h(x) 使等式 f (x) = g(x) h (x)
成立. 我们用“g(x) | f (x)”表示 g(x) 整除 f (x) ，
用“g(x) | f (x)”表示 g(x) 不能整除 f (x) . 当 g(x) | f (x) 时， g(x) 就称为 f (x) 的因式， f (x) 称为 g(x) 的倍式.
的一个最大公因式.
(2) 最大公因式有以下性质：
1) P[x]中任意两个多项式f(x)与g(x)一定有最大 公因式. 两个零多项式的最大公因式是零多项式， 它是唯一确定的. 两个不全为零的多项式的最大 公因式总是非零多项式，它们之间只有常数因子 的差别；这时，首系数为1的最大公因式是唯一 确定的. f(x)与g(x)的首系数为1的最大公因式记为 (f(x), g(x)).
注：由于重因式一定是不可约因式，所以f (x)的
重因式也和所在的数域有关.
(3) 关于重因式有下列结论：
1) 如果不可约多项式 p(x) 是 f (x) 的 k重因式
(k 1)，那么它是导数 f (x) 的 k - 1 重因式. 特别
(2) 不可约多项式 p(x) 称为多项式 f (x)
的 k 重因式，如果 pk(x) | f (x) , pk+1(x) | f (x) . 如果 k = 0 , 那么 p(x) 根本不是 f (x) 的因式；
如果 k = 1 , 那么 p(x) 称为 f (x) 的单因式； 如果
k > 1 , 那么 p(x) 称为 f (x) 的重因式.
2) 设f (x) , g(x) 是P[x] 中两个多项式，g(x) 0，
线性代数下01多项式概念与带余除法
Example 8.2 (P.5) f ( x) x 4 x 5x 2
3 2
find
Solution:
f ( 3)
1 + 1 4 3 7 5 21 16 2 48 46
3
f ( x ) ( x 2 7 x 16)( x 3) 46 f ( 3) 46
●
9
f ( x ) an x n an 1 x n 1 a1 x a0 q( x ) bn 1 x n 1 bn 2 x n 2 b1 x b0 f ( x ) q( x )( x ) r r f ( )
an bn 1 an 1 bn 2 bn 1 an 2 bn 3 bn 2 a1 b0 b1 a0 r b0 an bn 1 an 1 bn 1 bn 2 an 2 bn 2 bn 3 a1 b1 b0 a0 b0 r f ( )
整数环 整数总是可以比较大小 有些整数有整除关系 有素数和合数 整数有唯一素因数分解 整数有公因数和公倍数 整数有带余除法
多项式环F[x]
6
问题：整数环与多项式环中能否做除法？如何改进？ 例如:猴子分桃问题
三、带余除法
定理1 设f(x), g(x)∈F [x], g(x)≠0, 则∃唯一的 q(x), r(x)∈F[x], s.t. f (x) = q(x)g(x) + r(x) 其中，deg r(x) < deg g(x). (规定：deg 0= ∞) 证明思路：存在性:分情况讨论+对次数归纳；唯一性 注记： f (x)称为被除式, g(x)称为除式, q(x)称为商式(quotient) r(x)称为余式(remainder) 当r(x)=0时，称f(x)能被g(x)整除，记为g(x) | f(x).
多项式复习
第一章 多项式(小结、复习)一元多项式理论,主要讨论了三个问题:整除性理论(整除,最大公因式,互素);因式分解理论(不可约多项式,典型分解式,重因式);根的理论(多项式函数,根的个数).其中整除性是基础,因式分解是核心.一、基本概念.1.一元多项式(零多项式),多项式的次数.多项式的相等,多项式的运算,一元多项式环.2．基本结论:(1) 多项式的加法,减法和乘法满足一些运算规律.(2) 其中所涉及的多项式均非零。
)).(())(())()(())),(()),((max())()((000000x g x f x g x f x g x f x g x f ∂+∂=∂∂∂≤+∂(3) 多项式乘积的常数项(最高次项系数)等于因子的常数项(最高次项系数)的乘积.二、整除性理论1.整除的概念及其基本性质.2.带余除法定理. 对于中任意两个多项式与，其中，一定有中的多项式存在，使][x P )(x f )(x g 0)(≠x g ][x P )(),(x r x q )()()()(x r x g x q x f += (1)成立，其中或者))(())((x g x r ∂<∂0)(=x r ，并且这样的是唯一决定的.)(),(x r x q 带余除法中所得的通常称为除的商，称为除的余式。
)(x q )(x g )(x f )(x r )(x g )(x f 整除的的判定：设(),()[]()0,()|()f x g x F x g x g x f x ∈≠，()()g x f x ⇔除 所得. 因此多项式的整除性不因数域的扩大而改变.()0r x =余式整除的性质（1）任一多项式一定整除它自身.)(x f （2）任一多项式都能整除零多项式0.)(x f（3）零次多项式，即非零常数，能整除任一个多项式.（4）若，则)(|)(),(|)(x f x g x g x f )()(x cg x f =,其中c 为非零常数.（5）若，则（整除的传递性）.)(|)(),(|)(x h x g x g x f )(|)(x h x f （6）若，则r i x g x f i ,,2,1),(|)(L =))()()()()()((|)(2211x g x u x g x u x g x u x f r r +++L ,其中是数域)(x u i P 上任意的多项式.3. 最大公因式和互素.(1) 最大公因式,互素的概念. 设与是中两个多项式. 中多项式称为，的一个公因式,如果它满足下面两个条件：)(x f )(x g ][x P ][x P )(x d )(x f )(x g 1）是与的公因式；)(x d )(x f )(x g 2），的公因式全是的因式.)(x f )(x g )(x d （2）如果有等式)()()()(x r x g x q x f += (1)成立，那么，和，有相同的公因式.)(x f )(x g )(x g )(x r （3） 对于的任意两个多项式，，在中存在一个最大公因式，且可以表成，的一个组合，即有中多项式使][x P )(x f )(x g ][x P )(x d )(x d )(x f )(x g ][x P )(),(x v x u )()()()()(x g x v x f x u x d +=. (2)其逆不成立.例如令1)(,)(+==x x g x x f ,则122)1)(1()2(2−+=−+++x x x x x x .但显然不是与的最大公因式.1222−+x x )(x f )(x g (4)首系为1的为()d x ()(),f x g x 的最大公因式 ①(),,,deg deg ,d f d g x f g d ϕϕ⇔∀⇒≤即为公因式中次数最大者 ②()()[]()()()()(),,,,..d f d g u x v x F x s t d x u x f x v x g x ⇔∃∈=+ ③(){}d x uf vg ⇔+为形如的多项式中次数最低者 ④①→②显然。
多项式理论
注：
①
f1 ( x ), f 2 ( x ), , f s ( x ) 的最大公因式一定存在．
ห้องสมุดไป่ตู้
其中 a0 , a1 , an P , 称为数域P上的一元多项式．
常用 f ( x ), g( x ), h( x ) 等表示．
注： 多项式 f ( x ) an x n an1 x n1 a1 x a0 中，
ai x i 称为i次项，a i 称为i次项系数． ① an x n 为 f ( x )的首项， n 为首项 a ② 若 an 0, 则称
f ( x ) g( x ) m n, ai bi , i 0,1,2, , n .
3．多项式运算性质
1) f ( x ) g( x ) 为数域 P上任意两个多项式，则
f ( x ) g( x ), f ( x ) g( x ) 仍为数域 P上的多项式．
2) f ( x ), g( x ) P[ x ]
二、整除
1．定义
设 f ( x ), g( x ) P[ x ], 若存在 h( x ) P[ x ] 使
f ( x ) g( x )h( x )
则称 g( x ) 整除 f ( x ), 记作 g( x ) | f ( x ). ① g( x ) | f ( x ) 时， 称 g( x )为 f ( x )的因式， f ( x ) 为 g( x ) 的倍式．
② g( x ) 不能整除 f ( x ) 时记作： g( x ) | f ( x ).
③ 允许 g( x ) 0，此时有 0 0h( x ), h( x ) P[ x ]
即 0 0.
区别：
21一元多项式的定义和运算
第二章 多项式§2.1一元多项式的定义和运算1．设),(x f )(x g 和)(x h 是实数域上的多项式．证明：若是 (6) 222)()()(x xh x xg x f +=， 那么.0)()()(===x h x g x fFor personal use only in study and research; not for commercial use2．求一组满足（6）式的不全为零的复系数多项式)(),(x g x f 和).(x h 3．证明：!))...(1()1(!)1)...(1()1(!2)1(1n n x x n n x x x x x x nn---=+---+--+-Λ§2.2 多项式的整除性1．求)(x f 被)(x g 除所得的商式和余式： ( i ) ;13)(,14)(234--=--=x x x g x x x f (ii) ;23)(,13)(3235+-=-+-=x x x g x x x x f 2．证明：k x f x )(|必要且只要).(|x f x3．令()()()x g x g x f x f 2121,,),(都是数域F 上的多项式，其中()01≠x f 且()()()()()().|,|112121x g x f x f x f x g x g 证明：()().|22x f x g4．实数q p m ,,满足什么条件时多项式12++mx x 能够整除多项式.4q px x ++ 5．设F 是一个数域，.F a ∈证明：a x -整除.n n a x - 6．考虑有理数域上多项式()()()()()(),121211nkn k nk x x x x x x f ++++++=-++Λ这里k 和n 都是非负整数．证明：()()().11|1n k 1+++++-x x f x x k7．证明：1-d x 整除1-n x 必要且只要d 整除.n §2.3 多项式的最大公因式1. 计算以下各组多项式的最大公因式：( i ) ()();32103,34323234-++=---+=x x x x g x x x x x f(ii) ()().1)21(,1)21()42()22(2234i x i x x g i x i x i x i x x f -+-+=----+-+-+=2. 设()()()()()().,11x g x d x g x f x d x f == 证明：若()()(),),(x d x g x f =且()x f 和()x g 不全为零，则()();1),(11=x g x f 反之，若()(),1),(11=x g x f 则()x d 是()x f 与()x g 的一个最大公因式．3. 令()x f 与()x g 是][x F 的多项式，而d c b a ,,,是F 中的数，并且0≠-bc ad证明：()()()()()()).,(),(x g x f x dg x cf x bg x af =++4． 证明：（i ）h g f ),(是fh 和gh 的最大公因式； （ii ）),,,,(),)(,(212121212211g g f g g f f f g f g f = 此处h g f ,,等都是][x F 的多项式。
多项式理论
an x n 为 f ( x )的首项， n 为首项 a 首项， ② 若 an ≠ 0, 则称
系数， 次数， 系数，n 称为多项式 f ( x ) 的次数，记作 ∂ ( f ( x ))=n . ③ 若 a0 = a1 = ⋅ ⋅ ⋅ = an = 0 ，即 f ( x ) = 0，则称之 为零多项式．零多项式不定义次数． 零多项式．零多项式不定义次数．
n n −1
+ L + a1 x + a0 ,
g ( x ) = bm x m + bn−1 x m −1 + ⋅ ⋅ ⋅ + b1 x + b0 ,
f ( x ) = g ( x ) ⇔ m = n, ai = bi , i = 0,1,2, ⋅ ⋅ ⋅, n .
3．多项式运算性质 ．
1) f ( x ) g ( x ) 为数域 P上任意两个多项式，则 上任意两个多项式， 上任意两个多项式
∂ ( f ( x ) g ( x )) = ∂ ( f ( x )) + ∂ ( g ( x ))
f ( x ) g ( x ) 的首项系数 = f ( x ) 的首项系数× g ( x ) 的首项系数 的首项系数× 的首项系数.
3) 运算律
f ( x ) + g( x ) = g( x ) + f ( x ) ( f ( x ) + g( x )) + h( x ) = f ( x ) + ( g ( x ) + h( x )) f ( x ) g( x ) = g( x ) f ( x ) ( f ( x ) g ( x ))h( x ) = f ( x )( g( x )h( x )) f ( x )( g( x ) + h( x )) = f ( x ) g ( x ) + f ( x )h( x )
一元多项式
所以 r2 x就是 f x与 gx的最大公因式：
f x, gx x 3
定理 1.4.2
若dx 是 P[x] 的多项式 f x与 gx的最大公因 式，那么在 P[x] 里可以求得多项式 ux与vx ，
二、教学目的
1．掌握一元多项式整除的概念及其性质。 2．熟练运用带余除法。
三、重点、难点
多项式的整除概念，带余除法定理
1.3.1 多项式的整除概念
设P是一个数域. P[x]是P上一元多项式.
定义1
设f x, gx P[x] ，如果存在 hx P[x] ，使得
f x gxhx，则称 gx整除 f x ，记为
3
虽然 a1,b1, a2,b2 Z，
不一定属于Z ，所以
不是数域.
a1aa不222 一33bb定122b2属, a于a2b221Z(3ab132b2)2
，因此 Z (
3)
定理1.1 任何数域都包含有理数域 Q. (有理数域是最小的数域).
定理1.2 若数域 P R，则P C. (实数域和复数域之间没有其它的数域).
则 (a1 a2) b1 b2 2 Q 2 ，
a1 b1 2 a2 b2 2
(a1a2 2b1b2 ) a1b2 a2b1 2 Q 2
显然，Q Q( 2) R.
再设 a2 b2 2 0, 即 a2,b2 不全为零，从
而 a2 b2 2 0 ， a1 b1 2 a1 b1 2 a2 b2 2 a2 b2 2 a2 b2 2 a2 b2 2
a 叫做 i 次项, i叫做 i 次项的系数.
注 2：在一个多项式中，可以任意添上或去掉一些系
数为零的项；若是某一个i次项的系数是1 ，那 么这个系数可以省略不写。
高等代数知识点总结
• 当c1,...,cr不全为0时，必有c11+...+crr0 • 当c11+...+crr＝0时，必有c1＝...＝cr＝0 • 1,...,r的秩数等于r • (1,...,r)是列满秩矩阵
28
极大无关组与秩数：
1. 1,...,rS是S的一个极大无关组当且仅当 ① 1,...,r线性无关 ② S的每个向量都可由1,...,r线性表示
22
两种常用方法
1.分块矩阵的初等变换和Schur公式
• 把初等变换和初等矩阵的思想用到分块矩阵 • Schur公式 设A可逆
I
CA1
O I
A C
B D
A O
B
D CA1B
A C
B D
I O
A1B
A
I B
O
D CA1B
I
CA1
O I
A C
B D
I O
按第k行 第k列展开
Laplace定理
|aij| = ak1Ak1+…+aknAkn = a1kA1k+…+ankAnk
| A | j1
jk
式
A
i1 j1
ik jk
代余式
A
i1 j1
ik
jk
aj1Ak1+…+ajnAkn = a1jA1k+…+anjAnk =jk|aij|
分块三角矩阵的行列式
对称多项式基本定理 每个对称多项式，都可唯一
地表示成初等对称多项式的多项式
10
运算
行列式
一元多项式在中学数学中的应用
【标题】一元多项式在中学数学中的应用【作者】陆应华【关键词】一元多项式带余除法整除韦达定理【指导老师】罗颂【专业】数学与应用数学【正文】1、引言数学竞赛不仅是选拔数学尖子生，更重要的是培养学生对数学的兴趣和数学思想的推广，所以数学竞赛也越来越受人们的青睐。
当今科技的进步在很大程度是数学的发展，今天科技即是数学，因此数学无论是在升学考试和各级选拔人才的考试中也是很重要的在中学数学竞赛当中多项式是一个重点。
多项式是各级各类数学竞赛的热点内容，它的研究和讨论是基于一元二次方程等方面的有关内容的类比和推广而展开的。
多项式是代数学中最基本的研究对象之一，对于培养学生正确的理解数学思想、掌握数学解题方法和策略是非常重要的。
多项式本身就是对中学所学数学知识的加深，并且是推广到更一般的情况。
鉴于此怎样能让中学生接受和理解一元多项式的相关定义、性质、定理这就是关键。
本文主要是简化相关定理、性质的证明，使之能更比较容易的让中学生所接受和应用，以及对一般情况下遇见的一元多项式相关问题的一般解法。
2、基本定义定义2.1 （多项式）在先前我们学过形如称为一元二次多项式，同样形如（是整数）称为一元多项式，称为第项，称为第项的系数，如果中则称为首项系数，称为多项式的次数，多项式的次数记为。
通常用、表示多项式。
定义2.2 （多项式相等）如果两个多项式除去次数为零的项外，同次项的系数全相等，那么就称和相等，记为= 。
例1：，，若= 。
定义2.3 （多项式相加）若和相加，次数相等的项系数相加，实质是提取相同的因子。
例2：若，，且，则有，。
定义2.4 （多项式的乘法）若，，。
定义2.5 （整除与因式分解）若多项式和，如果存在多项式，使得等式称整除，也可以说成是的因式，记为。
定义2.6 （最大公因式）设多项式和，如果是的因式，同时也是的因式，则称是和的公因式。
若多项式为和的最大公因式，如果满足下列两个条件：①、为和的因式。
②、和的公因式全为的因式。
一元多项式除法及其相关问题的一种新解法
第２ ７卷第 ５期 ２０ ０ ７年 ９月
云南 师范 大学学 报
Ｊｕ ｎ ｌｏ ｎ ａ ｒ ｌＵｎｖ ｒｉ ｏ ｒａ ｆ Ｙｕ ｎ ｎ Ｎｏｍａ ｉｅｓ ｙ ｔ
Ｖｏ ． ． １２７ Ｎｏ ５
Ｓｐ ０ ７ ｅ ．２ ０
一
因式及 判别两个多项式是否互素等问题上 ， 给出了该方法的应用实例 。 关键词 ： 系数变换法 ； 一元多项式 ； 除法 ； 最大公因式 ； 素 互
中图分 类号 ： ０ ２ ． １２ １ 文献标 识码 ： Ａ 文 章编 号 ： １０ ９９ （０ ７ ０ ０ ２ ０ ０７— ７ ３ ２０ ）５— ０ １— ４
６ 。 ６， … ６
一
， 一｝ …
６
ｊ
（ 将第二行整体 向右移动一位）
【 … 一 ｌ 一， ， ．
６ 。 … ６
一
， ， ｌ …
６
一
：
，
６
Ｊ
记 ， ， ６ ， ＝ 一 ，
： 一 ＝ ： ：… ， 一 ＝ 一 一 ６ ， ， ，
在一元多项式环 中， 可以进行加 、 、 减 乘三种运算 ， 但除法运算并不是普遍可以进行 的， 在解决多项 式除法时 ， 常遇到整除、 最大公因式和互素等问题。一般地 ， 可以使用带余除法来处理这些问题 ， 但运算
烦 琐 。作者结 合 自己多年 的教学 实践 ， 总结 出一种 系数 变换 法 ， 以有 效地 解决 一元 多项 式除 法 中的这 可 些 相关 问题 ， 且方 法简 单 、 用 、 实 易掌握 。
维普资讯
・
２ ２・
云南师范大学学报（ 自然科学版 ）
第２ ７卷
当ｒ （ ）＝ ０时
第5 章 多项式
第5章 多项式多项式是代数学中最重要的研究对象之一，历史悠久，成果丰富。
它对于其他数学分支有重要的应用。
本章将介绍多项式的一些基本的知识。
1一元多项式的概念设F 是数域。
所谓数域（number field），就是复数集合中一个包含0和1的子集，在这个子集的内部可以做加减乘除（除数不能是零），而不会产生不属于这个子集的数。
例如复数的全体，实数的全体，有理数的全体都是数域，分别称为复数域C ，实数域R ，有理数域Q 。
但整数的全体不是数域，因为除式54不再是整数。
以后的叙述中，在不特别说明的情况下，我们所称的数域是指实数域或者复数域。
定义 1.1 设x 是一个变量（或称为不定元（indeterminate）），n 是一个非负整数，形式表达式1110n n n n a x a x a x a −−++++", 110,,,,n n a a a a F −∈" （1）称为数域F 上的一元多项式（polynomial）。
这里定义的多项式只含有一个变量，所以称之为一元多项式。
本书中所讨论的都是一元多项式，因而简称为多项式。
通常用(),()f x g x 等表示多项式，或者简单的用,f g 等表示多项式。
在（1）中，110,,,,n n a a a a −"称之为多项式的系数（coefficient），kk a x 称为k 次项（term），如果多项式中最高次数nn a x 前的系数非零，则称此项为多项式的首项（leading term），其系数称为首项系数，首项系数为1的多项式称为首一多项式（monic polynomial），首项的次数称为多项式的次数（degree），记之为deg f 。
例如，31()552f x x x =+−，42()2 1.8g x x ix =++均为多项式，def 3f =，def 4g =，且()g x 是首一多项式。
非零常数(0)c c ≠是次数为零的多项式，称之为零次多项式；0是零多项式，但对于零多项式不规定其次数。
高等代数-1
§2
一元多项式
一. 一元多项式的定义
定义1 是一个非负整数， 定义 设n是一个非负整数，形式表达式 是一个非负整数
f ( x) = an xn + an−1 xn−1 +L+ a1 x + a0
其中 a0 , a1 ,L, an为数域 中的数， 为数域P中的数 中的数， 为系数在数域 中的一元多项式 称 f(x)为系数在数域 中的一元多项式， 为系数在数域P中的一元多项式， 或简称为数域 上的一元多项式. 为数域P上的一元多项式 或简称为数域 上的一元多项式 次项, 次项系数. 注1 称 ai x 为f(x)的i次项 ai 为i次项系数 的 次项 次项系数 特别， 称为f(x)的常数项 特别， 0 称为 的常数项. a
f ( x ) g ( x ) + h ( x ) = f ( x ) g ( x ) + f ( x ) h ( x )
6.乘法消去律 若 f ( x ) g ( x ) = f ( x ) h ( x )且 f ( x ) ≠ 0, 乘法消去律 则 g ( x) = h( x) .
§3
整除的概念
2. 一元多项式的带余除法 设 f ( x ), g ( x ) ∈ P [ x ], 且 g( x ) ≠ 0, 则存在
q( x ), r ( x ) ∈ P[ x ], 使得
f ( x) = g( x)q( x) + r( x)
这里 ∂ ( r ( x ) ) < ∂ ( g( x ) ) 或 r ( x ) = 0. 唯一确定。 满足条件的 q ( x )和 r ( x ) 唯一确定。 q(x)称为 称为g(x)除f(x)的商，r(x)称为 称为g(x)除f(x)的余式 称为 除 的 称为 除 的余式. 例1 设 f ( x ) = 5 x 4 + 2 x 3 + 3 x 2 + 7 x + 1, 所得的余式和商式. g( x ) = x 2 + 2 x + 3, 求 g( x ) 除 f ( x ) 所得的余式和商式
整除的概念
若 f1 x n, 由归纳假设，存在 q1( x),r1( x)
§1.3 整除的概念
若q x q x，由g x 0, 有r x－r x 0
q x－q x＋ g x＝ r x－r x max r , r gx
但 q x－q x＋ g x g x, 矛盾．
一定存在 q( x),r( x) P[x], 使 f ( x) q( x)g( x) r( x)
成立，其中 (r( x)) (g( x)) 或 r( x) 0, 并且这样的 g( x),r( x) 是唯一决定的．
称 q( x) 为 g( x) 除 f ( x) 的商， r( x)为 g( x) 除 f ( x) 的余式．
为 g( x)的倍式． ② g( x)不能整除 f ( x) 时记作： g( x) | f ( x).
§1.3 整除的概念
③ 允许 g( x) 0，此时有 0 0h( x), h( x) P[x]
即 0 0.
区别：
00 0
零多项式整除零多项式，有意义．
0 除数为零，无意义．
④ 当 g( x) | f ( x) 时， 如果 g( x) 0, 则 g( x) 除
使得 f1 x q1 x g x r1 x
§1.3 整除的概念
其中 r1 x < g( x) 或者 r1( x) 0. 于是
f x b1axnm q1 x g x r1 x.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
g( x) bm xm bm1 x m1 b1 x b0 , an n m 这里 an 0, bm 0. 令 q1 ( x ) x , bm 记 f ( x) g( x)q1 ( x) f1 ( x), 则 deg f1 ( x) deg f ( x), 由
12
定义3 设 F 是一个数域, f(x)F[x], cF, 若 f(c) = 0, 则称
c 为 f(x) 的根或零点. 对 f(x) 和 x–c 应用带余除法定理可得下列推论. 推论1 对任意多项式 f(x) 和常数 c, 总存在多项式 q(x), 使 f(x) = q(x)(x-c)+f(c), 且 q(x) 由 f(x), c 唯一决定.
2
五、学习要求
1. 按时上课, 不要迟到.
2. 课堂内可以喝水, 但不许吃东西. 3. 上课期间不许接听手机. 手机必须置于无声状态.
4. 有问题请招手示意或大声提问. 5. 独立完成作业. 6. 及时反映对课程的建议或意见.
3
六、线性代数(1)回顾
研究对象 线性代数的核心: 空间与变换 对空间的认识分局部和整体: 局部: 向量的线性关系 整体: 基, 维数, 内积, … 对空间的研究方法: 直接: 研究抽象的向量 间接: 化为坐标来研究 线性代数中变换分两类: 空间结构类与空间变换类
13
bn1 an ,bn2 an1 cbn1 , b0 a1 cb1, r a0 cb0.
c an bn1 an1 a1 a0 cbn1 cb1 cb0 bn 2 b0 r
左边的算式称为综合除法
例3
f ( x ) 4 x 4 3 x3 2 x 2 x 1 ， g( x) x 5
f ( x) gi ( x)hi ( x).
i 1
s
(4) 互伴性: 若 g(x)| f(x), 且 f(x)|g(x), 则存在非零常数 c 使
得 f(x) = cg(x).
证明思路 f ( x) g( x)q( x) f ( x)q1 ( x)q( x) deg q1 ( x)q( x) 0， q1 ( x)q( x) c0 F , q1 ( x) c1, q( x) c F .
9
带余除法定理 设 F 是一个数域, 则 f(x), 0 g(x)F[x], 总存在 q(x), r(x)F[x], 使得 f(x) = g(x)q(x) + r(x), 这里 deg r(x) < deg g(x), 且 q(x) 和 r(x) 由 f(x), g(x) 唯一决定.
证明 先证 q(x) 和 r(x) 的存在性. 对 f (x) 的次数 n 用第2 数学归纳法: 若 n 小于 g(x) 的次数, 则取 q(x) = 0, r(x) = f(x) 即可. 否则, 记 f ( x) an x n an1 x n1 a1 x a0 ,
所以 a0 = a1 == an = 0, 与a0, a1,, an 不全为零矛盾.
7
数域 F 上多项式全体记为 F[x], 在 F[x] 中定义加法和乘法：
i a x b x ( a b ) x i i i i . i i i 0 i 0 i 0 n n n
k a i x b j x ai b j x . i 0 j 0 k 0 i j k 定理1 deg ( f g) max{deg f, deg g}.
ai F ,0 i n. 若 an 0, 则 n 称为其次数, 记为 deg f = n. 我们约定两个多项式相等 它们的次数相等, 且各同次项 系数均相等, 并约定 deg 0 = -. 数域上的符号 (或文字) x 的形式多项式与中学代数中的多项 式 (x 是变量) 没有本质的区别.
记
由 得 即
f ( x) an xn a1 x a0 , g( x) x c, q( x) bn1 x n1 b1 x b0 , f (c) r ,
f ( x) ( x c)q( x) f (c),
an x n an1 x n1 a1 x a0 ( x c)(bn1 x n1 bn2 x n2 b1 x b0 ) r an x n an1 x n1 a1 x a0 cbn1 x n1 cb1 x cb0 bn1 x n bn2 x n1 b0 x r
归纳假设存在 q2(x), r(x)F[x], 使 f1(x) = g(x)q2(x)+r(x),
这里 deg r(x) < deg g(x), 令
q( x) q1 ( x) q2 ( x) 即可.
10
再证 q(x) 和 r(x) 的唯一性. 若 f(x) = g(x)q(x)+r(x) = s(x) +p(x)g(x), 这里 deg r(x) < deg g(x), deg s(x) < deg g(x), 则 g(x)(q(x) – p(x)) + r(x) – s(x) = 0,
1
三、作业与考试
成绩 作业: 30%: 每周四以班为单位提交上周作业 期末: 70%
四、学习中要注意的问题
提前预习, 体会思路, 掌握基本内容. 在此基础上: 多动手, 勤思考, 深入体会思想方法: 自己 动手推证书中每个结果尽量体会结论、证明的思想方法 用自己喜欢的方式写出简要总结(包括习题中重要结论).
定理3 设 F 为一个数域, F[x] 中的多项式乘法有消去律. 证明 f(x), g(x), h(x)F[x], 若 f(x)g(x) = f(x)h(x), 且 f(x) 0, 则 g(x) = h(x). 反证法: 若 g(x) h(x), 则 g(x)-h(x) 的
首项系数 0, 而 f(x)(g(x)-h(x)) 的首项系数等于 f(x) 的首
2x 2 2 x 1 2 x 2 2 x 1
q(x) = x 2
r(x) = 6x 5 q( x) x 2, r ( x) 6 x 5, f (x) = g(x)q(x) + r(x).
11
定义2 设 F 是一个数域, f(x), g(x)F[x], 若存在 q(x) F[x],
使 f(x) = g(x)q(x), 则称 g(x) 能整除 f(x), g(x) 称为 f(x) 的因 式, f(x) 称为 g(x) 的倍式, 记为 g(x)|f(x)；否则称 g(x) 不能 整除 f(x).
整除的简单性质: (1) 自反性: g(x)|g(x). (2) 传递性: 若 g(x)| f(x), f(x)|h(x), 则 g(x)|h(x). (3) 若 f ( x) | gi ( x), 1 i s, 则 hi ( x) F[ x],1 i s, 有
空间结构类: 基变换引起坐标变换 空间变换类: 线性变换
4
思想方法 结构化: 向量组的极大无关组
解空间基础解系 空间的基 标准型: 矩阵相抵, 合同, 相似标准形 二次型的标准形与规范形
研究工具 行列式 矩阵 线性方程组
5
第一讲 一元多项式的带余除法
定义1 设 F 为一个数域, x 是不属于 F 的任一个符号 (或文 字), 则形式表达式 f ( x) = an x n an1 x n1 a1 x a0 称为 F 上的符号(或文字) x 的一元多项式, 其中
若 r(x) – s(x) 0, 则 q(x) – p(x) 0, deg (r(x) – s(x)) = deg (q(x) – p(x)) + deg g(x) < deg g(x), 矛盾. 所以 r(x) – s(x) = 0, q(x) – p(x) = 0. 例2
f ( x) x3 1, g( x) x 2 2 x 2, x2 2 x 2 x3 1 x3 2 x 2 2 x
54 3 2 1 1 5 4 5 23 5 117 5 586 2931
4 23 117 586 r ( x) f (5) 2931.
14
例4 用综合除法把多项式 x4-x3+1 表成 x–1 的方幂和(用 综合除法进行运算时, 被除式中所缺的项需补上零, 否则
例1 设 F 是一个数域, 对任意一个非负整数 n, 有1, x,, x n
线性无关. 证明 用反证法, 若不然, 存在不全为零的 a0, a1,, anF, 使得 a0+a1x++anxn = 0, 则 F 中任意 n+1 个不同的数 c1,
6
c2,, cn+1 是 a0+a1x++anxn 的根, 所以
8
项系数乘以 g(x) 的首项系数 0, 与 f(x)g(x) = f(x)h(x) 矛盾, 故 g(x) = h(x). 证毕 易证多项式的加法和乘法有结合律, 交换律, 乘法对加法有
n s m 分配率. 例如乘法结合律： ai x i b j x j cl x l j 0 i 0 l 0 m n m n s k s l ai b j x cl x a i b j cl x t k 0 i j k l 0 t 0 k l t i j k m n s t m n s t a i b j cl x a i b j c l x t 0 i j l t t 0 i k t j l k m n s n s k m i a i x b j c l x ai x i b j x j cl x l i 0 k 0 j l k i 0 l 0 j 0