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椭圆的定义PPT课件
2a=2c时, 线段 2a<2c时, 无轨迹
F1
F2
椭圆标准方程
M
F1
F2
x
椭圆的标准方程
椭圆标准方程
y
M M F1 O F2Fra bibliotekyF2
x
O
x
F1
椭圆的标准方程的形式：焦点随着分母
走，焦点在分母大的轴上。
例题精析
例1：已知椭圆的方程为： ，则
3 ，焦点坐标 a=_____ 4 ，c=_______ 5 ，b=_______
的标准方程为______________.
点评：求椭圆方程首先要判断焦点的位置
练习：若方程4x2+kY2=1表示的曲线是 焦点在y轴上的椭圆，求k的取值范围。 解：由 4x2+ky2=1
可得 因为方程表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆
即：0<k<4
所以k的取值范围为 0<k<4 .
例5、化简：
分析： |MF1|+|MF2|=10， 2a=10，2c=6， ∴a=5，c=3，b=4 ∴
M (x,y)
y
F2(0,3) O F1(0,-3)
x
小结：
1.椭圆的定义及焦点、焦距的概念。
2.椭圆的标准方程。
3. 标准方程的简单应用。
作业:
P96习题 8.1
第1,2,4题
(3)曲线上一点P到焦点F1的距离为3，则点P到另一 个焦点F2的距离等于_________，则三角形F1PF2的周 y 长为___________
F2 P O
x
F1
例3、求满足下列条件的椭圆的标准方程： （1）满足a=4, b=1，焦点在 x轴上的椭圆 的标准方程为_____________; （2）满足a=4, c= ，焦点在 y轴上的椭圆
椭圆的课件ppt
$y=bsintheta$。
对于长轴在y轴上的椭圆，参 数方程为：$x=bsintheta$,
$y=acostheta$。
其中，$theta$为参数，表示 椭圆上的点与长轴之间的夹角。源自05椭圆的作图方法
椭圆的基本作图方法
定义法
根据椭圆的定义，通过两个固定 点（焦点）和一根线段（焦距） 来绘制椭圆。
椭圆的任意两个不同点与椭圆中 心的连线形成的角为直角或锐角
。
椭圆的参数方程
椭圆的参数方程为 $x = a cos theta, y = b sin theta$，其中 $theta$ 是参数。
该方程描述了椭圆上任意一点 $P$ 的坐标与参数 $theta$ 的 关系。
通过参数方程，可以方便地研 究椭圆的几何性质和运动轨迹 。
离心率与长短轴关系
离心率与长短轴之间存在反比关系，即长轴越短，离心率越大；短轴 越短，离心率越小。
椭圆的对称性
对称性定义
椭圆关于坐标轴和原点对 称。
对称轴
椭圆有两条对称轴，分别 是长轴和短轴所在的直线 。
对称中心
椭圆的中心称为对称中心 ，是椭圆上任意一点关于 对称轴的对称点。
03
椭圆的几何应用
椭圆在几何图形中的应用
当 $a > b$ 时，椭圆呈横向；当 $a < b$ 时，椭圆呈纵向。
该方程描述了一个平面上的二维椭圆 ，其中心位于原点，长轴位于x轴上。
椭圆的几何性质
椭圆是一个封闭的二维曲线，由 两个焦点和其上的所有点组成。
椭圆的两个焦点到任意一点 $P$ 的距离之和等于椭圆的长轴长度 ，即 $|PF_1| + |PF_2| = 2a$。
01
椭圆在几何图形中可以作为椭圆 形的绘制基础，如椭圆形的车轮 、椭圆形的镜子等。
对于长轴在y轴上的椭圆，参 数方程为：$x=bsintheta$,
$y=acostheta$。
其中，$theta$为参数，表示 椭圆上的点与长轴之间的夹角。源自05椭圆的作图方法
椭圆的基本作图方法
定义法
根据椭圆的定义，通过两个固定 点（焦点）和一根线段（焦距） 来绘制椭圆。
椭圆的任意两个不同点与椭圆中 心的连线形成的角为直角或锐角
。
椭圆的参数方程
椭圆的参数方程为 $x = a cos theta, y = b sin theta$，其中 $theta$ 是参数。
该方程描述了椭圆上任意一点 $P$ 的坐标与参数 $theta$ 的 关系。
通过参数方程，可以方便地研 究椭圆的几何性质和运动轨迹 。
离心率与长短轴关系
离心率与长短轴之间存在反比关系，即长轴越短，离心率越大；短轴 越短，离心率越小。
椭圆的对称性
对称性定义
椭圆关于坐标轴和原点对 称。
对称轴
椭圆有两条对称轴，分别 是长轴和短轴所在的直线 。
对称中心
椭圆的中心称为对称中心 ，是椭圆上任意一点关于 对称轴的对称点。
03
椭圆的几何应用
椭圆在几何图形中的应用
当 $a > b$ 时，椭圆呈横向；当 $a < b$ 时，椭圆呈纵向。
该方程描述了一个平面上的二维椭圆 ，其中心位于原点，长轴位于x轴上。
椭圆的几何性质
椭圆是一个封闭的二维曲线，由 两个焦点和其上的所有点组成。
椭圆的两个焦点到任意一点 $P$ 的距离之和等于椭圆的长轴长度 ，即 $|PF_1| + |PF_2| = 2a$。
01
椭圆在几何图形中可以作为椭圆 形的绘制基础，如椭圆形的车轮 、椭圆形的镜子等。
椭圆的简单几何性质ppt课件
由 e 1 ，得 1 k 1 ，即 k 5 ．
2
94
4
∴满足条件的 k 4 或 k 5 ．
4
例3：酒泉卫星发射中心将一颗人造卫星送入到 距地球表面近地点(离地面 近的点)高度约200km, 远地点(离地面最远的点)高度约350km的椭圆轨 道(将地球看作一个球，其半径约为6371km),求 椭圆轨道的标准方程。(注:地心(地球的中心)位
2.椭圆的标准方程
标准方程 图形
焦点在x轴上
x2 + y2 = 1a > b > 0
a2 b2
y P
F1 O F2
x
焦点在y轴上
x2 + y2 = 1a > b > 0
b2 a2
y
F2
P
O
x
F1
焦点坐标 a、b、c 的关系 焦点位置的判断
F1 -c , 0，F2 c , 0
F1 0,- c，F2 0,c
分别叫做椭圆的长轴和短轴。 A1
o
A2 x
B2(0,-b)
a、b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
思考：椭圆的焦点与椭圆的长轴、短轴有什么关系？ 焦点落在椭圆的长轴上
椭圆的简单几何性质
长轴：线段A1A2； 长轴长
短轴：线段B1B2； 短轴长
注意
焦距
|A1A2|=2a |B1B2|=2b |F1F2| =2c
y
B2(0,b)
①a和b分别叫做椭圆的 A1 (-a, 0)
b
a
A2 (a, 0)
长半轴长和短半轴长；
F1 a
o c F2 x
② a2=b2+c2，|B2F2|=a；
B1(0,-b)
椭圆的定义课件(2023版ppt)
椭圆的离心率为e = c/a，
04 其中c为椭圆的焦距，a
为椭圆的长半轴
椭圆的图形表示
椭圆的图形特征
椭圆是一种封闭的曲线图形，由两个焦点和
01
一条长轴组成。
椭圆的形状可以根据长轴和短轴的长度比例来
02
变化，当长轴和短轴相等时，椭圆变为圆。
椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和是常
03
数，这个常数叫做椭圆的焦距。
01
02
03
04
椭圆的性质与定理
椭圆的性质
椭圆的定义：平面 内到两个固定点的 距离之和等于常数 的点的轨迹
椭圆的焦点：椭圆 的两个固定点，决 定了椭圆的形状和 大小
椭圆的离心率：椭 圆焦点到椭圆中心 的距离与椭圆长轴 长度的比值，决定 了椭圆的扁平程度
椭圆的顶点：椭圆 与坐轴的交点， 决定了椭圆的位置 和方向
2
椭圆在物理学中 的应用：椭圆轨 道、椭圆振动等
3
椭圆在工程学中 的应用：椭圆形 建筑、椭圆形管
道等
4
椭圆在艺术设计 中的应用：椭圆 形构图、椭圆形
图案等
谢谢
椭圆的周长与面积可以通 过公式计算
椭圆的离心率决定了椭圆 的形状
椭圆的焦点决定了椭圆的 位置和方向
椭圆的方程
椭圆的标准方程：
x^2/a^2 + y^2/b^2 01
=1
椭圆的焦点在x轴和y轴
上的坐标分别为(a,0)和 03
(0,b)
椭圆的顶点坐标为(a,0) 05
和(0,b)
02
a和b分别表示椭圆的长 半轴和短半轴
椭圆的性质：椭圆具
2 有对称性、周期性、 可积性等性质，这些 性质在几何应用中具 有重要作用。
椭圆ppt课件
02
椭圆的绘制方法
几何法绘制椭圆
固定两点法
选取两个固定点，利用细线、笔 和画板，通过细线两端分别绕两 个固定点旋转绘制椭圆。
圆心与半径法
选取一个圆心，以不同半径分别 用圆规画出两个相交的圆，连接 两个交点得到椭圆的长短轴，再 绘制椭圆。
代数法绘制椭圆
标准方程法
根据椭圆的标准方程，确定长短轴长度和中心位置，利用坐标纸和直尺绘制椭圆 。
椭圆的几何性质
焦点
椭圆有两个焦点，它们位于长轴上，距离原点分别为c。
长轴和短轴
椭圆有两条对称轴，分别是长轴和短轴。长轴通过两个焦 点，短轴与长轴垂直。长轴长度为2a，短轴长度为2b。
离心率
椭圆的离心率e定义为c/a，它描述了椭圆的扁平程度。 0<e<1时，椭圆越扁平；e=0时，椭圆变为圆；e>1时， 椭圆不存在。
椭圆形储罐
椭圆形储罐结构受力均匀 ，节省材料，常用于石油 、化工等行业的聚焦于一点，应用于望 远镜、卫星天线等光学设 备中。
经济学中椭圆的应用
生产可能性边界
生产可能性边界呈椭圆形，表示 在一定资源和技术条件下，两种
产品最大可能产量的组合。
效用函数
在消费者选择理论中，效用函数常 用椭圆函数形式来描述消费者在无 差异曲线上的偏好。
参数方程法
根据椭圆的参数方程，设定参数范围和步长，利用计算器或计算机软件生成椭圆 上的离散点，再连接成椭圆。
电脑绘图软件绘制椭圆
绘图软件工具
使用绘图软件中的椭圆工具，通过鼠标点击和拖动直接在画 布上绘制椭圆。
自定义绘制
利用绘图软件的编程功能，编写自定义的椭圆绘制程序，实 现更复杂的椭圆绘制需求。
03
椭圆的应用举例
《椭圆的定义》课件
《椭圆的定义》ppt课件
• 椭圆的定义 • 椭圆的几何意义 • 椭圆的参数方程 • 椭圆的焦点与离心率 • 椭圆的面积与周长 • 椭圆的扩展知识
01
椭圆的定义
椭圆的标准方程
椭圆的标准方程是：$frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = 1$，其中 $a$ 和 $b$ 是椭圆的半长轴和半短轴。
当 $a = b$ 时，椭圆变为圆；当 $a > b$ 时，椭圆为扁平椭圆；当 $a < b$ 时，椭圆为长椭圆。
这个方程描述了一个椭圆，其形状由 半长轴 $a$ 和半短轴 $b$ 的大小决 定。
椭圆的基本性质
椭圆是封闭的曲线，它有两个焦点， 分别位于长轴的端点。
椭圆上任意一点到焦点的距离与该点 到椭圆中心的距离之比是一个常数， 这个常数等于半短轴 $b$ 与半长轴 $a$ 的比值，记作 $e$，即 $e = frac{c}{a}$。
椭圆是平面内到两定点距离之差等于常数的点的轨迹：这个常数小于两定点之间的 距离。
椭圆是平面内到两定点距离之积等于常数的点的轨迹：这个常数大于两定点之间的 距离。
椭圆在日常生活中的应用
01
02
03
04
天文学
行星和卫星的轨道通常呈现椭 圆形形状，这是因为它们受到
太阳的引力作用。
物理学
粒子在磁场中的运动轨迹可能 是椭圆形。
椭圆和双曲线有一个共同的焦点 ：两点的中点。
椭圆和双曲线都可以由平面截取 圆锥面得到：一个平面与圆锥面 的母线形成的角为锐角得到椭圆 ，形成的角为直角得到双曲线。
THANKS
感谢观看
$S = pi ab$，其中a和b分别是椭圆长轴和 短轴的半径。
应用场景
• 椭圆的定义 • 椭圆的几何意义 • 椭圆的参数方程 • 椭圆的焦点与离心率 • 椭圆的面积与周长 • 椭圆的扩展知识
01
椭圆的定义
椭圆的标准方程
椭圆的标准方程是：$frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = 1$，其中 $a$ 和 $b$ 是椭圆的半长轴和半短轴。
当 $a = b$ 时，椭圆变为圆；当 $a > b$ 时，椭圆为扁平椭圆；当 $a < b$ 时，椭圆为长椭圆。
这个方程描述了一个椭圆，其形状由 半长轴 $a$ 和半短轴 $b$ 的大小决 定。
椭圆的基本性质
椭圆是封闭的曲线，它有两个焦点， 分别位于长轴的端点。
椭圆上任意一点到焦点的距离与该点 到椭圆中心的距离之比是一个常数， 这个常数等于半短轴 $b$ 与半长轴 $a$ 的比值，记作 $e$，即 $e = frac{c}{a}$。
椭圆是平面内到两定点距离之差等于常数的点的轨迹：这个常数小于两定点之间的 距离。
椭圆是平面内到两定点距离之积等于常数的点的轨迹：这个常数大于两定点之间的 距离。
椭圆在日常生活中的应用
01
02
03
04
天文学
行星和卫星的轨道通常呈现椭 圆形形状，这是因为它们受到
太阳的引力作用。
物理学
粒子在磁场中的运动轨迹可能 是椭圆形。
椭圆和双曲线有一个共同的焦点 ：两点的中点。
椭圆和双曲线都可以由平面截取 圆锥面得到：一个平面与圆锥面 的母线形成的角为锐角得到椭圆 ，形成的角为直角得到双曲线。
THANKS
感谢观看
$S = pi ab$，其中a和b分别是椭圆长轴和 短轴的半径。
应用场景
2.1.2《椭圆的简单几何性质(一)》ppt课件
y
B2
b
A1
A2
F1 O c F2
x
B1
讲授新课 3．顶点 线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和 短轴. 长轴的长等于2a. 短轴的长等于2b.
a叫做椭圆的长半轴长． b叫做椭圆的短半轴长．
|B1F1|＝|B1F2|＝|B2F1| ＝|B2F2|＝a．
y
B2
b
a
A1
A2
F1 O c F2
x
B1
a叫做椭圆的长半轴长． b叫做椭圆的短半轴长．
y
B2
b
A1
A2
F1 O c F2
x
B1
讲授新课 3．顶点 线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和 短轴. 长轴的长等于2a. 短轴的长等于2b.
a叫做椭圆的长半轴长． b叫做椭圆的短半轴长．
|B1F1|＝|B1F2|＝|B2F1| ＝|B2F2|＝
讲授新课 2．对称性
x2 a2
y2 b2
1
(a＞b＞0)．
y
F1 O
F2
x
讲授新课
2．对称性
x2 a2
y2 b2
1
(a＞b＞0)．
在椭圆的标准方程里，把x换成－x，或 把y换成－y，或把x、y同时换成－x、－y时， 方程有变化吗？这说明什么？
y
F1 O
F2
x
Y 关于y轴对称
P2（-x，y）
x2 a2
y2 b2
1,
y b B2
A1
-a F1 O
F2
椭圆位于直线x＝±a和 y＝±b围成的矩形里．
-b B1
A2 ax
练习1：分别说出下列椭圆方程中x，y的取值范围
高考理数复习---椭圆的定义及应用考点与例题讲解PPT课件
6
本例(1)应用线段中垂线的性质实现了“|PF|＋|PO|”向 定值的转化；本例(2)把余弦定理与椭圆的定义交汇在一起，借助方 程的思想解出|AF1|，从而求得△AF1F2的面积．
7Leabharlann 已知F1，F2是椭圆C：x2 a2
＋
y2 b2
＝1(a＞b＞0)的两个焦点，
P为椭圆C上的一点，且PF1⊥PF2，若△PF1F2的面积为9，则b＝ ________．
高考理数复习---椭圆的定义及应用考 点与例题讲解PPT课件
椭圆的定义及应用 椭圆定义的应用主要有两个方面
一是判定平面内动点的轨迹是否为椭圆；二是利用定义求焦点三 角形的周长、面积、弦长、最值和离心率等．
2
(1)如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F
是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与
F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于
点P，则点P的轨迹是( )
A．椭圆
B．双曲线
C．抛物线
D．圆
3
(2)F1，F2是椭圆x92＋y72＝1的两个焦点，A为椭圆上一点，且
∠AF1F2＝45°，则△AF1F2的面积为( )
A．7
7 B.4
C.72
D.7 2 5
4
(1)A (2)C [(1)由题意可知，CD是线段MF的垂直平分线， ∴|MP|＝|PF|， ∴|PF|＋|PO|＝|PM|＋|PO|＝|MO|(定值)． 又|MO|＞|FO|， ∴点P的轨迹是以F，O为焦点的椭圆，故选A.
3 [设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2， 则rr121＋＋rr222＝＝24ac2，，所以 2r1r2＝(r1＋r2)2－(r21＋r22)＝4a2－4c2＝4b2，
所以 S△PF1F2＝12r1r2＝b2＝9，所以 b＝3.]
本例(1)应用线段中垂线的性质实现了“|PF|＋|PO|”向 定值的转化；本例(2)把余弦定理与椭圆的定义交汇在一起，借助方 程的思想解出|AF1|，从而求得△AF1F2的面积．
7Leabharlann 已知F1，F2是椭圆C：x2 a2
＋
y2 b2
＝1(a＞b＞0)的两个焦点，
P为椭圆C上的一点，且PF1⊥PF2，若△PF1F2的面积为9，则b＝ ________．
高考理数复习---椭圆的定义及应用考 点与例题讲解PPT课件
椭圆的定义及应用 椭圆定义的应用主要有两个方面
一是判定平面内动点的轨迹是否为椭圆；二是利用定义求焦点三 角形的周长、面积、弦长、最值和离心率等．
2
(1)如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F
是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与
F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于
点P，则点P的轨迹是( )
A．椭圆
B．双曲线
C．抛物线
D．圆
3
(2)F1，F2是椭圆x92＋y72＝1的两个焦点，A为椭圆上一点，且
∠AF1F2＝45°，则△AF1F2的面积为( )
A．7
7 B.4
C.72
D.7 2 5
4
(1)A (2)C [(1)由题意可知，CD是线段MF的垂直平分线， ∴|MP|＝|PF|， ∴|PF|＋|PO|＝|PM|＋|PO|＝|MO|(定值)． 又|MO|＞|FO|， ∴点P的轨迹是以F，O为焦点的椭圆，故选A.
3 [设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2， 则rr121＋＋rr222＝＝24ac2，，所以 2r1r2＝(r1＋r2)2－(r21＋r22)＝4a2－4c2＝4b2，
所以 S△PF1F2＝12r1r2＝b2＝9，所以 b＝3.]
人教A版选修椭圆的定义及标准方程PPT课件
人 教 A 版 选修 2-1第 二章2. 2.1椭圆 的定义 及标准 方程（ 共25张 PPT）
人 教 A 版 选修 2-1第 二章2. 2.1椭圆 的定义 及标准 方程（ 共25张 PPT）
变式练习题（一）
x2 1. 52
y2 32
1，则a＝
5
，b＝
3
；
焦点坐标为（：-4_，__0_）_（__4_，_0_）_ 焦距等于_8__;
人 教 A 版 选修 2-1第 二章2. 2.1椭圆 的定义 及标准 方程（ 共25张 PPT）
请你归纳出椭圆的定义,它应该包含几个要素?
(1)由于绳长固定，所以点M到两
M
个定点的距离和是个定值
F1
F2
（2）点M到两个定点的距离和要大
于两个定点之间的距离
人 教 A 版 选修 2-1第 二章2. 2.1椭圆 的定义 及标准 方程（ 共25张 PPT）
53 8
a 4 又c 2 b2 a2 c2 16 4 12
x y 2
所以椭圆的标准方程为：
2
定义法求轨迹方程。 1
16 12
人 教 A 版 选修 2-1第 二章2. 2.1椭圆 的定义 及标准 方程（ 共25张 PPT）
经过一系列的化简可得到:
？y
P(x, y)
x F1(c,0) O F2(c,0)
(b 0) 代入就可以得到：
①
方程①就叫做椭圆的标准方程
它所表示的椭圆的焦点在 x轴上, 焦点坐标是 F1(c,0)、F2(c,0)。
其中
人 教 A 版 选修 2-1第 二章2. 2.1椭圆 的定义 及标准 方程（ 共25张 PPT）
例题1：求适合下列条件的椭圆的标准方程： 两个焦点的坐标分别是F1(-2,0),F2(2,0),并
椭圆的定义PPT教学课件
举出实例:
M
椭圆的定义： F1
F2
平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常 数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。
F1、F2 ——焦点 |F1F2 | ——焦距（一般用2c表示）
|MF1|+ |MF2| = 2a
设∣F1F2∣= 2c, ∣MF1∣+∣MF2∣= 2a，则
c=0时,圆 M
2a>2c时, 椭圆
(3)曲线上一点P到焦点F1的距离为3，则点P到另一
个焦点F2的距离等于___2__5___3_，则三角形F1PF2的周
y
长为_2__5___2_____
F2 P
O
x
F1
例3、求满足下列条件的椭圆的标准方程：
（1）满足a=4, b=1，焦点在 x轴上的椭圆 的标准方程为__1x_62___y_2___1___;
解：由 4x2+ky2=1
x2
y2
可得
1 11
4k
因为方程表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆
所以 1 1 k4
即：0<k<4
所以k的取值范围为 0<k<4 .
例5、化简：
x2 ( y 3)2 x2 ( y 3)2 10
分析： |MF1|+|MF2|=10， 2a=10，2c=6， ∴a=5，c=3，b=4 ∴ y2 x2 1
• 父：聪明吾儿，那你再看这平坦的大地又像什么？ • 女：（略思索）像方正的木板． • 父：对，正如书中所云：“天圆如张盖，地方如
棋局”。
背景：两千多年前的我国周代
天圆地方---盖天说
古希腊数学家毕达哥拉斯
古希腊著名科学家 亚里士多德
太阳光
M
椭圆的定义： F1
F2
平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常 数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。
F1、F2 ——焦点 |F1F2 | ——焦距（一般用2c表示）
|MF1|+ |MF2| = 2a
设∣F1F2∣= 2c, ∣MF1∣+∣MF2∣= 2a，则
c=0时,圆 M
2a>2c时, 椭圆
(3)曲线上一点P到焦点F1的距离为3，则点P到另一
个焦点F2的距离等于___2__5___3_，则三角形F1PF2的周
y
长为_2__5___2_____
F2 P
O
x
F1
例3、求满足下列条件的椭圆的标准方程：
（1）满足a=4, b=1，焦点在 x轴上的椭圆 的标准方程为__1x_62___y_2___1___;
解：由 4x2+ky2=1
x2
y2
可得
1 11
4k
因为方程表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆
所以 1 1 k4
即：0<k<4
所以k的取值范围为 0<k<4 .
例5、化简：
x2 ( y 3)2 x2 ( y 3)2 10
分析： |MF1|+|MF2|=10， 2a=10，2c=6， ∴a=5，c=3，b=4 ∴ y2 x2 1
• 父：聪明吾儿，那你再看这平坦的大地又像什么？ • 女：（略思索）像方正的木板． • 父：对，正如书中所云：“天圆如张盖，地方如
棋局”。
背景：两千多年前的我国周代
天圆地方---盖天说
古希腊数学家毕达哥拉斯
古希腊著名科学家 亚里士多德
太阳光
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A. 圆 C. 双曲线
B. 椭圆 D. 线段
基础自测
4. F
为椭圆 x2
y2 4
1的一个焦
点， P 为椭圆上的一个动点，则
| PF |的最大值是
.
运用椭圆的定义解决的问题
例题及练习
一、 判断方程表示的曲线
例1
方程
(x 1)2 y 2 | x4|
1 2
表示的曲线为(
)
A. 圆
B. 椭圆
C. 双曲线一支
A. 圆
B. 椭圆
C. 双曲线一支
D. 抛物线
例题及练习
变式练习：
动 圆 C 与 圆 C1 ： x2 y2 1 外 切 且 与 圆 C2 ：
x2 y2 6x 16 0 内切,则动圆圆心 C 的轨迹为（ ）
A. 圆 C. 双曲线一支
B. 椭圆 D. 抛物线
例题及练习
y
C
o C1
C2
x
例题及练习
椭圆
x2 25
y2 9
1上,则
sin
A sin sin B
C
.
例题及练习
五、 求最值
例 5 给定 A（-2，2），已知 B 是椭圆
x2 25
y2 16
1
上动点，F
是左焦点，当
|AB|
5 3
|
BF|
取最小值时，求
B
点坐标.
课后作业
(x 1)2 y2
1.方程 | x y 1| 1表示的曲线为（ ） A. 两条相交直线但不含它们的交点 B. 椭圆 C. 双曲线一支 D. 抛物线
个焦点,且椭圆的另外一个焦点在边 BC
上,则 ABC的周长是
.
基础自测
x2
y2
2（. 08 天津 5）设椭圆 m2 m2 1 1(m 1)
上一点到其左焦点的距离为 3，到右
焦点的距离为 1，则到右准线的距离
为（ ）
A.6
B.2
1
C. 2
27
D. 7
基础自测
3. 方 程 x2 2x 1 y2 x2 2x 1 y2 4 表 示 的曲线为（ ）
P
（1，-1），F 为椭圆右焦点，M 是
椭圆上动点，求|MP|+|MF|的最小值.
课外思考
1.平面内与两定点 A(a,0), B(a,0) 斜率之
0)
的点的轨迹是
.
课外思考
2.若方程 m(x2 y2 2y 1) (x 2y 3)2表示的 曲线为椭圆，则m的取值范围是（ ）
D. 抛物线
例题及练习
变式练习：
(x 1) 2 y 2 1
方程 | 3x 4 y 1| 10 表示的曲线为( )
A. 圆
B. 椭圆
C. 双曲线一支
D. 抛物线
例题及练习
二、求轨迹方程
例 2 （02 年春季高考）已知椭圆的焦点是 F1、 F2，P 是椭圆上一个动点，如果延长 F1P 到 Q， 使得 | PQ|| PF2 |，那么动点 Q 的轨迹是（ ）
课后作业
2.(
04
年全国Ⅰ)椭圆
x2 4
y2
1的两个焦
点分别为 F1 、F2 ，过 F1 作垂直于 x 轴的
直 线 与 椭 圆 相 交 , 一 个 交 点 为 P, 则
| PF2 | （ ）
3
A. 2 B. 3
7
C. 2 D.4
课后作业
3.已知点 P 是椭圆
x2 4
y2
1 上的
动点， F1、 F2是椭圆的两个焦点，
三、求焦点三角形的面积
例 3 已 知 △ F1PF2 中 ， 点 P 是 椭 圆
x2 y2
a2 b2 1(a b 0) 上的一点，F1、F2 是两个焦 点，且∠F1PF2＝α，求△F1PF2 的面积 S.
例题及练习
变式练习：
设
F1 和 F2 为椭圆
x2 4
y2
1 的两个焦点,
点 P 在椭圆上，且 F1PF2 60 ,则 F1PF2 的
则 F1PF2 的最大值为
，使
F1PF2 90 的点 P 有
个.
课后作业
4.（04
全国
III）设椭圆
x2 m1
y2
1
的两个焦点是 F1（-c，0）、F2（c，
0）（c>0），且椭圆上存在点 P，使
得直线 PF1 与直线 PF2 垂直，求 m 的取值范围.
课后作业
x2
5．已知椭圆 4
y2 3
1 内有一点
A. （0，1）
B. （1，+∞）
C. （0，5）
D. （5，+∞）
y
P2
P1 x, y
F1 5,0 o
F2 5,0 x
复习
焦点在 x轴上的椭圆的标准方程为
x2 y2 1(a b 0)
a2 b2
焦点在 y 轴上的椭圆的标准方程为
y2 x2 1(a b 0)
a2 b2
面积是
.
例题及练习
四、求离心率
例4
已知
P
是椭圆
x2 a2
y2 b2
1(a
b 0) 上一点，
且点 P 不在 x 轴上，F1、F2 是椭圆的左、
右焦点，若∠PF1F2＝α，∠PF2F1＝β，求
椭圆离心率.（用α、β表示）
例题及练习
变式练习：
(07 江苏)在平面直角坐标系 xoy 中,已 知 ABC的顶点 A(4,0),C(4,0) ,顶点 B 在
复习
点P(x0, y0 ) 到直线 Ax By C 0 的距离为
| Ax By C |
d 0
0
A2 B2
想一想:
什么时候用第一定义解题?
两个焦点
什么时候用第二定义解题?
焦点,准线
基础自测
1.（06 全国）已知 ABC的顶点 B 、 C 在
x2
椭圆 4
y2 3
1上,顶点
A 是椭圆的一
近3年出现的部分利用椭圆定义解决的高考题
2006年 重庆22 全国 2007年 广东18 湖南9 重庆22 江苏15 2008年 湖北19 四川21天津5 重庆21 辽宁10
复习
椭圆的定义
椭圆第一定义:
PF1 PF2 2a F1F2
椭圆第二定义:
| PF | e(0 e 1) d