宁波大学材料力学第五版孙训芳课后习题答案(较全)

材料力学第五版课后答案孙训芳
[习题2-2]一打入基地内的木桩如图所示，杆轴单位长度的摩擦力f=kx**2，试做木桩的后力图。

解：由题意可得：
33
233
110
,,3/()3/(/)l
l N fdx F
kl F k F l F x Fx l dx F x l =====⎰
⎰1
有3
[习题2-3] 石砌桥墩的墩身高m l 10=，其横截面面尺寸如图所示。

荷载kN F 1000=，材料的密度3
/35.2m kg =ρ，试求墩身底部横截面上的压应力。

解：墩身底面的轴力为：
g Al F G F N ρ--=+-=)( 2-3图 )(942.31048.935.210)114.323(10002kN -=⨯⨯⨯⨯+⨯--=
墩身底面积：)(14.9)114.323(2
2
m A =⨯+⨯=
因为墩为轴向压缩构件，所以其底面上的正应力均匀分布。

MPa kPa m
kN
A N 34.071.33914.9942.31042-≈-=-==
σ
[习题2-7] 图示圆锥形杆受轴向拉力作用，试求杆的伸长。

2-7图
解：取长度为dx 截离体（微元体）。

则微元体的伸长量为：
)()(x EA Fdx l d =
∆ ，⎰⎰==∆l l x A dx
E F dx x EA F l 00)
()(
l
x
r r r r =--121，22112
112d x l d d r x l r r r +-=+⋅-=， 22
11
222)(u d x l
d d x A ⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=ππ，dx l d d du d x l d d d 2)22(12112
-==+- du d d l dx 122-=，)()(22)(221212u
du
d d l du u d d l
x A dx -⋅-=⋅-=ππ
因此，
)()(2)()(2
02100
u du
d d E Fl x A dx E F dx x EA F l l l l
⎰⎰⎰
--===∆π l
l
d x l d d d d E Fl u d d E Fl 0
11
221021221)(21)(2⎥⎥
⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡+--=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡-=ππ ⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎢⎣⎡-+
--=21221)(2111
221d d l l d d d d E Fl π ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡--=
122122)(2d d d d E Fl π2
14d Ed Fl π=
[习题2-10] 受轴向拉力F 作用的箱形薄壁杆如图所示。

已知该材料的弹性常数为ν,E ，试求C 与D 两点间的距离改变量CD ∆。

解：EA
F
E A
F νν
νεε-
=-=-=/'
式中，δδδa a a A 4)()(2
2
=--+=，故：δ
ν
εEa F 4'
-
=
δνεEa F a a 4'-==∆， δ
νE F a a a 4'
-=-=∆
δ
νE F a a 4'-
=
，a a a CD 12145)()(24
3
232=+= '12
145
)'()'(243
232''a a a D C =
+= δ
ν
δνE F E F a a CD D C CD 4003.1412145)(12145)('''⋅-=⋅-=-=
-=∆ [习题2-11] 图示结构中，AB 为水平放置的刚性杆，杆1，2，3材料相同，其弹性模量
GPa E 210=，已知m l 1=，221100mm A A ==，23150mm A =，kN F 20=。

试求C
点的水平位移和铅垂位移。

2-11图
解：（1）求各杆的轴力
以AB 杆为研究对象，其受力图如图所示。

因为AB 平衡，所以
0=∑
X ，045cos 3=o
N ，03=N 由对称性可知，0=∆CH ，)(10205.05.021kN F N N =⨯=== （2）求C 点的水平位移与铅垂位移。

A 点的铅垂位移：mm mm
mm N mm
N EA l N l 476.0100/2100001000100002
2111=⨯⨯==
∆ B 点的铅垂位移： mm mm mm N mm
N EA l N l 476.0100/2100001000100002
2222=⨯⨯==
∆ 1、2、3杆的变形协（谐）调的情况如图所示。

由1、2、3杆的变形协（谐）调条件，并且考虑到AB 为刚性杆，可以得到
C 点的水平位移：)(476.045tan 1mm l o
BH AH CH =⋅∆=∆=∆=∆
C 点的铅垂位移：)
(476.01mm l C =∆=∆受力图
变形协调图
[习题2-12] 图示实心圆杆AB 和AC 在A 点以铰相连接，在A 点作用有铅垂向下的力
kN F 35=。

已知杆AB 和AC 的直径分别为mm d 121=和mm d 152=，钢的弹性模量GPa E 210=。

试求A 点在铅垂方向的位移。

解：（1）求AB 、AC 杆的轴力
以节点A 为研究对象，其受力图如图所示。

由平衡条件得出：
0=∑
X ：045sin 30sin =-o
AB o AC N N AB AC N N 2=………………………(a)
0=∑Y ：03545cos 30cos =-+o AB o AC
N N
7023=+AB AC N N ………………(b)
(a) (b)联立解得：
kN N N AB 117.181==；kN N N AC 621.252== （2）由变形能原理求A 点的铅垂方向的位移
222211212221
EA l N EA l N F A +
=∆ )(12
22
2
1121EA l N EA l N F A +=∆
式中，)(141445sin /10001mm l o ==；)(160030sin /8002mm l o
== 2
2
11131214.325.0mm A =⨯⨯=；2
2
21771514.325.0mm A =⨯⨯=
故：)(366.1)177
2100001600
25621113210000141418117(35000122mm A =⨯⨯+⨯⨯=
∆ [习题2-13] 图示A 和B 两点之间原有水平方向的一根直径mm d 1=的钢丝，在钢丝的中点
C 加一竖向荷载F 。

已知钢丝产生的线应变为0035.0=ε，其材料的弹性模量GPa E 210=， 钢丝的自重不计。

试求：
（1）钢丝横截面上的应力（假设钢丝经过冷拉，在断裂前可认为符合胡克定律）； （2）钢丝在C 点下降的距离∆； （3）荷载F 的值。

解：（1）求钢丝横截面上的应力 )
(7350035.0210000MPa E =⨯==εσ
（2）求钢丝在C 点下降的距离∆
)(72100002000735mm E l EA Nl l =⨯=⋅==
∆σ。

其中，AC 和BC 各mm 5.3。

996512207.05
.10031000
cos ==α
o 7867339.4)5
.10031000
arccos(==α
)(7.837867339
.4tan 1000mm o
==∆
（3）求荷载F 的值
以C 结点为研究对象，由其平稀衡条件可得：
0=∑Y ：0sin 2=-P a N
ασsin 2sin 2A a N P ==
)(239.96787.4sin 114.325.0735202N =⨯⨯⨯⨯⨯=
[习题2-15]水平刚性杆AB 由三根BC,BD 和ED 支撑，如图，在杆的A 端承受铅垂荷载F=20KN,三根钢杆的横截面积分别为A1=12平方毫米，A2=6平方毫米，A,3=9平方毫米，杆的弹性模量E=210Gpa ，求：
（1） 端点A 的水平和铅垂位移。

（2） 应用功能原理求端点A 的铅垂位移。

解：（1）
3
3
233
110
3123111171196
1222,3/()3/(/)cos 450sin 4500.450.150
60,401,0,60100.15 3.87210101210401l
l
N N N N N N N fdx F kl F k F l F x Fx l dx F x l F F F F F F F F KN F KN F KN F l l EA F l l EA -=====⎧=⎪
-+-+=⎨⎪-⨯+⨯=⎩
∴=-=-=-⨯⨯∆===⨯⨯⨯⨯∆==⎰⎰1有3
由胡克定理，
796x 2y 2100.15 4.76
2101012104.762320.23A l A l l -⨯=⨯⨯⨯∆=∆=∆=∆⨯+∆⨯=↓从而得，，（）
（2）
y 1122y +020.33V F A F l F l A ε=⨯∆-⨯∆⨯∆=∆=↓（）
[习题2-17] 简单桁架及其受力如图所示，水平杆BC 的长度l 保持不变，斜杆AB 的长度
可随夹角θ的变化而改变。

两杆由同一种材料制造，且材料的许用拉应力和许用压应力相等。

要求两杆内的应力同时达到许用应力，且结构的总重量为最小时，试求： （1）两杆的夹角；
（2）两杆横截面面积的比值。

解：（1）求轴力
取节点B 为研究对象，由其平衡条件得：
∑=0Y
0sin =-F N AB θ θ
sin F
N AB =
∑=0X
0cos =--BC AB N N θ θθθ
θcot cos sin cos F F
N N AB BC =⋅=-= 2-17 （2）求工作应力 θσsin AB AB AB AB A F
A N ==
BC
BC BC BC A F A N θ
σcot ==
（3）求杆系的总重量
)(BC BC AB AB l A l A V W +=⋅=γγ 。

γ是重力密度（简称重度，单位：3
/m kN ）。

)cos (l A l
A BC AB
+=θ
γ )cos 1
(BC AB A A l +⋅=θ
γ
（4）代入题设条件求两杆的夹角 条件①： ][sin σθσ===
AB AB AB AB A F A N ，θσsin ][F
A A
B = ][cot σθσ===
BC BC BC BC A F A N ， ]
[cot σθ
F A BC =
条件⑵：W 的总重量为最小。

)cos 1(BC AB A A l W +⋅=θγ)cos 1
(BC AB A A l +⋅=θ
γ )][cot cos 1sin ][(
σθθθσγF F l +⋅⋅=)sin cos cos sin 1(][θ
θ
θθσγ+=Fl
[]⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=θθθσγcos sin cos 12Fl []⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=θθσγ2sin cos 122Fl 从W 的表达式可知，W 是θ角的一元函数。

当W 的一阶导数等于零时，W 取得
最小值。

[]02sin 22cos )cos 1(2sin sin cos 2222=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛⋅+-⋅-=θθθθθθσγθFl d dW 022cos 2
2cos 32sin 2=⋅⋅+-
-θθ
θ 02cos 2cos 32sin 22=---θθθ
12cos 3-=θ ，3333.02cos -=θ
o 47.109)3333.0arccos(2=-=θ，'445474.54o o ==θ
（5）求两杆横截面面积的比值 θσsin ][F A AB =
，]
[cot σθ
F A BC =
θθθσθθ
σcos 1cot sin 1]
[cot sin ][=
==F F
A A BC
AB
因为： 12cos 3-=θ，311cos 22
-=-θ，3
1cos 2
=θ 3
1cos =
θ，
3cos 1
=θ
所以：
3=BC
AB
A A [习题2-18] 一桁架如图所示。

各杆都由两个等边角钢组成。

已知材料的许用应力
MPa 170][=σ，试选择AC 和CD 的角钢
型号。

解：（1）求支座反力
由对称性可知， )(220↑==kN R R B A （2）求AC 杆和CD 杆的轴力
以A 节点为研究对象，由其平 衡条件得：
0=∑Y 2-18
0cos =-αAC A N R )(667.3665
/3220
sin kN R N A AC ===
α 以C 节点为研究对象，由其平衡条件得：
0=∑X
0cos =-αAC CD N N )(333.2935/45
/3220
cos kN N N AC CD =⨯=
=α （3）由强度条件确定AC 、CD 杆的角钢型号 AC 杆： 2
22
569.2186.2156/170366667][cm mm mm
N N N A AC AC ===≥
σ 选用2∟780⨯（面积2
72.2186.102cm =⨯）。

CD 杆： 2
22
255.17488.1725/170293333][cm mm mm
N N N A CD CD ===≥
σ 选用2∟675⨯（面积2
594.17797.82cm =⨯）。

[习题2-19] 一结构受力如图所示，杆件AB 、CD 、EF 、GH 都由两根不等边角钢组成。

已知材料的许用应力MPa 170][=σ，材料的弹性模量GPa E 210=，杆AC 及EG 可视为刚性的。

试选择各杆的角钢型号，并分别求点D 、C 、A 处的铅垂位移D ∆、C ∆、A ∆。

解：（1）求各杆的轴力 )(2403004
2
.3kN N AB =⨯=
)(603004
8
.0kN N CD =⨯=
0=∑F
M
02.1605.13003=⨯-⨯-⨯GH N 2-19
)(174)72450(3
1
kN N GH =+=
0=∑Y
030060174=--+EF N
)(186kN N EF =
（2）由强度条件确定AC 、CD 杆的角钢型号 AB 杆： 2
22
12.14765.1411/170240000][cm mm mm N N N A AB AB ===≥
σ 选用2∟55690⨯⨯（面积2
424.14212.72cm =⨯）。

CD 杆： 2
22
529.3941.352/17060000][cm mm mm
N N N A CD CD ===≥
σ 选用2∟32540⨯⨯（面积2
78.389.12cm =⨯）。

EF 杆：
2
22
412.10118.1094/170186000][cm mm mm
N N N A EF EF ===≥
σ 选用2∟54570⨯⨯（面积2
218.11609.52cm =⨯）。

GH 杆： 2
22
353.10529.1023/170174000][cm mm mm
N N N A GH GH ===≥
σ 选用2∟54570⨯⨯（面积2
218.11609.52cm =⨯）。

（3）求点D 、C 、A 处的铅垂位移D ∆、C ∆、A ∆ )(7.2694.24
.14422100003400
240000mm EA l N l AB AB AB AB ≈=⨯⨯==
∆
)(907.03782100001200
60000mm EA l N l CD CD CD CD =⨯⨯==
∆
)(580.18.11212100002000
186000mm EA l N l EF EF EF EF =⨯⨯==
∆
)(477.18
.11212100002000
174000mm EA l N l GH GH GH GH =⨯⨯==
∆
EG 杆的变形协调图如图所示。

3
8
.1=
--∆GH EF GH D l l l 38
.1477.1580.1477.1=--∆D
)(54.1mm D =∆
)(45.2907.054.1mm l CD D C =+=+∆=∆
)(7.2mm l AB A ==∆
[习题2-21] （1）刚性梁AB 用两根钢杆AC 、BD 悬挂着，其受力如图所示。

已知钢杆AC 和BD 的直径分别为mm d 251=和mm d 182=，钢的许用应力MPa 170][=σ，弹性模量
GPa E 210=。

试校核钢杆的强度，并计算钢杆的变形AC l ∆、BD l ∆及A 、B 两点的竖向位
移A ∆、B ∆。

解：（1）校核钢杆的强度
① 求轴力
)(667.661005.43
kN N AC =⨯=
)(333.331005
.45.1kN N BC
=⨯= ② 计算工作应力 2
22514.325.066667mm N
A N AC AC AC ⨯⨯==
σ MPa 882.135=
2
21814.325.033333mm
N
A N BD BD BD ⨯⨯==
σ 2-21 MPa
057.131=
③ 因为以上二杆的工作应力均未超过许用应力170MPa ，即][σσ≤AC ；
][σσ≤BD ，所以AC 及BD 杆的强度足够，不会发生破坏。

（2）计算AC l ∆、BD l ∆ )(618.1625.4902100002500
66667mm EA l N l AC AC AC AC =⨯⨯==
∆
)(560.134
.2542100002500
33333mm EA l N l BD BD BD BD =⨯⨯==
∆
（3）计算A 、B 两点的竖向位移A ∆、B ∆
)(618.1mm l AC A =∆=∆，)(560.1mm l BD B =∆=∆
[习题3-2] 实心圆轴的直径mm d 100=，长m l 1=，其两端所受外力偶矩m kN M e ⋅=14，材料的切变模量GPa G 80=。

试求：
（1）最大切应力及两端面间的相对转角；
（2）图示截面上A 、B 、C 三点处切应力的数值及方向； （3）C 点处的切应变。

解：（1）计算最大切应力及两端面间的相对转角 p
e p W M W T
==
max τ。

式中，)(19634910014159.316
1
161333mm d W p =⨯⨯==
π。

3-2 故：MPa mm
mm
N W M p e 302.7119634910143
6max =⋅⨯==τ p
GI l
T ⋅=
ϕ，式中，)(981746910014159.3321321444mm d I p =⨯⨯==π。

故：
o p rad m
m N m
m N GI l T 02.1)(0178254.010*******/10801140004
1229==⨯⨯⨯⨯⋅=⋅=
-ϕ （2）求图示截面上A 、B 、C 三点处切应力的数值及方向
MPa B A 302.71max ===τττ， 由横截面上切应力分布规律可知：
MPa B C 66.35302.715.02
1
=⨯==ττ， A 、B 、C 三点的切应力方向如图所示。

（3）计算C 点处的切应变 343
10446.0104575.4108066.35--⨯≈⨯=⨯=
=
MPa
MPa
G
C
C τγ [习题3-3] 空心钢轴的外径mm
D 100=，内径mm d 50=。

已知间距为m l 7.2=的两横截面的相对扭转角o
8.1=ϕ，材料的切变模量GPa G 80=。

试求： （1）轴内的最大切应力；
（2）当轴以min /80r n =的速度旋转时，轴所传递的功率。

解；（1）计算轴内的最大切应力
)(9203877)5.01(10014159.3321
)1(32144444mm D I p =-⨯⨯⨯=-=
απ。

)(184078)5.01(10014159.3161
)1(16134343mm D W p =-⨯⨯⨯=-=απ
式中，D d /=α。

p
GI l
T ⋅=
ϕ， mm
mm mm N l
GI T p
27009203877/80000180/14159.38.142⨯⨯⨯=
=
ϕ
mm N ⋅=45.8563014)(563.8m kN ⋅=
MPa mm
mm N W T p 518.4618407845.85630143max =⋅==
τ （2）当轴以min /80r n =的速度旋转时，轴所传递的功率 )(563.880
549.9549
.9m kN N
n N M T k k e ⋅=⨯=== )(74.71549.9/80563.8kW N k =⨯=
[习题3-5] 图示绞车由两人同时操作，若每人在手柄上沿着旋转的切向作用力F 均为0.2kN ，已知轴材料的许用切应力MPa 40][=τ，试求： （1）AB 轴的直径；
（2）绞车所能吊起的最大重量。

解：（1）计算AB 轴的直径
AB 轴上带一个主动轮。

两个手柄所施加的外力偶 矩相等：
)(08.04.02.0m kN M M e e ⋅=⨯==右左
)(16.02m kN M M e e ⋅==右主动轮
扭矩图如图所示。

3-5 由AB 轴的强度条件得： ][163
max τπτ≤==
d
M W M e p e 右
右 mm mm N mm
N M d e 7.21/4014159.38000016][1632
3
=⨯⋅⨯=≥τπ右
（2）计算绞车所能吊起的最大重量
主动轮与从动轮之间的啮合力相等：
35
.02
.0从动轮主动轮
e e M M =
，)(28.016.020
.035
.0m kN M e ⋅=⨯=
从动轮 由卷扬机转筒的平衡条件得：
从动轮e M P =⨯25.0，28.025.0=⨯P )(12.125.0/28.0kN P ==
[习题3-6] 已知钻探机钻杆（参看题3-2图）的外径mm D 60=，内径mm d 50=，功率kW P 355.7=，转速min /180r n =，钻杆入土深度m l 40=，钻杆材料的GMPa G 80=，许用切应力MPa 40][=τ。

假设土壤对钻杆的阻力是沿长度均匀分布的，试求： （1）单位长度上土壤对钻杆的阻力矩集度m ；
（2）作钻杆的扭矩图，并进行强度校核； （3）两端截面的相对扭转角。

解：（1）求单位长度上土壤对钻杆的阻力矩集度m
)(390.0180
355
.7549.9549
.9m kN n N M k e ⋅=⨯== 设钻杆轴为x 轴，则：
0=∑x
M
，e M ml =，
)/(00975.040
390
.0m kN l M m e ===
（2）作钻杆的扭矩图，并进行强度校核
①作钻杆扭矩图
x x mx x T 00975.040
39
.0)(-=-
=-=。

]40,0[∈x 0)0(=T ； )(390.0)40(m kN M T e ⋅-==
扭矩图如图所示。

②强度校核，p
e W M =
max τ
式中，)(21958])60
50
(1[6014159.3161)1(16134343mm D W p =-⨯⨯⨯=-=
απ MPa mm mm N W M p e 761.17219583900003
max =⋅==
τ 因为MPa 761.17max =τ，MPa 40][=τ，即][max ττ≤，所以轴的强度足够，不
会发生破坏。

（3）计算两端截面的相对扭转角
⎰
=40
)(p
GI dx
x T ϕ 式中，)(658752])60
50
(1[6014159.3321)1(32144444mm D I p =-⨯⨯⨯=-=
απ 40
240
4
122640
]2
[10658752/108000975.000975.01|)(|x m m kN xdx GI GI dx x T p
p ⎰
⎰
-⨯⨯⨯==
=ϕ 0
5.8)(148.0≈=rad
[习题3-8] 直径mm d 50=的等直圆杆，在自由端截面上承受外力偶m kN M e ⋅=6，而在圆杆表面上的A 点将移动到A 1点，如图所示。

已知mm AA s 31==∆⋂
，圆杆材料的弹性模量GPa E 210=，试求泊松比ν（提示：各向同性材料的三个弹性常数E 、G 、ν间存在如下关系：)
1(2ν+=
E
G 。

解：整根轴的扭矩均等于外力偶矩：m kN M T e ⋅==6。

设1,O O 两截面之间的相对对转角为ϕ，则2
d s ⋅
=∆ϕ，d
s
∆⋅=
2ϕ，d s GI l T P ∆=⋅=2ϕ 式 中，)(6135925014159.332
1
321444mm d I p =⨯⨯==
π 3-8
GPa MPa mm
mm mm mm mm N s I d l T G p 4874.81372.8148736135922501000106246==⨯⨯⨯⨯⋅⨯=∆⋅⋅=
由)1(2ν+=
E G 得：289.014874
.812210
12=-⨯=-=
G E ν [习题3-10] 长度相等的两根受扭圆轴，一为空心圆轴，一为实心圆轴，两者的材料相同，
受力情况也一样。

实心轴直径为d；空心轴的外径为D，内径为d
0，
且8.00
=D
d 。

试求当空心轴与实心轴的最大切应力均达到材料的许用切应力（][max ττ=），扭矩T 相等时的重量比和刚度比。

解：（1）求空心圆轴的最大切应力，并求D 。

p
W T
=
max τ 式中，)1(16
1
43απ-=
D W p ，故： ][1.27)8.01(163
43max,τππτ==-=
D T
D T 空
]
[1.273τπT
D =
3-10 （1）求实心圆轴的最大切应力
p
W T
=
max τ，式中，3161d W p π= ，故：][161633max,τππτ===d T d T 实
][163τπT d =
，69375.116][][1.27)(3=⋅=
T T d D τπτπ，192.1=d
D （3）求空心圆轴与实心圆轴的重量比
512.0192.136.0)(36.0)8.01()(25.0)(25.022222
202=⨯==-=⋅⋅⋅⋅-=d D d D l d l d D W W γ
πγπ实空 （4）求空心圆轴与实心圆轴的刚度比
44401845.0)8.01(321D D I p ππ=-=
空，4403125.032
1
d d I p ππ==实 192.1192.15904.0)(5904.003125.001845.0444
4=⨯===d D d
D GI GI p p ππ实
空 [习题3-11] 全长为l ，两端面直径分别为21,d d 的圆台形杆，在两端各承受一外力偶矩e M ，如图所示。

试求杆两端面间的相对扭转角。

解：如图所示，取微元体dx ，则其两端面之间的扭转角为：
P
e GI dx
M d =
ϕ
式中，432
1
d I p π=
l
x
r r r r =--121
2
2112112d
x l d d r x l r r r +-=+⋅-=
11
22d x l
d d r d +-=
= 4411
24)(
u d x l
d d d =+-= dx l
d d du 12-=
，du d d l
dx 12-=
故
：
⎰⎰⎰⎰⎰
-=-⋅===
=l e l
e l
e
l
p e
l p
e u du d d G l M du d d l
u G
M d dx G
M I dx G M GI dx M 0412********)(3213232πππϕ l
e l e l e d x l d d d d G l M u d d G l M u du d d G l M 0
311212*********)(332]31[)(32)(32⎥⎥⎥
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+---=--=-=⎰πππ =⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-⋅--32312
221213231323121313212332)(33211)(332d d d d d d G l M d d d d d d G l M d d d d G l M e e e πππ [习题3-12] 已知实心圆轴的转速min /300r n =，传递的功率kW p 330=，轴材料的许用切应力MPa 60][=τ，切变模量GPa G 80=。

若要求在2m 长度的相对扭转角不超过o
1，试求该轴的直径。

解：180
1πϕ⨯
≤=⋅=
p e P GI l M GI l T 式中，)(504.10300330549.9549
.9m kN n N M k e ⋅=⨯==；432
1
d I p π=。

故： G l M I
e p π180≥
，
G
l M d e ππ180321
4≥⋅
mm mm
N mm mm N G l M d e 292.111/8000014.3200010504.10180321803242
26
42=⨯⨯⋅⨯⨯⨯=⨯≥π 取mm d 3.111=。

[习题3-16] 一端固定的圆截面杆AB ，承受集度为m 的均布外
力偶作用，如图所示。

试求杆内积蓄的应变能。

已矩材料的切变模量为G 。

解：G d dx
x m d
G dx x m GI dx
x T dV p
4224
2221632
122)(ππε=⋅⋅==
p l GI l m G d l m G
d l m dx x G d m V 632
16316163
243243
20242=⋅===⎰πππε 3-16
[习题3-18] 一圆锥形密圈螺旋弹簧承受轴向拉力F 如图，簧丝直径mm d 10=，材料的许用切应力MPa 500][=τ，切变模量为G ，弹簧的有效圈数为n 。

试求：
（1）弹簧的许可切应力； （2）证明弹簧的伸长))((162
221214
R R R R Gd
Fn ++=∆。

解：（1）求弹簧的许可应力
用截面法，以以簧杆的任意截面取出上面部分为截离
体。

由平衡条件可知，在簧杆横截面上：
剪力F Q =扭矩FR T =
最大扭矩：2max FR T =
][)41(16164232322max "'max τπππτττ≤+=+=+=
+=R d d
FR d FR d F W T A Q p ， N
mm
mm
mm mm N mm R d R d F 3.957)
1004101(10016/5001014.3)41(16]
[][2
33223=⨯+⨯⨯⨯=+=τπ
因为102010/200/>==d D ，所以上式中小括号里的第二项，即由Q 所产生的剪应力可以忽略不计。

此时
N mm
mm N mm R d R d F 25.98110016/5001014.3)
41(16][][2
332
23=⨯⨯
⨯=+=τπ
（2）证明弹簧的伸长))((162
221214
R R R R Gd
Fn ++=
∆ 外力功：∆=F W 21 ， p
GI d R T dU 2)
(2α⋅=
ααπααπππd n
R R R GI F d R GI F GI d R FR U n
p
n
p
n
p 3
20
1
21220
3
2
20
2]2[222)()(⎰
⎰
⎰
⋅-+=
=
⋅=
1
2414
2
24R R R R GI n F p --⋅
=π U W =，1
2414
2
2421R R R R GI n F F p --⋅=
∆π ))((162212
2214
12414
2R R R R d
G n F R R R R GI n F p ++=--⋅=∆πππ [习题3-19] 图示矩形截面钢杆承受一对外力偶m kN M e ⋅=3。

已知材料的切变模量
GPa G 80=，试求：
（1） 杆内最大切应力的大小、位置和方向；
（2） 横截面短边中点处的切应力； （3） 杆的单位长度扭转角。

解：（1）求杆内最大切应力的大小、位置和方向
， ，
，
由表得，
，
长边中点处的切应力，在上面，由外指向里 （2）计算横截面短边中点处的切应力
MPa
短边中点处的切应力，在前面由上往上 （3）求单位长度的转角
单位长度的转角
[习题3-23] 图示为薄壁杆的的两种不同形状的横截面，其壁厚及管壁中线的周长均相同。

两杆的长度和材料也相同，当在两端承受相同的一对扭转外力偶矩时，试求： （1） 最大切应力之比； （2） 相对扭转角之比。

解：（1）求最大切应力之比
开口：t
e I M δ
τ=
开口max, 30303
2
231δπδπr r I t =⨯⨯=
依题意：a r 420=π，故：
3
30303
432231δδπδπa r r I t ==⨯⨯=
2
3max,4343
δδδδτa M a M I M e e t e ===
开口 闭口：δδτ20max,22a M A M e e ==闭口
，δ
δδττ2324322
max,max,a M a a M e e =⋅=闭口开口 （3） 求相对扭转角之比 开口：330303
432231δδπδπa r r I t ==⨯⨯=
，3'
43δϕGa M GI M GI T e t e t ===开口
闭口：δ
δδδϕ3
42020'
4444Ga M Ga a M GA s M GA Ts e
e e =⋅===
闭口 2
2
33''
4343δ
δδϕϕa M Ga Ga M e e =⋅=闭口开口 4-1试求图示各梁中指定截面上的剪力和弯矩 a （5）=h （4）
001100110002
22220002213
2241111
22312
114
0,222233RA RB S S q F F a q a q F q a a q a
a M q a q a q a
F M q a a q a a q a ----==
⨯==-⨯==-⨯⨯⨯===⨯-⨯⨯⨯=
b （5）=f （4）
4-2试写出下列各梁的剪力方程和弯矩方程，并作剪力图和弯矩图 a （5）=a （4）
b（5）=b（4）
f（5）=f（4）
4-3试利用载荷集度，剪力和弯矩间的微分关系做下列各梁的弯矩图和剪力e和f题）
（e）（f）（h）
4-4试做下列具有中间铰的梁的剪力图和弯矩图。

4-4 （b） 4-5 （b）
4-5．根据弯矩、剪力与荷载集度之间的关系指出下列玩具和剪力图的错误之处，并改正。

4-6．已知简支梁的剪力图如图所示，试做梁的弯矩图和荷载图，梁上五集中力偶作用。

4-6（a） 4-7（a）4-7．根据图示梁的弯矩图做出剪力图和荷载图。

4-8用叠加法做梁的弯矩图。

4-8（b） 4-8（c）
4-9．选择合适的方法，做弯矩图和剪力图。

4-9（b） 4-9（c）
4-10
4-14．长度l=2m的均匀圆木，欲锯做Fa=0.6m的一段，为使锯口处两端面开裂最小，硬是锯口处弯矩为零，现将圆木放在两只锯木架上，一只锯木架放在圆木一段，试求另一只锯木架应放位置。

x=0.4615m
4-18
4-19M=30KN 4-21
4-23
4-25
4-28
4-29
4-33
4-36
4-35
5-2
5-3
5-7
5-15
5-22
5-23 选22a工字钢5-24
6-4 6/((233))A l Fl EA ∆=+
6-12
7-3-55mpa 。

-55mpa
7-4[习题7-3] 一拉杆由两段沿n m -面胶合而成。

由于实用的原因，图中的α角限于
060~0范围内。

作为“假定计算”，对胶合缝作强度计算时，可以把其上的正应力和切应
力分别与相应的许用应力比较。

现设胶合缝的许用切应力][τ为许用拉应力][σ的4/3，且这一拉杆的强度由胶合缝强度控制。

为了使杆能承受最大的荷载F ，试问α角的值应取多大？ 解：A
F
x =
σ；0=y σ；0=x τ
ατασσσσσα2sin 2cos 2
2
x y
x y
x --+
+=
][22cos 12cos 22σαασα≤+=+=
A F A F A F ][22cos 1σα≤+A F ，][cos 2σα≤A
F
α
σ2cos ][A F ≤，ασ2max,cos ][A
F N
= ατασστα2cos 2sin 2
x y
x +-=
][
3][2sin στατα=≤=
F ，σ][5.1A F ≤
，σ][5.1max,A
F T =
由切应力强度条件控制最大荷载。

由图中可以看出，当0
60=α时，杆能承受最大荷载，该荷载为：
A F ][732.1max σ=
7-6[习题7-7] 试用应力圆的几何关系求图示悬臂梁距离自由端为m 72.0的截面上，在顶面
以下mm 40的一点处的最大及最小主应力，并求最大主应力与x 轴之间的夹角。

解：（1）求计算点的正应力与切应力
MPa mm
mm mm N bh My I My z 55.1016080401072.01012124
363=⨯⨯⋅⨯⨯⨯===σ MPa mm mm mm N b I QS z z 88.0801608012
160)4080(10104
33
3*-=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯-==
τ （2）写出坐标面应力 X （10.55，-0.88）
Y （0，0.88）
(3) 作应力圆求最大与最小主应力，
并求最大主应力与x 轴的夹角 作应力圆如图所示。

从图中按
比例尺量得：
MPa 66.101=σ MPa 06.03-=σ 0075.4=α
7-7[习题7-8] 各单元体面上的应力如图所示。

试利用应力圆的几何关系求： （1）指定截面上的应力； （2）主应力的数值；
（3）在单元体上绘出主平面的位置及主应力的方向。

[习题7-8（a ）]
解：坐标面应力：X （20，0）；Y （-40，0）0
60=α。

根据以上数据作出如图所示的应
力圆。

图中比例尺为cm 1代表MPa 10。

按比例尺量得斜面的应力为：
MPa 250
120-=σ， MPa 260
120=τ；MPa 201=σ，MPa 403-=σ；0
00=α。

[习题7-8（b ）]
解：坐标面应力：X （0，30）；Y （0，-30）0
30=α。

根据以上数据作出如图所示的应力圆。

图中比例尺为cm 1代表MPa 10。

按比例尺量得斜面的应力为：
MPa 260
60-=σ ，MPa 150
60=τ；MPa 301=σ，MPa 303-=σ； 0045-=α。

[习题7-8（c ）]
解：坐标面应力：X （-50，0）；Y （-50，0）0
30=α。

根据以上数据作出如图所示的应力圆。

图中比例尺为cm 1代表MPa 20。

按比例尺量得斜面的应力为：
MPa 500
60-=σ ，00
60=τ；MPa 502-=σ，MPa 503-=σ。

单元体图 应力圆（O.Mohr 圆） 主单元体图
单元体图
应力圆（O.Mohr 圆）
主单元体图
1
σ3
σ
[习题7-8（d ）]
解：坐标面应力：X （0，-50）；Y （-20，50）0
0=α。

根据以上数据作出如图所示的应力圆。

图中比例尺为cm 1代表MPa 20。

按比例尺量得斜面的应力为：
MPa 400
45=σ ，100
45=τ；MPa 411=σ,MPa 02=σ，MPa 613-=σ；'003539=α。

[习题7-10] 已知平面应力状态下某点处的两个截面的的应力如图所示。

试利用应力圆求该点处的主应力值和主平面方位，并求出两截面间的夹角α值。

平面应力状态下的两斜面应力 应力圆
解：两斜面上的坐标面应力为：
单元体图
应力圆（O.Mohr 圆）
主单元体图
单元体图 应力圆（O.Mohr 圆） 主单元体图
2σ
3
σ
A （38，28），
B （114，-48）
由以上上两点作出的直线AB 是应力圆上的一条弦， 如图所示。

作AB 的垂直平分线交水平坐标轴于C 点，则C 为应力圆的圆心。

设圆心坐标为C （0,x ） 则根据垂直平线上任一点到线段段两端的距离相等 性质，可列以下方程：
2222)480()114()280()38(++-=-+-x x
解以上方程得：86=x 。

即圆心坐标为C （86，0） 应力圆的半径：
570.55)280()3886(22=-+-=r
主应力为：
MPa r x 57.14157.55861=+=+=σ MPa r x 43.3057.55862=-=-=σ 03=σ
（2）主方向角
（上斜面A 与中间主应力平面之间的夹角）
（上斜面A 与最大主应力平面之间的夹角）
（3）两截面间夹角：
[习题7-14] 单元体各面上的应力如图所示。

试用应力圆的几何关系求主应力及最大切应力。

[习题7-15（a ）]
解：坐标面应力：X （70，-40），Y （30，-40），Z （50，0）。