数值计算方法-全套课件
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数值计算方法37 45页PPT文档
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12
方程组(4)便可化为
a 0 ( k ,0 ) a 1 ( k ,1 ) a n ( k ,n ) ( k , f )
k0,1, ,n
---------(7)
这是一(个 k,j)系 常 , 数 数 (为 k项 ,f)的 为线性方
将其表示成矩阵形式
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i0
i0
16
例1. 回到本节开始的实例，从散点图可以看出 纤维强度和拉伸倍数之间近似与线性关系 故可选取线性函数
y(x)a0a1x
为拟合函数，其基函数为
0(x)1 1(x)x
建立法方程组
根据内积公式，可得
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(0,0)24 (0,1)12.57(1,1)82.691
(0,f)11.13 (1,f)73.61
法方程组为
12247.5
81229.7.651
a a
0 1
113.1 731.6
解得 a0 0.1505 a1 0.8587 y*(x)0.15050.858x7 即为所求的最小二
平方误差为
*
2 2
j0 i0
i0
k0,1, ,n
---------(4)
即
m
m
m
a0 0(xi)k(xi)a1 1(xi)k(xi) an n(xi)k(xi)
i0
i0
i0
m
yik(xi) i0
k0,1, ,n
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显(4 然 )是一a 个 0,a1, 关 ,an的 于 n1元线性方
拟合函 S(x)数 Pn(x)的基函数为
数值计算方法课件
数值计算方法课件
Introduction
数值分析 能够做什么？
数值计算方法课件
•
研究使用计算机求解各种数学问题的 数值方法（近似方法），对求得的解的 精度进行评估，以及如何在计算机上实 现求解等
数值计算方法课件
计算机解决实际问题的步骤
建立数学模型 选择数值方法 编写程序 上机计算
数值计算方法课件
lim||
k
xk x* 数值计算方法课件
||0
➢ 矩阵范数 ( matrix norms ) 定义3:对任意 A,B,R称m|n| ·|| 为Rmn空间的矩阵范数, 指|| ·||满足(1)-(3)：
(1 )|A || |0 ;|A || |0 A 0
(2) ||A||||||A|| 对任意 C
David Kincaid & Ward Cheney（机械工业出版社)
➢ Numerical Analysis (Seventh Edition)
数值分析 （第七版 影印版）
Richard L. Burden & J. Douglas Faires （高等教育出版社）
数值计算方法课件
数值计算方法课件
10n1 10n1
10n
0
1
102
0
10 1101 0
2。与计算机不能分离：上机实习（掌握一 门语言：C语言，会用Matlab）
数值计算方法课件
1.2 误差 ( Error )
§1 误差的背景介绍 ( Introduction ) 1. 来源与分类 ( Source & Classification ) 模型误差 ( Modeling Error ): 从实际问题中抽象出数 学模型
Introduction
数值分析 能够做什么？
数值计算方法课件
•
研究使用计算机求解各种数学问题的 数值方法（近似方法），对求得的解的 精度进行评估，以及如何在计算机上实 现求解等
数值计算方法课件
计算机解决实际问题的步骤
建立数学模型 选择数值方法 编写程序 上机计算
数值计算方法课件
lim||
k
xk x* 数值计算方法课件
||0
➢ 矩阵范数 ( matrix norms ) 定义3:对任意 A,B,R称m|n| ·|| 为Rmn空间的矩阵范数, 指|| ·||满足(1)-(3)：
(1 )|A || |0 ;|A || |0 A 0
(2) ||A||||||A|| 对任意 C
David Kincaid & Ward Cheney（机械工业出版社)
➢ Numerical Analysis (Seventh Edition)
数值分析 （第七版 影印版）
Richard L. Burden & J. Douglas Faires （高等教育出版社）
数值计算方法课件
数值计算方法课件
10n1 10n1
10n
0
1
102
0
10 1101 0
2。与计算机不能分离：上机实习（掌握一 门语言：C语言，会用Matlab）
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1.2 误差 ( Error )
§1 误差的背景介绍 ( Introduction ) 1. 来源与分类 ( Source & Classification ) 模型误差 ( Modeling Error ): 从实际问题中抽象出数 学模型
数值计算方法ppt
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Ax b 第一章 引论i 2 ,3, , n
§ 1.1 数值计算的研究对象与特点
§ 1.2 数值问题与数值方法
a11
A
a21
an
1
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a12 a22
an2
§
aa121nn.3
误差
ann
i1
bi lij x j
xi
j1
lii
1
本章要点:
绝对误差(限)和相对误差(限) 有效数字位数及其与误差的关系
1 2!
2 f x12
*
( x1
x1* )2
2 f x1x2
*
( x1
x1* )(x2
x2* )
2 f x22
*
( x2
x2* )2
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f (x1* , x2* )
f x1
*
E1
f x2
*
E2
22
y*的绝对误差为
E( y* )
第一章 数值计算方法 绪论.ppt
|
En
|
|
In
I
n
|
|
(1
nIn1 )
(1
nI
n1
)
|
n
|E n1|
n
!|
E0
|
初始的小扰动| E0 | 0.5108迅速积累，误差快速递增。
造成这种情况的是不稳定的算法 /* unstable algorithm */ 我们有责任改变。
公式二： In 1 n In1
I 10
0.03059200
I 12
1
12
I 11
0.63289600
I 13
1
13
I 12
7.2276480
I 14
1
14
I 13
94.959424
I 15
1
15
I 14
1423.3914
What happened
?!
考察第n步的误差 En
（科学出版社，2001年）
• 提问：数值计算方法是做什么用的？
研究对象：数值问题——有限个输入数据（问题的自
变量、原始数据）与有限个输出数据（待求解数据）之 间函数关系的一个明确无歧义的描述。
如一阶微分方程初值问题
dy
2x
dx
y(0) 1
求函数解析表达式 y y(x)
求函数y y(x)在某些点
的
能够控制误差
设
计
便于编程实现：逻辑复杂度要小
数值计算PPT课件
x1=(-b+math.sqrt(d))/(2*a) x2=(-b-math.sqrt(d))/(2*a) print("方程有两个不同的解",x1,x2) elif d==0: x1=-b/(2*a) print("方程有两个相同的解",x1) else: print("方程无解")
用辗转相除法求解两个正整数的最大公约数
在Python中，绘制函数图像一般要用到numpy和matplotlib两个模块，这 两个模块需要另外安装。
Numpy模块简介 numpy是一个科学计算包，其中包括很多数学函数，如三角函数、矩阵计算方法等
import numpy as np
#加载numpy模块并取一个简洁的别名为np
x=np.arrange(0,2*np.pi,0.01) # x在0到2π之间，每隔0.01取一个点
表4.2.1 函数计算
x
1
0
2
30
3
60
…
…
14 360
sin(x) 0 0.5
0.866025404
…
0
sin(-x) 0
-0.5 -0.866025404
…
0
sin(2x)/2 0 0.5
0.866025404
…
0
利用wps绘制的函数图像
利用WPS表格画图
2x2+x-6=0
利用python绘制正弦曲线
参考答案： num1=int(input('请输入第一个正整数：')) num2=int(input('请输入第二个正整数：')) m=max(num1,num2) n=min(num1,num2) r=m % n while r!=0:
用辗转相除法求解两个正整数的最大公约数
在Python中，绘制函数图像一般要用到numpy和matplotlib两个模块，这 两个模块需要另外安装。
Numpy模块简介 numpy是一个科学计算包，其中包括很多数学函数，如三角函数、矩阵计算方法等
import numpy as np
#加载numpy模块并取一个简洁的别名为np
x=np.arrange(0,2*np.pi,0.01) # x在0到2π之间，每隔0.01取一个点
表4.2.1 函数计算
x
1
0
2
30
3
60
…
…
14 360
sin(x) 0 0.5
0.866025404
…
0
sin(-x) 0
-0.5 -0.866025404
…
0
sin(2x)/2 0 0.5
0.866025404
…
0
利用wps绘制的函数图像
利用WPS表格画图
2x2+x-6=0
利用python绘制正弦曲线
参考答案： num1=int(input('请输入第一个正整数：')) num2=int(input('请输入第二个正整数：')) m=max(num1,num2) n=min(num1,num2) r=m % n while r!=0:
数值计算方法25_ppt [兼容模式]
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10
L x=y
T
1 . 解 Ly = b b1 y1 = l11
i −1 bi − ∑ lik ⋅ yk k =1 yi =
lii
------(14) i = 2 ,3 , L , n
l11 M O L = li 1 L lii M M O l l l L L n ni nn 1
-------------(7) -------------(8) i = r , r + 1,L , n
8
air = ∑ lik ⋅ lrk = ∑ lik ⋅ lrk + lir ⋅ lrr
k =1 k =1
r −1
由( 6 ) ~ ( 8)式可得 L的元素的计算公式
l11 = a11
ai 1 li 1 = l11
7
aij = a ji
a11 M ar 1 M an 1
L a1 r O M L arr M L anr
L a1 n l11 l11 L lr 1 L ln 1 M M O O M M L arn = lr 1 L lrr lrr L lnr ⋅ O M M O O M M lnn L ann ln 1 L lnr L lnn
29 6 13 174
=L 25 29
12
其次解 Ly = b
y1 =
b1 l11
i −1
( L , b) =
6
7 6 5 6
29 6 13 174
25 29
9 10 9
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L x=y
T
1 . 解 Ly = b b1 y1 = l11
i −1 bi − ∑ lik ⋅ yk k =1 yi =
lii
------(14) i = 2 ,3 , L , n
l11 M O L = li 1 L lii M M O l l l L L n ni nn 1
-------------(7) -------------(8) i = r , r + 1,L , n
8
air = ∑ lik ⋅ lrk = ∑ lik ⋅ lrk + lir ⋅ lrr
k =1 k =1
r −1
由( 6 ) ~ ( 8)式可得 L的元素的计算公式
l11 = a11
ai 1 li 1 = l11
7
aij = a ji
a11 M ar 1 M an 1
L a1 r O M L arr M L anr
L a1 n l11 l11 L lr 1 L ln 1 M M O O M M L arn = lr 1 L lrr lrr L lnr ⋅ O M M O O M M lnn L ann ln 1 L lnr L lnn
29 6 13 174
=L 25 29
12
其次解 Ly = b
y1 =
b1 l11
i −1
( L , b) =
6
7 6 5 6
29 6 13 174
25 29
9 10 9
《数值计算》课件
《数值计算》PPT课件
CATALOGUE
目录
引言数值计算基础线性方程组求解插值与拟合数值积分与微分优化算法数值计算的实践应用
01
引言
数值计算是计算机科学和数学的一个重要交叉领域，主要研究如何利用数学方法解决各种实际问题，特别是在处理大规模、复杂数据时。
本课程将介绍数值计算的基本原理和方法，包括线性代数、微积分、插值、拟合、数值积分、微分方程等。
多项式拟合是一种通过已知数据点来构造一个多项式，使得该多项式能够尽可能地逼近真实函数的方法。
多项式拟合的原理是利用最小二乘法或其他优化算法来求解多项式的系数，使得多项式与真实函数的误差最小。
多项式拟合的优点是适应性强、应用广泛，但缺点是当数据点较多时，多项式的次数较高，可能导致计算量大、精度降低。
梯形法
辛普森法
复合梯形法和复合辛普森法
ห้องสมุดไป่ตู้
复合差分法
复合差分法是通过将函数定义域分成若干个子区间，并在每个子区间上分别使用差商法或中心差分法进行计算，然后求和得到函数导数的近似值。
数值微分的基本概念
数值微分是一种近似计算函数导数的方法，通过选取适当的离散点，利用差分公式来逼近函数导数的值。
差商法
差商法是一种简单的数值微分方法，通过计算函数在相邻离散点之间的差商来逼近函数导数的值。
数据拟合
THANKS
感谢观看
矩阵分解法是一种将系数矩阵分解为易于处理的形式的方法，常见的有LU分解、QR分解等。
04
插值与拟合
拉格朗日插值的原理是利用已知数据点构造一个插值多项式，然后通过该多项式在未知点的取值来估计该点的数值。
拉格朗日插值法的优点是简单易懂，易于实现，但缺点是当数据点较多时，插值多项式的次数较高，可能导致计算量大、精度降低。
CATALOGUE
目录
引言数值计算基础线性方程组求解插值与拟合数值积分与微分优化算法数值计算的实践应用
01
引言
数值计算是计算机科学和数学的一个重要交叉领域，主要研究如何利用数学方法解决各种实际问题，特别是在处理大规模、复杂数据时。
本课程将介绍数值计算的基本原理和方法，包括线性代数、微积分、插值、拟合、数值积分、微分方程等。
多项式拟合是一种通过已知数据点来构造一个多项式，使得该多项式能够尽可能地逼近真实函数的方法。
多项式拟合的原理是利用最小二乘法或其他优化算法来求解多项式的系数，使得多项式与真实函数的误差最小。
多项式拟合的优点是适应性强、应用广泛，但缺点是当数据点较多时，多项式的次数较高，可能导致计算量大、精度降低。
梯形法
辛普森法
复合梯形法和复合辛普森法
ห้องสมุดไป่ตู้
复合差分法
复合差分法是通过将函数定义域分成若干个子区间，并在每个子区间上分别使用差商法或中心差分法进行计算，然后求和得到函数导数的近似值。
数值微分的基本概念
数值微分是一种近似计算函数导数的方法，通过选取适当的离散点，利用差分公式来逼近函数导数的值。
差商法
差商法是一种简单的数值微分方法，通过计算函数在相邻离散点之间的差商来逼近函数导数的值。
数据拟合
THANKS
感谢观看
矩阵分解法是一种将系数矩阵分解为易于处理的形式的方法，常见的有LU分解、QR分解等。
04
插值与拟合
拉格朗日插值的原理是利用已知数据点构造一个插值多项式，然后通过该多项式在未知点的取值来估计该点的数值。
拉格朗日插值法的优点是简单易懂，易于实现，但缺点是当数据点较多时，插值多项式的次数较高，可能导致计算量大、精度降低。
数值计算方法-精选文档
定义4. 由 (7)式确定的 A称为从属于给定向量
范数 x 的矩阵范数 简称为从属范数或算子范数
11 华长生制作
显然，由定义不难推出
n n 2 设AF a ij i1 j1
1 2
--------(5)
不难验证其满足定义2的4个条件
因此A F 是一种矩阵范数
称为Frobenius范数,简称F-范数 而且可以验证
A tr ( A A ) tr ( AA ) F
T 1 2 1 T 2
tr为矩阵的迹
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--------(6)
10
n n n 设 x R ,A R , 为一种向量范数
Ax 则 对所有的 x 0 有最大值 ,令 x
Ax A max x0 x
--------(7)
可以验证 A 满足定义 2 的 4 个条件
5
x p ( x x x )
p 1
p 2
--------(4) x 的 p 范数 ,p 1
p 1 p n
显然
x 1和 x 2 是 xp在 p 1 和 p 2 时的特例
p 1 p 2 p 1 p n
并且由于
max x x x ) (n i ) maxxi (x 1 i n
bi l ij x j an 2 ann 7.7 病态方程组和迭代改善法 j 1 § xi l ii
2
7.6 §
解线性方程组的迭代法
i1
华长生制作
§ 7.5 向量及矩阵的范数
二维向量和三维向量都可以度量其大小和长度
高维向量的"长度"能否定义呢?
数值计算方法及算法PPT学习教案
ji
1 x xj
(xk )
f (xk )
jk
1 xk x j
ik
(xk x j )
f
(xi )
ji, jk
( xi
xj)
ji
f (xk )
1 f (xi ) (1)ki k!(n k)!
h jk k j ik h k i i!(n i)!
第24页/共98页
误差估计
满足
b xi g(x)dx 0，i 0,1,, n a
b
b
a f (x)dx a (x)dx
则插值 积ab f [分x0,公, x式n, x]具(x 有x0)2n(+x 1x阶n )dx的代
数精度。
证明：
第35页/共98页
b
求多项式空间在(内f , g积) a f (x)g(x)dx
下的标准正交基。 解法1：对任意基作Gram-
输出
原真实始值误差、x 截断误f 差、舍y 入f (x)误
差近似值
~x x x
~f f f ~y ~f (~x ) y
第3页/共98页
一些例子： 计算地球的体V 积34 π R3
π 1 1 1 1
计算4 3 5 7 f (x, y) (x y)3 x3 3x2 y 3xy2 y3
第1章 插值
第6页/共98页
函数逼近 用未知函数f(x)的值构造近似函数φ(x)。 要求误差小、形式简单、容易计算。
常用的函数逼近方法 • 插值：φ(xi)=yi, i=0,1,…,n. • 拟合：||φ(x)-f(x)||尽可能小 通常取 φ(x) = a0φ0(x) + … + anφn(x)，其中 {φi(x)}为一组基函数。
数值计算方法1_ppt [兼容模式]
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5
输出的数据是解向量x , 和方程的解x1 , x2
求解微分方程
y′ = 2 x + 3 y( 0 ) = 0
不是数值问题
输入的虽是数据, 但输出的不是数据而是函数y = x 2 + 3 x
将其变成数值问题，即将其“离散化”
即将求函数 y = x 2 + 3 x
改变成求函数值 y( x1 ), y( x2 ),L , y( xn ), x1 < x2 < L < xn “离散化”是将非数值问题的数学模型化为数值问题 的主要方法，这也是计算方法的任务之一
*
E( x ) = x − x 为近似值 x *的绝对误差 , 简称误差 , 可简记为 E .
* *
15
因为准确值 x 往往是未知甚至是无法 知道的
因此 E ( x ) = x − x 往往也无法求出
* *
而只能知道 E ( x * ) = x * − x 绝对值的某个上界 , 即
| E ( x )|= | x − x|≤ ε ( x )
21
考察 y 的误差与 x , x 的误差的关系
* * 函数 f ( x1 , x 2 ) 在点 ( x1 , x2 )处的 Taylor 展开式为
*
* 1
* 2
∂f * * f ( x 1 , x 2 ) = f ( x 1 , x 2 ) + ∂x 1
1 ∂ 2 f + 2 2! ∂ x 1 ∂ f + ∂x 2 2
*
ε( y ) = 5
*
x * = 15吗？
定义2. 设 x为准确值 , x *为 x的一个近似值 , 称
* * ( ) E x x −x * Er ( x ) = = x x 为近似值 x *的相对误差 , 可简记为 E r .
输出的数据是解向量x , 和方程的解x1 , x2
求解微分方程
y′ = 2 x + 3 y( 0 ) = 0
不是数值问题
输入的虽是数据, 但输出的不是数据而是函数y = x 2 + 3 x
将其变成数值问题，即将其“离散化”
即将求函数 y = x 2 + 3 x
改变成求函数值 y( x1 ), y( x2 ),L , y( xn ), x1 < x2 < L < xn “离散化”是将非数值问题的数学模型化为数值问题 的主要方法，这也是计算方法的任务之一
*
E( x ) = x − x 为近似值 x *的绝对误差 , 简称误差 , 可简记为 E .
* *
15
因为准确值 x 往往是未知甚至是无法 知道的
因此 E ( x ) = x − x 往往也无法求出
* *
而只能知道 E ( x * ) = x * − x 绝对值的某个上界 , 即
| E ( x )|= | x − x|≤ ε ( x )
21
考察 y 的误差与 x , x 的误差的关系
* * 函数 f ( x1 , x 2 ) 在点 ( x1 , x2 )处的 Taylor 展开式为
*
* 1
* 2
∂f * * f ( x 1 , x 2 ) = f ( x 1 , x 2 ) + ∂x 1
1 ∂ 2 f + 2 2! ∂ x 1 ∂ f + ∂x 2 2
*
ε( y ) = 5
*
x * = 15吗？
定义2. 设 x为准确值 , x *为 x的一个近似值 , 称
* * ( ) E x x −x * Er ( x ) = = x x 为近似值 x *的相对误差 , 可简记为 E r .
数值计算方法与算法-45页PPT文档资料
条件：A 行列式非零。 运算量：O(n3)
第5章 解线性方程组的直接法
• 全主元消元法
原理：在Gauss消元过程中，先选取所有元素模最大者， 将其换行至左上角位置，再作消元。由此得到分解 A = P L U Q，P和Q为置换方阵，L中各元素的模都 ≤1， U中各元素的模都≤同行对角元素的模。
条件：A 行列式非零。 运算量：O(n3)
yix (ix 1 i 1 xix)yix 1 i (1 x xx ii)， xi xxi 1
第1章 插值
2(h0 h1 )
h1
M1 d1 d0 h1M 0
h1
2(h1 h2 )
hn2
S(x) a ixi a 3 im0 a ,(x x x (i)3)
i 0
i 1
• M关系式
Si(x)M 6i (x xii 1 1 x x)i3(xi 1xi)x (i 1x) M 6 i 1 (x x i 1 xix )i3(xi 1xi)x (xi)
R i,02i个分点的 R i,j R 梯 i,j 1R 形 i,j 1 4 j R 积 1 i 1 ,j 1， 分 1j ， i
例题 4
•
构造积分 I(f)
2h
f
(x)d
x的数值积分公式
h
I ( f ) = a0 f (-h) + a1 f (0) + a2 f (2h)。
yi (xixj)
ji
• Newton插值
n
pn(x) ai (xxj)， aii阶差 f[x0, 商 ,xi] i 0 j i
第1章 插值
• 差商
f[ x 0 ] f( x 0 ) ， f[ x 0 , ,x k ] f[ x 1 , ,x k x ] k fx [ 0 x 0 , ,x k 1 ]
第5章 解线性方程组的直接法
• 全主元消元法
原理：在Gauss消元过程中，先选取所有元素模最大者， 将其换行至左上角位置，再作消元。由此得到分解 A = P L U Q，P和Q为置换方阵，L中各元素的模都 ≤1， U中各元素的模都≤同行对角元素的模。
条件：A 行列式非零。 运算量：O(n3)
yix (ix 1 i 1 xix)yix 1 i (1 x xx ii)， xi xxi 1
第1章 插值
2(h0 h1 )
h1
M1 d1 d0 h1M 0
h1
2(h1 h2 )
hn2
S(x) a ixi a 3 im0 a ,(x x x (i)3)
i 0
i 1
• M关系式
Si(x)M 6i (x xii 1 1 x x)i3(xi 1xi)x (i 1x) M 6 i 1 (x x i 1 xix )i3(xi 1xi)x (xi)
R i,02i个分点的 R i,j R 梯 i,j 1R 形 i,j 1 4 j R 积 1 i 1 ,j 1， 分 1j ， i
例题 4
•
构造积分 I(f)
2h
f
(x)d
x的数值积分公式
h
I ( f ) = a0 f (-h) + a1 f (0) + a2 f (2h)。
yi (xixj)
ji
• Newton插值
n
pn(x) ai (xxj)， aii阶差 f[x0, 商 ,xi] i 0 j i
第1章 插值
• 差商
f[ x 0 ] f( x 0 ) ， f[ x 0 , ,x k ] f[ x 1 , ,x k x ] k fx [ 0 x 0 , ,x k 1 ]
计算机数值方法课件
案例实现
使用Python编程语言实现插值 和拟合的应用。
06
总结与展望
本课程总结
内容全面
本课件涵盖了计算机数值方法的 多个领域，包括线性代数、微积 分、插值与拟合、数值积分与微 分、常微分方程数值解等。
实践性强
通过丰富的实例和实际应用案例 ，使学生能够更好地理解和掌握 计算机数值方法的应用。
易于理解
课件采用简洁明了的语言和图文 并茂的方式，帮助学生更好地理 解复杂的概念和算法。
未来发展与挑战
技术更新
随着计算机技术的不断发展，数值方法的应用范围和需求 也在不断扩大，需要不断更新课件内容以适应新的发展需 求。
理论与实践结合
数值方法的应用需要理论与实践相结合，未来应加强实践 环节的教学，提高学生的实际操作能力。
直接法实现
直接法的原理
直接法是一种通过直接计算得到解的方法，不需要通过迭代逼近 解。
直接法的步骤
直接法通常包括建立数学模型、选择合适的算法和编程实现三个步 骤，其中建立数学模型是关键。
直接法的优缺点
直接法具有精度高、稳定性好等优点，但也存在计算量大、计算时 间长等缺点。
优化算法实现
优化算法的原理
直接法
通过矩阵运算直接求解线性方程组，如高斯消元法、LU分解等 。
迭代法
通过迭代逐步逼近方程组的解，如雅可比迭代法、高斯-赛德尔 迭代法等。
共轭梯度法
结合直接法和迭代法的优点，在求解大型稀疏线性方程组时具有 较好的效果。
非线性方程的求解
牛顿法
通过迭代逐步逼近非线性 方程的根，具有较高的收 敛速度和精度。
05
案例分析
线性方程组求解案例
总结词
介绍线性方程组的数值解法，包括直接法和迭代法。
数值计算方法1 共59页
(1)
1.00a
1.00b
2.00
(2)
消元得：
0 .001 a 1 .00 b 1.0
9999 b 9998
解得： a 1 .00 1 .00 1 .00 0 .00 0 .0001
b 1 .00
显然错误 !
3.1 高斯消元法
j ) / l ii
高斯顺序消元法
算法：
1、赋初值 lij , bi (i 1,2, , n j 1,2, , i) ; 2、 x1 b1 / l11 3、 For i 2 to n do
s 0; For j 1 to i 1 do s s lij x j ; xi (bi s ) / lii ;
1)if a kk 0 then 输出算法失败信息，停 机；
2)对 i k 1,..., n做
10 a ik l ik a ik / a kk；
20
bi
bi
l ik
b
；
k
30
对j
k
1,...,
n 做 a ij
a ij
l ik
a
；
kj
高斯顺序消去法
(3)if ann 0 then 输出算法失败信息, 并停机else做
x1 x2
b1
l 11 (b 2
l 21 x 1 ) / l 22
......
xn
(b n
n 1
l ni x i ) / l nn
i 1
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——数值计算方法
数值计算方法
Numerical Method
数值计算方法
1
第一章 绪 论
课程简介
什么是数值计算方法？ 为什么学习数值计算方法？ 数值计算方法的主要内容
数值计算中的误差
误差的种类及其来源 绝对误差与相对误差 有效数字与误差 舍入误差与截断误差 误差的传播与估计 算法的数值稳定性
t
12
数值计算方法
课堂教学内 容
绪论 (1周) 非线性方程求根 (1周) 求解线性方程组的数值方法 (2周) 插值和曲线拟合 (1周) 数值微分和数值积分 (1周) 常微分方程数值解 (1周)
数值计算方法
19
教学安 排
理论
13：15～15：40
上机（助教负责）
四次 海洋大楼机房 刷校园卡
确定降落伞的最后速度
FU
加速度表示为速度的变化率
dv F dt m
如果净受力为正，物体加速运动； 如果为负，物体减速运动；如果为0， 物体速度不变。
假定向下的力为正，
FD mg
FU cv
c为比例系数，称为阻力系数（drag
coefficient(kg/s)）。参数c说明了下降物
FD
体的特征，如形状或表面的粗糙程度。
4
数值计算方法
非计算机方 法
解析方法
简单问题 实际价值有限
图解法
结果准确？ 三维及以下
手工方法
计算器 速度慢，很容易出现低级错误
5
数值计算方法
工程问题求解的三个 阶段
公式化
简洁表示 的基本定律
公式化
深入分析问题与 基本定律的关系
求解
用详细、通常也是复杂 的方法来求解问题
求解
易于使用的 计算机方法
解释
深入分析受限于 耗时的求解过程
计算机时代到来之前
解释
易于计算使得能够进行整体思 考和直观研究，可以对系统的
灵敏性和特性进行研究
计算机时代
数值计算方法
6
学习数值计算方法的 意义
增强求解问题的技能 在理解的基础上使用一些商品化软件 解决一些软件所不能解决的问题 学习使用计算机的一个有效载体 加深对数学的理解
7
数值计算方法
数值计算方法的内容（ 一）
方程求根（Roots of Equation）
f (x) 0
f(x)
根
x
8
数值计算方法
数值计算方法的内容（ 二）
线性代数方程组（System of Linear Algebraic Equations）
a11 x1 a12 x2 c1
x2
解
a21 x1 a22 x2 c2
x1
9
数值计算方法
数值计算方法的内容（ 三）
插值（Interpolation）和曲线拟合（Curve Fitting）
f(x)
f(x)
x
10
x
数值计算方法
数值计算方法的内容（ 四）
数值微分（numerical differentiation）和
数值积分（numerical integration）
数值计算方法
22
作业题 例
➢在 对 汽 车 、 机 器 人 以及其他运动器械的 控制时， 经常需要获 得其移动距离的数据 ➢通 过 对 于 一 连 串 采 样点（ 即时速度） 的 插值， 得到速度关于 时间的函数， 再对于 速度进行积分， 即可 得到对象所运动的距 离
总长度为5451.24米
19
数值计算方法
作业题例——西湖面积
20
数值计算方法
作业题例——上海世博会参观人数过千万时 间点
21
数值计算方法
作业题例——手
22
数值计算方法
作业题例——任意球
23
数值计算方法
数学建模与工程问题 求解
问题定义
理论
数学模型
数据
问题求解工具：计算机、统计 学、数值方法、图解法等
数值或图形结果
社会应用：调度、最 优化、通信等等
间或空间的变化。
物理世界中数学模型的几个典型特点：
用数学语言描述自然过程或系统； 代表了一种理想情况，或是对现实的简化。即忽略了自然过程
的不重要的细节，而集中于自然过程的本质特征； 得到的是一个可以重现的结果，可以用来做预测。
26
数值计算方法
降落伞问题（Falling Parachutist Problem）
数值计算方法
20
考核方 式
平时成绩（70%）
课堂（10%） +上机（10%）
上机作业提交时间 当天24:00
每周作业（50%）
提交时间：每次布置作业后一周内，注意截止时间 提交到课程网站，程序+报告文档，一个压缩文件
期末作业（30%）
自选题目
截止提交时间 6月26日24:00
利用数值方法解决问题
参数（parameter）：反映系统的性质或组成； 强制函数（forcing function）：外部对系统施加的
影响。
25
数值计算方法
一个简单的数学模型——牛顿第二定律
F=ma a=F/m
a为因变量，表示了系统的行为； F为强制函数； m为表示系统性质的参数； 在这种简单的情况下，没有自变量，没有涉及到加速度a在随时
27
数值计算方法
降落伞问题（Falling Parachutist Problem）
模型——微分方程（differential equation）
dv mg cv g cv
b
I a f (x)dx
f(x)
面积
a
b
x
11
数值计算方法
数值计算方法的内容（ 五）
常微分方程（Ordinary Differential
Equation ）
y
dy y f (t, y) dt t
求关于自变量t的函数y
yi 1 yi f (ti , yi)t
t
ti
ti+1
斜率 =f(ti ,yi)
实现
24
数值计算方法
数学模型（Mathematical Model）
用数学语言来表达物理系统或过程本质特 征的公式或方程。
因变量=f(自变量，参数，强制函数)
因变量（dependent variable）：用来刻画系统行为 或状态的特征量；
自变量（independent variable）：通常为维度，如 时间和空间，系统的行为是用自变量来确定的；
专业领域、以往课程、社会生活 解析解？ 数值解？ 分析
2016/5/1
数值计算方法
21
考核方 式
必须遵守学术道德规范，鼓励相互之间进 行讨论，但提交的作业必须独立完成。
杜绝抄袭！
数值计算方法
23
作业要 求
完整性
程序+文档
报告要求
问题分析 程序（算法、必要的注释） 结果 分析 排版、格式（清晰、美观）
数值计算方法
Numerical Method
数值计算方法
1
第一章 绪 论
课程简介
什么是数值计算方法？ 为什么学习数值计算方法？ 数值计算方法的主要内容
数值计算中的误差
误差的种类及其来源 绝对误差与相对误差 有效数字与误差 舍入误差与截断误差 误差的传播与估计 算法的数值稳定性
t
12
数值计算方法
课堂教学内 容
绪论 (1周) 非线性方程求根 (1周) 求解线性方程组的数值方法 (2周) 插值和曲线拟合 (1周) 数值微分和数值积分 (1周) 常微分方程数值解 (1周)
数值计算方法
19
教学安 排
理论
13：15～15：40
上机（助教负责）
四次 海洋大楼机房 刷校园卡
确定降落伞的最后速度
FU
加速度表示为速度的变化率
dv F dt m
如果净受力为正，物体加速运动； 如果为负，物体减速运动；如果为0， 物体速度不变。
假定向下的力为正，
FD mg
FU cv
c为比例系数，称为阻力系数（drag
coefficient(kg/s)）。参数c说明了下降物
FD
体的特征，如形状或表面的粗糙程度。
4
数值计算方法
非计算机方 法
解析方法
简单问题 实际价值有限
图解法
结果准确？ 三维及以下
手工方法
计算器 速度慢，很容易出现低级错误
5
数值计算方法
工程问题求解的三个 阶段
公式化
简洁表示 的基本定律
公式化
深入分析问题与 基本定律的关系
求解
用详细、通常也是复杂 的方法来求解问题
求解
易于使用的 计算机方法
解释
深入分析受限于 耗时的求解过程
计算机时代到来之前
解释
易于计算使得能够进行整体思 考和直观研究，可以对系统的
灵敏性和特性进行研究
计算机时代
数值计算方法
6
学习数值计算方法的 意义
增强求解问题的技能 在理解的基础上使用一些商品化软件 解决一些软件所不能解决的问题 学习使用计算机的一个有效载体 加深对数学的理解
7
数值计算方法
数值计算方法的内容（ 一）
方程求根（Roots of Equation）
f (x) 0
f(x)
根
x
8
数值计算方法
数值计算方法的内容（ 二）
线性代数方程组（System of Linear Algebraic Equations）
a11 x1 a12 x2 c1
x2
解
a21 x1 a22 x2 c2
x1
9
数值计算方法
数值计算方法的内容（ 三）
插值（Interpolation）和曲线拟合（Curve Fitting）
f(x)
f(x)
x
10
x
数值计算方法
数值计算方法的内容（ 四）
数值微分（numerical differentiation）和
数值积分（numerical integration）
数值计算方法
22
作业题 例
➢在 对 汽 车 、 机 器 人 以及其他运动器械的 控制时， 经常需要获 得其移动距离的数据 ➢通 过 对 于 一 连 串 采 样点（ 即时速度） 的 插值， 得到速度关于 时间的函数， 再对于 速度进行积分， 即可 得到对象所运动的距 离
总长度为5451.24米
19
数值计算方法
作业题例——西湖面积
20
数值计算方法
作业题例——上海世博会参观人数过千万时 间点
21
数值计算方法
作业题例——手
22
数值计算方法
作业题例——任意球
23
数值计算方法
数学建模与工程问题 求解
问题定义
理论
数学模型
数据
问题求解工具：计算机、统计 学、数值方法、图解法等
数值或图形结果
社会应用：调度、最 优化、通信等等
间或空间的变化。
物理世界中数学模型的几个典型特点：
用数学语言描述自然过程或系统； 代表了一种理想情况，或是对现实的简化。即忽略了自然过程
的不重要的细节，而集中于自然过程的本质特征； 得到的是一个可以重现的结果，可以用来做预测。
26
数值计算方法
降落伞问题（Falling Parachutist Problem）
数值计算方法
20
考核方 式
平时成绩（70%）
课堂（10%） +上机（10%）
上机作业提交时间 当天24:00
每周作业（50%）
提交时间：每次布置作业后一周内，注意截止时间 提交到课程网站，程序+报告文档，一个压缩文件
期末作业（30%）
自选题目
截止提交时间 6月26日24:00
利用数值方法解决问题
参数（parameter）：反映系统的性质或组成； 强制函数（forcing function）：外部对系统施加的
影响。
25
数值计算方法
一个简单的数学模型——牛顿第二定律
F=ma a=F/m
a为因变量，表示了系统的行为； F为强制函数； m为表示系统性质的参数； 在这种简单的情况下，没有自变量，没有涉及到加速度a在随时
27
数值计算方法
降落伞问题（Falling Parachutist Problem）
模型——微分方程（differential equation）
dv mg cv g cv
b
I a f (x)dx
f(x)
面积
a
b
x
11
数值计算方法
数值计算方法的内容（ 五）
常微分方程（Ordinary Differential
Equation ）
y
dy y f (t, y) dt t
求关于自变量t的函数y
yi 1 yi f (ti , yi)t
t
ti
ti+1
斜率 =f(ti ,yi)
实现
24
数值计算方法
数学模型（Mathematical Model）
用数学语言来表达物理系统或过程本质特 征的公式或方程。
因变量=f(自变量，参数，强制函数)
因变量（dependent variable）：用来刻画系统行为 或状态的特征量；
自变量（independent variable）：通常为维度，如 时间和空间，系统的行为是用自变量来确定的；
专业领域、以往课程、社会生活 解析解？ 数值解？ 分析
2016/5/1
数值计算方法
21
考核方 式
必须遵守学术道德规范，鼓励相互之间进 行讨论，但提交的作业必须独立完成。
杜绝抄袭！
数值计算方法
23
作业要 求
完整性
程序+文档
报告要求
问题分析 程序（算法、必要的注释） 结果 分析 排版、格式（清晰、美观）