课件相似三角形的应用举例
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25.6 相似三角形的应用课件(共22张PPT)
归纳总结
求不能直接测量物体的宽度的实际问题，同样可以构造两个相似直角三角形，通过相似三角形的性质求解.
1.A字型.
2.X字型.
1.在某一时刻，测得一根长为1.8 m的竹竿的影长为3 m，同时测得一栋高楼的影长为90 m，这栋高楼的高度为多少？
解得x = 54，
即这栋高楼的高度为54 m.
随堂练习
如图，在学校操场上，高高耸立的旗杆上悬挂着五星红旗.你一定想知道学校操场上旗杆的高度，那么怎样测量和计算旗杆的高呢？（1）请设计一个测量旗杆高度的方案，说明理由，并与大家交流.（2）思考下面“大刚设计的方案”是否可行.如果可行，请说明其中的道理.若标杆CD=2 m，标杆影子BD=3 m，旗杆影子BO=12 m，求旗杆的高.
探究二
知识点2 利用相似三角形求距离
1.如图25-6-5，在一条小河的北岸A处有一古塔，南岸C处有一观景台.为求古塔和观景台之间的距离，请你设计测量方案，并给出计算结果.2.如图25-6-6，小明给出的测量方案是否可行？若可行，请按他的测量方案和所得数据求出结果.
解：构造相似三角形求解.
例2 如图，△ABC为一块铁板余料.已知BC=120 mm，高AD=80 mm.要用这块余料裁出一个正方形材料，且使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，这个正方形的边长应为多少毫米？
解：∵ ∠PQR=∠PST=90°，∠P=∠P，∴△PQR∽△PST. ∴ ，即 ， ,PQ×90=（PQ+45）×60.
解得PQ=90（m）.因此河宽大约为 90 m.
已测得 QS = 45 m，ST = 90 m，QR = 60 m，请根据这些数据，计算河宽 PQ.
第 二十五章 图形的相似能运用三角形相似知识解决不能直接测量物体的高度和距离等实际问题.
求不能直接测量物体的宽度的实际问题，同样可以构造两个相似直角三角形，通过相似三角形的性质求解.
1.A字型.
2.X字型.
1.在某一时刻，测得一根长为1.8 m的竹竿的影长为3 m，同时测得一栋高楼的影长为90 m，这栋高楼的高度为多少？
解得x = 54，
即这栋高楼的高度为54 m.
随堂练习
如图，在学校操场上，高高耸立的旗杆上悬挂着五星红旗.你一定想知道学校操场上旗杆的高度，那么怎样测量和计算旗杆的高呢？（1）请设计一个测量旗杆高度的方案，说明理由，并与大家交流.（2）思考下面“大刚设计的方案”是否可行.如果可行，请说明其中的道理.若标杆CD=2 m，标杆影子BD=3 m，旗杆影子BO=12 m，求旗杆的高.
探究二
知识点2 利用相似三角形求距离
1.如图25-6-5，在一条小河的北岸A处有一古塔，南岸C处有一观景台.为求古塔和观景台之间的距离，请你设计测量方案，并给出计算结果.2.如图25-6-6，小明给出的测量方案是否可行？若可行，请按他的测量方案和所得数据求出结果.
解：构造相似三角形求解.
例2 如图，△ABC为一块铁板余料.已知BC=120 mm，高AD=80 mm.要用这块余料裁出一个正方形材料，且使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，这个正方形的边长应为多少毫米？
解：∵ ∠PQR=∠PST=90°，∠P=∠P，∴△PQR∽△PST. ∴ ，即 ， ,PQ×90=（PQ+45）×60.
解得PQ=90（m）.因此河宽大约为 90 m.
已测得 QS = 45 m，ST = 90 m，QR = 60 m，请根据这些数据，计算河宽 PQ.
第 二十五章 图形的相似能运用三角形相似知识解决不能直接测量物体的高度和距离等实际问题.
《相似三角形应用举例》相似PPT免费课件
探究新知
考点 2 利用相似三角形测物体的宽
如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P，
在近岸取点Q和S，使点P、Q、S共线且直线PS与河垂直，接着
在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q
且垂直PS的直线b的交点R．如果测得QS＝45m，
ST＝90m，QR＝60m，求河的宽度PQ．
求旗杆的高度.
E
C
FD
B
G
课堂检测
解：由题意可得：△DEF∽△DCA，
则 DE EF .
DC CA
∵DE=0.5米，EF=0.25米，DG=1.5米，DC=20米，
∴ 0.5 0.25，
20 CA
A
解得：AC = 10，
AB = AC + BC = 10 + 1.5 = 11.5 （m）.
答：旗杆的高度为 11.5 m.
D E
B
C
课堂小结
相似 三角 形的 应用 举例
利用相似三角形测量高度 利用相似三角形测量宽度 利用相似解决有遮挡物问题
人教版 数学 九年级 下册
27.2 相似三角形
27.2.3 相似三角形应用举例
导入新知
1. 在前面，我们学过哪些判定三角形相似的方法？相似三角 形的性质是什么？ 2. 观察下列图片，你会利用相似三角形知识解决一些不能直 接测量的物体（如塔高、河宽等）的长度或高度的问题吗？
导入新知
怎样测量 河宽？
相似三角形，来测量金字塔的高度．
如图，如果木杆EF长2m，它的影长FD为3m，测得OA为
201m，求金字塔的高度BO． 解：太阳光是平行光线，因此∠BAO＝∠EDF.
怎样测出 OA的长？
人教版九年级下册数学27.2.3：相似三角形的应用 举例 测量(金字塔高度、河宽)问题 课件 (共12张PPT)
明朝未及，我只有过好每一个今天，唯一的今天。
昨日的明天是今天。明天的昨日是今天。为什么要计较于过去呢（先别急着纠正我的错误，你确实可以在评判过去中学到许多）。但是我发现有的人过分地瞻前顾后了。为 何不想想“现在”呢？为何不及时行乐呢？如果你的回答是“不”，那么是时候该重新考虑一下了。成功的最大障碍是惧怕失败。这些句子都教育我们：不要惧怕失败。如 果你失败了他不会坐下来说：“靠，我真失败，我放弃。”并且不是一个婴儿会如此做，他们都会反反复复，一次一次地尝试。如果一条路走不通，那就走走其他途径，不 断尝试。惧怕失败仅仅是社会导致的一种品质，没有人生来害怕失败，记住这一点。宁愿做事而犯错，也不要为了不犯错而什么都不做。不一定要等到时机完全成熟才动手。 开头也许艰难，但是随着时间的流逝，你会渐渐熟悉你的事业。世上往往没有完美的时机，所以当你觉得做某事还不是时候，先做起来再说吧。喜欢追梦的人，切记不要被 梦想主宰；善于谋划的人，切记空想达不到目标；拥有实干精神的人，切记选对方向比努力做事重要。太阳不会因为你的失意，明天不再升起；月亮不会因为你的抱怨，今 晚不再降落。蒙住自己的眼睛，不等于世界就漆黑一团；蒙住别人的眼睛，不等于光明就属于自己！鱼搅不浑大海，雾压不倒高山，雷声叫不倒山岗，扇子驱不散大雾。鹿 的脖子再长，总高不过它的脑袋。人的脚指头再长，也长不过他的脚板。人的行动再快也快不过思想！以前认为水不可能倒流，那是还没有找到发明抽水机的方法；现在认 为太阳不可能从西边出来，这是还没住到太阳从西边出来的星球上。这个世界只有想不到的，没有做不到的！不是井里没有水，而是挖的不够深；不是成功来的慢，而是放 弃速度快。得到一件东西需要智慧，放弃一样东西则需要勇气！终而复始，日月是也。死而复生，四时是也。奇正相生，循环无端，涨跌相生，循环无端，涨跌相生，循环 无穷。机遇孕育着挑战，挑战中孕育着机遇，这是千古验证了的定律！种子放在水泥地板上会被晒死，种子放在水里会被淹死，种子放到肥沃的土壤里就生根发芽结果。选
昨日的明天是今天。明天的昨日是今天。为什么要计较于过去呢（先别急着纠正我的错误，你确实可以在评判过去中学到许多）。但是我发现有的人过分地瞻前顾后了。为 何不想想“现在”呢？为何不及时行乐呢？如果你的回答是“不”，那么是时候该重新考虑一下了。成功的最大障碍是惧怕失败。这些句子都教育我们：不要惧怕失败。如 果你失败了他不会坐下来说：“靠，我真失败，我放弃。”并且不是一个婴儿会如此做，他们都会反反复复，一次一次地尝试。如果一条路走不通，那就走走其他途径，不 断尝试。惧怕失败仅仅是社会导致的一种品质，没有人生来害怕失败，记住这一点。宁愿做事而犯错，也不要为了不犯错而什么都不做。不一定要等到时机完全成熟才动手。 开头也许艰难，但是随着时间的流逝，你会渐渐熟悉你的事业。世上往往没有完美的时机，所以当你觉得做某事还不是时候，先做起来再说吧。喜欢追梦的人，切记不要被 梦想主宰；善于谋划的人，切记空想达不到目标；拥有实干精神的人，切记选对方向比努力做事重要。太阳不会因为你的失意，明天不再升起；月亮不会因为你的抱怨，今 晚不再降落。蒙住自己的眼睛，不等于世界就漆黑一团；蒙住别人的眼睛，不等于光明就属于自己！鱼搅不浑大海，雾压不倒高山，雷声叫不倒山岗，扇子驱不散大雾。鹿 的脖子再长，总高不过它的脑袋。人的脚指头再长，也长不过他的脚板。人的行动再快也快不过思想！以前认为水不可能倒流，那是还没有找到发明抽水机的方法；现在认 为太阳不可能从西边出来，这是还没住到太阳从西边出来的星球上。这个世界只有想不到的，没有做不到的！不是井里没有水，而是挖的不够深；不是成功来的慢，而是放 弃速度快。得到一件东西需要智慧，放弃一样东西则需要勇气！终而复始，日月是也。死而复生，四时是也。奇正相生，循环无端，涨跌相生，循环无端，涨跌相生，循环 无穷。机遇孕育着挑战，挑战中孕育着机遇，这是千古验证了的定律！种子放在水泥地板上会被晒死，种子放在水里会被淹死，种子放到肥沃的土壤里就生根发芽结果。选
《相似三角形》相似图形PPT课件
定义
两个多面体，如果它们的对应角相等，对应边长 成比例，则称这两个多面体相似。
1. 对应角相等
通过测量或计算验证两个多面体的对应角是否相 等。
3
2. 对应边长成比例
通过测量或计算验证两个多面体的对应边长是否 成比例。
性质总结
性质一
相似多面体的对应面面 积之比等于相似比的平
方。
性质二
相似多面体的对应体积 之比等于相似比的立方
案例分析
测量河流宽度
通过构造相似三角形，可以测量 河流的宽度，为水利工程和桥梁
建设提供重要数据支持。
估算森林面积
利用航空照片和相似三角形的原理 ，可以对森林面积进行估算，为林 业资源管理和生态保护提供依据。
分析交通事故原因
在交通事故分析中，相似三角形可 以帮助分析事故原因，确定责任方 ，为交通事故处理提供科学依据。
。
性质三
相似多面体的对应棱的 中线之比等于相似比。
性质四
相似多面体的对应高的 比、对应中线的比和对 应角平分线的比都等于
相似比。
应用前景展望
建筑设计
在建筑设计中，利用相似多面体 的性质可以方便地按比例缩放建 筑模型，以适应不同规模和需求
的设计项目。
艺术创作
在机械、航空等工程领域，相似 多面体的概念可用于按比例放大 或缩小零部件和装置，以简化设
。
相似比与对应角关系
01
02
03
相似比
两个相似三角形的对应边 之间的比值称为相似比。
相等性
相似三角形的对应角相等 。
互补性
如果两个角在一个三角形 中是互补的，那么它们在 另一个相似三角形中也是 互补的。
性质总结
对应边成比例
27.2.3 相似三角形应用举例 课件 2024-2025学年人教版(2012)九年级下册数学
感悟新知
特别解读
知4－讲
利用相似三角形测量高度、宽度等的一般步骤：
1. 利用平行线、标杆等构造相似三角形；
2. 测量与表示未知量的线段相对应的边长以及另外任意一
组对应边的长度；
3. 画出示意图，利用相似三角形的性质，列出以上包括未
知量在内的四个量的比例式，解出未知量；
4. 检验并得出答案.
感悟新知
综合应用创新
又∵ CD＝2 m，FG＝1.2 m，GH＝2 m， ∴C2M＝12.2，解得CM＝130 m. ∵ BC＝4 m，∴ BM＝BC＋CM＝4＋130＝232(m).
∴A2B2 ＝12.2，解得AB＝4.4 m. 故这棵树AB的高度是4.4 m. 3
综合应用创新
另解 如图27.2－49，过点D作DM⊥AB于点M，则四边形
感悟新知
知1－讲
特别提醒 运用此测量方法时，要符合下列两个条件： 1. 被测物体的底部能够到达； 2. 由于影长可能随着太阳的运动而变化，因此要在同一时
刻测量参照物与被测物体的影长.
感悟新知
示例
知1－讲
感悟新知
知1－练
例 1 古代一位数学家想出了一种测量金字塔高度的方法： 如图27.2－41，为了测量金字塔的高度OB，先竖一根 已知长度的木棒O′B′，比较木棒的影长A′B′与金字塔 的影长AB，即可近似地算出金字塔的高度OB. 如果 O′B′＝1 m，A′B′＝2 m，AB＝274 m， 求金字塔的高度OB.
∴C2D＝132. ∴ CD＝8 m. 答：该古城墙CD的高度为8 m.
感悟新知
知3－练
3－1.[中考·南充] 如图，数学活动课上，为测量学校旗杆 高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后 退(保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上)，直到她刚 好在镜子中看到旗杆的顶端. 已知小菲的眼睛离地面的 高度为1.6m，同时量得小菲与镜子的水平距离为2m， 镜子与旗杆的水平距离为10 m，则旗 杆高度为( B ) A.6.4 m B.8 m C.9.6 m D.12.5 m
相似三角形应用举例课件(共33张PPT)(共33张PPT)
过点O作AB、A′B′的垂线，垂 C
足分别为Ｃ、Ｃ′，则由三角形
相似，得
OC ＝ AB OC' A'B'
B
32cm
即 32 ＝ 30 20 A'B'
解得：A′B′＝18.75(cm)
答：像A′B′的长度为18.75cm.
B′ O
C′
20cm A′
32
毫米。 因为PN∥BC，所以△APN∽ △ABC
PE N
所以 因此
AE AD 80–x 80
PN
= BC
B Q DM C
= x ，得 x=48（毫米）。答：-------。
120
28
课堂小结
一 、相似三角形的应用主要有如下两个方面
1、 测高(不能直接使用皮尺或刻度尺量的)
2、 测距(不能直接测量的两点间的距离)
∴BE=3，
AB=BE+AE=4.2
A
答:这棵树高有4.2米.
E
C
1.2
m
B
2.7m D
26
解法三:延长AC交BD延长线于G，
CD:DG=1:0.9 ∴DG=0.9CD=1.08 BG=BD+DG=3.78
∵AB:BG=1:0.9 ∴ AB:3.78=1:0.9
∴ AB=4.2
答:这棵树的高为4.2米.
∴ △ABD ∽ △ECD
∴AB︰EC=BD︰CD
∴ AB =BD×EC/CD
B
=120×50/60
D
C
E
=100（米）
答：两岸间的大致距离为100米。
18
例3：已知左，右并排的两棵大树的高分别 是AB=8m和CD=12m，两树的根部的距离 BD=5m。一个身高1.6m的人沿着正对着 两棵树的一条水平直路从左向右前进，当
相似三角形性质的应用PPT课件
在地图绘制中，利用相似三角形的性质可以确定地球上各个地点的相对位置和距离。
通过相似三角形，可以将地球上的大范围区域缩小到地图上，方便人们理解和研究 地理分布和特征。
地图绘制中的比例尺就是利用相似三角形的原理，将实际距离按照一定比例缩小到 地图上。
在物理实验中的应用
在物理实验中，常常需要利用 相似三角形来测量和计算各种 物理量，例如力、速度、加速 度等。
面积比等于相似比的平方
两个相似三角形的面积比等于它们的相似比的平方，即 (AB/DE)^2=(BC/EF)^2=(CA/FD)^2。
相似三角形的判定方法
01
02
03
平行线判定法
如果一个三角形与另一个 三角形的一边平行且等于 这边上的一个线段，则这 两个三角形相似。
角角判定法
如果两个三角形有两个对 应的角相等，则这两个三 角形相似。
利用相似三角形解决长度问题
总结词
通过相似三角形的性质，可以解决一些长度问题，如求线段长度ຫໍສະໝຸດ 判断线段大小关系等。详细描述
利用相似三角形的对应边成比例性质，可以通过已知线段长度求解未知线段长度，或者判断线段的大小关系。例 如，在解题过程中，可以通过构建相似三角形，利用对应边成比例的特点，将未知线段长度转化为已知线段长度， 从而求解问题。
相似三角形与面积
相似三角形的面积比等于其对应边长的平方 比。
相似三角形与角平分线
角平分线将相对边分为两段，与角平分线所 形成的两个小三角形相似。
实际问题实例
测量问题
建筑设计
利用相似三角形的性质，可以方便地测量 无法直接到达的物体的高度或距离。
在建筑设计过程中，可以利用相似三角形 的性质来计算建筑物的尺寸和角度，以确 保建筑物的外观和稳定性。
通过相似三角形，可以将地球上的大范围区域缩小到地图上，方便人们理解和研究 地理分布和特征。
地图绘制中的比例尺就是利用相似三角形的原理，将实际距离按照一定比例缩小到 地图上。
在物理实验中的应用
在物理实验中，常常需要利用 相似三角形来测量和计算各种 物理量，例如力、速度、加速 度等。
面积比等于相似比的平方
两个相似三角形的面积比等于它们的相似比的平方，即 (AB/DE)^2=(BC/EF)^2=(CA/FD)^2。
相似三角形的判定方法
01
02
03
平行线判定法
如果一个三角形与另一个 三角形的一边平行且等于 这边上的一个线段，则这 两个三角形相似。
角角判定法
如果两个三角形有两个对 应的角相等，则这两个三 角形相似。
利用相似三角形解决长度问题
总结词
通过相似三角形的性质，可以解决一些长度问题，如求线段长度ຫໍສະໝຸດ 判断线段大小关系等。详细描述
利用相似三角形的对应边成比例性质，可以通过已知线段长度求解未知线段长度，或者判断线段的大小关系。例 如，在解题过程中，可以通过构建相似三角形，利用对应边成比例的特点，将未知线段长度转化为已知线段长度， 从而求解问题。
相似三角形与面积
相似三角形的面积比等于其对应边长的平方 比。
相似三角形与角平分线
角平分线将相对边分为两段，与角平分线所 形成的两个小三角形相似。
实际问题实例
测量问题
建筑设计
利用相似三角形的性质，可以方便地测量 无法直接到达的物体的高度或距离。
在建筑设计过程中，可以利用相似三角形 的性质来计算建筑物的尺寸和角度，以确 保建筑物的外观和稳定性。
相似三角形的应用课件
03
相似三角形在三角函数中应用
利用相似三角形推导三角函数公式
利用相似三角形的性质，推导 出正弦、余弦、正切等基本三 角函数公式。
通过设定相似三角形的边长比 例，进一步推导出和差化积、 积化和差等复杂三角函数公式。
结合相似三角形的性质和三角 函数定义，推导出三角函数的 半角公式、倍角公式等。
利用三角函数值求角度或边长
折射定律与相似三角形
在光的折射现象中，入射光线、折射 光线和法线构成相似三角形，可用于 计算折射角和折射率。
利用相似三角形解决力学问题
力的平行四边形法则与相似三角形
01
在力的合成与分解中，利用平行四边形法则和相似三角形可求
解合力或分力的大小和方向。
杠杆平衡原理与相似三角形
02
在杠杆平衡问题中，利用相似三角形可求解力臂和力矩，进而
利用相似三角形解决复杂几何图形问题
解决复杂几何图形中的线段长度问题
在一些复杂的几何图形中，可能难以直接求出某些线段的长度。但是，如果这些图 形中包含有相似三角形，那么可以利用相似三角形的性质来求解这些线段的长度。
解决复杂几何图形中的角度问题
同样地，在一些复杂的几何图形中，可能难以直接证明某些角相等或互补。但是， 如果这些图形中包含有相似三角形，那么可以利用相似三角形的性质来证明这些角 的相等性或互补性。
案例分析
例如，在分析某种商品的需求情况时，可以构建以价格为自变量、需求量为因变量的直角坐 标系。然后，通过绘制不同价格水平下的需求曲线，并利用相似三角形原理进行分析，可以 得出该商品的价格弹性以及不同价格水平下的需求量预测。
生物医学图像处理中特征提取技术
生物医学图像处理中的特征提取：在 生物医学图像处理中，特征提取是一 个重要的步骤，用于从图像中提取出 有意义的信息以进行后续的分析和诊 断。相似三角形在特征提取技术中发 挥着关键作用。
相似三角形应用举例
回顾
相似三角形的判定
(1) 定义法
（2）通过平行线.（A型 X型）
（3）三边对应成比例.
（4）两边对应成比例且夹角相等 .
（5）两角相等.
（6）直角三角形
相似三角形的性质 （1）对应边的比相等，对应角相等. （2）对应高的比，对应中线的比、对应角平分 线的比都等于相似比. （3）周长的比等于相似比. （4）面积的比等于相似比的平方.
一题多解
还可以有其他方法测量吗？
B E
┐ F
△ABO∽△AEF
平面镜
A
OB
OA
=
EF
AF
┐ O
OA ·EF OB =
AF
利用三角形相似可以解决一些不能直接测 量的物体的长度的问题
例5. 如图,为了估算河的宽度,我们可以在河对岸选 定一个目标点P,在近岸取点Q和S,使点P、Q、S共线且直 线PS与河垂直,接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适 当的点T,确定PT与点Q且垂直PS的直线b的交点R.如果测 得QS=45m,ST=90m,QR=60m,求河的宽度PQ.
分析:如图,设观察者眼睛的位置(视点)为点F(EF近似为人 的身高),画出观察者的水平视线FG ,它交AB、 CD于点H 、 K.视线FA、 FG的夹角∠ AFH是观察点A的仰角.能看到C 点．类似地, ∠ CFK是观察点C时的仰角,由于树的遮挡,区 域Ⅰ和Ⅱ都在观察者看不到的区域(盲区)之内.再往前走就 根本看不到C点了.
乐山大佛
世界上最高的树 —— 红杉
怎样测量这些非常高 大物体的高度？
台湾最高的楼 ——台北101大楼
怎样测量河宽？
世界上最宽的河 ——亚马孙河
利用三角形的相似,可以解决一些不能直接测量 的物体的长度问题,下面请看几个例子.
相似三角形的判定
(1) 定义法
（2）通过平行线.（A型 X型）
（3）三边对应成比例.
（4）两边对应成比例且夹角相等 .
（5）两角相等.
（6）直角三角形
相似三角形的性质 （1）对应边的比相等，对应角相等. （2）对应高的比，对应中线的比、对应角平分 线的比都等于相似比. （3）周长的比等于相似比. （4）面积的比等于相似比的平方.
一题多解
还可以有其他方法测量吗？
B E
┐ F
△ABO∽△AEF
平面镜
A
OB
OA
=
EF
AF
┐ O
OA ·EF OB =
AF
利用三角形相似可以解决一些不能直接测 量的物体的长度的问题
例5. 如图,为了估算河的宽度,我们可以在河对岸选 定一个目标点P,在近岸取点Q和S,使点P、Q、S共线且直 线PS与河垂直,接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适 当的点T,确定PT与点Q且垂直PS的直线b的交点R.如果测 得QS=45m,ST=90m,QR=60m,求河的宽度PQ.
分析:如图,设观察者眼睛的位置(视点)为点F(EF近似为人 的身高),画出观察者的水平视线FG ,它交AB、 CD于点H 、 K.视线FA、 FG的夹角∠ AFH是观察点A的仰角.能看到C 点．类似地, ∠ CFK是观察点C时的仰角,由于树的遮挡,区 域Ⅰ和Ⅱ都在观察者看不到的区域(盲区)之内.再往前走就 根本看不到C点了.
乐山大佛
世界上最高的树 —— 红杉
怎样测量这些非常高 大物体的高度？
台湾最高的楼 ——台北101大楼
怎样测量河宽？
世界上最宽的河 ——亚马孙河
利用三角形的相似,可以解决一些不能直接测量 的物体的长度问题,下面请看几个例子.
九年级数学《相似三角形的应用举例》课件
练习 在某一时刻，测得一根高为1.8m 的竹竿的影长为3m，同时测得一栋高楼的影长 为90m，这栋高楼的高度是多少？
D
A
F
E
C
B
E
例5 已知左、右并排的两棵大树的=5m，一个身高1.6m的人沿着正 对这两棵树的一条水平直路ι 从左向右前进，当他与左边 较低的树的距离小于多少时， 就不能看到右边较高的树的顶 端点C？
设观察者眼晴的位置（视点） 为F，∠CFK和∠AFH分别是 观察点C、A的仰角，区域Ⅰ 和区域Ⅱ都在观察者看不到 的区域（盲区）之内。
PQ×90=(PQ+45) ×60，
解得PQ=90.
Q
Rb
因此河宽大约为90m。
S
Ta
练习
如图，测得BD=120m，DC=60m，EC= 50m，求河宽AB。
解：∵∠B=∠C=90°，
∠ADB=∠EDC， A
∴△ABD∽△ECD，
AB：EC=BD：DC，
AB=50×120÷60
B
=100（m）
C D
例3 据史料记载，古希腊 数学家、天文学家泰勒曾 利用相似三角形的原理， 在金字塔影子的顶部立一 根木杆，借助太阳光线构 成两个相似三角形，来测 量金字塔的高度。 如图，如果木杆EF长2m， 它的影子FD长为3m测得 OA为201m，求金字塔的 高度BO。
如何测量OA 的长？
解：太阳光是平行光线，因此
旗杆的高度
人身高和
和影长组成 相似于 影长组成
的三角形
的三角形
再利用相似三角形对
应边成比例来求解.
方法2
A
C
B
D
E
把一小镜子放在离旗（AB）的点E处，然后沿着直线BE后 退到点D，这时恰好在镜子里看到旗杆顶点A，再用皮尺量得DE 长，量得观察者目高。再利用相似三角形对应边成比例来求解
相似三角形应用举例-视线遮挡问题课件
解得 EH=8（m）
由此可见，当她与左边较低的树的距离小 于8m时，就不能看到右边较高的树的顶点 C 了.
1.如图所示，一段街道的两边缘所在直线分别为AB， PQ，并且AB∥PQ．建筑物的一端DE所在的直线 MN⊥AB于点M，交PQ于点N．小亮从胜利街的A处， 沿着AB方向前进，小明一直站在点P的位置等候小亮.
∴EM=MK-EK=60-15=45（米）. ∴NF=EM=45（米）. A
即车子向前行驶
P
的距离NF为45米.
H
C
KE
M
B
D
F
N
课堂小结：
解题思路 根据题意建立相似三角形模型
证明三角形相似 得比例线段 COD. ∴ AB OA =3
CD OC 又∵CD=7 cm，∴AB=21 cm. 由题意和图易知 25-2x=21,∴x=2(cm). ∴此零件的厚度为2 cm.
2.当你乘车沿一平坦的大道向前行驶时，你会发现：前 方那些高一些的建筑物好像“沉”到了位于它们前面的矮 一些的建筑后面去了．如图，已知楼高AB=18米， CD=10米，BD=15米，在N处的车内小明视点M距地面 2米，此时刚好可以看到楼AB的P处，PB恰好为12米， 再向前行驶一段到F处，从距离地面2米高的视点E刚好 看不见楼AB，那么车子向前行驶的距离NF为多少米？
分析：如图，设观察者眼睛的位置为点F， 画出观察者的水平视线FG，分别交AB，CD于点 H，K. 视线FA与FG的夹角∠AFH是观察点A时 的仰角. 类似地，∠CFK是观察点C时的仰角. 由 于树的遮挡，区域Ⅰ和Ⅱ，观察者都看不到.
如图1
当仰角∠AFH＜∠CFK时，人能看到小树AB后 面的大树CD的一部分； 当仰角∠AFH＝∠CFK时，人刚好能看 到小树AB后面的大树CD的顶端；
由此可见，当她与左边较低的树的距离小 于8m时，就不能看到右边较高的树的顶点 C 了.
1.如图所示，一段街道的两边缘所在直线分别为AB， PQ，并且AB∥PQ．建筑物的一端DE所在的直线 MN⊥AB于点M，交PQ于点N．小亮从胜利街的A处， 沿着AB方向前进，小明一直站在点P的位置等候小亮.
∴EM=MK-EK=60-15=45（米）. ∴NF=EM=45（米）. A
即车子向前行驶
P
的距离NF为45米.
H
C
KE
M
B
D
F
N
课堂小结：
解题思路 根据题意建立相似三角形模型
证明三角形相似 得比例线段 COD. ∴ AB OA =3
CD OC 又∵CD=7 cm，∴AB=21 cm. 由题意和图易知 25-2x=21,∴x=2(cm). ∴此零件的厚度为2 cm.
2.当你乘车沿一平坦的大道向前行驶时，你会发现：前 方那些高一些的建筑物好像“沉”到了位于它们前面的矮 一些的建筑后面去了．如图，已知楼高AB=18米， CD=10米，BD=15米，在N处的车内小明视点M距地面 2米，此时刚好可以看到楼AB的P处，PB恰好为12米， 再向前行驶一段到F处，从距离地面2米高的视点E刚好 看不见楼AB，那么车子向前行驶的距离NF为多少米？
分析：如图，设观察者眼睛的位置为点F， 画出观察者的水平视线FG，分别交AB，CD于点 H，K. 视线FA与FG的夹角∠AFH是观察点A时 的仰角. 类似地，∠CFK是观察点C时的仰角. 由 于树的遮挡，区域Ⅰ和Ⅱ，观察者都看不到.
如图1
当仰角∠AFH＜∠CFK时，人能看到小树AB后 面的大树CD的一部分； 当仰角∠AFH＝∠CFK时，人刚好能看 到小树AB后面的大树CD的顶端；
相似三角形的应用课件初中数学PPT课件
相似三角形可以与三角函数、向量等知识点结合，解决更广泛的实际问题。
相似三角形在现实生活中的应用
相似三角形在现实生活中有着广泛的应用，如建筑设计、地理测量、物理实验等。通过了解 这些应用，可以更好地理解相似三角形的重要性和实用性。
THANKS
感谢观看
构造相似三角形，通 过已知条件求解未知 边长。
利用相似三角形证明角相等
通过证明两个三角形相似，进 而证明对应角相等。
利用相似三角形的性质，通过 已知角求解未知角。
构造相似三角形，通过证明对 应角相等来证明两角相等。
利用相似三角形解决面积问题
通过已知相似三角形的边长比例， 利用面积公式求解未知面积。
构造相似三角形，通过已知条件 求解未知面积。
利用相似三角形的性质，通过已 知面积求解未知面积。
03 相似三角形在代 数问题中应用
利用相似三角形建立方程
通过相似三角形的性质，建立比例关 系，从而构建方程。
结合图形与代数方法，将几何问题转 化为代数问题。
利用已知边长和角度，通过相似三角 形对应边成比例的性质，列出方程。
通过比较两个三角形的对应角或对应边来判断它们是否相似。
相似三角形的应用
利用相似三角形可以解决一些实际问题，如测量高度、计算距离等。
易错难点剖析及注意事项提醒
易错点
在判断两个三角形是否相似时， 需要注意对应角和对应边的关系，
避免出现错误。
难点
在实际问题中，如何准确地找到相 似三角形并应用其性质进行求解是 一个难点。
结合相似三角形的性质， 解决一些综合性的问题。
04 相似三角形在三 角函数问题中应 用
利用相似三角形推导三角函数公式
通过相似三角形的性质，推导正弦、余弦、正切等基本三角函数公式。 引导学生理解三角函数公式与相似三角形之间的联系，加深对公式的理解和记忆。
相似三角形在现实生活中的应用
相似三角形在现实生活中有着广泛的应用，如建筑设计、地理测量、物理实验等。通过了解 这些应用，可以更好地理解相似三角形的重要性和实用性。
THANKS
感谢观看
构造相似三角形，通 过已知条件求解未知 边长。
利用相似三角形证明角相等
通过证明两个三角形相似，进 而证明对应角相等。
利用相似三角形的性质，通过 已知角求解未知角。
构造相似三角形，通过证明对 应角相等来证明两角相等。
利用相似三角形解决面积问题
通过已知相似三角形的边长比例， 利用面积公式求解未知面积。
构造相似三角形，通过已知条件 求解未知面积。
利用相似三角形的性质，通过已 知面积求解未知面积。
03 相似三角形在代 数问题中应用
利用相似三角形建立方程
通过相似三角形的性质，建立比例关 系，从而构建方程。
结合图形与代数方法，将几何问题转 化为代数问题。
利用已知边长和角度，通过相似三角 形对应边成比例的性质，列出方程。
通过比较两个三角形的对应角或对应边来判断它们是否相似。
相似三角形的应用
利用相似三角形可以解决一些实际问题，如测量高度、计算距离等。
易错难点剖析及注意事项提醒
易错点
在判断两个三角形是否相似时， 需要注意对应角和对应边的关系，
避免出现错误。
难点
在实际问题中，如何准确地找到相 似三角形并应用其性质进行求解是 一个难点。
结合相似三角形的性质， 解决一些综合性的问题。
04 相似三角形在三 角函数问题中应 用
利用相似三角形推导三角函数公式
通过相似三角形的性质，推导正弦、余弦、正切等基本三角函数公式。 引导学生理解三角函数公式与相似三角形之间的联系，加深对公式的理解和记忆。
相似三角形的应用PPT课件(华师大版)
MF 31.25
E
F
∴ MF = 20(m). ∴ MN = MF + FN = 20 + 0.8 = 20.8(m).
课堂小结
解类似三角形实际问题的一般步骤： （1）审题. （2）构建图形. （3）利用类似解决问题.
课后作业
1.从教材习题中选取， 2.完成练习册本课时的习题.
教学反思
本节课以生活实例为情境，引导学生探究如 何建立类似的数学模型，构造类似三角形，把实 际问题转化为数学问题（类似）来解决，进一步 提高学生应用数学知识的能力.
新课导入
人们从很早开始，就懂得利用类似三角形的有 关性质来计算那些不能直接测量的物体高度和两地 距离.
推动新课
例6 古代一位数学家想出了一种测量金字
塔高度的方法：如图所示，为了测量金字塔的高度 OB，先竖一根已知长度的木棒 O′B′，比较木棒的 影长 A′B′ 与金字塔的影长 AB，即可近似算出金字 塔的高度 OB．如果 O′B′ = 1 米，A′B′ = 2 米，AB = 274 米，求金字塔的高度 OB .
解 ∵ 太阳光线是平行光线， ∴ ∠OAB = ∠O′A′B′． ∵ ∠ABO = ∠A′B′O′ = 90°． ∴ △OAB∽△O′A′B′ (两角分别相等的两个 三角形类似)，
OB = AB .
O'B' A'B'
OB = AB O'B' = 2741 = 137(米).
A'B'
2
答：金字塔的高度 OB 为 137 米.
分析：先由实际问题建立类似的数学模型，可先 证得 △ABE∽△ACD，再根据对应线段成比例可求
出河宽，即线段 BC 的长. 24m
E
F
∴ MF = 20(m). ∴ MN = MF + FN = 20 + 0.8 = 20.8(m).
课堂小结
解类似三角形实际问题的一般步骤： （1）审题. （2）构建图形. （3）利用类似解决问题.
课后作业
1.从教材习题中选取， 2.完成练习册本课时的习题.
教学反思
本节课以生活实例为情境，引导学生探究如 何建立类似的数学模型，构造类似三角形，把实 际问题转化为数学问题（类似）来解决，进一步 提高学生应用数学知识的能力.
新课导入
人们从很早开始，就懂得利用类似三角形的有 关性质来计算那些不能直接测量的物体高度和两地 距离.
推动新课
例6 古代一位数学家想出了一种测量金字
塔高度的方法：如图所示，为了测量金字塔的高度 OB，先竖一根已知长度的木棒 O′B′，比较木棒的 影长 A′B′ 与金字塔的影长 AB，即可近似算出金字 塔的高度 OB．如果 O′B′ = 1 米，A′B′ = 2 米，AB = 274 米，求金字塔的高度 OB .
解 ∵ 太阳光线是平行光线， ∴ ∠OAB = ∠O′A′B′． ∵ ∠ABO = ∠A′B′O′ = 90°． ∴ △OAB∽△O′A′B′ (两角分别相等的两个 三角形类似)，
OB = AB .
O'B' A'B'
OB = AB O'B' = 2741 = 137(米).
A'B'
2
答：金字塔的高度 OB 为 137 米.
分析：先由实际问题建立类似的数学模型，可先 证得 △ABE∽△ACD，再根据对应线段成比例可求
出河宽，即线段 BC 的长. 24m
相似三角形应用课件
表示两个三角形相似的符 号为“∽”。
相似变换
通过相似变换，可以将一 个三角形的边和角对应地 缩小或放大，得到另一个 三角形。
相似三角形的性质
对应边成比例
周长和面积的比值相等
相似三角形的对应边长之比是一个常 数，这个常数称为相似比。
相似三角形的周长之比等于它们的相 似比，面积之比等于相似比的平方。
对应角相等
确定建筑物的水平角度
通过相似三角形的边长比例关系，结合已知的测量点和角 度，计算出建筑物的水平角度，确保建筑物的方向和定位 准确。
利用相似三角形解决航海定位问题
确定船只的位置
利用相似三角形原理，结合已知的陆地标志和船只的位置，计算出 船只的具体位置，为航行安全和导航提供保障。
确定船只的航向
通过相似三角形，结合已知的陆地标志和船只的航向，计算出船只 的航向，确保船只在正确的航线上航行。
感谢观看
02
相似三角形在几何中的应用
利用相似三角形解决几何问题
计算长度
利用相似三角形的性质， 可以计算出无法直接测量 的长度。
角度计算
通过相似三角形，可以计 算出某些难以测量的角度。
面积和周长
利用相似三角形的面积比 和边长比，可以计算出某 些图形的面积和周长。
利用相似三角形证明几何定理
勾股定理
利用相似三角形，可以证明勾股定理。
利用相似三角形的性质，将实际问题中的比例关系转化为代数方程，从而解决一些复杂的代数与实际问题。
详细描述
在解决一些实际问题时，我们常常需要借助代数方法来描述问题。例如，在计算物体的重量时，我们可 以通过相似三角形的性质，将物体的重量与长度之间的比例关系转化为代数方程，从而计算出物体的重 量。
THANKS
相似变换
通过相似变换，可以将一 个三角形的边和角对应地 缩小或放大，得到另一个 三角形。
相似三角形的性质
对应边成比例
周长和面积的比值相等
相似三角形的对应边长之比是一个常 数，这个常数称为相似比。
相似三角形的周长之比等于它们的相 似比，面积之比等于相似比的平方。
对应角相等
确定建筑物的水平角度
通过相似三角形的边长比例关系，结合已知的测量点和角 度，计算出建筑物的水平角度，确保建筑物的方向和定位 准确。
利用相似三角形解决航海定位问题
确定船只的位置
利用相似三角形原理，结合已知的陆地标志和船只的位置，计算出 船只的具体位置，为航行安全和导航提供保障。
确定船只的航向
通过相似三角形，结合已知的陆地标志和船只的航向，计算出船只 的航向，确保船只在正确的航线上航行。
感谢观看
02
相似三角形在几何中的应用
利用相似三角形解决几何问题
计算长度
利用相似三角形的性质， 可以计算出无法直接测量 的长度。
角度计算
通过相似三角形，可以计 算出某些难以测量的角度。
面积和周长
利用相似三角形的面积比 和边长比，可以计算出某 些图形的面积和周长。
利用相似三角形证明几何定理
勾股定理
利用相似三角形，可以证明勾股定理。
利用相似三角形的性质，将实际问题中的比例关系转化为代数方程，从而解决一些复杂的代数与实际问题。
详细描述
在解决一些实际问题时，我们常常需要借助代数方法来描述问题。例如，在计算物体的重量时，我们可 以通过相似三角形的性质，将物体的重量与长度之间的比例关系转化为代数方程，从而计算出物体的重 量。
THANKS
相似三角形ppt课件
三角形相的应用
3．九年级活动小组计划利用所学的知识测量操场旗杆高度 ．测量方案如 下：如图，小卓在小越和旗杆之间的直线 BM 上平放一平面镜，在镜面 上做了一个标记，这个标记在直线 BM 上的对应位置为点 C，镜子不动， 小卓看着镜面上的标记，他来回走动，走到点 D 时看到旗杆顶端点 A 在 镜面中的像与镜面上的标记点 C 重合，这时测得小卓眼睛与地面的高度 ED＝1.5 米，CD＝1 米，然后在阳光下，小越从 D 点沿 DM 方向走了 15.8 米到达 F 处，此时旗杆的影子顶端与小越的影子顶端恰好重合，测得 FG ＝1.6 米，FH＝3.2 米．已知 AB⊥BM ，ED⊥BM，GF⊥BM，若测量时 所使用的平面镜的厚度忽略不计，请你根据图中提供的相关信息求 出旗杆 AB 的高．
图形 结论 △ABO∽△CDO △FEC∽△DBC
三角形相似的应用
1．周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽．测量时，他
们选择了河对岸岸边的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点 B，使得AB与河岸垂直，并在B点竖起标杆BC，再在AB的延长线上选择点D，竖起标 杆DE，使得点E与点C，A共线．已知CB⊥AD，ED⊥AD，测得BC＝1 m，DE＝1.5 m， BD＝8.5 m．测量示意图如图所示．请根据相关测量信息，求河宽AB.
作业
2．在一个阳光明媚的上午，某实验中学课外实验小组的同学利用所学知 识测量校园内球体景观灯灯罩的半径，小周和他所在的小组计划借助影 长进行测量．小周先在地面上立了一根 0.4 米长的标杆 AB，并测得其影 长 AC 为 0.3 米，同一时刻在阳光照射下，小周再测景观灯 (NG)的影长 GH 为 1.8 米，然后 小组其他成员测得景观灯 KG 的高度为 2.3 米 (记灯罩顶端为 K)．已知此时太阳光所在直线 NH 与灯罩所在⊙O 相切于点 M.请根据以上数 据，计算灯罩的半径．
相似三角形应用举例课件
优化建筑布局
在建筑布局设计中，可以利用相 似三角形原理来优化空间布局， 提高建筑的使用效率和舒适度。
航海中的应用
确定航向
导航定位
在航海过程中，可以利用相似三角形 原理来计算船只与目标之间的角度， 从而确定正确的航向。
在导航定位过程中，可以利用相似三 角形原理来计算船只的位置和航速， 确保航行安全和准确到达目的地。
相似三角形应用举例课件
目录
CONTENTS
• 相似三角形的基本概念 • 相似三角形在生活中的应用 • 相似三角形在数学问题中的应用 • 相似三角形在实际问题中的解决策略 • 相似三角形的综合应用举例
01 相似三角形的基本概念
CHAPTER
相似三角形的定义
01
02
03
相似三角形
如果两个三角形对应的角 相等，则这两个三角形相 似。
如果两个三角形有一个对 应的角相等和一组对应的 边成比例，则这两个三角 形相似。
02 相似三角形在生活中的应用
CHAPTER
测量中的应用
测量建筑物高度
利用相似三角形原理，通过测量 建筑物的影长或其他已知高度的 物体，可以计算出建筑物的高度。
测量河流宽度
在河流两岸分别设置标杆，利用相 似三角形原理，可以计算出河流的 宽度。
示例
证明两条线段相等，可以通过构造两个三角形，使它们相似，然后利用对应边成比例的性 质来证明线段相等。
在代数问题中的应用
01
总结词
利用相似三角形的性质，解决代数方程或不等式问题。
02 03
详细描述
在代数问题中，有时需要通过解方程或不等式来求解未知数。通过构造 相似三角形，可以利用相似三角形的性质，如对应边成比例、对应角相 等，来转化方程或不等式，从而简化求解过程。
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练习 在某一时刻，测得一根高为1.8m 的竹竿的影长为3m，同时测得一栋高楼的影长 为90m，这栋高楼的高度是多少？
D
A
F
E
C
B
• 2、在△ABC中，在△ABC中，
A
DE∥BC，若AD：DB=1：3，DE=2，
则BC的长为（ ）
D
E
B
C
例3 据史料记载，古希腊 数学家、天文学家泰勒曾 利用相似三角形的原理， 在金字塔影子的顶部立一 根木杆，借助太阳光线构 成两个相似三角形，来测 量金字塔的高度。 如图，如果木杆EF长2m， 它的影子FD长为3m测得 OA为201m，求金字塔的 高度BO。
在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q
垂直PS的直线b的交点R，如果测得QS=45m，ST=90m，QR=
60m。求河的宽度PQ。
解：∵∠PQR=∠PST=90°，∠P=∠P,
∴△PQR∽△PST。
PQ：PS=QR:ST，
P
即PQ：（PQ+QS）=QR：ST，
PQ：（PQ+45）=60:90,
如何测量OA 的长？
解：太阳光是平行光线，因此
∠BAO= ∠ EDF ， 又 ∠ AOB=∠DFE=90°，∴△ABO∽△DEF
BO：EF=OA：FD
BO OA• EF 201 2 134.
FD
3
因此金字塔的 高为134m。
例4 如图为了估算河的宽度，我们可以在河对岸定一个目标点P，
在近岸取点Q和S，使点P、Q、S共线且直线PS与河垂直，接着
PQ×90=(PQ+45) ×60，
解得PQ=90.
Q
Rb
因此河宽大约为90m。
S
Ta
练习
如图，测得BD=120m，DC=60m，EC= 50m，求河宽AB。
解：∵∠B=∠C=90°，
∠ADB=∠EDC， A
∴△ABD∽△ECD，
AB：EC=BD：DC，
AB=50×120÷60
B
=100（m）
C D
解：假设观察者从左向右走到点E时，他的眼睛的
位置点F与两棵树的顶端点A、C在一条直线上。
∵AB⊥ι，CD⊥ι，
∴AB∥CD，△AFH∽△CFK，
∴FH：FK=AH：CK，
即
FH FH
5
8 1.6 12 1.6
6.4 10.4，
解得FH=8.
当他与左边较低的树的距离小 于8m时，就不能看到右边较高 的树的顶端点C。
E
例5 已知左、右并排的两棵大树的高分别是 AB=8m和CD=12m，两树的根部的距离 BD=5m，一个身高1.6m的人沿着正 对这两棵树的一条水平直路ι 从左向右前进，当他与左边 较低的树的距离小于多少时， 就不能看到右边较高的树的顶 端点C？
设观察者眼晴的位置（视点） 为F，∠CFK和∠AFH分别是 观察点C、A的仰角，区域Ⅰ 和区域Ⅱ都在观察者看不到 的区域（盲区）之内。
相似三角形应用举例
相似三角形的判定
（1）通过平行线。 （2）三边对应成比例. （3）两边对应成比例且夹角相等 。 （4）两，对应角相等 （2）相似三角形的周长比等于相似比 （3）相似三角形的面积比等于相似比的平方 （4）相似三角形的对应边上的高、中线、角
平分线的比等于相似比
复习
• 1、根据下列条件能否判定△ABC与△A′B′C′相似？ 为什么？
• (1) ∠A=120°，AB=7 ，AC=14 ∠A′=120°，A′B′=3 ，A′C′=6
• (2) AB=4 ，BC=6 ，AC=8 B′C′=18 ，A′C′=21
A′B′=12 ，
• (3) ∠A=70°,∠B=48°, ∠A′=70°, ∠C′=62°