定积分在经济中应用

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定积分在经济中的应用

一、由经济函数的边际,求经济函数在区间上的增量

根据边际成本,边际收入,边际利润以及产量x 的变动区间[,]a b 上的改变量(增量)就等于它们各自边际在区间[,]a b 上的定积分:

()()()b

a R

b R a R x dx '-=⎰ (1) ()()()b

a C

b C a C x dx '-=⎰ (2) ()()()b

a L

b L a L x dx '-=⎰ (3) 例1 已知某商品边际收入为0.0825x -+(万元/t ),边际成本为5(万元/t ),求产量x 从250t 增加到300t 时销售收入()R x ,总成本C ()x ,利润()I x 的改变量(增量)。

解 首先求边际利润

()()()0.082550.0820L x R x C x x x '''=-=-+-=-+

所以根据式(1)、式(2)、式(3),依次求出:

300

250

(300)(250)()R R R x dx '-=⎰300250(0.0825)x dx =-+⎰=150万元 300300250250

(300)(250)()C C C x dx dx '-==⎰

⎰=250万元 300

300250250(300)(250)()(0.0820)L L L x dx x dx '-==-+⎰⎰=-100万元

二、由经济函数的变化率,求经济函数在区间上的平均变化率 设某经济函数的变化率为()f t ,则称

2

121

()t t f t dt t t -⎰ 为该经济函数在时间间隔21[,]t t 内的平均变化率。

例2 某银行的利息连续计算,利息率是时间t (单位:年)的函数:

()0.08r t =+求它在开始2年,即时间间隔[0,2]内的平均利息率。

解 由于

2

200

()(0.08r t dt dt =+⎰

⎰20.160.010.16=+=+所以开始2年的平均利息率为

20()0.0820r t dt

r ==+-⎰ 0.094≈

例3 某公司运行t (年)所获利润为()L t (元)利润的年变化率为

()310L t '=⨯/年)求利润从第4年初到第8年末,即时间间隔

[3,8]内年平均变化率

解 由于

38

85852333()310210(1)3810L t dt t '=⨯=⨯⋅+=⨯⎰⎰

所以从第4年初到第8年末,利润的年平均变化率为

8

53()7.61083L t dt

'=⨯-⎰(元/年)

即在这5年内公司平均每年平均获利57.610⨯元。

三、由贴现率求总贴现值在时间区间上的增量

设某个项目在t (年)时的收入为()f t (万元),年利率为r ,即贴现率是()rt f t e

-,则应用定积分计算,该项目在时间区间[,]a b 上总贴现值的增量为()b

rt a f t e ndt -⎰。

设某工程总投资在竣工时的贴现值为A (万元),竣工后的年收入预计为a (万元)年利率为r ,银行利息连续计算。在进行动态经济分析时,把竣工后收入的总贴现值达到A ,即使关系式

0T

rt ae dt A -=⎰

成立的时间T (年)称为该项工程的投资回收期。

例4 某工程总投资在竣工时的贴现值为1000万元,竣工后的年收入预

计为200万元,年利息率为0.08,求该工程的投资回收期。

解 这里1000A =,200a =,0.08r =,则该工程竣工后T 年内收入的总贴现值为

0.080.080.08002002002500(1)0.08T

t t T

T e dt e e ---==--⎰

令 0.082500(1)T e --=1000,即得该工程回收期为

110001ln(1)ln 0.60.0825000.08T =-

-=- =6.39(年)

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