习题课平行与垂直的综合问题-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第二册课件
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求证：(1)直线PA∥平面BDE. (2)平面BDE⊥平面PCD.
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第八章 立体几何初步
数学（必修·第二册RJA）
[证明] (1)如图，连接OE，因为O为平行四边形ABCD对角线的交 点，所以O为AC的中点.
又E为PC的中点，所以OE∥PA. 因为OE⊂平面BDE，PA⊄平面BDE， 所以直线PA∥平面BDE.
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第八章 立体几何初步
数学（必修·第二册RJA）
(2)在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，四边形ABB1A1为平行四边形. 又因为AA1＝AB，所以四边形ABB1A1为菱形，因此AB1⊥A1B. 因为AB1⊥B1C1，BC∥B1C1，所以AB1⊥BC. 因为A1B∩BC＝B，A1B⊂平面A1BC，BC⊂平面A1BC， 所以AB1⊥平面A1BC. 因为AB1⊂平面ABB1A1，所以平面ABB1A1⊥平面A1BC.
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第八章 立体几何初步
数学（必修·第二册RJA）
(2)∵AD∥平面 BEF，AD⊂平面 ACD，平面 ACD∩平面 BEF＝EF， ∴AD∥EF，∵E 为 AC 的中点，∴EF 为△ACD 的中位线.
由(1)知，几何体 F－BCE 的体积 VF－BCE＝VB－CEF＝13×S△CEF×BC， ∵S△CEF＝14S△ACD＝14×12×2×2＝12， ∴VF－BCE＝13×12×2 2＝ 32.
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第八章 立体几何初步
数学（必修·第二册RJA）
[解析] (1)证明：因为AF＝BF，∠AFB＝60°，所以△AFB为等边三角 形.
又G为FB的中点，所以AG⊥FB. 在等腰梯形ABCD中，E，F分别是CD，AB的中点，所以EF⊥AB. 于是EF⊥AF，EF⊥BF. 又AF∩BF＝F，所以EF⊥平面ABF. 因为AG⊂平面ABF，所以AG⊥EF. 又AG⊥BF，EF∩BF＝F，所以AG⊥平面BCEF.
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第八章 立体几何初步
(2)如图，连接CG. 因为在等腰梯形ABCD中，CD＝2，AB＝4， 点E，F分别是CD，AB的中点，G为FB的中点， 所以EC＝FG＝BG＝1，从而CG∥EF. 因为EF⊥平面ABF，所以CG⊥平面ABF. 如图，过点G作GH⊥AB于H，连接CH. 由三垂线定理可得CH⊥AB， 所以∠CHG为二面角C－AB－F的平面角.
第八章
立体几何初步
习题课 平行与垂直的综合问题
关键能力·攻重难 课堂检测·固双基 素养作业·提技能
第八章 立体几何初步
数学（必修·第二册RJA）
关键能力·攻重难
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第八章 立体几何初步
数学（必修·第二册RJA）
题型探究 题型一 平行和垂直关系的证明
典例 1 如图，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD为平行四边 形，AC，BD相交于点O，点E为PC的中点，OP＝OC，PA⊥PD.
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第八章 立体几何初步
题型二 立体几何中的折叠问题
数学（必修·第二册RJA）
典例 2 如图 1 所示，在直角梯形 ABCD 中，∠ADC＝90°，AB∥ CD，AD＝CD＝12AB＝2，E 为 AC 的中点，将△ACD 沿 AC 折起，使折 起后的平面 ACD 与平面 ABC 垂直，得到如图 2 所示的几何体 D－ABC.
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第八章 立体几何初步
数学（必修·第二册RJA）
[归纳提升] 平面图形翻折为空间图形问题的解题关键是看翻折前
后线面位置关系的变化，根据翻折的过程找到翻折前后线线位置关系中
没有变化的量和发生变化的量，这些不变的和变化的量反映了翻折后的
空间图形的结构特征.
解决此类问题的步骤为：
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第八章 立体几何初步
数学（必修·第二册RJA）
【对点练习】❷ (2020·湖南师范大学附属中学高二期中)如图(1)，
在等腰梯形 ABCD 中，E，F 分别是 CD，AB 的中点，CD＝2，AB＝4，
AD＝BC＝ 2.沿 EF 将梯形 AFED 折起，使得∠AFB＝60°，如图(2).
(1)若 G 为 FB 的中点，求证：AG⊥平面 BCEF. (2)求二面角 C－AB－F 的正切值.
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第八章 立体几何初步
数学（必修·第二册RJA）
【对点练习 】❶ 在平行六面体 ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB， AB1⊥B1C1．
求证：(1)AB∥平面A1B1C； (2)平面ABB1A1⊥平面A1BC. [证明] (1)在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB∥A1B1． 因为AB⊄平面A1B1C， A1B1⊂平面A1B1C， 所以AB∥平面A1B1C.
第八章 立体几何初步
数学（必修·第二册RJA）
ห้องสมุดไป่ตู้
[归纳提升] (1)在应用线面平行的判定定理进行平行转化时，一定 注意定理成立的条件，通常应严格按照定理成立的条件规范书写步骤， 如：把线面平行转化为线线平行时，必须说清经过已知直线的平面和已 知平面相交，这时才有直线与交线平行.
(2)对于有关两个平面垂直的证明，一般利用两个平面垂直的判定定 理：如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直，在应 用定理解决问题时，经常采取“线线垂直”⇒“线面垂直”⇒“面面垂 直”的转化思想进行推理.
(1)求证：BC⊥平面 ACD； (2)点 F 在棱 CD 上，且满足 AD∥平面 BEF，求几何体 F－BCE 的体积.
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第八章 立体几何初步
数学（必修·第二册RJA）
[解析] (1)证明：∵AC＝ AD2＋CD2＝2 2， ∠BAC＝∠ACD＝45°，AB＝4， ∴在△ABC 中，BC2＝AC2＋AB2－2AC×AB×cos45°＝8， ∴AB2＝AC2＋BC2＝16，∴AC⊥BC. ∵平面 ACD⊥平面 ABC， 平面 ACD∩平面 ABC＝AC，BC⊂平面 ABC， ∴BC⊥平面 ACD.
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第八章 立体几何初步
(2)因为OE∥PA，PA⊥PD， 所以OE⊥PD. 因为OP＝OC，E为PC的中点， 所以OE⊥PC. 又PD⊂平面PCD，PC⊂平面PCD，PC∩PD＝P， 所以OE⊥平面PCD. 因为OE⊂平面BDE， 所以平面BDE⊥平面PCD.
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[证明] (1)如图，连接OE，因为O为平行四边形ABCD对角线的交 点，所以O为AC的中点.
又E为PC的中点，所以OE∥PA. 因为OE⊂平面BDE，PA⊄平面BDE， 所以直线PA∥平面BDE.
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(2)在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，四边形ABB1A1为平行四边形. 又因为AA1＝AB，所以四边形ABB1A1为菱形，因此AB1⊥A1B. 因为AB1⊥B1C1，BC∥B1C1，所以AB1⊥BC. 因为A1B∩BC＝B，A1B⊂平面A1BC，BC⊂平面A1BC， 所以AB1⊥平面A1BC. 因为AB1⊂平面ABB1A1，所以平面ABB1A1⊥平面A1BC.
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(2)∵AD∥平面 BEF，AD⊂平面 ACD，平面 ACD∩平面 BEF＝EF， ∴AD∥EF，∵E 为 AC 的中点，∴EF 为△ACD 的中位线.
由(1)知，几何体 F－BCE 的体积 VF－BCE＝VB－CEF＝13×S△CEF×BC， ∵S△CEF＝14S△ACD＝14×12×2×2＝12， ∴VF－BCE＝13×12×2 2＝ 32.
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[解析] (1)证明：因为AF＝BF，∠AFB＝60°，所以△AFB为等边三角 形.
又G为FB的中点，所以AG⊥FB. 在等腰梯形ABCD中，E，F分别是CD，AB的中点，所以EF⊥AB. 于是EF⊥AF，EF⊥BF. 又AF∩BF＝F，所以EF⊥平面ABF. 因为AG⊂平面ABF，所以AG⊥EF. 又AG⊥BF，EF∩BF＝F，所以AG⊥平面BCEF.
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(2)如图，连接CG. 因为在等腰梯形ABCD中，CD＝2，AB＝4， 点E，F分别是CD，AB的中点，G为FB的中点， 所以EC＝FG＝BG＝1，从而CG∥EF. 因为EF⊥平面ABF，所以CG⊥平面ABF. 如图，过点G作GH⊥AB于H，连接CH. 由三垂线定理可得CH⊥AB， 所以∠CHG为二面角C－AB－F的平面角.
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关键能力·攻重难 课堂检测·固双基 素养作业·提技能
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题型探究 题型一 平行和垂直关系的证明
典例 1 如图，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD为平行四边 形，AC，BD相交于点O，点E为PC的中点，OP＝OC，PA⊥PD.
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题型二 立体几何中的折叠问题
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典例 2 如图 1 所示，在直角梯形 ABCD 中，∠ADC＝90°，AB∥ CD，AD＝CD＝12AB＝2，E 为 AC 的中点，将△ACD 沿 AC 折起，使折 起后的平面 ACD 与平面 ABC 垂直，得到如图 2 所示的几何体 D－ABC.
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数学（必修·第二册RJA）
[归纳提升] 平面图形翻折为空间图形问题的解题关键是看翻折前
后线面位置关系的变化，根据翻折的过程找到翻折前后线线位置关系中
没有变化的量和发生变化的量，这些不变的和变化的量反映了翻折后的
空间图形的结构特征.
解决此类问题的步骤为：
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第八章 立体几何初步
数学（必修·第二册RJA）
【对点练习】❷ (2020·湖南师范大学附属中学高二期中)如图(1)，
在等腰梯形 ABCD 中，E，F 分别是 CD，AB 的中点，CD＝2，AB＝4，
AD＝BC＝ 2.沿 EF 将梯形 AFED 折起，使得∠AFB＝60°，如图(2).
(1)若 G 为 FB 的中点，求证：AG⊥平面 BCEF. (2)求二面角 C－AB－F 的正切值.
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数学（必修·第二册RJA）
【对点练习 】❶ 在平行六面体 ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB， AB1⊥B1C1．
求证：(1)AB∥平面A1B1C； (2)平面ABB1A1⊥平面A1BC. [证明] (1)在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB∥A1B1． 因为AB⊄平面A1B1C， A1B1⊂平面A1B1C， 所以AB∥平面A1B1C.
第八章 立体几何初步
数学（必修·第二册RJA）
ห้องสมุดไป่ตู้
[归纳提升] (1)在应用线面平行的判定定理进行平行转化时，一定 注意定理成立的条件，通常应严格按照定理成立的条件规范书写步骤， 如：把线面平行转化为线线平行时，必须说清经过已知直线的平面和已 知平面相交，这时才有直线与交线平行.
(2)对于有关两个平面垂直的证明，一般利用两个平面垂直的判定定 理：如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直，在应 用定理解决问题时，经常采取“线线垂直”⇒“线面垂直”⇒“面面垂 直”的转化思想进行推理.
(1)求证：BC⊥平面 ACD； (2)点 F 在棱 CD 上，且满足 AD∥平面 BEF，求几何体 F－BCE 的体积.
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数学（必修·第二册RJA）
[解析] (1)证明：∵AC＝ AD2＋CD2＝2 2， ∠BAC＝∠ACD＝45°，AB＝4， ∴在△ABC 中，BC2＝AC2＋AB2－2AC×AB×cos45°＝8， ∴AB2＝AC2＋BC2＝16，∴AC⊥BC. ∵平面 ACD⊥平面 ABC， 平面 ACD∩平面 ABC＝AC，BC⊂平面 ABC， ∴BC⊥平面 ACD.
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(2)因为OE∥PA，PA⊥PD， 所以OE⊥PD. 因为OP＝OC，E为PC的中点， 所以OE⊥PC. 又PD⊂平面PCD，PC⊂平面PCD，PC∩PD＝P， 所以OE⊥平面PCD. 因为OE⊂平面BDE， 所以平面BDE⊥平面PCD.
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