《分式》精品讲义

分式

本章小结

小结1 本章概述

本章在已学过的分数的基础上引入了分式的概述，用类比的方法探究分式的基本性质，在熟练掌握分式的基本性质的基础上，会进行分式的约分、通分和分式的加、减、乘、除、乖方运算，会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验分式方程的根．

小结2 本章学习重难点

【本章重点】了解分式的概念，会利用分式的基本性质进行约分和通分，会进行简单的分式加、减、乘、除、乘方运算；能够根据具体问题数量关系列出简单的分式方程，会会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型；会解简单的可化为一元一次方程的分式方程.

【本章难点】应用分式方程解决实际问题．

小结3 中考透视

本章内容在中考中主要考查判断分式有无意义，分式值为零的条件的应用，用分式基本性质进行变形，分式运算及分式的化简求值，常与实际问题结合起来命题，题型以解答题为主．

知识网络结构图

分式的概念 分式的意义、无意义的条件

0的条件

分式的基本性质

分式的基本性质 分式的约分 分式的通分 分式的乘法规则

分式的除法规则

分式 同分母分式的加减法法则

分式的运算 分式的加减法法则

异分母分式的加减法法则

运算性质 负正数指数幂

科学记数法

公式方程的概念 解分式方程的步骤

分式方程 分式方程中使最简公分母为0的解

列分式方程应用题的步骤

专题总结及应用

一、识性专题

专题1 分式基本性质的应用

【专题解读】分式的基本性质是分式的化简、计算的主要依据.只有掌握好分式的基本性质，才能更好地解决问题.

例1 化简

(1)

2

610xy

x ; (2) 21

xy y

x --； 解：(1)2

6233.10255xy x y y

x x x x

==

(2)

2

(1)1(1)(1)1

xy y y x y

x x x x --==-+-+. 【解题策略】化简一个分式时，主要是根据分式的基本性质，把分式的分子与分母同时除以它们的公因式，当分式的分子或分母是多项式时，能分解因式的一定要分解因式.

例2 计算2312212422a a a a ⎛⎛⎫⎫

+÷-⎪⎪ ---+⎭⎭⎝⎝

解：2312212422a a a a ⎛⎛⎫⎫+÷-⎪⎪ ---+⎭⎭⎝

⎝

3(2)122(2)2(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)3186

(2)(2)(2)(2)3.

a a a a a a a a a a a a a a a a a ⎡⎤⎡⎤++-=+÷-⎢⎥⎢⎥+-+-+-+-⎣⎦⎣⎦++=÷

+-+-= 【解题策略】异分母分式相加减，先根据分式的基本性质进行通分，转化为同分母分式，再进行相加减.在通分时，先确定最简公分母，然后将各分式的分子、分母都乘以分母与最简公分母所差的因式.运算的结果应根据分式的基本性质化为最简形式.

专题2 有关求分式值的问题

【专题解读】对于一个分式，如果给出其中字母的值，可以先将分式进行化简，然后将字母的值代入，求出分式的值.但对于分式的求值问题,却没有直接给出其中字母的值,而只是给出其中的字母所满足的条件，这样的问题复杂，需根据其转点采用相应的方法.

例3 已知13x x +=,求2

42

1

x x x -+的值. 解: 因为0x ≠，所以用2x 除所求分式的分子、分母. 原式2

222

1111

11

336

1()21

x x x x

=

=

=

=--+

+--. 例4 已知22230x xy y --=，且x y ≠-，求

2

x x y x y

-

-的值.

解: 因为22230x xy y --=， 所以()(23)0,x y x y +-= 所以0x y +=或230x y +=,

又因为x y ≠-,所以0x y +≠,所以230x y -=,所以2,3

y x = 所以

2

23.2

727323

3

33

x x x x x x x x x y x x y

x x =

=

=

=----

-

-- 例5 已知

345,x y y z z x ==+++求()()()

xyz

x y y z x z +++的值. 解: 设

3451,x y y z z x k

===+++ 则3,4,5,x y k y z k z x k +=+=+= 解得x =2k ，y =k ，z =3k ，

所以33

2361

()()(3456010xyz k k k k x y y z x z k k k k ===+++）. 例6 已知

,,x z

a c y z x y

==++且abc o ≠,求111a b c a b c +++++的值. 解: 由已知得

1,y z

a x

+= 所以111,y z x y z a x x ++++=+=即1a x y z

a x

+++=,

所以

1a x

a x y z

=+++, 同理

,,11b y c z b x y z c x y z

==++++++ 所以

1111a b c x y z x y z a b c x y z x y z x y z x y z

++++=++==+++++++++++. 例7 已知1,x y z y z z x x y ++=+++且0x y z ++≠,求222

x y z y z x z x y

+++++的值.