第二节矩估计法( 精品)
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1 X
所以 X , 估计值ˆ 1.22。
例2. 设总体X ~ U[a,b],a,b未知；X1,, X n是一个 样本；
求：a, b的矩估计量。
解：
1
EX
a
b, 2
2 EX 2 DX (EX )2
(b a)2 12
(a b)2 4
令
a
2
b
A1
1 n
n
Xi
i 1
(b a)2 12
(a b)2 4
n i 1
(Xi
X )2
例4 设总体X的概率密度为
( 1)x , 0 x 1
f (x) 0,
其它
其中 1
是未知参数,
X1,X2,…,Xn是取自X的样本,求参数 的矩估计.
解:
1
E(X
( 1)
)
1
1
x( 0
x 1dx
1)
x dx 1
由矩法,
0
X 1
2
2
从中解得 ˆ 2X 1, 即为的矩估计.
参数为的泊松分布， 未知，有以下样本值；
试估计参数 （用矩法）。
着火的次数 k
0 12 3456
发生k次着火天数nk 75 90 54 22 6 2 1 250
解： 1 EX 令 X ,
A1
1 n
n i 1
Xi
X
则 ˆ x 1 (0 75 1 90 6 1) 1.22
250
第七章 参数估计
§7.2 矩估计法
1. 矩估计法
设X为连续型随机变量，其 概率密度为f (x;1,,k ),
X为离散型随机变量，其 分布列为P{X x} P(x;1,,k ),
其中1,,k是待估参数,，X1,, X n为来自X的样本。
设 则 令
EX l
Al Al
wk.baidu.com
1
n
l
nl
i 1
,
,l 1,2,,
但， 2未知，又设 X1,, X n是一个样本；
求：, 2的矩估计量。
解： 1 EX , 2 EX 2 DX (EX )2 2 2
令 1 A1, 2 A2 , 即 A1, 2 2 A2 ,
所以 ˆ A1 X ,
ˆ 2
A2
A12
1 n
n i 1
X
2 i
X2
1 n
X
l i
l 1,, k
k.存在。
这里是包含 k个未知参数 1，， k的联立方程组，
从中解出方程组的解 ˆ1，，ˆk。
用ˆ1，，ˆk 分别作为1，，k的估计量，这种求
估计量的方法称为 矩估计法。
这种估计量称为矩估计量；矩估计量的观察值 称为矩估计值。
例 1 设某炸药厂一天中发生着火现象的次数X服从
A2
1 n
n i 1
X
2 i
即 a b 2A1, b a 12( A2 A12 )
解得：aˆ A1
3( A2 A12 ) X
3 n
n i 1
(Xi
X )2
bˆ A1
3( A2 A12 ) X
3 n
n i 1
(Xi
X )2
例3. 设总体X的均值，方差都存在，且 2 0,
所以 X , 估计值ˆ 1.22。
例2. 设总体X ~ U[a,b],a,b未知；X1,, X n是一个 样本；
求：a, b的矩估计量。
解：
1
EX
a
b, 2
2 EX 2 DX (EX )2
(b a)2 12
(a b)2 4
令
a
2
b
A1
1 n
n
Xi
i 1
(b a)2 12
(a b)2 4
n i 1
(Xi
X )2
例4 设总体X的概率密度为
( 1)x , 0 x 1
f (x) 0,
其它
其中 1
是未知参数,
X1,X2,…,Xn是取自X的样本,求参数 的矩估计.
解:
1
E(X
( 1)
)
1
1
x( 0
x 1dx
1)
x dx 1
由矩法,
0
X 1
2
2
从中解得 ˆ 2X 1, 即为的矩估计.
参数为的泊松分布， 未知，有以下样本值；
试估计参数 （用矩法）。
着火的次数 k
0 12 3456
发生k次着火天数nk 75 90 54 22 6 2 1 250
解： 1 EX 令 X ,
A1
1 n
n i 1
Xi
X
则 ˆ x 1 (0 75 1 90 6 1) 1.22
250
第七章 参数估计
§7.2 矩估计法
1. 矩估计法
设X为连续型随机变量，其 概率密度为f (x;1,,k ),
X为离散型随机变量，其 分布列为P{X x} P(x;1,,k ),
其中1,,k是待估参数,，X1,, X n为来自X的样本。
设 则 令
EX l
Al Al
wk.baidu.com
1
n
l
nl
i 1
,
,l 1,2,,
但， 2未知，又设 X1,, X n是一个样本；
求：, 2的矩估计量。
解： 1 EX , 2 EX 2 DX (EX )2 2 2
令 1 A1, 2 A2 , 即 A1, 2 2 A2 ,
所以 ˆ A1 X ,
ˆ 2
A2
A12
1 n
n i 1
X
2 i
X2
1 n
X
l i
l 1,, k
k.存在。
这里是包含 k个未知参数 1，， k的联立方程组，
从中解出方程组的解 ˆ1，，ˆk。
用ˆ1，，ˆk 分别作为1，，k的估计量，这种求
估计量的方法称为 矩估计法。
这种估计量称为矩估计量；矩估计量的观察值 称为矩估计值。
例 1 设某炸药厂一天中发生着火现象的次数X服从
A2
1 n
n i 1
X
2 i
即 a b 2A1, b a 12( A2 A12 )
解得：aˆ A1
3( A2 A12 ) X
3 n
n i 1
(Xi
X )2
bˆ A1
3( A2 A12 ) X
3 n
n i 1
(Xi
X )2
例3. 设总体X的均值，方差都存在，且 2 0,