八年级下册数学直角三角形的性质和判定(1)

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湘教版八年级下册数学

一、直角三角形1、直角三角形的性质定理①“直角三角形的两个锐角互余”②“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”③“在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半”④“直角三角形两直角边a ，b的平方和，等于斜边c的平方。

”【勾股定理】互余：直角三角形中，两个锐角互余。

（两角之和等于90°）互补：两直线平行，同旁内角互补。

（两角之和等于180°）2、直角三角形的判定定理①“有两个角互余的三角形是直角三角形”②“如果三角形的三条边长a ，b ，c满足关系：a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形”【勾股定理的逆定理】3、直角三角形全等的判定“斜边、直角边定理斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等”【简称：斜边、直角边或“HL”】4、两个三角形全等的判定方法：【六种】①平移、旋转②AAS③ASA（两角及其夹边）④SSS （三边）⑤SAS（两边及其夹角）⑥HL（斜边、直角边）5、角平分线的性质①角平分线的性质定理：“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”②角平分线的性质定理的逆定理：“角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上”6、线段垂直平分线：垂直且平分一条直线的线段。

①线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。

②线段垂直平分线的性质定理的逆定理：到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上7、等腰三角形的性质：①等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线所在的直线。

②等腰三角形底边上的高、中线及顶角平分线重合。

（简称：三线合一）③等腰三角形的两底角相等（简称：等边对等角）8、完全平方式：(a+b)²=a²﹢2ab+b²【(a+b)²=（a+b）╳（a+b）=a╳a+2╳a╳b+b╳b = a²﹢2ab+b²】(a-b)²=a²-2ab+b²平方差公式：a²-b²=（a+b）╳（a-b）二、四边形多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形。

直角三角形(1)八年级数学下册同步备课系列(北师大版)

=
c2+4
1 2
ab
，
c
b a2+2ab+b2 = c2+2ab，
a
∴a2+b2=c2.
讲授新课
2．赵爽弦图
大正方形的面积可以表示为 c2 ；
也可以表示为
4
1 2
ab
+(b－a．)2
c a
b
b
b
b
c
c
∵ c2= 4 1 ab +(b－a)2，
2
c2 =2ab+b2－2ab+a2， c2 =a2+b2， ∴ a2+b2=c2.
观察上面两个定理,它们的条件与结论之间有怎样的关系?
讲授新课
再观察下面三组命题: 如果两个角是对顶角,那么它们相等, 如果两个角相等,那么它们是对顶角; 如果小明患了肺炎,那么他一定会发烧, 如果小明发烧,那么他一定患了肺炎; 三角形中相等的边所对的角相等, 三角形中相等的角所对的边相等. 上面每组中两个命题的条件和结论之间也有类似的关系吗?与同伴进行交流.
解：原式可化为： a2-10a+25+b2-24b+144+c2-26c+169=0 (a-5)2+(b-12)2+(c-13)2=0 a=5,b=12,c=13. a2+b2=c2 ∴△ABC是直角三角形
当堂检测
16.指出下列命题的条件和结论，并说出它们的逆命题.
(1)如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余.
4. 下列长度的三条线段能组成直角三角形的是 ( A )
A.3,4,5
B.2,3,4
C.4,6,7

湘教版数学八年级下册1.1直角三角形的性质和判定(一)课件

Байду номын сангаас.直角三角形的性质定理:
在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。 8.结合右边图形用数学符号表示直角三角形的性质定理:
在RtABC中, ACB 900,CD是斜边AB上的中线,则有
CD
AB
或CD BD AD.
9.应用直角三角形性质定理的前提条件是：在直角三角形中
10.教材中证明直角三角形性质定理的方法称为: 同一法
再见
若A 400 ,则B
,
ACD
, BCD
.
6. 如右图所示,CD是RtABC斜边AB上的中线, 请用刻度尺度量并比较CD, AB, AD, BD的长度.
CD 2.1 cm; AD 2.1 cm; BD 2.1 cm; AB 4.2 cm
CD AB.
根据刚才的探究, 你有什么发现？
合作探究一
1.如果三角形一边上的中线等于这条边的一半求证:这个三角形是直角三角形. 已知: 如图,CD是ABC的AB边上的中线,
且CD 1 AB. 2
求证: ABC是直角三角形.
已知: 如图,CD是ABC的AB边上的中线,
且CD 1 AB. 2
求证: ABC是直角三角形.
合作探究二
2.如图, AB // CD, BAC和ACD的平分线相交于H点, E为AC的中点, 那么:
1 2, 3
4
1 2 3 4
则 1 3
AHC是直角三角形 ( 有两个角) 互余的三角
若EH 3, 那么AC 6 形是直角三角形
在直角三角形中，斜边上的中
线等于(斜边的一半
)
课堂小结
本堂课我自己学会了：同学帮助我学会了：我帮助同学学会了：

北师大版数学八年级下册.1直角三角形的性质与判定课件

新课讲授
证明：∵PE⊥OA，PF⊥OB， ∴∠OEP＝∠OFP＝90°. 在Rt△POE和Rt△POF中，由勾股定理易得OE＝OF， ∴△POE≌△POF. ∴∠AOP＝∠BOP，即OP是∠AOB的平分线．即在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上．故定理“角平分线上的点到角的两边的距离相等” 有逆定理．
新课讲授
（3）一个三角形中相等的边所对的角相等；一个三角形中相等的角所对的边相等.
上面每组中两个命题的条件和结论也有类似的关系吗？与同伴交流.
新课讲授
1．在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
分析：根据题目要求，先判断原命题的真假，再将原命题的题设和结论部分互换，写出原命题的逆命题，最后判断逆命题的真假．
新课讲授
解：(1)原命题是真命题．逆命题为：如果两条直线只有一个交点，那么它们相交．逆命题是真命题．
(2)原命题是假命题．逆命题为：如果a2＞b2，那么a ＞b.逆命题是假命题．
新课讲授
练一练
1.小明把一副含45°，30°的直角三角尺如图摆放，其中 ∠C＝∠F＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，则∠α＋∠β等于( B ) A．180° B．210° C．360° D．270°
新课讲授
知识点2 直角三角形中边角关系
勾股定理直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
D．6
当堂小练
2.下列说法正确的是( B ) A．每个定理都有逆定理 B．每个命题都有逆命题 C．原命题是假命题，则它的逆命题也是假命题 D．真命题的逆命题是真命题
拓展与延伸
一直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边的长为( D )

八年级下册数学直角三角形的性质和判定课件

图1-3
线段CD 比线段AB短.
1 我测量后发现CD = AB. 2
图1-3
1 如图1-3，如果中线CD = AB，则有∠DCA = ∠A . 2 由此受到启发，在图1-4 的Rt△ABC中，过直角顶点C作射线 CD交AB于D，使 ∠ DCA = ∠A ，则 CD = AD .
1.直角三角形的判定定理和性质定理；
2.应用定理进行推理论证解决有关问题.
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课后作业
见《学练优》本课“课后巩固提升”
1 AB. 2
图1-4
结论
由此得到：
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
例1 已知：如图1-5，CD是△ABC的AB边上的中 AB . 线，且 CD 1 2 求证：△ABC是直角三角形.
图1-5
证明：因为 CD 1 AB= BD= AD ， 2 所以 ∠1=∠A，(等边对等角) ∠2=∠B .
3.如图所示，在锐角三角形ABC中，CD，BE分别是AB， AC边上的高，且CD，BE交于一点P，若∠A=50°，则∠BPC的度数是（ B ）. A.150° B.130° C.120° D.100° 解因为BE，CD是ABC的高，所以∠BDP=90°，∠BEA=90°. 又∠A=50° ，所以∠ABE=90°-∠A=90°-50°= 40°. 所以∠BPC =∠ABE +∠BDP = 90° + 40°= 130°. 故应选择B.
1 是否对于任意一个Rt△ABC，都有 CD = AB 成立呢？ 2
图1-3
图1-4
又∵ ∠A +∠B=90° ， DCA+ DCB 90 ，
∴ B DCB.
故得 CD = AD = BD = 1 AB. 2

八年级数学第1章直角三角形 1.1 直角三角形的性质与判定(ⅰ)(第1课时)

∠A=90°-∠B，
④∠A=∠B=∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有
_____①__②__③__(填序号).
世纪金榜导学号
第十七页，共三十四页。
知识点二直角三角形斜边上中线(zhōngxiàn)的性质 (P3探究拓展)
第十八页，共三十四页。
【典例2】如图，△ABD是以BD为斜边的等腰直角三角形，△BCD中，∠DBC=90°， ∠BCD=60°，DC中点为E，AD与BE的延长线交于点F，求∠AFB 度数(dù shu). 世纪金榜导学号
)
C
A.75° B.65° C.55° D.45°
第七页，共三十四页。
2.具备下列条件(tiáojiàn)的△ABC中，不是直角三角形的是 ( D) A.∠A+∠B=∠C
B.∠A-∠B=∠C
第八页，共三十四页。
C.∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3 D.∠A=∠B=3∠C
第九页，共三十四页。
3.(2019·睢宁县期中(qī zhōnɡ))已知一个直角三角形的斜边长为12，则其斜边上的中线长为_____6_.
第十页，共三十四页。
知识点一直角三角形两锐角(ruìjiǎo)的关系及应用 (P2议一议拓展)
第十一页，共三十四页。
【典例1】如图，在△ABC中， ∠ACB=90°，CD是高. (1)图中有几个直角三角形？是哪几个？ (2)∠1和∠A有什么(shén me)关系？∠2和∠A呢？还有哪些
锐角相等？
第二十五页，共三十四页。
【火眼金睛】如图，△ABC为等腰直角三角形，AD为斜边BC上的高，E，F分别(fēnbié)为AB和AC的中点，试判断DE和DF的关系.
第二十六页，共三十四页。
第二十七页，共三十四页。

湘教版数学八年级下册《1.1 直角三角形的性质和判定(I)》教学设计

湘教版数学八年级下册《1.1 直角三角形的性质和判定（Ｉ）》教学设计一. 教材分析湘教版数学八年级下册第1.1节直角三角形的性质和判定（Ｉ）是初中数学的重要内容，主要介绍了直角三角形的性质和判定方法。

本节课的内容是学生学习几何学的基础，对于培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力具有重要意义。

教材从直角三角形的定义入手，介绍了直角三角形的性质，如直角三角形的两个锐角互余，直角三角形的斜边最长等。

接着，教材介绍了直角三角形的判定方法，如HL判定法、ASA判定法、AAS判定法等。

这些性质和判定方法在实际应用中具有广泛的应用价值。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了三角形的基本概念和性质，对于三角形的分类和特点有一定的了解。

但是，对于直角三角形的特殊性质和判定方法，学生可能还没有完全掌握。

因此，在教学过程中，需要注重引导学生理解和掌握直角三角形的性质和判定方法。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生理解和掌握直角三角形的性质和判定方法，能够运用这些性质和判定方法解决实际问题。

2.过程与方法：通过观察、操作、推理等数学活动，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣和好奇心，培养学生的团队合作意识和自主学习能力。

四. 教学重难点1.重点：直角三角形的性质和判定方法。

2.难点：直角三角形的判定方法的灵活运用。

五. 教学方法1.引导发现法：通过提问、引导，让学生发现直角三角形的性质和判定方法。

2.实践操作法：让学生通过实际操作，加深对直角三角形性质和判定方法的理解。

3.合作交流法：鼓励学生分组讨论，培养学生的团队合作意识和沟通能力。

六. 教学准备1.教具准备：直角三角形模型、多媒体课件等。

2.学具准备：直角三角形模型、剪刀、胶水等。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾三角形的基本概念和性质，为新课的学习做好铺垫。

2.呈现（10分钟）教师通过多媒体课件展示直角三角形的性质和判定方法，让学生初步了解这些知识。

湘教版八下数学1.1直角三角形的性质和判定(Ⅰ)第2课时含30°锐角的直角三角形的性质及其应用说课稿

湘教版八下数学1.1直角三角形的性质和判定（Ⅰ）第2课时含30°锐角的直角三角形的性质及其应用说课稿一. 教材分析湘教版八下数学1.1直角三角形的性质和判定（Ⅰ）第2课时含30°锐角的直角三角形的性质及其应用，这部分内容是初中数学的重要知识点，主要让学生了解含30°锐角的直角三角形的性质，并学会运用这些性质解决实际问题。

教材通过例题和练习，使学生掌握含30°锐角的直角三角形的性质，培养学生的运算能力和解决问题的能力。

二. 学情分析八年级的学生已经学习了直角三角形的基本概念和性质，对勾股定理也有了一定的了解。

但学生在解决实际问题时，往往不能灵活运用所学知识。

因此，在教学过程中，我将以学生为主体，引导学生主动探索、发现和运用含30°锐角直角三角形的性质，提高学生解决问题的能力。

三. 说教学目标1.知识与技能：使学生掌握含30°锐角的直角三角形的性质，能熟练运用这些性质解决实际问题。

2.过程与方法：通过观察、分析、归纳等方法，引导学生发现含30°锐角直角三角形的性质，培养学生的运算能力和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作意识，使学生感受到数学在生活中的应用。

四. 说教学重难点1.教学重点：使学生掌握含30°锐角的直角三角形的性质。

2.教学难点：如何引导学生发现含30°锐角直角三角形的性质，并运用这些性质解决实际问题。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法、小组讨论法等，引导学生主动探索、发现和运用含30°锐角直角三角形的性质。

2.教学手段：利用多媒体课件、实物模型等，辅助教学，提高教学效果。

六. 说教学过程1.导入：通过回顾直角三角形的基本概念和性质，引导学生思考含30°锐角的直角三角形的性质。

2.探究：分组讨论，每组尝试找出含30°锐角直角三角形的性质，并归纳总结。

1.1 直角三角形的性质和判定(Ⅰ) 课件 2024-2025学年湘教版八年级数学下册

AB,垂足为点D,若∠1=∠2,则△ABC是直角三角形吗?为什么?
【思维切入】ED⊥AB→∠ADE=90°,直角三角形的性质→
∠1+∠A=90°,∠1=∠2→∠2+∠A=90°→△ABC是直角三角形.
【自主解答】△ABC是直角三角形,理由如下:
∵ED⊥AB,∴∠ADE=90°,∴∠A+∠1=90°,∵∠1=∠2,
∴∠A+∠2=90°,
∴△ABC是直角三角形.
【举一反三】
如图,在△ABC中,∠B=30°,∠C=62°,AE平分∠BAC.
(1)求∠BAE的度数;
(2)若AD⊥BC于点D,∠ADF=74°,
证明:△ADF是直角三角形.
【解析】略
重点3
利用直角三角形的性质求线段之间的关系
【典例3】如图所示,在△ABC中,AD是边BC上的高,CE是边AB上的中线,G是CE的
1
则AD与BC的数量关系是BC=2AD或AD= BC.
2
直角三角形的这个性质与等腰三角形的“三线合一”常结合在一起考查组成综合
性题目.
【触类旁通】
如图,在△ABC中,点D在AB上,且CD=CB,E为BD的中点,F为AC的中点,连接EF交CD
于点M,连接AM.
1
(1)求证:EF= AC;
2
(2)若EF⊥AC,求证:AM+DM=CB.
中点,AB=2CD,求证:DG⊥CE.
【自主解答】略
【举一反三】
如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D为AB的中点,点E在BC上,且CE=AC,
75°
∠BAE=15°,则∠CDE的大小为________.
5+2思维赋能
【模型溯源】

湘教版八年级数学下册1.1直角三角形的性质和判定(Ⅰ)课件(共23张)

1.1 直角三角形的性质和判定(Ⅰ)
锦囊妙计
求直角三角形面积的常用方法 (1)两直角边长度乘积的一半； (2)斜边长度与斜边上高的乘积的一半.
1.1 直角三角形的性质和判定(Ⅰ)
题型四运用直角三角形中30°角的性质进行有关计算
例题4 如图 1- 1- 18 , 在 R t △ A B C 中 , ∠C=90°, ∠A=30°, BT是
第1章直角三角形
1.1 直角三角形的性质和判定(Ⅰ)
第1章直角三角形
1.1 直角三角形的性质和判定(Ⅰ)
考场对接
1.1 直角三角形的性质和判定(Ⅰ)
考场对接
题型一利用直角三角形两锐角之间的关系பைடு நூலகம்角度
例题1 如图1-1-14, 在 Rt△ABC中, ∠ACB=90°, CD是 AB边上的
高, 如果∠A=50°, 则 ∠DCB的度数为( ). A
A．50°
B．45°
C．40°
D．25°
图1-1-14
1.1 直角三角形的性质和判定(Ⅰ)
1.1 直角三角形的性质和判定(Ⅰ)
锦囊妙计
直角三角形中的经典图形
在直角三角形中, 斜边上的高分直角所得的两个锐角与原
直角三角形的两个锐角之间存在相等或互余的关系, 这是一个常
见的基本图形, 在解题中应用广泛. 如图1-1-15, ∵∠B+∠A=90°,
例题3 如图1-1-17所示, 在Rt△ABC中, ∠ACB=90°, CD⊥AB 于点D, CE为斜边AB 上的中线, 且CD=4, CE=5, 求Rt△ABC的面积.
图1-1-17
1.1 直角三角形的性质和判定(Ⅰ)
1.1 直角三角形的性质和判定(Ⅰ)

新湘教版八年级下册数学《直角三角形的性质和判定(Ⅰ)(1)》导学案

（二）直角三角形的判定定理1
问题：“在△ABC中，∠A +∠B =90°，那么△ABC是直角三角形吗？”利用三角形内角和定理进行推理
归纳：有两个锐角互余的三角形是直角三角形
练习3:若∠A= 60°，∠B =30°，那么△ABC是三角形。

（三）直角三角形性质定理2
1、实验操作：拿出事先准备好的直角三角形的纸片
（l）量一量斜边AB的长度
（2）找到斜边的中点，用字母D表示
（3）画出斜边上的中线
（4）量一量斜边上的中线的长度
猜想斜边上的中线与斜边长度之间有何关系？
归纳：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

三、巩固训练：
练习4：在△ABC中，∠ACB=90°，CE是AB边上的中线，那么与CE 相等的线段有_________，与∠A相等的角有_________，若∠A=35°，那么∠ECB= _________。

练习5：已知：∠ABC=∠ADC=90°，E是AC中点。

求证：（1）ED=EB
（2）∠EBD=∠EDB
（3）图中有哪些等腰三角形？
练习6 已知：在△ABC中，BD、CE分别是边AC、AB上的高，M是BC 的中点。

如果连接DE,取DE的中点 O,那么MO与DE有什么样的关系存在?
四、小结：
这节课主要学习直角三角形的哪两条性质定理和一条判定定理？
学习反思。

北师大版八年级数学下册《直角三角形》三角形的证明PPT(第1课时)

获取新知
知识点二：直角三角形的边的关系
B
勾股定理直角三角形两条直角边的平方
和等于斜边的平方.
A
C
关于勾股定理的证明，可以欣赏“16页的读一读”，并可以上网搜索，诸如美国第二十任总统的证法、赵爽弦图法等
勾股定理反过来，怎么叙述呢？
如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形．
一项指标.现测得AB=4 cm,BC=3 cm,AD=13 cm,CD=12 cm, ∠ABC=90°,根据这些条件,能否得出∠ACD等于90°?请说明理由.
解:能.理由:在Rt△ABC中,
∵AB=4 cm,BC=3 cm,∠ABC=90°,
∴AC=
=5(cm).
在△ACD中,∵AD=13 cm,CD=12 cm,AC=5 cm,
你来给出完整的证明过程吧，试一试
例题讲解例1 如图，在△ABC中，∠C＝70°，∠B＝30°，AD⊥BC 于点D，AE为∠BAC的平分线，求∠DAE的度数．解：由题意可知， ∠BAC＝180°－∠B－∠C＝80°. ∵AE为∠BAC的平分线， ∴∠CAE＝∠BAE＝ ∠BAC＝40°. ∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°. ∴∠CAD＝90°－∠C＝90°－70°＝20°. ∴∠DAE＝∠CAE－∠CAD＝40°－20°＝20°.
原命题都存在逆命题，
但是互逆命题的真假无法保证
如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理.
注意1：逆命题、互逆命题不一定是真命题，但逆定理、互逆定理，一定是真命题.
注意2：不是所有的定理都有逆定理.
定理
“两直线平行，内错角相等”

初中数学八年级下册第1章直角三角形1.1直角三角形的性质和判定Ⅰ

1.1.1 直角三角形的性质教学目标知识与技能：1.理解并掌握直角三角形的判定定理和斜边上的中线性质定理。

2.能运用直角三角形的判定与性质，解决有关的问题。

过程与方法：通过对几何问题的“操作—探究—讨论—交流—讲评”的学习过程，提高分析问题和解决问题的能力。

情感、态度与价值观：感受数学活动中的多向思维、合作交流的价值，主动参与数学思维与交流活动。

教学重点：直角三角形斜边上的中线性质定理的推导与运用。

教学难点：“操作—探究—讨论—交流—讲评”得出直角三角形斜边上的中线性质定理。

教学过程一、教学引入1、三角形的内角和是多少度。

学生回答。

2、什么是直角三角形？日常生活中有哪些物品与直角三角形有关？请举例说明。

3、等腰三角形有哪些性质？二、探究新知1、探究直角三角形的判定定理：⑴ 观察小黑板上的三角形，由∠A +∠B 的度数，能说明什么？——两个锐角互余的三角形是直角三角形。

⑵ 讨论：直角三角形的性质和判定定理是什么关系？2、探究直角三角形的性质：⑴ 学生画出直角三角形ABC 斜边的中线CD 。

⑵ 测量并讨论斜边上的中线的长度与斜边长度之间的关系。

⑶ 学生猜想：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半。

3、共同探究：例已知：在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CD 是斜边AB 上的中线。

求证：CD =12AB 。

[教师引导：数学方法——倒推法、辅助线]三、应用迁移巩固提高练习：如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，求证：这个三角形是直角三角形。

即已知CD 是△ABC 的AB 边上的中线，且CD =12AB 。

求证：△ABC 是直角三角形。

提示：倒推法，要证明△ABC 是直角三角形，只有通过定义和判定定理，定义与判定定理都与角有关系。

现在我们只有边的关系，我们学过的边与角能联系起来的就是等腰三角形。

还要找到与90°有关的角，但是我们只知道三角形的内角和为180°。

八年级下册数学复习专题

八年级下册数学复习专题八年级下册数学复资料第一章直角三角形1、直角三角形的性质：①直角三角形的两锐角互余。

②直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半。

例如，在直角三角形ABC中，CD是斜边AB的中线，因此CD等于AB的一半。

③在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

例如，在直角三角形ABC中，如果∠A=30°，那么BC等于AB的一半。

例如，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，则正确的结论是AC²+BC²=AB²。

④在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°。

例如，在直角三角形ABC 中，如果BC等于AB的一半，那么∠A=30°。

例如，如果等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，那么顶角的度数是60°。

⑤勾股定理及其逆定理1）勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即a²+b²=c²。

求斜边的长度，可以用c=√(a²+b²)；求直角边的长度，可以用a=√(c²-b²)或b=√(c²-a²)。

例如，在图中的拉线电线杆示意图中，已知CD⊥AB，∠CAD=60°，那么拉线AC的长度是6m。

例如，如果一个直角三角形的两边长分别为6和10，那么这个三角形的第三条边长是√136.2）逆定理：如果三角形的三边长a、b、c有关系，那么这个三角形是直角三角形。

可以分别计算“a²+b²”和“c²”，如果相等就是直角三角形，不相等就不是直角三角形。

例如，在Rt△ABC中，如果AC=2，BC=7，AB=3，那么正确的结论是∠C=90°。

例如，如果一块木板如图所示，已知AB=4，BC=3，DC=12，AD=13，∠B=90°，那么这块木板的面积是18.例如，某校把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园，如图所示，∠ACB=90°，AC=80米，BC=60米，若线段CD是一条小渠，且D点在边AB上，已知水渠的造价为10元/米，问D点在距A点多远处时，水渠的造价最低？最低造价是多少？直角三角形性质及勾股定理的应用常见于各种图形中。

北师大版数学八年级下册第1课时直角三角形的性质与判定课件(共21张)

1 直角三角形的性质与判定
问题1：直角三角形的两个锐角有怎样的关系？为什么？
△ABC 是直角三角形， ∵∠A +∠B +∠C = 180°， ∴∠A +∠B = 90°. 又∵∠C = 90°，
问题2：如果一个三角形有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形吗? 为什么?
∵∠A +∠B +∠C = 180°，又∵∠A +∠B = 90°， ∴∠C = 90°. ∴△ABC 是直角三角形定理1 直角三角形的两个锐角互余.
b ca
S大正方形 = 4S直角三角形 + S小正方形 = 4× 1 ab + c2
2
cb a
= c2 + 2ab， ∴ a2 + b2 + 2ab = c2 + 2ab， ∴ a2 +b2 = c2.
证法2 赵爽弦图
大正方形的面积可以表示为 c 2 ；
也可以表示为
4×1
2
ab
+
(
b
-
a
)
2
．
a
c
一个三角形中相等的边所对的角相等；一个三角形中相等的角所对的边相等.
视察上面三组命题，你发现了什么?
归纳总结
在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题.
如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题就叫做它的逆命题.
想一想
你能写出命题“如果两个有理数相等，那么它们
上面两个定理的条件和结论有什么关系？
3 互逆命题与互逆定理
合作探究
视察上面第一个定理和第二个定理，它们的条件和结论之间有怎样的关系?