扫雪问题的数学模型

扫雪问题的数学模型 Revised by Jack on December 14,2020

扫雪问题

摘要

本问题是一个寻求最佳路线的问题，通过分析，根据图论中的E图和H图的算法，以及改良圈的算法，把每个公交路线看做节点，根据路线图可构造一个赋权图G=,其中扫雪路线应是一条经过G的每条边至少一次的回路。若G是Euler图，则任何一条Euler回路是最短投递路线,都满足条件，针对这种情况，Fleury提出一种算法，能够在Euler图中找出Euler路径，解决了扫雪问题；若G 不是Euler图，则扫雪路线将重复经过某些街道，最优扫雪路线应使得重复经过的街道的总长度最短。这就需要根据改良圈的算法解决这个问题，从而解决最佳路线的问题。

一、问题重述

由于马里兰州威考密科县中路线的错综复杂，而延伸出了扫雪问题

地图中的实线表示马里兰州威考密科县中扫雪区域中的二车道马路，虚线表示州属高速公路。一场雪后，从位于地图＊标记地点以西４英里的二处车库派出二辆扫雪车。求用二辆车扫清马路上的雪的有效方法，扫雪车可以利用高速公路进出扫雪区。（假设扫雪车既不会发生故障也不停顿，在交叉路口不需特别的扫雪方

二、问题的分析

本问题是一个寻求最佳路线的问题，通过分析，根据图论中的E图和H图的算法，以及改良圈的算法，把每个公交路线看做节点，根据路线图可构造一个赋权图G=,其中扫雪路线应是一条经过G的每条边至少一次的回路。若G是Euler图，则任何一条Euler回路是最短投递路线,都满足条件，针对这种情况，Fleury提出一种算法，能够在Euler图中找出Euler路径，解决了扫雪问题；若G 不是Euler图，则扫雪路线将重复经过某些街

道，最优扫雪路线应使得重复经过的街道的总长度最短。这就需要根据改良圈的算法解决这个问题，从而解决最佳路线的问题。

三、模型的假设与符号说明

1. 模型的假设

（1）假设在扫雪过程中不考虑天气，故障因素的影响

（2）假设扫雪车既不会发生故障也不停顿，在交叉路口不需特别的扫雪方

（3）两辆扫雪车的性能一样，且在扫雪过程中不会出现任何的耽搁.

2. 符号说明

V：代表公路的边即边集

E;代表各个公路的交叉点即顶点集

U：代表顶点集合

四、模型的准备

因为派出了两辆车去扫雪，所以必须考虑两辆车的分配工作，只有合理的分配这两辆车，才能使资源得到合理的配置，下面我们来考虑这两辆车的分配问题，

如果能把道路分成俩部分，使得两部分都是联通的，又第一部分的总长度，与第二部分的总长度相等，两辆车都在各自分得的那部分单车进行扫雪，但是对一般的路往往是不行的，比如本道题的道路是星形的道路，所以根据路的具体情况，我们把路分为南片和北片俩个分别连通的，切使俩片的工作量相等，如果部相等，我们可以根据需要在边界线处稍作调整，从而使工作量相等，观察此具体形势，从A车出发点向东行，粗实线以北归A车扫，以南归B车

五、模型的建立（和求解）

地图是Euler图的情形

这种情况，只需求出地图相应的图上的一条Euler回路，且按寻找这条Euler回路时边的出现顺序来安排扫雪的工作顺序即可（设寻Euler回路）时从高速公路上一路口开始，把路口（例如十字路口，丁字路口）是为图的顶点，地图上的道路段是为边）

在Euler图上求取Euler回路，可用下面的Fleury算法Fleury算法

（1）

function T =Fleuf1(d)

n=length(d);

b=d;

b(b==inf)=0;

b(b~=0)=1;

m=0;

a=sum(b);

eds=sum(a)/2;

ed=zeros(2,eds);

vexs=zeros(1,eds+1);

matr=b;

for i=1:n

if mod(a(i),2)==1

m=m+1;

end

end

if m~=0

fprintf('there is not exist Euler path.\n'); T=0;

c=0;

end

if m==0

vet=1;

flag=0;

t1=find(matr(vet,:)==1);

for ii=1:length(t1)

ed(:,1)=[vet;t1(ii)];

vexs(1,1)=vet;

vexs(1,2)=t1(ii);

matr(vexs(1,2),vexs(1,1))=0;

flagg=1;

tem=1;

while flagg

[flagg,ed]=edf(matr,eds,vexs,ed,tem); tem=tem+1;

if ed(1,eds)~=0 & ed(2,eds)~=0

T=ed;

T(2,eds)=1;

c=0;

for g=1:eds

c=c+d(T(1,g),T(2,g));

end

flagg=0;

break;

end

end

end

end

T

c

若图中的扫雪街道不是E图

则扫雪路线将重复经过某些街道，最优扫雪路线应使得重复经过的街道的总长度最短，与最短路问题相反，我们试图寻找一个比较好的方法，但不一定是最优解；首先给出近似最优的改良后的最邻近算法，称为改良圈算法，改良圈算法是一种近似算法，给出的结果不一定是最优的，但是有理由认为它常常是比较好的，这就是类似哈密顿图的解决方法

function d1=glf(d)

n=size(d,2);

c=[linspace(1,n,n) 1];

c1=c;

if n>3

for v=4:n+1

for i=1:(v-3)

for j=(i+2):(v-1)

if(d(c(i),c(j))+d(c(i+1),c(j+1))

for k=(i+1):j

c1(k)=c(j+i+1-k);

end

c1((j+1):v)=c((j+1):v);

end

end

end

end

elseif n<=3

if n<=2

fprintf('It does not exist hamilton cicle.');

else

fprintf('Any circle is the right answer.');