二元二次方程组的解法
二元二次方程组的解法
代入消元
x y a 2.对于形如 的二元二次方程组的解法，我们可 xy b 以借助一元二次方程根与系数的关系来求解 。
3.基本步骤： ⑴ 代入消元，将方程转化为一元二次方程
⑵ 解一元二次方程得两根
⑶ 代入方程，求得原方程组的解 4. 注意：方程组的解的书写格式
作业：
解下列方程组
• 1．将方程组中的二元一次方程变形为一 个未知数用另一个未知数表示的代数式. • 2．将所得的代数式代入二元二次方程中 得到一个一元二次方程。 • 3．解一元二次方程求出一个未知数的值。 • 4．将所求的值代入由1所得的式子求出 另一未知数的值。 • 5．写出方程组的解。
练习： 解下列方程组
⒈ y = x－2 x2＋y2 = 6 ⑴ ⑵ ⒉ 2y－3x = 1 ⑴ 13x2－8xy＋3 = 0 ⑵
练习:⒈下列方程中是二元二次方程的是
A x2 1 0 y2 B
（ B ）
x y2 0
x y 2
2 1 1 x y
y 1 C x 2
A
D
⒉下列方程组中，是二元二次方程组的是 （ C ）
x y 2x
2 2
B
x y 1
C
x y 4y 2
2 2
x y 5
的最高次数是2的整式方程叫做二元二次方程。
二元二次方程的一般形式是：
ax bxy cy dx ey f 0
2 2
（a、b、c不同时为零）。其中 ax 、bxy、cy 叫做二次项，dx、ey叫做一次项，f叫做常数项。
2
2
观察；下面的两个方程组 x2－2xy＋y2－4x＋y－15=0 x－2y＋1=0 x2－ y2 =10 x2－3xy＋2y2=0 第一个方程组：是由一个二元二次方程和一个二元一次方程 组成的。 第二个方程组： 是由二个二元二次方程组成的 像这样的方程组叫做二元二次方程组。
二元二次方程组的解法
二元二次方程组的解法在代数学中，方程是一个等式，其中包含了未知数和常量的符号。
方程组则是由多个方程组成的集合，它们共同包含了多个未知数和常量。
二元二次方程组是指包含了两个未知数和常量的二次方程的集合。
形式如下：ax^2 + bx + c = 0dx^2 + ex + f = 0其中，a、b、c、d、e和f都是常量，x和y是未知数。
解决这个方程组的目标就是找到一组(x, y)的值，使得这两个方程都成立。
为了解决二元二次方程组，我们可以使用以下三种常见的方法：配准法、代入法和消元法。
下面将依次介绍这三种方法的步骤及示例。
一、配准法配准法又称一般解法，它的步骤如下：1. 将两个方程都转化为标准的二次方程形式。
2. 通过配准，将两个方程中的常数项相等。
3. 将两个方程相减得到一个一元二次方程。
4. 解决这个一元二次方程，得到一个未知数的值。
5. 将这个值代入其中一个方程，解决另一个未知数。
示例：假设我们有以下二元二次方程组：2x^2 - 3xy + y^2 = 10x^2 - 2xy + 3y^2 = 14根据配准法，我们可以将它们转化为标准形式：2x^2 - 3xy + y^2 - 10 = 0x^2 - 2xy + 3y^2 - 14 = 0通过对比系数，我们可以得到：a = 2,b = -3,c = 1,d = 1,e = -2,f = 3接下来，我们将两个方程相减并进行化简：(2x^2 - 3xy + y^2 - 10) - (x^2 - 2xy + 3y^2 - 14) = 0 x^2 + 4y^2 - 3xy + xy - 4 = 0x^2 + 4y^2 - 2xy - 4 = 0继续简化，得到一个一元二次方程：x^2 - 2xy + 4y^2 - 4 = 0解决这个一元二次方程，我们得到一个解 x = -1。
将 x = -1 代入其中一个方程我们得到：2(-1)^2 - 3(-1)y + y^2 - 10 = 02 + 3y + y^2 - 10 = 0y^2 + 3y - 8 = 0解决这个一元二次方程，我们得到 y = 1 或 y = -4。
二元二次方程组的解法
21.6（1）二元二次方程组的解法学习单姓名练习1 解下列方程组：;2003)1(22⎪⎩⎪⎨⎧=+=-y x y x ;073252)2(22⎪⎩⎪⎨⎧=+++-=-y x y x y x.127)3(⎩⎨⎧==+xy y x练习2 从方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+my x y x 822中消去y ，得到关于x 的二次方程，当m=3时，这个关于x 的方程有几个实数解？当m=4时呢？当m=5时呢？变式：当m 为何值时，方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+m y x y x 82（1）有两个不相等的实数解（2）有两个相等的实数解 （2）没有实数解请你构造一个由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组，并使它的解为⎩⎨⎧-=-=⎩⎨⎧==42422211y x y x 。
课后精练21.6（1）二元二次方程组的解法 巩固练习姓名知 识 梳 理解二元二次方程组的基本思想是，把它转化为解的问题。
解二元二次方程组⎩⎨⎧=+-+=-012122y y x y x 一般用法较简捷。
方程组⎩⎨⎧=-+=-100222y y x y x 消去x ，可得到关于y 的整式方程是知 识 应 用1．用代入消元法解方程组⎩⎨⎧==+86xy y x 可得它的解是___________________2．已知⎩⎨⎧==21y x 是关于x 、y 的方程组⎩⎨⎧=-=+04222ky x y x 的解，则k 的值为 3．若0212=-++-y x x 成立，则满足等式的x 、y 的值可取__________4．已知关于x 、y 的方程组⎩⎨⎧=-=-422y x ay x 没有实数解，那么a 的取值范围是__________5．解下列方程组：（1）⎩⎨⎧=-=-44122y x y x （2）⎩⎨⎧=+=+-029322y x y x ）（(3)⎩⎨⎧=-+++=+032722y x y x y x （4）⎩⎨⎧=++-=+42)(82x y x y x(5)⎩⎨⎧=+-=--1122y xy x y x （6）⎩⎨⎧=-++=-4934222y y xy x y x6．当k为何值时,方程组⎩⎨⎧-==+--ky x y x y 01242 （1）有两个不相等的实数解；（2）有两个相等的实数解；（3）没有实数解。
二元二次方程组的解法公式法
二元二次方程组的解法公式法二元二次方程组是一组有两个未知数的二次方程。
解法公式法是一种使用公式求解二元二次方程组的方法。
解法步骤1. 化成标准形式：将方程组化成以下形式：```ax² + bxy + cy² + dx + ey + f = 0Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0```2. 计算判别式：计算判别式Δ，它由以下公式给出：```Δ = b² - 4acAC + 4BDF - B²CE - CD²```3. 根据判别式确定解的性质：Δ > 0：方程组有两个相异的实数解。
Δ = 0：方程组有两个相同的实数解。
Δ < 0：方程组无实数解，但可能有两个复数解。
4. 计算解：Δ > 0：使用以下公式计算两个解：```x = (-b ± √Δ) / (2a)y = (-B ± √Δ) / (2A)```Δ = 0：使用以下公式计算两个相同的解：```x = -b / (2a)y = -B / (2A)```5. 验证解：将解代入方程组中以验证它们是否满足方程。
例子求解以下方程组：```x² + 2xy + y² = 25x - y = 2```解：1. 化成标准形式：```x² + 2xy + y² - 25 = 0x - y - 2 = 0```2. 计算判别式：```Δ = (2)² - 4(1)(1)(-1) = 8 > 0```3. 方程组有两个相异的实数解。
4. 计算解：```x = (-2 ± √8) / 2 = -1 ± 2√2y = (-2 ± √8) / 2 = 1 ± 2√2```因此，方程组有两个解：(√2 - 1, √2 + 1) 和 (-√2 - 1, -√2 + 1)。
二元二次方程组的又一种解法
二元二次方程组的又一种解法
二元二次方程组是一类常见的数学问题，主要用于求解有关以x 和y为未知数的一组方程的解。
它们形式化为ax² + bxy + cy² +dx + ey + f= 0，其中a、b、c、d、e、f是常数。
二元二次方程组一般
可求解两种解：确定解和通解。
确定解可求出存在x和y的某一实数解，而通解可求出一定条件下x和y的全部实数解。
求解二元二次方程组有几种常见的解法，如解析法、分解法、系数法、配方法等。
其中，最常用的方法是解析法，它直接根据二元二
次方程的形式将其转化为多项式，运用分解因式的方法求得确定解，
并结合未知数的变化情况找出通解。
复系数法是基于二元一次方程的
求解方法推广，它利用把原来的二项式拆开，并使得二项式都变为一
元一次方程的技巧，可以得到确定解，但不能得到通解。
分解法是由
解析法发展而来，它利用了二元二次方程的某一性质，利用辗转相除
法先求出一项式GCD的系数，再使用解析法求取解。
最后是配方法，
它利用某种特定的变换从而转换为一元二次方程，运用二次根公式或
求和集公式求解。
总结来看，求解二元二次方程组有解析法、分解法、复系数法和配方法四种方法，其中解析法是最常用的方法，它可以得出确定解和
通解；分解法可求出确定解，复系数法仅可求出确定解，而配方法则
可以得出确定解和通解。
因此，需要根据实际情况，选择合适的求解
方法。
21.6(1)二元二次方程组的解法.ppt1
① ②
练一练:
(1) 2y－3x=1 13x2－8xy＋3=0 x＋2y=5 x2＋y2－2xy－1=0
(2)
例题分析
x＋2y=5
x2＋y2－2xy－1=0 解：由②得：（x－y）2 = 1 x－y＝±1 原方程组可化为：x＋2y＝ 5 x＋2y＝ 5
①
②
x－y ＝1
解这两个方程组得： x1= y1=
7 3 4 3
x－y ＝－1
x2= 1 y2= 2
⒈你认为这种解法是否正确？⒉这种解法的解题思想是什么？
降次
二元一次方程组
练一练 :
(1)
4x2－9y2=15
2x－3y=5 x ＋ y=7
(2)
xy=12
想一想
k取何值时，方程组
x² -y² +x-2y=1 ① y=kx ②
（1）有两组不同的实数解？
是该方程组的两个解，求三角形ABC的周长
（2）有两组相同的实数解？
（3）没有实数解？
合作小结:
通过本节课的学习你有什么收获?
1. 简单二元二次方程组的解法:
一般采用代入消元法
2. 理解解二元二次方程组的基本思想:
消元和降次
拓展训练：
已知方程组 x² -(2k+1)y-4=0
y=x-2
①
②
⑴求证：无论k为何值时，此方程组总一定有实数解； ⑵设等腰△ABC的三边长分别为a、b、c，其中c=4， 且 x=a y=a-2 x=b y=b-2
21.6二元二次方程组的解法
复习巩固：
⒈下列方程中是二元二次方程的是
A x2 1 0 y2 C x什么 ? y
1
D
二元二次方程组
二元二次方程组在数学中，二元二次方程组是由两个二次方程组成的方程组。
它的一般形式为：ax^2 + by^2 + cx + dy + e = 0fx^2 + gy^2 + hx + iy + j = 0其中，a、b、c、d、e、f、g、h、i、j为已知系数，同时x和y是未知数。
求解二元二次方程组的目标是找到满足上述两个方程的x和y的值。
二元二次方程组的解法可以使用代数方法或图形方法。
下面将介绍两种常见的解法。
一、代数方法对于二元二次方程组，我们可以通过消元或代入法来求解。
1. 消元法消元法的思路是通过消去一个未知数，将方程组转化为一元二次方程，然后再求解。
首先，我们可以通过乘法或加减运算将两个方程的系数配平，使得其中一个未知数的系数相等，然后相减或相加，消去该未知数。
举例来说，假设我们有以下方程组：2x^2 + 3y^2 + 4x + 5y + 6 = 03x^2 + 2y^2 + 5x + 4y + 7 = 0我们可以将第一个方程乘以2，第二个方程乘以3，使得x的系数相等，得到：4x^2 + 6y^2 + 8x + 10y + 12 = 09x^2 + 6y^2 + 15x + 12y + 21 = 0然后，我们将两个方程相减，消去x，得到一元二次方程：(9x^2 + 6y^2 + 15x + 12y + 21) - (4x^2 + 6y^2 + 8x + 10y + 12) = 0 5x^2 + 7x + 2y + 9 = 0这样，我们就将二元二次方程组转化为了一元二次方程，可以用一般的方法求解该方程。
2. 代入法代入法的思路是先解一个方程，然后将其解代入另一个方程，从而求得另一个未知数的值。
继续以上面的方程组为例，假设我们已经解得x的值为2，那么我们可以将x=2代入任意一个方程，得到：2(2)^2 + 3y^2 + 4(2) + 5y + 6 = 08 + 3y^2 + 8 + 5y + 6 = 03y^2 + 5y + 22 = 0然后，我们可以使用求解一元二次方程的方法来解得y的值。
二元二次方程组的解法步骤
二元二次方程组的解法步骤一、介绍二元二次方程组是一种由两个二次方程组成的方程组，形式一般为：a1x^2 + b1xy + c1y^2 + d1x + e1y + f1 = 0a2x^2 + b2xy + c2y^2 + d2x + e2y + f2 = 0其中，a1、b1、c1、d1、e1、f1为第一个方程的系数，a2、b2、c2、d2、e2、f2为第二个方程的系数。
在解二元二次方程组时，我们的目标是找到一组满足上述方程组的x和y的解。
二、解法步骤1. 消元法为了解二元二次方程组，我们首先需要将其中一个方程中的一个变量消去。
这可以通过两个方程的相减或相加来实现。
情况一：消去x的平方项为了消去x的平方项，我们需要使得两个方程的系数满足：a2 / a1 = b2 / b1 = c2 / c1如果上述条件满足，则我们可以将两个方程相减，消去x的平方项，得到一个新的一次方程：(b2 * c1 - b1 * c2) * y + (d2 * c1 - d1 * c2) * x + (f2 * c1 - f1 *c2) = 0这就得到了一个关于x和y的一次方程。
情况二：消去y的平方项类似地，为了消去y的平方项，我们需要使得两个方程的系数满足：a2 / a1 = b2 / b1 = c2 / c1如果上述条件满足，则我们可以将两个方程相减，消去y的平方项，得到一个新的一次方程：(a2 * d1 - a1 * d2) * x + (a2 * f1 - a1 * f2) = 0这就得到了一个关于x的一次方程。
2. 解一次方程通过消元法，我们得到了一个关于x和y的一次方程。
现在，我们需要解这个一次方程来求得x或y的值。
首先，我们可以根据方程的形式，将一次方程写成一般的标准形式，即Ax +By + C = 0，其中A、B、C为常数。
然后，我们可以使用线性代数的方法或代数方法来解这个一次方程。
如果该方程有唯一的解，则我们可以得到x或y的值。
二元二次方程组的解法技巧
二元二次方程组的解法技巧二元二次方程组是高中数学中比较重要的一部分，解决二元二次方程组的问题可以帮助我们更好地理解高中数学知识，同时也有助于我们在日常生活中应用数学知识。
一、方程式二元二次方程组通常可以表示为以下形式：ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0gx^2 + hxy + iy^2 + jx + ky + l = 0其中，a、b、c、d、e、f、g、h、i、j、k、l均为实数。
二、解法技巧1. 消元法消元法是解决二元二次方程组的基本方法之一。
其思想是将方程组中的一些变量消除，得到一个只有一个未知数的一元二次方程。
例如，将方程组x^2 + y^2 = 25x + y = 7中的y消去，就得到一个只含有x的二次方程，从而可以求出x的值。
通过将得到的x值带入方程中，可以求出y的值。
2. 完全平方公式完全平方公式是解决二元二次方程组的重要方法之一。
对于一个一元二次方程，其一般形式为ax^2 + bx + c = 0，根据完全平方公式，可将其表示为(a x + k)^2 + p = 0，其中k和p分别为常数，根据该公式可以方便地求解一元二次方程的根。
对于二元二次方程组，我们可以尝试将其转化为一元二次方程，从而运用完全平方公式来求解。
例如，转化为一元二次方程后，方程组x^2 – y^2 = 36x^2 + y^2 = 100可表示为(x^2 + y^2) – (x^2 – y^2) = 100 – 362y^2 = 64y^2 = 32y = ±√32带入x^2 + y^2 = 100中可得出x^2 = 68，从而得出x = ±√68。
3. 消元法和完全平方公式的结合运用有时候，解决二元二次方程组需要结合运用上述两种方法。
例如，对于方程组x^2 – 4x – 5y + 18 =0y^2 + 6x + 8y + 9 = 0我们可以先使用“合并同类项”的方法，得到：(x^2 – 4x + 4) – 5y = -2y^2 + 6x + 8y + 9 = 0进一步变形后，有：(x – 2)^2 – 5y = -2 + 4y^2 + 6x + 8y + 9 = 0(x – 2)^2 = 5y + 2将上式代入第二个式子，得到：y^2 + 6x + 8y + 9 = 05y + 2 + 6x + 8y + 9 = 0从而得出y = -1，带入x –2 = ±√7，得出x = 2 ±√7。
二元二次方程组的解法
二元二次方程的解法一、内容综述：1．解二元二次方程组的基本思想和方法解二元二次方程组的基本思想是“转化”，这种转化包含“消元”和“降次”将二元转化为一元是消元，将二次转化为一次是降次，这是转化的基本方法。
因此，掌握好消元和降次的一些方法和技巧是解二元二次方程组的关键。
2．二元二次方程组通常按照两个方程的组成分为“二·一”型和“二·二”型，又分别成为Ⅰ型和Ⅱ型。
“二·一”型是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组；“二·二”型是由两个二元二次方程组成的方程组。
“二·一”型方程组的解法（1）代入消元法（即代入法）代入法是解“二·一”型方程组的一般方法，具体步骤是：①把二元一次方程中的一个未知数用另一个未知数的代数式表示；②把这个代数式代入二元二次方程，得到一个一元二次方程；③解这个一元二次方程，求得一个未知数的值；④把所求得的这个未知数的值代入二元一次方程，求得另一个未知数的值；如果代入二元二次方程求另一个未知数，就会出现“增解”的问题；⑤所得的一个未知数的值和相应的另一个未知数的值分别组在一起，就是原方程组的解。
（2）逆用根与系数的关系对“二·一”型二元二次方程组中形如的方程组，可以根据一元二次方程根与系数的关系，把x、y看做一元二次方程z2-az+b=0的两个根，解这个方程，求得的z1和z2的值，就是x、y的值。
当x1=z1时，y1=z2；当x2=z2时，y2=z1，所以原方程组的解是两组“对称解”。
注意：不要丢掉一个解。
此方法是解“二·一”型方程组的一种特殊方法，它适用于解“和积形式”的方程组。
以上两种是比较常用的解法。
除此之外，还有加减消元法、分解降次法、换元法等，解题时要注意分析方程的结构特征，灵活选用恰当的方法。
注意：（1）解一元二次方程、分式方程和无理方程的知识都可以运用于解“二·一”型方程组。
二元二次方程组的解法与应用
二元二次方程组的解法与应用二元二次方程组是由两个未知数x和y以及形如ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0的二次项组成的方程。
解决二元二次方程组的问题在数学和实际生活中有着广泛的应用。
本文将介绍二元二次方程组的解法及其应用。
一、二元二次方程组的解法求解二元二次方程组可以使用常见的代数解法，如代入法、消元法和用韦达定理等方法。
下面将逐一进行介绍。
1.1 代入法代入法是求解二元二次方程组的一种简单直接的方法。
首先将其中一个方程的其中一个未知数表示成另一个未知数的函数，然后将其代入另一个方程中，得到一个只含有一个未知数的方程，从而解出该未知数的值。
再将该值代入到另一个方程中，求解另一个未知数的值。
例如，考虑以下二元二次方程组：(1) x^2 + 4xy + y^2 = 10(2) 3x^2 - 2xy + 2y^2 = 11我们选择方程(1)中的x表示成y的函数：x = (10 - y^2)/(4y + 1)。
将其代入方程(2)中，可以得到：3[(10 - y^2)/(4y + 1)]^2 - 2[(10 - y^2)/(4y + 1)]y + 2y^2 = 11化简上述方程后，我们可以得到一个关于y的一元二次方程，解出y的值后再代回到方程(1)即可求出x的值。
1.2 消元法消元法是求解二元二次方程组的另一种常用方法。
通过消去其中一个未知数，将方程组化简为一元二次方程。
消元法有三种常见的形式，分别是相减消去、相加消去和代入消去。
以相减消去为例，考虑以下二元二次方程组：(1) x^2 - 3xy + 2y^2 = 5(2) 2x^2 - 5xy + 3y^2 = 12我们将两个方程相减，得到新方程：-x^2 + 2xy - y^2 = -7此时，可以将新方程视为一个关于y的一元二次方程，解出y的值后再代回到方程(1)或(2)求解另一个未知数的值。
1.3 韦达定理韦达定理是解决二元二次方程组的另一种方法。
例谈二元二次方程组的解法
例谈二元二次方程组的解法河南省濮阳市第三中学 冯忠解二元二次方程组时，若能根据方程组的特征，合理选择解决方法，则可以化难为易，化繁为简。
下面举例说明。
一、代入消元法例1.解方程组解 ：由②得y=2x —1 ③把③代入①，整理得15x —23x + 8=0，解得11x =，2815x =， 分别代入③得11y =，2115y =，∴ 原方程组的解是注：代入法是解方程组最基本的方法。
二、因式分解法例2.解方程组解：由②得（x —2y ）（x —3y ）=0，则原方程组化为 或解得注：对于高次方程组成的方程组，若其中的方程可以分解因式，则可先分解因式降次，再转化为低次方程组或二元一次方程组求解。
三、构造方程法例3.解方程组解：由题义知x 、y 是方程t —7t + 12 = 0的两个根，解得 123,4t t ==∴ 原方程组的解是 1134x y =⎧⎨=⎩ ，2243x y =⎧⎨=⎩ 注：对形如的 x y a xy b+=⎧⎨=⎩ 的二元二次方程组，可依据韦达定理，构造方程解之。
北师大九年级四、设元代换法例4.解方程组解：设y = kx ，则原方程组①÷②得=1/2 ，整理得3k + 5k —2=0，解得12k =-，213k =， 当时12k =-，12x =±，122y =±；当213k =时，23x =±，21y =±， ∴原方程组的解是11222x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，22222x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩， 3331x y =-⎧⎨=⎩， 3331x y =⎧⎨=⎩ 注：换元法是重要的数学方法，合理应用会使解题变得巧妙、简便。
五、消常数项法例5.解方程组解：②×3—①得2x —9xy + 10y= 0 ③由③得（2x —5y ）（x —2y ）= 0，则原方程组可化为 或解之得 1152x y =-⎧⎨=-⎩ ， 2252x y =⎧⎨=⎩ 注：对于不含一次项的二元二次方程组，可以考虑去其常数项。
(完整版)二元二次方程组的解法
二元二次方程的解法一、内容综述：1．解二元二次方程组的基本思想和方法解二元二次方程组的基本思想是“转化”，这种转化包含“消元”和“降次”将二元转化为一元是消元，将二次转化为一次是降次，这是转化的基本方法。
因此，掌握好消元和降次的一些方法和技巧是解二元二次方程组的关键。
2．二元二次方程组通常按照两个方程的组成分为“二·一”型和“二·二”型，又分别成为Ⅰ型和Ⅱ型。
“二·一”型是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组；“二·二”型是由两个二元二次方程组成的方程组。
“二·一”型方程组的解法（1）代入消元法（即代入法）代入法是解“二·一”型方程组的一般方法，具体步骤是：①把二元一次方程中的一个未知数用另一个未知数的代数式表示；②把这个代数式代入二元二次方程，得到一个一元二次方程；③解这个一元二次方程，求得一个未知数的值；④把所求得的这个未知数的值代入二元一次方程，求得另一个未知数的值；如果代入二元二次方程求另一个未知数，就会出现“增解”的问题；⑤所得的一个未知数的值和相应的另一个未知数的值分别组在一起，就是原方程组的解。
（2）逆用根与系数的关系对“二·一”型二元二次方程组中形如的方程组，可以根据一元二次方程根与系数的关系，把x、y看做一元二次方程z2-az+b=0的两个根，解这个方程，求得的z1和z2的值，就是x、y的值。
当x1=z1时，y1=z2；当x2=z2时，y2=z1，所以原方程组的解是两组“对称解”。
注意：不要丢掉一个解。
此方法是解“二·一”型方程组的一种特殊方法，它适用于解“和积形式”的方程组。
以上两种是比较常用的解法。
除此之外，还有加减消元法、分解降次法、换元法等，解题时要注意分析方程的结构特征，灵活选用恰当的方法。
注意：（1）解一元二次方程、分式方程和无理方程的知识都可以运用于解“二·一”型方程组。
二元二次方程组的解法
二元二次方程组的解法二元二次方程组是由两个二次方程组成的方程组。
解决这种方程组的关键是找到方程组的解。
一、一般形式的二元二次方程组一般情况下，二元二次方程组的一般形式如下：1. 假设方程组为：a₁x² + b₁xy + c₁y² + d₁x + e₁y + f₁ = 0a₂x² + b₂xy + c₂y² + d₂x + e₂y + f₂ = 02. 设变量：X = x²， Y = y²， XY = xy3. 将方程组转化为四元二次方程组：a₁X + b₁XY + c₁Y + d₁x + e₁y + f₁ = 0a₂X + b₂XY + c₂Y + d₂x + e₂y + f₂ = 04. 用消元法将X、Y消去：例：通过第一个方程将X消去令 A = a₁/a₂则 a₁X + b₁XY + c₁Y + d₁x + e₁y + f₁ = 0变为： Aa₂X + b₁XY + c₁Y + d₁x + e₁y + f₁ = 0再通过第二个方程将X消去，得到一个只包含Y、x、y的方程。
5. 解出Y，并将其代入剩下的方程中，解出x和y，即得到方程组的解。
二、例题解析以一道例题来说明解决二元二次方程组的方法。
例题：解方程组：x² + y² - 4 = 02x² + 3y² - 13 = 0解答：1. 设 X = x²， Y = y²则方程组可化为：X + Y - 4 = 02X + 3Y - 13 = 02. 通过第一个方程将 X 消去：2(X + Y - 4) + 3Y - 13 = 0简化后得到：2X + 5Y - 21 = 03. 解得：Y = (21 - 2X)/54. 将 Y 代入第一个方程：X + (21 - 2X)/5 - 4 = 0简化后得到：3X - 19/5 = 05. 解得：X = 19/156. 将 X 代入 Y 的表达式：Y = (21 - 2*(19/15))/5简化后得到：Y = 16/157. 根据 X 和 Y 的值，可以求出 x 和 y 的值：对 X 和 Y 开平方根即可得到 x 和 y。
二元二次方程的解法
二元二次方程的解法二元二次方程是指含有两个未知数的二次方程，通常形式为ax^2 + by^2 + cxy+ dx + ey + f = 0。
解二元二次方程是初中数学中的重要内容，掌握解题方法对于学生来说至关重要。
本文将介绍几种常见的解二元二次方程的方法，并通过实例进行说明。
一、配方法配方法是解二元二次方程的常用方法之一。
它的基本思想是通过将方程中的某些项配成完全平方的形式，从而将方程化简为两个一元二次方程。
下面通过一个例子来说明配方法的具体步骤。
例题：解方程组{ x^2 + y^2 + 2xy = 9{ x^2 - y^2 = 1解析：首先，我们可以将第一个方程中的2xy项配成完全平方的形式。
具体来说，我们可以将其改写为(x+y)^2。
然后，将这个改写后的表达式代入第一个方程，得到：(x+y)^2 = 9解这个方程，我们可以得到两个解：x+y=3或x+y=-3。
接下来，我们将这两个解分别代入第二个方程，得到两个一元二次方程：x^2 - y^2 = 1x^2 - y^2 = -7分别解这两个方程，我们可以得到四个解：(x,y)=(2,1)，(x,y)=(-2,-1)，(x,y)=(2,-1)，(x,y)=(-2,1)。
综上所述，方程组的解为{(2,1), (-2,-1), (2,-1), (-2,1)}。
二、代入法代入法是解二元二次方程的另一种常用方法。
它的基本思想是通过将一个方程中的一个未知数表示成另一个方程中的未知数的函数，然后代入另一个方程，从而将方程化简为一个一元二次方程。
下面通过一个例子来说明代入法的具体步骤。
例题：解方程组{ x^2 + y^2 = 9{ x + y = 3解析：首先，我们可以将第二个方程改写为y = 3 - x。
然后，将这个表达式代入第一个方程，得到：x^2 + (3 - x)^2 = 9化简这个方程，我们可以得到一个一元二次方程：2x^2 - 6x = 0。
解这个方程，我们可以得到两个解：x=0或x=3。
二元二次方程组及其解法
八年级第21讲 二元二次方程组及其解法知识点1：二元二次方程及二元二次方程组的有关概念：1、 定义：仅含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2次的整式方程，叫做二元二次方程。
如：05422=-+y xy x ，5=xy ,0422=-y x ，0245222=+++-y x y xy x 等. 2、 注意点：（1）二元二次方程是整式方程.（2）二元二次方程含有两个未知数. （3)含有未知数的项的最高次数是2 3、一般式 :220ax bxy cy dx ey f +++++=．这里，必须强调a 、b 、c 中至少有一个不是零，否则就不是二元二次方程了.“a 、b 、c 中至少有一个不是零”也可以说成“a 、b 、c 不都为零”，但不能说成“不为零”或“都不为零"，因为它们的意义是不一样的. 4、二元二次方程的解：能使二元二次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元二次方程的解。
5、二元二次方程组：定义：仅含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2次的整式方程所组成的方程组，叫做二元二次方程组。
如:6、二元二次方程组的解：二元二次方程组中所含方程的公共解，叫做二元二次方程组的解.例1、在方程组①⎩⎨⎧==-132xy y x 、②()⎩⎨⎧=-=-12232xy x x y x 、③⎩⎨⎧=-=-32232y y x 、④⎪⎩⎪⎨⎧=-=+57xy x xy x 、⑤⎩⎨⎧-==24yz xy 中，是二元二次方程组的共有＿＿＿＿＿个.分析:抓住关键(1）组内方程是整式方程。
（2)方程组中含有两个未知数。
（3）含有未知数的项的最高次数是2答：①③是二元二次方程组。
②中()12=-xy x x 含有未知数的项的最高次数是3。
④中方程不是整式方程.⑤方程组中含有3个未知数。
限时训练：1、下列各方程中不是二元二次方程的是 ( ) A.x+xy=5C 。
x 2+y 2=3 D.x 2+2y 1=02、已知一个由二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组的解是⎩⎨⎧==21y x和⎩⎨⎧-=-=21y x ,试写出一个符合要求的方程组_______________。
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思考题
x 2 2 xy + y 2 = 4 解方程组 2 ( x + y ) 3( x + y ) 10 = 0
(1)此方程组与学过的方程组有何异同? (2)此方程组能否像前面所学的方程组 那 样来解? 你能否想出其它的方法 来解?试加以证明.
�
尝试练习一
x 2 + y 2 = 20 ( 3) 方程组 2 可转化为 2 x 4 xy + 4 y = 0
x-2y=0 x-2y=0 方程组 __________ 和方程组 __________ ___,
{
x2+y2=20
代入消元 然后用 __________ __ 法来解.
{
x2+y2=20
x-2y=0或 x-3y=0
(3) x2-6xy+9y2=16
x-y=0或 x-3y=0
(4) 2x2-5xy=3y2
x-3y=4或 x-3y= - 4
x-3y=0或 2x+y=0
尝试练习一
填空: (1)方程x2 +4xy +4y2=9可降次为方程 x+2y=3 x+2y=-3 __________和方程____________;使用的方 直接开平方法 法是_____________; _____________; (2)由一个二元二次方程 二元二次方程和一个可以分解为两 二元二次方程 可以分解为两 个二元一次方程的方程组成的方程组的基本 个二元一次方程的方程 思路是____________; 降次, 降次,消元
由一个二元二次方程和 一个二元一次方程组成 的方程组的解法
学习目标:
会用分解,降次法解由一个二元
二次方程和一个可以分解为两个 二元一次个二元一次方 程组成的方程组的基本方法是__________; 代入消元法 基本思想是 ___________. 消元,降次
解下列方程组:
( x 2 y)( x + 6 y) = 0 (1) 2 2 x + 4 y = 10
=
① ②
解:由①得
x-2y=0或x+6y=0
{
x1 因此,原方程组可化为两个方程组 y1 2+4y2=10 x2+4y2=10 x x-2y=0 x3 x+6y=0 y3
解这两个方程组,得原方 程组的解为
x-y=0或x-2y=0
因此,原方程组可化为两个 方程组
解这两个方程组,得原 方程组的解为
{
3x2+2xy=20 x-y=0
{
x1 2+2xy=20 3x y1 x-2y =0 x3 y3
=
5 x2 5 = y2 2 = 2 x4 = = 2 y4 =
=
5
5 = 2 2 2
解方程组:
x (2) x
解:由①得
2 2
4 xy + y
2
+ 3 y = 5
2
= 0
① ②
解这两个方程组,得原方 程组的解为
{
x1 x-y=0或x-3y=0 因此,原方程组可化为两 y1 个方程组 x2+y2=5 x2+y 2=5 x3 x-y=0 x-3y =0 y 3
{ __ 和方程组{ 方程组 __________ ____________
x2+y2=20 x-3y=4 x2+y2=20 x-3y=-4
x 2 + y 2 = 20 (4)方程组 2 可转化为 2 x 6 xy + 9 y = 16
然后用__________法来解. 代入消元
尝试题一
{
5 x2 = 5 5 5 = y2 = 2 2 = 3 x 4 = 3 1 1 = y4 = 2 2
x (2) x
解:由②得
2 2
+ y
2
= 20
2
①
5 xy + 6 y
= 0
②
x-2y=0或x-3y=0
解这两个方程组,得 原方程组的解为
{
因此,原方程组可化为两个方程 组
x2+y2=20
x-2y=0
{
x2+y2=20 x-3y=0
x1 y1 x3 y3
= 3 2 x 2 = 3 2 = 2 y2 = 2 = 4 x4 = 4 = 2 y 4 = 2
解下列方程组:
尝试题二
① ②
解:由①得
x 2 3 xy + 2 y 2 = 0 (1 ) 2 3 x + 2 xy = 20
2.把下列各式因式分解 (1)x2-3xy+2y2 =(x-2y)(x-y) (2)4x2-4xy+4y2-25 =(2x-y+5)(2x-y-5)
(3)(x+y)2-3(x+y)-4 =(x+y-4)(x+y+1) (4) 4x2-9y2 =(2x-3y)(2x+3y)
3.把下列方程化成两个二元一次方程: (1)x2-5xy+6y2 =0 (2) x2-4xy+3y2=0
= = = =
{
x2 y 2 3 2 x4 2 2 y4 2 10 2 10 2
= = = 3
10 2 10 2 2
2 2 = 2
小结
一般步骤: 一般步骤: 1,把能分解的方程转化为两个 二元一次方程; 2,把这两个二元一次方程分别与另一个方 程组成两个由一个二元一次方程和一个二 元二次方程组成的方程组; 3,解这两个方程组,得原方程组的解.