任意等分圆周的尺规作图法

用尺规将圆周五等分的两种作图法是精确方法吗

1.2.BC 线段的长度
如果设圆的半径为 1。因为 OA=0.5,
而 OB=1，所以，
AB= 12 + 0.52 =
5
1.25 =
2
而 OC=AC-0.5,又因为 AC=AB,即 OC=
1.25-0.5，所以， BC= 12 + ( 1.25 ‒ 0.5)2 = 2.5 ‒ 1.25
即，按以上作图法求出的圆内接正五边形的边长 BC 为：
为了简便起见，仍然设被等分
圆的半径等于 1；同时利用上一作图
法证明中已经得到的:
AB =
5 2
下面我们通过圆的方程求 F、J 点的坐标值，求 FH 和 FJ 线段的长度，
检验这两个线段是否等于 a=2 ��36°。
被等分圆的方程为：
��2 + ��n72°cos72°(正弦函数的倍角公式)
2sin72°con72°=4 sin36°con36°cos72°
即 sin36°=4 sin36°cos36°cos72°
1
或 cos36°cos72°=4 而 cos72°= cos(2×36°)=��236° ‒ ��236°(余弦函数的倍角公式) 由于，��236° = 1 ‒ ��236°（即��2�� + ��2�� = 1）
用尺规五等分圆周的两种方法是精确方法吗？
几何课程中用尺规将圆周五等分，有附图 1 和附图 2 所示的两种方法。本文的问题为：这两种方法是理论上的精确方法吗？分别说明如下：

圆周及弧的实用精确等分

圆周及弧的实用精确等分湖南娄底华达技校黄正洪人们不能用尺规对圆周和弧作任意等分，对此情形我曾在CIP书号为2015185547的[费马大定理的一个初等证明]的[试论作图题的重要性]一文中叙述为：用尺规作图的方法，我们只可以对圆周进行二等分、三等分、四等分、五等分、及这些等分的2n倍等分……我们不能对圆周进行七等分、九等分、十一等分、十三等分……此言下之意即为，圆周和弧的尺规等分一直都在困扰着人们的思绪，但是在工程实践中，此一问题的存在又是一个实实在在的大问题，且一直到现在为止，人们借助等分工具也还是没有一种完全有效的办法能够彻底解决此结之忧。

故有需要之时，人们不得不采用估算、测量、逼近或近似作图的方法去权宜面对，而权宜面对的结局往往不令人满意。

究竟有没有切实可行的手段能突破这个数学王国里传留的难题呢？有道是山不转水转，既然在二维的平面上不能用尺规作图的方式去圆我们的圆周和弧的精确等分之梦，那么我们就另辟蹊径去通向光明。

众所周知，圆锥体及其想象延伸体的表面包含了天下所有的圆周和弧，它们在三维空间里的呈现是那么的光彩夺目，是那么的脉脉含情，就让我们从这缘份里开始探索吧，精诚所至必能金石为开。

《一》：准备一个顶角为060、高为200的正圆锥体，由于确定了锥顶角为060，知正圆锥体的正面投影是一等边三角形，进而知此圆锥体的母线之长刚好与底圆直径相等，规定此圆锥体能沿其铅垂轴心线能作上下平移。

我们把这样一个圆锥体叫做等分工具锥。

《二》：准备一根已标记有n个等分点的专用细线，将其首尾重叠，然后固定细线的多余部分，这样就形成了一个边长相等的任意n 边形，规定这个n边形的边长之和不得超过工具锥底圆的周长。

《三》：将任意n边形套在等分工具锥上。

《四》：将一个直径若30、长若200、用软材料制成的薄壁圆柱开口刷悬置于工具锥铅垂轴心线的正上方，且确定此圆柱开口刷的每一刷片受力时能同时均等向外侧沿锥面阔开而形变成锥台。

几何中的尺规作图法

第七讲尺规作图尺规作图的基本知识一、几何作图的含义和意义含义：给泄条件，设法作具备这些条件的图形，能据条件作出图形或作不岀图形，故几何作图是存在问题的证明。

意义：建立学生具体几何观念的重要手段，是克服死记硬背左理的好办法：学以致用：为制图学提供理论基础：培养逻辑思维能力。

二、作图公法（1）通过两个已知点可作一直线；（2）已知圆心和半径作圆：（3）若两已知直线相交，或一已知直线和一已知圆（或圆弧）相交，或两已知圆相交，则可作出其交点。

上面三条叫作图公法。

若一个图不能有限次根据作图公理作岀图形，则叫几何作图（或尺规作图）不能问题。

三、作图成法我们把根据作图公法或一些已经解决的作图题而完成的作图，叫做作图成法。

它可以在以后的作图中直接应用。

下而列举一些：（1）任意延长已知线段。

（2）在已知射线上自端点起截一线段等于已知线段。

（3）以已知射线为一边，在指泄一侧作角等于已知角。

（4）已知三边，或两边及夹角，或两角及夹边作三角形。

（5）已知一直角边和斜边，作直角三角形。

（6）作已知线段的中点。

（7）作已知线段的垂直平分线。

（8）作已知角的平分线。

（9）过已知直线上或直线外一已知点，作此直线的垂线。

（10）过已知直线外已知点，作此直线的平行线。

（11）已知边长作正方形。

（12）以立线段为弦，已知角为圆周角，作弓形弧。

（14）过圆上或圆外一点作圆的切线。

（16）作已知圆的内接（外切）正三角形、正方形，或正六边形。

（17）作一线段，使之等于两已知线段的和或差。

（18）作一线段，使之等于已知线段的n倍或n等分。

（19）内分或外分一已知线段，它们的比等于已知比。

（20）作已知三线段a.b.c的第四比例项。

（21）作已知两线段匕“的比例中项。

（22）已知线段“丄作一线段为x = yla2+b2 .或作一线段为x = yjcr-b1（a>b）.四、解作图题的步骤①分析：遇到不是一目了然的作图题，常假左符合条件的图已做出，研究已知件和求作件间的关系，从而得到作图的线索。

用尺规来画图

第三步画圆弧：以O为圆心，以R为半径，在两连接点（切点）之间画弧。
图20 圆弧与圆弧内连接
4.作与已知圆相切的直线 1）直线与单圆相切与圆相切的直线，垂直于该圆心与切点的连线。因此，利用三角板的两直角边，便可作圆的切线，方法如图21所示。
图21 直线与圆弧相切
• 2）直线与两圆相切（方法如图22所示）
1.3.3 圆弧连接在绘制零件的轮廓形状时，经常遇到用一圆弧光滑地连接相邻两已知线段。例如在图17中，要用圆弧R16连接两直线，用圆弧R12连接一直线和一圆弧，用圆弧R35连接两圆弧等。这种用一段圆弧光滑地连接另外两条已知线段（直线或圆弧）的作图方法称为圆弧连接。
图17 圆弧连接实例
1.圆弧的连接作图的基本步骤（1）求作连接圆弧的圆心，它应满足到两被连接线段的距离均为连接圆弧的半径的条件。（2）找出连接点，即连接圆弧与被连接线段的切点。
方法二：用三角板作图以60º三角板配合丁字尺作平行线，画出四条边斜边，再以丁字尺作上、下水平边，即得圆内接正六边形，如图12(b)所示。
图12 正六边形画法
（3）正n边形（以正七边形为例）（如图13所示） n等分铅垂直径AK（在图中n = 7），以A点为圆心，AK为半径作弧，交水平中心线于点S，延长连线S2、S4、S6，与圆周交得点G、F、E，再作出它们的对称点，即可作出圆内接正n边形。
（2）定连接点（切点）从圆心O向两已知直线作垂线，垂足即为连接点（切点）（3）以O为圆心，以R为半径，在两连接点（切点）之间画弧。
图18 圆弧与直线连接
3.圆弧间的圆弧连接连接圆弧的圆心和连接点的求法，圆弧与圆弧分为外连接、内连接和混合连接。 1）用连心线法求连接点（切点）根据已知圆弧的半径R1或R2 和连接圆弧的半径R计算出连接圆弧的圆心轨迹线圆弧的半径R′：

圆周及弧的实用精确等分

圆周及弧的实用精确等分湖南娄底华达技校黄正洪人们不能用尺规对圆周和弧作任意等分，对此情形我曾在CIP书号为2015185547的［费马大定理的一个初等证明］的［试论作图题的重要性］一文中叙述为：用尺规作图的方法，我们只可以对圆周进行二等分、三等分、四等分、五等分、及这些等分的〃倍等分……我们不能对圆周进行七等分、九等分、十一等分、十三等分……此言下之意即为，圆周和弧的尺规等分一直都在困扰着人们的思绪，但是在工程实践中，此一问题的存在又是一个实实在在的大问题，且一直到现在为止，人们借助等分工具也还是没有一种完全有效的办法能够彻底解决此结之忧。

故有需要之时，人们不得不采用估算、测量、逼近或近似作图的方法去权宜面对，而权宜面对的结局往往不令人满意。

究竟有没有切实可行的手段能突破这个数学王国里传留的难题呢？有道是山不转水转，既然在二维的平面上不能用尺规作图的方式去圆我们的圆周和弧的精确等分之梦，那么我们就另辟蹊径去通向光明。

众所周知，圆锥体及其想象延伸体的表面包含了天下所有的圆周和弧，它们在三维空间里的呈现是那么的光彩夺目，是那么的脉脉含情，就让我们从这缘份里开始探索吧，精诚所至必能金石为开。

《一》：准备一个顶角为600、高为200的正圆锥体，由于确定了锥顶角为600，知正圆锥体的正面投影是一等边三角形，进而知此圆锥体的母线之长刚好与底圆直径相等，规定此圆锥体能沿其铅垂轴心线能作上下平移。

我们把这样一个圆锥体叫做等分工具锥。

《二》：准备一根已标记有几个等分点的专用细线，将其首尾重叠，然后固定细线的多余部分，这样就形成了一个边长相等的任意几边形，规定这个几边形的边长之和不得超过工具锥底圆的周长。

《三》：将任意八边形套在等分工具锥上。

《四》：将一个直径若30、长若200、用软材料制成的薄壁圆柱开口刷悬置于工具锥铅垂轴心线的正上方，且确定此圆柱开口刷的每一刷片受力时能同时均等向外侧沿锥面阔开而形变成锥台。

《五》：将工具锥沿铅垂轴心线向上平移，此时圆柱开口刷因被动受力而压实了任意八边形。

关于圆周九等分的尺规作图技巧探究

关于圆周九等分的尺规作图技巧探究作者：贺健琪来源：《陕西教育·高教版》2012年第10期[摘要] 在《机械制图》的几何作图部分，圆周质数等分（7、9、11……）的尺规绘图技巧一直以来是几何作图的一个盲区，在普通《机械制图》教材中只介绍圆周五等分的尺规近似作图方法和技巧，受圆周五等分的尺规作图方法的启发，本人对圆周的质数等分的尺规作图技巧产生了浓厚的兴趣，借助AutoCAD软件，经过大量试验和实践，2011年发现了圆周7等分的比较精准的尺规作图方法，论文发表在《陕西教育》2011年第9期，之后着手开始寻找圆周9等分的作图技巧，现将具体等分方法演示如下。

[关键词] 圆周等分尺规作图技巧引言凡是参与绘制图样的工作人员和参与绘图教学的教师，在实际工作和教学过程中，经常会遇到将圆周等分的问题，特别是需要将圆周作质数等分（7、9、11……）的时候，离开了计算机和量角器，我们将感到无从下手，自从大量试验并总结出圆周7等分的作图技巧之后，我就坚信一定可以找到圆周9等分的作图技巧，试验的主要思路依然是：将圆周直径作等分，绘制某段圆弧或圆弧的弦长，在圆周上产生交点，求得正9边形的边长。

试验中不断出现误差、失败，再不断地进行修正、逼近，正是：功夫不负有心人，有付出就有回报，我终于找到了一种圆周9等分的简捷作图技巧，现将我发现的圆周9等分的尺规作图技巧及步骤演示如下：以和大家商榷！圆周九等分作图步骤1.如（图1.1）所示，绘制直径为200mm的圆，作圆周横向直径MN，过N点作射线并将其做九等分，求出MN的九分之一点F，A为圆周上象限点。

2.如（图1.2）所示，以点F为圆心、以FO为半径画圆，并与等分圆的圆周交于B点，则AB即为圆内接九边形的边长。

3.如（图1.3）所示，以AB为弦长在等分圆周上依次截出分点B、C、D、E、B1、C1、D1、E1，完成圆内接九边形。

4.验证：如（图1.4）所示，以上作图是用AutoCAD准确作图，对于直径为200mm的圆来说，最后一边EE1的长度为68.34mm，其余各边的长度为68.41mm，误差仅为0.07mm。

趣题：如何用尺规作图将圆面积N等分

趣题：如何用尺规作图将圆面积N等分一条直径可以把圆面积二等分。

两条互相垂直的直径可以把圆面积四等分。

不过，对于任意的N，将圆面积等分为N个部分并不容易，因为圆周上的N等分点并不总是能用圆规和直尺做出来。

1801年，Gauss证明了当n为2的幂和若干Fermat素数的乘积时，正n边形可以用尺规作出图来，同时他猜想这也是必要条件。

1837年，Pierre Wantzel证明了这个条件的必要性。

第一个无法用尺规完成作图的正多边形是正七边形，也就是说你永远无法仅用直尺和圆规找出圆周上的七等分点。

不过，这并不意味着我们不能将圆面积分成面积相等的七份。

事实上，有一种方法可以将圆分成N个面积相等的部分，其中N可以为任意正整数。

你能想到这种方法吗？如果我们还要求各部分周长也相等呢？上图就是一种将圆面积等分为七块的示意图。

这些同心圆的半径分别为√1/7, √2/7, ..., √6/7。

注意这些值都是可以用尺规作出来的。

注意两直角边分别为1和√a的直角三角形，斜边为√a+1。

从a=1开始出发不断迭代，我们可以依次作出√2、√3、√4等值，再利用相似三角形即可完成除法操作。

不过，这个分法并不算一个“正统”的分割方法。

如果我们要求每个线条都必需从圆周上出发，并且落脚于圆周上的另一点呢？存在很多等分圆面积的切分方案，但我们却不能用尺规作出来。

例如，用N-1根平行的直线总能把圆面积等分为N份，可惜每根直线的位置在哪里需要用到微积分计算，其结果是一个超越方程，无法用尺规作图完成。

当然，能用尺规作图完成的分割方法还是有的，不过要想到这种方法并不容易。

我们首先作出直径上的七等分点（注意尺规N等分给定线段是可以办到的——可以利用前面的相似三角形做法得到1/N的长度），然后像图中那样依次作出12个半圆弧。

做一些简单的计算就可以验证，这些半圆弧形成的七个区域的面积确实是相等的。

另外，值得一提的是，这个切分方法还有一个神奇的性质：它的每一部分的周长都是相等的。

尺规三等分圆周法及精确性证明

尺规三等分圆周法及精确性证明我们似乎没有学过用尺规将圆周三等分的作图法，今发现尺规也可以将圆周三等分，并且这种方法是一种理论上的精确方法，介绍如下：
附图介绍了用尺规将圆周三等分
的步骤：首先以D为圆心以圆的半径
为半径画弧，较圆周于B和C两点，
连接B、C两点交OD于A，A显然为
OD的中点；然后以B为圆心、以BC
为半径画弧，交圆周于E点；则BCE
三点将圆周等分为三份。

该作图法是理论上的精确方法吗？现作如下检验：
为方便起见，设被等圆的半径为1。

则圆外接正三角形BCE的边长a 应该为：
a=2sin(360°÷3÷2)=2sin60°=3
在直角三角形OAB中，OB=1，OA=0.5，则AB的长度为：
AB=OB2‒OA2=12‒0.52=0.75=
3 2
BC=2AB=2×
3
2
=3
因此证明该作图法是一种精确方法。

（2019年10月16日于威海）。

cad等分圆周的方法

cad等分圆周的方法在数学中，将一个圆的圆周分成多个等分的方法被称为“等分圆周”。

等分圆周是进行各种几何和三角学问题计算的基础，因此有许多方法可以用来等分圆周。

下面将介绍几种常用的等分圆周方法。

1.平分圆周：平分圆周是将圆周分成相等的n份。

最简单的方法是使用直尺和细线，将直径和圆周连起来，然后将细线按照需要的份数分开。

也可以利用圆规和直尺的方法：将圆规的一只脚放在圆心，另一只脚放在圆周上，然后画弧，重复这个过程，直到得到所需的份数。

2.利用正多边形：正多边形是指所有边和角相等的多边形。

将一个圆周等分成n份的方法之一是利用正n边形。

首先，以圆心为中心，画一个半径为r的大圆。

然后，根据正n边形的定义，将大圆分成n个相等的扇形。

最后，通过连接相邻的扇形的边，得到一个正n边形。

这样，圆周就被等分成了n份。

3.利用圆心角：圆心角是指以圆心为顶点的角。

将一个圆周等分成n份的方法之一是利用圆心角。

首先，以圆心为中心，画一个半径为r的大圆。

然后，根据圆心角的定义，将大圆分成n个相等的圆心角。

最后，在每个圆心角的两条射线上划分相同长度的弧，得到n个等分的圆周。

4.利用三等分角：三等分角是指将一个角分成三个相等的角。

将一个圆周等分成三等分的方法之一是利用三等分角。

首先，以圆心为中心，画一个半径为r的大圆。

然后，找到任意一条半径，将其在圆周上分成三等分的点，再通过这些点连接圆心，得到三等分角的射线。

最后，在每个射线上划分相同长度的弧，得到三个等分的圆周。

5.利用复杂图形：除了以上提到的方法，还可以利用复杂图形等分圆周。

例如，在圆周上画一个正五边形，然后通过将五个顶点连接到圆心，将圆周等分成五份。

同样的方法也适用于其他复杂图形，例如正六边形、正七边形等。

以上是几种常用的等分圆周方法，每种方法都有其适用的场合。

根据具体的问题和要求，可以选择其中的一种或多种方法进行等分圆周。

这些方法都遵循数学准则，通过合理的构造和计算，能够准确地等分圆周，为解决各种几何和三角学问题提供了基础。

第二节平面图形的基本作图方法

第二节平面图形的基本作图方法(建议4课时)考纲要求掌握平面图形的基本作图方法。

知识网络知识要点一、基本几何作图方法(一)等分线段的方法1．平行线法：过所要等分线段的某一端点作一辅助线，两线成任意锐角，在辅助线上截取几等份，连接辅助线端点及所等分线段的端点，在辅助线的各等分点上依次作端点连线的平行线，即将线段分成若干等份。

2．分规试分法：用分规以某一长度试分线段，不断调整分规两脚距离，直至等分完成。

(二)圆的等分1．尺规作图法：运用直尺、圆规，运用几何规律来等分。

要求能对圆周进行三、四、五、六等分的作图。

2．查表计算法：按公式a＝k·D(D为圆直径，k为等分系数)计算出正多边形每边长度，然后依次在圆周上截取，即得。

这种方法适合于任意等分圆周。

(三)椭圆的画法1．同心圆法(理论画法)：先求出曲线上一定数量的点，再用光滑的曲线将各点连接起来。

2．四心法(近似画法)：求出画椭圆的四个圆心和半径，用四段圆弧近似地代替椭圆。

(四)斜度与锥度画法1．斜度：一直线(或平面)对另一直线(或平面)的倾斜程度。

表示符号：∠或>，符号的方向应与斜度的方向一致。

2．锥度：指正圆锥体底圆直径与锥高之比。

表示符号⊲或⊳，符号所示方向应与圆锥方向一致。

3．斜度与锥度的比值均要写成1∶n的形式，如∠1∶n或⊲1∶n。

4．标注锥度时，锥度符号配置在基准线上，表示圆锥的图形符号和锥度应靠近轮廓标注，基准线应通过指引线与圆锥的轮廓素线相连。

基准线应与圆锥的轴线平行，图形符号的方向与圆锥方向一致。

当所标注的锥度是标准圆锥系列之一时，可用标准系列号和相应的标记表示。

(五)圆弧连接1．圆弧连接的实质，就是要使连接圆弧与相邻线段相切，以达到圆弧连接处光滑过渡的要求，切点即为连接点。

2．圆弧连接的基本作图步骤：(1)求作连接圆弧圆心；(2)找切点；(3)画连接圆弧。

作图时第(2)步找切点不要忽视，因为切点是连接圆弧的起点和终点，必须要找出。

谈等分圆周的数学原理

谈五等分圆周的数学原理摘要：本文探讨尺规作图五等分圆周的数学原理。

在机械制图教科书[1][2]上，都介绍这样的用圆规、直尺五等分圆周的作法（如图1）：1、作圆O2、作直径MN3、过O 作MN 的垂线AO 交圆O 于A4、作OM 的中点P5、以P 为圆心，PA 长为半径作圆弧交直径ＭＮ于Ｑ6、以Ａ为圆心，ＡＱ为半径作圆弧，交圆Ｏ于Ｂ，Ｅ，再分别以Ｂ，Ｅ为圆心，ＡＱ长为半径作圆弧，交圆O 于C ，D 。

7、边结ABCDE ，多边形ABCDE 是正五边形人们不禁要问：这种作法精确吗？是近似作法？还是精确作法？其数学原理是什么？设图O 的半径为1，根据以上作法，则OP=12，PQ=PA=2，QO=PQ 12-=12，所以另外，如图2圆O 的半径为1，ABCDE 为圆O 的内接正五边形，S 是AB 的中点，则A B O ⊥，3603610AOS BOS ︒︒∠=∠==，故边长22s i A B A S O A ︒==。

如果我们能够证明sin36︒=则上述作法就是五等分圆周的尺规作图方法，是精确作法。

下面我们推导sin36︒=，因为 sin36sin1442sin 72cos724sin36cos36cos72︒︒︒︒︒︒︒===，所以1cos36cos 724︒︒=。

由倍角公式，有()21cos362cos 3614︒︒-=，即cos36︒是下述三次方程38410x x --=的根。

因式分解得()()2214210x x x +--=故方程38410x x --=有下述三个根： ()()1231110,150,150244x x x =-=-=+，由于cos360,︒舍去12,x x ，故方程的唯一正根是cos36︒，所以cos36︒=，进而sin36︒== 由于根据作法AB =而已证sin 36︒=，所以图1中的2sin362sin36AB AO ︒︒==是半径为1的正五边形的一条边，多边形ABCDE 是正五边形，此种作法是精确作法。

初中尺规作图详细讲解(含图)【范本模板】

初中数学尺规作图讲解初等平面几何研究的对象，仅限于直线、圆以及由它们（或一部分）所组成的图形，因此作图的工具,习惯上使用没有刻度的直尺和圆规两种.限用直尺和圆规来完成的作图方法，叫做尺规作图法.最简单的尺规作图有如下三条：⑴经过两已知点可以画一条直线；⑵已知圆心和半径可以作一圆；⑶两已知直线；一已知直线和一已知圆；或两已知圆，如果相交，可以求出交点；以上三条，叫做作图公法。

用直尺可以画出第一条公法所说的直线；用圆规可以作出第二条公法所说的圆；用直尺和圆规可以求得第三条公法所说的交点.一个作图题，不管多么复杂，如果能反复应用上述三条作图公法,经过有限的次数，作出适合条件的图形，这样的作图题就叫做尺规作图可能问题；否则，就称为尺规作图不能问题.历史上，最著名的尺规作图不能问题是：⑴三等分角问题：三等分一个任意角；⑵倍立方问题:作一个立方体，使它的体积是已知立方体的体积的两倍；⑶化圆为方问题:作一个正方形，使它的面积等于已知圆的面积.这三个问题后被称为“几何作图三大问题"。

直至1837年,万芝尔(Pierre Laurent Wantzel）首先证明三等分角问题和立方倍积问题属尺规作图不能问题；1882年，德国数学家林德曼（Ferdinand Lindemann）证明π是一个超越数(即π是一个不满足任何整系数代数方程的实数)，由此即可推得根号π（即当圆半径1r=时所求正方形的边长）不可能用尺规作出，从而也就证明了化圆为方问题是一个尺规作图不能问题。

若干著名的尺规作图已知是不可能的，而当中很多不可能证明是利用了由19世纪出现的伽罗华理论.尽管如此,仍有很多业余爱好者尝试这些不可能的题目，当中以化圆为方及三等分任意角最受注意。

数学家Underwood Dudley曾把一些宣告解决了这些不可能问题的错误作法结集成书.还有另外两个著名问题：⑴正多边形作法·只使用直尺和圆规，作正五边形.·只使用直尺和圆规，作正六边形。

关于圆周七等分的尺规作图探究

关于圆周七等分的尺规作图探究作者：贺健琪来源：《陕西教育·高教版》2011年第09期[摘要] 在《机械制图》的几何作图部分的教学中，必然会涉及到圆周被等分的问题，在普通《机械制图》教材中往往会介绍圆周五等分的尺规近似作图方法和技巧，但到目前为止其他质数等分的作图方法和技巧一直还没有比较精准的方法，受教材中圆周五等分的尺规作图方法的启发，本人对圆周的质数等分产生了浓厚的兴趣，借助AutoCAD软件，经过大量试验和实践，目前发现了圆周七等分的比较精准的尺规作图方法。

[关键词] 圆周等分尺规作图技巧引言在实际教学过程中，每当讲到圆周五等分的“近似”尺规作图方法的时候，心生感叹：第一个发现此方法的人真是不简单！那么，能不能有类似圆周五等分那样的尺规近似作图方法来对圆周进行七等分、九等分甚至十一等分呢？浓厚的兴趣促使着本人借助AutoCAD软件进行大量的摸索和试验，力图通过线段的分割、尺寸转移、线段搭桥嫁接等方式寻找圆内接正七边形的边长，也就是被等分圆周的弦长，功夫不负有心人，在大量的试验和实践之后，终于找到了圆周七等分的尺规近似作图方法，而且，误差极小，对于手工作图而言，应该可以忽略不计，现将圆周五等分作图的准确性以及圆周七等分的近似作图方法演示如下：以和大家商榷！圆周五等分的准确性验证1.如（图1.1）所示，绘制直径为200的圆，做圆周直径MN，并做半径ON的垂直平分线DE，与半径ON交于点F。

2.如（图1.2）所示，以点F为圆心、以FA为半径画圆弧与半径OM交于点G，则AG就是圆内接五边形的边长。

3.如（图1.3）所示，以点A为圆心、以AG为半径画圆弧分别与等分圆周交于点B和点B1，再分别以点B和点B1为起点、以AG为边长截取得到点C和点C1,完成了圆周的五等分。

4.验证：如（图1.4）所示，在AutoCAD软件中，将其尺寸精度调整到小数点后8位，测量BC和CC1，结果，我们发现两个边长的长度是一样的。

机械制图几何作图圆周的等分和正多边形

作图步骤：
1)分别以长、短轴为直径画同心圆； 2)N 等分圆周（大圆和小圆分成相同的等分）；
3)过大圆上各分点画短轴的平行线；
4)过小圆上各分点画长轴的平行线； 5)连接相应平行线的交点得椭圆。
§1-3 几何作图
四、工程上常用的曲线
1.椭圆已知长、短轴——四心扁圆法画近似椭圆。
O4 E
作图步骤：1)连接长短轴端点AC ;
13.8
1:10
7
§1-3 几何作图
二、斜度和锥度

举例：以1:1 的比例抄画下图所示平面图形。
32 7 7 13.8 13.8 50 7 1:10 7 32
50
1:10
§1-3 几何作图
二、斜度和锥度
2.锥度
定义：圆锥的底圆直径与其高之比。
1:4 α L H
tanα = H / 2L 2tanα = H / L——1:n

圆弧连接作图举例 3.用半径为R 的圆弧外切两已知圆弧。
O
R
t1
O1
t2
O2
§1-3 几何作图
四、工程上常用的曲线
工程上常用的曲线有： 1.椭圆 2.抛物线 3.双曲线 4.阿基米德螺线 5.圆的渐开线 6.摆线以下逐一介绍各类曲线的画法。
§1-3 几何作图
四、工程上常用的曲线
1.椭圆已知长、短轴——同心圆法绘制椭圆。
t
连接圆弧
t
R1+R
已知圆
连接圆弧的圆心在与已知圆同心的圆周上，半径为R1+R ；切点在已知圆的圆心和连接圆弧的圆心的连线上。
§1-3 几何作图
三、圆弧连接

圆弧连接的作图原理与已知圆弧相切—内切

鲁教版(五四制)初中数学七年级上册_尺规作图数学史

尺规作图数学史尺规作图是起源于古希腊的数学课题.只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题.平面几何作图，限制只能用直尺、圆规.在历史上最先明确提出尺规限制的是伊诺皮迪斯.他发现以下作图法：在已知直线的已知点上作一角与已知角相等.这件事的重要性并不在于这个角的实际作出，而是在尺规的限制下从理论上去解决这个问题.在这以前，许多作图题是不限工具的.伊诺皮迪斯以后，尺规的限制逐渐成为一种公约，最后总结在《几何原本》之中.初等平面几何研究的对象，仅限于直线、圆以及由它们（或一部分）所组成的图形，因此作图的工具，习惯上使用没有刻度的直尺和圆规两种.限用直尺和圆规来完成的作图方法，叫做尺规作图法.最简单的尺规作图有如下三条：⑴经过两已知点可以画一条直线；⑵已知圆心和半径可以作一圆；⑶两已知直线；一已知直线和一已知圆；或两已知圆，如果相交，可以求出交点；以上三条，叫做作图公法.用直尺可以画出第一条公法所说的直线；用圆规可以作出第二条公法所说的圆；用直尺和圆规可以求得第三条公法所说的交点.一个作图题，不管多么复杂，如果能反复应用上述三条作图公法，经过有限的次数，作出适合条件的图形，这样的作图题就叫做尺规作图可能问题；否则，就称为尺规作图不能问题.历史上，最著名的尺规作图不能问题是：⑴三等分角问题：三等分一个任意角；⑵倍立方问题：作一个立方体，使它的体积是已知立方体的体积的两倍；⑶化圆为方问题：作一个正方形，使它的面积等于已知圆的面积.这三个问题后被称为“几何作图三大问题”.直至1837年，万芝尔（Pierre Laurent Wantzel）首先证明三等分角问题和立方倍积问题属尺规作图不能问题；1882年，德国数学家林德曼（Ferdinand Lindemann）证明π是一个超越数（即π是一个不满足任何整系数代数方程的实数），由此即可推得根号π(即当圆半径r 时所求正方形的边长）不可能用尺规作出，从而也就证明了化圆为方问题是1一个尺规作图不能问题.若干著名的尺规作图已知是不可能的，而当中很多不可能证明是利用了由19世纪出现的伽罗华理论.尽管如此，仍有很多业余爱好者尝试这些不可能的题目，当中以化圆为方及三等分任意角最受注意.数学家Underwood Dudley曾把一些宣告解决了这些不可能问题的错误作法结集成书.还有另外两个著名问题：⑴正多边形作法·只使用直尺和圆规，作正五边形.·只使用直尺和圆规，作正六边形.·只使用直尺和圆规，作正七边形——这个看上去非常简单的题目，曾经使许多著名数学家都束手无策，因为正七边形是不能由尺规作出的.·只使用直尺和圆规，作正九边形，此图也不能作出来，因为单用直尺和圆规，是不足以把一个角分成三等份的.·问题的解决：高斯，大学二年级时得出正十七边形的尺规作图法，并给出了可用尺规作图的正多边形的条件：尺规作图正多边形的边数目必须是2的非负整数次方和不同的费马素数的积，解决了两千年来悬而未决的难题.⑵四等分圆周只准许使用圆规，将一个已知圆心的圆周4等分．这个问题传言是拿破仑·波拿巴出的，向全法国数学家的挑战.尺规作图的相关延伸：用生锈圆规(即半径固定的圆规)作图1.只用直尺及生锈圆规作正五边形2.生锈圆规作图，已知两点A、B，找出一点C使得AB BC CA==.3.已知两点A、B，只用半径固定的圆规，求作C使C是线段AB的中点.4.尺规作图，是古希腊人按“尽可能简单”这个思想出发的，能更简洁的表达吗？顺着这思路就有了更简洁的表达.10世纪时，有数学家提出用直尺和半径固定的圆规作图. 1672年，有人证明：如果把“作直线”解释为“作出直线上的2点”，那么凡是尺规能作的，单用圆规也能作出！从已知点作出新点的几种情况：两弧交点、直线与弧交点、两直线交点，在已有一个圆的情况下，那么凡是尺规能作的，单用直尺也能作出！.五种基本作图：初中数学的五种基本尺规作图为：1.做一线段等于已知线段2.做一角等于已知角3.做一角的角平分线4.过一点做一已知线段的垂线5.做一线段的中垂线下面介绍几种常见的尺规作图方法：⑴轨迹交点法：解作图题的一种常见方法.解作图题常归结到确定某一个点的位置.如果这两个点的位置是由两个条件确定的，先放弃其中一个条件，那么这个点的位置就不确定而形成一个轨迹；若改变放弃另一个条件，这个点就在另一条轨迹上，故此点便是两个轨迹的交点.这个利用轨迹的交点来解作图题的方法称为轨迹交点法，或称交轨法、轨迹交截法、轨迹法.【例1】电信部门要修建一座电视信号发射塔，如下图，按照设计要求，发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条高速公路m、n的距离也必须相等，发射塔P应修建在什么位置？【分析】这是一道实际应用题，关键是转化成数学问题，根据题意知道，点P应满足两个条件，一是在线段AB的垂直平分线上；二是在两条公路夹角的平分线上，所以点P应是它们的交点.【解析】⑴作两条公路夹角的平分线OD或OE；⑵作线段AB的垂直平分线FG；则射线OD，OE与直线FG的交点1C，C就是发射塔的位置.2⑵代数作图法：解作图题时，往往首先归纳为求出某一线段长，而这线段长的表达式能用代数方法求出，然后根据线段长的表达式设计作图步骤.用这种方法作图称为代数作图法.【例2】只用圆规，不许用直尺，四等分圆周（已知圆心）.【分析】设半径为1.也就是说用这个长度去等分圆周.我们的任务就是做出这个长度..一直角边为1的长度自然就出来了.【解析】具体做法：⑴随便画一个圆.设半径为1.⑵先六等分圆周.⑶以这个距离为半径，分别以两个相对的等分点为圆心，同向作弧，交于一点.（“两个相对的等分点”其实就是直径的两端点啦！两弧交点与“两个相对的等分点”形成的是一个底为2，.）⑷⑶旋转法作图：有些作图题，需要将某些几何元素或图形绕某一定点旋转适当角度，以使已知图形与所求图形发生联系，从而发现作图途径.【例3】已知：直线a、b、c，且a b c∥∥.求作：正ABC，使得A、B、C三点分别在直线a、b、c上.c b aD'DC B Acb a【分析】假设ABC ∆是正三角形，且顶点A 、B 、C 三点分别在直线a 、b 、c 上.作AD b ⊥于D ，将ABD ∆绕A 点逆时针旋转60︒后，置于'ACD ∆的位置，此时点'D 的位置可以确定.从而点C 也可以确定.再作60BAC ∠=︒，B 点又可以确定，故符合条件的正三角形可以作出.【解析】作法：⑴ 在直线a 上取一点A ，过A 作AD b ⊥于点D ；⑵ 以AD 为一边作正三角形'ADD ；⑶ 过'D 作''D C AD ⊥，交直线c 于C ；⑷ 以A 为圆心，AC 为半径作弧，交b 于B (使B 与'D 在AC 异侧).⑸ 连接AB 、AC 、BC 得ABC ∆.ABC ∆即为所求.⑷ 位似法作图：利用位似变换作图，要作出满足某些条件的图形，可以先放弃一两个条件，作出与其位似的图形，然后利用位似变换，将这个与其位似得图形放大或缩小，以满足全部条件，从而作出满足全部的条件.【例4】已知：一锐角ABC ∆.求作:一正方形DEFG ，使得D 、E 在BC 边上，F 在AC 边上，G 在AB 边上.C B AG'F'E'D'GF E D C B A【分析】先放弃一个顶点F 在AC 边上的条件，作出与正方形DEFG 位似的正方形''''D E F G ，然后利用位似变换将正方形''''D E F G 放大（或缩小）得到满足全部条件的正方形DEFG .【解析】作法：⑴ 在AB 边上任取一点'G ，过'G 作''G D BC ⊥于'D⑵ 以''G D 为一边作正方形''''D E F G ，且使'E 在'BD 的延长线上.⑶ 作直线'BF 交AC 于F .⑷ 过F 分别作''FG F G ∥交AB 于G ；作''FE F E ∥交BC 于E .⑸ 过G 作''GD G D ∥交BC 于D .则四边形DEFG 即为所求.⑸ 面积割补法作图：对于等积变形的作图题，通常在给定图形或某一确定图形上割下一个三角形，再借助平行线补上一个等底等高的另一个三角形，使面积不变，从而完成所作图形.【例5】如图，过ABC ∆的底边BC 上一定点，P ，求作一直线l ，使其平分ABC∆的面积.【分析】因为中线AM 平分ABC ∆的面积，所以首先作中线AM ，假设PQ 平分ABC ∆的面积，在AMC ∆中先割去AMP ∆，再补上ANP ∆.只要NM AP ∥，则AMP ∆和AMP ∆就同底等高，此时它们的面积就相等了.所以PN 就平分了ABC ∆的面积.【解析】作法：⑴ 取BC 中点M ，连接,AM AP ;⑵ 过M 作MN AP ∥交AB 于N ；⑶ 过P 、N 作直线l .直线l 即为所求.NM P C B Al。