最新人教部编版八年级数学上册《15.3 分式方程1分式方程及其解法》精品PPT优质课件
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最新人教部编版八年级数学上册《第15章 分式【全章】》精品PPT优质课件
• 学习目标： 1．知道并熟记分式乘除法法则. 2．能准确地进行分式的乘除法的计算. 3．通过分式乘除法法则得出体会类比的数学思 想方法.
推进新课
知识点1 分式的乘除法法则
问题1 一个水平放置的长方体容器，其容积
为V，底面的长为a，宽为b，当容器内的水占容 积的 m 时，水面的高度为多少？
n （1）这个长方体容器的高怎么表示？
而分式的分母中含有字母.
3.当x取什么值时，下列分式有意义？
(1) 1 ;(2) 1 ;(3) x 5 ;(4) 1 ;(5) x .
3x
3 x 3x 5
x2 16
x 3
解：(1) x ≠ 0 ;
(2) x ≠ 3 ;
(3) x 5 ;
3
(4) x为全体实数;
(5) x ≠± 3 .
4.当x取何值时，分式
谢谢观赏！
再见！
15.2 分式的运算 15.2.1 分式的乘除 第1课时 分式的乘除
R·八年级上册
新课导入
• 通过前面分式的学习，我们知道分式和分数有 很多的相似性，如性质、约分和通分.事实上， 在运算上它们也有许多的相似性.今天我们一起 类比分数的运算来研究分式的运算，首先学习 分式的乘除.
;
3a2 6ab2
x2 4 x2 4x 4
(3) a
x
x
2
， b
2
y
x
,1 ab
.
解：(3)
ab
bx
x
2
， ab
ay
x
2
, x2 ;
ab x 2
3.
x2 4y2 4x2 8xy
先化简，再求值. 其中x= 1 ，y=1.
八年级数学人教版(上册)15.3.1分式方程及其解法(共25张PPT)
0 ，方程 无意义
探究新知
在去分母时，将分式方程转化为整式方程的过程中 出现的不适合于原方程的根 .
特征：增根使最简公分母为零 判断方法：验根时把整式方程的根代入最简公分母
交流讨论
问题1：产生 “ 增根 ” 的原因在哪里呢？
分式方程的求根过程不一定是同解变形，所以分 式方程一定要验根！
问题2：“ 方程有增根 ” 和 “ 方程无解 ” 一样吗？
否为零？
方程的解
例题解析
方程两边同乘以x(x-3)，得 2x=3(x-3)
解得x=9.
检验：当x=9时，x(x-3) ≠0.
所以，原分式方程的解为x=9.
解得x=-2. 检验：当x=-2时，(x+2)(x-2) =0. 因此x=-2不是原分式方程的解．
所以，原分式方程无解.
x = -2 时， 分式方程 的分母为
当堂达标
C
C
C C
C
x=3是增根，原分式方程无解 .
去分母时，原方程的整式部分漏乘． 约去分母后，分子是多项式时， 要注意添括号． 忘记检验 . 注意去括号时前面的负号 .
例题解析
课堂小结：
说能出你这节课的收获和体验让大家与
你分享吗？
解分式方程的步骤
①去分母 ： 化分式方程为整式方程 . 即把分式方 程两边同乘以最简公分母 . ②解这个整式方程 . ③检验 ：把整式方程的解 ( 根 ) 代入最简公分母， 若结果为 0 ，则必须舍去，否则，它是原方程的 根. ④写结论 .
将x=0代入得3× (0-1)+6×0=0+k . 解得k=-3 . 将x=1代入得3× (1-1)+6×1=1+k . 解得k=5. 所以k=-3或k=5
探究新知
在去分母时，将分式方程转化为整式方程的过程中 出现的不适合于原方程的根 .
特征：增根使最简公分母为零 判断方法：验根时把整式方程的根代入最简公分母
交流讨论
问题1：产生 “ 增根 ” 的原因在哪里呢？
分式方程的求根过程不一定是同解变形，所以分 式方程一定要验根！
问题2：“ 方程有增根 ” 和 “ 方程无解 ” 一样吗？
否为零？
方程的解
例题解析
方程两边同乘以x(x-3)，得 2x=3(x-3)
解得x=9.
检验：当x=9时，x(x-3) ≠0.
所以，原分式方程的解为x=9.
解得x=-2. 检验：当x=-2时，(x+2)(x-2) =0. 因此x=-2不是原分式方程的解．
所以，原分式方程无解.
x = -2 时， 分式方程 的分母为
当堂达标
C
C
C C
C
x=3是增根，原分式方程无解 .
去分母时，原方程的整式部分漏乘． 约去分母后，分子是多项式时， 要注意添括号． 忘记检验 . 注意去括号时前面的负号 .
例题解析
课堂小结：
说能出你这节课的收获和体验让大家与
你分享吗？
解分式方程的步骤
①去分母 ： 化分式方程为整式方程 . 即把分式方 程两边同乘以最简公分母 . ②解这个整式方程 . ③检验 ：把整式方程的解 ( 根 ) 代入最简公分母， 若结果为 0 ，则必须舍去，否则，它是原方程的 根. ④写结论 .
将x=0代入得3× (0-1)+6×0=0+k . 解得k=-3 . 将x=1代入得3× (1-1)+6×1=1+k . 解得k=5. 所以k=-3或k=5
人教版八年级上册 第十五章 15.3 分式方程 课件(共19张PPT)
x 1 x 1
3把分式方程 x 2 1 化为整式方程得x 2 1；
x2 2x
4把分式方程x211
（ 2 xx1）
1 化为整式方程时， （ 4 x 1）
两边应同时乘以（ 8 x2 1）（ x 1）（ x 1）。
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做一做
2.解下列分式方程：
14 1 0
x x1
2
xx 1x1x21
变式2：
k为何值时，方程
x22 a 有解？ x3 3x
思考：“方程有增根”和“方程无解” 一样吗？
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例5.已知
x42 x x15xA 5xB 2,求 A， B的值
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例题讲解与练习
变式 解方程：1 1 1 1 .
x4 x7 x3 x6
解： 方程两边分别通分
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• 5、You have to believe in yourself. That's the secret of success. ----Charles Chaplin人必须相信自己，这是成功的秘诀。-Thursday, June 17, 2021June 21Thursday, June 17, 20216/17/2021
• 3、Patience is bitter, but its fruit is sweet. (Jean Jacques Rousseau , French thinker)忍耐是痛苦的，但它的果实是甜蜜的。10:516.17.202110:516.17.202110:5110:51:196.17.202110:516.17.2021
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做一做
4.解关于x的分式方程：
3把分式方程 x 2 1 化为整式方程得x 2 1；
x2 2x
4把分式方程x211
（ 2 xx1）
1 化为整式方程时， （ 4 x 1）
两边应同时乘以（ 8 x2 1）（ x 1）（ x 1）。
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做一做
2.解下列分式方程：
14 1 0
x x1
2
xx 1x1x21
变式2：
k为何值时，方程
x22 a 有解？ x3 3x
思考：“方程有增根”和“方程无解” 一样吗？
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例5.已知
x42 x x15xA 5xB 2,求 A， B的值
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例题讲解与练习
变式 解方程：1 1 1 1 .
x4 x7 x3 x6
解： 方程两边分别通分
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• 3、Patience is bitter, but its fruit is sweet. (Jean Jacques Rousseau , French thinker)忍耐是痛苦的，但它的果实是甜蜜的。10:516.17.202110:516.17.202110:5110:51:196.17.202110:516.17.2021
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做一做
4.解关于x的分式方程：
最新人教版初中数学八年级上册《15.3 分式方程(第2课时)》精品教学课件
解：方程两边都乘以最简公分母 ( x 1)( x 1)
得： （x–1）+2（x+1）=4
∴x=1
检验：当x=1时，（x+1）（x–1）=0，
所以x=1不是原方程的根.
∴原方程无解.
课堂检测
能力提升题
某公司购买了一批A、B型芯片，其中A型芯片的单价比B型芯
片的单价少9元，已知该公司用3120元购买A型芯片的条数与
当x= –3时,(k+1)(–3)=4k,
所以当k=3或
时,原分式方程无解.
巩固练习
如果关于x的方程
A. –3
无解,则m的值等于（ B ）
B. –2
C. –1
D. 3
解析:方程的两边都乘x–3,得2=x–3–m,移项并合并同类项
得,x=5+m，由于方程无解,此时x=3,即5+m=3,
∴m = –2.
用4200元购买B型芯片的条数相等．
（1）求该公司购买的A、B型芯片的单价各是多少元？
（2）若两种芯片共购买了200条，且购买的总费用为6280元，
求购买了多少条A型芯片？
课堂检测
解：（1）设B型芯片的单价为x元/条，则A型芯片的单价为（x–9）元/条，根
据题意得：
−
=
，
解得：x=35，经检验，x=35是原方程的解，
具备加工能力，公司派出相关人员分别到这两间工厂了解
情况，获得如下信息：
信息一：甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工
完成这批产品多用10天；
信息二：乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工数量的
1.5倍.
根据以上信息，求甲、乙两个工厂每天分别能加工多
人教版八年级上册数学15.3.1分式方程的解法课件(共39张PPT)
解：两边同乘(20+v)(20-v) ，得
100(20 v) 6（ 0 20 v）
解得： v 5 检验： 将v=5代入分式方程，
左边=4=右边， ∴ v=5是原分式方程的解。
x 1 (5)• x 2
1
(6)•x 1 y
(7)•x 2 1
解分式方程：
1
10
x 5 x 2 25
分式方程有意义的条件是___X_≠_±_.5
解：方程两边同乘以最简公分母（x-5）（x+5），得：
x+5=10 解得： x=5
整式方程有意义的条件是 ___任__意_.实数 当x=5时，（x-5)(x+5)=____0_
方程两边同乘以 x(x+1)(x-1) ，
得到整式方程 5(x-1)-(x+1)=0 程
不解方程，将下列分式方程转化成整式方程
3 -1= x 1 x2 2x 方程两边同乘以 （x-2） ，
得到整式方程 3-(x-2)=-(1-x) 程
解分式方程容易犯的错误有：
(1)找最简公分母应先因式分解
(2)去分母时，原方程的整式部分漏乘．
例2：k为何值时，方程
x
k
2
3
1 x 2 产x 生增根？
解：方程两边都乘以x-2，约去分母，得
k+3（x-2)=x-1
把x=2代入以上方程得： K=1
所以当k=1时，方程
x
k
2
3
1 x 2 产x生增根。
例3：
k为何值时，分式方程 有增根？
x k x 0 x 1 x 1 x 1
解： 方程两边都乘以(x-1)(x+1),得
C.4个
《分式方程》分式PPT
B. 2(x–8)+5x=8
C. 2(x–8)–5x=16(x–7)
D. 2(x–8)–5x=8
解析：原方程可以变形为
x 8
5x
8，两边都乘以2（x–7）得
x 7 2( x 7)
2(x–8)+5x=8×2(x–7),即2(x–8)+5x=16(x–7).
巩固练习
方法点拨
易错易混点拨：
x 2 3 x 2
x 5 3 x 5
x 8
1 1
1
3x 8
x 11
1
1
3x 3
24
得
1 1
1
1 1
1
3x 1
x 11
3 x 1 8
解得x=–3，
经检验：x=–3是原方程的根.
课堂小结
分式方程Βιβλιοθήκη 巩固练习下列式子中，属于分式方程的是 （2）（3） ，属于整式方
程的是 （1） （填序号）．
x x-1
2
4
（1） +
=1； （2） =
；
2
3
2
1-x 1-x
1
2
1
（3） + 2 =1； （4） ＞5．
3x x
x
探究新知
知识点 2
问题1：
解分式方程
90
60
=
你能试着解分式方程 30+v 30-v
吗？
3.了解解分式方程根需要进行检验的原因．
2.会用去分母的方法解可化为一元一次方程的简单的分式方程，体会化归思
C. 2(x–8)–5x=16(x–7)
D. 2(x–8)–5x=8
解析：原方程可以变形为
x 8
5x
8，两边都乘以2（x–7）得
x 7 2( x 7)
2(x–8)+5x=8×2(x–7),即2(x–8)+5x=16(x–7).
巩固练习
方法点拨
易错易混点拨：
x 2 3 x 2
x 5 3 x 5
x 8
1 1
1
3x 8
x 11
1
1
3x 3
24
得
1 1
1
1 1
1
3x 1
x 11
3 x 1 8
解得x=–3，
经检验：x=–3是原方程的根.
课堂小结
分式方程Βιβλιοθήκη 巩固练习下列式子中，属于分式方程的是 （2）（3） ，属于整式方
程的是 （1） （填序号）．
x x-1
2
4
（1） +
=1； （2） =
；
2
3
2
1-x 1-x
1
2
1
（3） + 2 =1； （4） ＞5．
3x x
x
探究新知
知识点 2
问题1：
解分式方程
90
60
=
你能试着解分式方程 30+v 30-v
吗？
3.了解解分式方程根需要进行检验的原因．
2.会用去分母的方法解可化为一元一次方程的简单的分式方程，体会化归思
《分式方程：解分式方程》八年级初二上册PPT课件(第15.3.1课时
=
== 0 (两边乘最简公分母)
= 0 （移项、合并同类项）
= 6
= 6代入 = ，方程左边=方程右边=2.5，因此v=6是分式方程的解。
观察与思考
计算：1）2） 3）
方程两边同时乘x(x-2)，得 5(x-2)=7x 5x-10=7x 解得x=-5将x=-5代入原方程，左边=右边=-1所以x=-5是方程的解。
解分式方程的步骤
1．已知分式方程的解为非负数，求的取值范围（ ）A． B． C．且 D．且
【详解】解：分式方程转化为整式方程得，解得： 解为非负数，则，∴又∵x≠1且x≠-2，∴∴ ，且故选D
随堂测试
2．若 x=3 是分式方程 的根.1 分式方程
第十五章 分式
Please Enter Your Detailed Text Here, The Content Should Be Concise And Clear, Concise And Concise Do Not Need Too Much Text
（解分式方程）
解：把x=3代入原分式方程得，，解得，a=5，检验a=5是原分式方程的解.故选A.
随堂测试
3．分式的值为0，则x的值为（ ）A．4 B．-4 C． D．任意实数
【解析】若分式的值为0，则|x|-4=0且x+4≠0．得x1=4，x2=-4．当x=-4时，分母为0，不合题意，舍去．故x的值为4．故选A．
方程两边同时乘(x-1)(x+2) x(x+2)-(x-1)(x+2)=3 解得x=1检验：当x=1时，(x-1)(x+2)=0因此x=1不是原分式方程的解，所以，原分式方程无解
练一练
1）去分母(两边同乘最简公分母，约去分母，化成整式方程)。2）解整式方程(去括号-移项/合并同类项-系数化为1)。3）检验(把整式方程的解代入最简公分母，最简公分母 为0 x=a不是分式方程的解 最简公分母不为0 x=a 是分式方程的解 4）写出答案。
== 0 (两边乘最简公分母)
= 0 （移项、合并同类项）
= 6
= 6代入 = ，方程左边=方程右边=2.5，因此v=6是分式方程的解。
观察与思考
计算：1）2） 3）
方程两边同时乘x(x-2)，得 5(x-2)=7x 5x-10=7x 解得x=-5将x=-5代入原方程，左边=右边=-1所以x=-5是方程的解。
解分式方程的步骤
1．已知分式方程的解为非负数，求的取值范围（ ）A． B． C．且 D．且
【详解】解：分式方程转化为整式方程得，解得： 解为非负数，则，∴又∵x≠1且x≠-2，∴∴ ，且故选D
随堂测试
2．若 x=3 是分式方程 的根.1 分式方程
第十五章 分式
Please Enter Your Detailed Text Here, The Content Should Be Concise And Clear, Concise And Concise Do Not Need Too Much Text
（解分式方程）
解：把x=3代入原分式方程得，，解得，a=5，检验a=5是原分式方程的解.故选A.
随堂测试
3．分式的值为0，则x的值为（ ）A．4 B．-4 C． D．任意实数
【解析】若分式的值为0，则|x|-4=0且x+4≠0．得x1=4，x2=-4．当x=-4时，分母为0，不合题意，舍去．故x的值为4．故选A．
方程两边同时乘(x-1)(x+2) x(x+2)-(x-1)(x+2)=3 解得x=1检验：当x=1时，(x-1)(x+2)=0因此x=1不是原分式方程的解，所以，原分式方程无解
练一练
1）去分母(两边同乘最简公分母，约去分母，化成整式方程)。2）解整式方程(去括号-移项/合并同类项-系数化为1)。3）检验(把整式方程的解代入最简公分母，最简公分母 为0 x=a不是分式方程的解 最简公分母不为0 x=a 是分式方程的解 4）写出答案。
人教版数学八年级上册《15.3 分式方程 第1课时 分式方程及其解法》课件精品
人教版数学八年级上册教学课件
第十五章 分式 15.3 分式方程
第 1 课时 分式方程及其解法
学习目标
1. 掌握解分式方程的基本思路和解法；（重点） 2. 理解分式方程可能无解的原因.（难点）
导入新课
问题引入
一艘轮船在静水中的最大航速为 30 千米/时，它
沿江以最大航速顺流航行 90 千米所用时间，与以最大
分母中是否含有未知数(注意：π 是常数)．
二 分式方程的解法
你能试着解这个分式方程吗？
90 30 +
x
60 30
x
（1）如何把它转化为整式方程呢？
（2）怎样去分母？
（3）在方程两边乘什么样的式子才能把每一个分母
都约去？
（4）这样做的依据是什么？
解分式方程最关键的问题是什么？ 如何去分母
90 60 30 + x 30 x
归纳 解分式方程的基本思路：是将分式方程化为 整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同 乘最简公分母. 这也是解分式方程的一般方法.
下面我们再解一个分式方程：
1 x5
10 x2 25
.
解：方程两边乘最简公分母 (x + 5)(x - 5)，得整式方程
x + 5 = 10. 解得 x = 5.
例1 解方程： 2 3 . x3 x
解： 方程两边同乘 x(x - 3)，得 2x = 3x - 9.
解得 x = 9.
检验：当 x = 9 时， x(x - 3)≠0，
所以，原分式方程的解为 x = 9.
例2
解方程： x 1
3
.
x 1 (x 1)(x 2)
解：方程两边同乘 (x - 1)(x + 2)，得 x(x + 2) - (x - 1)(x + 2) = 3.
第十五章 分式 15.3 分式方程
第 1 课时 分式方程及其解法
学习目标
1. 掌握解分式方程的基本思路和解法；（重点） 2. 理解分式方程可能无解的原因.（难点）
导入新课
问题引入
一艘轮船在静水中的最大航速为 30 千米/时，它
沿江以最大航速顺流航行 90 千米所用时间，与以最大
分母中是否含有未知数(注意：π 是常数)．
二 分式方程的解法
你能试着解这个分式方程吗？
90 30 +
x
60 30
x
（1）如何把它转化为整式方程呢？
（2）怎样去分母？
（3）在方程两边乘什么样的式子才能把每一个分母
都约去？
（4）这样做的依据是什么？
解分式方程最关键的问题是什么？ 如何去分母
90 60 30 + x 30 x
归纳 解分式方程的基本思路：是将分式方程化为 整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同 乘最简公分母. 这也是解分式方程的一般方法.
下面我们再解一个分式方程：
1 x5
10 x2 25
.
解：方程两边乘最简公分母 (x + 5)(x - 5)，得整式方程
x + 5 = 10. 解得 x = 5.
例1 解方程： 2 3 . x3 x
解： 方程两边同乘 x(x - 3)，得 2x = 3x - 9.
解得 x = 9.
检验：当 x = 9 时， x(x - 3)≠0，
所以，原分式方程的解为 x = 9.
例2
解方程： x 1
3
.
x 1 (x 1)(x 2)
解：方程两边同乘 (x - 1)(x + 2)，得 x(x + 2) - (x - 1)(x + 2) = 3.
人教版初中数学八年级上册第十五章15.3 分式方程 课件(共12张PPT)
去分母
解整式方程 检验
是 x =a不是分式 方程的解
=4 1-x2
；
（3）1 + 2 =1； （4）1 ＞5．
3x x2
x
（5）x 1 2； （6）x2 4 0. x
例题分析
解分式方程：x 3 2 3x 3 4x 8x
根据你的经验， 思考：上面的分式方程应该怎样解？
类比一元一次方程的解法
去分母
分式方程
整式方程
模仿练习
解分式方程： 3 1 3x x 1 x 1
注意： 由于去分母后所得的整式方程的解不一 定是原分式方程的解，所以一定要检验．
那么，怎样对方程的解进行检验呢？
变式练习
x 3 2 3x 3 4x 8x
3 1 3x x 1 x 1
提示：对比观察上面两个方程与下面两个方程 在结构上的不同，思考下面的方程怎样解？
解分式方程： 2 3 x3 x
观察：方程 3 1 3x 和 2 3 与上面的方程 x 1 x 1 x 3 x
有什么共同特征？
像这样，分母中含未知数的方程叫做分式方程.
你能再写出几个分式方程吗？
概念辨析
练习：下列式子中，属于分式方程的是 (2)(3，)(5)
属于整式方程的是 (1)(6. )
（1）x 3
+
x-1 =1； 2
（2）1-2x
反思小结
1、分式方程的概念？解分式方程的一般步骤与 注意事项？
2、你在解分式方程时有过哪些失误的地方？应 该怎样改正？
3、你还有哪些方法上的收获？
过关检测
解分式方程： x 1
3
x 1 (x 1)(x 2)
相信自己
提高练习
八年级数学上册第十五章分式方程课时1分式方程及其解法教学课件新版新人教版ppt
检验：当x=6时，(2x+1)(2x-1)≠0，
所以原分式方程的解是x=6.
当堂小练
关于x的方程
的解是正数，则a的取值范围是a＜－1且．a≠－2
【分析】去分母，得2x＋a＝x－1，解得x＝－a－1. ∵关于x的方程 2x a 1的解是正数，
x 1
∴x＞0且x≠1，∴－a－1＞0且－a－1≠1， 解得a＜－1且a≠－2.
方法总结：求出方程的解(用未知字母表示)，然后根据解的正负性，列 关于未知字母的不等式求解，特别注意分母不能为0.
当堂小练
若关于x的分式方程
无解，求m 的值．
解：方程两边都乘(x＋2)(x－2)，得2(x＋2)＋mx＝3(x－2)，
即(m－1)x＝－10.
①当m－1＝0时，此方程无解，此时m＝1；
新课导入
思 考 一艘轮船在静水中的最大航速为40 km/h，它以最大航速顺流 行驶130 km所用的时间，与它以最大航速逆流行驶70 km所 用的时间相等，则江水的流速为多少？
新课导入
思 考 一艘轮船在静水中的最大航速为40 km/h，它以最大航速顺流 行驶130 km所用的时间，与它以最大航速逆流行驶70 km所 用的时间相等，则江水的流速为多少？ 解：根据题意得： 130 70 40 v 40 - v 解出该方程即可求出v的值，即江水的流速.
第十五章 分式
15.3 分式方程 课时一 分式方程及其解法
目 录
CONTENTS
1 学习目标 3 新课讲解 5 当堂小练 7 布置作业
2 新课导入 4 课堂小结 6 拓展与延伸
学习目标
1.了解分式方程的概念，会判断一个方程是分式方程. （难点） 2.掌握解分式方程的基本思路和方法.（重点） 3.了解分式方程验根的必要性．（重点）
人教版 八年级数学初二上册15.3.1分式方程及解法优秀PPT课件
增根的定义
增根:在去分母,将分式方程转化为整式方程 的过程中出现的不适合于原方程的根. ········· 使最简公分母值为零的根 产生的原因:分式方程转化为整式方程后,扩大 了未知数的取值范围。所得的根是整式方程 的根,而不是分式方程的根.，所以我们解分式 方程时一定要代入最简公分母检验
检验的方法主要有两种： （1）将整式方程的解代入原分式方程， 看左右两边是否相等； （2）将整式方程的解代入最简公分母， 看是否为0． 显然，第2种方法比较简便！
分式方程 2 3 4 7 8Leabharlann (3) 5：3 x
x 1 x ） 2x 10 66 ： （ 5 2
整式方程 1、5、6、
1 2x 1 （57 ） x 2 8： 3 x 1 ： x x
怎样才能解这个方程呢?说说你的想法.
各分母的 最简公分 母 两边同乘以 (20 v)(20 v) 得:
当x = 1 时
( x+1)( x – 1 )=0, 因此x= 1 是原分式方程的增根.
∴原分式方程无解.
例4
解方程
x 1 4 1 2 x 1 x 1
( x + 1 )2－4 = x2－1
解：方程两边都乘以 (x+1) ( x – 1 ) 得
解得：
x=1 经检验得： x = 1 是增根 ∴原方程无解.
解分式方程的一般步骤
1.分式方程的两边都乘以最简公分母, 约去分母，化成整式方程. 2.解这个整式方程.
3.把整式方程的解代入最简公分母中, 如果最简公分母的值不为0,则整式方程 的解是原分式方程的解；否则，这个解 不是原分式方程的解，必须舍去.
4、写出原分式方程的解.
一化二解三检验四总结
人教版八年级数学上册15.3分式方程及其解法ppt精品课件
x(x+1)+k(x+1)-x(x-1)=0
• 把x=1代入上式，则k=-1 • 把x=-1带入上式，k值不存在
∴当k=-1，原方程有增根。
变式1：
k为何值时，方程
x k23 无解1 2 ？xx
变式2：
k为何值时，方程
k 3有解1？x x2 2x
思考：“方程有增根”和“方程无解”一样吗？
解：方程两边同乘以最简公分母（x-5）（x+5），得：
解得：
x+5=10 x=5
增根
从去分母后所得的整式方程中解出
检验：
能使分式方程的分母为0的解
将x=5代入x-5、x2-25的值都为0，相应分式无意义。
所以x=5不是原分式方程的解。
∴原分式方程无解。
增根的定义
增根:在去分母,将分式方程转化为整式方程的过程中出现
2、解这个整式方程.
3、 把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式 程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解，必须舍去.
4、写出原方程的根.
试一试：解分式方程
（1）2x 1 2
2x1
x2
2）解关于x的方程：
a b1(b1) xa
(3) m n o x x 1
思考：“方程有增根”和“方程无解”一样吗？
“增根”是你可以求出来的，但代入后方 程的分母为0无意义，原方程无解。 “无解”包括增根和这个方程没有可解的根
编后语
• 常常可见到这样的同学，他们在下课前几分钟就开始看表、收拾课本文具，下课铃一响，就迫不及待地“逃离”教室。实际上，每节课刚下课时的几分 钟是我们对上课内容查漏补缺的好时机。善于学习的同学往往懂得抓好课后的“黄金两分钟”。那么，课后的“黄金时间”可以用来做什么呢？
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方程② 当x=5时，(x-5)(x+5)=0，这就是说，去分母 时，方程②两边乘了同一个等于0的式子， 这时所得整式方程的解使②出现分母为0的 现象，因此这样的解不是②的解.
一般地，解分式方程时，去分母后所得整 式方程的解有可能使原方程中分母为0，因此 应做如下检验：
将整式方程的解代入最简公分母，如果最 简公分母的值不为0，则整式方程的解是原方 程的解；否则这个解不是原方程的解.
将方程①化成整式方程 的关键步骤是什么？
归纳
解分式方程①的基本思路是将分式方程化为 整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边 乘最简公分母，这也是解分式方程的一般方法.
下面我们再讨论一个分式方程
1 10 x 5 x2 25
②
在方程两边乘最简公分母 (x-5)(x+5) ，
得 解得
x+5=10 x=5
1
3
x
1
1
1
8
解得x=-3， 经检验：x=-3是原方程的根.
课堂小结
解分式方程的一般步骤：
去分母
分式方程
整式方程
解整式方程
x=a
检验
x=a是分式 最简公分母不为0 最简公分母为0 x=a不是分
方程的解
式方程的解
课堂作业
1.从书本练习中选择题目， 完成与本课时相关练习；
2.完成练习册本课时内容。
思考
如何解分式方程①
90 = 60 30+ v 30- v
①
可以先去分母，将分式方程转化为我们熟
知的整式方程，再解整式方程．
例如
解分式方程
90 30+v
=
60 30-v
方程两边同乘各分母的最简公分母（30+v）（30-v），
得 90（30-v）=60（30+v）. 解得 v=6.
检验：将v=6代入原方程中，左边=2.5=右边，因 此v=6是原方程的解.
例1 解方程
2
3
.
x3 x
解：方程两边乘 x（x-3），得
2x = 3x-9 x=9
检验： 当 x = 9时， x（x-3）≠0，
所以，原分式方程的解为 x =9.
例2
解方程
x
x
1
1
（x
3 1）（x
2）
.
解：方程两边乘（x-1）（x+2），得
x（ x+2）-（x-1）（x+2）=3
x=1
检验： 当x=1时，（x-1）（x+2）=0
x-a ≠ 0，所以 x ab 2a是原分式方程的解． b1
随堂演练
1.把分式方程 2 2 x 1 两边同乘 x1 1 x
（x－1），约去分母后，得（ D ）
A.2－（2－x）=1
B.2+（2－x）=1
C.2－（2－x）=x－1 D.2+（2－x）=（x－1）
2.分式方程
3 x
6 x 1
x5 x( x 1)
0
的解是（ D ）
A. x=1
B. x =－1
C. x=－14
D.无解
3.已知关于x的方程
x1 1 x2 x 3x
xk 3x 3
有增根，求该方程的增根和k的值.
解：去分母，得3x+3-（x-1）=x2+kx， 整理，得x2+（k-2）x-4=0. 因为有增根，所以增根为x=0或x=1. 当x=0时，代入方程得-4=0， 所以x=0不是方程的增根； 当x=1时，代入方程，得k=5， 所以k=5时方程有增根x=1.
15.3 分式方程
第1课时 分式方程及其解法
R·八年级上册
新课导入
前面我们探讨了分式的有关性质及其 运算，在分式的研究中，还有一个重要的 内容就是分式方程，今天我们一起走进分 式方程.
（1）知道分式方程的概念， （2）会解分式方程.
推进新课 知识点1 解分式方程（一）
为了解决引言中的问题，我们得到了方程 90 = 60 ①
x5
x
π
5
练习2 指出下列方程中各分母的最简分母， 并写出去分母后得到的整式方程.
①1 2
2x x 3
②2 4
x 1 x2 1
解：①最简公分母2x(x+3)，去分母得x+3=4x；
②最简公分母x2-1，去分母得2(x+1)=4；
练习3 解方程并检验.
1 2 2x x 3
解：最简公分母 2x（x+3）， 检验：
30+ v 30- v 仔细观察这个方程，未知数的位置有什么特点？
分母中含有未知数．
分式方程的概念： 分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
追问 你能再写出几个分式方程吗？
注意
1 = 2 ； 1 = 10 ； 2x x+3 x-5 x2 -25
我们以前学习的方程都是整式方程，它们 的未知数不在分母中．
去分母得 x+3=4x， x=1.
左边=
1 2
=右边
知识点2 解分式方程（二）
思考 上面两个分式方程中，为什么 ①去分母后所得 整式方程的解就是①的解，而②去分母后所得整式 方程的解却不是②的解呢？
解分式方程去分母时，方程两边要乘 同一个含未知数的式子（最简公分母）.
方程① 当v=6时，(30+v)(30-v)≠0，这就是说，去分 母时，方程①两边乘了同一个不为0的式子， 因此所得整式方程的解与①的解相同.
学习体会 1、本节课你学到了哪些基本知识？ 2、本节课你学到了哪些解题方法？ 3、还有哪些知识和方法上的问题？
Thank you！
Good Bye！
因此， x=1不是原分式方程的解.
所以，原分式方程无解.
练习4 解关于x 的方程 a b 1（ b ≠ 1）. xa
解：方程两边同乘x-a，得 a+b（x-a）= （x-a）
去括号，得 a+bx-ab =x-a 移项、合并同类项，得 （b-1）x = ab-2a
∴ x ab 2a b1
检验：当 x ab 2a 时，∵ b ≠ 1，∴b-1 ≠0， b1
x=5是原分式方 程的解吗？
将x=5代入原分式方程检验，发现这时分母 x-5和x2-25的值都为0，相应的分式无意义，因 此x=5不是分式方程的解，实际上，这个分式方 程无解.
练习1 下列方程哪些是分式方程？__⑤___
①x+y=1
② x 2 2y z ③ 1
5
3
x2
④ y 3 ⑤x 1 1 ⑥ x 3 2 x
4.解方程：
(x
1 1)( x
Байду номын сангаас
2)
(x
1 2)( x
5)
(x
1 5)( x
8)
(x
1 8)( x
11)
1 1 3x 3 24
解：方程可化为：
1 1
3
x
1
1 x
2
1 1
3
x
2
1
x
5
1 3
x
1
5
x
1
8
1
3
x
1
8
x
1
11
1 1 3x 3 24
得
1 3
x
1
1
x
1
11
一般地，解分式方程时，去分母后所得整 式方程的解有可能使原方程中分母为0，因此 应做如下检验：
将整式方程的解代入最简公分母，如果最 简公分母的值不为0，则整式方程的解是原方 程的解；否则这个解不是原方程的解.
将方程①化成整式方程 的关键步骤是什么？
归纳
解分式方程①的基本思路是将分式方程化为 整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边 乘最简公分母，这也是解分式方程的一般方法.
下面我们再讨论一个分式方程
1 10 x 5 x2 25
②
在方程两边乘最简公分母 (x-5)(x+5) ，
得 解得
x+5=10 x=5
1
3
x
1
1
1
8
解得x=-3， 经检验：x=-3是原方程的根.
课堂小结
解分式方程的一般步骤：
去分母
分式方程
整式方程
解整式方程
x=a
检验
x=a是分式 最简公分母不为0 最简公分母为0 x=a不是分
方程的解
式方程的解
课堂作业
1.从书本练习中选择题目， 完成与本课时相关练习；
2.完成练习册本课时内容。
思考
如何解分式方程①
90 = 60 30+ v 30- v
①
可以先去分母，将分式方程转化为我们熟
知的整式方程，再解整式方程．
例如
解分式方程
90 30+v
=
60 30-v
方程两边同乘各分母的最简公分母（30+v）（30-v），
得 90（30-v）=60（30+v）. 解得 v=6.
检验：将v=6代入原方程中，左边=2.5=右边，因 此v=6是原方程的解.
例1 解方程
2
3
.
x3 x
解：方程两边乘 x（x-3），得
2x = 3x-9 x=9
检验： 当 x = 9时， x（x-3）≠0，
所以，原分式方程的解为 x =9.
例2
解方程
x
x
1
1
（x
3 1）（x
2）
.
解：方程两边乘（x-1）（x+2），得
x（ x+2）-（x-1）（x+2）=3
x=1
检验： 当x=1时，（x-1）（x+2）=0
x-a ≠ 0，所以 x ab 2a是原分式方程的解． b1
随堂演练
1.把分式方程 2 2 x 1 两边同乘 x1 1 x
（x－1），约去分母后，得（ D ）
A.2－（2－x）=1
B.2+（2－x）=1
C.2－（2－x）=x－1 D.2+（2－x）=（x－1）
2.分式方程
3 x
6 x 1
x5 x( x 1)
0
的解是（ D ）
A. x=1
B. x =－1
C. x=－14
D.无解
3.已知关于x的方程
x1 1 x2 x 3x
xk 3x 3
有增根，求该方程的增根和k的值.
解：去分母，得3x+3-（x-1）=x2+kx， 整理，得x2+（k-2）x-4=0. 因为有增根，所以增根为x=0或x=1. 当x=0时，代入方程得-4=0， 所以x=0不是方程的增根； 当x=1时，代入方程，得k=5， 所以k=5时方程有增根x=1.
15.3 分式方程
第1课时 分式方程及其解法
R·八年级上册
新课导入
前面我们探讨了分式的有关性质及其 运算，在分式的研究中，还有一个重要的 内容就是分式方程，今天我们一起走进分 式方程.
（1）知道分式方程的概念， （2）会解分式方程.
推进新课 知识点1 解分式方程（一）
为了解决引言中的问题，我们得到了方程 90 = 60 ①
x5
x
π
5
练习2 指出下列方程中各分母的最简分母， 并写出去分母后得到的整式方程.
①1 2
2x x 3
②2 4
x 1 x2 1
解：①最简公分母2x(x+3)，去分母得x+3=4x；
②最简公分母x2-1，去分母得2(x+1)=4；
练习3 解方程并检验.
1 2 2x x 3
解：最简公分母 2x（x+3）， 检验：
30+ v 30- v 仔细观察这个方程，未知数的位置有什么特点？
分母中含有未知数．
分式方程的概念： 分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
追问 你能再写出几个分式方程吗？
注意
1 = 2 ； 1 = 10 ； 2x x+3 x-5 x2 -25
我们以前学习的方程都是整式方程，它们 的未知数不在分母中．
去分母得 x+3=4x， x=1.
左边=
1 2
=右边
知识点2 解分式方程（二）
思考 上面两个分式方程中，为什么 ①去分母后所得 整式方程的解就是①的解，而②去分母后所得整式 方程的解却不是②的解呢？
解分式方程去分母时，方程两边要乘 同一个含未知数的式子（最简公分母）.
方程① 当v=6时，(30+v)(30-v)≠0，这就是说，去分 母时，方程①两边乘了同一个不为0的式子， 因此所得整式方程的解与①的解相同.
学习体会 1、本节课你学到了哪些基本知识？ 2、本节课你学到了哪些解题方法？ 3、还有哪些知识和方法上的问题？
Thank you！
Good Bye！
因此， x=1不是原分式方程的解.
所以，原分式方程无解.
练习4 解关于x 的方程 a b 1（ b ≠ 1）. xa
解：方程两边同乘x-a，得 a+b（x-a）= （x-a）
去括号，得 a+bx-ab =x-a 移项、合并同类项，得 （b-1）x = ab-2a
∴ x ab 2a b1
检验：当 x ab 2a 时，∵ b ≠ 1，∴b-1 ≠0， b1
x=5是原分式方 程的解吗？
将x=5代入原分式方程检验，发现这时分母 x-5和x2-25的值都为0，相应的分式无意义，因 此x=5不是分式方程的解，实际上，这个分式方 程无解.
练习1 下列方程哪些是分式方程？__⑤___
①x+y=1
② x 2 2y z ③ 1
5
3
x2
④ y 3 ⑤x 1 1 ⑥ x 3 2 x
4.解方程：
(x
1 1)( x
Байду номын сангаас
2)
(x
1 2)( x
5)
(x
1 5)( x
8)
(x
1 8)( x
11)
1 1 3x 3 24
解：方程可化为：
1 1
3
x
1
1 x
2
1 1
3
x
2
1
x
5
1 3
x
1
5
x
1
8
1
3
x
1
8
x
1
11
1 1 3x 3 24
得
1 3
x
1
1
x
1
11