圆锥曲线中常用结论和性质

焦半径公式：若点),(00y x P 是抛物线px y 22=上一点，则该点到抛物线的焦点的距离（称为焦半径）是：02

p PF x =+， 焦点弦长公式：过焦点弦长12122

2

p p

PQ x x x x p =+++

=++ 抛物线px y 22=上的动点可设为P ),2(2

y p

y

或2(2,2)P pt pt 或

P px y y x 2),(2=其中

已知抛物线22(0)y px p =>，过焦点F 的直线l 交抛物线于A 、B 两点，

直线l 的倾斜角为α，求证：22sin p

AB α=

。

直线与抛物线的位置关系

把直线的方程和抛物线的方程联立起来得到一个方程组。

（1）方程组有一组解⇔直线与抛物线相交或相切（一个公共点）；

（2）方程组有二组解⇔直线与抛物线相交（2个公共点）

（3）方程组无解⇔直线与抛物线相离。

直线与抛物线相交形成的弦的有关问题。

设线段AB 为抛物线2

2(0)y px p =>的弦，A 、B 的坐标为11(,)x y 、22(,)x y ，

直线AB 的斜率为k ，弦AB 的中点为M 00(,)x y ，则

（1）

22

212121111AB k x x y y k k a

∆=+-=+

-=+

（2）

1212120

2y y p p

k x x y y y -=

==-+

直线l 过抛物线)0(22≠=p px y 的焦点，且与抛物线相交于()11,y x A ，

()22,y x B 两点。

求证：

2

12y y p =-，2214p x x =

A,B 是抛物线y 2=2px(p>0)上的两点，满足OA OB(O 为坐标原点)求证：

(1)A,B 两点的横坐标之积，纵坐标之积为定值；

(2)直线AB 经过一个定点

(3)作OM AB 于M ，求点M 的轨迹方程

双曲线

设21,F F 为双曲线1422

=-y x 的两个焦点，点P 在双曲线上且满足

9021=∠PF F ，求21PF F ∆的面积。

焦点三角形12PF F △的面积：12

2cot 2

PF F S b θ

=⋅△（12F PF θ∠=，b 为虚半轴

长）

1.与22221x y a b -=共渐近线的双曲线方程22

a

x －22y b λ=（0λ≠）

． 2.与22221x y a b -=有相同焦点的双曲线方程22

x a k -－2

21y b k

=+（2k a <且2k b ≠-）

把直线的方程和双曲线的方程联立起来得到一个方程组。

（4）方程组有一组解⇔直线与双曲线相交或相切（一个公共点）；

（5）方程组有二组解⇔直线与抛物线相交（2个公共点，一支或两支）

（6）方程组无解⇔直线与抛物线相离。

直线与抛物线相交形成的弦的有关问题。

设线段AB 为抛物线22

2

21(0,0)x y a b a b -=>>的弦，A 、B 的坐标为11(,)x y 、

22(,)x y ，直线AB 的斜率为k ，弦AB 的中点为M 00(,)x y ，则

2121AB x y =-=-=

弦AB 所在直线的斜率为202

0b x k a y =。

椭圆

1. AB 是椭圆22

221x y a b

+=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，

则2

2OM AB b k k a ⋅=-，即0202y a x b K AB -=。

2. 若000(,)P x y 在椭圆22

221x y a b

+=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是

22

00002222x x y y x y a b a b +=+. 3. 若000(,)P x y 在椭圆22

221x y a b

+=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是

22002222x x y y

x y a b a b

+=+. 点差法： 相关点法： 圆

研究圆与直线的位置关系最常用的方法：①判别式法；②考查圆心到直线的距离与半径的大小关系。

直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种，若

2

2

B

A C Bb Aa d +++=

，则0<∆⇔⇔>相离r d ;

0=∆⇔⇔=相切r d ;

0>∆⇔⇔<相交r d

.直线和圆相切：

这类问题主要是求圆的切线方程求圆的切线方程主要可分为已知

斜率k 或已知直线上一点两种情况，而已知直线上一点又可分为已知圆上一点和圆外一点两种情况。

①过圆上一点的切线方程：圆),(00222y x P r y x 的以=+为切点的切线方程是200r y y x x =+

当点00(,)P x y 在圆外时，200r y y x x =+表示切点弦的方程。 一般地，曲线)(00022y x P F Ey Dx Cy Ax ，的以点=++-+为切点的切线方程是：02

20

000=++⋅++⋅

-+F y y E x x D y Cy x Ax 。 当点00(,)P x y 在圆外时，

02

20

000=++⋅++⋅-+F y y E x x D y Cy x Ax 表示切点弦的方程。

这个结论只能用来做选择题或者填空题，若是做解答题，只能按