习题课平行与垂直的综合问题-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第二册课件

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2019年高中数学必修二人教A版练习：2.3.3-2.3.4 直线与平面垂直的性质平面与平面垂直的性质含解析

2.3.3 直线与平面垂直的性质2.3.4 平面与平面垂直的性质【选题明细表】1.已知两个平面垂直,下列说法:①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面④过一个平面内任意一点作交线的垂线,则此垂线必垂直于另一个平面.其中正确说法个数是( C )(A)3 (B)2 (C)1 (D)0解析:如图在正方体ABCD A1B1C1D1中,对于①AD1⊂平面AA1D1D,BD⊂平面ABCD,AD1与BD是异面直线,成角60°,①错误;②正确.对于③,AD1⊂平面AA1D1D,AD1不垂直于平面ABCD;对于④,如果这点为交线上的点,可得到与交线垂直的直线与两平面都不垂直,④错误.故选C.2.(2018·陕西西安一中月考)在空间四边形ABCD中,平面ABD⊥平面BCD,且DA⊥平面ABC,则△ABC是( A )(A)直角三角形(B)等腰三角形(C)等边三角形(D)等腰直角三角形解析:过点A作AH⊥BD于点H,由平面ABD⊥平面BCD,得AH⊥平面BCD,则AH⊥BC.又DA⊥平面ABC,所以BC⊥AD,所以BC⊥平面ABD,所以BC ⊥AB,即△ABC为直角三角形.故选A.3.如果直线l,m与平面α,β,γ之间满足:l=β∩γ,l∥α,m⊂α和m⊥γ,那么( A )(A)α⊥γ且l⊥m (B)α⊥γ且m∥β(C)m∥β且l⊥m (D)α∥β且α⊥γ解析:由m⊂α,m⊥γ得α⊥γ,由l=β∩γ,得l⊂γ,所以m⊥l.故选A.4.已知m,n是两条不同直线,α,β是两个不同平面,则下列命题正确的是( D )(A)若α,β垂直于同一平面,则α与β平行(B)若m,n平行于同一平面,则m与n平行(C)若α,β不平行,则在α内不存在与β平行的直线(D)若m,n不平行,则m与n不可能垂直于同一平面解析:若α,β垂直于同一个平面γ,则α,β可以都过γ的同一条垂线,即α,β可以相交,故A错;若m,n平行于同一个平面,则m与n可能平行,也可能相交,还可能异面,故B错;若α,β不平行,则α,β相交,设α∩β=l,在α内存在直线a,使a∥l,则a∥β,故C错;从原命题的逆否命题进行判断,若m与n垂直于同一个平面,由线面垂直的性质定理知m∥n,故D正确.5.(2018·沈阳检测)如图,平行四边形ABCD中,AB⊥BD.沿BD将△ABD 折起,使平面ABD⊥平面BCD,连接AC,则在四面体ABCD的四个面所在平面中,互相垂直的平面的对数为( C )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4解析:因为平面ABD⊥平面BCD,又AB⊥BD,所以AB⊥平面BCD,AB⊂平面ABC,所以平面ABC⊥平面BCD.同理,平面ACD⊥平面ABD.故四面体ABCD中互相垂直的平面有3对.故选C.6.(2018·河北邢台调研)设α,β是两个不同的平面,l是一条直线,给出四个命题:①若l⊥α,α⊥β,则l⊂β;②若l∥α,α∥β,则l⊂β;③若l⊥α,α∥β,则l⊥β;④若l∥α,α⊥β,则l⊥β.则正确命题的个数为.解析:①错,可能有l∥β;②错,可能有l∥β;③正确;④错,也可能有l∥β,或l⊂β或l与β相交.答案:17.如图所示,三棱锥P ABC的底面在平面α上,且AC⊥PC,平面PAC⊥平面PBC,P,A,B是定点,则动点C运动形成的图形是.解析:因为平面PAC⊥平面PBC,AC⊥PC,AC⊂平面PAC,平面PAC∩平面PBC=PC.所以AC⊥平面PBC.又BC⊂平面PBC,所以AC⊥BC,所以∠ACB=90°.所以动点C运动形成的图形是以AB为直径的圆(除去A,B两点).答案:以AB为直径的圆(除去A,B两点)8.(2018·江苏启东中学月考)如图,在四棱柱ABCD A1B1C1D1中,已知平面AA1C1C⊥平面ABCD,且AB=BC=CA=,AD=CD=1.(1)求证:BD⊥AA1;(2)若E为棱BC的中点,求证:AE∥平面DCC1D1.证明:(1)在四边形ABCD中,因为AB=BC,AD=DC,所以BD⊥AC,又平面AA1C1C⊥平面ABCD,且平面AA1C1C∩平面ABCD=AC,BD⊂平面ABCD,所以BD⊥平面AA1C1C,又因为AA1⊂平面AA1C1C,所以BD⊥AA1.(2)在三角形ABC中,因为AB=AC,且E为棱BC的中点,所以AE⊥BC, 又因为在四边形ABCD中,AB=BC=CA=,AD=CD=1.所以∠ACB=60°,∠ACD=30°,所以DC⊥BC,所以AE∥CD.因为CD⊂平面DCC1D1,AE⊄平面DCC1D1,故得AE∥平面DCC1D1.9.(2018·甘肃嘉峪关期末)如图,以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕,把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后,某学生得出下列四个结论:①BD⊥AC;②△BAC是等边三角形;③三棱锥D ABC 是正三棱锥;④平面ADC⊥平面ABC.其中正确的是( B )(A)①②④(B)①②③(C)②③④(D)①③④解析:设等腰直角△ABC的腰长为a,则斜边BC=a,①因为D为BC的中点,所以AD⊥BC,又平面ABD⊥平面ACD,平面ABD∩平面ACD=AD,BD⊥AD,BD⊂平面ABD, 所以BD⊥平面ADC,又AC⊂平面ADC,所以BD⊥AC,故①正确;②由A知,BD⊥平面ADC,CD⊂平面ADC,所以BD⊥CD,又BD=CD=a,所以由勾股定理得BC=·a=a,又AB=AC=a,所以△ABC是等边三角形,故②正确;③因为△ABC是等边三角形,DA=DB=DC,所以三棱锥D ABC是正三棱锥,故③正确.④因为△ADC为等腰直角三角形,取斜边AC的中点F,则DF⊥AC,又△ABC为等边三角形,连接BF,则BF⊥AC,所以∠BFD为平面ADC与平面ABC的二面角的平面角,由BD⊥平面ADC可知,∠BDF为直角,∠BFD不是直角,故平面ADC与平面ABC不垂直,故④错误.综上所述,正确的结论是①②③.故选B.10.(2018·宿州市高二期中)设m,n为空间的两条直线,α,β为空间的两个平面,给出下列命题:①若m∥α,m∥β,则α∥β;②若m⊥α,m⊥β,则α∥β;③若m∥α,n∥α,则m∥n;④若m⊥α,n⊥α,则m∥n.上述命题中,其中假命题的序号是.解析:①若m∥α,m∥β,则α与β相交或平行都可能,故①不正确;②若m⊥α,m⊥β,则α∥β,故②正确;③若m∥α,n∥α,则m与n相交、平行或异面,故③不正确;④若m⊥α,n⊥α,由线面垂直的性质定理知m∥n,故④正确.答案:①③11.如图1,在直角梯形ABCD中,AD∥BC, ∠BAD=,AB=BC=AD=a,E是AD的中点,O是AC与BE的交点.将△ABE沿BE折起到图2中△A1BE 的位置,得到四棱锥A1BCDE.(1)证明:CD⊥平面A1OC;(2)当平面A1BE⊥平面BCDE时,四棱锥A1BCDE的体积为36,求a 的值.(1)证明:在题图1中,因为AB=BC=AD=a,E是AD的中点,∠BAD=,AD∥BC,所以BE⊥AC,BE∥CD,即在题图2中,BE⊥A1O,BE⊥OC,且OA1∩OC=O,从而BE⊥平面A1OC,又CD∥BE,所以CD⊥平面A1OC.(2)解:由已知,平面A1BE⊥平面BCDE,且平面A1BE∩平面BCDE=BE,又由(1)知A1O⊥BE,所以A1O⊥平面BCDE,即A1O是四棱锥A1BCDE的高.由题图1知,A1O=AB=a,平行四边形BCDE的面积S=BC·AB=a2.从而四棱锥A1BCDE的体积为V=×S×A1O=×a2×a=a3,由a3=36得a=6.12.如图,在四棱锥P ABCD中,底面ABCD是∠DAB=60°且边长为a的菱形,侧面PAD为等边三角形,其所在平面垂直于底面ABCD.(1)求证:AD⊥PB;(2)若E为BC的中点,能否在棱PC上找到一点F,使平面DEF⊥平面ABCD?并证明你的结论.(1)证明:设G为AD的中点,连接PG,BG.因为△PAD为等边三角形,所以PG⊥AD.在菱形ABCD中,∠DAB=60°,G为AD的中点,所以BG⊥AD.又BG∩PG=G,所以AD⊥平面PGB.因为PB⊂平面PGB,所以AD⊥PB.(2)解:当F为PC的中点时,满足平面DEF⊥平面ABCD. 证明:取PC的中点F,连接DE,EF,DF.则EF∥PB,所以可得EF∥平面PGB.在菱形ABCD中,GB∥DE,所以可得DE∥平面PGB.而EF⊂平面DEF,DE⊂平面DEF,EF∩DE=E,所以平面DEF∥平面PGB.由(1)得PG⊥平面ABCD,而PG⊂平面PGB,所以平面PGB⊥平面ABCD,所以平面DEF⊥平面ABCD.。

新教材人教A版高中数学必修第二册：8.6.2直线与平面垂直课时练习

8.6.2 直线与平面垂直一、选择题1．直线l⊥平面α，直线m⊂α，则l与m不可能( )A．平行B．相交C．异面 D．垂直解析：若l∥m，则l⊄α，∵m⊂α，∴l∥α，这与已知l⊥α矛盾，所以直线l与m 不可能平行．答案：A2．直线a⊥平面α，b∥α，则a与b的关系为( )A．a⊥b，且a与b相交B．a⊥b，且a与b不相交C．a⊥bD．a与b不一定垂直解析：∵b∥α，∴b平行于α内的某一条直线，设为b′，∵a⊥α，且b′⊂α，∴a⊥b′，∴a⊥b，但a与b可能相交，也可能异面．答案：C3．ABCD－A1B1C1D1为正方体，下列结论错误的是( )A．BD∥平面CB1D1 B．AC1⊥BDC．AC1⊥平面CB1D1 D．AC1⊥BD1解析：正方体中BD∥B1D1，可知选项A正确；由BD⊥AC，BD⊥CC1可得BD⊥平面ACC1；从而BD⊥AC1，即选项B正确；由以上可得AC1⊥B1D1，同理AC1⊥D1C，因此AC1⊥平面CB1D1，即选项C正确；由于四边形ABC1D1不是菱形，所以AC1⊥BD1不正确．选D.答案：D4．如图所示，若斜线段AB 是它在平面α上的射影BO 的2倍，则AB 与平面α所成的角是( )A ．60° B．45° C ．30° D．120°解析：∠ABO 即是斜线AB 与平面α所成的角，在Rt△AOB 中，AB ＝2BO ，所以cos∠ABO ＝12，即∠ABO ＝60°. 答案：A 二、填空题5．在三棱锥P －ABC 中，最多有________个直角三角形．解析：不妨设PA ⊥AB ，PA ⊥AC ，则△APB ，△PAC 为直角三角形，由线面垂直的判定定理，可得PA ⊥平面ABC ，由线面垂直的定义，可知PA ⊥BC ，若∠ABC ＝90°，则BC ⊥AB ，∴BC ⊥平面PAB ，即∠PBC ＝90°，∴△ABC ，△PBC 为直角三角形，故直角三角形最多有4个．答案：46．有下列四种说法，正确的序号是________．①过空间一点有且只有一条直线与已知平面垂直；②已知两条不重合的直线m ，n 和平面α，若m ⊥n ，m ⊥α，则n ∥α；③a ，b ，l 表示三条不同的直线，α表示平面，若a ⊂α，b ⊂α，l ⊥a ，l ⊥b ，则l ⊥α；④若直线a 不平行于平面α，则直线a 垂直于平面α.解析：①正确；对于②，若直线n ⊂α，也可满足m ⊥n ，m ⊥α，此时n ∥α不正确；对于③，只有a ，b 相交时，才成立，否则不成立；④显然错误，因为不平行时可以相交，而垂直只是相交的一种特殊情况．故只有①正确．答案：①7．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，BC ＝AA 1＝1，则BD 1与平面A 1B 1C 1D 1所成的角的大小为________．解析：如图所示，连接B 1D 1，则B 1D 1是BD 1在平面A 1B 1C 1D 1上的射影，则∠BD 1B 1是BD 1与平面A 1B 1C 1D 1所成的角．在Rt△BD 1B 1中， tan∠BD 1B 1＝BB 1B 1D 1＝13＝33，则∠BD 1B 1＝30°. 答案：30° 三、解答题8．如图，在四棱锥S －ABCD 中，AB ∥CD ，BC ⊥CD ，侧面SAB 为等边三角形，AB ＝BC ＝2，CD ＝SD ＝1.求证：SD ⊥平面SAB .证明：∵AB ∥CD ，BC ⊥CD ，AB ＝BC ＝2，CD ＝1， ∴底面ABCD 为直角梯形，AD ＝2－12＋22＝ 5.∵侧面SAB 为等边三角形，∴SA ＝SB ＝AB ＝2. 又SD ＝1，∴AD 2＝SA 2＋SD 2， ∴SD ⊥SA .连接BD ，则BD ＝22＋12＝5，∴BD 2＝SD 2＋SB 2， ∴SD ⊥SB .又SA ∩SB ＝S ，∴SD ⊥平面SAB .9．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是AB 上一点，N 是A 1C 的中点，MN ⊥平面A 1DC .求证：(1)MN ∥AD 1；(2)M 是AB 的中点．证明：(1)因为四边形ADD 1A 1为正方形，所以AD 1⊥A 1D .又因为CD ⊥平面ADD 1A 1，所以CD ⊥AD 1. 因为A 1D ∩CD ＝D ，所以AD 1⊥平面A 1DC . 又因为MN ⊥平面A 1DC ，所以MN ∥AD 1. (2)连接ON ，在△A 1DC 中，A 1O ＝OD ，A 1N ＝NC ，所以ON ∥CD ∥AB . 所以ON ∥AM . 又由(1)知MN ∥OA ，所以四边形AMNO 为平行四边形．所以ON ＝AM .因为ON ＝12AB ，所以AM ＝12AB .所以M 是AB 的中点．[尖子生题库]10．如图所示，已知AB 为圆O 的直径，且AB ＝4，点D 为线段AB 上一点，且AD ＝13DB ，点C 为圆O 上一点，且BC ＝3AC .点P 在圆O 所在平面上的正投影为点D ，PD ＝DB .(1)求证：CD ⊥平面PAB ；(2)求直线PC 与平面PAB 所成的角．解析：(1)证明：连接CO ，由3AD ＝DB 知，点D 为AO 的中点．又因为AB 为圆O 的直径，所以AC ⊥CB . 由3AC ＝BC 知， ∠CAB ＝60°，所以△ACO 为等边三角形．故CD ⊥AO .因为点P 在圆O 所在平面上的正投影为点D ，所以PD ⊥平面ABC ，又CD ⊂平面ABC ，所以PD ⊥CD ，由PD ⊂平面PAB ，AO ⊂平面PAB ，且PD ∩AO ＝D ，得CD ⊥平面PAB . (2)由(1)知∠CPD 是直线PC 与平面PAB 所成的角，又△AOC 是边长为2的正三角形，所以CD ＝ 3 在Rt△PCD 中，PD ＝DB ＝3，CD ＝3，所以tan∠CPD ＝CD PD ＝33，∠CPD ＝30°，即直线PC 与平面PAB 所成的角为30°.。

高中数学人教A版2019必修第二册 8 6 2 直线与平面垂直的性质同步练习(解析版)

8.6.2 直线与平面垂直第2课时直线与平面垂直的性质基础巩固1．已知直线l ⊥平面α，直线m α⊂，则（）A ．l m ⊥B ．l ∥mC ．,l m 异面D ．,l m 相交而不垂直2．如图，点A α∈，点B α∈，点P α∉，PB α⊥，C 是α内异于A 和B 的动点，且PC AC ⊥，则动点C 在平面α内所组成的集合是（）A ．一条线段，但要去掉两个点B ．一个圆，但要去掉两个点C ．半圆D ．半圆，但要去掉两个点3．在长方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别为11C D ，AB 的中点，4AB =，则MN 与平面11BCC B 的距离为（）A ．4B ．C ．2D 4．如图，l αβ=，点,A C α∈，点B β∈，且BA α⊥，BC β⊥，那么直线l 与直线AC 的关系是（）A ．异面B ．平行C ．垂直D ．不确定5．如图所示，如果MC ⊥菱形ABCD 所在的平面，那么MA 与BD 的位置关系是( )A ．平行B ．垂直相交C ．垂直但不相交D ．相交但不垂直6．在长方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G ，H 分别为1AA ，1BB ，1CC ，1DD 的中点，14AA =，则平面ABCD 与平面EFGH 的距离为________.7．已知矩形ABCD 的边,3AB a BC ==，PA ⊥平面ABCD .若BC 边上有且只有一点M ，使PM DM ⊥，则a 的值为______.8．如图，PA ⊥平面ABD ，PC ⊥平面BCD ，E ，F 分别为BC ，CD 上的点，且EF AC ⊥.求证：CF CE DC BC=.能力提升9．如图所示，直线P A 垂直于⊙O 所在的平面，△ABC 内接于⊙O ，且AB 为⊙O 的直径，点M 为线段PB 的中点．现有结论：①BC ⊥PC ；②OM ∥平面APC ；③点B 到平面P AC 的距离等于线段BC 的长．其中正确的是( )A ．①②B ．①②③C ．①D ．②③10．如图，在直角梯形ABCD 中，BC DC ⊥，AE DC ⊥，M 、N 分别是AD 、BE 的中点，将三角形ADE 沿AE 折起，则下列说法正确的是______________.（1）不论D 折至何位置（不在平面ABC 内），都有//MN 平面DEC ；（2）不论D 折至何位置，都有MN AE ⊥；（3）不论D 折至何位置（不在平面ABC 内），都有//MN AB ；（4）在折起过程中，一定存在某个位置，使EC AD ⊥.11．如图所示，已知AF ⊥平面ABCD ，四边形ABEF 为矩形，四边形ABCD 为直角梯形，90DAB ∠=︒，AB //CD ，==2AD AF CD =，4AB =.（1）求证：AC ⊥平面BCE ；（2）求证：AD AE ⊥.素养达成12．如图，在三棱锥P ABC -中，AB BC ==4PA PB PC AC ====，O 为AC 的中点．（1）证明：PO ⊥平面ABC ；（2）若点M 在棱BC 上，且2MC MB =，求点C 到平面POM 的距离．8.6.2 直线与平面垂直第2课时直线与平面垂直的性质答案基础巩固1．已知直线l ⊥平面α，直线m α⊂，则（）A ．l m ⊥B ．C ．,l m 异面D ．,l m 相交而不垂直【答案】A【解析】根据线面垂直的定义，若直线与平面垂直，则直线垂直与该平面内的任意一条直线，因此 l m ⊥，故选A2．如图，点A α∈，点B α∈，点P α∉，PB α⊥，C 是α内异于A 和B 的动点，且PC AC ⊥，则动点C 在平面α内所组成的集合是（）A ．一条线段，但要去掉两个点B ．一个圆，但要去掉两个点C ．半圆D ．半圆，但要去掉两个点【答案】B 【解析】连接BC ，AB ，由于PC AC ⊥，PB AC ⊥，所以AC ⊥平面PBC ，BC ⊂平面PBC所以AC BC ⊥，说明动点C 在以AB 为直径的圆上，但不与点A B ，重合.所以B 正确故选：B3．在长方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别为11C D ，AB 的中点，4AB =，则MN 与平面11BCC B 的距离为（）A ．4B ．C ．2 D【答案】C【解析】如图，MN ∥BC 1,又1BC ⊂平面11BCC B ，MN ∥平面11BCC B .∴MN 与平面11BCC B 的距离为N 到面11BCC B 的距离.又N 到平面11BCC B 的距离为122NB AB ==. ∴MN 与平面11BCC B 的距离为2.故选：C4．如图，l αβ=，点,A C α∈，点B β∈，且BA α⊥，BC β⊥，那么直线l 与直线AC 的关系是（）A ．异面B ．平行C ．垂直D ．不确定【答案】C【解析】BA α⊥，l αβ=，l α∴⊂，BA l ∴⊥；同理BC l ⊥；又BA BC B ⋂=，l ∴⊥平面ABC .AC ⊂平面ABC ，l AC ∴⊥.故选：C.5．如图所示，如果MC ⊥菱形ABCD 所在的平面，那么MA 与BD 的位置关系是( )A ．平行B ．垂直相交C ．垂直但不相交D ．相交但不垂直【答案】C 【解析】∵BD 是菱形ABCD 的一条对角线，菱形对角线互相垂直，∴AC ⊥BD .∵MC ⊥平面ABCD ，∴MC ⊥BD ，∵MC 和AC 相交于点C ，∴BD ⊥平面ACM ，∵MA ⊂平面AMC ，∴MA ⊥BD .又∵MA 与BD 是异面直线，∴MA 与BD 的位置关系是垂直但不相交.故选C.6．在长方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G ，H 分别为1AA ，1BB ，1CC ，1DD 的中点，14AA =，则平面ABCD 与平面EFGH 的距离为________.【答案】2【解析】如图平面A BCD //平面EFGH又1AA ⊥平面ABCD .平面ABCD 与平面EFGH 的距离为1114222AA =⨯=. 故答案为：27．已知矩形ABCD 的边,3AB a BC ==，PA ⊥平面ABCD .若BC 边上有且只有一点M ，使PM DM ⊥，则a 的值为______. 【答案】32 【解析】PA ⊥平面ABCD ，DM ⊂平面ABCD ，PA DM ∴⊥.BC 边上存在点M ，使PM DM ⊥，且PM PA P ⋂=，DM ∴⊥平面PAM .AM ⊂平面,PAM DM AM ∴⊥，∴以AD 为直径的圆和BC 有公共点.3AD BC ==，∴圆的半径为32. ∴点M 是唯一的，BC ∴和半径为32的圆相切，32AB ∴=，即32a =. 故答案为：32． 8．如图，PA ⊥平面ABD ，PC ⊥平面BCD ，E ，F 分别为BC ，CD 上的点，且EF AC ⊥.求证：CF CE DC BC=.【答案】证明见解析【解析】∵PA ⊥平面ABD ，PC ⊥平面BCD ，又BD ⊂平面ABD ，,BD EF ⊂平面BCD∴PA BD ⊥，PC BD ⊥，PC EF ⊥.又PA PC P =，,PA PC ⊂平面PAC∴BD ⊥平面PAC .又EF AC ⊥，PC AC C =，,PC AC ⊂平面PAC ∴EF ⊥平面PAC ，∴EF //BD ，∴CF CE DC BC=. 能力提升9．如图所示，直线P A 垂直于⊙O 所在的平面，△ABC 内接于⊙O ，且AB 为⊙O 的直径，点M 为线段PB 的中点．现有结论：①BC ⊥PC ；②OM ∥平面APC ；③点B 到平面P AC 的距离等于线段BC 的长．其中正确的是( )A ．①②B ．①②③C ．①D ．②③【答案】B 【解析】对于①，∵P A ⊥平面ABC ，∴P A ⊥BC .∵AB 为⊙O 的直径，∴BC ⊥AC ，又∵P A ∩AC ＝A ，∴BC ⊥平面P AC ，又PC ⊂平面P AC ，∴BC ⊥PC ，对于②，∵点M 为线段PB 的中点，∴OM ∥P A ，∵P A ⊂平面P AC ，OM ⊄平面P AC ，∴OM ∥平面P AC ，对于③，由①知BC ⊥平面P AC ，∴线段BC 的长即是点B 到平面P AC 的距离，故①②③都正确．10．如图，在直角梯形ABCD 中，BC DC ⊥，AE DC ⊥，M 、N 分别是AD 、BE 的中点，将三角形ADE 沿AE 折起，则下列说法正确的是______________.（1）不论D 折至何位置（不在平面ABC 内），都有//MN 平面DEC ；（2）不论D 折至何位置，都有MN AE ⊥；（3）不论D 折至何位置（不在平面ABC 内），都有//MN AB ；（4）在折起过程中，一定存在某个位置，使EC AD ⊥.【答案】（1）（2）（4）【解析】折叠后如图，分别取,EC ED 中点,P Q ，连接,,NP PQ QM ，易知N 是,AC BE 的交点，因此N 也是AC 中点，而M 别是AD 的中点，∴////NP AE MQ ，12NP AE MQ ==，∴MNPQ 是平行四边形，∴//MN PQ ， MN ⊄平面DEC ，PQ ⊂平面DEC ，∴//MN 平面DEC ．（1）正确；折叠过程中,AE ED AE EC ⊥⊥保持不变，又EDEC E =，所以AE ⊥平面DEC ，从而AE PQ ⊥，所以AE MN ⊥，（2）正确；若//MN AB ，则,MN AB 共面，即,,,M N P Q 共面，从而直线,AM BN 共面，这样MN 在平面ABN 也即在平面ABC 内，矛盾，（3）错误；当ED EC ⊥时，又EC EA ⊥，而EDEA E =，∴EC ⊥平面ADE ，AD ⊂平面ADE ，所以EC AD ⊥．（4）正确．故答案为：（1）（2）（4）．11．如图所示，已知AF ⊥平面ABCD ，四边形ABEF 为矩形，四边形ABCD 为直角梯形，90DAB ∠=︒，AB //CD ，==2AD AF CD =，4AB =.（1）求证：AC ⊥平面BCE ；（2）求证：AD AE ⊥.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】（1）在直角梯形ABCD 中，2AD CD ==，4AB =，则AC BC == 所以222AC BC AB +=，故AC BC ⊥.因为AF ⊥平面ABCD ，AF //BE ，所以BE ⊥平面ABCD ，所以BE AC ⊥. 又,BE BC ⊂平面BCE ，BEBC B =，所以AC ⊥平面BCE .（2）因为AF ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以AF AD ⊥，又90DAB ∠=︒，所以AB AD ⊥. 又,AF AB ⊂平面ABEF ， AF AB A ⋂=，所以AD ⊥平面ABEF .又AE ⊂平面ABEF ，所以AD AE ⊥.素养达成12．如图，在三棱锥P ABC -中，AB BC ==4PA PB PC AC ====，O 为AC 的中点．（1）证明：PO ⊥平面ABC ；（2）若点M 在棱BC 上，且2MC MB =，求点C 到平面POM 的距离．【答案】（1）详见解析（2）5．【解析】（1）因为AP =CP =AC =4，O 为AC 的中点，所以OP ⊥AC ，且OP =连结OB ．因为AB =BC AC ，所以△ABC 为等腰直角三角形，且OB ⊥AC ，OB =12AC =2．由222OP OB PB +=知，OP ⊥OB ．由OP ⊥OB ，OP ⊥AC 知PO ⊥平面ABC ．（2）作CH ⊥OM ，垂足为H ．又由（1）可得OP ⊥CH ，所以CH ⊥平面POM ．故CH 的长为点C 到平面POM 的距离．由题设可知OC =12AC =2，CM =23BC ，∠ACB =45°．所以OM =3，CH =sin OC MC ACB OM ⋅⋅∠=5．所以点C 到平面POM。

高中数学 2.4平行与垂直综合问题课件新人教A版必修2

面．
栏
目
证明：(1)如右图所示，取EC的中点F，连接DF，
链
∵EC⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，
接
∴EC⊥BC，易知DF∥BC，
∴DF⊥EC.
在Rt△EFD和Rt△DBA中，
完整版ppt
12
∵EF＝EC，EC＝2BD，
FD＝BC＝AB，
∴Rt△EFD≌Rt△DBA，故DE＝DA.
(2)取CA的中点N，连接MN、BN，
平面 BCE，
AF⊄平面 BCE，所以 AF∥平面 BCE.
栏目
(2)解析：易得 DE⊥AF，AF⊥CD，
链接
所以 AF⊥平面 CDE，又 AF∥MB
故 BM⊥平面 CDE，
所以 VABCDE＝VB－ACD＋VB－CDE
＝ 33＋23× 23×2＝ 3.
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10
►跟踪训练
2．如图所示，△ABC为正三角形，EC⊥平面 ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中点，求证：
同时AC⊂平面PAC，
∴平面PAC⊥平面PBD.
栏
目
(3)由(1)知PD⊥BC，
链
接
又BC⊥DC.∴BC⊥平面PDC，
∴BC⊥PC.
∴∠PCD为二面角PBCD的平面角．
在Rt△PDC中，PD＝DC＝a，∴∠PCD＝45°.
∴二面角PBCD是45°的二面角．
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7
►跟踪训练
1．如右下图所示，在棱长均为2的斜三棱柱 ABCDEF中，已知BF⊥AE，BF∩CE＝O， AB＝AE，连接AO，求证：AO⊥平面FEBC.
目链
45°.
接
证明：(1)∵PD＝a，DC＝a，PC＝ 2a， ∴PC2＝PD2＋DC2，∴PD⊥DC. 同理可证 PD⊥AD，又 AD∩DC＝D， ∴PD⊥平面 ABCD.

习题课平行与垂直的综合问题【新教材】人教A版高中数学必修第二册课件

第八章立体几何初步
数学（必修·第二册RJA）
【对点练习】❸ 如图，四棱锥 P－ABCD 的底面 ABCD 是圆内接四边形(记此圆为 W)，且 PA⊥平面 ABCD.
(1)当 BD 是圆 W 的直径时，PA＝BD＝2，AD＝CD＝ 3，求四棱锥 P－ABCD 的体积.
(2)在(1)的条件下，判断在棱 PA 上是否存在一点 Q，使得 BQ∥平面 PCD？若存在，求出 AQ 的长；若不存在，请说明理由.
又因为AA1＝AB，所以四边形ABB1A1为菱形，因此AB1⊥A1B.
如：把线面平行转化为线线平行时，必须说清经过已知直线的平面和已 (2)当P为AM的中点时，MC∥平面PBD.
又PD⊂平面PCD，PC⊂平面PCD，PC∩PD＝P，先假设其存在，然后把这个假设作为已知条件，和题目的其他已知条件一起进行推理论证和计算.
又G为FB的中点，所以AG⊥FB.
习题课平行与垂直的综合问题
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第八章立体几何初步
题型二立体几何中的折叠问题
数学（必修·第二册RJA）
典例 2 如图 1 所示，在直角梯形 ABCD 中，∠ADC＝90°，AB∥ CD，AD＝CD＝12AB＝2，E 为 AC 的中点，将△ACD 沿 AC 折起，使折起后的平面 ACD 与平面 ABC 垂直，得到如图 2 所示的几何体 D－ABC.
(1)求证：BC⊥平面 ACD； (2)点 F 在棱 CD 上，且满足 AD∥平面 BEF，求几何体 F－BCE 的体积.
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第八章立体几何初步
数学（必修·第二册RJA）
[解析] (1)证明：∵AC＝ AD2＋CD2＝2 2， ∠BAC＝∠ACD＝45°，AB＝4， ∴在△ABC 中，BC2＝AC2＋AB2－2AC×AB×cos45°＝8， ∴AB2＝AC2＋BC2＝16，∴AC⊥BC. ∵平面 ACD⊥平面 ABC，平面 ACD∩平面 ABC＝AC，BC⊂平面 ABC， ∴BC⊥平面 ACD.

2019年数学人教A必修二新一线同步课件：3.1 3.1.2 两条直线平行与垂直的判定

栏目导引
第三章直线与方程
过点 A(m，1)，B(－1，m)的直线与过点 P(1，2)，Q(－5， 0)的直线垂直，则 m＝__________．解析：由题意得，直线 AB 的斜率存在且 kAB·kPQ＝－1. 即－m1－－1m×－0－5－21＝－1，解得 m＝－2. 答案：－2
栏目导引
第三章直线与方程
栏目导引
第三章直线与方程
【解】 (1)①由题意知，k1＝－5－3－12＝－45，k2＝－87－＋33＝－45，所以 l1 与 l2 重合或平行．需进一步研究 A，B，C，D 四点是否共线． kBC＝5－－（3－－33）＝－43≠－45，所以 A，B，C，D 四点不共线，所以 l1∥l2.
栏目导引
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第三章直线与方程
已知点 A(1，2)，B(m，1)，直线 AB 与直线 y＝0 垂直，
则 m 的值为( )
A．2
B．1
C．0
D．－1
解析：选 B．由题意知直线 AB 垂直于 x 轴，斜率不存在，
所以 m＝1.
栏目导引
第三章直线与方程
已知 A(2，0)，B(3，3)，直线 l∥AB，则直线 l 的斜率 k
栏目导引
第三章直线与方程
所以30－－05＝1506－－y0，解得 y＝4285，即当 BM＝156 m，BN＝4285 m 时，小路 MN 与小路 AC 互相平行．
栏目导引
第三章直线与方程
利用坐标法解决实际问题的三个步骤 (1)建立恰当的直角坐标系． (2)将“形”转化为“数”进行运算． (3)将计算结果转化为实际问题中的所求解问题． [提醒] 利用平行、垂直关系式的关键在于正确求解斜率，特别是含参数的问题，必须要分类讨论；其次要注意的是斜率不存在并不意味着问题无解．

2019-2020学年人教A版数学必修二讲义：第3章 3.1 3.1.2 两条直线平行与垂直的判定 Word版含答案

3.1.2两条直线平行与垂直的判定学习目标核心素养1.理解并掌握两条直线平行的条件及两条直线垂直的条件．2．能根据已知条件判断两直线的平行与垂直．3．能应用两条直线的平行或垂直解决实际问题．通过对两条直线平行与垂直的学习，提升直观想象、逻辑推理和数学运算的数学素养.1．两条直线平行与斜率之间的关系类型斜率存在斜率不存在条件α1＝α2≠90°α1＝α2＝90°对应关系l1∥l2⇔k1＝k2l1∥l2⇔两直线斜率都不存在图示思考：如果两条直线平行，那么这两条直线的斜率一定相等吗？[提示]不一定．只有在两条直线的斜率都存在的情况下斜率才相等．2．两条直线垂直与斜率之间的关系图示对应关系l1⊥l2(两条直线的斜率都存在，且都不为零)⇔k1k2＝－1l1的斜率不存在，l2的斜率为0⇒l1⊥l2思考：如果两条直线垂直，则它们的斜率的积一定等于－1吗？[提示]不一定．若两条直线的斜率都存在，它们垂直时斜率之积是－1，若两条直线垂直时，还可能它们的斜率一个是0，另一个不存在．1．已知A (2，0)，B (3，3)，直线l ∥AB ，则直线l 的斜率k 等于( ) A ．－3 B ．3 C ．－13 D ．13 B [k AB ＝3－03－2＝3，∵l ∥AB ，∴k l ＝3.]2．已知直线l 1的斜率k 1＝2，直线l 2的斜率k 2＝－12，则l 1与l 2( ) A ．平行 B ．垂直 C ．重合D ．非以上情况B [∵k 1·k 2＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1，∴l 1⊥l 2.]3．l 1过点A (m ，1)，B (－3，4)，l 2过点C (0，2)，D (1，1)，且l 1∥l 2，则m ＝________．0 [∵k l 2＝2－10－1＝－1，l 1∥l 2，∴k l 1＝4－1－3－m＝－1，∴m ＝0.]两直线平行的判定及应用【例1】根据下列给定的条件，判断直线l 1与直线l 2是否平行． (1)l 1经过点A (2，1)，B (－3，5)，l 2经过点C (3，－3)，D (8，－7)； (2)l 1经过点E (0，1)，F (－2，－1)，l 2经过点G (3，4)，H (2，3)； (3)l 1的倾斜角为60°，l 2经过点M (1，3)，N (－2，－23)； (4)l 1平行于y 轴，l 2经过点P (0，－2)，Q (0，5)．[解] (1)由题意知，k 1＝5－1－3－2＝－45，k 2＝－7＋38－3＝－45，所以直线l 1与直线l 2平行或重合，又k BC ＝5－（－3）－3－3＝－43≠－45，故l 1∥l 2.(2)由题意知，k 1＝－1－1－2－0＝1，k 2＝3－42－3＝1，所以直线l 1与直线l 2平行或重合，k FG ＝4－（－1）3－（－2）＝1，故直线l 1与直线l 2重合．(3)由题意知，k 1＝tan 60°＝3，k 2＝－23－3－2－1＝3，k 1＝k 2，所以直线l 1与直线l 2平行或重合．(4)由题意知，l 1的斜率不存在，且不是y 轴，l 2的斜率也不存在，恰好是y 轴，所以l 1∥l 2.判断两条不重合直线是否平行的步骤1．已知l 1经过点A (－3，3)，B (－8，6)，l 2经过点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－212，6，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫92，－3，求证：l 1∥l 2.[证明] 直线l 1的斜率为k 1＝6－3－8－（－3）＝－35，直线l 2的斜率为k 2＝6－（－3）－212－92＝－35，因为k 1＝k 2，且k AN ＝3－（－3）－3－92＝－45，所以l 1与l 2不重合，所以l 1∥l 2.两条直线垂直关系的判定12(1)l 1经过点A (－1，－2)，B (1，2)；l 2经过点M (－2，－1)，N (2，1)； (2)l 1的斜率为－10；l 2经过点A (10，2)，B (20，3)；(3)l 1经过点A (3，4)，B (3，10)；l 2经过点M (－10，40)，N (10，40)． [解] (1)k 1＝2－（－2）1－（－1）＝2，k 2＝1－（－1）2－（－2）＝12，k 1k 2＝1，∴l 1与l 2不垂直． (2)k 1＝－10，k 2＝3－220－10＝110，k 1k 2＝－1，∴l 1⊥l 2.(3)由A ，B 的横坐标相等得 l 1的倾斜角为90°，则l 1⊥x 轴． k 2＝40－4010－（－10）＝0，则l 2∥x 轴，∴l 1⊥l 2.使用斜率公式判定两直线垂直的步骤(1)一看：就是看所给两点的横坐标是否相等．若相等，则直线的斜率不存在；若不相等，则进行第二步．(2)二代：就是将点的坐标代入斜率公式．(3)求值：计算斜率的值，进行判断，尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式对参数进行讨论．2．已知直线l 1经过点A (3，a )，B (a －1，2)，直线l 2经过点C (1，2)，D (－2，a ＋2)．若l 1⊥l 2，求a 的值．[解] 设直线l 2的斜率为k 2，则k 2＝2－（a ＋2）1－（－2）＝－a3.①当a ＝4时，l 1的斜率不存在，k 2＝－43，不符合题意；②当a ＝0时，l 2的斜率不存在，此时直线l 1的斜率k 1＝－12不符合题意； ③当a ≠4且a ≠0时，l 1的斜率存在，此时k 1＝2－a a －4.由k 1·k 2＝－1，得－a 3·2－aa －4＝－1，解得a ＝3或a ＝－4. ∴当a ＝3或a ＝－4时，l 1⊥l 2.两直线平行与垂直的综合应用 1．已知△ABC 的三个顶点坐标A (5，－1)，B (1，1)，C (2，3)，你能判断△ABC 的形状吗？[提示] 如图，AB 边所在的直线的斜率k AB ＝－12，BC 边所在直线的斜率k BC ＝2.由k AB ·k BC ＝－1，得AB ⊥BC ，即∠ABC ＝90°.∴△ABC 是以点B 为直角顶点的直角三角形．2．已知定点A(－1，3)，B(4，2)，以AB为直径作圆，若圆与x轴有交点C.如何确定点C的坐标？[提示]以线段AB为直径的圆与x轴的交点为C，则AC⊥BC.设C(x，0)，则k AC＝－3x＋1，k BC＝－2x－4，所以－3x＋1·－2x－4＝－1，得x＝1或2，所以C(1，0)或(2，0)．【例3】△ABC的顶点A(5，－1)，B(1，1)，C(2，m)，若△ABC是以点A 为直角顶点的直角三角形，求m的值．[解]因为∠A为直角，则AC⊥AB，所以k AC·k AB＝－1，即m＋12－5·1＋11－5＝－1，得m＝－7.1．本例中若改为∠A为锐角，其他条件不变，如何求解m的值？[解]由于∠A为锐角，故∠B或∠C为直角．若∠B为直角，则AB⊥BC，所以k AB·k BC＝－1，则1＋11－5·m－12－1＝－1，得m＝3；若∠C为直角，则AC⊥BC，所以k AC·k BC＝－1，即m＋12－5·m－12－1＝－1，得m＝±2.综上可知，m＝3或m＝±2.2．若将本例中的条件“点A为直角顶点”去掉，改为若△ABC为直角三角形，如何求解m的值？[解]若∠A为直角，则AC⊥AB，所以k AC·k AB＝－1，即m＋12－5·1＋11－5＝－1，得m＝－7；若∠B为直角，则AB⊥BC，所以k AB·k BC＝－1，即1＋11－5·m－12－1＝－1，得m＝3；若∠C为直角，则AC⊥BC，所以k AC·k BC＝－1，即m＋12－5·m－12－1＝－1，得m＝±2.综上可知，m＝－7或m＝3或m＝±2.利用两条直线平行或垂直来判定图形形状的步骤描点→在坐标系中描出给定的点↓猜测→根据描出的点，猜测图形的形状↓求斜率→根据给定点的坐标求直线的斜率↓结论→由斜率之间的关系判断形状1．两直线平行或垂直的判定方法斜率直线斜率均不存在平行或重合一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在垂直斜率均存在相等平行或重合积为－1垂直1．下列说法正确的是( )A ．若直线l 1与l 2倾斜角相等，则l 1∥l 2B ．若直线l 1⊥l 2，则k 1k 2＝－1C ．若直线的斜率不存在，则这条直线一定平行于y 轴D ．若两条直线的斜率不相等，则两直线不平行D [对A ，两直线倾斜角相等，可能重合；对B ，若l 1⊥l 2，l 1与l 2中可能一条斜率不存在，另一条斜率为0；对C ，若直线斜率不存在，可能与y 轴重合；对D ，若两条直线斜率不相等，则两条直线一定不平行，综合可知D 正确．]2．过点(3，6)，(0，3)的直线与过点(6，2)，(2，0)的直线的位置关系为( )A ．垂直B ．平行C ．重合D ．以上都不正确A [k 1＝3－60－3＝－3＋2，k 2＝0－22－6＝－12－3， ∵k 1k 2＝－1，∴两直线垂直．选A.]3．若经过点M (m ，3)和N (2，m )的直线l 与斜率为－4的直线互相垂直，则m 的值是________．145 [由题意知，直线MN 的斜率存在，因为MN ⊥l ，所以k MN ＝m －32－m＝14，解得m ＝145.]4．当m 为何值时，过两点A (1，1)，B (2m 2＋1，m －2)的直线： (1)倾斜角为135°；(2)与过两点(3，2)，(0，－7)的直线垂直； (3)与过两点(2，－3)，(－4，9)的直线平行． [解] (1)由k AB ＝m －32m 2＝tan 135°＝－1，解得m ＝－32或m ＝1.(2)由k AB ＝m －32m 2，且－7－20－3＝3，则m －32m 2＝－13，解得m ＝32或m ＝－3. (3)令m －32m 2＝9＋3－4－2＝－2，解得m ＝34或m ＝－1.。

高中数学必修二2.3.3-2.3.4(第2课时)直线与平面、平面与平面垂直的性质习题新人教A版必修2

2.3.3-2.3.4 第 2 课时直线与平面、平面与平面垂直的性质
一、选择题
1．已知 l ，m，n 为两两垂直的三条异面直线，过 l 作平面 α 与直线 m垂直，则直线 n 与平

面 α 的关系是 ( )
A． n∥ α B ． n∥ α 或 n? α C． n? α 或 n 与 α 不平行 D．n? α
(2) 过 P 作 PO⊥AD，垂足为 O.
∵平面 PAD⊥平面 ABCD， ∴ PO⊥平面 ABCD，即 PO为四棱锥 P－ ABCD的底面 ABCD上的高．又△ PAD是边长为 4 的等边三角形，
∴ PO＝2 3. 在底面四边形 ABCD中， AB∥ DC， AB＝ 2DC， ∴四边形 ABCD为梯形．
已知 BD＝ 2AD＝ 8， AB＝ 2DC＝4 5.
(1) 设 M是 PC上的一点，证明：平面 MBD⊥平面 PAD； (2) 求四棱锥 P－ ABCD的体积．解： (1) 证明：在△ ABD中，∵ AD＝4， BD＝8， AB＝ 4 5， ∴ AD2＋ BD2＝ AB2，∴ AD⊥ BD.
又∵平面 PAD⊥平面 ABCD，平面 PAD∩平面 ABCD＝ AD， BD? 平面 ABCD， ∴ BD⊥平面 PAD. 又 BD? 平面 MBD， ∴平面 MBD⊥平面 PAD.
2 设 CA＝ CB＝ a，则 AB＝ BD＝ AD＝ 2a， CO＝ 2 a.
13
6
∴ OH＝ 2× 2 × 2a＝ 4 a.
2
CO 2 a 2 3
∴ tan ∠ CHO＝OH＝
＝ 6
3
.
a
4
23 答案：
3 三、解答题 9．如图，在四棱锥 P－ABCD中，平面 PAD⊥平面 ABCD， AB∥ DC，△ PAD是等边三角形，

高一数学人教A版必修2课后练习3.1.2两条直线平行与垂直的判定及解析

课后导练基础达标1直线l 1的倾斜角为30°,直线l 2⊥l 1,则直线l 2的斜率为( ) A.3 B.3- C.33 D.33- 解析：设l 1的斜率为k 1,则k 1=tan30°=33,设l 2的斜率为k 2,∵l 1⊥l 2,∴k 1k 2=-1.∴k 2=3-. 答案：B2若l 1与l 2为两条不重合的直线,它们的倾斜角分别是α1,α2,斜率分别为k 1,k 2,则下列命题,其中正确命题的个数是( )①若l 1∥l 2,则斜率k 1=k 2 ②若k 1=k 2,则l 1∥l 2 ③若l 1∥l 2,则倾斜角α1=α2 ④若α1=α2,则l 1∥l 2A.1B.2C.3D.4解析：由两线平行的判定方法可知,①②③④都正确.答案：D3已知过点A(-2,m)和B(m,4)的直线与斜率为-2的直线平行,则m 的值( )A.-8B.0C.2D.10解析：k AB =24+-m m ,由24+-m m =-2,得m=-8. 答案：A4直线l 过点(a,b)和(b,a),其中a≠b ,则( )A.l 与x 轴垂直B.l 与y 轴垂直C.l 过一、二、三象限D.l 的倾角为135°解析：设直线l 的斜率为k,倾斜角为α.则k=tanα=ab b a --=-1,∴α=135°. 答案：D5若直线l 1∥l 2,且l 1的倾斜角为45°,l 2过点(4,6),则l 2还过下列各点中的( )A.(1,8)B.(-2,0)C.(9,2)D.(0,-8)解析：∵k 1=tan45°,又l 1∥l 2.∴k 2=1.设过点(x,y),则46--x y =1. 即y=x+2,代入检验可知选B.答案：B6原点在直线l 上的射影是P(-2,1),则l 的斜率为_______.解析：设l 的斜率为k,由条件知k OP =21-,又知l ⊥OP, ∴21-k=-1.∴k=2. 答案：27已知点P(3,m)在过M(2,-1)和N(-3,4)的直线上,则m 的值是____________.解析：因为P,M,N 三点共线,所以k PM =k MN .即3241231+--=-+m .得m=-2. 答案：-28顺次连结A(-4,3),B(2,5),C(6,3),D(-3,0),所组成的图形ABCD 是什么图形？解析：如图.∵k AB =314235=+-k BC =216235-=--, k CD =313603=+-, k DA =3403+--=-3. 则k AB =k CD .∴AB ∥CD.k AB ·k DA =-1.∴AD ⊥AB,同理AD ⊥DC.又k BC ≠k AD .∴AD 与BC 不平行.故四边形ABCD 是直角梯形.综合运用9过点(6,3),(0,3)的直线与过点(2,6),(2,0)的直线的位置关系为( )A.相交不垂直B.垂直C.平行D.重合解析：由条件知k 1=320336-=--, k 2=2312602-=--. ∴k 1·k 2=-1.答案：B10已知直线l 1的斜率为3,直线l 2经过点A(1,2),B(2,a),若l 1∥l 2,则a 的值为________;若l 1⊥l 2,则a 的值为____________.解析：k 1=3.k 2=a-2,若l 1∥l 2,则k 1=k 2.即a-2=3.∴a=5,若l 1⊥l 2,则k 1·k 2=-1.即3(a-2)=-1.得a=35. 答案：5 5/311已知△ABC 的顶点B(2,1),C(-6,3),其垂心为H(-3,2),求顶点A 的坐标.解：设A(a,b),∵H 为△ABC 的垂心,∴AH ⊥BC,BH ⊥AC.又知k AH =32+-a b ,k BC =41-,k BH =51-,k AC =63+-a b , 由⎩⎨⎧-=-⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-∙+--=-∙+-.62,19.1)51(63,1)41(32b a a b a b 解得 ∴A 的坐标为(-19,-62).拓展探究12已知A(0,3),B(-1,0),C(3,0),求点D 的坐标,使四边形ABCD 为直角梯形(A 、B 、C 、D 按逆时针方向排列).解：如图,设D(a,b),(1)当AB ∥CD,且∠BAD=90°时,∵k AD =a b 3-,k AB =3,k CD =3-a b .由于AD ⊥AB.且AB ∥CD. ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=∙-.59,518,33,133b a a b a b 解得此时AD 与BC 不平行.(2)当AD ∥BC 且∠ACD=90°时,此时D(3,3),此时AB 与CD 不平行.故点D 的坐标为(3,3)和(59,518).。

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(1)若 G 为 FB 的中点，求证：AG⊥平面 BCEF. (2)求二面角 C－AB－F 的正切值.
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第八章
立体几何初步
数学（必修·第二册RJA）
[解析] (1)证明：因为AF＝BF，∠AFB＝60°，所以△AFB为等边三角形.
第八章立体几何初步
数学（必修·第二册RJA）
[归纳提升] (1)在应用线面平行的判定定理进行平行转化时，一定注意定理成立的条件，通常应严格按照定理成立的条件规范书写步骤，如：把线面平行转化为线线平行时，必须说清经过已知直线的平面和已知平面相交，这时才有直线与交线平行.
(2)对于有关两个平面垂直的证明，一般利用两个平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直，在应用定理解决问题时，经常采取“线线垂直”⇒“线面垂直”⇒“面面垂直”的转化思想进行推理.
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第八章立体几何初步
数学（必修·第二册RJA）
【对点练习】❶ 在平行六面体 ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB， AB1⊥B1C1．
求证：(1)AB∥平面A1B1C； (2)平面ABB1A1⊥平面A1BC. [证明] (1)在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB∥A1B1．因为AB⊄平面A1B1C， A1B1⊂平面A1B1C，所以AB∥平面A1B1C.
第八章
立体几何初步
习题课平行与垂直的综合问题
关键能力·攻重难课堂检测·固双基素养作业·提技能
第八章立体几何初步
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关键能力·攻重难

高中数学第三章直线与方程311倾斜角与斜率312两条直线平行与垂直的判定刷题课件新人教A版必修2

15．已知点A(2，－3)，B(－3，－2)，直线l过点P(1，1)，且与线段AB相交，则直线l的斜率k
满足( A ) A．k≥ 3 或k≤－4
4
B．k≥3/4或k≤ Leabharlann 1 43 C．－4≤k≤ 4
3 D. 4 ≤k≤4
解析
如图所示，过点P作直线PC⊥x轴交线段AB于点C，作出直线PA，PB.
①直线l与线段AB的交点在线段AC(除去点C)上时，
14．已知直线l1经过点A(3，a)，B(a－2，－3)，直线l2经过点C(2，3)，D(－1，a－2)，如果
l1⊥l2，则a＝_____-_6_或__5___.
解析当k2＝0时，由两直线垂直知直线l12≠0时，由k1·k2＝－1，得a＝－6.故a的值为－6或5.
3.1.1+3.1.2
刷易错
易错点直线斜率与倾斜角关系理解不准确致误
3.1.1+3.1.2
刷基础
题型1 直线的倾斜角与斜率
1．下列说法正确的是( D ) A．一条直线和x轴的正方向所成的角，叫做这条直线的倾斜角 B．直线的倾斜角α的取值范围是锐角或钝角 C．和x轴平行的直线，它的倾斜角为180° D．每一条直线都存在倾斜角，但并非每一条直线都存在斜率
解析对于A，一条直线向上方向和x轴正方向所成的角，叫做这条直线的倾斜角，A错误；对于B，直线的倾斜角α的取值范围是0°≤α＜180°，B错误；对于C，和x轴平行的直线，它的倾斜角为0°，C错误；对于D，每一条直线都存在倾斜角，但并非每一条直线都存在斜率，如α＝90°时，斜率不存在，D正确．故选D.
3.1.1+3.1.2
题型1 直线的倾斜角与斜率
D
刷基础

2019学年高中数学必修二(人教A版)课时作业：19两条直线平行与垂直的判定(含解析)

课时作业19 两条直线平行与垂直的判定——基础巩固类——1．已知l 1⊥l 2，直线l 1的倾斜角为45°，则直线l 2的倾斜角为( ) A ．45° B ．135° C ．－45°D ．120°解析：由l 1⊥l 2及k 1＝tan45°＝1，知l 2的斜率k 2＝－1，∴l 2的倾斜角为135°.答案：B2．经过两点A(2,3)，B(－1，x)的直线l 1与斜率为－1的直线l 2平行，则实数x 的值为( )A ．0B ．－6C ．6D ．3解析：直线l 1的斜率k 1＝x －3－1－2＝3－x 3，由题意可知3－x 3＝－1，∴x ＝6.答案：C3．若点A(0,1)，B(3，4)在直线l 1上，l 1⊥l 2，则直线l 2的倾斜角为( )A ．－30°B ．30°C ．150°D ．120°解析：直线l 1的斜率为4－13－0＝3，l 1⊥l 2，故直线l 2的斜率为－33，则直线l 2的倾斜角为150°.答案：C4．以A(－1,1)，B(2，－1)，C(1,4)为顶点的三角形是( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形C ．以A 点为直角顶点的直角三角形D ．以B 点为直角顶点的直角三角形解析：k AB ＝－1－12－(－1)＝－23，k BC ＝4－(－1)1－2＝－5，k AC ＝4－11－(－1)＝32，因为k AB ·k AC ＝－1，所以三角形是以A 点为直角顶点的直角三角形．答案：C5．已知点A(2,3)，B(－2,6)，C(6,6)，D(10,3)，则以A ，B ，C ，D 为顶点的四边形是( )A ．梯形B ．平行四边形C ．菱形D ．矩形解析：如图所示，易知k AB ＝－34，k BC ＝0，k CD ＝－34，k AD ＝0，k BD＝－14，k AC ＝34，所以k AB ＝k CD ，k BC ＝k AD ， k AB ·k AD ＝0，k AC ·k BD ＝－316，故AD ∥BC ，AB ∥CD ，AB 与AD 不垂直，BD 与AC 不垂直．所以四边形ABCD 为平行四边形．故选B. 答案：B6．已知l 1的斜率是2，l 2过点A(－1，－2)，B(x,6)，且l 1∥l 2，则log 19x ＝________.解析：∵l 1∥l 2，∴6＋2x ＋1＝2，∴x ＝3.∴log 19 3＝－12.答案：－127．已知A(2,3)，B(1，－1)，C(－1，－2)，点D 在x 轴上，则当D 点的坐标为________时，AB ∥CD ；当D 点的坐标为________时，AB ⊥CD.解析：设D(a,0)．若AB ∥CD ，则有3－(－1)2－1＝0－(－2)a －(－1)，即41＝2a ＋1，所以a ＝－12，从而D 点的坐标为(－12，0)．若AB ⊥CD ，则有4×2a ＋1＝－1，所以a ＝－9，从而D 点的坐标为(－9,0)．答案：(－12，0) (－9,0)8．当m 为何值时，过两点A(1,1)，B(2m 2＋1，m －2)的直线：(1)倾斜角为3π4；(2)与过两点(3,2)，(0，－7)的直线垂直； (3)与过两点(2，－3)，(－4,9)的直线平行．解：(1)由k AB ＝m －32m 2＝－1，得m ＝－32或1. (2)由k AB ＝m －32m 2且－7－20－3＝3，∴m －32m 2＝－13，解得m ＝32或－3.(3)令m －32m 2＝9＋3－4－2＝－2，解得m ＝34或－1.9．已知中，A(1,2)，B(5,0)，C(3,4)．(1) 求点D 的坐标； (2)试判定是否为菱形？解：(1)设D(a ，b)，由，得k AB ＝k CD ，k AD ＝k BC ，即⎩⎪⎨⎪⎧0－25－1＝b －4a －3，b －2a －1＝4－03－5.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝6.∴D(－1,6)．(2)∵k AC ＝4－23－1＝1，k BD ＝6－0－1－5＝－1，∴k AC ·k BD ＝－1，∴AC ⊥BD.∴为菱形．——能力提升类——10．已知A(m,3)，B(2m ，m ＋4)，C(m ＋1,2)，D(1,0)，且直线AB 与直线CD 平行，则m 的值为( )A．1 B．0 C．0或2 D．0或1解析：当AB与CD斜率均不存在时，m＝0，此时AB∥CD，当k AB＝k CD时，m＝1，此时AB∥CD.答案：D11．若点P(a，b)与Q(b－1，a＋1)关于直线l对称，则l的倾斜角为( )A．135°B．45°C．30°D．60°解析：k PQ＝a＋1－bb－1－a＝－1，k PQ·k l＝－1，∴l的斜率为1，倾斜角为45°.答案：B12．若不同两点P，Q的坐标分别为(a，b)，(3－b,3－a)，则线段PQ的垂直平分线的斜率为________．解析：由两点的斜率公式可得：k PQ＝3－a－b3－b－a＝1，所以线段PQ的垂直平分线的斜率为－1.答案：－113．如右图所示，一个矩形花园里需要铺两条笔直的小路，已知矩形花园长AD ＝5 m ，宽AB ＝3 m ，其中一条小路定为AC ，另一条小路过点D ，问如何在BC 上找到一点M ，使得两条小路所在直线AC 与DM 相互垂直？解：如图所示，以点B 为坐标原点，BC 、BA 所在直线分别为x 轴、y 轴建立直角坐标系．由AD ＝5，AB ＝3，可得C(5,0)，D(5,3)，A(0,3)．设点M 的坐标为(x,0)，因为AC ⊥DM ，所以k AC ·k DM ＝－1，所以3－00－5·3－05－x＝－1，即x ＝165＝3.2，即BM ＝3.2 m 时，两条小路所在直线AC 与DM 相互垂直．。

直线与平面垂直(第二课时)高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册

m⊥β
⇒n∥α；
m⊥β，
②
n⊥β
⇒m∥n；
⇒α∥β；
m⊂α，

④n⊂β，
α∥β

⇒m∥n.
( A )
其中正确命题的序号是
A．②③
B．③④
C．①②
D．①②③④
拓展练习
新课引入
基础知识
例题讲解
拓展练习
例 2 已知 l，m，n 是三条不同的直线，α 是一平面．下列命题中正
( B )
确的个数为
8.6.2 直线与平面
垂直
（第二课时）
人教A版高中数学必修第二册
温故知新
定义如果直线 l 与平面内的任意一条直线都
垂直，我们说直线 l 与平面互相垂直.
判定定理如果一条直线与一个平面内的两条
相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直．
l
α
P
A
斜线PA与平面所成的角为PAB
练习1：如图，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，PA⊥
M是圆周上任意一点，AN⊥PM，垂足为N.
求证：AN⊥平面PBM.
知识探究
如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，棱
AA1，BB1，CC1，DD1所在直线与底面
ABCD的位置关系如何？它们彼此之间
具有什么位置关系？
C
1
B1
D
1
A
1
D
C
B
A
课堂探究
思考:一个平面的垂线有多少条？这些直线
彼此之间具有什么位置关系？
①若 l∥m，m∥n，l⊥α，则 n⊥α；
②若 l∥m，m⊥α，n⊥α，则 l∥n；
③若 l∥α，l⊥m，则 m⊥α.

【课件】线面垂直的习题课 2022-2023学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册

则直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α.
注 : 若l , m , 则l m. (线面垂直→线线垂直)
➢ 线面垂直的判定定理：若一条直线和一个平面内的两条相
交直线都垂直, 则这条直线垂直于这个平面.
符号语言：若l m, l n, m n P, m , n , 则l .
Math
习题课
1
Contents
dreaming of the future
changing the world
2
3
4
1
Changing the world dreaming of the future
refreshes mankind infinite imagination
➢ 线面垂直的定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，
B
练习2：在四棱锥P-ABCD中，底ABCD是边长为2的菱形，
PB=PD，PA⊥AC.求证：BD⊥平面PAC.
P
证明：连接BD与AC交于点O，连接PO.
∵四边形ABCD为菱形，
∴BD⊥AC.
∵PB=PD,O为BD的中点，
∴BD⊥PO.
∵PO∩AC＝O，PO,AC⊂平面PAC，
∴BD⊥平面BPAC.
正方形
圆
平行四边形
4
Changing the world dreaming of the future
refreshes mankind infinite imagination
Aa
课后作业1
Bb
课后作业2
Thanks
PC 面AEF .
例2：三棱锥V-ABC中，VA=VC，AB=BC，求证：AC⊥平面VBD.

最新-全优指导高中数学人教A版必修2课件：习题课2 直线与平面的平行与垂直精品

找点.
(4)折叠问题中的平行与垂直关系的处理关键是结合图形弄清折叠
前后变与不变的数量关系,尤其是隐含着的平行与垂直关系.
做一做1 (2015福建高考改编)若l,m是两条不同的直线,m垂直
于平面α,则“l⊥m”是“l∥α”的(
)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
因为 AA1= 3,AD=1,
π
所以在 Rt△AA1D 中,∠A1DA= ,
所以 AM=1×sin
所以
3
3
1
7
60°= ,AP= AB1= ,
2
2
2

sin∠APM=

=
3
2
7
2
=
21
,
7
所以直线 AB1 与平面 A1BD 所成的角的正弦值为
21
.
7
探究一
探究二
探究三
规范解答
当堂检测
探究一
探究二
(2)求二面角A1-BD-A的大小.
(3)求直线AB1与平面A1BD所成的角的正弦值.
探究一
探究二
探究三
规范解答
当堂检测
(1)证明:设AB1与A1B相交于点P,连接PD,则P为AB1的中点,因为D
为AC的中点,所以PD∥B1C.
又PD⊂平面A1BD,B1C⊄平面A1BD,
所以B1C∥平面A1BD.
所以
π
3
= 3,所以∠A1DA= ,
π
3
即二面角 A1-BD-A 的大小是 .
探究一
探究二
探究三
规范解答
当堂检测
(3)解:作 AM⊥A1D 于 M.

8.6.1 直线与直线垂直高一数学新教材配套练习(人教A版2019必修第二册)

8.6空间直线、平面的垂直8.6.1直线与直线垂直基础练巩固新知夯实基础1.设a，b，c是三条直线，且c⊥a，c⊥b，则a和b()A．平行B．相交C．异面D．以上都有可能2.一条直线与两条平行线中的一条成为异面直线，则它与另一条()A．相交B．异面C．相交或异面D．平行3.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1的棱中，与棱AB垂直的棱有()A．2条B．4条C．6条D．8条4..如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,若∠ABC=90°,AB=BC=1,则异面直线B1C1与AC所成角的大小为()A.45°B.60°C.30°D.90°5.如图，空间四边形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6，M，N分别为AB，CD的中点，并且异面直线AC与BD所成的角为90°，则MN＝()A.3B.4C.5D.66. (多选)如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述错误的是()A．CC1与B1E是异面直线B．C1C与AE共面C．AE与B1C1是异面直线D．AE与B1C1所成的角为60°7.如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线．其中正确的结论为________(注：把你认为正确结论的序号都填上)．8.在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D是AB的中点，则在所有的棱中与直线CD和AA1都垂直的直线有___ _.9.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线A1B与AD1所成的角大小为____.10.如图所示,在空间四边形ABCD中,AD=BC=2,E,F分别是AB,CD的中点,EF=√2.求证:AD⊥BC.11.在四面体A-BCD中，E，F分别是AB，CD的中点．若BD，AC所成的角为60°，且BD＝AC＝1，求EF 的长度．能力练综合应用核心素养12.设P 是直线l 外一定点,经过点P ,且与l 成30°角的异面直线( ) A.有无数条 B.有两条C.至多有两条D.有一条13.一个正方体的展开图如图所示，A ，B ，C ，D 为原正方体的顶点，则在原来的正方体中( ) A ．AB ∥CD B ．AB 与CD 相交C ．AB ⊥CD D ．AB 与CD 所成的角为60°14.如图所示,在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E ,F 分别是面A 1B 1C 1D 1和AA 1D 1D 的中心,则EF 和CD 所成的角是( )A.60°B.45°C.30°D.90°15.点E 、F 分别是三棱锥P －ABC 的棱AP 、BC 的中点，AB ＝6，PC ＝8，EF ＝5，则异面直线AB 与PC 所成的角为( )A ．60°B ．45°C ．30°D ．90°16.在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝3，则异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为( ) A ．15 B ．56 C ．55 D ．2217.如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥AB ，AA 1⊥AC .若AB ＝AC ＝AA 1＝1，BC ＝2，则异面直线A 1C 与B 1C 1所成的角为____.18.已知正四棱锥P -ABCD ，P A ＝2，AB ＝2，M 是侧棱PC 的中点，且BM ＝2，则异面直线P A 与BM 所成角为________．19.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是A 1B 1，B 1C 1的中点，求异面直线DB 1与EF 所成角的大小．20.在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中,侧面都是矩形,底面ABCD 是菱形,且AB =BC =2√3,∠ABC =120°,异面直线A 1B 和AD 1所成的角为90°,试求AA 1.【参考答案】1.D 解析：空间中垂直于同一条直线的两条直线可能平行、相交或异面.2.C 解析：如图所示的长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，直线AA 1与直线B 1C 1是异面直线，与B 1C 1平行的直线有A 1D 1，AD ，BC ，显然直线AA 1与A 1D 1相交，与BC 异面．3.D 解析：在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱中，与棱AB 垂直的棱有BC ，B 1C 1，A 1D 1，AD ，AA 1，BB 1，CC 1，DD 1，共8条.4.A 解析:因为BC ∥B 1C 1,所以∠ACB (或它的补角)为异面直线B 1C 1与AC 所成角.因为∠ABC =90°,AB =BC =1,所以∠ACB =45°,所以异面直线B 1C 1与AC 所成角为45°.5.C 解析：取AD 的中点P ，连接PM ，PN ，则BD ∥PM ，AC ∥PN ，∴∠MPN 即异面直线AC 与BD 所成的角，∴∠MPN ＝90°，PN ＝12AC ＝4，PM ＝12BD ＝3，∴MN ＝5.6.ABD 解析：由于CC 1与B 1E 都在平面C 1B 1BC 内，故C 1C 与B 1E 共面，A 错误；由于C 1C 在平面C 1B 1BC 内，而AE 与平面C 1B 1BC 相交于E 点，点E 不在C 1C 上，故C 1C 与AE 是异面直线，B 错误；同理AE 与B 1C 1是异面直线，C 正确；AE 与B 1C 1所成的角就是AE 与BC 所成的角，而E 为BC 中点，△ABC 为正三角形，所以AE ⊥BC ，即AE 与B 1C 1所成7.③④解析：①中AM 与CC 1是异面直线；②中AM 与BN 是异面直线；易知③④正确． 8. AB ，A 1B 1 [解析] 由正三棱柱的性质可知与直线CD 和AA 1都垂直的直线有AB ，A 1B 1．9. 60° 解析：连接BC 1，A 1C 1，∵BC 1∥AD 1，∴异面直线A 1B 与AD 1所成的角即为直线A 1B 与BC 1所成的角(或其补角).在△A 1BC 1中，A 1B ＝BC 1＝A 1C 1，∴∠A 1BC 1＝60°，即异面直线A 1B 与AD 1所成的角为60°. 10.证明:如图所示,取BD 的中点H ,连接EH ,FH. 因为E 是AB 的中点,且AD =2,所以EH ∥AD ,EH =1.同理FH ∥BC ,FH =1.所以∠EHF (或其补角)是异面直线AD ,BC 所成的角. 因为EF =√2,所以EH 2+FH 2=EF 2,所以△EFH 是等腰直角三角形,EF 是斜边, 所以∠EHF =90°,即AD 与BC 所成的角是90°,所以AD ⊥BC.11.解：如图，取BC 中点O ，连接OE ，OF .∵OE ∥AC ，OF ∥BD ，∴OE 与OF 所成的锐角(或直角)即为AC 与BD 所成的角．而AC ，BD 所成的角为60°， ∴∠EOF ＝60°或∠EOF ＝120°. 当∠EOF ＝60°时，EF ＝OE ＝OF ＝12；当∠EOF ＝120°时，取EF 的中点M ，连接OM ，则OM ⊥EF ，EF ＝2EM ＝2×34＝32.12.A 解析:如图所示,过点P 作直线l'∥l ,以l'为轴,与l'成30°角的圆锥面的所有母线都与l 成30°角.13.D 解析：将展开图还原成正方体如右图．∵AB ∥DE ，∴∠CDE (或其补角)是AB 与CD 所成角．∵CD ＝DE ＝CE ，∴∠CDE ＝60°.∴在原来的正方体中AB 与CD 所成的角为60°.故选D ．14.B 解析:如图所示,连接B 1D 1,AB 1,则E 为B 1D 1的中点,F 为AD 1的中点,所以EF ∥AB 1.因为CD ∥AB ,所以∠B 1AB 为异面直线EF 与CD 所成的角.在正方体中,∠B 1AB =45°,所以EF 与CD 所成的角是45°.15.D 解析：如图，取PB 的中点G ，连接EG 、FG ，则EG12AB ，GF 12PC ，则∠EGF (或其补角)即为AB 与PC 所成的角，在△EFG 中，EG ＝12AB ＝3，FG ＝12PC ＝4，EF ＝5，所以∠EGF ＝90°.16.C 解析：如图，连接BD 1，交DB 1于点O ，取AB 的中点M ，连接DM ，OM .易知O 为BD 1的中点，所以AD 1∥OM ，则∠MOD 为异面直线AD 1与DB 1所成角(或其补角)．因为在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1， AA 1＝3，AD 1＝AD 2＋DD 21＝2，DM ＝AD 2＋⎝⎛⎭⎫12AB 2＝52，DB 1＝AB 2＋AD 2＋DD 21＝5，所以OM ＝12AD 1＝1，OD ＝12DB 1＝52.于是在△DMO 中，由余弦定理，得cos ∠MOD ＝12＋⎝⎛⎭⎫522－⎝⎛⎭⎫5222×1×52＝55，即异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为55.故选C ． 17. 60° 解析：依题意，得BC ∥B 1C 1，故异面直线A 1C 与B 1C 1所成的角即BC 与A 1C 所成的角.连接A 1B ，在△A 1BC 中，BC ＝A 1C ＝A 1B ＝2，故∠A 1CB ＝60°，即异面直线A 1C 与B 1C 1所成的角为60°. 18.45° 解析：如图，连接AC ，BD 交于点O ，连接OM ，则∠OMB 为异面直线P A 与BM 所成角．由O ，M 分别为AC ，PC 中点，得OM ＝12P A ＝1.在Rt △AOB 中，易得OB ＝AB ·tan·45°＝1.又BM ＝2，即OB 2＋OM 2＝BM 2，所以△OMB 为直角三角形，且∠OMB ＝45°. 19.解：如图所示，连接A 1C 1，B 1D 1，并设它们相交于点O ，取DD 1的中点G ，连接OG ，A 1G ，C 1G ，则OG ∥B 1D ，EF ∥A 1C 1，∴∠GOA 1为异面直线DB 1与EF 所成的角(或其补角)． ∵GA 1＝GC 1，O 为A 1C 1的中点， ∴GO ⊥A 1C 1.∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.20.解:如图所示,连接CD1,AC.由题意,得在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,A1D1∥BC,A1D1=BC=2√3,所以四边形A1BCD1是平行四边形,所以A1B∥CD1,所以∠AD1C(或其补角)为A1B和AD1所成的角.因为异面直线A1B和AD1所成的角为90°,所以∠AD1C=90°.因为四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为菱形,可得△ACD1是等腰直角三角形,所以AD1=√2AC.2因为AB=BC=2√3,∠ABC=120°,所以AC=2√3×sin 60°×2=6,所以AD1=√2AC=3√2,2所以AA1=√AD12-A1D12=√(3√2)2-(2√3)2=√6.。