导数知识点总结及例题讲解

高二数学复习讲义—导数及其应用知识归纳1．导数的概念函数 y=f(x),如果自变量 x 在 x 0 处有增量 ∆x ，那么函数 y 相应地有增量 ∆y =f （x 0 + ∆x ）－f （x 0 ），比值 ∆y叫做函数 y=f （x ）在 x 0∆x到 x 0 + ∆x 之 间 的 平 均 变 化 率 ， 即 ∆y = f (x 0 + ∆x ) - f (x 0 ) 。

如果当 ∆x → 0 时， x ∆x ∆y 有极限，我们就说函数 y=f(x)在点 x 处 ∆x可导，并把这个极限叫做 f （x ）在点 x 0 处的导数，记作 f’（x 0 ）或 y’| x =x 0 。

即 f （x）= lim ∆y = lim f (x 0 + ∆x ) - f (x 0 ) 。

0∆x →0 ∆x ∆x →0 ∆x 说明：（1）函数 f （x ）在点 x 0 处可导，是指 ∆x → 0 时，∆∆y x 有极限。

如果 ∆∆yx 不存在极限，就说函数在点 x 0 处不可导，或说无导数。

（2）∆x 是自变量 x 在 x 0 处的改变量，∆x ≠ 04．两个函数的和、差、积的求导法则法则 1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，即： ( u ± v )' = u ' ± v '. 法则 2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函 数 乘 以 第 二 个 函 数 的 导 数 ， 即 ：(uv )' = u ' v + uv ' . 若 C 为常数, (Cu )' = C 'u + Cu ' = 0 + Cu ' = Cu ' .即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： (Cu )' = Cu '. 法则 3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的⎛ u ⎫ u ' v - uv ' 积再除以分母的平方：⎪ ‘ =v 2 ⎝ v ⎭（v ≠ 0）。

形如 y=f [ϕ(x ) ]的函数称为复合函数。

复合函数求导步骤：分解——求导——回代。

法时，而 ∆y 是函数值的改变量，可以是零。

由导数的定义可知，求函数 y=f （x ）在点 x 0 处的导数的步骤：（1）求函数的增量 ∆y =f （x 0 + ∆x ）－f （x 0 ）； （2）求平均变化率∆y=f (x+ ∆x ) - f (x 0) ；∆x∆x（3）取极限，得导数 f’(x 0 )= lim∆y。

∆x →0∆x2．导数的几何意义函数 y=f （x ）在点 x 0 处的导数的几何意义是曲线 y=f （x ）在点 p （x 0 ，f （x 0 ））处的切线的斜率。

也就是说，曲线 y=f （x ）在点 p（x 0 ，f （x 0 ））处的切线的斜率是 f’（x 0 ）。

/相应地，切线方程为 y －y 0 =f （x 0 ）（x －x 0 ）。

3．几种常见函数的导数:① C ' = 0;② (x n)'= nx n -1; ③ (sin x )' = cos x ;④ (cos x )' = -sin x ; ⑤ (e x )' = e x ; ⑥ ( a x )' = a x ln a ;⑦ (ln x )'= 1 ; ⑧ (l o g a x )' = 1 log a e .x x则：y＇| X = y＇| U·u＇| X5.单调区间：一般地，设函数y=f(x)在某个区间可导，如果f'(x)>0，则f(x)为增函数；如果f'(x)<0，则f(x)为减函数；如果在某区间内恒有f'(x)=0，则f(x)为常数；6.极点与极值：曲线在极值点处切线的斜率为 0，极值点处的导数为 0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正；7．最值：一般地，在区间[a，b]上连续的函数 f (x)在[a，b]上必有最大值与最小值。

①求函数ƒ (x)在(a，b)内的极值；②求函数ƒ (x)在区间端点的值ƒ(a)、ƒ(b)；③将函数ƒ (x)的各极值与ƒ(a)、ƒ(b)比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。

高考题型解 ： y / = ( x - a ) ( 3 x - 2a - ，b ) 由 y / = 0 得1.导数定义的应用例 1 (北京高考）如图，函数 f ( x ) 的图象是 x = a , x =2a + b，∴当 x = a 时， y 取极大值3折线段 ABC ，其中 A ，B ，C 的坐标分别为 0 ，当 x = 2a + b时 y 取极小值且极小值为(0，4)，(2，0)，(6，4) ，3lim f (1 + ∆x )- f (1)负．故选 C ．或当 x < b 时 y < 0 ，当 x > b 时， = _________．y > 0 选 C ．∆x →0∆xy4AC点评:通过导数研究函数图像的变化规律,也3是考试的热点题型.23.利用导数解决函数的单调性问题1Bx例 5 （ 全 国 高 考 ） 已 知 函 数O 1 2 3 4 5 6解：由图可知 f (x ) = ⎧- 2x + 4 0 ≤ x ≤ 2f ( x ) = x 3 + ax 2 + x +1， a ∈R ．⎨ ，根⎩x - 22 < x ≤ 3（Ⅰ）讨论函数 f ( x ) 的单调区间；据导数的定义知 lim f (1 + ∆x )- f (1) = f '(1) = -2 ．（Ⅱ）设函数 f ( x ) 在区间 ⎛ - 2 ，- 1 ⎪⎫内是减函∆x →0∆x⎝ 3 3 ⎭例 ２ ( 重 庆 高 考 ) 已 知 函 数 f (x ) = (x 2 + bx + c )e x ,其中 b , c ∈ R ，（Ⅰ）略， （Ⅱ）若 b 2 ≤ 4(c -1), 且 lim f (x )- c = 4 ，试 xx →0证： - 6 ≤ b ≤ 2 ．解 ： '2+ (b + 2)x + b + c )e x ， 易 知 f (0) = c ．故f (x )- f (0)f (x )- c '， x x - 0 x →0x →0 ⎧b + c = 4, 解得 - 6 ≤ b ≤ 2 ． 所以 ⎨b 2 ≤ 4(c -1),⎩ 2. 利用导数研究函数的图像 例 3 （ 安 徽 高 考 ） 设 a ＜ b, 函 数y = ( 2( x - 的b )图像可能是 x - a )数，求 a 的取值范围．解 ：（ 1 ） f ( x ) = x 3 + ax 2 + x +1 求 导 得f '( x )= 2 +x 13 x + 2a当 2 ≤ 3 时， ∆ ≤ 0 ， ' ≥ 0 ， f ( x ) 在 R 上 a f ( x ) 递增； 当 2 > 3 ， ' 求 得 两 根 为 a f ( x ) = 0x =- a ± a 2- 3 ，3⎛⎫即 f ( x )- a - a 2- 3在 -∞，⎪ 递 增 ，3⎪⎝⎭⎛ ⎫ - a - a 2 - 3 - a + a 2 - 3递 减，3 ， 3 ⎪⎪⎝ ⎭⎛ ⎫ - a + a 2 - 33 ，+ ∞⎪ 递增。

⎪⎝ ⎭（2）因为函数 f ( x ) 在区间 ⎛- 2 ，- 1 ⎪⎫ 内是减⎝ 3 3 ⎭⎛ 21 ⎫函数，所以当 x ∈ -，-⎪ 时 f '(x ) ≤ 0 恒成3 3 ⎝ ⎭⎧ ⎛ 2 ⎫⎪ f ' - ⎪ ≤ 0 3 ⎪ ⎝⎭ 解 立，结合二次函数的图像可知 ⎨ ⎛ 1⎫ ⎪⎪⎝ 3 ⎭⎩得 a ≥ 2 ．点评：函数在某区间上单调转化为导函数 f'(x ) ≥ 0 或 f '(x ) ≤ 0 在区间上恒成立问题，是解决这类问题的通法．本题也可以由函数⎛ ⎫- a - a 2 - 3 - a + a 2 - 3 在 3 ， 3⎪ 上递减，所以⎪ ⎝ ⎭ ⎧ - a - a 2 - 3 ≤ - 2⎪3 3 ⎪求解． ⎨⎪ - a + a 2 - 3 ≥ - 1⎪3 3⎩ 【 变 式 1 】（ 全 国 高 考 ） 若 函 数f (x ) =13 x 3 - 12 ax 2 + (a -1)x +1 在区间 (1,4)上是减函数，在区间 (6,+∞)上是增函数，求实数 a 的取值范围．解： f (x ) = x 2 - ax + (a -1) ，令 f '(x ) = 0 得 x = 1或 x = a -1，结合图像知 4 ≤ a -1 ≤ 6 ，故 a ∈[5,7]．点评：本题也可转化为 f '(x )≤ 0，x ∈(1,4)恒成立且 f '(x )≥ 0，x ∈(6,+∞)恒成立来解．【 变 式 2 】（ 浙 江 高 考 ） 已 知 函 数f ( x ) = x 3 + (1 - a ) x 2 - a ( a + 2)x + b( a , b ∈ R ) ．若函数 f ( x ) 在区间 ( -1,1) 上不．单调，求 a 的取值范围． ．．解：函数 f (x ) 在区间 (-1,1) 不单调，等价于f (x ) = 0在区间 (-1,1)上有实数解，且无重 ' 根．+ 2(1 - a )x - a (a + 2)又' 2， 由f '(x ) = 0 ，得 x 1 = a , x 2 = - a +3 2。

从而⎧-1 < a < 1,⎧-1 < - a + 2 < 1,⎪a + 2 或⎪3解 得⎨⎨a + 2⎪a ≠ -,⎪33 .⎩⎧-1 < a < 1, ⎧- 5 < a < 1, ⎪ 1 ⎪ 1⎨ 或 ⎨⎪a ≠ - ,⎪a ≠ - ,2 2 ⎩ ⎩⎛ - 5,- 1 ⎫ ⎛ - 1 ⎫所以 a 的取值范围是 ⎪ ,1⎪.⎝ 2 ⎭ ⎝ 2 ⎭点评：这种逆向设问方式是今后高考命题的一种趋势，充分体现高考“能力立意”的思想，高考中应高度重视。

（4）利用导数的几何意义研究曲线的切线问 题例 6 （江西高考）若存在过点 (1, 0) 的直线与曲线 y = x 3 和 y = ax 2 + 15x - 9 都相切，则 a 等4于A ． -1 或 - 25B ． -1 或 21 4 64C ． - 7 或 - 25D ． - 7 或 74 4解：设过 ( 1, 0 )的直线与 y = x 3 相切于点( x 0 , x 03 )， 所 以 切 线 方 程为y - x 0 3 = 3 x 0 2 ( x - x 0 )即 y = 3 x 0 2 x - 2x 03 ，又 (1, 0)在切线上，则x 0 = 0 或 x 0 = -32 ，当 x 0 = 0 时，由 y = 0 与 y = ax 2 +154 x - 9 相切可得 a = - 6425，32 7 2 7 当 x0 = - 时 ， 由 y =x -与 2 4 4y = ax 2+154 x -9相切可得a= -1，所以选A .点评：函数的切线问题，切点是关键，因为它是联结曲线和其切线的“桥梁”，在做题中往往需要设出切点．【变式】（ 辽宁高考）设 P 为曲线 C ：y = x 2 + 2 x + 3 上的点，且曲线 C 在点 P 处切线倾斜角的取值范围为 ⎡ π ⎤⎢0，⎥ ，则点 P 横坐⎣ 4 ⎦标的取值范围为（ ）A ． ⎡-1，- 1 ⎤B ． [-1，0⎥⎣ 2 ⎦[ ]⎡ 1 ⎤⎣ 2⎦ 解：由曲线 C 在点 P 处切线倾斜角的取值范⎡ π ⎤围为 ⎢ 0，⎥ ，可得曲线 C 在点 P 处切线的斜⎣ 4 ⎦率范围为 [0 1] y = 2x + 2 ，设点 P的横坐，，又 ' 标 为 x 0 ， 则 0 ≤ 2x 0 + 2 ≤ 1 ， 解 得 -1 ≤ x 0 ≤ -12 ，故选 A ．5. 利用导数求函数的极值与最值例 7 （ 天 津 高 考 ） 已 知 函 数f ( x ) = x 4 + ax 3 + 2x 2 + b （ x ∈ R ）， 其 中a ,b ∈ R ．若函数 f ( x ) 仅在 x = 0 处有极值，求 a 的取值范围．解： f '( x ) = x (4 x 2 + 3ax + 4) ，显然 x = 0 不是方程 4 x 2 + 3ax + 4 = 0 的根．为 使 f ( x ) 仅 在 x = 0 处 有 极 值 ， 必 须4 x 2 + 3ax + 4 ≥ 0 成立，即有 ∆ = 9a 2 - 64 ≤ 0 ．解不等式，得 -83 ≤ a ≤ 83 ．这时， f (0) = b 是唯一极值．因此满足条件的 a 的取值范围是[ -83 , 83] ．6.利用导数解决实际问题例 8 用长为 18 cm 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为 2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？解：设长方体的宽为 x （m ），则长为 2x (m)，高为 h = 18 -12x = 4.5 - 3x (m)⎛ 3 ⎫0＜x ＜⎪ .4 ⎝2 ⎭故 长 方 体 的 体积 为223 3⎛ 3 ⎫V (x ) = 2x(4.5 - 3x )= 9x -6x (m )< x<⎪⎝2 ⎭从而 V '(x ) =18x -18x 2 (4.5 - 3x ) =18x (1 - x ).令V '(x ) = 0 ，解得 x = 0（舍去）或 x = 1，因此 x = 1.当 0 < x < 1 时， V '(x ) > 0 ；当 1 < x <32 时，V '(x )< 0 ，故在 x = 1处V (x )取得极大值，并且这个极大值就是V (x )的最大值，从而最大体积V = V '(x ) = 9 ⨯12 - 6 ⨯13 (m 3 )，此时长方体的长为 2 m ，高为 1.5 m导数及其应用[基础训练 A 组]一、选择题1．若函数y=f(x)在区间 ( a , b) 内可导，且x0∈( a, b) 则 lim f ( x0+ h )- f ( x0- h)hh→0的值为（ B ）A．f ' ( x ) B．2f ' ( x ) C．-2f'(x) D．00 0 0lim f (x0+ h )- f (x0 - h ) = lim 2[ f (x0 + h )- f (x0 - h) ]h 2hh →0 h→0= 2lim f (x0 + h )- f (x0 - h) = 2 f' (x )h→0 2h 02．一个物体的运动方程为s=1-t+t2其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（C）A． 7 米/秒B． 6 米/秒C．5米/秒D．8米/秒s '(t )=2t -1, s'(3)=2⨯3-1=53．函数y=x3+x的递增区间是（C ）A．(0,+∞) B．(-∞,1)C．(-∞,+∞) D．(1,+∞)y '=3x2+1>0对于任何实数都恒成立4．f (x ) =ax3+ 3x2+ 2 ,若f' (-1) = 4 ,则a的值等于（D ）A．19 B．163 3C．13 D．103 3f '(x )=3ax 2+6x, f '(-1)=3a -6=4, a = 10 35．函数y=f(x)在一点的导数值为0是函数y=f(x)在这点取极值的（ D ）A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．必要非充分条件对于f(x)=x3,f'(x)=3x2,f'(0)=0,不能推出f(x)在x=0取极值，反之成立。