求解非线性方程组的二分法
二分法非线性方程求解
1、编程实现以下科学计算算法，并举一例应用之（参考书籍《精通MATLAB 科学计算》，王正林等编著，电子工业出版社，2009年） “二分法非线性方程求解”二分法的具体求解步骤如下。
（1）计算函数f(x)在区间[a,b]中点的函数值f((a+b)/2)，并作下面的判断： 如果0)2()(<+ba f a f ，转到（2）； 如果0)2()(>+b a f a f ，令 2ba a +=，转到（1）； 如果 0)2()(=+b a f a f ，则 2ba x +=为一个跟。
（2）如果 ε<+-|2|b a a （ε为预先给定的精度），则43ab x +=为一个根，否则令2ba b +=，转到（1）。
在MATLAB 中编程实现的二分法函数为：HalfInterval 。
功能：用二分法求函数在某个区间上的一个零点。
调用格式：root=HalfInterval(f,a,b,eps). 其中，f 函数名； a 为区间左端点； b 为区间右端点；eps 为根的精度； root 为求出的函数零点。
二分法的MATLAB 程序代码如下：function root=HalfInterval(f,a,b,eps) %二分法求函数f 在区间[a,b]上的一个零点 %函数名：f %区间左端点：a %区间右端点：b %根的精度：eps %求出的函数零点：root if (nargin==3) eps=1.0e-4;endf1=subs(sym(f),findsym(sym(f)),a); %两端点的函数值f2=subs(sym(f),findsym(sym(f)),b);if(f1==0)root=a;endif(f2==0)root=b;endif(f1*f2>0)disp('两端点函数值乘积大于0!');return;elseroot=FindRoots(f,a,b,eps); %调用求解子程序endfunction r=FindRoots(f,a,b,eps)f_1=subs(sym(f),findsym(sym(f)),a);f_2=subs(sym(f),findsym(sym(f)),b);mf=subs(sym(f),findsym(sym(f)),(a+b)/2); %中点函数值if(f-1*mf>0)t=(a+b)/2;r=FindRoots(f,t,b,eps); %右递归elseif(f_1*mf==o)r=(a+b)/2;elseif(abs(b-a)<=eps)r=(b+3*a)/4; %输出根elses=(a+b)/2;r=FindRooots(f,a,b,eps); %左递归endendend流程图：实例应用：采用二分法求方程0133=+-x x 在区间[0，1]上的一个根。
第十章非线性方程及非线性方程组解法
(
x
)
n
lim
n
x
n
若
{x
}
n
收敛，即
lim xn x*，则：
n
x* (x*) f (x*) 0
迭代过程的几何表示
x (x) :
y x 交点即真根。
y (x)
yx
y
Q1
Q2
P* P2
O x* x2
P1
x1
y (x)
P0
x0
x
例：求方程 f (x) x3 x 1 0 在x0 1.5附近的根x*. 解：（1） 将方程改写为 x 3 x 1
第十章 方程求根
求解非线性方程
f (x) 0 f 是非线性函数，
例：代数方程
a x a x a x a f (x) n
n1 L
0, n 1。
n
n1
1
0
例: 超越方程
f (x) ex sin x 0
§1. 非线性方程实根的对分法(二分法)
设 f (x) 在[a,b] 上连续且 [a,b] 有且仅有一个根又
xn1 (xn ) (n 0,1,L )
均收敛于x*，并有
x* xn
Ln 1 L
x1 x0
收敛充分性定理(一、2)
证：由条件（2）知(x)在[a, b]上连续。 令 (x) x (x),则 (x)在[a,b]上连续，且
(a) a (a) 0, (b) b (b) 0 故存在 [a,b]，使得（） 0,即 （）, 所以方程x (x)在[a,b]内有根。
可先用二分法或经验确定迭代初值x0 0.5，再按牛
顿公式进行迭代。
Newton法具有收敛快，稳定性好，精度高等优点，是求 解非线性方程的有效方法之一。但它每次迭代均需计算函 数值与导数值，故计算量较大。而且当导数值提供有困难 时， Newton法无法进行。
非线性方程的数值解法中的二分法
非线性方程的数值解法中的二分法
二分法，又称秦九韶算法，是一种用来求解非线性方程的有效的数值解法。
它可以有效地将一个不确定的区间划分为两个不相交的子区间，其中一个至少包含方程的一个根，而另一个不包含根，这样重复地使用子区间，就可以缩小包含根的子区间从而求出根。
它具有准确性好、计算量小、理论考虑简单等优点。
因此，二分法逐渐得到了在互联网科技领域的广泛应用，受到了更多关注。
作为一种基础性的数学算法，二分法的基本原理是将一个不确定的区间分成两个相等的小区间，其中一个必定包含方程的一个根，而另一个肯定不包含根，然后针对这两个相邻区间，不断求解，直到最后已经求出根为止。
具体地说，在给定一个区间[a，b]，要求函数f (x)在[a，b]内存在唯一根r，根据贴合定理，只需要计算函数在两个端点的值，并判断它们是否异号，如果异号，则区间[a，b]一定包含根r。
接着，利用c =(a＋ b) / 2将区间[a，b]分成两个小区间[a，c]和[c，b]，逐渐缩小根所在的区间范围，直到最后确定根的准确值。
由于数值计算的准确性高、计算量小、计算过程简单，因此二分法在许多互联网科技应用中大量采用，如自动搜索引擎服务，精准推荐等。
此外，在建模和科学研究中，二分法也被广泛运用，例如求解非线性方程组、解析一元函数最优解等。
综上所述，二分法是一种有效的数值解法，在互联网科技的应用非常广泛，如搜索引擎服务、精准推荐以及科学研究等，它具有计算准确度高、计算量小、理论需要考虑较少的优势，有效地解决非线性方程的求解问题，同时也为科技进步和科学发展作出了贡献。
非线性方程求解
非线性方程求解在数学中，非线性方程是一种函数关系，其表达式不能通过一次函数处理得到。
与线性方程不同，非线性方程的解决方案往往更具挑战性，因为它涉及到更复杂的计算过程。
尤其在实际应用中，非线性方程的求解是一个非常重要的问题。
本文将讨论几种常用的非线性方程求解方法。
二分法二分法，也称为折半法，是一种基本的求解非线性方程的方法之一。
它的核心思想是将区间一分为二并判断方程在哪一半具有根。
不断这样做直到最终解得精度足够高为止。
下面是利用二分法求解非线性方程的流程：1. 设定精度值和区间范围2. 取区间的中点并计算函数值3. 如果函数值为0或函数值在给定精度范围内，返回中点值作为精确解4. 如果函数值不为0，则判断函数值的正负性并缩小区间范围5. 重复步骤2-4直到满足给定精度为止当然，这种方法并不总是能够找到方程的解。
在方程存在多个解或者区间范围不合适的情况下，二分法可能会导致求解失败。
但它是一种很好的起点，同时也是更复杂的求解方法中的一个重要组成部分。
牛顿迭代法牛顿迭代法是一种更复杂的求解非线性方程的方法。
它利用泰勒级数和牛顿迭代公式，通过不断迭代来逼近根的位置。
下面是利用牛顿迭代法求解非线性方程的流程：1. 先取一个近似值并计算函数值2. 求出函数的导数3. 利用牛顿迭代公式，计算下一个近似根4. 检查下一个近似根的精度是否满足条件，如果满足，返回当前近似根5. 如果精度不满足，则将新的近似根带入公式，重复步骤2-5当然，牛顿迭代法的收敛性并不总是保证的。
如果迭代过程太过温和，它可能无法收敛到精确解。
如果迭代过程过于暴力，则会出现发散现象，使得求解变得不可能。
其他方法此外，还有一些其他的求解非线性方程的方法，例如黄金分割法、逆二次插值法、牛顿切线法等等。
其中每一种方法都有其优缺点，不同的情况下，不同的方法都可能比其他方法更加适合。
结论总体来说，求解非线性方程的方法非常复杂。
无论是哪种方法，都需要一定的数学基础和计算机知识。
非线性方程的二分法
1 条件 f ( x) C[a,b],且f (a) f (b) 0
2 主要依据 由连续函数介值定理,则至少存在某个 x* (a,b),
使得f ( x* ) 0,即[a,b]内至少有方程(2.1)的一个根,称[a,b]为f(x)
的一个含根区间。并且有
x* a b b a
有根区间 中点 x n
-(1,2)+ (1,1.5)
x1 1.5 x2 1.25
(1.25,1.5)
x3 1.375
(1.25,1.375) x4 1.313
(1.313,1.375) x5 1.344
(1.344,1.375) x6 1.360
(1.360,1.375) x7 1.368
bk
生成含根区间[ak 1,bk 1] ,满足（2.2）式，即
(1) [ak 1 , bk 1 ] [ak h
(2) bk1 akak1 ak bk1 xk
x
(3) f (ak 1 ) f (bk 1 ) 0
含根区间 [ak 1,bk 1] 满足（2.2）式，即
对
区((间12))[找 a计k ,中算bk点](:,(23f)：)kbif令(xafaki ()ixkf12（ )(2(bhiai即)1k,中 i0b,k点 i0);,的 10,,1函,,数 k,,k值. ）; (3) 生成含根区间：
(2.2)
ak ak
x* xk xk
若f ( x1 ) 0，则x* x1 ,
若f ( x1 ) f (a1 ) 0, 取a2 x1, b2 b1, 若f ( x1 ) f (a1 ) 0, 取a2 a1, b2 x1,
实验一非线性方程组求解实验报告
计算方法实验报告专业班级：姓名：学号：实验成绩：1．【实验题目】非线性方程组求解2．【实验目的】（1）．掌握二分法、迭代法、牛顿迭代法求方程近似根的基本思想与原理。
（2）．掌握常用迭代算法的程序实现。
3．【实验内容】迭代法是求解非线性方程的基本方法，其构造方法可以有多种多样，但关键是怎样才能使迭代收敛且有较快的收敛速度。
考虑一个简单的代数方程，针对该方程，可以构造多种迭代法，如：取初始值，取，分别用以上迭代格式作实验，记录各算法的迭代过程4. 【实验要求】（1）取定某个初始值，按方案1～3对非线性方程求根，它们的收敛性如何？重复选取不同的初始值，反复实验。
请读者自行设计一种比较形象的记录方式（如利用Matlab的图形功能），分析三种迭代法的收敛性与初值选取的关系。
（2）对三个迭代格式的某一种，分别取不同的初始值进行迭代，结果如何？试分析迭代法对不同的初值是否有差异？（3）对代数方程，分别用方案1 用二分法求解；方案2 用牛顿法求解；5. 【算法描述】二分法算法步骤1）计算有根区间的端点a,b及预先给定的精度e。
2）计算中点(a+b)/2。
3）若f(x)f(a)<0,则x b,转向4)；否则，x a，转向4).⇒⇒4）若b-a<e，则输出满足精度的根x,结束；否则转向2)。
牛顿法迭代法的计算步骤x01）给出初始近根及精度e。
2）计算。
x x x x f f 1000)(')(⇒-3）若|-|<e ，则转向4)；否则转向2)。
x 1x 0x x 01⇒4）输出满足精度的根，结束。
x 16. 【源程序（带注释）】二分法#include<stdio.h>#include<math.h>#include<conio.h>#include<windows.h>float f(float x){float a;a=x*x*x-x-1;return a;} /*求函数值，如果求其它函数，只需改成其它函数即可*/ main(){float a,b,e,x; /* a,b 分别表示有根区间的左、右端点, e 是精度要求,x 区间中点值*/system("CLS");//清屏printf("对代数方程x^3-x-1=0，分别用\n 方案1 用二分法求解\n");printf(" \n please input data a =");scanf("%f",&a);printf(" \n please input data b=");scanf("%f",&b);if(f(a)*f(b)<0){while(f(x)!=0){x=(a+b)/2;if(f(x)*f(a)<0){b=x;if(fabs(b-a)<0.000001)break;elsecontinue;}else{a=x;if(fabs(b-a)<0.000001)break;else continue;}}printf("\n");x=(b+a)/2;printf("the root of f(x)=0 is x=%f\n",x);}elseprintf("\ not root! afresh input\n"); /*表示[a,b] 区间无根，重新选择有根区间*/getch();return(x);}牛顿法#include<stdio.h>#include<math.h>#include<conio.h>#include<windows.h>#define maxrept 1000 /*最大迭代次数*/float f(float x) {float a;a=x*x*x-x-1;return a; /*函数f(x) */}float df(float x) {return(1+exp(-x)); /* 函数f(x)的导数) (x f ′*/ }float iterate(float x) {float x1;x1=x-f(x)/df(x); /* 牛顿迭代函数iterate(x)=x-f(x) / ) (x f ′*/return(x1);}main() {float x0,x1,d;int k=0;//clrscr();system("CLS");printf("对代数方程x^3-x-1=0，分别用\n方案2 用牛顿法求解\n");printf("\n please input x0="); /* 输入迭代初值x0 */scanf("%f",&x0);printf("\n k xk\n");printf("\ %d %f\n",k,x0);do {k++;x1=iterate(x0);printf(" %d %f\n",k,x1);d=fabs(x1-x0);x0=x1;}while((d>=0.000001)&(k<maxrept));if(k<maxrept)printf("the root of f(x)=0 is x=%f, k=%d\n",x1,k);elseprintf("\n the iteration is failed!\n");getch();}7．【实验结果与分析总结（含运行结果截图）】。
二分法求非线性方程的数值解
二分法求非线性方程的数值解function [x,k] = bisec( f,a,b,ep ) %f:f(x)=0的函数，a,b:[a,b]端点，ep:精度%x:方程的数值解，k迭代次数if f(a)*f(b)>=0if f(a)* f(b)>0warning('端点值同号，不符合二分法的条件');return;elseif f(a)==0disp(' a就是方程的解');return;elsedisp(' b就是方程的解');return;endendendk=0;N=(log10(b-a)-log10(ep))/log10(2); %最大迭代次数x=(a+b)/2;if f(x)==0disp(' x就是方程的解');return;elsewhile abs(a-b)>ep & k<Nif f(x)*f(a)<0b=x;elsea=x;endk=k+1;x=(a+b)/2;% if k==N% warning('已达到最大设定次数'); %二分法一定收敛，这个最大次数是达到精度时次数%每次运行都会出现，完全没有必要。
%endendt=round(-log10(ep));x=vpa(x,t);end>> f=@(x)x-exp(-x);a=0;b=1;ep=0.5e-10;>> [x,k]=bisec(f,a,b,ep)x =0.5671432904k =35二分法求非线性方程的数值解(多元函数情形，以二元函数为例)function [x,k] = bisec( f,a,b,ep ) %f:f(x)=0的函数，a,b:[a,b]端点，ep:精度%x:方程的数值解，k:迭代次数if f(a(1),a(2))*f(b(1),b(2))>=0if f(a(1),a(2))* f(b(1,b(2)))>0warning('端点值同号，不符合二分法的条件');return;elseif f(a(1),a(2))==0disp(' a就是方程的解');return;elsedisp(' b就是方程的解');return;endendendk=0;x=(a+b)/2;if f(x(1),x(2))==0disp(' x就是方程的解');return;elsewhile norm(a-b)>epif f(x(1),x(2))*f(a(1),a(2))<0b=x;elsea=x;endk=k+1;x=(a+b)/2;endt=round(-log10(ep));x=vpa(x,t);end>> g=@(x,y)1-x^2-y^2;a=[0;0];b=[1;1];ep=0.5e-15;>> [x,k]=bisec1(g,a,b,ep)x =0.7071067811865480.707106781186548k =52。
非线性方程和方程组的求解讲解
注：1.若初始值充分接近于根，则N－R法的收 敛速度很快； 2.由于方程的精确解的具体值事先不知道， 在编程实施时，可以预先给定一个足够小的正 数 ，以下式作为迭代终止的判定条件：
x k 1 x k
N-R法的几何意义
y f(x) f(x0) f(x1) 0 x* xk+1 xk … x1 x0 x
0 1 0 2
0 x1 0 x2
f 2 ( x1 , x2 ) (x x ) x2
1 1 0 1
0 x1 0 x2
1 0 ( x2 x2 )0
1 1 0 X x x 若令 1 1 1
1 1 0 X 2 x2 x2
1 T 2
则 X X
1
1 1
X
令
f 1 x 0 J( X ) 1 f 2 x1
f (1) 1 在[0,1]中有实根
bk 1 0.5 0.5 0.375 0.375 0.375 0.359375 0.3515625 0.34765625 0.34765625 0.34765625 0.34765625 0.347412109 xk 0.5 0.25 0.375 0.3125 0.34375 0.359375 0.3515625 0.34765625 0.345703125 0.346679687 0.347167968 0.347412109 0.347290038 f(xk) -3.75 0.265625 -0.07227 0.09302 0.009369 -0.03171 -0.01124 -0.000949 0.004206 0.001627 0.0003387 -0.0003054 0.00001666
Matlab程序：
数学实验项目-使用二分法对非线性方程求根
end 程序输出
n=01,当前有根区间是[0.000000,0.500000],近似根为 0.500000,wucha=0.500000 n=02,当前有根区间是[0.250000,0.500000],近似根为 0.250000,wucha=0.250000 n=03,当前有根区间是[0.250000,0.375000],近似根为 0.375000,wucha=0.125000 n=04,当前有根区间是[0.250000,0.312500],近似根为 0.312500,wucha=0.062500 n=05,当前有根区间是[0.250000,0.281250],近似根为 0.281250,wucha=0.031250 n=06,当前有根区间是[0.265625,0.281250],近似根为 0.265625,wucha=0.015625 n=07,当前有根区间是[0.265625,0.273438],近似根为 0.273438,wucha=0.007813 n=08,当前有根区间是[0.265625,0.269531],近似根为 0.269531,wucha=0.003906 n=09,当前有根区间是[0.265625,0.267578],近似根为 0.267578,wucha=0.001953 n=10,当前有根区间是[0.265625,0.266602],近似根为 0.266602,wucha=0.000977 n=11,当前有根区间是[0.266113,0.266602],近似根为 0.266113,wucha=0.000488 n=12,当前有根区间是[0.266113,0.266357],近似根为 0.266357,wucha=0.000244 n=13,当前有根区间是[0.266235,0.266357],近似根为 0.266235,wucha=0.000122 n=14,当前有根区间是[0.266235,0.266296],近似根为 0.266296,wucha=0.000061 n=15,当前有根区间是[0.266235,0.266266],近似根为 0.266266,wucha=0.000031 n=16,当前有根区间是[0.266235,0.266251],近似根为 0.266251,wucha=0.000015 n=17,当前有根区间是[0.266243,0.266251],近似根为 0.266243,wucha=0.000008 n=18,当前有根区间是[0.266247,0.266251],近似根为 0.266247,wucha=0.000004 n=19,当前有根区间是[0.266247,0.266249],近似根为 0.266249,wucha=0.000002 n=20,当前有根区间是[0.266248,0.266249],近似根为 0.266248,wucha=0.000001
非线性方程(组)的解法
lnim(bn
an )
lim
n
2n1
(b
a)
0
lim
n
an
lim
n
bn
x
取
x
cn
1 2
(an
bn
)为
x 的近似解。
7
二分法
迭代终止准则
an - bn
即
x - cn
bn an 2
2
8
2.2一般迭代法
2.2.1 迭代法及收敛性
对于 f (x) 0 有时可以写成 x (x) 形式 如： x3 x 1 0 x 3 x 1
12
例题
例2.2.1 试用迭代法求方程 f (x) x3 x 1 0
在区间(1，2)内的实根。 解：由 x 3 x 1建立迭代关系
xk1 3 xk 1 k=0,1,2,3…… 计算结果如下:
13
例题
精确到小数点后五位
x 1.32472 1 105
2
14
例题 但如果由x x3 1建立迭代公式
xk1 xk3 1 k 1,2,...
仍取 x0 1.5，则有 x1 2.375 ，x2 12.39 显 然结果越来越大，{xk }是发散序列
15
2.3 Newton迭代法
设x*是方程f (x) = 0的根， 又x0 为x* 附近的一个值，
将f (x) 在x0 附近做泰勒展式：
f (x)
二分法
用二分法(将区间对平分)求解。
令
a1
a, b1
b, c1
1 2
(a1
b1 )
若 f (a1) f (c1) 0，则[a1, c1] 为有根区间，否 则 [c1,b1]为有根区间
计算方法 10 二分法-非线性方程
第一学期（16周）
二分法 – 非线性方程
二分法
原理：若 f C a, b ，且 f (a ) f (b) 0，则 f
在区间 (a,b) 上必须有一根。 考察：请求解三次元方程 f ( x) x 3 x 2 3 x 3 0 的正根？ 求解： f (1) 4 0, f (2) 3 0
*
计算方法（2016/2017 第一学期）
西南科技大学
制造科学与工程学院
4
二分法
在实际计算中，如果预先给定了精度 0 ，则
1 ba x xk bk ak k 1 2 2
*
当
达到了精度要求
ba k 1 2
* x x 时，则认为 k 作为 的达到了
计算方法（2016/2017 第一学期）
2
计算方法（2016/2017 第一学期） 西南科技大学 制造科学与工程学院
2
二分法
对于有根区间 a1 , b1 ，在实际操作上，可加中点
a1 b1 x1 a2 , b2 ，可得到新的有根区间 ，长度 2
为原有根区间的一半。
如此反复二分可得一系列有根区间，且
3.4688
3.4531 3.4531
3.4531
3.4453 3.4492
制造科学与工程学院
8
x* x0 。否则 f ( x0 ) 与 f (a) 和 f (b) 的其中一个
异号。 若 f ( x0 )与 f (a) 异号，则取 a1 a, b1 x0 原左半 若 f ( x0 )与 f (b) 异号，则取 a1 x0 , b1 b 原右半 则原方程的有根区间为 a1 , b1 ，它被包含在原区 ba b1 - a1 间 a , b 内，长度为原区间一半，即：
高等代数中的非线性方程组 求解方法与案例
高等代数中的非线性方程组求解方法与案例高等代数中的非线性方程组求解方法与案例一、引言非线性方程组在数学和科学工程领域中具有重要的理论和实际应用价值。
本文将介绍一些常用的非线性方程组求解方法，并通过案例来展示这些方法的应用。
二、牛顿法牛顿法是一种经典的非线性方程组求解方法。
该方法利用函数的导数信息进行迭代，通过不断逼近方程组的解。
其迭代公式如下：假设方程组为 F(x) = 0，初始解为 x_0，则迭代公式为：x_{n+1} = x_n - J_F(x_n)^{-1} * F(x_n)其中，J_F(x_n) 表示 F(x_n) 的雅可比矩阵。
三、割线法割线法是一种迭代求解非线性方程组的方法。
该方法使用方程组中两个初始解点之间的割线来逼近方程组的解。
其迭代公式如下：假设方程组为 F(x) = 0，初始解为 x_0 和 x_1，则迭代公式为：x_{n+1} = x_n - \frac{F(x_n) * (x_n - x_{n-1})}{F(x_n) - F(x_{n-1})}四、二分法二分法是一种简单且可靠的非线性方程组求解方法。
该方法利用方程组在区间两端点函数值异号的性质，在区间内部寻找解。
其迭代公式如下：假设方程组为 F(x) = 0，在区间 [a, b] 内满足 F(a) * F(b) < 0，迭代公式为：x_{n+1} = \frac{a_n + b_n}{2}五、案例分析假设有如下非线性方程组：x^2 + y^2 = 10x + y = 5我们将使用上述介绍的三种方法来求解该方程组。
1. 牛顿法求解：首先，我们需要计算方程组的雅可比矩阵：J_F(x, y) = [[2x, 2y],[1, 1]]给定初始解 x_0 = (1, 4)，按照牛顿法的迭代公式进行迭代计算，直到满足收敛条件。
2. 割线法求解：给定初始解 x_0 = (1, 4) 和 x_1 = (2, 3)，按照割线法的迭代公式进行迭代计算，直到满足收敛条件。
非线性方程(组)的解法
f ( x) f ( xk ) f ( xk )(x xk ) 一元函数 F ( x) F ( x k ) F ( xk )(x xk ) 0 x k为向量 F ( x k )(x x k ) F ( x k ) x x k F ( x k )1 F ( x k )
18
3.非线性方程组的迭代解法
f1 ( x1 , x2 , , xn ) 0 f1 ( x) f1 ( x1 , L , xn ) 或 F ( x) L 0 L f ( x) f ( x , L , x ) f ( x , x ,, x ) 0 n n n 1 n n 1 2
9
迭代法及收敛性
考虑方程 x ( x)。 这种方程是隐式方程，因而不能直接求出它的根。
但如果给出根的某个猜测值 x0， 代入 x ( x) 中的右端得到 x1 ( x0 )，再以 为一个猜测值，
x1
代入 x ( x) 的右端得 x2 ( x1 ) ，反复迭代 得
1 f ( x ) f ( x0 ) ( x x0 ) f ( x0 ) ( x x0 )2 f ( ) 2 其中在x和x0之间
0 f ( x) f ( x0 ) ( x x0 ) f ( x0 ) 0
16
Newton迭代法
有：
*
f ( x0 ) x x0 f ( x0 )
能为力时，数值方法则可以借助于计算机出色完成。
2
2.1二分法
概念：
有根区间：存先确定有限区间：依据零点定理。 设 f ( x) C[a, b]，且 f (a) f (b) 0 ，则 方程 f ( x) 0在区间 (a, b)上至少有一个根。 如果 f ' ( x) 在 (a, b)上恒正或恒负，则此根唯 一。
非线性方程(组)的求解
切线法
牛顿下山法 ——Newton’s Method 局部微调：
原理：若由 xk 得到的 xk+1 不能使 | f | 减小，则在 xk 和 xk+1 之间找一个更好的点 xk 1 ，使得 f ( xk 1 ) f ( xk ) 。
xk
xk+1
f ( xk ) x k 1 [ x k ] (1 ) xk f ( xk ) xk f ( xk ) f ( xk )
试位法
为了加快二分法根的收敛速度，这里再介绍一种方法——试位法，试位法的 一般执行过程见下面动画。
(b, f (b))
a
x*
b
(a+b)/2
x a f (a ) b a f (b) f (a )
(a, f (a))
test_bit.m
4.2 简单迭代法
f (x) = 0 f (x) 的根
等价变换
x = g (x) g (x) 的不动点
从一个初值 x0 出发，计算 x1 = g(x0), x2 = g(x1), …, x 思 xk+1 = g(xk), … 若 k k 0 收敛，即存在 x* 使得 路 lim x k x *，且 g 连续，则由 lim x k 1 lim g x k 可 k k k 知 x* = g(x* )，即x* 是 g 的不动点，也就是f 的根。 逐次逼近： 将隐式方程归结为显式计 算
a
x a1
x*
x2 b b
bisect.m
误差 分析：
对于给定的精度 ,可估计二分法所需的步数 k ：
ba ε k 2 k
ba |x x*| 第1步产生的 有误差 1 2 ba |x x*| 第 k 步产生的 xk 有误差 k 2k
第4章非线性方程(组)的求解
fixpt.m
y p1 p0
y=x y=g(x)
y p0
y=x
x0 y x1 x* y=x x x0 y y=g(x) p0 x* y=g(x)
p1 y=g(x) x1 y=x x
p0 p1 x1 x0 x*
x x0 x*
p1
x
x1
4.3 Newton法
原理：将非线性方程线性化 —— Taylor 展开 取 x0 x*，将 f (x)在 x0 做一阶Taylor展开: f ( ) 2 f ( x ) f ( x ) f ( x )( x x ) ( x x ) ， 在 x0 和 x 之间. 0 0 0 0 2 ! 将 (x* x0)2 看成高阶小量，则有：
割线
切线
收敛比Newton’s Method 慢， 且对初值要求同样高。
x1 x0
切线斜率
割线斜率
f ( x ) f ( x ) k k 1 f( x ) k x x k k 1
f( x )( x x ) k k k 1 x x k 1 k f( x ) f( x ) k k 1
非线性方程组可以看作非线性方程的推广，而非线性方程就是非线性方程组的特 例。非线性方程组的一般数学描述为：
f1 ( x1 , x 2 , f (x , x , 2 1 2 f n ( x1 , x 2 , , xn ) 0 , xn ) 0 , xn ) 0
f(x 0) 0 f ( x *) f ( x ) f ( x )( x * x ) x *x 0 0x k) x k 1 x k f (x 线性 /* linear */ k)
数值分析—二分法解非线性方程组—FORTRAN程序
数值分析—二分法解非线性方程组—FORTRAN程序以下为一个使用二分法解非线性方程组的Fortran程序：```fortranPROGRAMBISECTION_METHODIMPLICITNONEINTEGER :: n, i, max_iterREAL :: a, b, tol, xn, fa, fb, fn!假设我们要解的方程组是f(x)=0，可以在这里定义f(x) REALFUNCTIONf(x)REAL::x!计算f(x)的值，并返回f=x**2-2ENDFUNCTIONf!主程序开始WRITE(*,*)'输入方程的左右端点a和b：'READ(*,*)a,bWRITE(*,*)'输入迭代的最大次数和误差容限：'READ(*,*) max_iter, tol!输出表头WRITE(*, '(3X, "Iteration", 3X, "a", 6X, "b", 6X, "f(a)", 4X, "f(b)", 4X, "f(n)")')WRITE(*,'(A)')'------------------------------------------------------------------'!二分法迭代DO i = 1, max_iter! 计算中点 xnxn = (a + b) / 2!计算f(a)、f(b)和f(n)fa = f(a)fb = f(b)fn = f(xn)!输出迭代步骤结果WRITE(*,'(I5,3X,F10.6,3X,F10.6,3X,F10.6,3X,F10.6,3X,F10.6)') & i, a, b, fa, fb, fn!判断迭代是否结束IF (ABS(fn) < tol) EXIT!根据f(a)、f(b)和f(n)判断下一步迭代的区间IF (fa * fn < 0) THENb = xnELSEa = xnENDIFENDDOWRITE(*,'(A)')'------------------------------------------------------------------'WRITE(*,*)'迭代结束！最终结果：'WRITE(*, '(A)') 'x =', xnENDPROGRAMBISECTION_METHOD```这个程序使用二分法迭代解决非线性方程组。
八 非线性方程及方程组的解法
, , 结论: 若xn → x∗ ,ϕ( x)在x∗处连续 则x∗是方程的根即
f (x ) = 0
*
y p1 p0
y=x
y p0
y=x
y = ϕ(x)
y = ϕ(x)
p1 x x x0 y y = ϕ(x) p0 p0 p1 x x1 x0 x* x0 x* x1 p1 x x* x1 y=x
x0 y
4ln10 n≥ − ≈ 13.3 ln 0.5
n 故 = 14, x14即为满足精度要求的近 . 似解
>> f=inline('x^3+10*x-20','x'); >> [x,err]=bisection(f,1,2,0.00005,15) n x err 1.00000000000000 1.50000000000000 2.00000000000000 1.75000000000000 3.00000000000000 1.62500000000000 4.00000000000000 1.56250000000000 5.00000000000000 1.59375000000000 6.00000000000000 1.60937500000000 7.00000000000000 1.60156250000000 8.00000000000000 1.59765625000000 9.00000000000000 1.59570312500000 10.00000000000000 1.59472656250000 11.00000000000000 1.59423828125000 12.00000000000000 1.59448242187500 13.00000000000000 1.59460449218750 14.00000000000000 1.59454345703125 15.00000000000000 1.59457397460938 x = 1.59457397460938 err =3.051757812500000e-005
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然后用 ３ 部分所述方法解出二元方程组， 再把方程组的解集代入剩下的一个方程 中，求出其函数值；再增加给定元一个步 长值，使方程组变成一个二元的方程组和 一个二元方程，然后用 ３ 部分所述方法解 出二元方程组，再把方程组的解集代入剩 下的一个方程中，求出这时的函数值，并与 前一次的函数值相乘，若乘积小于零，则在 这个步长中方程组有解，可用二部分所述 方法求出解集；若大于零，则此步长区间 中无解，则增加给定元一个步长值，重复前 面的步骤，直到给定元取值结束。对于 Ｎ 元方程组则是以此类推。解 Ｎ 元方程组的 流程图如下：如图 ３。
５ 结语
二分法是一种逐一搜索的方法，运用 二分法原理求解多元非线性超越方程组 时，由于收敛条件要求很低，初值便于确定，因 此对于诸如工程可靠度计算之类复杂问题采 用本文方法具有明显的优势。但是随着未知 元的增加，搜索的次数会增加的很多，与传统 方法相比计算时间会延长，但目前计算机的性 能可以解决此类问题。现已编制了计算机应 用程序供工程应用。
精忠庙几位庙首在此事件中，借助多方的 合作和配合，凭借行会内部的团结和自身的果 断与机智，妥善的处理了此次冲突，控制了混 乱的局面。不仅圆满解决了问题，亦向世人 证明了梨园公会内部的团结与力量和对梨园 事务的有效管理。
参考文献 ［１］ 周明泰．清昇平署存档事例漫抄［Ｍ］．北
京：几礼居戏曲丛书第四种，中华民国 二十二年． ［２］ 朱 希 祖 ．整 理 昇 平 署 档 案 记 ［ Ｍ ］ ．北 京 ： 北平燕京大学出版，民国二十年． ［３］ 王芷章．清昇平署志略［Ｍ］．北京：国立北平
２ 解一元超越方程的二分法
设 方 程 为 f (x) = 0 ，令 ｙ＝ f (x) ，ｘ 在 区 间［ａ，ｂ］上取值，给定精度 ｅｐｓ 和步长 ｈ，ｘ 从 ａ
开始取值，求出 ｙ 值，再让 ｘ 增加一个步长 ｈ，
求出 ｙ１＝ f (x + h) 值，判断 ｙ１＊ｙ 是否小于零，
若小于零，则在这个步长内有解，那么二分步
史资料研究委员会．京剧谈往录［Ｍ］．北 京：北京出版社，１９８５． ［８］ 李 体 扬 ．清 代 宫 廷 戏 剧 ［Ｊ］．京 剧 史 研 究 ［Ｍ］．北京：学林出版社，１９８５． ［９］ 丁 汝 芹 ．清 代 内 廷 演 戏 史 话 ［ Ｍ ］ ．北 京 ： 紫禁城出版社，１９９９． ［１０］ 马 戛 尔 尼， 刘 半 农， 林 延 清 ． １ ７ ９ ３ 乾 隆 英 使觐见记［Ｍ］．天津：天津人民出版社， ２００６． ［１１］范 丽 敏．清 代 北 京 戏 曲 演 出 研 究 ［Ｍ］．北 京：人民文学出版社，２００７．
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１９８２ 年． ［７］ 中国人民政治协商会议全国委员会文
ｆ１（ｘ１，ａ２）＝０， （３） ｙ１＝ ｆ ２（ ｘ １， ａ ２） ， （ ４ ） 用 ２ 中介绍的方法解一元方程（３），解
出 ｘ１，把解出的 ｘ１ 值代入 ｙ１，求出其函数
值，并增加给定元 ｘ２ 一个步长值，此时方程
图２
１５０ 科技创新导报 Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ａ ｎ ｄ Ｔ ｅ ｃ ｈ ｎ ｏ ｌ ｏ ｇ ｙ Ｉ ｎ ｎ ｏ ｖ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ Ｈ ｅ ｒ ａ ｌ ｄ
学 术 论 坛
（３）和（４）变为：
ｆ１ （ｘ１，ａ２＋ｈ）＝０ ， （５） ｙ２＝ ｆ２（ｘ１，ａ２＋ｈ）， （６） 再用 ２ 中介绍的的方法解一元方程
（５），解出 ｘ１，把解出的 ｘ１ 值代入 ｙ２，求出其 函数值，并与前一次的函数值相乘，若乘积
小于零，则在 ｘ２ 的这一个步长中，方程组有 解，可用二部分所述二分这个步长的方法
决定罢演七天，以表斗争之决心。罢演之前， 精忠庙共集钱四千八百余吊发放于民间各班， 用以罢演期间艺人糊口。罢演规模之大，气 势之高，振动京师，甚至得到了孝钦皇后（慈禧） 的重视。其下令着吊赏银九千六百吊补于艺 人，牵涉班社每班约获赏银一千二百吊。并 勒令许应騤、杨颐二人即刻查办相关责任 人，于庆和园门前示众十日，以示惩戒。
“御使轿夫、家奴庆和园兹事，梨园公 愤罢演七天”
光绪十五年七月二十一、二十二日， 左御使许应騤和副都御使杨颐家中轿夫、 家奴张大顺、张文纪等数人，在大栅栏庆 和园戏园肆意兹事，还仗势伙同巡城御使、 中城坊官正指挥等人私自封闭庆和园，斥 责戏园卯头，当即引起周边各处戏园、戏 班同僚的一致不满。经孙菊仙、杨月楼等 诸庙首、戏园园主、戏班班主及各界票友、 友人共议，决定不能纵容此事。遂京城梨园
科技创新导报 Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ Ｉｎｎｏｖａｔｉｏｎ Ｈｅｒａｌｄ
１５１
参考文献 ［１］ 魏毅强．数值计算方法［Ｍ］．北京：科学出
版社，２００４． ［２］ 刘永强等编，算法语言与计算方法基础
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长， 计算这个步长中点值 ｙ ０＝ f (x + h 2) ，若
图１
小于给定精度，则此时的步长中点值是方程
的解，若不小于给定精度，则判断 ｙ０＊ｙ 是否 小于零，小于则区间有根，那么把 ｙ０ 赋值给 ｙ１，即 ｙ１＝ｙ０ 后，再重复判断和二分区间；若 ｙ０＊ｙ 大于零，则 ｙ１＊ ｙ０ 小于零，那么把 ｙ０ 赋 值给 ｙ，即 ｙ＝ｙ０，重复判断和二分区间，直到 二分的区间小于给定精度，则取区间中点
７ 版．北京：高等教育出版社，２００１． ［５］ 罗坚等．Ｃ 语言程序设计［Ｍ］．北京：中国
铁道出版社，２００４．
图３
（上接 １４９ 页）
重要地位和协助职能。 ３．３．３ 在精忠庙庙首的协助下，确保民
间行会及戏曲活动的有序、正常运行。 精忠庙庙首的一项重要职责就是负责
处理行会内部、外部纷争，及违犯行规等 日常事件，借以维护和确保戏行内部及民 间戏班、戏园演出活动的正常、有序进行。 此仅光绪十五年京城梨园两件大事的处理 上，即可看出精忠庙庙首在行内的权威性， 及职权行使的有效性。
为根，找到满足精度要求的根，找到根之
后，在把找跟区间向前推进一步；若 ｙ１＊ｙ 大于零，则这个小区间无根，就把区间向前
推一步，再重复判断。那么重复以上步骤，
直到 ｘ 取值到区间有端点。解的过程的简
要流程如下：如图 １。
３ 解二元超越方程组的二分法
设方程组为：
ｆ１ （ｘ１，ｘ２）＝０， （１） ｆ２ （ｘ１，ｘ２）＝０， （２） 则先令 ｘ２＝ａ２，ｙ＝ｆ２ （ｘ１，ｘ２），则方程组变 为：
科技创新导报 ２００９ ＮＯ．２４ Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ Ｉｎｎｏｖａｔｉｏｎ Ｈｅｒａｌｄ 求解非线性方程组的二分法
学 术 论 坛
张飞飞 １ 马群 １ 黄家庆 ２ 佟晓君 １ （ １ ． 河北理工大学 河 北 唐 山 ０ ６ ３ ０ ０ ０ ； ２ ． 中材建设有限公司 北京 １ ０ ０ １ ７ ６ ）
求出解集；若大于零，则此步长区间中无 解，则增加给定元一个步长值，把求根区间
科技创新导报 ２００９ ＮＯ．２４
Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ Ｉｎｎｏｖａｔｉｏｎ Ｈｅｒａｌｄ
向前推进，重复前面的步骤，直到给定元取值 结束。简要的流程图如下：如图 ２。
４ Ｎ 元超越方程组的二分法
摘 要：文中给出一种解非线性超越方程组的数值方法，先用二分法原理给出解一个一元方程的流程，继而利用这个流程给出解二元方程
组的流程，再推广到 Ｎ 元的方程组中。在数值计算过程中，通过对超越方程组的一元化处理，仅利用方程有根区间两端的函数值互为相
反数这一特性便可得到方程根， 拓展了数值计算的收敛区间， 克服了传统解法中初值难以确定的问题。在工程可靠度的计算中， 采用本
ห้องสมุดไป่ตู้文方法具有独特的优势。
关键词： 可靠度计算 非线性超越方程组 二分法 数值计算
中图分类号：Ｇ６１３．４
文献标识码： Ａ
文章编号：１６７４－０９８Ｘ（２００９）０８（ｃ）－０１５０－０２
１ 引言
在结构可靠度计算过程中，需要运用 数值方法求解复杂的非线性超越方程组。 大量实践表明，采用传统的梯度法、拟牛 顿法等常因不收敛而导致求解失败，原因 是这些方法要求在解的收敛区域不仅连续 光滑，而且函数和导数具有单调性，这就使 得收敛区域被限定在很小的范围内。由于 所选择的初值很难进入这个范围内，因此 使得结果发散。我们提出了一种依照二分 法原理求解多元超越方程组的新方法，由 于该方法仅要求有根区间两端的函数值互 为相反数的条件，因此收敛区域很大，初值 非常容易确定。大量计算表明，当随机变 量为非正态分布且极限状态方程高度非线 性时，采用本文提出的的方法具有明显的 优势。