12.26-二次量子化-费米子情形
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
二次量子化:费米子情形
1. 费米子子的全反对称态
设共有������个单粒子态{|������1⟩, ������2 , … |������������⟩}, 共有������个费米子, 则必有 ������ ≤ ������.
������ = 4, ������ = 3
如果我们坚持对������个粒子使用标号, 可将第������个粒子所占据的态的 1
会生成������!个项, 组成一个全反对称态.
������(1)
������
������,������ ������
=
1 ������!
[������������
(������1 1
|������������1 ⟩)(
������������2
…
������������������
) + [������������ ( ������������1 )(������1 1 |������������2⟩…
要求对该态总任意两个态指标的对换都是反对称的.
若引入具有反对易关系的产生算符: ���������†��� , ���������†��� = 0 → (���������†��� )2= 0, 则可写 |������⟩���(������������������,���������������) = ���������†���1 … ���������†���������|0,0,…, 0⟩
⟩…
������������������
1
2
|������1⟩ |������2⟩ |������3⟩
|������⟩���(���3,2) = |1,1,0⟩
我们规定������个费米子按1 ≤ ������1 < ������2…< ������������ ≤ ������标号.
Fock态与全反对称态的等价: |������⟩���(������������������,���������������) = |������1, ������2,…, ������������ ⟩
其中求和针对态指标集合 ������1, ������2, … , ������������ 中的元素的所有置换.
例如, 对于右图中的情况有: ������������ ������1 ������2 = ������1 ������2 − ������1 ������2
归一化因子: 态������������|������������1⟩|������������2⟩… ������������������ 是全反对称的, 但不是归一化的. 与玻色情况不同, 对于多费米子态, 其归一化很简单:
������
������<������
求出了一次量子化哈密顿������在|������⟩���(���������,������)下的矩阵元, 也就求出了������的二次量子化形式ℋ.
由于Fock态由N个态指标������1 < ������2…< ������������完全确定, 因此可写 |������⟩���(������������������,���������������) = |������1, ������2,…, ������������⟩
例如,
������项
������! 项
������(1)
������
3,2 ������
=
������1 1 + ������2 1
1 2 ������������1 ������������2 − |������������2⟩|������������1⟩)
1
|������1⟩
=
1 2
������1 1
2
3
指标记为������������. 显然有������������ ∈ 1,2, … , ������ .
采用1 ≤ ������1 < ������2…< ������������ ≤ ������ 的标号方式是方便的.
例如, 对右图有������1 = 1, ������2 = 2, ������3 = 4, 于是可写为直积态: |������1⟩|������2⟩|������4⟩.
=
⟨������������������ |������ (1) |������������������ ⟩
1 ������! ������������ ������������1 … (|������������������⟩)… ������������������
������������(≠������1,…,������������−1,������������+1,…,������������)
������
=
⟨������������������|������(1)|������������������⟩ ���������†���1 … ���������†��������� … ���������†���������|0,0, …, 0⟩
������������(≠������1,…,������������−1,������������+1,…,������������)
|������⟩���(������������������,���������������) = |������1, ������2,…, ������������ ⟩ Q: 如何利用单粒子态{|������1⟩, ������2 , … |������������⟩}来表示Fock态|������⟩���(���������,������)?
2. 单粒子算符������(1) = σ������ ������������(1)
单粒子算符������(1)对全对称态|������⟩���(���������,������)的作用:
由于������(1)对粒子置换是对称的, 因此态������(1)|������⟩���(���������,������)也是一个全反对称态.
������2 − ������1 1 |������������2⟩|������������1⟩) +
1 2
������������1 ������2 1 ������������2 − |������������2⟩������2 1 |������������1⟩)
|������⟩���(���������,������) =
1 ������!
������������
|������������1
⟩|������������2
⟩…
������������������
ℋ =?
������ = ������(1) + ������(2) = ������������(1) + ������������(<2)������
|������1⟩ |������2⟩
|������������⟩
|������⟩���(���4,3) = |1,1,0,1⟩
Fock态:
由于������个粒子是全同的, 因此可以避免谈“哪个粒子”, 而谈及“哪个单粒子态被几个粒子占据”. 设 单粒子态 ������������ 被������������(只能为0或1)个费米子占据(例: ������1 = 1, ������2 = 1, ������3 = 0, ������4 = 1), 则有 σ���������=��� 1 ������������ = ������. 这样的一个态可以由所谓的(归一化的)Fock态给出:
|������⟩���(���������,������) =
1 ������!
������������
|������������1
⟩|������������2
⟩…
������������������
1 ������! ������������1 ������������2 − ������������2 ������������1 ) 1 ������! ������������2 ������������1 − ������������1 ������������2 )
������������������
)+⋯]
=
1 ������ ������! ������������
������������1
… (������������ 1 |������������������⟩)…
������������������
������
≡ ������������
������=1
������������|������������1⟩|������������2⟩… ������������������ = σ������(−1)������(������) ������������ ������1 ������������ ������2 … |������������(������������)⟩(1)
������������=1
引入费米子湮灭算符:
������������ = (���������†��� )†, 它们满足: {������������, ���������†��� } = ������������������
������������|������������1⟩|������������2⟩… ������������������ 的展开式中共有������! 项
|������⟩���(���������,������) =
1 ������!
������������
|������������1
⟩|������������2
2
|������2⟩
|������3⟩
即������(1)
������
������,������ ������
共有������������!项.
事实上,
|������������1⟩|������������2⟩…������������ 1
������������������ … ������������������
|������⟩���(������������������,���������������) = ���������†���1 … ���������†���������|0,0,…, 0⟩ ���������†���1���������†���2|0,0,…, 0⟩ ���������†���2���������†���1|0,0,…, 0⟩
������=1
为了计算矩阵元, 我们将|������������⟩按单粒子态展开:
|������������⟩ ≡
������
1 ������! ������������
������������1
… (������������ 1 |������������������⟩)…
������������������
对称性假设说明我们应该必须对直积态进行反对称化才能描述������个全同粒子的态.
全反对称化操作: 首先注意对于费米子不存在诸如������������ = ������������+1的情况. 对于参考态|������������1⟩|������������2⟩… |������������������⟩,定义算符������������, 使得态
= ⟨������������������|������(1)|������������������⟩
1 ������! ������������ ������������1 … (|������������������⟩)… ������������������
������
������������=1
������
= ⟨������������������|������(1)|������������������⟩ ���������†���1 … ���������†��������� … ���������†���������|0,0, …, 0⟩
������������=1
������
= ⟨������������������|������(1)|������������������⟩ ���������†������������������������������������†���1 … ���������†��������� … ���������†���������|0,0, …, 0⟩
1. 费米子子的全反对称态
设共有������个单粒子态{|������1⟩, ������2 , … |������������⟩}, 共有������个费米子, 则必有 ������ ≤ ������.
������ = 4, ������ = 3
如果我们坚持对������个粒子使用标号, 可将第������个粒子所占据的态的 1
会生成������!个项, 组成一个全反对称态.
������(1)
������
������,������ ������
=
1 ������!
[������������
(������1 1
|������������1 ⟩)(
������������2
…
������������������
) + [������������ ( ������������1 )(������1 1 |������������2⟩…
要求对该态总任意两个态指标的对换都是反对称的.
若引入具有反对易关系的产生算符: ���������†��� , ���������†��� = 0 → (���������†��� )2= 0, 则可写 |������⟩���(������������������,���������������) = ���������†���1 … ���������†���������|0,0,…, 0⟩
⟩…
������������������
1
2
|������1⟩ |������2⟩ |������3⟩
|������⟩���(���3,2) = |1,1,0⟩
我们规定������个费米子按1 ≤ ������1 < ������2…< ������������ ≤ ������标号.
Fock态与全反对称态的等价: |������⟩���(������������������,���������������) = |������1, ������2,…, ������������ ⟩
其中求和针对态指标集合 ������1, ������2, … , ������������ 中的元素的所有置换.
例如, 对于右图中的情况有: ������������ ������1 ������2 = ������1 ������2 − ������1 ������2
归一化因子: 态������������|������������1⟩|������������2⟩… ������������������ 是全反对称的, 但不是归一化的. 与玻色情况不同, 对于多费米子态, 其归一化很简单:
������
������<������
求出了一次量子化哈密顿������在|������⟩���(���������,������)下的矩阵元, 也就求出了������的二次量子化形式ℋ.
由于Fock态由N个态指标������1 < ������2…< ������������完全确定, 因此可写 |������⟩���(������������������,���������������) = |������1, ������2,…, ������������⟩
例如,
������项
������! 项
������(1)
������
3,2 ������
=
������1 1 + ������2 1
1 2 ������������1 ������������2 − |������������2⟩|������������1⟩)
1
|������1⟩
=
1 2
������1 1
2
3
指标记为������������. 显然有������������ ∈ 1,2, … , ������ .
采用1 ≤ ������1 < ������2…< ������������ ≤ ������ 的标号方式是方便的.
例如, 对右图有������1 = 1, ������2 = 2, ������3 = 4, 于是可写为直积态: |������1⟩|������2⟩|������4⟩.
=
⟨������������������ |������ (1) |������������������ ⟩
1 ������! ������������ ������������1 … (|������������������⟩)… ������������������
������������(≠������1,…,������������−1,������������+1,…,������������)
������
=
⟨������������������|������(1)|������������������⟩ ���������†���1 … ���������†��������� … ���������†���������|0,0, …, 0⟩
������������(≠������1,…,������������−1,������������+1,…,������������)
|������⟩���(������������������,���������������) = |������1, ������2,…, ������������ ⟩ Q: 如何利用单粒子态{|������1⟩, ������2 , … |������������⟩}来表示Fock态|������⟩���(���������,������)?
2. 单粒子算符������(1) = σ������ ������������(1)
单粒子算符������(1)对全对称态|������⟩���(���������,������)的作用:
由于������(1)对粒子置换是对称的, 因此态������(1)|������⟩���(���������,������)也是一个全反对称态.
������2 − ������1 1 |������������2⟩|������������1⟩) +
1 2
������������1 ������2 1 ������������2 − |������������2⟩������2 1 |������������1⟩)
|������⟩���(���������,������) =
1 ������!
������������
|������������1
⟩|������������2
⟩…
������������������
ℋ =?
������ = ������(1) + ������(2) = ������������(1) + ������������(<2)������
|������1⟩ |������2⟩
|������������⟩
|������⟩���(���4,3) = |1,1,0,1⟩
Fock态:
由于������个粒子是全同的, 因此可以避免谈“哪个粒子”, 而谈及“哪个单粒子态被几个粒子占据”. 设 单粒子态 ������������ 被������������(只能为0或1)个费米子占据(例: ������1 = 1, ������2 = 1, ������3 = 0, ������4 = 1), 则有 σ���������=��� 1 ������������ = ������. 这样的一个态可以由所谓的(归一化的)Fock态给出:
|������⟩���(���������,������) =
1 ������!
������������
|������������1
⟩|������������2
⟩…
������������������
1 ������! ������������1 ������������2 − ������������2 ������������1 ) 1 ������! ������������2 ������������1 − ������������1 ������������2 )
������������������
)+⋯]
=
1 ������ ������! ������������
������������1
… (������������ 1 |������������������⟩)…
������������������
������
≡ ������������
������=1
������������|������������1⟩|������������2⟩… ������������������ = σ������(−1)������(������) ������������ ������1 ������������ ������2 … |������������(������������)⟩(1)
������������=1
引入费米子湮灭算符:
������������ = (���������†��� )†, 它们满足: {������������, ���������†��� } = ������������������
������������|������������1⟩|������������2⟩… ������������������ 的展开式中共有������! 项
|������⟩���(���������,������) =
1 ������!
������������
|������������1
⟩|������������2
2
|������2⟩
|������3⟩
即������(1)
������
������,������ ������
共有������������!项.
事实上,
|������������1⟩|������������2⟩…������������ 1
������������������ … ������������������
|������⟩���(������������������,���������������) = ���������†���1 … ���������†���������|0,0,…, 0⟩ ���������†���1���������†���2|0,0,…, 0⟩ ���������†���2���������†���1|0,0,…, 0⟩
������=1
为了计算矩阵元, 我们将|������������⟩按单粒子态展开:
|������������⟩ ≡
������
1 ������! ������������
������������1
… (������������ 1 |������������������⟩)…
������������������
对称性假设说明我们应该必须对直积态进行反对称化才能描述������个全同粒子的态.
全反对称化操作: 首先注意对于费米子不存在诸如������������ = ������������+1的情况. 对于参考态|������������1⟩|������������2⟩… |������������������⟩,定义算符������������, 使得态
= ⟨������������������|������(1)|������������������⟩
1 ������! ������������ ������������1 … (|������������������⟩)… ������������������
������
������������=1
������
= ⟨������������������|������(1)|������������������⟩ ���������†���1 … ���������†��������� … ���������†���������|0,0, …, 0⟩
������������=1
������
= ⟨������������������|������(1)|������������������⟩ ���������†������������������������������������†���1 … ���������†��������� … ���������†���������|0,0, …, 0⟩