2017苏锡常镇高三数学一模试卷答案
苏州一模数学(四)DA
(这是边文，请据需要手工删加)2017届高三年级第一次模拟考试(四)(苏州市)数学参考答案一、 填空题1. (1，3)2. －12 3.3 4. 900 5. 0.46. [－2，－1]7. 58. －139. 12 10. 311. 94 12. 1＋5249 13. ⎩⎨⎧⎭⎬⎫－e ，－5ln 5，2，5214. ⎣⎡⎦⎤－43，4 二、 解答题 15. 解：(1) f(x)＝32sin 2x －1＋cos 2x 2－12＝32sin 2x －cos 2x2－1(2分) ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6－1.(4分)当2x －π6＝2k π－π2，即x ＝k π－π6(k ∈Z )时，f (x )的最小值为－2.(6分)此时自变量x 的取值集合为{x |x ＝k π－π6，k ∈Z }．(7分)(或写成⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k π＋5π6，k ∈Z )． (2) 因为f (C )＝0，所以sin ⎝⎛⎭⎫2C －π6－1＝0，又0<C <π，所以2C －π6＝π2，即C ＝π3.(9分)在△ABC 中，sin B ＝2sin A ，由正弦定理知b ＝2a ，又c ＝3，(11分) 由余弦定理知(3)2＝a 2＋b 2－2ab cos π3，即a 2＋b 2－ab ＝3，(13分)联立⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝3，b ＝2a ，解得a ＝1，b ＝2.(14分)16. 证明：(1) 连接菱形的对角线AC ，BD 交于点O ，连接MO ，因为M 是线段AC 1的中点，在△ACC 1中，MO ∥CC 1，且MO ＝12CC 1，(2分)又F 是BB 1的中点，BF ∥CC 1，且BF ＝12CC 1，所以BF ∥MO 且BF ＝MO ，故四边形MOBF 是平行四边形，(4分)所以MF ∥BO ，又MF 平面ABCD ，BO 平面ABCD ，所以MF ∥平面ABCD.(7分)(2) 由(1)知，OB ∥MF ，在菱形ABCD 中，OB ⊥AC ，所以MF ∥AC ，(9分) 在直四棱柱ABCDA 1B 1C 1D 1中，CC 1⊥平面ABCD ，BO 平面ABCD ， 所以BO ⊥CC 1，即MF ⊥CC 1，(11分)因为MF ⊥AC ，MF ⊥CC 1，CC 1∩AC ＝C ，AC ，CC 1 平面ACC 1A 1， 所以MF ⊥平面ACC 1A 1，(13分)又MF 平面AFC 1，所以平面AFC 1⊥平面ACC 1A 1.(14分)17. 解：(1) 因为椭圆C 的离心率为c a ＝32，所以a 2－b 2a 2＝34，即a 2＝4b 2，(2分)所以椭圆C 的方程可化为x 2＋4y 2＝4b 2.又椭圆C 过点P(2，－1)，所以4＋4＝4b 2，解得b 2＝2，a 2＝8，(4分) 所以所求椭圆C 的标准方程为x 28＋y 22＝1.(5分)(2) 由题意，设直线PA 的方程为y ＋1＝k(x －2)，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝8，y ＝k （x －2）－1，消去y 得：(1＋4k 2)x 2－8(2k 2＋k)x ＋16k 2＋16k －4＝0，(7分) 所以2x 1＝16k 2＋16k －41＋4k 2，即x 1＝8k 2＋8k －21＋4k 2，因为直线PQ 平分∠APB ，即直线PA 与直线PB 的斜率为互为相反数． 设直线PB 的方程为y ＋1＝－k(x －2)，同理求得x 2＝3k 2－8k －21＋4k 2.(10分)又⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋1＝k （x 1－2），y 2＋1＝－k （x 2－2），所以y 1－y 2＝k(x 1＋x 2)－4k ， 即y 1－y 2＝k(x 1＋x 2)－4k ＝k 16k 2－41＋4k 2－4k ＝－8k 1＋4k 2，x 1－x 2＝16k 1＋4k 2. 所以直线AB 的斜率为k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－8k1＋4k 216k 1＋4k2 ＝－12.(14分)18. 解：(1) 据题意，抛物线段AB 与x 轴相切，且A 为抛物线的顶点，设A(a ，0)(a<－2)，则抛物线段AB 在图纸上对应函数的解析式可设为y ＝λ(x －a)2(a ≤x ≤－2)(λ>0)，(2分)其导函数为y′＝2λ(x －a)．由曲线段BD 在图纸上的图象对应函数的解析式为y ＝84＋x 2(x ∈[－2，2])， 又y′＝－16x （4＋x 2）2，且B(－2，1)，所以曲线在B 点处的切线斜率为12， 因为B 点为衔接点，则⎩⎪⎨⎪⎧λ（－2－a ）2＝1，2λ（－2－a ）＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，λ＝116.(4分)所以曲线段AB 在图纸上对应函数的解析式为y ＝116(x ＋6)2(－6≤x ≤－2)．(5分) (2) 设P(x ，y)是曲线段AC 上任意一点，①若P 在曲线段AB 上，则通过该点所需要的爬坡能力 (M p )1＝(－x)·18(x ＋6)＝－18[(x ＋3)2－9](－6≤x ≤－2)，(6分)令y 1＝－18[(x ＋3)2－9](－6≤x ≤－2)，所以函数y 1＝－18[(x ＋3)2－9](－6≤x ≤－2)在区间[－6，－3]上为增函数，在区间[－3，－2]上是减函数，所以[(M P )1]max ＝98(米)(9分)②若P 在曲线段BC 上，则通过该点所需要的爬坡能力 (M p )2＝(－x)·－16x （4＋x 2）2＝16x 2（4＋x 2）2(－2≤x ≤0)，(10分)令t ＝x 2，t ∈[0，4]，则(M p )2＝16t（4＋t ）2，t ∈[0，4]，记y 2＝16t （4＋t ）2，t ∈[0，4]，当t ＝0时，y 2＝0，而当0<t ≤4时，y 2＝1616t＋t ＋8， 所以当t ＝4时，t ＋16t 有最小值16，从而y 2取最大值1，此时[(M p )2]max ＝1(米)(13分)所以由①，②可知：车辆过桥所需要的最大爬坡能力为98米，(14分)又因为0.8<98<1.5<2，所以“游客踏乘”的车辆不能顺利通过该桥，而“蓄电池动力”和“内燃机动力”的车辆可以顺利通过该桥．(16分)19. 解：(1) 由S n ＝2a n －2得S n ＋1＝2a n ＋1－2，两式相减，得a n ＋1＝2a n ＋1－2a n ， 所以a n ＋1＝2a n ，由又S 1＝2a 1－2，得a 1＝2a 1－2，a 1＝2，(2分)所以数列{a n }为等比数列，且首项为2，公比q ＝2，所以a n ＝2n .(4分)(2) 由(1)知1a n ＝12n (n ∈N *)．由12n ＝b 12＋1－b 222＋1＋b 323＋1＋…＋(－1)n ＋1b n 2n ＋1(n ∈N *)， 得12n －1＝b 12＋1－b 222＋1＋b 323＋1－…＋(－1)n b n －12n －1＋1(n ≥2)． 故12n －12n －1＝(－1)n ＋1b n 2n ＋1，即b n ＝(－1)n ⎝⎛⎭⎫12n ＋1(n ≥2)．(7分) 当n ＝1时，a 1＝b 12＋1，b 1＝32.所以b n＝⎩⎨⎧32，（n ＝1）（－1）n⎝⎛⎭⎫12n＋1.（n ≥2，n ∈N *）(9分)(3) 因为c n ＝2n ＋λb n ，所以当n ≥3时，c n ＝2n ＋(－1)n ⎝⎛⎭⎫12n ＋1λ， c n －1＝2n －1＋(－1)n －1⎝⎛⎭⎫12n －1＋1λ，依据题意，有c n －c n －1＝2n －1＋(－1)nλ⎝⎛⎭⎫2＋32n >0，即(－1)n λ>－2n －132n ＋2.(10分) ①当n 为大于或等于4的偶数时， 有λ>－2n －132n＋2恒成立，又2n －132n ＋2＝1322n －1＋12n －2随n 增大而增大， 则当且仅当n ＝4时，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2n －132n ＋2min ＝12835，故λ的取值范围为λ>－12835；(12分) ②当n 为大于或等于3的奇数时，有λ<2n －132n＋2恒成立，且仅当n ＝3时，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2n －132n ＋2min ＝3219， 故λ的取值范围为λ<3219；(14分)又当n ＝2时，由c n －c n －1＝c 2－c 1＝(22＋54λ)－⎝⎛⎭⎫2＋32λ>0，得λ<8.(15分) 综上可得，所求λ的取值范围是－12835<λ<3219.(16分)20. 解：(1) f′(x)＝1x·x ＋ln x －k －1＝ln x －k ，(1分)①k ≤0时，因为x>1，所以f′(x)＝ln x －k>0，函数f(x)的单调递增区间是(1，＋∞)，无单调递减区间，无极值；(2分) ②当k>0时，令ln x －k ＝0，解得x ＝e k ， 当1<x<e k 时，f ′(x)<0； 当x>e k 时，f ′(x)>0，所以函数f(x)的单调递减区间是(1，e k )，单调递增区间是(e k ，＋∞)，(4分) 在区间(1，＋∞)上的极小值为f(e k )＝(k －k －1)e k ＝－e k ，无极大值．(5分)(2) 由题意，f(x)－4ln x<0，即问题转化为(x －4)ln x －(k ＋1)x<0对于x ∈[e ，e 2]恒成立， 即k ＋1>（x －4）ln xx 对于x ∈[e ，e 2]恒成立，(7分)令g(x)＝（x －4）ln x x ，则g′(x)＝4ln x ＋x －4x 2，令t(x)＝4ln x ＋x －4，x ∈[e ，e 2]，则t′(x)＝4x＋1>0，所以t(x)在区间[e ，e 2]上单调递增，故t(x)min ＝t(e )＝e －4＋4＝e >0，故g′(x)>0， 所以g(x)在区间[e ，e 2]上单调递增，函数g(x)max ＝g(e 2)＝2－8e 2.(9分)要使k ＋1>（x －4）ln xx 对于x ∈[e ，e 2]恒成立，只要k ＋1>g(x)max ，所以k ＋1>2－8e 2，即实数k 的取值范围为(1－8e2，＋∞)．(10分)(3) 证法1 因为f(x 1)＝f(x 2)，由(1)知，函数f(x)在区间(0，e k )上单调递减，在区间(e k ，＋∞)上单调递增，且f(e k ＋1)＝0.不妨设x 1<x 2，则0<x 1<e k <x 2<e k ＋1，要证x 1x 2<e 2k，只要证x 2<e 2k x 1，即证e k<x 2<e 2k x 1.因为f(x)在区间(e k，＋∞)上单调递增，所以f(x 2)<f ⎝⎛⎭⎫e 2kx 1，又f(x 1)＝f(x 2)，即证f(x 1)<f ⎝⎛⎭⎫e 2kx 1，构造函数h(x)＝f(x)－f ⎝⎛⎭⎫e 2kx ＝(ln x －k －1)x －⎝⎛⎭⎫ln e 2kx －k －1e 2kx ， 即h(x)＝x ln x －(k ＋1)x ＋e 2k ⎝⎛⎭⎫ln x x－k －1x ，x ∈(0，e k )．(12分) h ′(x)＝ln x ＋1－(k ＋1)＋e 2k (1－ln x x 2＋k －1x 2)＝(ln x －k)（x 2－e 2k ）x 2，因为x ∈(0，e k )，所以ln x －k<0，x 2<e 2k ，即h ′(x)>0，所以函数h(x)在区间(0，e k )上单调递增，故h(x)<h(e k )， 而h(e k)＝f(e k)－f ⎝⎛⎭⎫e 2ke k ＝0，故h(x)<0，(14分)所以f(x 1)<f ⎝⎛⎭⎫e 2k x 1，即f(x 2)＝f(x 1)<f ⎝⎛⎭⎫e 2kx 1，所以x 1x 2<e 2k 成立．(16分) 证法2 要证x 1x 2<e 2k 成立 ，只要证：ln x 1＋ln x 2<2k.因为x 1≠x 2，且f(x 1)＝f(x 2)，所以(ln x 1－k －1)x 1＝(ln x 2－k －1)x 2， 即x 1ln x 1－x 2ln x 2＝(k ＋1)(x 1－x 2)，x 1ln x 1－x 2ln x 1＋x 2ln x 1－x 2ln x 2＝(k ＋1)(x 1－x 2)， 即(x 1－x 2)ln x 1＋x 2ln x 1x 2＝(k ＋1)(x 1－x 2)，k ＋1＝ln x 1＋x 2lnx 1x 2x 1－x 2，同理k ＋1＝ln x 2＋x 1lnx 1x 2x 1－x 2，从而2k ＝ln x 1＋ln x 2＋x 2lnx 1x 2x 1－x 2＋x 1ln x 1x 2x 1－x 2－2，(12分)要证ln x 1＋ln x 2<2k ，只要证x 2lnx 1x 2x 1－x 2＋x 1ln x 1x 2x 1－x 2－2>0，不妨设x 1<x 2，则0<x 1x 2＝t<1，即证ln t t －1＋ln t1－1t －2>0，即证（t ＋1）ln t t －1>2，即证ln t<2t －1t ＋1对t ∈(0，1)恒成立，(14分)设h(t)＝ln t －2t －1t ＋1(0<t<1)，h ′(t)＝1t －4（t ＋1）2＝（t －1）2t （t ＋1）2>0，所以h(t)在t ∈(0，1)单调递增，h(t)<h(1)＝0，得证，所以x 1x 2<e 2k .(16分) 附加题21. A . (选修4—1：几何证明选讲) 证明：由切割线定理得FG 2＝FA·FD.(2分) 又EF ＝FG ，EF 2＝FA·FD ，则EF FA ＝FD EF .(5分)因为∠EFA ＝∠DFE ，所以△DEF ∽△EAF ， 故∠FED ＝∠FAE.(8分)因为∠FAE ＝∠DAB ＝∠DCB ，所以∠FED ＝∠BCD ，所以EF ∥CB.(10分) B . (选修4—2：矩阵与变换)解：因为|A |＝2×3－1×1＝5，(2分)所以A－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤35－15－1525＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤35－15－1525，(6分) 由AC ＝B ，得(A －1A )＝A －1B ，所以C ＝A－1B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤35－15－1525⎣⎢⎡⎦⎥⎤110－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3545－15－35.(10分)C. (选修4—4：坐标系与参数方程)解：因为曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ－4cos θ＝0，所以ρ2sin 2θ＝4ρcos θ，即曲线C 的直角坐标方程为y 2＝4x .(4分)将直线l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t 代入抛物线方程y 2＝4x ，得⎝⎛⎭⎫2＋22t 2＝4⎝⎛⎭⎫1－22t ，即t 2＋82t ＝0，(8分)解得t 1＝0，t 2＝－8 2.所以AB ＝|t 1－t 2|＝8 2.(10分) D. (选修4—5：不等式选讲)证明：因为a ，b ，x ，y 都是正数，所以，(ax ＋by )(bx ＋ay )＝ab (x 2＋y 2)＋xy (a 2＋b 2)(4分) ≥ab ·2xy ＋xy (a 2＋b 2)＝(a ＋b )2xy ，(7分) 又a ＋b ＝1，所以(ax ＋by )(bx ＋ay )≥xy .(9分) 当且仅当x ＝y 时等号成立．(10分)22. 解：(1) 依题意，随机变量ξ的取值是2，3，4，5，6.(2分) 因为P(ξ＝2)＝3282＝964；(3分)P(ξ＝3)＝2×3282＝1864；(4分)P(ξ＝4)＝32＋2×3×282＝2164；(5分)P(ξ＝5)＝2×3×282＝1264；(6分)P(ξ＝6)＝2×282＝464.(7分)所以，当ξ＝4时，其发生的概率最大，最大值为P(ξ＝4)＝2164；(8分)(2) E(ξ)＝2×964＋3×1864＋4×2164＋5×1264＋6×464＝154，所以，随机变量ξ的期望E(ξ)＝154.(10分)23. 解：(1) 由OC →＝tOM →＋(1－t)ON →(t ∈R )，可知点C 的轨迹是M ，N 两点所在的直线， 所以C 点的轨迹方程为y ＋3＝1－（－3）4(x －1)，即y ＝x －4.(2分)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －4，y 2＝4x ，化简得x 2－12x ＋16＝0，(3分) 设C 的轨迹与抛物线y 2＝4x 的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 所以x 1＋x 2＝12，x 1x 2＝16，y 1y 2＝(x 1－4)(x 2－4)＝x 1x 2－4(x 1＋x 2)＋16＝－16，因为OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝16－16＝0，所以OA ⊥OB .(5分)(2) 假设存在这样的P 点，并设AB 是过抛物线的弦，其方程为x ＝ny ＋m ， 代入y 2＝4x 得y 2－4ny －4m ＝0，(6分) 此时y 1＋y 2＝4n ，y 1y 2＝－4m ，所以k OA k OB ＝y 1x 1·y 2x 2＝y 1y 214·y 2y 224＝16y 1y 2＝－4m＝－1，所以m ＝4(定值)，故存在这样的点P (4，0)满足题意．(8分) 设AB 的中点为T (x ，y )，则y ＝12(y 1＋y 2)＝2n ，x ＝12(x 1＋x 2)＝12(ny 1＋4＋ny 2＋4)＝n2(y 1＋y 2)＋4＝2n 2＋4，消去n 得y 2＝2x －8.(10分)。
2016-2017学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研(一)参考答案
……2 分 ……4 分 ……7 分
（法二）因为在△ ABC 中， A B C π ，
则 sin Acos B sin Bcos A sin( A B) sin(C π)=sinC ，
……2 分
由 a b c 得： sin A a sin C ， sin B bsin C ，代入上式得： ……4 分
B．（选修 4—2：矩阵与变换）
解：设
M=
a c
b d
，M
1 1
8
1 1
a c
b d
，M
1
2
2
4
a c
2b
2d
，
……3 分
a b 8，
a 6，
ac2db8，2 ，解得
……４分
……6 分 ……7 分
又 f (1) 0 ，当 x (0,1) ， f (x) 0 ；当 x (1, ) 时， f (x) 0 . ……9 分
故不等式 (x 1) f (x) …0 恒成立．
……10 分
若 a 2 ， f (x) x ln x (1 a)x 1 ， x
4． 24 8． 2
二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分．
15．解：（1）（法一）在△ ABC 中，由余弦定理， a cos B 3 ，则 a a2 c2 b2 3 ，得 a2 c2 b2 6c ；① 2ac bcos A 1，则 b b2 c2 a2 1 ，得 b2 c2 a2 2c ，② 2bc ①+②得： 2c2 8c ， c 4 .
江苏省苏锡常镇四市2017年高考数学一模试卷(解析版)
2017年江苏省苏锡常镇四市高考数学一模试卷一.填空题：本大題共14小败，每小題5分，共70分.不需要写出解答过程1．已知集合U={1，2，3，4，5，6，7}，M={x|x2﹣6x+5≤0，x∈Z}，则∁U M=．2．若复数z满足z+i=，其中i为虚数单位，则|z|=．3．函数f（x）=的定义域为．4．如图是给出的一种算法，则该算法输出的结果是5．某高级中学共有900名学生，现用分层抽样的方法从该校学生中抽取1个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人，则该校高二年级学生人数为．6．已知正四棱锥的底面边长是2，侧棱长是，则该正四棱锥的体积为．7．从集合{1，2，3，4}中任取两个不同的数，则这两个数的和为3的倍数的槪率为．8．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2=8x的焦点恰好是双曲线﹣=l的右焦点，则双曲线的离心率为．9．设等比数列{a n}的前n项和为S n，若S3，S9，S6成等差数列．且a2+a5=4，则a8的值为．10．在平面直角坐标系xOy中，过点M（1，0）的直线l与圆x2+y2=5交于A，B两点，其中A点在第一象限，且=2，则直线l的方程为．11．在△ABC中，已知AB=1，AC=2，∠A=60°，若点P满足=+，且•=1，则实数λ的值为．12．已知sinα=3sin（α+），则tan（α+）=．13．若函数f（x）=，则函数y=|f（x）|﹣的零点个数为．14．若正数x，y满足15x﹣y=22，则x3+y3﹣x2﹣y2的最小值为．二.解答题：本大题共6小题，共计90分15．（14分）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边．若acosB=3，bcosA=l，且A﹣B=（1）求边c的长；（2）求角B的大小．16．（14分）如图，在斜三梭柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1C1C是菱形，AC1与A1C交于点O，E是棱AB上一点，且OE∥平面BCC1B1（1）求证：E是AB中点；（2）若AC1⊥A1B，求证：AC1⊥BC．17．（14分）某单位将举办庆典活动，要在广场上竖立一形状为等腰梯形的彩门BADC （如图），设计要求彩门的面积为S （单位：m2）•高为h（单位：m）（S，h为常数），彩门的下底BC固定在广场地面上，上底和两腰由不锈钢支架构成，设腰和下底的夹角为α，不锈钢支架的长度和记为l．（1）请将l表示成关于α的函数l=f（α）；（2）问当α为何值时l最小？并求最小值．18．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=l （a＞b＞0）的焦距为2，离心率为，椭圆的右顶点为A．（1）求该椭圆的方程：（2）过点D（，﹣）作直线PQ交椭圆于两个不同点P，Q，求证：直线AP，AQ的斜率之和为定值．19．（16分）己知函数f（x）=（x+l）lnx﹣ax+a （a为正实数，且为常数）（1）若f（x）在（0，+∞）上单调递增，求a的取值范围；（2）若不等式（x﹣1）f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．2=0，20．（16分）己知n为正整数，数列{a n}满足a n＞0，4（n+1）a n2﹣na n+1设数列{b n}满足b n=（1）求证：数列{}为等比数列；（2）若数列{b n}是等差数列，求实数t的值：（3）若数列{b n}是等差数列，前n项和为S n，对任意的n∈N*，均存在m∈N*，使得8a12S n﹣a14n2=16b m成立，求满足条件的所有整数a1的值．四.选做题本题包括A，B，C，D四个小题，请选做其中两题，若多做，则按作答的前两题评分．A.[选修4一1：几何证明选讲]21．（10分）如图，圆O的直径AB=6，C为圆周上一点，BC=3，过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，AD分别与直线l、圆交于点D、E．求∠DAC的度数与线段AE的长．[选修4-2：矩阵与变换]22．已知二阶矩阵M有特征值λ=8及对应的一个特征向量=[]，并且矩阵M对应的变换将点（﹣1，2）变换成（﹣2，4）．（1）求矩阵M；（2）求矩阵M的另一个特征值．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ=2，．（1）把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求经过两圆交点的直线的极坐标方程．[选修4-5：不等式选讲]24．已知a，b，c为正数，且a+b+c=3，求++的最大值．四.必做题：每小题0分，共计20分25．如图，已知正四棱锥P﹣ABCD中，PA=AB=2，点M，N分别在PA，BD上，且==．（1）求异面直线MN与PC所成角的大小；（2）求二面角N﹣PC﹣B的余弦值．26．设|θ|＜，n为正整数，数列{a n}的通项公式a n=sin tan nθ，其前n项和为S n（1）求证：当n为偶函数时，a n=0；当n为奇函数时，a n=（﹣1）tan nθ；（2）求证：对任何正整数n，S2n=sin2θ•[1+（﹣1）n+1tan2nθ]．2017年江苏省苏锡常镇四市高考数学一模试卷参考答案与试题解析一.填空题：本大題共14小败，每小題5分，共70分.不需要写出解答过程1．已知集合U={1，2，3，4，5，6，7}，M={x|x2﹣6x+5≤0，x∈Z}，则∁U M= {6，7} ．【考点】补集及其运算．【分析】解不等式化简集合M，根据补集的定义写出运算结果即可．【解答】解：集合U={1，2，3，4，5，6，7}，M={x|x2﹣6x+5≤0，x∈Z}={x|1≤x≤5，x∈Z}={1，2，3，4，5}，则∁U M={6，7}．故答案为：{6，7}．【点评】本题考查了集合的运算与解不等式的应用问题，是基础题．2．若复数z满足z+i=，其中i为虚数单位，则|z|=．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z，再由复数求模公式计算得答案．【解答】解：由z+i=，得=，则|z|=．故答案为：．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．3．函数f（x）=的定义域为{x|x＞且x≠1} ．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据对数函数的性质以及分母不是0，得到关于x的不等式组，解出即可．【解答】解：由题意得：，解得：x＞且x≠1，故函数的定义域是{x|x＞且x≠1}，故答案为：{x|x＞且x≠1}．【点评】本题考查了求函数的定义域以及对数函数的性质，是一道基础题．4．如图是给出的一种算法，则该算法输出的结果是24【考点】伪代码．【分析】模拟程序代码的运行过程，可知程序的功能是利用循环结构计算并输出变量t的值，由于循环变量的初值为2，终值为4，步长为1，故循环体运行只有3次，由此得到答案．【解答】解：当i=2时，满足循环条件，执行循环t=1×2=2，i=3；当i=3时，满足循环条件，执行循环t=2×3=6，i=4；当i=4时，满足循环条件，执行循环t=6×4=24，i=5；当i=5时，不满足循环条件，退出循环，输出t=24．故答案为：24．【点评】本题考查了循环语句的应用问题，模拟程序的运行过程，是解答此类问题的常用方法．5．某高级中学共有900名学生，现用分层抽样的方法从该校学生中抽取1个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人，则该校高二年级学生人数为300．【考点】分层抽样方法．【分析】用分层抽样的方法抽取一个容量为45的样本，根据高一年级抽20人，高三年级抽10人，得到高二年级要抽取的人数，根据该高级中学共有900名学生，算出高二年级学生人数．【解答】解：∵用分层抽样的方法从某校学生中抽取一个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人，∴高二年级要抽取45﹣20﹣10=15，∵高级中学共有900名学生，∴每个个体被抽到的概率是=∴该校高二年级学生人数为=300，故答案为：300．【点评】本题考查分层抽样，抽样过程中每个个体被抽到的可能性相同，这是解决抽样问题的依据，样本容量、总体个数、每个个体被抽到的概率，这三者可以做到知二求一．6．已知正四棱锥的底面边长是2，侧棱长是，则该正四棱锥的体积为．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】正四棱锥P﹣ABCD中，AB=2，PA=，设正四棱锥的高为PO，连结AO，求出PO，由此能求出该正四棱锥的体积．【解答】解：如图，正四棱锥P﹣ABCD中，AB=2，PA=，设正四棱锥的高为PO，连结AO，则AO=AC=．在直角三角形POA中，PO===1．所以VP﹣ABCD=•SABCD•PO=×4×1=．故答案为：．【点评】本题考查正四棱锥的体积的求法，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用意识，考查数形结合思想等，是中档题．7．从集合{1，2，3，4}中任取两个不同的数，则这两个数的和为3的倍数的槪率为．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】先求出基本事件总数n==6，再利用列举法求出这两个数的和为3的倍数包含的基本事件个数，由此能求出这两个数的和为3的倍数的槪率．【解答】解：从集合{1，2，3，4}中任取两个不同的数，基本事件总数n==6，这两个数的和为3的倍数包含的基本事件有：（1，2），（2，4），共2个，∴这两个数的和为3的倍数的槪率p=．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．8．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2=8x的焦点恰好是双曲线﹣=l 的右焦点，则双曲线的离心率为2．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得抛物线的焦点坐标，可得c=2，由双曲线的方程可得a=1，由离心率公式可得所求值．【解答】解：抛物线y2=8x的焦点为（2，0），则双曲线﹣=l的右焦点为（2，0），即有c==2，不妨设a=1，可得双曲线的离心率为e==2．故答案为：2．【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，同时考查抛物线的焦点坐标，考查运算能力，属于基础题．9．设等比数列{a n}的前n项和为S n，若S3，S9，S6成等差数列．且a2+a5=4，则a8的值为2．【考点】等比数列的通项公式．【分析】利用等比数列的前n项和公式和通项公式列出方程组，求出，由此能求出a8的值．【解答】解：∵等比数列{a n}的前n项和为S n，若S3，S9，S6成等差数列．且a2+a5=4，∴，解得，∴a8==（a1q）（q3）2=8×=2．故答案为：2．【点评】本题考查等比数列中第8项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．10．在平面直角坐标系xOy中，过点M（1，0）的直线l与圆x2+y2=5交于A，B两点，其中A点在第一象限，且=2，则直线l的方程为x﹣y﹣1=0．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由题意，设直线x=my+1与圆x2+y2=5联立，利用韦达定理，结合向量知识，即可得出结论．【解答】解：由题意，设直线x=my+1与圆x2+y2=5联立，可得（m2+1）y2+2my ﹣4=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1=﹣2y2，y1+y2=﹣，y1y2=﹣联立解得m=1，∴直线l的方程为x﹣y﹣1=0，故答案为：x﹣y﹣1=0．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．11．在△ABC中，已知AB=1，AC=2，∠A=60°，若点P满足=+，且•=1，则实数λ的值为﹣或1．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据题意，利用平面向量的线性运算，把、用、与λ表示出来，再求•即可．【解答】解：△ABC中，AB=1，AC=2，∠A=60°，点P满足=+，∴﹣=λ，∴=λ；又=﹣=（+λ）﹣=+（λ﹣1），∴•=λ•[+（λ﹣1）]=λ•+λ（λ﹣1）=λ×2×1×cos60°+λ（λ﹣1）×22=1，整理得4λ2﹣3λ﹣1=0，解得λ=﹣或λ=1，∴实数λ的值为﹣或1．故答案为：﹣或1．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算与线性表示的应用问题，也考查了运算推理能力，是基础题．12．已知sinα=3sin（α+），则tan（α+）=2﹣4．【考点】两角和与差的正切函数；两角和与差的正弦函数．【分析】利用同角三角的基本关系、两角和差的三角公式求得tanα、tan的值，可得tan（α+）的值．【解答】解：sinα=3sin（α+）=3sinαcos+3cosαsin=sinα+cosα，∴tanα=．又tan=tan（﹣）===2﹣，∴tan（α+）====﹣=2﹣4，故答案为：2﹣4．【点评】本题主要考查两角和差的三角公式的应用，同角三角的基本关系，属于基础题．13．若函数f（x）=，则函数y=|f（x）|﹣的零点个数为4．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】利用分段函数，对x≥1，通过函数的零点与方程根的关系求解零点个数，当x＜1时，利用数形结合求解函数的零点个数即可．【解答】解：当x≥1时，=，即lnx=，令g（x）=lnx﹣，x≥1时函数是连续函数，g（1）=﹣＜0，g（2）=ln2﹣=ln＞0，g（4）=ln4﹣2＜0，由函数的零点判定定理可知g（x）=lnx﹣，有2个零点．（结合函数y=与y=可知函数的图象由2个交点．）当x＜1时，y=，函数的图象与y=的图象如图，考查两个函数由2个交点，综上函数y=|f（x）|﹣的零点个数为：4个．故答案为：4．【点评】本题考查分段函数的应用，函数的零点个数的求法，考查数形结合以及转化思想的应用，考查计算能力．14．若正数x，y满足15x﹣y=22，则x3+y3﹣x2﹣y2的最小值为1．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】由题意可得x＞，y＞0，又x3+y3﹣x2﹣y2=（x3﹣x2）+（y3﹣y2），求出y3﹣y2≥﹣y，当且仅当y=时取得等号，设f（x）=x3﹣x2，求出导数和单调区间、极值和最值，即可得到所求最小值．【解答】解：由正数x，y满足15x﹣y=22，可得y=15x﹣22＞0，则x＞，y＞0，又x3+y3﹣x2﹣y2=（x3﹣x2）+（y3﹣y2），其中y3﹣y2+y=y（y2﹣y+）=y（y﹣）2≥0，即y3﹣y2≥﹣y，当且仅当y=时取得等号，设f（x）=x3﹣x2，f（x）的导数为f′（x）=3x2﹣2x=x（3x﹣2），当x＞时，f′（x）＞0，f（x）递增，＜x＜时，f′（x）＜0，f（x）递减．即有f（x）在x=处取得极小值，也为最小值，此时y=15×﹣22=，则x3+y3﹣x2﹣y2≥（x3﹣x2）+（y3﹣y2）≥﹣y=﹣=1．当且仅当x=，y=时，取得最小值1．故答案为：1．【点评】本题考查最值的求法，注意运用变形和导数，求得单调区间、极值和最值，考查化简整理的运算能力，属于难题．二.解答题：本大题共6小题，共计90分15．（14分）（2017•江苏一模）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边．若acosB=3，bcosA=l，且A﹣B=（1）求边c的长；（2）求角B的大小．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）由acosB=3，bcosA=l，利用余弦定理化为：a2+c2﹣b2=6c，b2+c2﹣a2=2c．相加即可得出c．（2）由（1）可得：a2﹣b2=8．由正弦定理可得：==，又A﹣B=，可得A=B +，C=，可得sinC=sin ．代入可得﹣16sin 2B=，化简即可得出．【解答】解：（1）∵acosB=3，bcosA=l ，∴a ×=3，b ×=1，化为：a 2+c 2﹣b 2=6c ，b 2+c 2﹣a 2=2c ． 相加可得：2c 2=8c ，解得c=4． （2）由（1）可得：a 2﹣b 2=8．由正弦定理可得： ==，又A ﹣B=，∴A=B +，C=π﹣（A +B ）=，可得sinC=sin ．∴a=，b=．∴﹣16sin 2B=，∴1﹣﹣（1﹣cos2B ）=，即cos2B ﹣=，∴﹣2═，∴=0或=1，B ∈．解得：B=．【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、倍角公式、诱导公式、和差公式、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．（14分）（2017•江苏一模）如图，在斜三梭柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧面AA 1C 1C 是菱形，AC 1与A 1C 交于点O ，E 是棱AB 上一点，且OE ∥平面BCC 1B 1 （1）求证：E 是AB 中点；（2）若AC 1⊥A 1B ，求证：AC 1⊥BC ．【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的性质．【分析】（1）利用同一法，首先通过连接对角线得到中点，进一步利用中位线，得到线线平行，进一步利用线面平行的判定定理，得到结论．（2）利用菱形的对角线互相垂直，进一步利用线面垂直的判定定理，得到线面垂直，最后转化成线线垂直．【解答】证明：（1）连结BC1，取AB中点E′，∵侧面AA1C1C是菱形，AC1与A1C交于点O，∴O为AC1的中点，∵E′是AB的中点，∴OE′∥BC1；∵OE′⊄平面BCC1B1，BC1⊂平面BCC1B1，∴OE′∥平面BCC1B1，∵OE∥平面BCC1B1，∴E，E′重合，∴E是AB中点；（2）∵侧面AA1C1C是菱形，∴AC1⊥A1C，∵AC1⊥A1B，A1C∩A1B=A1，A1C⊂平面A1BC，A1B⊂平面A1BC，∴AC1⊥平面A1BC，∵BC⊂平面A1BC，∴AC1⊥BC．【点评】本题考查的知识要点：线面平行的判定定理，线面垂直的判定定理和性质定理，属于中档题．17．（14分）（2017•江苏一模）某单位将举办庆典活动，要在广场上竖立一形状为等腰梯形的彩门BADC （如图），设计要求彩门的面积为S （单位：m2）•高为h（单位：m）（S，h为常数），彩门的下底BC固定在广场地面上，上底和两腰由不锈钢支架构成，设腰和下底的夹角为α，不锈钢支架的长度和记为l．（1）请将l表示成关于α的函数l=f（α）；（2）问当α为何值时l最小？并求最小值．【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）求出上底，即可将l表示成关于α的函数l=f（α）；（2）求导数，取得函数的单调性，即可解决当α为何值时l最小？并求最小值．【解答】解：（1）设上底长为a，则S=，∴a=﹣，∴l=﹣+（0＜α＜）；（2）l′=h，∴0＜α＜，l′＜0，＜α＜，l′＞0，∴时，l取得最小值m．【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查导数知识的运用，取得函数的模型是关键．18．（16分）（2017•江苏一模）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=l（a＞b＞0）的焦距为2，离心率为，椭圆的右顶点为A．（1）求该椭圆的方程：（2）过点D（，﹣）作直线PQ交椭圆于两个不同点P，Q，求证：直线AP，AQ的斜率之和为定值．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）由题意可知2c=2，c=1，离心率e=，求得a=2，则b2=a2﹣c2=1，即可求得椭圆的方程：（2）则直线PQ的方程：y=k（x﹣）﹣，代入椭圆方程，由韦达定理及直线的斜率公式，分别求得直线AP，AQ的斜率，即可证明直线AP，AQ的率之和为定值．【解答】解：（1）由题意可知：椭圆+=l （a＞b＞0），焦点在x轴上，2c=1，c=1，椭圆的离心率e==，则a=，b2=a2﹣c2=1，则椭圆的标准方程：；（2）证明：设P（x1，y1），Q（x2，y2），A（，0），由题意PQ的方程：y=k（x﹣）﹣，则，整理得：（2k2+1）x2﹣（4k2+4k）x+4k2+8k+2=0，由韦达定理可知：x1+x2=，x1x2=，则y1+y2=k（x1+x2）﹣2k﹣2=，则k AP+k AQ=+=，由y1x2+y2x1=[k（x1﹣）﹣]x2+[k（x2﹣）﹣]x1=2kx1x2﹣（k+）（x1+x2）=﹣，k AP+k AQ===1，∴直线AP，AQ的斜率之和为定值1．【点评】本题考查椭圆的简单几何性质，直线与椭圆位置关系，韦达定理及直线的斜率公式，考查计算能力，属于中档题．19．（16分）（2017•江苏一模）己知函数f（x）=（x+l）lnx﹣ax+a （a为正实数，且为常数）（1）若f（x）在（0，+∞）上单调递增，求a的取值范围；（2）若不等式（x﹣1）f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数f（x）的导数，问题转化为a≤lnx++1在（0，+∞）恒成立，（a＞0），令g（x）=lnx++1，（x＞0），根据函数的单调性求出a的范围即可；（2）问题转化为（x﹣1）[（x+1）lnx﹣a]≥0恒成立，通过讨论x的范围，结合函数的单调性求出a的范围即可．【解答】解：（1）f（x）=（x+l）lnx﹣ax+a，f′（x）=lnx++1﹣a，若f（x）在（0，+∞）上单调递增，则a≤lnx++1在（0，+∞）恒成立，（a＞0），令g（x）=lnx++1，（x＞0），g′（x）=，令g′（x）＞0，解得：x＞1，令g′（x）＜0，解得：0＜x＜1，故g（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，故g（x）min=g（1）=2，故0＜a≤2；（2）若不等式（x﹣1）f（x）≥0恒成立，即（x﹣1）[（x+1）lnx﹣a]≥0恒成立，①x≥1时，只需a≤（x+1）lnx恒成立，令m（x）=（x+1）lnx，（x≥1），则m′（x）=lnx++1，由（1）得：m′（x）≥2，故m（x）在[1，+∞）递增，m（x）≥m（1）=0，故a≤0，而a为正实数，故a≤0不合题意；②0＜x＜1时，只需a≥（x+1）lnx，令n（x）=（x+1）lnx，（0＜x＜1），则n′（x）=lnx++1，由（1）n′（x）在（0，1）递减，故n′（x）＞n（1）=2，故n（x）在（0，1）递增，故n（x）＜n（1）=0，故a≥0，而a为正实数，故a＞0．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想、转化思想，考查函数恒成立问题，是一道中档题．20．（16分）（2017•江苏一模）己知n 为正整数，数列{a n }满足a n ＞0，4（n +1）a n 2﹣na n +12=0，设数列{b n }满足b n =（1）求证：数列{}为等比数列；（2）若数列{b n }是等差数列，求实数t 的值：（3）若数列{b n }是等差数列，前n 项和为S n ，对任意的n ∈N *，均存在m ∈N *，使得8a 12S n ﹣a 14n 2=16b m 成立，求满足条件的所有整数a 1的值． 【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【分析】（1）数列{a n }满足a n ＞0，4（n +1）a n 2﹣na n +12=0，化为： =2×，即可证明．（2）由（1）可得：=，可得=n•4n ﹣1．数列{b n }满足b n =，可得b 1，b 2，b 3，利用数列{b n }是等差数列即可得出t ．（3）根据（2）的结果分情况讨论t 的值，化简8a 12S n ﹣a 14n 2=16b m ，即可得出a 1．【解答】（1）证明：数列{a n }满足a n ＞0，4（n +1）a n 2﹣na n +12=0，∴=a n +1，即=2，∴数列{}是以a 1为首项，以2为公比的等比数列．（2）解：由（1）可得： =，∴ =n•4n ﹣1．∵b n =，∴b 1=，b 2=，b 3=，∵数列{b n }是等差数列，∴2×=+，∴=+，化为：16t=t2+48，解得t=12或4．（3）解：数列{b n}是等差数列，由（2）可得：t=12或4．①t=12时，b n==，S n=，∵对任意的n∈N*，均存在m∈N*，使得8a12S n﹣a14n2=16b m成立，∴×﹣a14n2=16×，∴=，n=1时，化为：﹣=＞0，无解，舍去．②t=4时，b n==，S n=，对任意的n∈N*，均存在m∈N*，使得8a12S n﹣a14n2=16b m成立，∴×﹣a14n2=16×，∴n=4m，∴a1=．∵a1为正整数，∴=k，k∈N*．∴满足条件的所有整数a1的值为{a1|a1=2，n∈N*，m∈N*，且=k，k∈N*}．【点评】本题考查了三角函数的诱导公式、等比数列的通项公式与求和公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．四.选做题本题包括A，B，C，D四个小题，请选做其中两题，若多做，则按作答的前两题评分．A.[选修4一1：几何证明选讲]21．（10分）（2017•江苏一模）如图，圆O的直径AB=6，C为圆周上一点，BC=3，过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，AD分别与直线l、圆交于点D、E．求∠DAC的度数与线段AE的长．【考点】弦切角．【分析】连接OC，先证得三角形OBC是等边三角形，从而得到∠DCA=60°，再在直角三角形ACD中得到∠DAC的大小；考虑到直角三角形ABE中，利用角的关系即可求得边AE的长．【解答】解：如图，连接OC，因BC=OB=OC=3，因此∠CBO=60°，由于∠DCA=∠CBO，所以∠DCA=60°，又AD⊥DC得∠DAC=30°；又因为∠ACB=90°，得∠CAB=30°，那么∠EAB=60°，从而∠ABE=30°，于是．（10分）【点评】本题主要考查了弦切角、解三角形知识等，属于基础题．[选修4-2：矩阵与变换]22．（2017•江苏一模）已知二阶矩阵M有特征值λ=8及对应的一个特征向量=[]，并且矩阵M对应的变换将点（﹣1，2）变换成（﹣2，4）．（1）求矩阵M；（2）求矩阵M的另一个特征值．【考点】特征值与特征向量的计算；几种特殊的矩阵变换．【分析】（1）先设矩阵A=，这里a，b，c，d∈R，由二阶矩阵M有特征值λ=8及对应的一个特征向量e1及矩阵M对应的变换将点（﹣1，2）换成（﹣2，4）．得到关于a，b，c，d的方程组，即可求得矩阵M；（2）由（1）知，矩阵M的特征多项式为f（λ）=（λ﹣6）（λ﹣4）﹣8=λ2﹣10λ+16，从而求得另一个特征值为2．【解答】解：（1）设矩阵A=，这里a，b，c，d∈R，则=8=，故，由于矩阵M对应的变换将点（﹣1，2）换成（﹣2，4）．则=，故联立以上两方程组解得a=6，b=2，c=4，d=4，故M=．（2）由（1）知，矩阵M的特征多项式为f（λ）=（λ﹣6）（λ﹣4）﹣8=λ2﹣10λ+16，故矩阵M的另一个特征值为2．【点评】本题主要考查了二阶矩阵，以及特征值与特征向量的计算，属于基础题．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2017•江苏一模）已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ=2，．（1）把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求经过两圆交点的直线的极坐标方程．【考点】简单曲线的极坐标方程；相交弦所在直线的方程．【分析】（1）先利用三角函数的差角公式展开圆O2的极坐标方程的右式，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得圆O2的直角坐标方程及圆O1直角坐标方程．（2）先在直角坐标系中算出经过两圆交点的直线方程，再利用直角坐标与极坐标间的关系求出其极坐标方程即可．【解答】解：（1）ρ=2⇒ρ2=4，所以x2+y2=4；因为，所以，所以x2+y2﹣2x﹣2y﹣2=0．（2）将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x+y=1．化为极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ=1，即．（10分）【点评】本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．[选修4-5：不等式选讲]24．（2017•江苏一模）已知a，b，c为正数，且a+b+c=3，求++的最大值．【考点】二维形式的柯西不等式．【分析】利用柯西不等式，结合a+b+c=3，即可求得++的最大值．【解答】解：由柯西不等式可得（++）2≤[12+12+12][（）2+（）2+（）2]=3×12∴++≤3，当且仅当==时取等号．∴++的最大值是6，故最大值为6．【点评】本题考查最值问题，考查柯西不等式的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．四.必做题：每小题0分，共计20分25．（2017•江苏一模）如图，已知正四棱锥P﹣ABCD中，PA=AB=2，点M，N分别在PA，BD上，且==．（1）求异面直线MN与PC所成角的大小；（2）求二面角N﹣PC﹣B的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角．【分析】（1）设AC与BD的交点为O，AB=PA=2．以点O为坐标原点，，，方向分别是x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系O﹣xyz．利用向量法能求出异面直线MN与PC所成角．（2）求出平面PBC的法向量和平面PNC的法向量，利用向量法能求出二面角N ﹣PC﹣B的余弦值．【解答】解：（1）设AC与BD的交点为O，AB=PA=2．以点O为坐标原点，，，方向分别是x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系O﹣xyz．则A（1，﹣1，0），B（1，1，0），C（﹣1，1，0），D（﹣1，﹣1，0），…（2分）设P（0，0，p），则=（﹣1，1，p），又AP=2，∴1+1+p2=4，∴p=，∵===（），=（），∴=（﹣1，1，﹣），=（0，，﹣），设异面直线MN与PC所成角为θ，则cosθ===．θ=30°，∴异面直线MN与PC所成角为30°．（2）=（﹣1，1，﹣），=（1，1，﹣），=（，﹣），设平面PBC的法向量=（x，y，z），则，取z=1，得=（0，，1），设平面PNC的法向量=（a，b，c），则，取c=1，得=（，2，1），设二面角N﹣PC﹣B的平面角为θ，则cosθ===．∴二面角N﹣PC﹣B的余弦值为．【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．26．（2017•江苏一模）设|θ|＜，n为正整数，数列{a n}的通项公式a n=sin tan nθ，其前n项和为S n（1）求证：当n为偶函数时，a n=0；当n为奇函数时，a n=（﹣1）tan nθ；（2）求证：对任何正整数n，S2n=sin2θ•[1+（﹣1）n+1tan2nθ]．【考点】数列的求和．【分析】（1）利用sin=，即可得出．+a2k=（﹣1）tan nθ．利用等比数列的求和公式即可得出．（2）a2k﹣1【解答】证明：（1）a n=sin tan nθ，当n=2k（k∈N*）为偶数时，a n=sinkπ•tan nθ=0；当n=2k﹣1为奇函数时，a n=•tan nθ=（﹣1）k﹣1tan nθ=（﹣1）tan nθ．+a2k=（﹣1）tan nθ．∴奇数项成等比数列，首项为tanθ，公比为（2）a2k﹣1﹣tan2θ．∴S2n==sin2θ•[1+（﹣1）n+1tan2nθ]．【点评】本题考查了三角函数的诱导公式、等比数列的通项公式与求和公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。
江苏省苏锡常镇四市2017-2018学年度高三教学情况调研数学试题【范本模板】
江苏省苏锡常镇四市2017-2018学年度高三教学情况调研（二)数学试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡．．．相应位置上．．．．．． 1． 若复数z 满足(1+i)z=2(i 是虚数单位),则z 的虚部为 ．2． 设集合{24}A =，，2{2}(B a =，其中0)a <，若A B =,则实数a = ． 3． 在平面直角坐标系xOy 中，点(24)P -，到抛物线28y x =-的准线的距离为 ． 4． 一次考试后，从高三（1）班抽取5人进行成绩统计，其茎叶图如右图所示,则这五人成绩的方差为 ．5． 下图是一个算法流程图，若输入值[02]x ∈，,则输出值S 的取值范围是 ．6． 欧阳修在《卖油翁》中写到：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之,自钱孔入，而钱不湿”，可见卖油翁的技艺之高超，若铜钱直径4厘米，中间有边长为1厘米的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油（油滴大小忽略不计）,则油恰好落入孔中的概率是 ．7．已知函数()sin(π)(02π)f x x x ϕ=+<<在2x =时取得最大值,则ϕ= ．S ←2x −x 2S ←1输出S 结束 开始 输入xx ＜1Y N 7 88 2 4 4 9 28．已知公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1054S S =，则14a d = ．9．在棱长为2的正四面体P ABC -中，M ，N 分别为PA ，BC 的中点，点D 是线段PN 上一点，且2PD DN =，则三棱锥D MBC -的体积为 ．10．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a b c ，，，且满足3cos cos 5a B b A c -=，则tan tan AB= ． 11．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:(1)2C x y ++=，点(20)A ，，若圆C 上存在点M ,满足2210MA MO +≤，则点M 的纵坐标的取值范围是 ．12．如图,扇形AOB 的圆心角为90°,半径为1，点P 是圆弧AB 上的动点,作点P 关于弦AB 的对称点Q ,则OP OQ ⋅的取值范围为 ．13．已知函数1(|3|1)0()2ln 0x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨⎪>⎩，，， ，若存在实数a b c <<，满足()()()f a f b f c ==,则()()()af a bf b cf c ++的最大值是 ．14．已知a b ，为正实数，且()234()a b ab -=，则11a b+的最小值为 ． 二、填空题（每题4分,满分20分，将答案填在答题纸上）二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．如图，在四棱锥P ABCD -中，90ADB ∠=，CB CD =，点E 为棱PB 的中点．（1)若PB PD =，求证：PC BD ⊥；ABCDP E（2）求证：CE //平面PAD ．16．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a b c ，，,设△ABC 的面积为S ，且22243()S a c b =+-。
江苏省苏锡常镇四市2017届高三教学情况调研(二) (5月) 数学 Word版含答案bybao
2016—2017学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学Ⅰ试卷2017.5一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1. 已知集合{}{}|13,|2A x x B x x =-<<=<，则A B = .2. 已知i 是虚数单位，复数()123,2z yi y R z i =+∈=-，且121z i z =+，则y = .3.下表是一个容量为10的样本数据分组后的频率分布，若利用组中中近似计算本组数据的平均数x ，则x 的值为 .4.已知直线20x =为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线，则该双曲线的离心率为 .5．据记载，在公元前3世纪，阿基米德已经得出了前n 个自然数平方和的一般公式.右图是一个求前n 个自然数平方和的算法流程图，若输入x 的值为1，则输出的S 的值为 .6.已知1Ω是集合(){}22,|1x y x y +≤所表示的区域，2Ω是集合(){},|x y y x ≤所表示的区域，向区域1Ω内随机投一个点，则该点落在区域2Ω内的概率为 .7.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比34533,3q S S =+=，则3a = .8.已知直四棱柱底面是边长为2的菱形，侧面对角线的长为的侧面积为 .9.已知α是第二象限角，且()sin tan 2ααβ=+=-，则tan β= . 10.已知直线:210l mx y m +--=，圆22:240C x y x y +--=，当直线l 被圆C 所截得的弦长最短时，实数m = .11.在ABC ∆中，角A,B,C 的对边分别为,,a b c，若满足2cos 2b A c =，则角B 的大小为 .12.在ABC ∆中，1,,,AB AC AB AC t P t⊥==是ABC ∆所在平面内的一点，若4AB AC AP AB AC=+ ，则PBC ∆的面积的最小值为 .13.已知函数()24,03,0x x x f x x x ⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩，若函数()()3g x f x x b =-+有三个零点，则实数b 的取值范围为 .14.已知,a b 均为正数，且20ab a b --=，则22214a b a b-+-的最小值为 .二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.15.（本题满分14分）已知向量)()2,1,sin ,cos .m x n x x =-=（1）当3x π=时，求m n ⋅的值；（2）若0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且132m n ⋅=- ，求cos 2x 的值.16.（本题满分14分）如图，在四面体ABCD 中，平面ABC ⊥平面ACD ，,,E F G 分别为,,AB AD AC 的中点，,90.AC BC ACD =∠=（1）求证：AB ⊥平面EDC ；（2）若P 为FG 上任一点，证明：//EP 平面BCD .17.（本题满分14分）某科研小组研究发现：一棵水蜜桃树的产量ω（单位：千克）与肥料费用x （单位：百元）满足如下关系：341x ω=-+，且投入的肥料费用不超过5百元.此外，还需要投入其他成本2x （如是非的人工费用等）百元.已知这种水蜜桃的市场价格为16元/千克（即16百元/百千克），且市场需求始终供不应求.记该棵水蜜桃树获得的利润为()L x （单位：百元）.（1）求利润函数()L x 的关系式，并写出定义域；（2）当投入的肥料费用为多少时，该水蜜桃树获得的利润最大？最大利润是多少？18.（本题满分16分）已知函数()3ln ,,f x a x bx a b =-为实数，0,b e ≠为自然对数的底数， 2.71828e =. （1）当0,1a b <=-时，设函数()f x 的最小值为()g a ，求()g a 的最大值； （2）若关于x 的方程()0f x =在区间(]1,e 上有两个不同的实数解，求ab的取值范围.19.（本题满分16分）已知椭圆()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左焦点为()1,0F -，左准线为2x =-.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知直线l 交椭圆C 于A,B 两点.①若直线l 经过椭圆C 的左焦点F,交y 轴于点P,且满足PA AF λ= PB BF μ=，求证：λμ+为常数；②若OA OB ⊥（O 为原点），求AOB ∆的面积的取值范围.20.（本题满分16分） 已知数列{}n a 满足21141,2n n n n a a a a a λμ+++==+，其中,,n N λμ*∈为非零常数.（1）若3,8λμ==，求证：{}1n a +为等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n a 是公差不等于零的等差数列. ①求实数,λμ的值；②数列{}n a 的前n 项和n S 构成数列{}n S ，从{}n S 中取不同的四项按从小到大的顺序组成四项子数列.试问：是否存在首项为1S 的四项子数列，使得该子数列中点所有项之和恰好为2017？若存在，求出所有满足条件的四项子数列；若不存在，请说明理由.2016—2017学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学Ⅱ试卷21.【选做题】在A,B,C,D 四个小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分.请在答题纸的指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.选修4-1：几何证明选讲如图，直线DE 切圆O 于点D,直线EO 交圆O 于A,B 两点，DC ⊥OB 于点C,且DE=2BE ，求证：2OC=3BC.B.选修4-2：矩阵与变换已知矩阵13a M b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的一个特征值11λ=-，及对应的特征向量11e ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦ 求矩阵M 的逆矩阵.C.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xoy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度，建立极坐标系.已知曲线1C的参数方程为2cos 32sin x y αα⎧=⎪⎨=+⎪⎩，（[]0,2,απα∈为参数），曲线2C 的极坐标方程为()sin 3a a R πρθ⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭，若曲线1C 与曲线2C 有且仅有一个公共点，求实数a 的值.D.选修4-5：不等式选讲已知,,a b c 为正实数，求证：222.b c a a b c a b c++≥++【必做题】第22题、第23题，每题10分共计20分.请答题卡的指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22.（本小题满分10分）已知袋中装有大小相同的2个白球，2个红球和1个黄球.一项游戏规定：每个白球、红球和黄球的分值分别是0分、1分和2分，每一局从袋中一次性取出三个球，将3个球对应的分值相加后称为该局的得分，计算完得分后将球放回袋中.当出现第n 局得()n n N *∈分的情况就算游戏过关，同时游戏结束，若四局过后仍未过关，游戏也结束.（1）求在一局游戏中得3分的概率；（2）求游戏结束时局数X 的分布列和数学期望()E X .23.（本小题满分10分）已知()()()()()()01111nkknnn k n n n n n n f x C x C x C x k C x n =--++--++-- ，其中,,,.x R n N k N k n *∈∈∈≤（1）试求()()()123,,f x f x f x 的值；（2）试猜测()n f x 关于n 的表达式，并证明你的结论.。
2017届苏锡常镇高三年级第一次模拟考试
5 20功和功率Ⅱ25功能关系Ⅱ
6 34万有引力定律及其应用Ⅱ32向心力Ⅱ
多
7 42电场线 电势能 等势面Ⅰ 43电场强度Ⅱ44电势差Ⅱ
选 题
8
60洛伦兹力Ⅱ29圆周运动 线速度 角速度Ⅰ50电源电动势与内 阻Ⅰ53闭合电路欧姆定律Ⅱ 40带电粒子在复合场中的运动Ⅱ
9
15牛顿第二定律及其应用Ⅱ30向心加速度Ⅰ32向心力Ⅱ 35曲线运动Ⅰ
较难题
题号
1 2 6 7 10 12-A 12-C 13 3 4 8 11 14 5 9 15
常见模型生活化 1
2飞镖 3水壶 4钳形电流测量仪
试 8自行车速度计
14抽夹纸
卷
3 实验选修基础化
针对主干知识，没有在冷 僻的地方下手，考的都是 学生平时重点复习的地方。
特点
似曾相识有变化 2
5计阻力竖直上抛
9弹簧挂小球回摆
15 “轨迹圆”动起来
4 知识覆盖合理化
一、苏南一模试卷分析
针对主干知识，没有在冷 僻的地方下手，考的都是 学生平时重点复习的地方。
特点
似曾相识有变化 2
5计阻力竖直上抛
9弹簧挂小球回摆
15 “轨迹圆”动起来
4 知识覆盖合理化
苏南一模的考点总数和种类数 均比高考卷多，体现了模考的 主要意义是帮助学生查漏补缺、 复习高考考试内容。
主要内容
苏南一模试卷分析 本校一模得失总结 二轮复习安排交流
题型小计 总分值 总得分率
61 71.6%
36 63.6% 23 25.7%
二、本校一模得失总结
优 势 ① B等级所达比例超过去年同期水平；
② 平均分在同类学校中略占优势； ③ 平时训练较多的常规题得分率比较高。
2020届江苏省苏锡常镇四市2017级高三一调考试数学试题(含附加题)及解析
2020届江苏省苏锡常镇四市2017级高三一调考试数学试题（含附加题）数学I一、填空题（本大题共14小题,每小题5分,共70分,请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1．已知i 为虚数单位,复数11i z =+,则z ＝ ． 2．已知集合A ＝{}01x x ≤≤,B ＝{}13x a x -≤≤,若A I B 中有且只有一个元素,则实数a 的值为 ．3．已知一组数据1.6,1.8,2,2.2,2.4,则该组数据的方差是 ．4．在平面直角坐标系xOy 中,已知双曲线22214x y a -=(a ＞0)的一条渐近线方程为23y x =,则a ＝ ． 5．甲乙两人下棋,两人下成和棋的概率是12,乙获胜的概率是13,则乙不输的概率是 ．6．右图是一个算法的流程图,则输出的x 的值为 ．7．“直线l 1：10ax y ++=与直线l 2：430x ay ++=平行”是“a ＝2”的 条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”或“既不充分又不必要”）．8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,19a =,95495S S -=-,则n a ＝ ． 9．已知点M 是曲线y ＝2ln x ＋x 2﹣3x 上一动点,当曲线在M 处的切线斜率取得最小值时,该切线的方程为 ．10．已知3cos 24sin()4παα=-,α∈(4π,π),则sin 2α＝ ． 11．如图在矩形ABCD 中,E 为边AD 的中点,AB ＝1,BC ＝2．分别以A,D 为圆心,1为半经作圆弧EB,EC,将两圆弧EB,EC 及边BC 所围成的平面图形（阴影部分）绕直线AD 旋转一周,所形成的几何体的体积为 ．12．在△ABC 中,(AB AC λ-u u u r u u u r )⊥BC uuu r (λ＞1),若角A 的最大值为6π,则实数λ的值是 ．13．若函数()x f x a =(a ＞0且a ≠1)在定义域[m ,n ]上的值域是[m 2,n 2](1＜m ＜n ),则a 的取值范围是 ．14．如图,在△ABC 中,AB ＝4,D 是AB 的中点,E 在边AC 上,AE ＝2EC,CD 与BE 交于点O,若OB OC,则△ABC 面积的最大值为 ．二、解答题（本大题共6小题,共计90分,请在答题纸指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（本小题满分14分）在△ABC 中,角A,B,C 所对应的边分别为a ,b ,c ,且满足cos A sin B 0b =． （1）求A ；（2）已知a ＝＝3π,求△ABC 的面积．。
江苏省苏锡常镇四市2017-2018学年高三教学情况调研(二)数学试题含答案
江苏省苏锡常镇四市2017-2018学年度高三教学情况调研（二）数学试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1． 若复数z 满足(1+i)z=2(i 是虚数单位)，则z 的虚部为．2． 设集合{24}A =，，2{2}(B a =，其中0)a <，若A B =，则实数a =． 3． 在平面直角坐标系xOy 中，点(24)P -，到抛物线28y x =-的准线的距离为．4． 一次考试后，从高三（1）班抽取5人进行成绩统计，其茎叶图如右图所示，则这五人成绩的方差为．5． 下图是一个算法流程图，若输入值[02]x ∈，，则输出值S 的取值范围是．6． 欧阳修在《卖油翁》中写到：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见卖油翁的技艺之高超，若铜钱直径4厘米，中间有边长为1厘米的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油（油滴大小忽略不计），则油恰好落入孔中的概率是．7．已知函数()sin(π)(02π)f x x x ϕ=+<<在2x =时取得最大值，则ϕ=． 8．已知公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1054S S =，则14a d =．9．在棱长为2的正四面体P ABC -中，M ，N 分别为PA ，BC 的中点，点D 是线段PN上一点，且2PD DN =，则三棱锥D MBC -的体积为．10．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a b c ，，，且满足3cos cos 5a Bb Ac -=，则tan tan AB=． 11．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:(1)2C x y ++=，点(20)A ，，若圆C 上存在点M ，满足2210MA MO +≤，则点M 的纵坐标的取值范围是．12．如图，扇形AOB 的圆心角为90°，半径为1，点P 是圆弧AB 上的动点，作点P 关于弦AB 的对称点Q ，则OP OQ ⋅的取值范围为．13．已知函数1(|3|1)0()2ln 0xx f x x x ⎧++≤⎪=⎨⎪>⎩，，， ，若存在实数a b c <<，满足()()()f a f b f c ==，则()()()af a bf b cf c ++的最大值是．14．已知a b ，为正实数，且()234()a b ab -=，则11a b+的最小值为． 二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．如图，在四棱锥P ABCD -中，90ADB ∠= ，CB CD =，点E 为棱PB 的中点．（1）若PB PD =，求证：PC BD ⊥； （2）求证：CE //平面PAD ．16．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a b c ，，，设△ABC 的面积为S，且2224)S a c b +-.（1）求B ∠的大小；（2）设向量(sin 23cos )A A =，m ，(32cos )A =-，n ，求⋅m n 的取值范围． 17．（本小题满分14分）下图（I ）是一斜拉桥的航拍图，为了分析大桥的承重情况，研究小组将其抽象成图（II ）所示的数学模型．索塔AB ，CD 与桥面AC 均垂直，通过测量知两索塔的高度均为60m ，桥面AC 上一点P 到索塔AB ，CD 距离之比为21:4，且P 对两塔顶的视角为135． （1）求两索塔之间桥面AC 的长度；（2）研究表明索塔对桥面上某处的“承重强度”与多种因素有关，可简单抽象为：某索塔对桥面上某处的“承重强度”与索塔的高度成正比（比例系数为正数a ），且与该处到索塔的距离的平方成反比（比例系数为正数b ）．问两索塔对桥面何处的“承重强度”之和最小？并求出最小值．ABCDP E18．如图，椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，焦点到相应准线的距离为1，点A ，B ，C 分别为椭圆的左顶点、右顶点和上顶点，过点C 的直线l 交椭圆于点D ，交x 轴于点1(0)M x ，，直线AC 与直线BD 交于点22()N x y ，．（1）求椭圆的标准方程；（2）若2CM MD =，求直线l 的方程；（3）求证：12x x ⋅为定值．19．已知函数32()1f x x ax bx a b =+++∈，，R ． （1）若20a b +=，① 当0a >时，求函数()f x 的极值（用a 表示）；② 若()f x 有三个相异零点，问是否存在实数a 使得这三个零点成等差数列？若存在，试求出a 的值；若不存在，请说明理由；（2）函数()f x 图象上点A 处的切线1l 与()f x 的图象相交于另一点B ，在点B 处的切线为2l ，直线12l l ，的斜率分别为12k k ，，且21=4k k ，求a b ，满足的关系式． 20．已知等差数列{}n a 的首项为1，公差为d ，数列{}n b 的前n 项和为n S ，且对任意的*n ∈N ，692n n n S b a =--恒成立．（1）如果数列{}n S 是等差数列，证明数列{}n b 也是等差数列； （2）如果数列12n b ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列，求d 的值； （3）如果3d =，数列{}n c 的首项为1，1(2)n n n c b b n -=-≥，证明数列{}n a中存在无穷多项可表示为数列{}n c 中的两项之和．数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】在A ，B ，C ，D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分．请在答题．．卡指定区域．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲如图所示，AB 为⊙O 的直径，AE 平分BAC ∠交⊙O 于E 点，过E 作⊙O 的切线交AC 于点D ，求证AC DE ⊥．B ．选修4—2：矩阵与变换 已知矩阵214x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦M =的一个特征值为3，求1-M ． C ．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为32cos (22sin x t t y t=+⎧⎨=-+⎩，为参数)．以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为cos()()4a a πθ-=∈R ，已知圆心C 到直线la 的值．D ．选修4—5：不等式选讲已知实数a b c ，，满足21a b c ++=，2221a b c ++=，求证：213c -≤≤． 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．甲、乙、丙三位学生各自独立地解同一道题，已知甲做对该题的概率为13，乙、丙做对该题的概率分别为()m n m n >，，且三位学生能否做对相互独立，设X 为这三位学生中做对该题的人数，其分布列为：（1）求m n ，的值； （2）求X 的数学期望．23．已知函数21()((R)n f x x n x +*=∈∈N ，．（1）当2n =时，若(2)(2)f f +-=，求实数A 的值； （2）若(2)(01)f m m αα*=+∈<<N ，，求证：()1m αα+=．2017-2018 学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）参考答案一、填空题：1． 1- 2．2- 3．4 4．20.8 5．[]01，6．14π 7．π2 8．2 9．411． ⎡⎢⎣⎦12．11⎤⎦， 13．22e 12- 14．二、解答题15． 证明：（1）取BD 的中点O ，连结CO PO ，，因为CD CB =，所以△CBD 为等腰三角形，所以BD CO ⊥． 因为PB PD =，所以△PBD 为等腰三角形，所以BD PO ⊥． 又PO CO O = ，所以BD ⊥平面PCO ． 因为PC ⊂平面PCO ，所以PC BD ⊥． （2）由E 为PB 中点，连EO ，则EO PD ∥，又EO ⊄平面PAD ，所以EO ∥平面PAD ． 由90ADB ∠=︒，以及BD CO ⊥，所以CO AD ∥， 又CO ⊄平面PAD ，所以CO ∥平面PAD ． 又=CO EO O ，所以平面CEO ∥平面PAD ， 而CE ⊂平面CEO ，所以CE ∥平面PAD ．16．解（1）由题意，有22214sin )2ac B a c b ⨯=+-，则sin B =sin B B =．因为sin 0B ≠，所以cos 0B ≠，所以tan B = 又0πB <<，所以π3B =． （2）由向量(sin 23cos )A A =，m ，(32cos )A =-，n ，得2π3sin 26cos 3sin 23cos 23)34A A A A A -=--=-- m n =．由（1）知π3B =，所以2π3A C +=，所以2π03A <<．所以ππ13π2()4412A -∈-，．所以πsin(2)14A ⎛⎤-∈ ⎥ ⎝⎦．所以(63⎤∈-⎦m n．即取值范围是(63⎤-⎦． 17．解（1）设21AP t =，4(0)BP t t =>，，记==APB CPD αβ∠∠，，则60206015tan =tan 2174t t t tαβ===，， 由22015tan tan 7tan()tan 4513001tan tan 17t t t αβαβαβ+++=︒===--， 化简得 271253000t t --=，解得20t =或157t =-（舍去）， 所以，2520500AC AP PC =+=⨯=． 答：两索塔之间的距离AC =500米．（2）设AP=x ，点P 处的承重强度之和为()L x . 则22()60[](500)ab ab L x x x =+-，且(0,500)x ∈， 即2211()60[],(0,500)(500)L x ab x x x =+∈- 记2211(),(0,500)(500)l x x x x =+∈-，则3322'()(500)l x x x -=+-， 令()0l x '=，解得250x =，当(0,250)x ∈，()0l x '<，()l x 单调递减； 当(250,500)x ∈，()0l x '>，()l x 单调递增； 所以250x =时，()l x 取到最小值，()L x 也取到最小值63125ab. 答：两索塔对桥面AC 中点处的“承重强度”之和最小，且最小值为63125ab. 18. 解（1）由椭圆的离心率为21. 得21c a a c c⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得1a c ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以，椭圆的标准方程为2212x y +=.（2）由（1）知(0,1)C ，设00(,)D x y ，因为2CM MD = ，得021y =-，所以012y =-，代入椭圆方程得0x =或，所以1)2D -或1()2D -， 所以l的方程为：1y =+或1y =+. （3）设D 坐标为(x 3，y 3）,由(0,1)C ，M (x 1，0)可得直线CM 的方程111y x x =-+， 联立椭圆方程得：1221112y x x x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，，解得132142x x x =+,2132122x y x -=+.由B ，得直线BD的方程：2y x =， ①直线AC方程为1y x =+， ② 联立①②得212x x =， 从而12x x =2为定值.解法2：设D 坐标为(x 3，y 3）， 由C ,M ,D 三点共线得31311y x x x =--，所以3131x x y =-，① 由B ,D ,N，将221y =+ 代入可得2x ， ②①和②相乘得，231231x x x y =-2333323333222)2x y x xx y x +-==-+-. 19. 解：（1）①由2()32f x x ax b '=++及02=+b a ， 得22()32f x x ax a '=+-， 令()0f x '=，解得3ax =或a x -=. 由0>a 知，(,)()0x a f x '∈-∞->，，)(x f 单调递增，(,)()03a x a f x '∈-<，，)(x f 单调递减，(,)()03ax f x '∈+∞>，，)(x f 单调递增，因此，)(x f 的极大值为3()1f a a -=+，)(x f 的极小值为35()1327a a f =-.② 当0a =时，0b =，此时3()1f x x =+不存在三个相异零点；当0a <时，与①同理可得)(x f 的极小值为3()1f a a -=+，)(x f 的极大值为35()1327a a f =-.要使)(x f 有三个不同零点，则必须有335(1)(1)027a a +-<， 即332715a a <->或.不妨设)(x f 的三个零点为321,,x x x ，且321x x x <<， 则123()()()0f x f x f x ===，3221111()10f x x ax a x =+-+=，① 3222222()10f x x ax a x =+-+=， ② 3223333()10f x x ax a x =+-+=， ③②-①得222212*********()()()()()0x x x x x x a x x x x a x x -+++-+--=， 因为210x x ->，所以222212121()0x x x x a x x a ++++-=， ④ 同理222332232()0x x x x a x x a ++++-=， ⑤⑤-④得231313131()()()()0x x x x x x x a x x -+-++-=， 因为310x x ->，所以2310x x x a +++=， 又1322x x x +=，所以23ax =-. 所以()03af -=，即22239a a a +=-，即327111a =-<-，因此，存在这样实数a =满足条件. （2）设A （m ，f (m )）,B (n ，f (n ))，则b am m k ++=2321，b an n k ++=2322，又b n m a n mn m nm n m b n m a n m n m n f m f k +++++=--+-+-=--=)()()()()()(2222331， 由此可得b n m a n mn m b am m +++++=++)(23222，化简得m a n 2--=， 因此，b a am m b m a a m a k +++=+--+--=2222812)2(2)2(3， 所以，2221284(32)m am b a m am b +++=++， 所以b a 32=.20. 解：（1）设数列{}n S 的公差为d '，由692n n n S b a =--， ①111692(2)n n n S b a n ---=--≥，②①-②得1116()9()()n n n n n n S S b b a a ----=---， ③ 即169()n n d b b d -'=--，所以169n n d db b -'+-=为常数， 所以{}n b 为等差数列．（2）由③得1699n n n b b b d -=--，即139n n b b d -=+，所以11111111133()11322332311112222n n n n n n n d d d b b b b b b b ------++++--+===+++++是与n 无关的常数， 所以103d -=或112n b -+为常数． ①当103d -=时，3d =，符合题意； ②当112n b -+为常数时， 在692n n n S b a =--中令1n =，则111692a b a =--，又11a =，解得11b =，…8分 所以11113222n b b -+=+=， 此时111333311322n d d b ---+=+=+，解得6d =-． 综上，3d =或6d =-．（3）当3d =时，32n a n =-，由（2）得数列1{}2n b +是以32为首项，公比为3的等比数列，所以11313=3222n n n b -+=⋅⋅，即1=(31)2n n b -． 当2n ≥时，11111(31)(31)322n n n n n n c b b ---=-=---=，当1n =时，也满足上式，所以13(1)n n c n -=≥．设(1)n i j a c c i j =+<≤，则113233i j n ---=+，即133(31)2i j i n ---+=，如果2i ≥，因为3n 为3的倍数，13(31)i j i --+为3的倍数，所以2也为3的倍数，矛盾．所以1i =，则1333j n -=+，即213(2,3,4,)j n j -=+= ．所以数列{}n a 中存在无穷多项可表示为数列{}n c 中的两项之和．2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）附加题参考答案21.A 解 连接OE ，因为ED 是⊙O 切线，所以OE ⊥ED .因为OA ＝OE ，所以∠1＝∠OEA .又因为∠1＝∠2，所以2＝∠OEA ，所以OE ∥AC ，∴AC ⊥DE ．21.B 解 由2104xl l --=--，得(2)()40x l l ---=的一个解为3，代入得1x =-， 因为⎥⎦⎤-⎢⎣⎡=1142M ，所以⎥⎥⎥⎥⎦⎤-⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-316132611M . 21.C 解消去参数t ，得到圆的普通方程为()()22324x y -++=, 由a =-)4cos(2πθρ，得0sin cos =-+a θρθρ,所以直线l 的直角坐标方程为0x y a +-=. 依题意，圆心C 到直线l解得13a 或=-. 21.D 证明：因为a ＋2b ＋c ＝1，a 2＋b 2＋c 2＝1，所以a ＋2b ＝1－c ，a 2＋b 2＝1－c 2.由柯西不等式：(12＋22)(a 2＋b 2)≥(a ＋2b )2，5(1－c 2)≥(1－c )2， 整理得，3c 2－c －2≤0，解得－23≤c ≤1. 所以－23≤c ≤1. 22. 解（1）由题意，得11(1)(1)(1),3311.336m n mn ⎧---=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 又m n >，解得13m =，1.4n = （2）由题意，1232132214.3343343349a =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=14171(0)(1)(3)1.393636b P X P X P X =-=-=-==---= ()E X =1471110123.39363612⨯+⨯+⨯+⨯= 23.解（1）当2n =时，50512323234455555555()(f x x C x C x C x C x C x C ==++++，所以55114332550555(2)(2)(2+(22[22+2]f f C C C +-=-=+=2(54⨯⨯⨯所以610A =.（2）因为21021122212212121212121()(n n n n n n n n n f x x C x C x C x C ++-++++++==+++ ，所以021122212212121212121(2)222n n n n n n n n f C C C C +-++++++=+++ ，由题意21(2)2) (*,01)n f m m αα+==+∈<<N ，首先证明对于固定的*n ∈N ，满足条件的,m α是唯一的.假设21112212121212(2)(2(,*,0,1,,)n f m m m m m m αααααα+==+=+∈<<≠≠N ， 则12210m m αα-=-≠，而12m m -∈Z ，21(1,0)(0,1)αα-∈- ，矛盾. 所以满足条件的,m α是唯一的.下面我们求m 及α的值： 因为21212121(2)(2)(2(2(2(2n n n n f f ++++--=--=+02122124234112212121212[222++2]n n n n n n n n C C C C +--++++=++ ， 显然(2)(2)f f --∈N *.2(0,1)∈，故212)(0,1)n +∈，即2121(2)(22)(0,1)n n f ++-=-=∈.所以令02122124234112212121212[222++2]n n n n n n n n m C C C C +--++++=++ ，21(2n α+=-，则(2)(2),(2)m f f f α=--=-，又(2)m f α+=，所以212121()(2)(2)(2(2(54)1n n n m f f αα++++=-⋅=⋅-=-=.。
江苏省常州市2017届高三数学一模试卷有答案
2017 年江苏省常州市高考数学一模试卷一.填空题：本大題共14 小败，每小題 5 分，共 70 分 .不需要写出解答过程1．已知会集 U={ 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7} ，M={ x| x2﹣ 6x+5≤0，x∈Z} ，则 ?U M=．2．若复数 z 满足 z+i=，其中i为虚数单位，则| z| =．3．函数 f（ x）=的定义域为．4．如图是给出的一种算法，则该算法输出的结果是5．某高级中学共有900 名学生，现用分层抽样的方法从该校学生中抽取1个容量为45的样本，其中高一年级抽20 人，高三年级抽10 人，则该校高二年级学生人数为．6．已知正四棱锥的底面边长是2，侧棱长是，则该正四棱锥的体积为．7．从会集 { 1，2，3，4} 中任取两个不同样的数，则这两个数的和为3 的倍数的槪率为．8．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y2=8x 的焦点恰好是双曲线﹣=l 的右焦点，则双曲线的离心率为．9．设等比数列{ a n} 的前 n 项和为 S n，若 S3， S9，S6成等差数列．且 a2 +a5=4，则a8的值为．10．在平面直角坐标系xOy 中，过点 M（ 1， 0）的直线 l 与圆 x2+y2=5 交于 A，B 两点，其中 A 点在第一象限，且=2，则直线l的方程为．11．在△ ABC中，已知 AB=1，AC=2，∠ A=60 °，若点 P 满足= +，且?=1，则实数λ的值为．12．已知 sin α =3sin（α+），则tan（α+）=．3+y3 2 2的最小值为．14．若正数 x， y 满足 15x ﹣ y=22，则 x﹣x﹣y二.解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分15．在△ ABC中， a，b，c 分别为角 A，B，C 的对边．若 acosB=3，bcosA=l，且 A﹣B= （1）求边 c 的长；（2）求角 B 的大小．16．如图，在斜三梭柱ABC﹣A1B1C1中，侧面 AA1C1C 是菱形， AC1与 A1C 交于点 O，E 是棱 AB上一点，且 OE∥平面 BCC1B1（1）求证： E 是 AB 中点；（2）若 AC1⊥A1B，求证： AC1⊥BC．17．某单位将举办庆典活动，要在广场上直立一形状为等腰梯形的彩门BADC（如图），设计要求彩门的面积为S（单位：m2）?高为h（单位：m）（S，h为常数），彩门的下底BC固定在广场所面上，上底和两腰由不锈钢支架构成，设腰和下底的夹角为α，不锈钢支架的长度和记为 l．（1）请将 l 表示成关于α的函数 l=f（α）；（2）问当α为何值时 l 最小？并求最小值．18．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆+ =l（a＞b＞0）的焦距为2，离心率为，椭圆的右极点为A．（1）求该椭圆的方程：（2）过点 D（，﹣）作直线PQ交椭圆于两个不同样点P，Q，求证：直线 AP，AQ 的19．己知函数 f（x） =（ x+l） lnx ﹣+ax （a 为正实数，且为常数）（1）若 f（ x）在（ 0，+∞）上单调递加，求 a 的取值范围；（2）若不等式（ x﹣1）f（ x）≥ 0 恒建立，求 a 的取值范围．20．己知 n 为正整数，数列 { a n }满足an＞0，4（n+1）an2﹣ na+12=0，设数列 { bn}满足bn=（1）求证：数列 {} 为等比数列；（2）若数列 { b n} 是等差数列，求实数t 的值：（3）若数列 { b n} 是等差数列，前 n 项和为 S n，对任意的 n∈N*，均存在 m∈N*，使得8a12S n﹣a14n2=16b m建立，求满足条件的所有整数 a1的值．四.选做题本题包括 A，B，C，D 四个小题，请选做其中两题，若多做，则按作答的前两题评分． A.[ 选修 4 一 1：几何证明选讲 ]21．如图，圆 O 的直径 AB=6， C 为圆周上一点， BC=3，过 C 作圆的切线 l，过 A 作 l 的垂线AD，AD 分别与直线 l、圆交于点 D、E．求∠ DAC的度数与线段 AE的长．[ 选修 4-2：矩阵与变换 ]22．已知二阶矩阵M 有特色值λ =8及对应的一个特色向量=[] ，并且矩阵 M 对应的变换将点（﹣1， 2）变换成（﹣2，4）．（1）求矩阵 M；（2）求矩阵 M 的另一个特色值．[ 选修 4-4：坐标系与参数方程 ]23．已知圆O1和圆 O2的极坐标方程分别为ρ=2，．（1）把圆 O1和圆 O2的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求经过两圆交点的直线的极坐标方程．[ 选修 4-5：不等式选讲 ]24．已知 a， b，c 为正数，且 a+b+c=3，求++的最大值．四.必做题：每题 0 分，共计 20 分25．如图，已知正四棱锥P﹣ ABCD中， PA=AB=2，点 M ，N 分别在 PA，BD 上，且= =．（1）求异面直线 MN 与 PC所成角的大小；（2）求二面角 N﹣PC﹣B的余弦值．26．设 | θ| ＜，n为正整数，数列{ a n}的通项公式a n=sin tan nθ，其前 n 项和为 S n（1）求证：当 n 为偶函数时， a=0；当 n 为奇函数时， a =（﹣1）tan nθ；n n（2）求证：对任何正整数n，S2n=sin2 θ?[1+（﹣1）n+1tan 2nθ] ．2017 年江苏省常州市高考数学一模试卷参照答案与试题解析一.填空题：本大題共14 小败，每小題 5 分，共 70 分 .不需要写出解答过程1．已知会集 U={ 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7} ，M={ x| x2﹣ 6x+5≤0，x∈Z} ，则 ? M={ 6，7} ．U【考点】补集及其运算．【解析】解不等式化简会集M，依照补集的定义写出运算结果即可．【解答】解：会集 U={ 1，2，3，4，5，6， 7} ，M={ x| x2﹣ 6x+5≤0，x∈Z} ={ x| 1≤x≤5，x∈Z} ={ 1，2，3，4，5} ，则?U M={ 6，7} ．故答案为： { 6，7} ．2．若复数 z 满足 z+i=，其中i为虚数单位，则| z| =．【考点】复数代数形式的乘除运算．【解析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z，再由复数求模公式计算得答案．【解答】解：由 z+i=，得=，则| z| =．故答案为：．3．函数 f（ x）=的定义域为{ x| x＞且x≠1}．【考点】函数的定义域及其求法．【解析】依照对数函数的性质以及分母不是0，获取关于 x 的不等式组，解出即可．【解答】解：由题意得：，解得： x＞且x≠1，故函数的定义域是 { x| x＞且x≠1}，故答案为： { x| x＞且x≠1}．4．如图是给出的一种算法，则该算法输出的结果是24【考点】伪代码．【解析】模拟程序代码的运行过程，可知程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 t 的值，由于循环变量的初值为 2，终值为 4，步长为 1，故循环体运行只有 3 次，由此获取答案．【解答】解：当 i=2 时，满足循环条件，执行循环t=1×2=2，i=3；当 i=3 时，满足循环条件，执行循环t=2×3=6，i=4；当 i=4 时，满足循环条件，执行循环t=6×4=24，i=5；当i=5 时，不满足循环条件，退出循环，输出 t=24．故答案为： 24．5．某高级中学共有 900 名学生，现用分层抽样的方法从该校学生中抽取 1 个容量为45 的样本，其中高一年级抽 20 人，高三年级抽10 人，则该校高二年级学生人数为300 ．【考点】分层抽样方法．【解析】用分层抽样的方法抽取一个容量为45 的样本，依照高一年级抽20 人，高三年级抽10 人，获取高二年级要抽取的人数，依照该高级中学共有900 名学生，算出高二年级学生人数．【解答】解：∵用分层抽样的方法从某校学生中抽取一个容量为45 的样本，其中高一年级抽20 人，高三年级抽10 人，∴高二年级要抽取45﹣20﹣10=15，∴每个个体被抽到的概率是=∴该校高二年级学生人数为=300，故答案为： 300．6．已知正四棱锥的底面边长是2，侧棱长是，则该正四棱锥的体积为．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【解析】正四棱锥 P﹣ABCD中， AB=2，PA=，设正四棱锥的高为PO，连接 AO，求出 PO，由此能求出该正四棱锥的体积．【解答】解：如图，正四棱锥P﹣ABCD中，AB=2，PA= ，设正四棱锥的高为 PO，连接 AO，则AO= AC= ．在直角三角形 POA中， PO===1．因此 VP﹣ABCD= ?SABCD?PO=×4×1= ．故答案为：．7．从会集 { 1，2，3，4} 中任取两个不同样的数，则这两个数的和为3 的倍数的槪率为．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【解析】先求出基本事件总数n= =6，再利用列举法求出这两个数的和为 3 的倍数包括的基本事件个数，由此能求出这两个数的和为 3 的倍数的槪率．【解答】解：从会集 { 1，2，3，4} 中任取两个不同样的数，这两个数的和为 3 的倍数包括的基本事件有：（1，2），（ 2， 4），共 2 个，∴这两个数的和为 3 的倍数的槪率 p=．故答案为：．8．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y2=8x 的焦点恰好是双曲线﹣=l 的右焦点，则双曲线的离心率为2．【考点】双曲线的简单性质．【解析】求得抛物线的焦点坐标，可得 c=2，由双曲线的方程可得 a=1，由离心率公式可得所求值．【解答】解：抛物线 y2=8x 的焦点为（ 2，0），则双曲线﹣=l 的右焦点为（ 2， 0），即有 c==2，不如设 a=1，可得双曲线的离心率为e==2．故答案为： 2．9．设等比数列{ a n} 的前 n 项和为 S n，若 S3， S9，S6成等差数列．且 a2 +a5=4，则a8的值为 2 ．【考点】等比数列的通项公式．【解析】利用等比数列的前n 项和公式和通项公式列出方程组，求出，由此能求出 a8的值．【解答】解：∵等比数列 { a n} 的前 n 项和为 S n，若 S3，S9， S6成等差数列．且a2+a5=4，∴，解得，故答案为： 2．10．在平面直角坐标系xOy 中，过点 M（ 1， 0）的直线 l 与圆 x2+y2=5 交于 A，B 两点，其中 A 点在第一象限，且=2，则直线l的方程为x﹣y﹣1=0．【考点】直线与圆的地址关系．【解析】由题意，设直线 x=my+1 与圆 x2+y2=5 联立，利用韦达定理，结合向量知识，即可得出结论．【解答】解：由题意，设直线x=my+1 与圆 x2+y2=5 联立，可得（ m2+1）y2+2my﹣4=0，设 A（ x ，y ），B（x ，y ），则 y，y +y11221=﹣ 2y 1 2=﹣，y1y2=﹣联立解得 m=1，∴直线 l 的方程为 x﹣y﹣1=0，故答案为： x﹣y﹣1=0．11．在△ ABC中，已知 AB=1，AC=2，∠ A=60 °，若点 P 满足= +，且?=1，则实数λ的值为﹣或 1．【考点】平面向量数量积的运算．【解析】依照题意，利用平面向量的线性运算，把、用、与λ表示出来，再求?即可．【解答】解：△ ABC中， AB=1，AC=2，∠ A=60°，点 P 满足= +，∴﹣ =λ，∴=λ；又= ﹣ =（ +λ）﹣ = +（λ﹣）1，∴ ?=λ ?[ +（λ﹣）1 ]=λ ?+λ（λ﹣）1=λ× 2× 1× cos60 +°λ（λ﹣）1×22=1，整理得 4λ2﹣ 3λ﹣，1=0解得λ=﹣或λ=1，∴实数λ的值为﹣或 1．12．已知 sin α =3sin（α+），则tan（α+）=2﹣4 ．【考点】两角和与差的正切函数；两角和与差的正弦函数．【解析】利用同角三角的基本关系、两角和差的三角公式求得tan α、tan的值，可得tan（α+）的值．【解答】解： sin α=3sin（α+）=3sinαcos +3cosαsin=sin α+ cosα，∴ tan α=．又 tan =tan（﹣）===2﹣，∴t an（α+ ）====﹣=2﹣4，故答案为： 2﹣4．13．若函数 f（ x）=，则函数y=| f（x）|﹣的零点个数为4．【考点】根的存在性及根的个数判断．x＜1 时，【解析】利用分段函数，对x≥1，经过函数的零点与方程根的关系求解零点个数，当利用数形结合求解函数的零点个数即可．【解答】解：当 x≥1 时，= ，即 lnx=，令 g（ x）=lnx ﹣，x≥1时函数是连续函数，g（1）=﹣＜ 0， g（2）=ln2 ﹣=ln＞0，g（4）=ln4 ﹣＜20，由函数的零点判判定理可知g（ x） =lnx ﹣，有2个零点．当 x＜1 时， y=，函数的图象与y=的图象如图，观察两个函数由 2 个交点，综上函数 y=| f（x）| ﹣的零点个数为： 4 个．故答案为： 4．3+y3 2 2的最小值为 1 ．14．若正数 x， y 满足 15x ﹣ y=22，则 x﹣x﹣y【考点】函数的最值及其几何意义．【解析】由题意可得 x＞，y＞0，又x3+y3﹣2x﹣2y=（x3﹣2x）+（y3﹣y2），求出y3﹣y2≥﹣y，当且仅当 y= 时获取等号，设 f（ x） =x3﹣x2，求出导数和单调区间、极值和最值，即可获取所求最小值．【解答】解：由正数 x，y 满足 15x﹣y=22，可得 y=15x﹣22＞ 0，则 x＞，y＞0，又x3 +y3 2 232） +（ y32），﹣x﹣y=（ x﹣x﹣y其中 y3﹣2y+y=y（ y2﹣y+ ）=y（y ﹣）2≥ 0，即 y3﹣2y≥ ﹣ y，当且仅当 y= 时获取等号，设 f（x）=x3﹣2x，f（ x）的导数为 f ′（x）=3x2﹣ 2x=x（ 3x ﹣）2，当 x= 时， f（x）的导数为× （﹣2）=，可得 f（ x）在 x=处的切线方程为y=x﹣．由 x3﹣2x≥x﹣ ? （x﹣）2（ x+2）≥ 0，当 x= 时，获取等号．则x3 +y3 2 232） +（ y32）≥x﹣﹣ y≥ ﹣ =1．﹣x﹣y=（ x﹣x﹣y当且仅当 x= ，y=时，获取最小值1．故答案为： 1．二.解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分15．在△ ABC中， a，b，c 分别为角 A，B，C 的对边．若 acosB=3，bcosA=l，且 A﹣ B=（1）求边 c 的长；（2）求角 B 的大小．【考点】余弦定理；正弦定理．【解析】（1）由 acosB=3，bcosA=l，利用余弦定理化为： a2+c2﹣b2=6c，b2+c2﹣2a=2c．相加即可得出 c．22==，又A﹣B=，可得A=B+（2）由（ 1）可得： a﹣b=8．由正弦定理可得：，C=，可得 sinC=sin．代入可得2﹣16sinB=，化简即可得出．【解答】解：（ 1）∵ acosB=3，bcosA=l，∴ a×=3，b×=1，222222化为： a +c﹣b=6c， b+c ﹣a=2c．相加可得： 2c2=8c，解得 c=4．（2）由（ 1）可得： a2﹣b2=8．由正弦定理可得：==，又 A﹣B=，∴ A=B+，C=π﹣（A+B）=，可得sinC=sin．∴a=，b=．∴﹣16sin B=，2∴1﹣﹣（1﹣cos2B）=，即cos2B﹣=，∴﹣2═，∴=0 或=1，B∈．解得： B=．16．如图，在斜三梭柱ABC﹣A1B1C1中，侧面 AA1C1C 是菱形， AC1与 A1C 交于点 O，E 是棱 AB 上一点，且 OE∥平面 BCC1B1（1）求证： E 是 AB 中点；（2）若 AC1⊥A1B，求证： AC1⊥BC．【考点】空间中直线与直线之间的地址关系；直线与平面平行的性质．【解析】（1）利用同一法，第一经过连接对角线获取中点，进一步利用中位线，获取线线平行，进一步利用线面平行的判判定理，获取结论．（2）利用菱形的对角线互相垂直，进一步利用线面垂直的判判定理，获取线面垂直，最后转变为线线垂直．【解答】证明：（ 1）连接 BC1，取 AB 中点 E′，∵侧面 AA1C1C 是菱形， AC1与 A1C 交于点 O，∴O 为 AC1的中点，∵E′是 AB 的中点，∴OE′∥BC1；∵OE′? 平面 BCCB ，BC ? 平面 BCCB ，1 11 1 1∴OE′∥平面 BCC1B1，∵OE∥平面 BCC1B1，∴E，E′重合，∴E 是 AB 中点；（2）∵侧面 AA1C1C 是菱形，∴AC1⊥A1C，∵AC1⊥A1B， A1C∩A1B=A1，A1C? 平面 A1BC， A1B? 平面 A1BC，∴AC1⊥平面 A1BC，∵BC? 平面 A1BC，∴AC1⊥BC．17．某单位将举办庆典活动，要在广场上直立一形状为等腰梯形的彩门BADC（如图），设计要求彩门的面积为S（单位：m2）?高为h（单位：m）（S，h为常数），彩门的下底BC固定在广场所面上，上底和两腰由不锈钢支架构成，设腰和下底的夹角为α，不锈钢支架的长度和记为 l．（1）请将 l 表示成关于α的函数 l=f（α）；（2）问当α为何值时 l 最小？并求最小值．【考点】函数模型的选择与应用．【解析】（1）求出上底，即可将l 表示成关于α的函数 l=f（α）；（2）求导数，获取函数的单调性，即可解决当α为何值时l最小？并求最小值．【解答】解：（ 1）设上底长为 a，则 S=，∴a=﹣，∴l=﹣+（0＜α＜）；（2）l ′=h，∴0＜α＜，l＜′0，＜α＜，l′＞0，∴时， l 获取最小值m．18．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆+ =l（a＞b＞0）的焦距为2，离心率为，椭圆的右极点为A．（1）求该椭圆的方程：（2）过点 D（，﹣）作直线 PQ 交椭圆于两个不同样点 P，Q，求证：直线 AP，AQ 的斜率之和为定值．【考点】直线与椭圆的地址关系．【解析】（1）由题意可知 2c=2， c=1，离心率 e= ，求得 a=2，则 b2 =a2﹣c2=1，即可求得椭圆的方程：（2）则直线 PQ的方程： y=k（ x﹣）﹣，代入椭圆方程，由韦达定理及直线的斜率公式，分别求得直线 AP，AQ 的斜率，即可证明直线 AP，AQ 的率之和为定值．【解答】解：（ 1）由题意可知：椭圆+=l （ a＞ b＞ 0），焦点在 x 轴上， 2c=1，c=1，椭圆的离心率 e= =，则a=，b2=a2﹣2c=1，则椭圆的标准方程：；（2）证明：设 P（ x1，y1），Q（x2， y2）， A（， 0），由题意 PQ 的方程： y=k（ x﹣）﹣，则，整理得：（ 2k 2+1）x 2﹣（4 k 2+4k ）x+4k 2+8k+2=0，由韦达定理可知： x 1+x 2= ，x 1x 2=，则 y 1+y 2=k （x 1+x 2）﹣2 k ﹣2 =，则 k AP +k AQ =+ =，由 y 1x 2+y 2x 1=[ k （ x 1﹣）﹣] x 2+[ k （x 2﹣）﹣ ] x 1 =2kx 1x 2﹣（k+ ）（x 1+x 2）=﹣，k AP +k AQ == =1，∴直线 AP ，AQ 的斜率之和为定值 1．19．己知函数 f （x ） =（ x+l ） lnx ﹣+ax （a 为正实数，且为常数）（1）若 f （ x ）在（ 0，+∞）上单调递加，求 a 的取值范围；（2）若不等式（ x ﹣1）f （ x ）≥ 0 恒建立，求 a 的取值范围．【考点】 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【解析】（1）求出函数 f （x ）的导数，问题转变为a ≤lnx+ +1 在（ 0，+∞）恒建立，（ a ＞ 0），令 g （ x ）=lnx+ +1，（ x ＞ 0），依照函数的单调性求出 a 的范围即可；（2）问题转变为（ x ﹣1）[ （x+1）lnx ﹣]a≥ 0 恒建立，经过谈论 x 的范围，结合函数的单调性求出 a 的范围即可．【解答】 解：（ 1）f （x ） =（ x+l ）lnx ﹣ax+a ， f （′x ）=lnx+ +1﹣a ，若 f （x ）在（ 0，+∞）上单调递加，则 a ≤ lnx+ +1 在（ 0，+∞）恒建立，（a ＞0），令 g （ x ）=lnx+ +1，（ x ＞ 0），16令g′（x）＞ 0，解得： x＞1，令 g′（ x）＜ 0，解得： 0＜ x＜ 1，故 g（ x）在（ 0，1）递减，在（ 1，+∞）递加，故g（ x）min =g（1）=2，故0＜ a≤2；（2）若不等式（ x﹣1）f（ x）≥ 0 恒建立，即（ x﹣）1 [ （ x+1）lnx ﹣]a≥ 0 恒建立，①x≥1 时，只需 a≤（ x+1）lnx 恒建立，令 m（x）=（x+1）lnx，（ x≥1），则m′（x）=lnx+ +1，由（ 1）得： m′（x）≥ 2，故 m（x）在 [ 1，+∞）递加， m（x）≥ m（1）=0，故 a≤ 0，而 a 为正实数，故 a≤0 不合题意；②0＜x＜1 时，只需 a≥（ x+1）lnx，令n（ x）=（x+1） lnx，（0＜x＜1），则n′（x） =lnx+ +1，由（ 1）n′（x）在（ 0， 1）递减，故 n′（x）＞ n（1）=2，故 n（ x）在（ 0，1）递加，故 n（ x）＜ n（ 1）=0，故 a≥ 0，而 a 为正实数，故 a＞0．20．己知 n 为正整数，数列 { a} 满足 a ＞0，4（n+1） a2﹣ na2=0，设数列 { b} 满足 b =n n n n+1n n（1）求证：数列 {} 为等比数列；（2）若数列 { b n} 是等差数列，求实数t 的值：（3）若数列 { b } 是等差数列，前n 项和为 S ，对任意的 n∈N*，均存在 m∈N*，使得n n8a242建立，求满足条件的所有整数 a 的值．S﹣a n =16b1n1m1【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【解析】（1）数列 { a n} 满足 a n＞0，4（n+1）a n2﹣ na+12=0，化为：=2×，即可证明．（2）由（ 1）可得：=，可得=n ?4 ．数列 { b n} 满足 b n =，可得n﹣1b1，b2，b3，利用数列 { b n} 是等差数列即可得出 t ．S n﹣a1n =16b m，即可得出 a1．（3）依照（ 2）的结果分情况谈论 t 的值，化简 8a1242【解答】（1）证明：数列 { a } 满足 a ＞0，4（n+1）a 2﹣ na 2=0，n n nn+1∴= a n+1，即=2，∴数列 {} 是以 a1为首项，以 2 为公比的等比数列．（2）解：由（ 1）可得：=，∴=n?4n﹣1．∵b n=，∴ b1=，b2=，b3=，∵数列 { b n} 是等差数列，∴ 2×= +，∴= +，化为： 16t=t2+48，解得 t=12 或 4．（3）解：数列 { b n} 是等差数列，由（ 2）可得： t=12 或 4．①t=12 时， b n ==，S n=，∵对任意的 n∈N*，均存在 m∈N*，使得8a 2 4 2建立，1S n﹣a1n =16b m∴×﹣a1n =16×，42∴=，n=1时，化为：﹣=＞0，无解，舍去．②t=4 时， b n==，S n=，对任意的 n∈N，均存在 m∈N，使得 8a S ﹣a n =16b 建立，**2421 n1m∴×﹣a1n =16×，42∴n=4m，∴a1=．∵ a1为正整数，∴=k，k∈N*．∴满足条件的所有整数a1的值为 { a1| a1=2，n∈N*，m∈N*，且=k，k∈N* } ．四.选做题本题包括 A，B，C，D 四个小题，请选做其中两题，若多做，则按作答的前两题评分． A.[ 选修 4 一 1：几何证明选讲 ]21．如图，圆 O 的直径 AB=6， C 为圆周上一点， BC=3，过 C 作圆的切线 l，过 A 作 l 的垂线AD，AD 分别与直线 l、圆交于点 D、E．求∠ DAC的度数与线段 AE的长．【考点】弦切角．【解析】连接 OC，先证得三角形 OBC是等边三角形，从而获取∠ DCA=60°，再在直角三角形ACD中获取∠ DAC的大小；考虑到直角三角形 ABE中，利用角的关系即可求得边 AE 的长．【解答】解：如图，连接 OC，因 BC=OB=OC=3，因此∠ CBO=60°，由于∠DCA=∠CBO，因此∠ DCA=60°，又 AD⊥DC得∠ DAC=30°；又由于∠ ACB=90°，得∠ CAB=30°，那么∠ EAB=60°，从而∠ ABE=30°，于是．19[ 选修 4-2：矩阵与变换 ]22．已知二阶矩阵M 有特色值λ =8及对应的一个特色向量=[] ，并且矩阵 M 对应的变换将点（﹣1， 2）变换成（﹣2，4）．（1）求矩阵 M；（2）求矩阵 M 的另一个特色值．【考点】特色值与特色向量的计算；几种特其他矩阵变换．【解析】（1）先设矩阵A= ，这里a，b，c，d∈R，由二阶矩阵M 有特色值λ=8及对应的一个特色向量 e1及矩阵 M 对应的变换将点（﹣1，2）换成（﹣2，4）．获取关于 a，b，c，d 的方程组，即可求得矩阵 M ；（2）由（ 1）知，矩阵 M 的特色多项式为 f （λ）=（λ﹣）6（λ﹣）4﹣8=λ2﹣10+16λ，从而求得另一个特色值为 2．【解答】解：（ 1）设矩阵 A=，这里a，b，c，d∈R，则=8=，故，由于矩阵 M 对应的变换将点（﹣1，2）换成（﹣2， 4）．则=，故联立以上两方程组解得a=6， b=2，c=4，d=4，故 M=．（2）由（ 1）知，矩阵 M 的特色多项式为 f （λ）=（λ﹣）6（λ﹣）4﹣8=λ2﹣10+16λ，故矩阵 M 的另一个特色值为 2．[ 选修 4-4：坐标系与参数方程 ]23．已知圆 O和圆 O 的极坐标方程分别为ρ=2，．12（1）把圆 O1和圆 O2的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求经过两圆交点的直线的极坐标方程．【考点】简单曲线的极坐标方程；订交弦所在直线的方程．【解析】（1）先利用三角函数的差角公式张开圆 O2的极坐标方程的右式，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ，=xρsin θ，=yρ2=x2+y2，进行代换即得圆 O2的直角坐标方程及圆 O1直角坐标方程．（2）先在直角坐标系中算出经过两圆交点的直线方程，再利用直角坐标与极坐标间的关系求出其极坐标方程即可．【解答】解：（ 1）ρ=2? ρ=4，因此x +y=4；由于，222因此，因此 x2+y2﹣2x ﹣2y﹣．2=0（2）将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x+y=1．化为极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ，=1即．[ 选修 4-5：不等式选讲 ]24．已知 a， b，c 为正数，且 a+b+c=3，求++的最大值．【考点】二维形式的柯西不等式．【解析】利用柯西不等式，结合 a+b+c=3，即可求得 + + 的最大值．【解答】解：由柯西不等式可得（++）2≤[12+12+12][ （）2+（）2+（）2] =3× 12∴++≤ 3 ，当且仅当==时取等号．∴++的最大值是 6，故最大值为 6．四.必做题：每题 0 分，共计 20 分25．如图，已知正四棱锥P﹣ ABCD中， PA=AB=2，点 M ，N 分别在 PA，BD 上，且= =．（1）求异面直线 MN 与 PC所成角的大小；（2）求二面角 N﹣PC﹣B的余弦值．【解析】（1） AC与 BD 的交点 O， AB=PA=2．以点 O 坐原点，，，方向分是 x 、 y 、 z 正方向，建立空直角坐系O xyz．利用向量法能求出异面直MN 与PC所成角．（2）求出平面 PBC的法向量和平面PNC的法向量，利用向量法能求出二面角N PC B的余弦．【解答】解：（ 1） AC与 BD 的交点 O， AB=PA=2．以点 O 坐原点，，，方向分是x、y、z正方向，建立空直角坐系O xyz．A（ 1， 1，0），B（1，1，0）， C（ 1，1，0）， D（ 1， 1，0），⋯ P（ 0， 0， p），=（ 1， 1， p），又 AP=2，∴1+1+p2=4，∴ p= ，∵===（），=（），∴=（ 1，1，）， =（0，，），异面直 MN 与PC所成角θ，cosθ===．θ=30，°∴异面直 MN 与 PC所成角 30°．（2）=（ 1，1，），=（1，1，），=（，），平面 PBC的法向量=（ x， y，z），，取 z=1，得 =（0，，1），平面 PNC的法向量=（a， b， c），，取 c=1，得 =（，2， 1），二面角 N PC B的平面角θ，∴二面角 N﹣PC﹣B的余弦值为．26．设 | θ| ＜，n 为正整数，数列 { a } 的通项公式 a=sin tan nθ，其前 n 项和为 Sn n n （1）求证：当 n 为偶函数时， a n =0；当 n 为奇函数时， a n=（﹣1）tan nθ；（2）求证：对任何正整数n，S2n=sin2 θ?[1+（﹣1）n+1tan 2nθ] ．【考点】数列的求和．【解析】（1）利用 sin=，即可得出．（2）a2k ﹣+a12k=（﹣1）tannθ．利用等比数列的求和公式即可得出．【解答】证明：（ 1）a n=sin tan nθ，当n=2k（k∈N*）为偶数时， a n=sink π ?tanθ =0；当 n=2k﹣1为奇函数时， a n=?tan θ=（﹣1）tan θ=（﹣1）tan θ．n k﹣1 n n（2）a2k﹣+a12k=（﹣1）n2 tan θ．∴奇数项成等比数列，首项为tan θ，公比为﹣ tanθ．∴S2n==sin2 θ?[1+（﹣1）n+1tan2nθ] ．2017 年 4 月 18 日。
2017—2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研(一)(含答案)
12017—2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）数学Ⅰ试题2018．3一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．．） 1．已知集合A ＝{﹣1，1}，B ＝{﹣3，0，1}，则集合A ∩B ＝ ．2．已知复数z 满足34z i i ⋅=-（i 为虚数单位），则z = ．3．双曲线22143x y -=的渐近线方程为 ． 4．某中学共有1800人，其中高二年级的人数为600，现用分层抽样的方法在全校抽取n 人，其中高二年级被抽取的人数为21，则n ＝ ．5．将一颗质地均匀的正四面体骰子（每个面上分别写有数字1，2，3，4）先后抛掷2次，观察其朝下一面的数字，则两次数字之和等于6的概率为 ．6．如图是一个算法的流程图，则输出S 的值是 ．7．若正四棱锥的底面边长为2cm ，侧面积为8cm²，则它的体积为 cm³．8．设n S 是等差数列{n a }的前n 项和，若242a a +=，2S +41S =，则10=a ．9．已知0a >，0b >，且23a b+=，则ab 的最小值是 ．10．设三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ， 第6题 已知tan A 3tan B c b b -=，则cosA ＝ ．211．已知函数1()41x a e x f x x x x ⎧-<⎪=⎨+≥⎪⎩，，（e 是自然对数的底数），若函数()y f x =的最小值是4，则实数a 的取值范围为 ．12．在△ABC 中，点P 是边AB 的中点，已知CP 3=，CA 4=，∠ACB ＝23π，则CP CA ⋅＝ ．13．已知直线l ：20x y -+=与x 轴交于点A ，点P 在直线l 上，圆C ：22(2)2x y -+=上有且仅有一个点B 满足AB ⊥BP ，则点P 的横坐标的取值集合为 ．14．若二次函数2()(0)f x ax bx c a =++>在区间[1，2]上有两个不同的零点，则(1)f a的取值范围为 ．二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．（本题满分14分） 已知向量(2sin a α=，1)，(1b =，sin())4πα+．（1）若角α的终边过点(3，4)，求a b ⋅的值；（2）若a ∥b ，求锐角α的大小．16．（本题满分14分）如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1，其底面边长为2，已知点M ，N 分别是棱A 1C 1，AC 的中点，点D 是棱CC 1上靠近C 的三等分点．（1）求证：B 1M ∥平面A 1BN ；（2）求证：AD⊥平面A 1BN ．。
2017年江苏省苏锡常镇四市高三一模数学试卷
2017年江苏省苏锡常镇四市高三一模数学试卷一、填空题（共14小题；共70分） 1. 已知集合 U ={1,2,3,4,5,6,7}，M ={x∣ x 2−6x +5≤0,x ∈Z }，则 ∁U M = ______． 2. 若复数 z 满足 z +i =2+i i，其中 i 为虚数单位，则 ∣z∣= ______．3. 函数 f (x )=1ln (4x−3) 的定义域为______．4. 下面是给出的一种算法，则该算法输出的结果是______． t←1 i←2While i≤4 t←t×i i←i+1 End WhilePrint t5. 某高级中学共有 900 名学生，现用分层抽样的方法从该校学生中抽取 1 个容量为 45 的样本，其中高一年级抽 20 人，高三年级抽 10 人，则该校高二年级学生人数为______． 6. 已知正四棱锥的底面边长是 2，侧棱长是 √3，则该正四棱锥的体积为______． 7. 从集合 {1,2,3,4} 中任取两个不同的数，则这两个数的和为 3 的倍数的概率为______．8. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 y 2=8x 的焦点恰好是双曲线 x 2a 2−y 23=1 的右焦点，则双曲线的离心率为______．9. 设等比数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ，若 S 3，S 9，S 6 成等差数列．且 a 2+a 5=4，则 a 8 的值为 ______．10. 在平面直角坐标系 xOy 中，过点 M (1,0) 的直线 l 与圆 x 2+y 2=5 交于 A ，B 两点，其中 A 点在第一象限，且 BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2MA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则直线 l 的方程为______． 11. 在 △ABC 中，已知 AB =1，AC =2，∠A =60∘，若点 P 满足 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且 BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CP⃗⃗⃗⃗⃗ =1，则实数 λ 的值为______．12. 已知 sinα=3sin (α+π6)，则 tan (α+π12)= ______．13. 若函数 f (x )={12x−1,x <1lnxx 2,x ≥1，则函数 y =∣f (x )∣−18的零点个数为______．14. 若正数 x ，y 满足 15x −y =22，则 x 3+y 3−x 2−y 2 的最小值为______．二、解答题（共12小题；共156分）15. 在 △ABC 中，a ，b ，c 分别为角 A ，B ，C 的对边．若 acosB =3，bcosA =1，且 A −B =π6．（1）求边 c 的长； （2）求角 B 的大小．16. 如图，在斜三梭柱 ABC −A 1B 1C 1 中，侧面 AA 1C 1C 是菱形，AC 1 与 A 1C 交于点 O ，E 是棱 AB上一点，且 OE ∥平面BCC 1B 1．（1）求证：E 是 AB 中点；（2）若 AC 1⊥A 1B ，求证：AC 1⊥BC ．17. 某单位将举办庆典活动，要在广场上竖立一形状为等腰梯形的彩门 BADC （如图），设计要求彩门的面积为 S （单位：m 2），高为 ℎ（单位：m ）（S ，ℎ 为常数），彩门的下底 BC 固定在广场地面上，上底和两腰由不锈钢支架构成，设腰和下底的夹角为 α，不锈钢支架的长度和记为 l ．（1）请将 l 表示成关于 α 的函数 l =f (α)； （2）问当 α 为何值时 l 最小?并求最小值．18. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0) 的焦距为 2，离心率为 √22，椭圆的右顶点为 A ．（1）求该椭圆的方程：（2）过点 D(√2,−√2) 直线 PQ 交椭圆于两个不同点 P ，Q ，求证：直线 AP ，AQ 的斜率之和为定值．19. 已知函数 f (x )=(x +1)lnx −ax +a （a 为正实数，且为常数）．（1）若 f (x ) 在 (0,+∞) 上单调递增，求 a 的取值范围； （2）若不等式 (x −1)f (x )≥0 恒成立，求 a 的取值范围．20. 已知 n 为正整数，数列 {a n } 满足 a n >0，4(n +1)a n 2−na n+12=0，设数列 {b n } 满足 b n =a n2t n．（1）求证：数列 {n√n } 为等比数列；（2）若数列 {b n } 是等差数列，求实数 t 的值；（3）若数列 {b n } 是等差数列，前 n 项和为 S n ，对任意的 n ∈N ∗，均存在 m ∈N ∗，使得 8a 12S n −a 14n 2=16b m 成立，求满足条件的所有整数 a 1 的值．21. 如图，圆O的直径AB=6，C为圆周上一点，BC=3，过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，AD分别与直线l，圆交于点D，E．求∠DAC的度数与线段AE的长．22. 已知二阶矩阵M有特征值λ=8及对应的一个特征向量e1⃗⃗⃗ =[11]，并且矩阵M对应的变换将点(−1,2)变换成(−2,4)．（1）求矩阵M；（2）求矩阵M的另一个特征值．23. 已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ=2，ρ2−2√2ρcos(θ−π4)=2．（1）把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求经过两圆交点的直线的极坐标方程．24. 已知a，b，c为正数，且a+b+c=3，求√3a+1+√3b+1+√3c+1的最大值．25. 如图，已知正四棱锥P−ABCD中，PA=AB=2，点M，N分别在PA，BD上，且PMPA =BNBD=13．（1）求异面直线MN与PC所成角的大小；（2）求二面角N−PC−B的余弦值．26. 设∣θ∣<π2，n为正整数，数列{a n}的通项公式a n=sin nπ2tan nθ，其前n项和为S n．（1）求证：当n为偶函数时，a n=0；当n为奇函数时，a n=(−1)n−12tan nθ；（2）求证：对任何正整数n，S2n=12sin2θ⋅[1+(−1)n+1tan2nθ]．答案第一部分1. {6,7}2. √103. {x∣∣ x>34且x≠1}4. 245. 3006. 437. 138. 29. 210. x−y−1=011. −14或112. 2√3−413. 414. 1第二部分15. （1）因为acosB=3，bcosA=1，所以a×a 2+c2−b22ac=3，b×b2+c2−a22bc=1，化为：a2+c2−b2=6c，b2+c2−a2=2c．相加可得：2c2=8c，解得c=4．（2）由（1）可得：a2−b2=8．由正弦定理可得：asinA =bsinB=4sinC，又A−B=π6，所以A=B+π6，C=π−(A+B)=π−(2B+π6)，可得sinC=sin(2B+π6)．所以a=4sin(B+π6)sin(2B+π6)，b=4sinBsin(2B+π6)．所以16sin2(B+π6)−16sin2B=8sin2(2B+π6)，所以1−cos(2B+π3)−(1−cos2B)=sin2(2B+π6)，即cos2B−cos(2B+π3)=sin2(2B+π6)，所以−2sin(2B+π6)sin(−π6)=sin2(2B+π6)，所以sin(2B+π6)=0或sin(2B+π6)=1，B∈(0,5π12)．解得：B=π6．16. （1） 连接 BC 1，取 AB 中点 Eʹ， AA 1C 1C 是菱形，AC 1 与 A 1C 交于点 O ， 所以 O 为 AC 1 的中点， 因为 Eʹ 是 AB 的中点， 所以 OEʹ∥BC 1；因为 OEʹ⊄平面BCC 1B 1，BC 1⊂平面BCC 1B 1， 所以 OEʹ∥平面BCC 1B 1， 因为 OE ∥平面BCC 1B 1， 所以 E ，Eʹ 重合， 所以 E 是 AB 中点．（2） 因为侧面 AA 1C 1C 是菱形， 所以 AC 1⊥A 1C ，因为 AC 1⊥A 1B ，A 1C ∩A 1B =A 1，A 1C ⊂平面A 1BC ，A 1B ⊂平面A 1BC ， 所以 AC 1⊥平面A 1BC ， 因为 BC ⊂平面A 1BC ， 所以 AC 1⊥BC ．17. （1） 设上底长为 a ，则 S =(a+a+2ℎtanα)ℎ2，所以 a =Sℎ−ℎtanα， 所以 l =Sℎ−ℎtanα+2ℎsinα(0<α<π2)． （2） lʹ=ℎ⋅1−2cosαsin 2α，所以 0<α<π3，lʹ<0，π3<α<π2，lʹ>0， 所以 α=π3 时，l 取得最小值 Sℎ+√3ℎ m ．18. （1） 由题意可知：椭圆 x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，焦点在 x 轴上，2c =1，c =1， 椭圆的离心率 e =c a=√22，则 a =√2，b 2=a 2−c 2=1，则椭圆的标准方程：x 22+y 2=1．（2） 设 P (x 1,y 1)，Q (x 2,y 2)，A(√2,0)， 由题意 PQ 的方程：y =k(x −√2)−√2， 则 {y =k(x −√2)−√2,x 22+y 2=1,整理得：(2k 2+1)x 2−(4√2k 2+4√2k)x +4k 2+8k +2=0， 由韦达定理可知：x 1+x 2=4√2k 2+4√2k2k 2+1，x 1x 2=4k 2+8k+22k 2+1，则 y 1+y 2=k (x 1+x 2)−2√2k −2√2=−2√2−2√2k2k 2+1，则 k AP +k AQ =1x−√2+2x −√2=1221√2(12x x −√2(x +x )+2，由y 1x 2+y 2x 1=[k(x 1−√2)−√2]x 2+[k(x 2−√2)−√2]x 1=2kx 1x 2−(√2k +√2)(x 1+x 2)=−4k2k 2+1,k AP +k AQ =1221√2(12x x −√2(x +x )+2=−4k 2k 2+1−√2×−2√2−2√2k2k 2+14k 2+8k+22k 2+1−√2×4√2k 2+4√2k2k 2+1+2=1，所以直线 AP ，AQ 的斜率之和为定值 1．19. （1） f (x )=(x +1)lnx −ax +a ，fʹ(x )=lnx +1x +1−a ，若 f (x ) 在 (0,+∞) 上单调递增，则 a ≤lnx +1x +1 在 (0,+∞) 恒成立，(a >0)， 令 g (x )=lnx +1x +1，(x >0)，gʹ(x )=x−1x 2，令 gʹ(x )>0，解得：x >1，令 gʹ(x )<0，解得：0<x <1，故 g (x ) 在 (0,1) 递减，在 (1,+∞) 递增，故 g (x )min =g (1)=2，故 0<a ≤2． （2） 若不等式 (x −1)f (x )≥0 恒成立，即 (x −1)[(x +1)lnx −a ]≥0 恒成立，① x ≥1 时，只需 a ≤(x +1)lnx 恒成立，令 m (x )=(x +1)lnx ，(x ≥1)，则 mʹ(x )=lnx +1x +1， 由（1）得：mʹ(x )≥2，故 m (x ) 在 [1,+∞) 递增，m (x )≥m (1)=0， 故 a ≤0，而 a 为正实数，故 a ≤0 不合题意； ② 0<x <1 时，只需 a ≥(x +1)lnx ，令 n (x )=(x +1)lnx ，(0<x <1)，则 nʹ(x )=lnx +1x +1，由（1）nʹ(x ) 在 (0,1) 递减，故 nʹ(x )>n (1)=2，故 n (x ) 在 (0,1) 递增，故 n (x )<n (1)=0，故 a ≥0， 而 a 为正实数，故 a >0．20. （1） 数列 {a n } 满足 a n >0，4(n +1)a n 2−na n+12=0，所以 2√n +1a n =√na n+1n+1√n+1=n √n，所以数列 {n √n} 是以 a 1 为首项，以 2 为公比的等比数列． （2） 由（1）可得：n√n=a 1×2n−1， 所以 a n 2=na 12⋅4n−1．因为 b n =a n2t n，所以 b 1=a 12t，b 2=a 22t 2，b 3=a 32t 3，因为数列 {b n } 是等差数列， 所以 2×a 22t 2=a 12t+a 32t 3， 所以2×2a 12×4t=a 12+3a 12×42t 2，化为：16t =t 2+48，解得 t =12或4．（3） 数列 {b n } 是等差数列，由（2）可得：t =12或4． ① t =12 时，b n =na 12⋅4n−112n=na 124×3n，S n =n(a 1212+na 124×3n)2，因为对任意的 n ∈N ∗，均存在 m ∈N ∗，使得 8a 12S n −a 14n 2=16b m 成立，所以 8a 12×n(a 1212+na 124×3n)2−a 14n 2=16×ma 124×3m，所以 a 12(n 3+n 23n −n 2)=4m3m ，n =1 时，化为：−13a 12=4m 3m>0，无解，舍去．② t =4 时，b n =na 12⋅4n−14n=na 124，S n =n(a 124+na 124)2，对任意的 n ∈N ∗，均存在 m ∈N ∗，使得 8a 12S n−a 14n 2=16bm 成立，所以 8a 12×n(a 124+na 124)2−a 14n2=16×ma 124，所以 na 12=4m ，所以 a 1=2√mn ． 因为 a 1 为正整数， 所以 √mn=12k ，k ∈N ∗．所以满足条件的所有整数 a 1 的值为 {a 1∣ a 1=2√m n ,n ∈N ∗,m ∈N ∗,且√m n =12k,k ∈N ∗}．21. 如图，连接 OC ， BC =OB =OC =3， 因此 ∠CBO =60∘． 由于 ∠DCA =∠CBO ，所以 ∠DCA =60∘，又 AD ⊥DC 得 ∠DAC =30∘． 又因为 ∠ACB =90∘，得 ∠CAB =30∘，那么 ∠EAB =60∘，从而 ∠ABE =30∘， 于是 AE =12AB =3．22. （1） 设矩阵 A =[a bc d ]，这里 a,b,c,d ∈R ，则 [a b c d ][11]=8[11]=[88]，故 {a +b =8,c +d =8,由于矩阵 M 对应的变换将点 (−1,2) 换成 (−2,4)． 则 [a b c d ][−12]=[−24]，故 {−a +2b =−2,−c +2d =4,联立以上两方程组解得 a =6，b =2，c =4，d =4，故 M =[6244]．（2） 由（1）知，矩阵 M 的特征多项式为 f (λ)=(λ−6)(λ−4)−8=λ2−10λ+16，故矩阵 M 的另一个特征值为 2． 23. （1） 由 ρ=2 知 ρ2=4，故圆 O 1 的直角坐标方程为 x 2+y 2=4． 因为 ρ2−2√2ρcos (θ−π4)=2，所以 ρ2−2√2ρ(cosθcos π4+sinθsin π4)=2，故圆 O 2 的直角坐标方程为 x 2+y 2−2x −2y −2=0． （2） 将两圆的直角坐标方程相减， 得经过两圆交点的直线方程为 x +y =1． 化为极坐标方程为 ρcosθ−ρsinθ=1， 即 ρsin (θ+π4)=√22． 24. 由柯西不等式可得(√3a +1+√3b +1+√3c +1)2≤[12+12+12][(√3a +1)2+(√3b +1)2+(√(3c +1))2]=3×12,所以 √3a +1+√3b +1+√3c +1≤6，当且仅当 √3a +1=√3b +1=√3c +1 时取等号． 所以 √3a +1+√3b +1+√3c +1 的最大值为 6． 25. （1） 设 AC 与 BD 的交点为 O ，AB =PA =2．以点 O 为坐标原点，DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向分别是 x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立空间直角坐标系 O −xyz ．A (1,−1,0)，B (1,1,0)，C (−1,1,0)，D (−1,−1,0)， 设 P (0,0,p )，则 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1,p )， 又 AP =2，所以 1+1+p 2=4，所以 p =√2，因为 OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(13,−13,2√23)，ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(13,13,0)，所以 PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1,−√2)，MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,23,−2√23)， 设异面直线 MN 与 PC 所成角为 θ， 则 cosθ=∣MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣⋅∣PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣=23+432√49+89=√32． θ=30∘，所以异面直线 MN 与 PC 所成角为 30∘．（2） PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1,−√2)，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,−√2)，PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(13,13,−√2)， 设平面 PBC 的法向量 n ⃗ =(x,y,z )， 则 {n ⃗ ⋅PB⃗⃗⃗⃗⃗ =x +y −√2z =0,n ⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−x +y −√2z =0,取 z =1，得 n ⃗ =(0,√2,1)， 设平面 PNC 的法向量 m ⃗⃗ =(a,b,c )， 则 {m ⃗⃗ ⋅PN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13a +13b −√2c =0,m ⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−a +b −√2c =0, 取 c =1，得 m ⃗⃗ =(√2,2√2,1)， 设二面角 N −PC −B 的平面角为 θ，则cosθ=∣m⃗⃗⃗ ⋅n⃗ ∣∣m⃗⃗⃗ ∣⋅∣n⃗ ∣=√3⋅√11=5√3333．所以二面角N−PC−B的余弦值为5√3333．26. （1）a n=sin nπ2tan nθ，当n=2k(k∈N∗)为偶数时，a n=sinkπ⋅tan nθ=0；当n=2k−1为奇函数时，a n=sin2k−12πtan nθ=(−1)k−1tan nθ=(−1)n−12tan nθ．（2）a2k−1+a2k=(−1)n−12tan nθ．所以奇数项成等比数列，首项为tanθ，公比为−tan2θ．所以S2n=tanθ[1−(−1)n tan2nθ]1−(−tan2θ)=12sin2θ⋅[1+(−1)n+1tan2nθ]．。
【全国市级联考word】江苏省苏锡常镇四市2017届高三教学情况调研(二) (5月) 数学试题
试卷第1页，共22页绝密★启用前【全国市级联考word 】江苏省苏锡常镇四市2017届高三教学情况调研（二） （5月） 数学试题试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：78分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）试卷第2页，共22页第II 卷（非选择题）一、填空题（题型注释）1、已知集合，，则__________．【答案】【解析】2、已知为虚数单位，复数（），，且，则__________．【答案】1【解析】点睛：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为3、下表是一个容量为10的样本数据分组后的频数分布.若利用组中值近似计算本组数据的平均数，则的值为__________．【答案】19.7【解析】试卷第3页，共22页4、已知直线为双曲线（，）的一条渐近线，则该双曲线的离心率的值为__________．【答案】【解析】点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.5、据记载，在公元前3世纪，阿基米德已经得出了前个自然数平方和的一般公式.下图是一个求前个自然数平方和的算法流程图，若输入的值为1，则输出的值为__________．【答案】14 【解析】第一次循环:; 第二次循环:; 第三次循环:;结束循环,输出点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项. 6、已知是集合所表示的区域，是集合所表示的区域，向区域内随机的投一个点，则该点落在区域内的概率为__________．试卷第4页，共22页【答案】【解析】所求概率为几何概型，测度为面积，为单位圆面积，为阴影部分面积，见图：落在区域内的概率为点睛：(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解． (2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．7、已知等比数列的前项和为，公比，，则__________．【答案】3 【解析】8、已知直四棱柱底面是边长为2的菱形，侧面对角线的长为，则该直四棱柱的侧面积为__________．试卷第5页，共22页【答案】【解析】侧棱长为，因为侧面为矩形，所以侧面积为9、已知是第二象限角，且，，则__________．【答案】【解析】由是第二象限角，且，得 ，所以10、已知直线：，圆：，当直线被圆所截得的弦长最短时，实数__________．【答案】【解析】直线 过定点，圆，当直线被圆所截得的弦长最短时，11、在中，角，，对边分别是，，，若满足，则角的大小为__________．【答案】【解析】由正弦定理得试卷第6页，共22页12、在中，，，，是所在平面内一点，若，则面积的最小值为__________．【答案】【解析】以A 为坐标原点，AC 所在直线为x 轴建立直角坐标系，则，，面积的最小值为13、已知函数若函数有三个零点，则实数的取值范围为__________．【答案】【解析】与相切时 （正舍），与相切时 ，与不相切.由图可知实数的取值范围为试卷第7页，共22页点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．14、已知，均为正数，且，则的最小值为__________．【答案】7【解析】 ，所以（当且仅当时取等号）而 （当且仅当 时取等号），因此（当且仅当 时取等号），即的最小试卷第8页，共22页值为7.点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.二、解答题（题型注释）15、已知，其中，，，. （1）试求，，的值；（2）试猜测关于的表达式，并证明你的结论.【答案】（1），（2）【解析】试题分析：（1）根据对应以及组合数公式展开化简得，，的值；（2）从阶乘角度猜想关于的表达式，证明时注意利用性质及进行转化：配凑成归纳假设的条件.试题解析：解：（1）；；.（2）猜想：.而 ，，所以.试卷第9页，共22页用数学归纳法证明结论成立. ①当时，，所以结论成立.②假设当时，.当时，（*）由归纳假设知（*）式等于.所以当时，结论也成立.综合①②，成立.16、已知袋中装有大小相同的2个白球、2个红球和1个黄球.一项游戏规定：每个白球、红球和黄球的分值分别是0分、1分和2分，每一局从袋中一次性取出三个球，将3个球对应的分值相加后称为该局的得分，计算完得分后将球放回袋中.当出现第局得分试卷第10页，共22页（）的情况就算游戏过关，同时游戏结束，若四局过后仍未过关，游戏也结束.（1）求在一局游戏中得3分的概率； （2）求游戏结束时局数的分布列和数学期望.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）在一局游戏中得3分只有白球、红球和黄球各1个，根据组合知识可得总事件数为，白球、红球和黄球各1个事件数为，最后根据古典概型概率公式求概率，（2）先确定随机变量可能取法：1，2，3，4.再求对应事件概率：对应两白一红；对应在不成立条件下第二次得分为2分，即第二次对应一黄二白或一白二红，其它同理，列出表格得分布列，最后根据数学期望公式求期望.试题解析：解：（1）设在一局游戏中得3分为事件，则.答：在一局游戏中得3分的概率为.（2）的所有可能取值为1，2，3，4.在一局游戏中得2分的概率为，；；；.所以试卷第11页，共22页.17、D.选修4-5：不等式选讲已知，，为正实数，求证：.【答案】见解析【解析】试题分析：根据基本不等式证明：，，，三式相加得结论.试题解析：D.解：基本不等式，，，，，18、C.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度，建立极坐标系.已知曲线的参数方程为（，为参数），曲线的极坐标方程为（）.若曲线与曲线有且仅有一个公共点，求实数的值.【答案】或.【解析】试题分析：先根据同角三角函数关系消参数得曲线的普通方程；利用将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，再根试卷第12页，共22页据直线与圆相切得，解得实数的值.试题解析：C.解：，曲线的普通方程为.，，曲线的直角坐标方程为，曲线圆心到直线的距离为，，或.19、B.选修4-2：矩阵与变换已知矩阵的一个特征值及对应的特征向量.求矩阵的逆矩阵.【答案】【解析】试题分析：由特征值及特征向量定义得，解得，，再根据逆矩阵公式求逆矩阵.试题解析：B.解：由题知，，，.试卷第13页，共22页，.20、A.选修4-1：几何证明选讲 如图，直线切圆于点，直线交圆于，两点，于点，且，求证：.【答案】见解析【解析】试题分析：由切割线定理得，解得，再由射影定理得，解得，因此 ，即得.试题解析：A.解：连结，设圆的半径为，，则，.在中，，，即，① 又直线切圆于点，则，即，②，代入①，，，，.21、已知数列满足，，其中，，为非零常数.试卷第14页，共22页（1）若，，求证：为等比数列，并求数列的通项公式；（2）若数列是公差不等于零的等差数列. ①求实数，的值；②数列的前项和构成数列，从中取不同的四项按从小到大排列组成四项子数列.试问：是否存在首项为的四项子数列，使得该子数列中的所有项之和恰好为2017？若存在，求出所有满足条件的四项子数列；若不存在，请说明理由.【答案】（1）（2）①，，.②，，【解析】试题分析：（1）利用等比数列定义证明，即寻找与比例关系：利用 代入化简可得.最后说明各项非零.（2）①令，2，3，根据等差数列性质得，列出关于，的二元一次方程组，解得，的值；再验证满足题意. ②先求数列的前项和，再讨论四项奇偶性：三个奇数一个偶数、或者一个奇数三个偶数.将奇偶性代入化简讨论，直至确定. 试题解析：解：（1）当，时，，.又，不然，这与矛盾，为2为首项，3为公比的等比数列，，.（2）①设，由得 ，试卷第15页，共22页，对任意恒成立. 令，2，3，解得，，，.经检验，满足题意. 综上，，，.②由①知.设存在这样满足条件的四元子列，观察到2017为奇数，这四项或者三个奇数一个偶数、或者一个奇数三个偶数. 1°若三个奇数一个偶数，设，，，是满足条件的四项，则，，这与1007为奇数矛盾，不合题意舍去. 2°若一个奇数三个偶数，设，，，是满足条件的四项，则，.由504为偶数知，，，中一个偶数两个奇数或者三个偶数.1）若，，中一个偶数两个奇数，不妨设，，，则，这与251为奇数矛盾.2）若，，均为偶数，不妨设，，，则，继续奇偶分析知，，中两奇数一个偶数，不妨设，，，则. 因为，均为偶数，所以为奇数，不妨设， 当时， ，，检验得，，， 当时，，，检验得，，，试卷第16页，共22页当时， ，，检验得，，，即，，，或者，，，或者，，，满足条件，综上所述，，，为全部满足条件的四元子列.22、已知椭圆：（）的左焦点为，左准线方程为.（1）求椭圆的标准方程；（2）已知直线交椭圆于，两点. ①若直线经过椭圆的左焦点，交轴于点，且满足，.求证：为定值；②若（为原点），求面积的取值范围.【答案】（1）（2）①②【解析】试题分析：（1）根据左焦点坐标得，根据左准线方程得，解方程组得，（2）①以算代证：即利用，坐标表示，根据直线的方程与椭圆方程联立方程组，结合韦达定理化简得定值，②的面积，因此根据直线的方程与椭圆方程联立方程组，结合韦达定理及弦长公式求（用斜率表示），同理可得，代入面积公式化简可得.最后利用二次函数方法求值域，注意讨论斜率不存在的情形.试卷第17页，共22页试题解析：解：（1）由题设知，，，，，：.（2）①由题设知直线的斜率存在，设直线的方程为，则.设，，直线代入椭圆得，整理得，，，.由，知，，（定值）.②当直线，分别与坐标轴重合时，易知的面积，当直线，的斜率均存在且不为零时，设：，：，设，，将代入椭圆得到，，，同理，，的面积 .令 ， ，令，则 .试卷第18页，共22页综上所述，.点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现. 23、已知函数，，为实数，，为自然对数的底数，.（1）当，时，设函数的最小值为，求的最大值；（2）若关于的方程在区间上有两个不同实数解，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）先求函数导数，并在定义域内求导函数零点：，再列表分析导函数符号变化规律，确定单调性及最小值，再利用导数研究函数最值：先求导数，确定定义域内导函数零点，最后根据单调性确定函数最值.（2）先变量分离：，转化为研究函数图像：当时，单调减，；当时，单调增，，因此有两个不同实数解需，试题解析：解：（1）当时，函数，则 ，令，得，因为时，，试卷第19页，共22页所以 ，令， 则，令，得，且当时，有最大值1，所以的最大值为1（表格略），（分段写单调性即可），此时.（2）由题意得，方程在区间上有两个不同实数解，所以在区间上有两个不同的实数解，即函数图象与函数图象有两个不同的交点，因为，令，得，所以当时，，当时，，所以，满足的关系式为，即的取值范围为.点睛：利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法 (1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解. (2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解. 24、某科研小组研究发现：一棵水蜜桃树的产量（单位：百千克）与肥料费用（单位：百元）满足如下关系：，且投入的肥料费用不超过5百元.此外，还试卷第20页，共22页需要投入其他成本（如施肥的人工费等）百元.已知这种水蜜桃的市场售价为16元/千克（即16百元/百千克），且市场需求始终供不应求.记该棵水蜜桃树获得的利润为（单位：百元）. （1）求利润函数的函数关系式，并写出定义域；（2）当投入的肥料费用为多少时，该水蜜桃树获得的利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）见解析（2）当投入的肥料费用为300元时，种植该果树获得的最大利润是4300元.【解析】试题分析：（1）根据利润等于收入减成本列式： ，由投入的肥料费用不超过5百元及实际意义得定义域，（2）利用基本不等式求最值：先配凑： ，再根据一正二定三相等求最值.试题解析：解：（1） （）.（2）.当且仅当时，即时取等号.故.答：当投入的肥料费用为300元时，种植该果树获得的最大利润是4300元. 25、已知向量，.（1）当时，求的值；（2）若，且，求的值.【答案】（1）（2）试卷第21页，共22页【解析】试题分析：（1）根据向量数量积坐标表示得 .（2）先根据向量数量积得，再根据二倍角公式以及配件公式得，即得，根据同角三角函数关系得，最后根据角的关系并利用两角和的余弦公式得的值.试题解析：解：（1）当时，，，所以 .（2），若，则 ，即，因为，所以，所以，则.26、如图，在四面体中，平面平面，，，分别为，，的中点，，.试卷第22页，共22页（1）求证：平面；（2）若为上任一点，证明平面.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】试题分析：（1）先由面面垂直性质定理得平面，即得，再根据等腰三角形性质得，最后根据线面垂直判定定理得平面.（2）实质要证明面面平行：平面平面，先根据线线平行得线面平行：平面及平面，，再根据线面平行得面面平行试题解析：解：（1）因为平面平面，，即，平面平面，平面，所以平面， 又平面，所以，因为，为的中点，所以，又，平面，平面，所以平面. （2）连，，因为，分别为，的中点， 所以，又平面，平面，所以平面，同理可证平面，且，平面，平面，所以平面平面，又为上任一点，所以平面，所以平面.。
2017年3月2017届高三第一次全国大联考(江苏卷)数学卷(附答案)
2017年3月2017届高三第一次全国大联考（江苏卷）数学卷一、填空题：（本大题共14个小题，每小题5分，共70分，将答案填在答题纸上） 1．已知,U =R 集合{||1,}A x x x =≤∈Z ，{0}B x x =≥，则()U A B =ð____________． 2. 已知复数(12i)2i z +=-,其中i 为虚数单位，则z 的共轭复数的模为____________． 3. 一个盒子里有2只红球、1只白球和1只蓝球，从中摸出两只球，至少有1只红球的概率为____________．4. 运行如图所示的伪代码，其结果为____________．5. 在平面直角坐标系xOy 中，与双曲线2213x y -=有相同渐近线，且位于x 轴上的焦点到渐近线距离为2的双曲线的标准方程为____________．6. 已知()sin 22f x x x =+的图象向右平移ϕ（02ϕπ<<）个单位后，所得函数为偶函数，则ϕ=____________．7. 已知四棱锥P ABCD -的底面四边形ABCD 的外接圆半径为4，且此外接圆圆心到P 点距离为3，则此四棱锥体积的最大值为____________．8. 已知锐角三角形ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c 若2cos c a a B -=，则2sin sin()A B A -的取值范围是____________． 9. 已知函数()|||2|f x x x =+-，则不等式2(6)(5)f x f x +>的解集是____________．S ←2, I ←1While 2017I ≤S ←11S- I ←I +1End WhilePrint S第4题图10. 已知四边形ABCD ，若2,AC BD AB CD ⋅=⋅=则AD BC ⋅值为____________． 11. 已知,a b +∈R的取值范围为____________．12. 已知圆22:1O x y +=.若圆O 上存在两点,A B ,直线2y =上存在点M ，满足(0)MA AB λλ=>，则λ的取值范围是____________．13.设0a b c >>>，若不等式log 2017log 2017log 2017a b a b c cd +≥对所有满足题设的,,a b c 均成立，则实数d 的最大值为____________．14. 已知函数12()21x x f x +=+，{}n a 是公差为1的等差数列，122017()()()2017f a f a f a +++=，则2100910081010[()]f a a a -=____________．二、解答题 （本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15. （本小题满分14分）已知1sin 3α=，(,)2απ∈π. （1）求tan α的值；（2）求cos(2)3απ-的值.16. （本小题满分14分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，已知,M N 分别为线段11,BB AC 的中点，1MN AA ⊥，且1MA MC =.求证：（1）平面1A MC ⊥平面11A ACC ；（2）MN ∥平面ABC .17. （本小题满分14分）如图所示的钢板的边界APB 是抛物线的一部分，且AB 垂直于抛物线对称轴，现欲从钢板上截取一块以AB 为下底边的等腰梯形钢板ABCD ，其中,C D 均在抛物线弧上.设2CD x =（米），且01x <<.（1）当12x =时，求等腰梯形钢板的面积; （2）当x 为何值时，等腰梯形钢板的面积最大？并求出最大值.18. （本小题满分16分）设等比数列{}()n a n ∈*N 的各项均为正数，前n 项和为n S ，且324,3a S ==.（1）求,n n a S ；（2）是否存在常数c ，使得数列{}()n n a n S c∈+*N 是等差数列？若存在，求c 的值；若不存在，请说明理由. 19. （本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ,右顶点为A ，上顶点为B ，离心率为e .椭圆上一点C 满足：C 在x 轴上方，且1CF x ⊥轴.（1）若OC ∥AB ，求e 的值；（2）连结2CF 并延长交椭圆于另一点D .若12e ≤≤22||||CF F D 的取值范围.20.（本小题满分16分）设函数x x g a x f a x log )(,)(==，其中0>a ，且1≠a . （1）求)1()0(g f +值；（2）若e a =，e 为自然对数的底数，求证：当0>x 时，)()(x g x f >；（3）若函数)()(x g x f y -=为),0(+∞上的单调函数，求实数a 的取值范围.附加题部分21.【选做题】（本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）A ．【选修4-1：几何证明选讲】（本小题满分10分）如图，四边形ABCD 是圆的内接四边形，,BC BD BA =的延长线交CD 的延长线于点,E 求证：AE 平分DAF ∠.B ．【选修4-2：矩阵与变换】（本小题满分10分）已知矩阵21414331M N --⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦，，求满足方程MX N = 的二阶矩阵.X C.【选修4-4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）过点()3,0P 的直线l 与曲线2:cos 21C ρθ=相交于不同的两点,A B ．若直线l 的斜率为2，求PA PB ⋅的值．D ．【选修4-5：不等式选讲】（本小题满分10分）设123,,a a a 均为正数，且1231a a a ++=，求证1231119.a a a ++≥ 【必做题】（第22题、第23题，每题10分，共20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）22. 如图，在四棱锥P ABCD -中，棱,,AB AD AP 两两垂直，且长度均为1，()01BC AD λλ=<≤（1）若1λ=，求直线PC 与平面PBD 所成角的正弦值；（2）若二面角B PC D --的大小为120︒，求实数λ的值.23. 已知正四棱柱的底面边长为2，高为3，现从该正四棱柱的8个顶点中任取3个点.设随机变量ξ的值为以取出的3个点为顶点的三角形的面积.（1）求概率(2)P ξ=；（2）求ξ的分布列，并求其数学期望().E ξ。
2016-2017学年江苏苏锡常镇四市高三教学情况调研(一)数学试卷(带解析)
绝密★启用前2016-2017学年江苏苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）数学试卷（带解析）xxx注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明一、填空题1．U ={1,2,3,4,5,6,7}，M ={x |x 2−6x +5≤0,x ∈Z }，∁U M =________．2．若复数z 满足z +i =2+ii（i 为虚数单位），则|z |=______________．3．函数f (x )=1ln (4x −3)的定义域为______________．4．下图是给出的一种算法，则该算法输出的结果是______________．5．某高级中学共有900名学生，现用分层抽样的方法从该校学生中抽取1个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人．则该校高二年级学生人数为_________．6．已知正四棱锥的底面边长是2，侧棱长是 3，则该正四棱锥的体积为____________．7．从集合{1,2,3,4}中任取两个不同的数，则这两个数的和为3的倍数的概率为_______．8．在平面直角坐标系x O y 中，已知抛物线y 2=8x 的焦点恰好是双曲线x 2a−y 23=1的右焦点，则双曲线的离心率为______________．9．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3,S 9,S 6成等差数列，且a 2+a 5=4，则a 8的值为______________．10．在平面直角坐标系x O y 中，过点M (1,0)的直线l 与圆x 2+y 2=5交于A ,B 两点，其中A 点在第一象限，且B M =2M A ，则直线l 的方程为______________．11．在△A B C 中，已知A B =1,A C =2,∠A =60∘，若点P 满足A P =A B +λA C ，且B P ⋅CP =1，则实数λ的值为______________．12．已知sin α=3sin (α+π6)，则tan (α+π12)=______________．13．若函数f (x )={12x−1,x <1ln xx 2,x ≥1，则函数y =|f (x )|−18的零点个数为______________．14．若正数x ,y 满足15x −y =22，则x 3+y 3−x 2−y 2的最小值为______________．二、解答题15．在△A B C 中，a ,b ,c 分别为角A ,B ,C 的对边．若a cos B =3,b cos A =1，且A −B =π6．（1）求边c的长；（2）求角B的大小．16．如图，在斜三棱柱A B C−A1B1C1中，侧面AA1C1C是菱形，AC1与A1C交于点O，E是棱A B上一点，且O E∥平面B CC1B1．（1）求证：E是A B中点；（2）若AC1⊥A1B，求证：AC1⊥B C．17．某单位将举办庆典活动，要在广场上竖立一形状为等腰梯形的彩门B A D C（如图）．设计要求彩门的面积为S（单位：m2），高为 （单位：m）（S, 为常数）．彩门的下底B C固定在广场底面上，上底和两腰由不锈钢支架构成，设腰和下底的夹角为α，不锈钢支架的长度和记为l．（1）请将l表示成关于α的函数l=f(α)；（2）问当α为何值l最小，并求最小值．18．在平面直角坐标系x O y中，已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距为2，离心率为22，椭圆的右顶点为A.（1）求该椭圆的方程；（2）过点D(2,−2)作直线P Q交椭圆于两个不同点P,Q，求证：直线A P,A Q的斜率之和为定值.19．已知函数f(x)=(x+1)ln x−a x+a（a为正实数，且为常数）.（1）若函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递增，求实数a的取值范围；（2）若不等式(x−1)f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围.20．已知n为正整数，数列{a n}满足a n>0，4(n+1)a n2−na n+12=0，设数列{b n}满足b n=a n2t n.（1）求证：数列{nn}为等比数列；（2）若数列{b n }是等差数列，求实数t 的值；（3）若数列{b n }是等差数列，前n 项和为S n ，对任意的n ∈N ∗，均存在m ∈N ∗，使得8a 12S n −a 14n 2=16b m成立，求满足条件的所有整数a 1的值. 21．已知二阶矩阵M 有特征值λ=8及对应的一个特征向量e 1 =[11]，并且矩阵M 对应的变换将点(−1,2)变换成(−2,4). （1）求矩阵M ； （2）求矩阵M 的另一个特征值.22．已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ=2,ρ2−2 2ρcos (θ−π4)=2.（1）把圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）求经过两圆交点的直线的极坐标方程.23．如图，已知正四棱锥P −A B C D 中， P A =A B =2，点M ,N 分别在P A ,B D 上，且P M P A =B N B D =13.（1）求异面直线M N 与P C 所成角的大小； （2）求二面角N −P C −B 的余弦值.24．设|θ|<π2，n 为正整数，数列{a n }的通项公式a n =sinn π2tan n θ，其前n 项和为S n .（1）求证：当n 为偶数时，a n =0；当n 为奇数时，a n =(−1)n −12tan n θ； （2）求证：对任何正整数n ，S 2n =12sin 2θ⋅[1+(−1)n +1tan 2n θ].参考答案1．{6,7}【解析】由M={x|x2−6x+5≤0,x∈Z}，得：M={1,2,3,4,5}，则C U M={6,7}，故答案为{6,7}. 2．10【解析】由z+i=2+ii ，得z=2+ii−i=1−3i，则|z|=12+3=10，故答案为10.3．(34,1)∪(1.+∞)【解析】要使函数有意义需满足{4x−3>0ln(4x−3)≠0，解得x∈(34,1)∪(1.+∞)，故答案为(34,1)∪(1.+∞).4．24【解析】由题意列出如下循环过程：i=2t=1t=1×2=2；i=3t=2t=2×3=6；i=4t=6t=4×6=24；i=5不满足循环条件i≤4，输出t的值24，故答案为24.5．300【解析】由题意得高二年级应抽取45−20−10=15人，则高二年级学生人数为1545×900= 300，故答案为300.点睛：本题考查分层抽样，抽样过程中每个个体被抽到的可能性相同，这是解决抽样问题的依据，样本容量、总体个数、每个个体被抽到的概率，这三者可以做到知二求一；用分层抽样的方法抽取一个容量为45的样本，根据高一年级抽20人，高三年级抽10人，得到高二年级要抽取的人数，根据该高级中学共有900名学生，算出高二年级学生人数.6．43【解析】正四棱锥的底面边长是2，侧棱长为3，底面对角线长为22，所以棱锥的高为(3)2−(2)2=1，所以棱锥的体积为13×2×2×1=43，故答案为43.7．13【解析】从{1,2,3,4}中任取两个不同的数，共有6种情况，和是3的倍数的有1,2，2,4两种情况，所以根据古典概型公式得p=26=13，故答案为13.8．2【解析】抛物线y2=8x的焦点坐标为(2,0)，则在双曲线中c=2，a=22−3=1，则离心率为ca=2，故答案为2.9．2【解析】设等比数列{a n}的公比为q，首项是a1，当q=1时，有S3=3a1、S9=9a1、S6=a1，不满足S3,S9,S6成等差数列；当q≠1时，因为S3,S9,S6成等差数列，所以2×a1(1−q9)1−q =a1(1−q3)1−q+a1(1−q6)1−q，化简得2q 6−q 3−1=0，解得q 3=−12或q 3=1（舍去），则a 2+a 5=a 2(1+q 3)=4，得a 2=8，则a 8=a 2⋅q 6=8×14=2，故答案为2.点睛：本题考查等比数列的前n 项和公式、通项公式，分类讨论思想，使用等比数列的前n 项和公式时需要对公比与1的关系进行讨论；设等比数列{a n }的公比为q 、首项是a 1，根据公比q 与1的关系进行分类，由等比数列的前n 项和公式化简求值，再由等比数列的通项公式化简a 2+a 5=4可得a 2和q 3的值，故可求得a 8. 10．y =x −1【解析】由题意，设直线x =m y +1与圆x 2+y 2=5联立，可得(m 2+1)y 2+2m y −4=0，设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，则y 1=−2y 2，y 1+y 2=−2m m +1，y 1y 2=−4m +1，联立解得m =1，则直线l 的方程为y =x −1，故答案为y =x −1. 11．1或−14【解析】△A B C 中，B =1,A C =2,∠A =60∘，点P 满足A P =A B +λA C ，∴A P −A B =λA C ，∴B P =λA C ，又C P =A P −A C =(A B +λA C )−A C =A B +(λ−1)A C ，B P ⋅C P =λA C ⋅[A B +(λ−1)A C ]=λA C ⋅A B +λ(λ−1)A C 2=λ×2×12+λ(λ−1)×4=1整理得4λ2−3λ−1=0，解得λ=−14或1，故答案为 1或−14.12．2 3−4【解析】由sin α=3sin (α+π6)，得sin (α+π12−π12)=3sin (α+π12+π12)， 即sin (α+π12)cosπ12−cos (α+π12)sinπ12=3[sin (α+π12)cosπ12+cos (α+π12)sin π12]整理得：sin (α+π12)cos π12=−2cos (α+π12)sin π12，即tan (α+π12)=−2tan π12， 而tanπ12=tan (π3−π4)=3−=2− 3，故tan (α+π12)=2 3−4，故答案为2 3−4.13．4【解析】 当x <1时，f (x )=12x −1，根据指数函数的性质可知，该函数单调递减且f (x )∈(−12,+∞)，故 f x =18由两个解；当x ≥1时，f (x )=ln xx2，f ′(x )=x −2x ln x x 4=1−2ln xx 3，故当1≤x < e 时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增，当x > e 时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减；f ( e )=12e，故f (x )∈[0,12e]，故 f x =18由两个解，综上可得函数y =|f (x )|−18的零点个数为4，故答案为4.点睛：本题考查分段函数的应用，函数的零点个数的求法，考查数形结合以及转化思想的应用，考查计算能力；利用分段函数，对x ≥1，通过函数的零点与方程根的关系求解零点个数，当x <1时，利用导数判断函数的单调性，利用数形结合思想求解函数的零点个数即可. 14．1【解析】由正数x,y满足15x−y=22，可得y=15x−22>0，则x>2215，y>0，又x3+y3−x2−y2=（x3−x2）+（y3−y2），其中y3−y2+14y=y（y2−y+14）=y（y−12）2≥0，即y3−y2≥−14y，当且仅当y=12时取得等号，设f(x)=x3−x2，f(x)的导数为f′(x)=3x2−2x=x(3x−2)，当x>32时，f′(x)>0，f(x)递增，2215<x<32时，f′(x)<0，f(x)递减．即有f(x)在x=32处取得极小值，也为最小值98，此时y=15×32−22=12，则x3+y3−x2−y2≥（x3−x2）+（y3−y2）≥98−14y=98−18=1．当且仅当x=32，y=12时，取得最小值1，故答案为1.点睛：本题考查最值的求法，注意运用变形和导数，求得单调区间、极值和最值，考查化简整理的运算能力，属于难题；由题意可得x>2215，y>0，又x3+y3−x2−y2=x3−x2+y3−y2，求出y3−y2≥−14y，当且仅当y=12时取得等号，设f(x)=x3−x2，求出导数和单调区间、极值和最值，即可得到所求最小值.15．（1）c=4;（2）B=π6.【解析】试题分析：（1）由a cos B=3,b cos A=1，利用余弦定理化为：a2+c2−b2=6c，b2+c2−a2=2c，相加即可得出c；（2）运用正弦定理结合题意可得：tan Atan B=3，将其代入tan(A−B)中可解出tan B=33，结合B的范围可得结果.试题解析：（1）（法一）在△A B C中，由余弦定理，a cos B=3，则a a2+c2−b22a c=3，得a2+c2−b2=6c；①b cos A=1，则b b2+c2−a22b c=1，得b2+c2−a2=2c，②①+②得：2c2=8c，c=4.（法二）因为在△A B C中，A+B+C=π，则sin A cos B+sin B cos A=sin(A+B)=sin(C−π)=sin C，由asin A =bsin B=csin C得：sin A=a sin Cc，sin B=b sin Cc，代入上式得：c=a cos B+b cos A=3+1=4.（2）由正弦定理得a cos Bb cos A =sin A cos Bsin B cos A=tan Atan B=3，又tan(A−B)=tan A−tan B1+tan A tan B =2tan B1+3tan2B=33，解得tan B =33，B ∈(0,π)，B =π6.16．（1）见解析;(2)见解析. 【解析】试题分析：（1）连接B C 1，由O E ∥平面B CC 1B 1结合线面平行性质定理可得O E ∥B C 1，结合O 是AC 1中点及A EE B=A O O C 1=1，可得结果；（2）利用菱形的对角线互相垂直，进一步利用线面垂直的判定定理，得到线面垂直，最后转化成线线垂直.试题解析：（1）连接B C 1，因为O E ∥平面B CC 1B 1，O E ⊂平面A BC 1，平面B CC 1B 1 ∩平面A BC 1=B C 1，所以O E ∥B C 1. 因为侧面AA 1C 1C 是菱形，AC 1∩A 1C =O ，所以O 是AC 1中点， 所以A E E B =A OO C 1=1，E 是AB 中点.（2）因为侧面AA 1C 1C 是菱形，所以AC 1 ⊥A 1C ，又AC 1⊥A 1B ，A 1C ∩A 1B =A 1，A 1C ,A 1B ⊂面A 1B C ，所以AC 1⊥面A 1B C ，因为B C ⊂平面A 1B C ，所以AC 1⊥B C ．17．（1）l 表示成关于α的函数为l =f (α)=S+ (2sin α−1tan α) (0<α<π2)；（2）当α=π3时，l 有最小值为 3 +S.【解析】试题分析：（1）求出上底，即可将l 表示成关于α的函数l =f (α)； （2）求导数，取得函数的单调性，即可解决当α为何值时l 最小，并求最小值. 试题解析：（1）过D 作D H ⊥B C 于点H ，则∠D C B =α（0<α<π2）， D H = ，设A D =x ，则D C =sin α，C H =tan α，B C =x +2tan α，因为S=12(x +x +2tan α)⋅ ，则 x =S−tan α；则l =f (α)=2D C +A D =S+ (2sin α−1tan α) (0<α<π2)； （2）f ′(α)= ⋅(−2cos αsin 2α−−1sin 2α)= ⋅1−2cos αsin 2α，令f ′(α)= ⋅1−2cos αsin α=0，得α=π3.所以， l min =f (π3)= 3 +S. 答：（1）l 表示成关于α的函数为l =f (α)=S+ (2sin α−1tan α) (0<α<π2)； （2）当α=π3时，l 有最小值为 3 +S.18．（1）x 22+y 2=1.（2）直线AP ，AQ 的斜率之和为定值1.【解析】试题分析：（1）由题意可知2c =2，c =1，离心率e =ca ，求得a = 2，则b 2=a 2−c 2=1，即可求得椭圆的方程；（2）则直线P Q 的方程：y + 2=k (x − 2)，代入椭圆方程，由韦达定理及直线的斜率公式，分别求得直线A P ，A Q 的斜率，即可证明直线A P ，A Q 的率之和为定值.试题解析：（1）由题c =1 ， e =c a= 22 ，所以a = 2，b =1 .所以椭圆C 的方程为x 22+y 2=1.（2）当直线PQ 的斜率不存在时，不合题意；当直线PQ 的斜率存在时，设直线PQ 的方程为y + 2=k (x − 2)，代入x 2+2y 2=2， 得(1+2k 2)x 2−4 2(k 2+k )x +4k +28k +2=0， 设P (x 1,y 1)，Q (x 2,y 2)，则：Δ=−4(8k +1)>0，k <−18，x 1,2=4 2(k 2+k )± Δ2(1+2k )，所以x 1+x 2=4 2(k 2+k )1+2k ，x 1⋅x 2=4k 2+8k +21+2k ，又k A P +k A Q =1x 1−22x2−2=1 2) 2x 1− 2+2 2) 2x 2− 2=2k 2(x 1x 2xx − 2(x +x )+2=2k 24 2(k 2+k )1+2k 2−44k 2+8k +21+2k 2− 24 2(k 2+k )1+2k 2+2=1.所以直线AP ，AQ 的斜率之和为定值1. 19．（1）0<a ⩽2.（2）0<a ⩽2.【解析】试题分析：（1）对函数进行求导即f ′(x )=ln x +x +1x−a ，因f (x )在(0,+∞)上单调递增，则f ′(x )≥0，利用分离参数思想得a ⩽ln x +1x+1恒成立，即a ⩽ ln x +1x+1m i n即可；（2）分为0<a ⩽2和a >2两种情形，当0<a ⩽2时，结合（1）很容易得到结论，当a >2时，运用二次求导确定其单调性得解.试题解析：（1）f (x )=(x +1)ln x −a x +a ，f ′(x )=ln x +x +1x−a . 因f (x )在(0,+∞)上单调递增，则f ′(x )≥0，a ⩽ln x +1x +1恒成立. 令g (x )=ln x +1x +1，则g ′(x )=x −1x ，因此，g min (x )=g (1)=2，即0<a ⩽2.（2）当0<a ⩽2时，由（1）知，当x ∈(0,+∞)时，f (x )单调递增. 又f (1)=0，当x ∈(0,1)，f (x )<0；当x ∈(1,+∞)时，f (x )>0. 故不等式(x −1)f (x )⩾0恒成立． 若a >2，f ′(x )=x ln x +(1−a )x +1x，设p (x )=x ln x +(1−a )x +1，令p ′(x )=ln x +2−a =0，则x =e a −2>1.当x ∈(1,e a −2)时，p ′(x )<0，p (x )单调递减，则p (x )<p (1)=2−a <0， 则f ′(x )=p (x )x<0，所以当x ∈(1,e a −2)时，f (x )单调递减，则当x ∈(1,e a −2)时，f (x )<f (1)=0，此时 x −1 f x <0，矛盾. 因此，0<a ⩽2. 点睛：本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想、转化思想，考查函数恒成立问题，是一道中档题；考查恒成立问题，正确分离参数是关键，也是常用的一种手段．通过分离参数可转化为a > (x )或a < (x )恒成立，即a > max (x )或a < min (x )即可，利用导数知识结合单调性求出 max (x )或 min (x )即得解. 20．（1）见解析;（2）t =4;（3）当a 1=2k ,k ∈N *，对任意的n ∈N *，均存在m ∈N *，使8a 12S n −a 14n 2=16b m .【解析】试题分析：（1）将4(n +1)a n 2−na n +12=0经过移项、两边同时除以n n +1 可得a n +12n +1=4a n 2n ，故可得结论{n n}为等比数列；（2）由（1）得a n =a 12n −1 n ，代入得b n =a 124n −1n t n，由数列{b n }是等差数列易知2b 2=b 1+b 3，代入可解得t 1=4，t 2=12，将其进行检验得结果；（3）由（2）得b n =a 12n4，利用等差数列前n 项和公式代入8a 12S n −a 14n2=16b m ，解出m =na 124，经讨论当a 1=2k 时符合题意，当a 1=2k −1时不符合题意.试题解析：（1）由题意得4(n +1)a n 2=na n +12，因为数列{a n }各项均正，得a n+12n +1=4a n 2n ，所以a n +1 n+1=2a nn， 因此a n +1 n +1a n n=2，所以{ann}是以a 1为首项公比为2的等比数列. （2）由（1）得nn=a 1⋅2n −1，a n =a 12n −1 n ，b n =a n 2t n =a 124n −1n t n， 如果数列{b n }是等差数列，则2b 2=b 1+b 3， 得：2a 122⋅42−1t 2=a 1240t+a 123⋅43−1t 3，即16t 2=1t +48t 3，则t 2−16t +48=0，解得 t 1=4，t 2=12. 当t 1=4时，b n =a 12n 4，b n +1−b n =a 12(n +1)4−a 12n 4=a 124，数列{b n }是等差数列，符合题意；当t 2=12时，b n =a 12n4⋅3n，b 2+b 4=2a 124⋅3+4a 124⋅3=22a 124⋅3=11162a 12，2b 3=2⋅a 1234⋅3=a 1218，b 2+b 4≠2b 3，数列{b n }不是等差数列，t 2=12不符合题意；综上，如果数列{b n }是等差数列，t =4.（3）由（2）得b n =a 12n 4，对任意的n ∈N *，均存在m ∈N *，使8a 12S n −a 14n 2=16b m， 则8a 144⋅n (n +1)2−a 14n2=16a 12m 4，所以m =na 124.当a 1=2k ，k ∈N *，此时m =4k 2n 4=k 2n ，对任意的n ∈N *，符合题意；当a 1=2k −1，k ∈N *，当n =1时，m =4k 2−4k +14=k 2+k +14. 不合题意.综上，当a 1=2k ,k ∈N *，对任意的n ∈N *，均存在m ∈N *，使8a 12S n −a 14n 2=16b m. 21．(1)M =[6244].（2）矩阵M 的另一个特征值为2.【解析】试题分析：（1）先设矩阵M =[a bc d]，由二阶矩阵M 有特征值λ=8及对应的一个特征向量e 1 及矩阵M 对应的变换将点(−1,2)换成(−2,4)，得到关于a ，b ，c ，d 的方程组，即可求得矩阵M ；（2）由（1）知，矩阵M 的特征多项式为f (λ)=(λ−6)(λ−4)−8，从而求得另一个特征值为2. 试题解析：设M =[a b c d ]，M [11]=8[11]=[a +b c +d ]，M [−12]=[−24]=[−a +2b −c +2d ]，{a +b =8 ，c +d =8 ，−a +2b =−2 ，−c +2d =4 ，解得{a =6 ，b =2 ，c =4 ，d =4 ，即M =[6244].（2）则令特征多项式f (λ)=|λ−6−2−4λ−4|=(λ−6)(λ−4)−8=0， 解得λ1=8 ，λ2=2.矩阵M 的另一个特征值为2. 22．（1）ρ=2⇒ρ2=4，所以x 2+y 2=4；因为ρ2−2 2ρcos (θ−π4)=2， 所以ρ2−2 2ρ(cos θcos π4+sin θsin π4)=2，所以x 2+y 2−2x −2y −2=0---5分（2）将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x +y =1．化为极坐标方程为ρcos θ+ρsin θ=1，即ρsin (θ+π4)= 22． ---10分【解析】略 23．（1）π6.; （2）5 3333.【解析】试题分析：（1）设A C ，B D 交于点O ，以O 为坐标原点，D A ，A B 方向分别是x 轴、y 轴正方向，建立空间直角坐标系O −x y z ，将异面直线所成的角转化为直线的方向向量所的角；（2）将二面角用面的法向量所成的角表示. 试题解析：（1）设A C ，B D 交于点O ，在正四棱锥P −A B C D 中，O P ⊥平面A B C D . 又P A =A B =2，所以O P = 2. 以O 为坐标原点，D A ，A B 方向分别是x 轴、y 轴正方向，建立空间直角坐标系O −x y z ，如图：则A (1,−1,0)，B (1,1,0)，C (−1,1,0)，D (−1,−1,0)，P (0,0, 2).故O M =O A +A M =O A +23A P =(13,−13,2 23)，O N =13O B =(13,13,0)， 所以M N =(0,23,−2 23)，P C =(−1,1,− 2)，cos <M N ,P C >=M N ⋅P C|M N | |P C |= 32，所以M N 与P C 所成角的大小为π6.（2）P C =(−1,1,− 2)，C B =(2,0,0) ，N C =(−43,23,0).设m =(x ,y ,z )是平面P C B 的一个法向量，则m ⋅P C =0,m ⋅C B =0， 可得{−x +y − 2z =0,x =0,令x =0，y = 2，z =1，即m =(0, 2,1)，设n =(x 1,y 1,z 1)是平面P C N 的一个法向量，则n ⋅P C =0，n ⋅CN =0，可得{−x 1+y 1− 2z 1=0,−2x 1+y 1=0, 令x 1=2，y 1=4，z 1= 2，即n =(2,4, 2)，cos <m ,n >=m ⋅n|m ||n |= 2 3×22=5 3333， 则二面角N −P C −B 的余弦值为5 3333.点睛：本题考查异面直线所成角的求法，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养；建立适当的空间直角坐标系，异面直线所成的角与直线的方向向量所成的角之间相等或互补，主要通过异面直线所成的角的范围为(0,π2]来确定，两个半平面所成的角与面的法向量之间也是相等或互补，主要是通过图形来确定范围. 24．（1）当n 为偶数时，a n =0；当n 为奇数时，a n =(−1)n −12tan n θ;（2）见解析.【解析】试题分析：（1）当n 为偶数时，易得sinn π2=0，当n 为奇数，即n =2k −1时，分为k =2m和k =2m −1两种情形分别讨论；（2）利用数学归纳法证明. 试题解析：（1）因为a n =sinn π2tan n θ.当n 为偶数时，设n =2k ，a n =a 2k =sin 2k π2tan 2k θ=sin k π⋅tan 2k θ=0，a n =0.当n 为奇数时，设n =2k −1，a n =a 2k −1=sin(2k −1)π2tan n θ=sin (k π−π2)⋅tan n θ.当k =2m 时，a n =a 2k −1=sin (2m π−π2)⋅tan n θ=sin (−π2)⋅tan n θ=−tan n θ， 此时n −12=2m −1 ，a n =a 2k −1=−tan n θ=(−1)2m −1tan n θ=(−1)n −12tan n θ.当k =2m −1时，a n =a 2k −1=sin (2m π−3π2)⋅tan n θ=sin (−3π2)⋅tan n θ=tan n θ， 此时n −12=2m −2， a n =a 2k −1=tan n θ=(−1)2m −2tan n θ=(−1)n −12tan n θ.综上，当n 为偶数时，a n =0；当n 为奇数时，a n =(−1)n −12tan n θ.（2）当n =1时，由（1）得： S 2=a 1+a 2=tan θ，12sin 2θ[1+(−1)n +1tan 2n θ]=12sin 2θ(1+tan 2θ)=sin θ⋅cos θ⋅1cos 2θ=tan θ.故n =1时，命题成立假设n =k 时命题成立，即S 2k =12sin 2θ⋅[1+(−1)k +1tan 2k θ].当n =k +1时，由（1）得：S 2(k +1)=S 2k +a 2k +1+a 2k +2=S 2k +a 2k +1 =12sin 2θ⋅[1+(−1)k +1tan 2k θ]+(−1)k tan 2k +1θ =12sin 2θ⋅[1+(−1)k +1tan 2k θ+(−1)k ⋅2sin 2θtan 2k +1θ]=1 2sin2θ⋅[1+(−1)k+2⋅tan2k+2θ(−1tanθ+2sin2θtanθ)]=12sin2θ⋅[1+(−1)k+2⋅tan2k+2θ(−cos2θsin+1sin)]=12sin2θ⋅(1+(−1)k+2⋅tan2k+2θ)即当n=k+1时命题成立.综上所述，对正整数n命题成立.点睛：本题考查了三角函数的诱导公式、等比数列的通项公式与求和公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题；解决该题最关键是理解三角函数诱导公式中的“奇变偶不变，符号看象限”以及数学归纳法在解决关于自然数n的等式中应用的基本步骤.。
2016-2017苏锡常镇数学高三模拟(二)
2016-2017学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研〔二〕 数学 Ⅰ 试 题 2017.5注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题〔第1题～第14题〕、解答题〔第15题～第20题〕两部分．本试卷总分值160分，考试时间120分钟．2．答题前，请您务必将自己的、考试号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在答题卡的指定位置．3．答题时，必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在答题卡的指定位置，在其它位置作答一律无效．4．如有作图需要，可用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．5. 请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔．一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合{}13A x x =-<<，{}2B x x =<，则AB = ▲ ．2．已知i 为虚数单位，复数13i z y =+()R y ∈，22i z =-，且121i z z =+，则y = ▲ ．3．下表是一个容量为10的样本数据分组后的频数分布．假设利用组中值近似计算本组数据的平均数x ，则x 的值为 ▲ ．4．已知直线20x =为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线，则该双曲线的离心率的值为 ▲ ．5．据记载，在公元前3世纪，阿基米德已经得出了前n 个自然数平方和的一般公式．右图是一个求前n 个自然数平方和的算法流程图，假设输入x 的值为1，则输出S 的值为 ▲ ． 6．已知1Ω是集合{}22(,)1x y x y +所表示的区域，2Ω是集合{}(,)x y yx所表示的区域，向区域1Ω内随机的投一个点，则该点落在区域2Ω内的概率为 ▲ ．7．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比3q =，34533S S +=，则3a = ▲ ．8．已知直四棱柱底面是边长为2的菱形，侧面对角线的长为积为 ▲ ．9．已知α是第二象限角，且sin α=tan()2αβ+=-，则tan β= ▲ ．10．已知直线l ：210mx y m +--=，圆C ：22240x y x y +--=，当直线l 被圆C 所截得的弦长最短时，实数m = ▲ ．11．在△ABC 中，角,,A B C 对边分别是,,a b c ，假设满足2cos =2b A c -，则角B 的大小为 ▲ ．12．在△ABC 中，AB AC ⊥，1AB t=，AC t =，P 是△ABC 所在平面内一点，假设4||||AB ACAP AB AC =+，则△PB C 面积的最小值为 ▲ ． 13．已知函数24,0,()3,0,x x x f x x x⎧-⎪=⎨<⎪⎩ 假设函数()()3g x f x x b =-+有三个零点，则实数b 的取值范围为 ▲ ．14．已知,a b 均为正数，且20ab a b --=，则22214a b a b-+-的最小值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．〔本小题总分值14分〕已知向量m,1)x=-,n2(sin,cos)x x=．〔1〕当π3x=时，求⋅m n的值；〔2〕假设π0,4x⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且⋅mn12=-，求cos2x的值．16．〔本小题总分值14分〕如图，在四面体ABCD中，平面ABC⊥平面ACD，E，F，G分别为AB，AD，AC的中点，AC BC=，90ACD∠=︒．〔1〕求证：AB⊥平面EDC；〔2〕假设P为FG上任一点，证明EP∥平面BCD．17．〔本小题总分值14分〕某科研小组研究发现：一棵水蜜桃树的产量w〔单位：百千克〕与肥料费用x〔单位：百元〕满足如下关系：341wx=-+，且投入的肥料费用不超过5百元．此外，还需要投入其他成本〔如施肥的人工费等〕2x百元．已知这种水蜜桃的市场售价为16元/千克〔即16百元/百千克〕，且市场需求始终供不应求．记该棵水蜜桃树获得的利润为()L x〔单位：百元〕．〔1〕求利润函数()L x的函数关系式，并写出定义域；〔2〕当投入的肥料费用为多少时，该水蜜桃树获得的利润最大？最大利润是多少？18．〔本小题总分值16分〕已知函数3()ln f x a x bx =-，a ，b 为实数，0b ≠， e 为自然对数的底数，e 2.71828≈…． 〔1〕当0a <，1b =-时，设函数()f x 的最小值为()g a ，求()g a 的最大值； 〔2〕假设关于x 的方程()=0f x 在区间(1e]，上有两个不同实数解，求ab的取值范围．19．〔本小题总分值16分〕已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左焦点为(1,0)F -，左准线方程为2x =-．〔1〕求椭圆C 的标准方程；〔2〕已知直线l 交椭圆C 于A ，B 两点．①假设直线l 经过椭圆C 的左焦点F ，交y 轴于点P ，且满足PA AF λ=，PB BF μ=．求证：λμ+为定值；②假设A ，B 两点满足OA OB ⊥〔O 为 坐标原点〕，求△AOB 面积的取值范围．20．〔本小题总分值16分〕已知数列{}n a 满足21141,2n n n n a a a a a λμ+++==+,其中*N n ∈,λ,μ为非零常数．〔1〕假设3,8λμ==，求证：{}1n a +为等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； 〔2〕假设数列{}n a 是公差不等于零的等差数列． ①求实数,λμ的值；②数列{}n a 的前n 项和n S 构成数列{}n S ，从{}n S 中取不同的四项按从小到大排列组成四项子数列．试问：是否存在首项为1S 的四项子数列，使得该子数列中的所有项之和恰好为2017？假设存在，求出所有满足条件的四项子数列；假设不存在，请说明理由．21．【选做题】此题包括A ，B ，C ，D 四小题，每题10分. 请选定其中两题．．．．．．，并在相应．．．．的．答题区域．．．．内作答．．．，假设多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． A ．〔选修4－1：几何证明选讲〕如图，直线DE 切圆O 于点D ，直线EO 交圆O 于,A B 两点，DC OB ⊥于点C ， 且2DE BE =，求证：23OC BC =． B ．〔选修4—2：矩阵与变换〕已知矩阵M 13a b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的一个特征值11λ=-及对应的特征向量e 11⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦． 求矩阵M 的逆矩阵．C ．〔选修4—4：坐标系与参数方程〕在平面直角坐标系xO y 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度，建立极坐标系.已知曲线1C的参数方程为[]2cos (0,2π,32sin x y αααα⎧=⎪∈⎨=+⎪⎩，为参数)，曲线2C 的极坐标方程为πsin()3a ρθ+=〔R a ∈〕．假设曲线1C 与曲线2C 有且仅有一个公共点，求实数a 的值．D.〔选修4—5：不等式选讲〕已知,,a b c 为正实数，求证：222b c a a b c a b c ++++．【必做题】第22，23题，每题10分，共20分. 请把答案写在答题卡的指定区域内，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．〔本小题总分值10分〕已知袋中装有大小相同的2个白球、2个红球和1个黄球．一项游戏规定：每个白球、红球和黄球的分值分别是0分、1分和2分，每一局从袋中一次性取出三个球，将3个球对应的分值相加后称为该局的得分，计算完得分后将球放回袋中．当出现第n 局得n 分〔*N n ∈〕的情况就算游戏过关，同时游戏结束，假设四局过后仍未过关，游戏也结束．〔1〕求在一局游戏中得3分的概率；〔2〕求游戏结束时局数X 的分布列和数学期望()E X ．23．〔本小题总分值10分〕已知01()(1)(1)()(1)()n n k kn n nn n nn n n f x C x C x C x k C x n =--++--++--，其中*,R N N x n k k n ∈∈∈，，． 〔1〕试求1()f x ，2()f x ，3()f x 的值；〔2〕试猜测()n f x 关于n 的表达式，并证明你的结论．2016-2017学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研〔二〕数学参考答案2017.5一、填空题．1．{}12x x -<< 2．1 3． 4．35．14 6．347．38． 9．1710．-111．π612．3213．1(,6)(,0]4-∞-- 14．7二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．解：〔1〕当π3x =时，m 1)=-，n 1)4=， ……………………………4分所以⋅m n 311442=-=．…………………………………………………………6分〔2〕⋅m n 2sin cos x x x -11π12cos2sin(2)2262x x x =--=--， ………………………8分假设⋅m n 12=-，则π1sin(2)1262x =---，即πsin(2)6x -=因为π[0,]4x ∈，所以πππ2663x --，所以πcos(2)6x -， ……………10分则ππππ1cos2cos[(2)]cos(2)sin(2)66662x x x x =-+=---⨯ ……………12分12==． ……………………………14分 16．〔1〕因为平面ABC ⊥平面ACD ，90ACD ∠=︒，即CD ⊥AC ， 平面ABC 平面ACD =AC ，CD ⊂平面ACD ，所以CD ⊥平面ABC ， ………………………………………………………………3分 又AB ⊂平面ABC ，所以CD ⊥AB ， ………………………………………………4分 因为AC BC =，E 为AB 的中点，所以CE ⊥AB ， …………………………………6分又CE CD C =，CD ⊂平面EDC ，CE ⊂平面EDC ，所以AB ⊥平面EDC ． …………………………………………………………………7分〔2〕连EF ，EG ，因为E ，F 分别为AB ，AD 的中点， 所以EF ∥BD ，又BD ⊂平面BCD ，EF ⊄平面BCD ，所以EF ∥平面BCD ， ………………………………………………………………10分 同理可证EG ∥平面BCD ，且EF EG =E ，EF ⊂平面BCD ，EG ⊂平面BCD ，所以平面EFG ∥平面BCD ， ………………………………………………………12分又P 为FG 上任一点，所以EP ⊂平面EFG ，所以EP ∥平面BCD ．……………14分17．解：〔1〕348()164264311L x x x x x x ⎛⎫=---=-- ⎪++⎝⎭〔05x 〕．………………4分 〔2〕法一：()4848()643673111L x x x x x ⎛⎫=--=-++ ⎪++⎝⎭67243x -=．……………………………………8分 当且仅当()48311x x =++时，即3x =时取等号．……………………………10分 故()max 43L x =．………………………………………………………………12分答：当投入的肥料费用为300元时，种植该果树获得的最大利润是4300元．…14分法二：()()24831L x x '=-+，由()0L x '=得，3x =．……………………………7分 故当()0,3x ∈时，()0L x '>，()L x 在()0,3上单调递增；当()3,10x ∈时，()0L x '<，()L x 在()3,5上单调递减；…………………10分故()max 43L x =．………………………………………………………………12分 答：当投入的肥料费用为300元时，种植该果树获得的最大利润是4300元．…14分 18．解：〔1〕当1b =-时，函数3()ln f x a x x =+，则323()3a a x f x x x x+'=+=， ………………………………………………………2分所以()ln()3333a a a ag a f a ===--， ……………………………4分令()ln t x x x x =-+，则()ln t x x '=-，令()0t x '=，得1x =， 且当1x =时，()t x 有最大值1， 所以()g a 的最大值为1〔表格略〕，(分段写单调性即可)，此时3a =-．………6分〔2〕由题意得，方程3ln 0a x bx -=在区间(1e]，上有两个不同实数解，所以3ln a x b x=在区间(1e]，上有两个不同的实数解，即函数1ay b=图像与函数3()ln x m x x =图像有两个不同的交点，…………………9分因为22(3ln 1)()x x m x -'=，令()0m x '=，得x 所以当x ∈时，()(3e,)m x ∈+∞，……………………………………………14分 当e]x ∈时，3()(3e,e ]m x ∈， 所以,a b 满足的关系式为 33e e a b <，即ab的取值范围为33e e ]（，．…………16分 19．解：〔1〕由题设知=e ，22222==+a c b c ，即222=a b ，……………………1分 (1,2代入椭圆C 得到2211122+=b b，则21=b ，22=a ，…………………2分 ∴22:12x C y +=． ……………………………………………………………………3分〔2〕①由题设知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为(1)y k x =+，则(0,)P k ．设1122(,),(,)A x y B x y ，直线l 代入椭圆得2222(1)2x k x ++=，整理得，2222(12)4220k x k x k +++-=，∴22121222422,1212k k x x x x k k --+==++． ……………5分 由λ=PA AF ，μ=PB BF 知，1212,11x x x x λμ--==++， ……………………………7分 ∴222212122212122244424121244221111212k k x x x x k k k k x x x x k k λμ--+++-+++=-=-=-=---+++-++++〔定值〕．………9分 ②当直线,OA OB 分别与坐标轴重合时，易知△AOB 的面积S =，……………10分 当直线,OA OB 的斜率均存在且不为零时，设1:,:OA y kx OB y x k==-，设1122(,),(,)A x y B x y ，将y kx =代入椭圆C 得到22222x k x +=，∴222112222,2121k x y k k ==++，同理222222222,22k x y k k ==++， …………………12分 △AOB 的面积2OA OBS ⋅==………………………………13分令[)211,t k =+∈+∞，S =令1(0,1)u t =∈，则23S ⎡=⎢⎣⎭． ……………15分综上所述，23S ⎡∈⎢⎣⎦． ………………………………………………………16分20．解：〔1〕当3,8λμ==时，21384(32)(2)3222n n n n n n n n a a a a a a a a +++++===+++， ∴113(1)n n a a ++=+．……………………………………………………………………2分 又10n a +≠，不然110a +=，这与112a +=矛盾，…………………………………3分 ∴{}1n a +为2为首项，3为公比的等比数列，∴1123n n a -+=⋅，∴1231n n a -=⋅-． …………………………………………………4分 〔2〕①设1(1)1n a a n d dn d =+-=-+， 由2142n n n n a a a a λμ+++=+得21(2)4n n n n a a a a λμ++=++，∴2(3)(1)(1)(1)4dn d dn dn d dn d λμ-++=-++-++， …………………………5分 ∴222222(4)3(2(1))(1)(1)4d n d d n d d n d dn d d λλμλμ⋅+--+=+-++-+-+ 对任意*∈N n 恒成立． ………………………………………………………………7分∴22224(2(1))3(1)(1)4d d d d d d d d d λλμλμ⎧=⎪-=-+⎨⎪-+=-+-+⎩，，，即122λ=⎧⎪=+⎨⎪=⎩u d d ，，，∴1,4,2λ===u d ．…………9分综上，14,21n a n λμ===-，． ……………………………………………………10分②由①知2(121)2n n n S n +-==．设存在这样满足条件的四元子列，观察到2017为奇数，这四项或者三个奇数一个偶数、或者一个奇数三个偶数．1假设三个奇数一个偶数，设121212,,,x y z S S S S ++是满足条件的四项，则2221(21)(21)42017x y z +++++=，∴2222()1007x x y y z ++++=，这与1007为奇数矛盾，不合题意舍去． ……11分2假设一个奇数三个偶数，设1222,,,x y z S S S S 是满足条件的四项，则222214442017x y z +++=，∴222504x y z ++=． ……………………………12分 由504为偶数知，,,x y z 中一个偶数两个奇数或者三个偶数． 1〕假设,,x y z 中一个偶数两个奇数，不妨设111221,21,x x y y z z ==+=+，则222111112()251x y y z z ++++=，这与251为奇数矛盾． ………………………13分 2〕假设,,x y z 均为偶数，不妨设1112,2,2x x y y z z ===，则222111126x y z ++=，继续奇偶分析知111,,x y z 中两奇数一个偶数，不妨设122x x =，1221y y =+，1221z z =+，则2222222231x y y z z ++++=． …14分 因为2222(1),(1)y y z z ++均为偶数，所以2x 为奇数，不妨设220y z ，当21x =时，22222230y y z z +++=，22214y y +，检验得20y =，25z =，21x =， 当23x =时，22222222y y z z +++=，22210y y +，检验得21y =，24z =，23x =， 当25x =时，2222226y y z z +++=，2222y y +，检验得20y =，22z =，25x =，即14844,,,S S S S 或者1122436,,,S S S S 或者142040,,,S S S S 满足条件，综上所述，{}14844,,,S S S S ，{}1122436,,,S S S S ，{}142040,,,S S S S 为全部满足条件的四元子列．…………………………………………………………………………………………16分〔第Ⅱ卷 理科附加卷〕21．【选做题】此题包括A ，B ，C ，D 四小题，每题10分. A ．〔选修4－1 几何证明选讲〕.解：连结OD ，设圆的半径为R ，BE x =，则OD R =，22DE BE x ==． …………2分在Rt △ODE 中，∵DC OB ⊥，∴2OD OC OE =，即2()R OC R x =+， ① 又∵直线DE 切圆O 于点D ，则2DE BE OE =，即24()x x R x =+，② ………6分 ∴23R x =，代入①，22()3R R OC R =+，35R OC =， ……………………………8分 ∴BC OB OC =-35R R =-25R=， ∴23OC BC =． ……………………………………………………………………10分 B ．〔选修4—2：矩阵与变换〕解：由题知，111111113131131a a a b b b ---=-⎧⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⋅==-⋅=⇒⎨⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----=⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎩，，……………………4分 ∴2,2a b ==，1232M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.…………………………………………………………6分 12det()1223432M ==⨯-⨯=-， …………………………………………………8分∴111223144M -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦． ………………………………………………………………10分 C ．〔选修4—4：坐标系与参数方程〕解：2222((3)4cos 4sin 4x y αα+-=+=，∴曲线C 的普通方程为22(1)(3)4x y ++-=．……………………………………4分 1sin()sin cos 32a a πρθρθθ+=⇒=，∴曲线D 20y a +-=， ……………………………………6分曲线C 圆心到直线D的距离为2d =， ………………………8分∴32-=a ，∴1=a 或5a =．………………………………10分〔少一解，扣一分〕 D ．〔选修4—5：不等式选讲〕解法一：基本不等式∵22b a b a+，22c b c b+，22a c a c+，∴222b c aa b c a b c +++++222a b c ++， ………………………………………6分 ∴222b c a a b c a b c++++， ………………………………………………………10分解法二：柯西不等式2222()()()b c a a b c b c a a b c++++++，∴222b c aa b c a b c++++， …………………………………………………………10分【必做题】第22，23题，每题10分，计20分. 22．解：〔1〕设在一局游戏中得3分为事件A ，则111221352()5C C C P A C ==．… …………………………………………………………2分 答：在一局游戏中得3分的概率为25．………………………………………………3分 〔2〕X 的所有可能取值为1,2,3,4．在一局游戏中得2分的概率为1221222135310C C C C C +=，…………………………………5分 2122351(1)5C C P X C ===； 436(2)51025P X ==⨯=； 43228(3)(1)5105125P X ==⨯-⨯=； 43342(4)(1)5105125P X ==⨯-⨯=．所以………………………………………………………………………………………………8分∴162842337()1234525125125125E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．…………………………………10分23．解：(1)01111()(1)11f x C x C x x x =--=-+=；………………………………………1分0212222222()(1)(2)f x C x C x C x =--+-2222(21)(44)2x x x x x =--++-+=； ………………………………………2分0313233333333()(1)(2)(3)f x C x C x C x C x =--+---33333(1)3(2)(3)6x x x x =--+---=． ………………………………………3分〔2〕猜测：()!n f x n =． …………………………………………………………………4分而!!!()!(1)!()!k n n n kC k k n k k n k ==---，11(1)!!(1)!()!(1)!()!k n n n nC n k n k k n k ---==----， 所以11k k n n kC nC --=． …………………………………………………………………5分用数学归纳法证明结论成立．①当1n =时，1()1f x =，所以结论成立．②假设当n k =时，结论成立，即01()(1)(1)()!k k k k k k k kk f x C x C x C x k k =--++--=．当1n k =+时，01111111111()(1)(1)(1)k k k k k k k k k f x C x C x C x k +++++++++=--++--- 0111111111(1)(1)(1)()()(1)(1)k kk k k k k k k k k k C x C x x C x k x k C x k ++++++++=---++---+---011111211111111[(1)(1)()][(1)2(2)(1)()](1)(1)k kkkkk k k k k k k k k k k k k k k x Cx Cx C x k C x C x kC x k C x k +++++++++++=--++--+---+--+---010*******[()(1)(1)()()](1)[(1)(2)(1)()](1)(1)(1)k k k k k k k k k k k k kk k k k k k k k k x C x C C x C C x k k x C x C x k C x k x k -+-+++=-+-++-+-++---+--+-----0101111111[(1)(1)()][(1)(1)()](1)[(1)(2)(1)()](1)(1)(1)(1)(1)k k k k k k k k k k k k k k k kk k k k k k k k k kk x C x C x C x k x C x C x k k x C x C x k x C x k k x k --+-++=--++----++--++---+--+----+---010-11111[(1)(1)()][(1)(1)()(1)(1)](1)[(1)(2)(1)()(1)(1)]k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k x C x C x C x k x C x C x k C x k k x C x C x k x k ---=--++----++--+---++---+--+---〔*〕由归纳假设知〔*〕式等于!!(1)!(1)!x k x k k k k ⋅-⋅++⋅=+． 所以当1n k =+时，结论也成立．综合①②，()!n f x n =成立． ………………………………………………………10分。
苏锡常镇四市2017届高三教学情况调研数学试题(一)含解析
江苏省苏锡常镇四市2017届高三教学情况调研（一）数学试题一、填空题1. 已知集合，，∁________．【答案】【解析】由，得：，则，故答案为.2. 若复数满足（为虚数单位），则______________．【答案】【解析】由，得，则，故答案为.3. 函数的定义域为______________．【答案】【解析】要使函数有意义需满足，解得，故答案为.4. 下图是给出的一种算法，则该算法输出的结果是______________．【答案】【解析】由题意列出如下循环过程：；；；不满足循环条件，输出的值，故答案为.5. 某高级中学共有名学生，现用分层抽样的方法从该校学生中抽取个容量为的样本，其中高一年级抽人，高三年级抽人．则该校高二年级学生人数为_________．【答案】300【解析】由题意得高二年级应抽取人，则高二年级学生人数为，故答案为.点睛：本题考查分层抽样，抽样过程中每个个体被抽到的可能性相同，这是解决抽样问题的依据，样本容量、总体个数、每个个体被抽到的概率，这三者可以做到知二求一；用分层抽样的方法抽取一个容量为的样本，根据高一年级抽人，高三年级抽人，得到高二年级要抽取的人数，根据该高级中学共有名学生，算出高二年级学生人数.6. 已知正四棱锥的底面边长是，侧棱长是，则该正四棱锥的体积为____________．【答案】【解析】正四棱锥的底面边长是2，侧棱长为，底面对角线长为，所以棱锥的高为，所以棱锥的体积为，故答案为.7. 从集合中任取两个不同的数，则这两个数的和为的倍数的概率为_______．【答案】【解析】从中任取两个不同的数，共有6种情况，和是3的倍数的有，两种情况，所以根据古典概型公式得，故答案为.8. 在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点恰好是双曲线的右焦点，则双曲线的离心率为______________．【答案】2【解析】抛物线的焦点坐标为，则在双曲线中，，则离心率为，故答案为.9. 设等比数列的前项和为，若成等差数列，且，则的值为______________．【答案】2【解析】设等比数列的公比为，首项是，当时，有、、，不满足成等差数列；当时，因为成等差数列，所以，化简得，解得或（舍去），则，得，则，故答案为2.点睛：本题考查等比数列的前项和公式、通项公式，分类讨论思想，使用等比数列的前项和公式时需要对公比与1的关系进行讨论；设等比数列的公比为、首项是，根据公比与1的关系进行分类，由等比数列的前项和公式化简求值，再由等比数列的通项公式化简可得和的值，故可求得.10. 在平面直角坐标系中，过点的直线与圆交于两点，其中点在第一象限，且，则直线的方程为______________．【答案】11. 在△中，已知，若点满足，且，则实数的值为______________．【答案】或【解析】中，，点满足，∴，∴，又，整理得，解得或，故答案为或.12. 已知，则______________．【答案】【解析】由，得，即整理得：，即，而，故，故答案为.13. 若函数，则函数的零点个数为______________．【答案】4【解析】当时，，根据指数函数的性质可知，该函数单调递减且，故由两个解；当时，，，故当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减；，故，故由两个解，综上可得函数的零点个数为4，故答案为.点睛：本题考查分段函数的应用，函数的零点个数的求法，考查数形结合以及转化思想的应用，考查计算能力；利用分段函数，对，通过函数的零点与方程根的关系求解零点个数，当时，利用导数判断函数的单调性，利用数形结合思想求解函数的零点个数即可.14. 若正数满足，则的最小值为______________．【答案】1【解析】由正数满足，可得，则，，又，其中，即，当且仅当时取得等号，设，的导数为，当时，，递增，时，，递减．即有在处取得极小值，也为最小值，此时，则．当且仅当，时，取得最小值1，故答案为1.点睛：本题考查最值的求法，注意运用变形和导数，求得单调区间、极值和最值，考查化简整理的运算能力，属于难题；由题意可得，，又，求出，当且仅当时取得等号，设，求出导数和单调区间、极值和最值，即可得到所求最小值.二、解答题15. 在△中，分别为角的对边．若，且．（1）求边的长；（2）求角的大小．【答案】（1）;（2）.【解析】试题分析：（1）由，利用余弦定理化为：，，相加即可得出；（2）运用正弦定理结合题意可得：，将其代入中可解出，结合的范围可得结果.试题解析：（1）（法一）在△中，由余弦定理，，则，得；①，则，得，②①+②得：，.（法二）因为在△中，，则，由得：，，代入上式得：.（2）由正弦定理得，又，解得，，.16. 如图，在斜三棱柱中，侧面是菱形，与交于点，是棱上一点，且∥平面．（1）求证：是中点；（2）若，求证：．【答案】（1）见解析;(2)见解析.17. 某单位将举办庆典活动，要在广场上竖立一形状为等腰梯形的彩门（如图）．设计要求彩门的面积为（单位：），高为（单位：）（为常数）．彩门的下底固定在广场底面上，上底和两腰由不锈钢支架构成，设腰和下底的夹角为，不锈钢支架的长度和记为．（1）请将表示成关于的函数；（2）问当为何值最小，并求最小值．【答案】（1）l表示成关于的函数为 ()；（2）当时，l有最小值为.【解析】试题分析：（1）求出上底，即可将表示成关于的函数；（2）求导数，取得函数的单调性，即可解决当为何值时最小，并求最小值.试题解析：（1）过作于点，则（），，设，则，，，因为S=，则；则 ()；（2），令，得.所以，.答：（1）l表示成关于的函数为 ()；（2）当时，l有最小值为.18. 在平面直角坐标系中，已知椭圆的焦距为，离心率为，椭圆的右顶点为.（1）求该椭圆的方程；（2）过点作直线交椭圆于两个不同点，求证：直线的斜率之和为定值.【答案】（1）（2）直线AP，AQ的斜率之和为定值1.【解析】试题分析：（1）由题意可知，，离心率，求得，则，即可求得椭圆的方程；（2）则直线的方程：，代入椭圆方程，由韦达定理及直线的斜率公式，分别求得直线，的斜率，即可证明直线，的率之和为定值.试题解析：（1）由题所以，.所以椭圆C的方程为（2）当直线PQ的斜率不存在时，不合题意；当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为，代入得，设，，则：，，，所以，，又=1.所以直线AP，AQ的斜率之和为定值1.19. 已知函数（为正实数，且为常数）.（1）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围；（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）.（2）.【解析】试题分析：（1）对函数进行求导即，因在上单调递增，则，利用分离参数思想得恒成立，即即可；（2）分为和两种情形，当时，结合（1）很容易得到结论，当时，运用二次求导确定其单调性得解.试题解析：（1），.因在上单调递增，则，恒成立.令，则，因此，，即.（2）当时，由（1）知，当时，单调递增.又，当，；当时，.故不等式恒成立．若，，设，令，则.当时，，单调递减，则，则，所以当时，单调递减，则当时，，此时，矛盾.因此，.点睛：本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想、转化思想，考查函数恒成立问题，是一道中档题；考查恒成立问题，正确分离参数是关键，也是常用的一种手段．通过分离参数可转化为或恒成立，即或即可，利用导数知识结合单调性求出或即得解.20. 已知为正整数，数列满足，，设数列满足. （1）求证：数列为等比数列；（2）若数列是等差数列，求实数的值；（3）若数列是等差数列，前项和为，对任意的，均存在，使得成立，求满足条件的所有整数的值.【答案】（1）见解析;（2）;（3）当N*，对任意的N*，均存在N*，使. 【解析】试题分析：（1）将经过移项、两边同时除以可得，故可得结论为等比数列；（2）由（1）得，代入得，由数列是等差数列易知，代入可解得，，将其进行检验得结果；（3）由（2）得，利用等差数列前项和公式代入，解出，经讨论当时符合题意，当时不符合题意.试题解析：（1）由题意得，因为数列各项均正，得，所以，因此，所以是以为首项公比为2的等比数列.（2）由（1）得，，，如果数列是等差数列，则，得：，即，则，解得，.当时，，，数列是等差数列，符合题意；当=12时，，，，，数列不是等差数列，=12不符合题意；综上，如果数列是等差数列，.（3）由（2）得，对任意的N*，均存在N*，使，则，所以.当，N*，此时，对任意的N*，符合题意；当，N*，当时，. 不合题意.综上，当N*，对任意的N*，均存在N*，使. 21. 已知二阶矩阵有特征值及对应的一个特征向量，并且矩阵对应的变换将点变换成.（1）求矩阵；（2）求矩阵的另一个特征值.【答案】(1)M=.（2）矩阵M的另一个特征值为.【解析】试题分析：（1）先设矩阵M=，由二阶矩阵有特征值及对应的一个特征向量及矩阵对应的变换将点换成，得到关于的方程组，即可求得矩阵；（2）由（1）知，矩阵的特征多项式为，从而求得另一个特征值为2.试题解析：设M=，M，M，解得即M=.（2）则令特征多项式，解得.矩阵M的另一个特征值为.22. 已知圆和圆的极坐标方程分别为.（1）把圆和圆的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求经过两圆交点的直线的极坐标方程.【答案】（1）圆的直角坐标方程为，①圆的直角坐标方程为，②（2）该直线的极坐标方程为.【解析】略23. 如图，已知正四棱锥中，，点分别在上，且.（1）求异面直线与所成角的大小；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）.; （2）.【解析】试题分析：（1）设，交于点，以为坐标原点，，方向分别是轴、轴正方向，建立空间直角坐标系，将异面直线所成的角转化为直线的方向向量所的角；（2）将二面角用面的法向量所成的角表示.试题解析：（1）设，交于点，在正四棱锥中，平面. 又，所以. 以为坐标原点，，方向分别是轴、轴正方向，建立空间直角坐标系，如图：则，，，，故，，所以，，，所以与所成角的大小为.（2），，.设是平面的一个法向量，则,，可得令，，，即，设是平面的一个法向量，则，，可得令，，，即，，则二面角的余弦值为.点睛：本题考查异面直线所成角的求法，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养；建立适当的空间直角坐标系，异面直线所成的角与直线的方向向量所成的角之间相等或互补，主要通过异面直线所成的角的范围为来确定，两个半平面所成的角与面的法向量之间也是相等或互补，主要是通过图形来确定范围. 24. 设，为正整数，数列的通项公式，其前项和为.（1）求证：当为偶数时，；当为奇数时，；（2）求证：对任何正整数，.【答案】（1）当n为偶数时，；当n为奇数时，;（2）见解析. 【解析】试题分析：（1）当为偶数时，易得，当为奇数，即时，分为和两种情形分别讨论；（2）利用数学归纳法证明.试题解析：（1）因为.当n为偶数时，设，，.当n为奇数时，设，.当时，，此时，. 当时，，此时，.综上，当n为偶数时，；当n为奇数时，.（2）当时，由（1）得：，=.故时，命题成立假设时命题成立，即.当时，由（1）得：====即当时命题成立.综上所述，对正整数命题成立.点睛：本题考查了三角函数的诱导公式、等比数列的通项公式与求和公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题；解决该题最关键是理解三角函数诱导公式中的“奇变偶不变，符号看象限”以及数学归纳法在解决关于自然数的等式中应用的基本步骤.。
江苏省苏锡常镇四市2017年5月高三教学情况调研(二)数学试卷含答案
e 2.71828 . （ 1）当 a 0, b
1时，设函数 f x 的最小值为 g a ，求 g a 的最大值；
（ 2）若关于 x 的方程 f x 0 在区间 1,e 上有两个不同的实数解，求 a 的取值
b
范围 .
19. （本题满分 16 分）
已知椭圆
C
:
x2 a2
y2 b2
1a
0, b
0 的左焦点为 F
1,0 ，左准线为 x
2.
（ 1）求椭圆 C 的标准方程；
（ 2）已知直线 l 交椭圆 C 于 A,B 两点 . ①若直线 l 经过椭圆 C 的左焦点 F, 交 y 轴于点
P, 且满足 PA AF PB BF ，求证： 为常数； ②若 OA OB （ O为原点），求 AOB 的面积
的取值范围 .
20. （本题满分 16 分）
1 i ，则
3. 下表是一个容量为 10 的样本数据分组后的频率分布， 若利用组中中近似计算
本组数据的平均数 x ，则 x 的值为
.
4. 已知直线 2x
2
2
3y
0 为双曲线
x a2
y b2
1a
0, b
0 的一条
渐近线，则该双曲线的离心率为
.
5．据记载，在公元前 3 世纪，阿基米德已经得出了前 n个自然
17. （本题满分 14 分）
某科研小组研究发现： 一棵水蜜桃树的产量 （单位：千克）与肥料费用 x（单
位：百元）满足如下关系：
4 3 ，且投入的肥料费用不超过 5 百元 . 此外， x1
还需要投入其他成本 2x（如是非的人工费用等） 百元 . 已知这种水蜜桃的市场价
格为 16 元/ 千克（即 16 百元 / 百千克），且市场需求始终供不应求 . 记该棵水
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一、填空题1、已知集合{}1,2,3,4,5,6,7U =，{}2650,Z M x x x x =-+∈≤，∁U 2、若复数z 满足2i z i i++=（i 为虚数单位），则z = ．3、函数1()ln(43)f x x =-的定义域为 ． 4、下图是给出的一种算法，则该算法输出的结果是 ．5、某高级中学共有900名学生，现用分层抽样的方法从该校学生中抽取1个容量为的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人．则该校高二年级学生人数为 ． 6、已知正四棱锥的底面边长是2，则该正四棱锥的体积为 ． 7、从集合{}1,2,3,4中任取两个不同的数，则这两个数的和为3的倍数的概率为 ．8、在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线28y x =的焦点恰好是双曲线22213x y a -=的右 焦点，则双曲线的离心率为 ．9、设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若396,,S S S 成等差数列，且254a a +=，则8a 的 值为 ．10、在平面直角坐标系xOy 中，过点(1,0)M 的直线l 与圆225x y +=交于,A B 两点，其 中A 点在第一象限，且2BM MA =，则直线l 的方程为 ．11、在△ABC 中，已知1,2,60AB AC A ==∠=，若点P 满足AP AB AC λ=+，且1BP CP ⋅=，则实数λ的值为 ．12、已知sin 3sin()6παα=+，则tan()12πα+= ．13、若函数211,12()ln ,1xx f x x x x ⎧-<⎪⎪=⎨⎪⎪⎩≥，则函数1()8y f x =-的零点个数为 ．14、若正数,x y 满足1522x y -=，则3322x y x y +--的最小值为 ．二、解答题15、在△ABC 中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边．若cos 3,cos 1a B b A ==，且6A B π-=．（1）求边c 的长；（2）求角B 的大小．16、如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AAC C 是菱形，1AC 与1A C 交于点O ，E 是棱AB 上一点，且OE ∥平面11BCC B ． （1）求证：E 是AB 中点；（2）若11AC A B ⊥，求证：1AC BC ⊥．17、某单位将举办庆典活动，要在广场上竖立一形状为等腰梯形的彩门BADC （如图）．设计要求彩门的面积为S （单位：2m ），高为h （单位：m ）（,S h 为常数）．彩门的下底BC 固定在广场底面上，上底和两腰由不锈钢支架构成，设腰和下底的夹角为α，不锈钢 支架的长度和记为l ．（1）请将l 表示成关于α的函数()l f α=； （2）问当α为何值l 最小，并求最小值．18、在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的焦距为2，离心率为22，椭圆的右顶点为A . （1）求该椭圆的方程；（2）过点(2,2)D -作直线PQ 交椭圆于两个不同点,P Q ，求证：直线,AP AQ 的斜 率之和为定值.19、已知函数()(1)ln f x x x ax a =+-+（a 为正实数，且为常数）. （1）若函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递增，求实数a 的取值范围； （2）若不等式(1)()0x f x -≥恒成立，求实数a 的取值范围.20、已知n 为正整数，数列{}n a 满足0n a >，2214(1)0n n n a na ++-=，设数列{}n b 满足2nn n a b t=.（1）求证：数列为等比数列； （2）若数列{}n b 是等差数列，求实数t 的值；（3）若数列{}n b 是等差数列，前n 项和为n S ，对任意的N n *∈，均存在N m *∈，使得24211816n m a S a n b -=成立，求满足条件的所有整数1a 的值.2016—2017学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）数 学 Ⅱ 试 题 2017.31、已知二阶矩阵M 有特征值8λ=及对应的一个特征向量111e ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，并且矩阵M 对应的变换将点(1,2)-变换成(2,4)-. （1）求矩阵M ；（2）求矩阵M 的另一个特征值.2、已知圆1O 和圆2O 的极坐标方程分别为22,cos()24πρρθ=--=.（1）把圆1O 和圆2O 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）求经过两圆交点的直线的极坐标方程.3、如图，已知正四棱锥P ABCD -中， 2PA AB ==，点,M N 分别在,PA BD 上，且13PM BN PA BD ==. （1）求异面直线MN 与PC 所成角的大小； （2）求二面角N PC B --的余弦值.4、设2πθ<，n 为正整数，数列{}n a 的通项公式sintan 2n n n a πθ=，其前n 项和为n S . （1）求证：当n 为偶数时，0n a =；当n 为奇数时，12(1)tan n n n a θ-=-；（2）求证：对任何正整数n ，1221sin 2[1(1)tan ]2n n n S θθ+=⋅+-.2016-2017学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）数学参考答案2017.3一、填空题．1．{}6,7 23．()3,1 1.4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭4．245．3006．437．138．29．2 10．1y x =- 11．1或14-12．4 13．414．1二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．解：（1）（法一）在△ABC 中，由余弦定理，cos 3a B =，则22232a c b aac +-=，得2226a c b c +-=；① ……2分 cos 1b A =，则22212b c a b bc +-=，得2222b c a c +-=，② ……4分①+②得：228c c =，4c =. ……7分 （法二）因为在△ABC 中，πA B C ++=，则sin cos sin cos sin()sin(π)=sin A B B A A B C C +=+=-， ……2分 由sin sin sin a b c A B C ==得：sin sin a C A c =，sin sin b CB c=，代入上式得： ……4分 cos cos 314c a B b A =+=+=. ……7分（2）由正弦定理得cos sin cos tan 3cos sin cos tan a B A B Ab A B A B===， ……10分又2tan tan 2tan tan()1tan tan 13tan A B B A B A B B --===++ ……12分解得tan B ，π)(0,B ∈，π6B =. ……14分16．（1）连接1BC ，因为OE ∥平面11BCC B ，OE ⊂平面1ABC ，平面11BCC B 平面11ABC BC =，所以OE ∥1BC . ……4分因为侧面11AA C C 是菱形，11AC AC O =，所以O 是1AC 中点， ……5分 所以11AE AOEB OC ==，E 是AB 中点. ……7分 （2）因为侧面11AA C C 是菱形，所以1AC 1A C ⊥，……9分又11AC A B ⊥，111AC A B A =，11,AC A B ⊂面1A BC ，所以1AC ⊥面1A BC ，…12分因为BC ⊂平面1A BC ，所以1AC BC ⊥． ……14分17．解：（1）过D 作DH BC ⊥于点H ，则DCB α∠=（π02α<<）， DH h =， 设AD x =， 则sin h DC α=，tan h CH α=，2tan h BC x α=+， ……3分 因为S=12()2tan h x x h α++⋅，则 tan S hx h α=-； ……5分则21()2()sin tan S l f DC AD h h ααα==+=+- (π02α<<)； ……7分 （2）2222cos 112cos ()()sin sin sin f h h αααααα---'=⋅-=⋅， ……8分 令212cos ()0-'=⋅=f h αα，得π=α. ……9分所以， min π()3Sl f h ==+. ……12分答：（1）l 表示成关于α的函数为21()()sin tan S l f h h ααα==+- (π02α<<)； CBDA（第17题图）H……11分1（第16题图）（2）当π3α=时，lSh+. ……14分18．解：（1）由题1c =，c e a =所以a =1b =. ……2分 所以椭圆C 的方程为22 1.2x y +=……4分（2）当直线PQ 的斜率不存在时，不合题意； ……5分当直线PQ 的斜率存在时，设直线PQ的方程为(y k x =，……6分 代入2222x y +=，得2222(12))4820k x k k x k k +-++++=， ……8分 设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则：4(81)0k ∆=-+>，18k <-，1,2x =， ……9分所以2122)12k k x x k ++=+，212248212k k x x k ++⋅=+，……11分又AP AQ k k +=+=422k k ===1.所以直线AP ，AQ 的斜率之和为定值1. ……16分19．解：（1）()(1)ln f x x x ax a =+-+，1()ln +x f x x a x+'=-. ……1分 因()f x 在(0,)+∞上单调递增，则()0f x '≥，1ln +1a x x+恒成立. 令1()ln +1g x x=+，则21()x g x -'=， ……2分 因此，min ()(1)2g x g ==，即02a<.……6分……４分（2）当02a <时，由（1）知，当(0,)x ∈+∞时，()f x 单调递增. ……7分又(1)0f =，当(0,1)x ∈，()0f x <；当(1,)x ∈+∞时，()0f x >. ……9分 故不等式(1)()0x f x -恒成立． ……10分若2a >，ln (1)1()x x a x f x x+-+'=，设()ln (1)1p x x x a x =+-+，令()ln 20p x x a '=+-=，则2e 1a x -=>. …12分 当2(1,e )a x -∈时，()0p x '<，()p x 单调递减，则()(1)20p x p a <=-<，则()()0p x f x x'=<，所以当2(1,e )a x -∈时，()f x 单调递减， ……14分 则当2(1,e )a x -∈时，()(1)0f x f <=，此时(1)()0x f x -<，矛盾. ……15分 因此，02a <. ……16分20．解：（1）由题意得2214(1)n n n a na ++=，因为数列{}n a 各项均正，得22141n n a a n n +=+2= ……2分2=，所以是以1a 为首项公比为2的等比数列.……4分（2）由（1112n a -=⋅，12n n a a -=，22114n n n n n a a n b t t -==， ……5分 如果数列{}n b 是等差数列，则2132b b b =+，……6分得：2212023111123244423a a a t t t --⋅⋅=+，即2316148t t t=+，则216480t t -+=， 解得 14t =，212t =. ……7分当14t =时，214n a nb =，2221111(1)444n n a n a n a b b ++-=-=，数列{}n b 是等差数列，符合题意； ……8分当2t =12时，2143n na nb =⋅，2222111241244242211434343162a a a b b a +=+==⋅⋅⋅，2132133428231b a a ==⋅⋅，2432b b b +≠，数列{}n b 不是等差数列，2t =12不符合题意；……9分 综上，如果数列{}n b 是等差数列，4t =.……10分（3）由（2）得214n a nb =，对任意的n ∈N *，均存在m ∈N *，使24211816n m a S a n b -=，则4242111(1)816424a n n a m a n +⋅-=，所以214na m =. ……12分当12a k =，k ∈N *，此时2244k n m k n ==，对任意的n ∈N *，符合题意； ……14分当121a k =-，k ∈N *，当1n =时，22441144k k m k k -+==++. 不合题意. …15分综上，当12,a k k =∈N *，对任意的n ∈N *，均存在m ∈N *，使24211816n m a S a n b -=.……16分（第Ⅱ卷 理科附加卷）21．【选做题】本题包括A ，B ，C ，D 四小题，每小题10分.A ．（选修4－1 几何证明选讲）. 解：连结OC ，由于l 是圆的切线，故OC l ⊥，因为AD l ⊥，所以AD ∥OC ， ……2分 因为AB 是圆O 的直径，6AB =，3BC =， 所以60∠=∠=︒ABC BCO ,则DAC ∠=906030ACO ∠=︒-︒=︒. ……4分23cos30AC =⋅︒=sin30DC AC =︒=，9cos302DA AC =︒=. ……7分 由切割线定理知，2DC DA DE =⋅， ……9分所以32DE =，则3AE =. ……10分 B ．（选修4—2：矩阵与变换）解：设M =a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，M 11811a b c d +⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦，M 122242a b c d ---+⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦⎣⎦⎣⎦， ……3分 ABC D O（第21—A 题图）E882224a b c d a b c d +=⎧⎪+=⎪⎨-+=-⎪⎪-+=⎩，，，，解得6244a b c d =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩，，，，即M =6244⎡⎤⎢⎥⎣⎦. ……5分（2）则令特征多项式62()(6)(4)8044f λλλλλ--==---=--， ……8分解得1282λλ==，.矩阵M 的另一个特征值为2. ……10分C ．（选修4—4：坐标系与参数方程）解：（1）圆1O 的直角坐标方程为224x y +=，①……3分由2πcos()24ρθ--=，得22(cos sin )2-+=ρρθθ，……4分222()2x y x y +-+=，故圆2O 的直角坐标方程为222220x y x y +---=，② ……6分 （2）②-①得经过两圆交点的直线为10x y +-=， ……8分该直线的极坐标方程为cos sin 10ρθρθ+-=. ……10分D ．（选修4—5：不等式选讲）解：因为：2(111)(313131)a b c +++++++, ……7分由于3a b c ++=16，当且仅当1a bc ===时6. ……10分【必做题】第22，23题，每小题10分，计20分.22．解：（1）设AC ，BD 交于点O ，在正四棱锥P ABCD -中，OP ⊥平面ABCD .又2PA AB ==，所以OP =以O 为坐标原点，DA ，AB 方向分别是x 轴、y 轴正方向，建立空间直角坐标系O xyz -，如图： ……1分 则(1,1,0)A -，(1,1,0)B ，(1,1,0)C -，(1,1,0)D --，P故21122(,,)3333OM OA AM OA AP =+=+=-，111(,,0)333ON OB ==， ……3分 所以222(0,,)33MN =-，(1,1,2)PC =--， 3cos ,2MN PC MN PC MN PC⋅<>==，所以MN 与PC 所成角的大小为π6. ……5分（2）(1,1,2)PC =--，(2,0,0)CB = ，42(,,0)33NC =-.设(,,)x y z =m 是平面PCB 的一个法向量，则0PC ⋅=m ,0CB ⋅=m ， 可得20,0,x y z x ⎧-+-=⎨=⎩令0x =，2y =，1z =，即(0,2,1)=m ， ……7分设111(,,)x y z =n 是平面PCN 的一个法向量，则0PC ⋅=n ，0CN ⋅=n ， 可得1111120,20,x y z x y ⎧-+-=⎨-+=⎩ 令12x =，14y =，12z =，即(2,4,2)=n ， …9分52533cos ,33322⋅<>===⨯m nm n m n ，则二面角N PC B --的余弦值为53333.……10分23．证明：（1）因为πsintan 2nn n a θ=. 当n 为偶数时，设2n k =，2222πsintan sin πtan 02kk n k k a a k θθ===⋅=，0n a =.…1分 当n 为奇数时，设21n k =-，21(21)ππsintan sin(π)tan 22n n n k k a a k θθ--===-⋅. 当2k m =时，21ππsin(2π)tan sin()tan tan 22n n n n k a a m θθθ-==-⋅=-⋅=-，此时1212n m -=- ，121221tan (1)tan (1)tan n n m nn n k a a θθθ---==-=-=-.……2分 当21k m =-时，213π3πsin(2π)tan sin()tan tan 22n n n n k a a m θθθ-==-⋅=-⋅=，DNMABC P（第22题图）Ox yz此时1222n m -=-， 122221tan (1)tan (1)tan n n m nn n k a a θθθ---===-=-. 综上，当n 为偶数时，0n a =；当n 为奇数时，12(1)tan n n n a θ-=-. ……3分（2）当1n =时，由（1）得：212tan S a a θ=+=，121sin21(1)tan 2n n θθ+⎡⎤+-⎣⎦=()2211sin 21tan sin cos tan 2cos θθθθθθ+=⋅⋅=. 故1n =时，命题成立……5分假设n k =时命题成立，即1221sin21(1)tan 2k kk S θθ+⎡⎤=⋅+-⎣⎦. 当1n k =+时，由（1）得：2(1)22122221k k k k k k S S a a S a ++++=++=+=12211sin21(1)tan (1)tan 2k k k k θθθ++⎡⎤⋅+-+-⎣⎦ ……6分=122112sin 21(1)tan (1)tan 2sin 2k k k k θθθθ++⎡⎤⋅+-+-⋅⎢⎥⎣⎦ =2222112sin 21(1)tan ()2tan sin 2tan k k θθθθθ++⎡⎤⋅+-⋅-+⎢⎥⎣⎦ 2222221cos 1sin 21(1)tan ()2sin sin k k θθθθθ++⎡⎤=⋅+-⋅-+⎢⎥⎣⎦ =()2221sin21(1)tan 2k k θθ++⋅+-⋅ 即当1n k =+时命题成立. ……9分 综上所述，对正整数n 命题成立. ……10分。