全国中学生物理竞赛课件14：刚体动力学运动学问题

不同，它们的密度之比为 1 ∶ 2∶ 3 ∶ 4 ＝1∶2∶3∶4，求这圆
盘的质心位置．
解 : 对题中圆盘:
y
4 R 4R2 2 1 1 2 2 3 34R 2 4 41y xc c2 4 R 32 41 43 R2 3 23 4 414 3 Rx
xc 0
8
yc
15
R
"湖震"问题
3g1cos
13sin2l sin
小连接试，身放在手光题滑水7如平图面，上两，根设等两重杆的由细图杆示A位B置及无AC初，速在地C开点始用运铰动链，
求铰链C着地时的速度．
解 : 着地时,两杆瞬时转轴为A(B)
由机械能守恒:
h
2mgh 2 1J2 A
B
其中各杆:
2
Jm 2l2 12
m2l 2
ml2 3
2JxJ3J4
m
R 2
2
Jx
13mmRR22 m2R2
4
12
24
小质量试为身m（手未题必4匀椭质圆）细，环已的知半该长环轴绕为长A轴，的半转短动轴惯为量B，为
JA，试求该环绕短轴的转动惯量JB．
解 : 由正交轴定理:
y
JA JB m i x i2yi2
O
x
由椭圆方程: x 2 y 2
A2 B2 1
k 1 12
JOO
Ma2 12
小试身手题3 如图所示，匀质立方体的边长为a，
质量为m．试求该立方体绕对角线轴PQ的转动惯量J．
解 : 将立方体等分为边长为a/2的 八个小立方体，其中六个小
Q
立方体体对角线到大立方体
O
2
体对角线距离
3
O
da 2 6a 23 6
d
P
C
k m a 22 k m 8 a 2 2 6 k m 8 a 2 2 m 8 a 6 2
R n li m 2 3 3 2 s in n 2 3 s in s 3 in n 2 1 3 2 2 s in n 2 s in s i n n 2 1
Rnli m
2 3
12 2
1 2
2
2
在小每个试象身限里手，题各处1 的如密图度，也一是个均圆匀盘的半，径但为不R同，象各限处里厚的度密返一度回样则概，要
k1 6
J PQ
ma2 6
♠ 描述转动状态的物理量
θ
lim
t0 t
lim
t0 t
ar
L m iv ir i m ir i2 J
E k1 2 m iv i21 2
m iri2
21J2 2
MFd
AM
IMt
♠ 刚体的定轴转动与质点的直线运动
质点的直线运动
位移 s
速度v
由动量定理 ftmtr0r 由角动量定理 frtJct0
t
2 3
gh 3r2
纯滚动后机械能守恒:
mgh
1 2
3mr2 2
t2
h
h
小螺帽试，身螺距手为题s，1螺0帽如的图转，动在惯一量个为固I，定质的量、为竖m直．的假螺定杆螺上帽的与一螺个杆
间的摩擦系数为零，螺帽以初速度v0向下移动，螺帽竖直移动的速 度与时间有什么关系？这是什么样的运动？重力加速度为g．
JxJy Jz 2 miri2
i1
n
Jx mi yi2 zi2
i1
Jx Jy Jz
y
n
Jy mi xi2 zi2
i1
n
Jz mi xi2yi2
n
yi
2 mi rxi2 i2 yi2 zi2
i1
ri
mi
x
i1
zi
O
xi
z
球
实
壳
心
球
J 2 mr2
J 2 mr2
= n
2n
i
=
i
2n
y
i
n
J
4nli lm im in 1 mm iri2 ni14n
rsini
2
0
i x
R
m r2 n li m i n 1 n 1 s in 2 s in 2 2 s in 2 2 s in 22
J 1 mr2
n项
2
设任意物体绕某固定轴O的转动惯量为J，绕 通过质心而平行于轴O的转动惯量为Jc，则有
JJc md2
n
n
J m iri2 m i R i2d22 dR icos
i 1
i 1
y
0 n
n
n n
m iR i2 m id22d m miiR xiicosi
i1
i1
ii 1 1
C
Ri mi
θi
ri
d
O
x
由JJcmd2
m
mR2mR2
R
2mR2
J2n li m i n1 1 42 m nr22 m n i2ln 2
JAJBmA2JBB 2mB A2A 2 2J BAA 22 JAA
2
A2 B2
y
2 i
转动惯量的表达式常表现为形式
n
J miri2 kma2
i1
m是刚体的质量，a是刚体相应的几何长度，只要确 定待定系数k，转动惯量问题便迎刃而解．
设
JOO kMa2
M
则有
O
O
4kM 4a22M 4a42kMa2a
3
n5
3J 2n l22i m m nli im r n 31 2J4 inm 1r3 m2/3 inlri im 24 ii1n m r i2 ri2n r in r 2
6mr2
n
lim i4
ni1
1 n5
已知:Jx=J0
求:Jx ?
解 : Jy Jx J0
2J0 miri2
JPm2r2mr23m 2r2
vr
gh
T
h
v2
由转动定律:
Tr J
mr2
3 a
P
2r
1v
由质心运动定律: mgTma T m g
3
小试身手题9如图，实心圆柱体
从高度为h的斜坡上从静止纯滚动地到达
水做完平全地面弹性上，碰撞继后续纯返回滚，动，经足与够光滑长竖的水直墙平ωc0 距离后重新做纯滚动，并纯滚动地爬上斜 vc0
H n
x c
lim
n
mi xi
i1
V
n
lim
ni1
ki
H2 n
kH2 /3
H n
i
H n
O tan-1k
i H
x
3H lim
n
n i1
i3
1 n4
xC
3 4
H
y
= n
2n
i=i
2n
i
0 i
x R
xC= n n llR R i i m m n n l lii m m ii n n 1 1ii4 n n 2 1 1R R m 2 scions3 s2 2iR n ii3 c o sss iiin nim ii(R si n icosi)R xsCini 43 R
J miri2
例讲
J m r12 r22
2
J
J mr2 n
J 1 mr2 2
nlnm il m i m r2i nnl1ii mm 1rm 2in21ir2ii2n ri3Jn rn14i12n rm2r 2
转轴
J 1 mr2 2 J 1 mr2 4
J mr2 ml2 4 12
v R
v1 R
对球2：
f
t2
m
v
v2
fR
t2
2mR2 5
v2 R
v1
2v 7
5
v2
v 7
续解
⑵系统原机械能为
读题
E 01 2 2m 5r2m r2 v r 27m 10 v2
达到纯滚动后的机械能
Et 1 27m 5R27 2R v27 5R v27 20 9m v2
J y J x
2Jx miri2
y
y
O
x
x
J x J0
小面半试径身为手R，题长2为如2图R．所试示求，圆质柱量体为绕m的通均过匀质圆心柱及体两，底截面
边缘的转轴（如图中的Z1、Z2）的转动惯量J．
解 : 2JxJz2 m iri2 Z1
Z４ Z2
J3J 4Jz2 m iri2Z３ R Z
动动量能守定恒理定律FS12m mvvt2恒 12量 mv02
匀角速转动:
t
匀变速转动: t0t012t t2 t2 022
转动定律 M=J
角动量原理 Mt＝Jωt－Jω0
转动动能定理 M12Jt212J02
角动量守恒定律 J恒 量
刚体问题1
0.50m
0.75m F
飞轮质量60 kg,直径d=0.50 m闸瓦
♠ 质心 质心运动定律
能代表整个刚体的平动,运动规律等效于全部质量及外 力集中于此的某一点.
从质心的等效意义出发:
0
x1
m1
x2
x
m2
x C
m ix i mi
yC
m iyi mi
zCBiblioteka m izi mi以质心为坐标原点
mir=0
F=mac
例讲 例讲
h= Hn
nn
mi =ki
H2 n
mr2 ml2
n i2
4 4 nli m i1n3
mr2 ml2
4 12
Ma2
J圓 2
2a
O
M
J杆JcM2a2
其中
Ma2
4Ma2
2a C M
JcJO2nlJim 圓 3 in1J杆 2Ma
a n
i
a 2 n
29M a2
6
对任意的刚体，任取直角三维坐标Oxyz，刚体对x、
y、z轴的转动惯量分别为Jx、nJy、Jz，则有
撞时间很短，碰撞过程中摩擦力的影响可以不计．试求⑴碰后两球
达到纯滚动时的质心速度；⑵全部过程中损失的机械能的百分数．
解: 1v v R
1
v
2
v1
v1
v1
2 v2
v2
R
R
R
⑴完成弹性碰撞后设两球各经t1、t2达到纯滚动，质心速度为v1、v2，
对球1： f t1 mv1
fR
t1
2mR2
，
5
vc
vc l 則mgh2
1 2
ml2 3
vc
l
2
得vc 3gh
小绳的试一身端B手固题定不8动如，图圆，柱圆体柱初体速A的为质零量地为下m落，，在当其其中轴部心绕降以低细h绳，
时，求圆柱体轴心的速度及绳上的张力．
解 : 轴心m降gh低h过12 J程P中机2 械能守恒
B
其中圆柱体对轴P的转动惯量
与轮间μ=0.4;飞轮质量分布在外层
解 : 圆周,要求在t=5 s内制动,求F力大小.
对飞轮 M f J
其中 10002s220s2
t 605
3
J
m
d
2
2
15kgm2 4
Mf
N5 2F
d 2
N
f
N 1 0 0 0 r/m in
F100N
f
对制动杆 N0.5F1.25
F
刚体问题2
A
质量为m的均匀细杆由竖直受一微扰倒下,
以静止水的质心为坐标原 点，建立如图所示坐标，
当振动高度为Δh时，质心 坐标为：
y
h
2
h
O
x
x 1 2 h L 2 1 3 L 2 1 2 h L 2 2 3 L 2 h L 2 L 4L h
L h
6 h
yh h L 2 h 1 22 hL h 2 h2 3h h 2
解 : 求夹角为θ时,质心速度及杆的角速度
vB C
质心不受水平方向作用,做自由下落运动! vn v
由机械能守恒:m gl1cos1m v21JB2
杆由对相质关心速的度转: v动惯v量2 ns:inJ lni m 2il n1sm i2 lnn l i2l2 n2
ml2
12
12g1cos
1 3sin2 l v
v lim s t0 t
加速度a
v a lim
t0 t
刚体的定轴转动
角位移 θ
角速度
lim t0 t
角加速度 lim
t0 t
匀速直线运动: s＝vt
匀变速直线运动
vt S
v0vt012aat t
2
vt2 v02 2aS
牛顿运动定律 F＝ma
动量定理 Ft＝m vt－m v0 (恒 力)
L h
6h
由上可得
y 6h x2 L2
y
质心沿抛物线做往复运
动,回复力为重力之分力:
F mg y x
mg6hxx2 x2
L2
x
F回
x
O
mg
12mgh x L2
质心做谐振,周期为 T 2 L2 12hg
♠ 转动惯量
量度刚体转动中惯性大小的物理量,等于刚体中每个 质点的质量mi与该质点到转轴的距离ri的平方的乘 积的总和.
解 : 由机械能守恒:
m gs1 2I(t202)1 2m (vt2v02)
g 又
2
vs
vt2 v02 2
竖直方向匀加速下落!
m
42I
s2
m
gs
vt
v0g't
g
m
4 2 I
s2
m
g
小纯试滚身动，手质题心速1在度1水为平v，地另面一上静有止两不个动完，全两相球同做的完均全匀弹实性心碰球撞，，其因一碰做
vc0
ωc0
ωct
vct
h
坡，设地面与圆柱体之间的摩擦系数为μ，
试求圆柱体爬坡所能达到的高度h′.
解 : 纯滚动时圆柱角速度由机械能守恒: m gh1 2J0 21 2 m 2 r2m r2 0 2 0
4 gh 3r 2
与墙弹性碰撞,质心速度反向,角速度不变,此后受摩擦力作用
经时间t 达纯滚动:
全国中学生物理竞赛课件14：刚体动力 学运动学问题
♠ 刚体
不发生形变的理想物体
实际物体在外力作用下发生的形变效应不显著可被忽略 时,即可将其视作刚体．
刚体内各质点之间的距离保持不变
刚体内各质点角速度总相同
♠ 刚体的平动与转动
刚体运动时，其上各质点的运动状态（速度、加速度、 位移）总是相同，这种运动称为平动． 刚体运动时，如果刚体的各个质点在运动中都绕同一 直线做圆周运动，这种运动称为转动，而所绕直线便 称为轴．若转轴是固定不动的，刚体的运动就是定轴 转动．