人教版高中数学必修三练习 均匀随机数的产生

第三章 3.3 3.3.2
一、选择题
1．用随机模拟方法求得某几何概型的概率为m ，其实际概率的大小为n ，则( ) A ．m >n B ．m <n
C ．m ＝n
D ．m 是n 的近似值
[答案] D
2．用均匀随机数进行随机模拟，可以解决( ) A ．只能求几何概型的概率，不能解决其他问题 B ．不仅能求几何概型的概率，还能计算图形的面积 C ．不但能估计几何概型的概率，还能估计图形的面积 D ．最适合估计古典概型的概率 [答案] C
[解析] 很明显用均匀随机数进行随机模拟，不但能估计几何概型的概率，还能估计图形的面积，但得到的是近似值，不是精确值，用均匀随机数进行随机模拟，不适合估计古典概型的概率．
3．在线段AB 上任取三个点x 1、x 2、x 3，则x 2位于x 1与x 3之间的概率是( ) A ．12
B ．1
3
C ．14
D ．1 [答案] B
[解析] 因为x 1，x 2，x 3是线段AB 上任意的三个点，任何一个数在中间的概率相等且都是13
.
4．设x 是[0,1]内的一个均匀随机数，经过变换y ＝2x ＋3，则x ＝1
2对应变换成的均匀随
机数是( )
A ．0
B ．2
C ．4
D ．5 [答案] C
[解析] 当x ＝12时，y ＝2×1
2
＋3＝4.
5．把[0,1]内的均匀随机数分别转化为[0,4]和[－4,1]内的均匀随机数，需实施的变换分别为( )
A ．y ＝－4x ，y ＝5－4
B ．y ＝4x －4，y ＝4x ＋3
C ．y ＝4x ，y ＝5x －4
D ．y ＝4x ，y ＝4x ＋3
[答案] C
6．如图所示，在墙上挂着一块边长为16 cm 的正方形木块，上面画了小、中、大三个同心圆，半径分别为2 cm,4 cm,6 cm ，某人站在3 m 之外向此板投镖，设镖击中线上或没有投中木板时不算，可重投，
记事件A ＝{投中大圆内}，
事件B ＝{投中小圆与中圆形成的圆环内}， 事件C ＝{投中大圆之外}．
(1)用计算机产生两组[0,1]内的均匀随机数，a 1＝RAND ，b 1＝RNAD.
(2)经过伸缩和平移变换，a ＝16a 1－8，b ＝16b 1－8，得到两组[－8,8]内的均匀随机数． (3)统计投在大圆内的次数N 1(即满足a 2＋b 2<36的点(a ，b )的个数)，投中小圆与中圆形成的圆环次数N 2(即满足4<a 2＋b 2<16的点(a ，b )的个数)，投中木板的总次数N (即满足上述－8<a <8，－8<b <8的点(a ，b )的个数)．
则概率P (A )、P (B )、P (C )的近似值分别是( ) A ．N 1N ，N 2N ，N －N 1N
B ．N 2N ，N 1N ，N －N 2N
C ．N 1N ，N 2－N 1N ，N 2N
D ．N 2N ，N 1N ，N 1－N 2N
[答案] A
[解析] P (A )的近似值为N 1N ，P (B )的近似值为N 2
N ，P (C )的近似值为N －N 1N .
二、填空题
7.利用计算机随机模拟方法计算图中阴影部分(如图所示)．第一步：利用计算机产生两个0～1之间的均匀随机数，x ，y ，其中－1＜x ＜1,0＜y ＜1；
第二步：拟(x ，y )为点的坐标．共做此试验N 次．若落在阴影部分的点的个数为N 1，
则可以计算阴影部分的面积S .
例如，做了2 000次试验，即N ＝2 000， 模拟得到N 1＝1 396， 所以S ＝________. [答案] 1.396
[解析] 根据题意：点落在阴影部分的概率是1 396
2 000
，
矩形的面积为2，阴影部分的面积为S ， 则有S 2＝1 3962 000
，所以S ＝1.396.
8．图形ABC 如图所示，为了求其面积，小明在封闭的图中找出了一个半径为1 m 的圆，在不远处向圈内掷石子，且记录如下：
50次 150次 300次 石子落在⊙O 内(含⊙O 上)的次数m
14 43 93 石子落在阴影内次数n
29
85
186
[答案] 3π
[解析] 由记录m
n ≈1∶2，
可见P (落在⊙O 内)＝m n ＋m ＝1
3
，
又P (落在⊙O 内)＝⊙O 的面积
阴影面积＋⊙O 的面积，
所以S ⊙O S ABC ＝13，S ABC
＝3π( m 2)
9．利用随机模拟方法计算y ＝x 2与y ＝4围成的面积时，利用计算器产生两组0～1之间的均匀随机数a 1＝RAND ，b 1＝RAND ，然后进行平移与伸缩变换a ＝a 1·4－2，b ＝b 1·4，试验进行100次，前98次中落在所求面积区域内的样本点数为65，已知最后两次试验的随机数a 1＝0.3，b 1＝0.8及a 1＝0.4，b 1＝0.3，那么本次模拟得出的面积约为________．
[答案] 10.72
[解析] 由a 1＝0.3，b 1＝0.8得：
a ＝－0.8，
b ＝3.2，(－0.8,3.2)落在y ＝x 2与y ＝4围成的区域内，
由a 1＝0.4，b 1＝0.3得：a ＝－0.4，b ＝1.2，(－0.4,1.2)落在y ＝x 2与y ＝4围成的区域内， 所以本次模拟得出的面积约为16×67
100＝10.72.
三、解答题
10．在长为14 cm 的线段AB 上任取一点M ，以A 为圆心，以线段AM 为半径作圆．用
随机模拟法估算该圆的面积介于9π cm 2到16π cm 2之间的概率．
[分析] 圆的面积只与半径有关，故此题为与长度有关的几何概型．解答本题时只需产生一组均匀随机数．
[解析] 设事件A 表示“圆的面积介于9π cm 2到16π cm 2之间”． (1)利用计算器或计算机产生一组[0,1]上的均匀随机数a 1＝RAND ； (2)经过伸缩变换a ＝14a 1得到一组[0,14]上的均匀随机数；
(3)统计出试验总次数N 和[3,4]内的随机数个数N 1(即满足3≤a ≤4的个数)； (4)计算频率f n (A )＝N 1
N
，即为概率P (A )的近似值．
11．利用随机模拟方法主算如图中阴影部分(曲线y ＝2x 与x 轴，x ＝±1围成的部分)的面积．
[解析] (1)利用计算机产生两组[0,1]上的均匀随机数，a 1＝RAND ，b 1＝RAND. (2)经过平移和伸缩变换，a ＝(a 1－0.5)×2，b ＝b 1×2，得到一组[－1,1]上的均匀随机数和一组[0,2]上的均匀随机数．
(3)统计试验总次数N 和落在阴影内的点数N 1.
(4)计算频率N 1
N
，即为点落在阴影部分的概率的近似值．
(5)用几何概型的概率公式求得点落在阴影部分的概率为P ＝S 4，N 1N ＝S 4，所以S ≈4N 1
N ，即
为阴影部分的面积值．
12．在如图的正方形中随机撒一把芝麻，用随机模拟的方法来估计圆周率π的值．如果撒了1 000粒芝麻，落在圆内的芝麻总数是776粒，求这次模拟中π的估计值．(精确到0.001)
[解析] 假设正方形的边长是2，则正方形的面积是4，圆的半径是1，则圆的面积是π，
根据几何概型的概率公式得到7761 000≈π
4
.所以π≈3.104.。