高考数学一轮总复习 2.5幂函数与二次函数课件

答案 9或25
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R 热点命题·深度剖析
研考点 知规律 通法悟道
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问题探究 问题1 幂函数图象有什么特点？ (1)幂函数的图象一定会经过第一象限，一定不会经过第四象 限，是否经过第二、三象限，要看函数的奇偶性； (2)幂函数的图象最多只能经过两个象限； (3)如果幂函数的图象与坐标轴相交，那么交点一定是原点．
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问题2 如何解决与二次函数有关的不等式恒成立问题？ (1)ax2＋bx＋c>0，a≠0恒成立的充要条件是ab>2－0，4ac<0. (2)ax2＋bx＋c<0，a≠0恒成立的充要条件是ab<2－0，4ac<0. 注意 当题目条件中未说明a≠0时，就要讨论a＝0和a≠0两 种情况．
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高频考点 考点一 幂函数的图象与性质 【例1】 (1)幂函数y＝f(x)的图象过点(4,2)，则幂函数y＝f(x) 的图象是( )
A
B
C
D
(2)设a＝
3 5
2 5
，b＝
2 5
3 5
，c＝
2 5
2 5
，则a，b，c的大小关系是
________．
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听 课 记 录 (1)令f(x)＝xα，则4α＝2，
奇函数的所有α的值为( )
A．1,3
B．－1,1
C．－1,3
D．－1,1,3
解析 ∵y＝x－1的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)， ∴α＝－1不符合题意，排除B、C、D，故选A.
答案 A
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知识点二 二次函数
3.函数y＝2x2－6x＋3，x∈[－1,1]，则y的最小值是( )
A．－32
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2．二次函数的性质 函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0)
y＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象
定义 R
域
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值域 单调性 对称性
4ac4－a b2，＋∞
－∞，4ac4－a b2
在－∞，－2ba减
在－∞，－2ba增
在－2ba，＋∞增
在－2ba，＋∞减
函数的图象关于x＝－2ba对称
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①α的正负：α>0时，图象过原点和(1,1)，在第一象限的图象 上升；α<0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降．
②曲线的第一象限的凹凸性：α>1时，曲线下凸；0<α<1时， 曲线上凸；α<0时，曲线下凸．
(2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的 函数．借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性 质是解题的关键．
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备考知考情 1.幂函数、二次函数的图象与性质的应用是高考命题的热点．
2.常与一元二次不等式、一元二次方程等知识交汇命题，考查数 形结合思想． 3.题型主要以选择题、填空题为主，另外在解答题中常与导数的 应用综合，属中高档题.
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J 基础回扣·自主学习
理教材 夯基础 厚积薄发
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知识梳理
知识点一
幂函数
1.定义：形如 y＝xα (α∈R)的函数叫幂函数，其中x是
自变量 ，α是常数．
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2．幂函数的性质
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知识点二 二次函数
1.二次函数的三种形式 一般式：f(x)＝ ax2＋bx＋c (a≠0)； 顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)，顶点坐标为 (h，k) ； 零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点．
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问题3 如何确定二次函数的对称轴？ (1)对于二次函数y＝f(x)，如果定义域内有不同两点x1，x2且 f(x1)＝f(x2)，那么函数y＝f(x)的图象关于x＝x1＋2 x2对称． (2)二次函数y＝f(x)对定义域内所有x，都有f(a＋x)＝f(a－x)成 立的充要条件是函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称(a为常数)．
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对点自测 知识点一 幂函数 1.判一判 (1)函数f(x)＝x2与函数f(x)＝2x2都是幂函数．( ) (2)幂函数的图象都经过点(1,1)和(0,0)．( ) (3)幂函数的图象不经过第四象限．( )
答案 (1)× (2)× (3)√
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2．设α∈{－1,1，
1 2
，3}，则使函数y＝xα的定义域为R，且为
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变式思考 1 已知幂函数f(x)＝x(m2＋m)－1(m∈N*) (1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单 调性； (2)若该函数还经过点(2， 2)，试确定m的值，并求满足条件 f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围．
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解 (1)m2＋m＝m(m＋1)，m∈N*， 而m与m＋1中必有一个为偶数， ∴m(m＋1)为偶数． ∴函数f(x)＝x(m2＋m)－1 (m∈N*)的定义域为[0，＋∞)，并且在 定义域上为增函数．
∴α＝12，∴f(x)＝x
1 2
.故图象为C的图象．
2
(2)∵y＝x5 (x>0)为增函数，∴a>c.
∵y＝25x(x∈R)为减函数，∴c>b，∴a>c>b.
答案 (1)C (2)a>c>b
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【规律方法】 (1)幂函数y＝xα的图象与性质由于α的值不同 而比较复杂，一般从两个方面考查：
第二章 函数、导数及其应用
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1
第五节 幂函数与二次函数
基础回扣·自主学习
热点命题·深度剖析
特色专题·感悟提高
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2
高考明方向
1.了解幂函数的概念．
2.结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝x
1 2
的图象，了解它们
的变化情况．
3.理解并掌握二次函数的定义、图象及性质．
4.能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.
B．3
C．－1
D．不存在
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解析 函数y＝2x2－6x＋3的图象的对称轴为x＝32>1， ∴函数y＝2x2－6x＋3在[－1,1]上单调递减． ∴ymin＝2－6＋3＝－1.
答案 C
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4．已知函数f(x)＝ax2＋x＋5的图象在x轴上方，则a的取值范
围是( )
A.0，210 C.210，＋∞
B.－∞，－210 D.－210，0
解析 由题意知aΔ><00，， 即a1>－02，0a<0 得a>210. 答案 C
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5．抛物线y＝8x2－(m－1)x＋m－7的顶点在x轴上，则m＝ ________.
解析 ∵4×8×m－ 4×78－m－12＝0， ∴m2－34m＋225＝0，∴m＝9或25.