工程优化设计优化模型
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=MT/WT [ ]
MT –轴所传递的最大转矩;
WT –抗扭截面系数,对实心轴:WT=d 3/16. [ ]–许用扭转应力. g1(x)=16MT /d 3 - [ ] 0.
工程优化问题建模
工程优化问题模型举例三: 传递转矩的等截面轴的最优设计
(2) 扭转变形上界限制
=MT*l /(G*Jp) [ ]
– 扭转角; G – 材料的剪切弹性模数;
Jp – 极惯性矩, 对实心轴
Jp=d4/32 [ ] –许用扭转角
g2(x)=32MT*l /Gd 4 - [ ] 0.
(3) 几何尺寸约束
dmin d dmax lmin l lmax
工程优化问题建模
工程优化问题模型举例四: 保证动力稳定性的变截面高转速轴 的最优设计
Minimize C=FTU
Subject to V= xivi V*
-体积约束
F=KU
-结构平衡方程
xi
0 xi 1
K 为刚度矩阵, K=K(X) F 为载荷向量, U 位移, vi 单元i体积 C 为结构总体柔度
工程优化问题建模
工程优化问题建模
随机优化模型
价格
混凝土 钢筋 模壳
M ：在95%概率下拟承受的弯矩。取值在[105, 2*105 区间服从均匀分布。
(2) 载荷不超过弯曲临界载荷:
根据欧拉压杆公式, 对于两端均为铰支的压 杆, 弯曲临界载荷(与长度有关):
Pc
2 EJ
l2
E—材料弹性模量;J—横截面的最小惯性矩;EJ—为弯曲刚度.
对于不同的端部约束, 上式为:
Pc
2EJ ( l)2
>1, 安全系数.
工程优化问题建模
工程优化问题模型举例五: 压杆的最优设计
gi(x)0, i=1,2,…, q
Find x Minimize F(x) Subject to h(x)=0 and g(x) 0
工程优化问题建模
工程优化问题模型: 三要素
1. 设计变量 2. 目标函数 3. 约束条件
• 等式约束 • 不等式约束
x=(x1,x2,…,xn) F(x)=(f1(x), f2(x), …, fm(x))
n= g
=
10.67 Ql3 ( 1, E 2是.38材) 料弹性模量
E d14
d
4 2
Q是中间轮子质量
g--重力加速度
工程优化问题建模
工程优化问题模型举例四: 保证动力稳定性的变截面高转速轴 的最优设计
令: n=K, K>1, 安全系数, 给定.
这样得约束条件:h1(d1, d2 )
(d
2 2
d12
)
[
]
0
d1,min d1 d1,max, d2,min d2 d2,max. lmin l lmax
工程优化问题建模
工程优化问题模型举例六: 汽车转向机构最优设计
左轮与AE 杆固定
右轮与BF 杆固定
AE摆动 角
’ = ()
’ 随 变化, 选择ABEF使
工程优化问题建模
工程优化问题模型举例七: 离散变量优化例子
能力约束机器调度问题(Capacitated machine scheduling) n个加工量为{d1,d2,…,dn}的产品在一台机器上加工,机器在 第t个时间段(1天或1周)的工作能力为ct, 求完成所有加工的 最少时间段数.
min T
m=AE=BF
工程优化问题建模
工程优化问题模型举例六: 汽车转向机构最优设计
1. 设计变量 X=(0, m ) 2. 设计目标 偏差的加权和最小:
0
Rmin前外轮最小转弯半径.
工程优化问题建模
工程优化问题模型举例六: 汽车转向机构最优设计
3. 约束条件
四杆机构的转动角 不宜太小, 取 min=400, 据此, 有:
n
xij 1, j 1,2,..., n
i 1
xij s 1, 2 s n 1, s {1,2,..., n}
i, js
xij {0,1}
2 x13=1 x32=1
3 x24=1 x41=1 其余 xij=0
不能有子回路
工程优化问题建模
工程优化问题建模
min s. t.
u1u3，
dx4 dt
c x5
u2u3-g,
dx5 dt
u3
x1, x2
火箭位置坐标
x3=dx1/dt,
x4 =dx2/dt
x5
火箭质量
u1, u2
火推力向量方向余弦
u3=-dx5/dt 质量流失率
c
有效排气速度
g
重力加速度
x t t0
(x10 , x20 , x30 , x40 , x50 )
KU=F
工程优化问题建模
工程优化问题模型举例八: 结构优化设计例子
结构优化分类: 尺寸优化, 形状优化, 拓扑优化
工程优化问题建模
工程优化问题模型举例八: 结构优化设计例子
工程优化问题建模
工程优化问题模型举例八: 结构优化设计例子
最小柔度的拓扑优化问题
Find
X=(x1, x2, …, xn) –单元密度
g1(x)=-L0 g2(x)=-W0
工程优化问题建模
工程优化问题模型举例二: 阶梯型悬臂粱设计
截面尺寸
弹性模量 总长 最大容许应力
工程优化问题建模
工程优化问题模型举例二: 阶梯型悬臂粱设计
参见<材料力学>
参见<材料力学>
工程优化问题建模
1=PLh1/(2I1)
y6
6
V bihili i 1
t1 t0
f0 (x(t),u(t))dt
s.t.
dx dt
f (x,u(t)),x(t0 )
x0
状态方程
u(t) U
控制量约束
(x(t f ),t f ) 0
终点约束
min u
J (u)
t1 t0
x3
dt
s.t.
dx1 dt
x3
,
dx2 dt
x4 ,
dx3 dt
c x5
hi(x)=0, i=1,2,…ห้องสมุดไป่ตู้ p gi(x)0, i=1,2,…, q
优化问题分类 1. 单目标优化问题 2. 多目标优化问题
工程优化问题建模
工程优化问题模型举例一: 篱笆围墙设计
Find: x=(L,W) Minimize: F(x)＝-(ＬＷ+W2/4) Subject to: h(x)=2L+ W=400
1 2
T
d
f
u
dS
1 2
TC
d
f
u dS
总势能
应变能
外力作功
在外力做功条件下,刚体产生动能与势能,弹性体还产生应变能.
1.在静态时,动能为零, 剩下势能与应变能. 2. 在静态平衡时, 势能达到最小值.
(直观地讲,在最低点时才不会自动往高处运动)
上式有个符号变化,不影响极值性
目标-2
即每个目标的减小方向上 均无其它解.
目标-1
解可有多个.
设计变量-2
设计变量-1
工程优化问题建模
工程优化问题模型举例三: 传递转矩的等截面轴的最优设计
1. 设计变量 x=(x1, x2)=(d, l )
2. 设计目标 轴的质量最小
F(x)=W=*(d2/4)*l
工程优化问题建模
工程优化问题模型举例三: 传递转矩的等截面轴的最优设计 3. 约束条件 (1) 扭转应力上界限制
工程优化问题建模
工程优化问题模型举例七: 离散变量优化例子
旅行商问题(Traveling Salesman Problem, TSP)
min s.t.
1
dij xij
i j
4
n
xij 1, i 1,2,..., n
j 1
2 x12=1
1
x23=1
3 x34=1
4
x41=1
其余 xij=0
忽视第一强度理论中的脆断准则
工程优化问题建模
工程优化问题模型举例八: 结构优化设计例子
3. 约束条件
第三强度理论中的 屈服准则
u u
f s=0
f s=0
通常变换为位移的方程,变量减少
应力 (u) C
外力 f
x
u x
弹性力学方程 表征物体总势能达到最小的一种力平衡状态：
E(u)
fc ：混凝土强度,取值在[25, 35]MPa区间服从均匀 分布。
fs ：钢筋强度,取值在[500, 550]MPa区间服从均匀 分布。
随机优化模型
DV： x1:=b, x2:= d, x3:= As， 确定量 目标：成本
f ( X ) Cs x3 Cc (x1x2 x3 ) 2C f (x1 x2 )
约束：强度要求
钢筋与混凝土比例要求
几何范围
工程优化问题建模
工程优化问题模型举例九: 动力系统控制
优化变量: F(t), (t)
目标: L=x(tf)
约束: y(tf)=0, m(tf)>
以及ODE
工程优化问题建模
最优控制数学模型
终点目标
过程性能
min u
J (u) (x(t f ),t f )
x=(x1,x2,…,xn) Rn
工程优化问题模型
Minimize: F(x)= ( f1(x), f2 (x),..., fm (x))
Subject to: hi(x)=0, i=1,2,…, p
gi(x)0, i=1,2,…, q
min F(x) s. t. hi(x)=0, i=1,2,…, p
1. 设计变量 x=(d1, d2)
2. 设计目标 轴的质量最小
F(x)=W=*( l /4)* (2d12+ d22 )
工程优化问题建模
工程优化问题模型举例四: 保证动力稳定性的变截面高转速轴 的最优设计
3. 约束条件
(1) 旋转角速度 要小于临界转速c:
达到临界转速时, 轴便处于共振状态. 临界转速c数值 上等于 轴的横向振动(弯曲振动)的固有频率n:
d1 d2
s.t.
T
xit 1,
i 1,2,...,n
t 1
n
di xit ct , t 1,2,...,T
i1
xit {0,1}
c1
这里目标函数T 比较特殊,没有表达式.
x23=1, x2t=0, t3
c2
c3
工程优化问题建模
工程优化问题模型举例八: 结构优化设计例子
’
Ctg=OC/L
Ctg=OD/L
OC-OD=K
Ctg - Ctg=K/L
’ 逼近
是右轮与左 轮同心的角度
四轮都在同心圆上
工程优化问题建模
工程优化问题模型举例六: 汽车转向机构最优设计
由轮子的同心运动要求, 得出理想参数关系: ctg-ctg=K/L 所以, =f()=ctg-1(ctg-K/L) 然而, 四联杆能够产生的参数关系是:
Eg
10.67Ql 3 2 K 2
( 1 d14
2.38 )
d
4 2
0
(2) 几何尺寸约束
d1,min d1 d1,max d2,min d2 d2,max
工程优化问题建模
工程优化问题模型举例五: 压杆的最优设计
1. 设计变量 x=(d1, d2, l ) P
2. 设计目标 体积最小
内容提要
• 工程优化问题建模 • 优化数学理论 • 一维搜索方法 • 无约束问题直接搜索方法 • 无约束问题间接接搜索方法 • 约束问题直接搜索方法 • 线性规划与二次规划问题求解 • 约束问题间接搜索方法 • 特殊优化问题求解方法 • 启发式算法 • 优化计算与软件系统
工程优化问题建模
Find:
F(x)=V=( /4)* (d22- d12 )* l
3. 约束条件
(1) 应力不超过材料的弹性极限:
g1
(d1,
d2
)
4P
(d
2 2
d12
)
[
]
0
即单位截面的受力大小受限制, 否则会 出现断裂. 与长度无关.
>1, 安全系数.
工程优化问题建模
工程优化问题模型举例五: 压杆的最优设计
(3) 几何尺寸约束
d1,min d1 d1,max, d2,min d2 d2,max. lmin l lmax
Find x=(d1, d2, l )
Minimize F(x)=( /4)* (d22- d12 )* l
Subject to
g1 (d1 ,
d2
)
4P
工程优化问题建模
工程优化问题模型举例八: 结构优化设计例子
离合器盖结构
工程优化问题建模
工程优化问题模型举例八: 结构优化设计例子
离合器盖结构 1. 设计变量
X=(Z1,Z2,…,Z6,t), t—厚度 Zi—曲线高度坐标
2. 设计目标
工程优化问题建模
工程优化问题模型举例八: 结构优化设计例子
离合器盖结构 3. 约束条件
li
6
Find:
x=(h1, h2, …, h6)
Minimize: F(x)=( 1(x), y6(x), V(x) )
Subject to: bi=hi/20,
li=hi/10,
i
hi 70, -hi-5
i=1,2,…,6.
工程优化问题建模
多目标优化问题的解 被称为“非劣解”:
MT –轴所传递的最大转矩;
WT –抗扭截面系数,对实心轴:WT=d 3/16. [ ]–许用扭转应力. g1(x)=16MT /d 3 - [ ] 0.
工程优化问题建模
工程优化问题模型举例三: 传递转矩的等截面轴的最优设计
(2) 扭转变形上界限制
=MT*l /(G*Jp) [ ]
– 扭转角; G – 材料的剪切弹性模数;
Jp – 极惯性矩, 对实心轴
Jp=d4/32 [ ] –许用扭转角
g2(x)=32MT*l /Gd 4 - [ ] 0.
(3) 几何尺寸约束
dmin d dmax lmin l lmax
工程优化问题建模
工程优化问题模型举例四: 保证动力稳定性的变截面高转速轴 的最优设计
Minimize C=FTU
Subject to V= xivi V*
-体积约束
F=KU
-结构平衡方程
xi
0 xi 1
K 为刚度矩阵, K=K(X) F 为载荷向量, U 位移, vi 单元i体积 C 为结构总体柔度
工程优化问题建模
工程优化问题建模
随机优化模型
价格
混凝土 钢筋 模壳
M ：在95%概率下拟承受的弯矩。取值在[105, 2*105 区间服从均匀分布。
(2) 载荷不超过弯曲临界载荷:
根据欧拉压杆公式, 对于两端均为铰支的压 杆, 弯曲临界载荷(与长度有关):
Pc
2 EJ
l2
E—材料弹性模量;J—横截面的最小惯性矩;EJ—为弯曲刚度.
对于不同的端部约束, 上式为:
Pc
2EJ ( l)2
>1, 安全系数.
工程优化问题建模
工程优化问题模型举例五: 压杆的最优设计
gi(x)0, i=1,2,…, q
Find x Minimize F(x) Subject to h(x)=0 and g(x) 0
工程优化问题建模
工程优化问题模型: 三要素
1. 设计变量 2. 目标函数 3. 约束条件
• 等式约束 • 不等式约束
x=(x1,x2,…,xn) F(x)=(f1(x), f2(x), …, fm(x))
n= g
=
10.67 Ql3 ( 1, E 2是.38材) 料弹性模量
E d14
d
4 2
Q是中间轮子质量
g--重力加速度
工程优化问题建模
工程优化问题模型举例四: 保证动力稳定性的变截面高转速轴 的最优设计
令: n=K, K>1, 安全系数, 给定.
这样得约束条件:h1(d1, d2 )
(d
2 2
d12
)
[
]
0
d1,min d1 d1,max, d2,min d2 d2,max. lmin l lmax
工程优化问题建模
工程优化问题模型举例六: 汽车转向机构最优设计
左轮与AE 杆固定
右轮与BF 杆固定
AE摆动 角
’ = ()
’ 随 变化, 选择ABEF使
工程优化问题建模
工程优化问题模型举例七: 离散变量优化例子
能力约束机器调度问题(Capacitated machine scheduling) n个加工量为{d1,d2,…,dn}的产品在一台机器上加工,机器在 第t个时间段(1天或1周)的工作能力为ct, 求完成所有加工的 最少时间段数.
min T
m=AE=BF
工程优化问题建模
工程优化问题模型举例六: 汽车转向机构最优设计
1. 设计变量 X=(0, m ) 2. 设计目标 偏差的加权和最小:
0
Rmin前外轮最小转弯半径.
工程优化问题建模
工程优化问题模型举例六: 汽车转向机构最优设计
3. 约束条件
四杆机构的转动角 不宜太小, 取 min=400, 据此, 有:
n
xij 1, j 1,2,..., n
i 1
xij s 1, 2 s n 1, s {1,2,..., n}
i, js
xij {0,1}
2 x13=1 x32=1
3 x24=1 x41=1 其余 xij=0
不能有子回路
工程优化问题建模
工程优化问题建模
min s. t.
u1u3，
dx4 dt
c x5
u2u3-g,
dx5 dt
u3
x1, x2
火箭位置坐标
x3=dx1/dt,
x4 =dx2/dt
x5
火箭质量
u1, u2
火推力向量方向余弦
u3=-dx5/dt 质量流失率
c
有效排气速度
g
重力加速度
x t t0
(x10 , x20 , x30 , x40 , x50 )
KU=F
工程优化问题建模
工程优化问题模型举例八: 结构优化设计例子
结构优化分类: 尺寸优化, 形状优化, 拓扑优化
工程优化问题建模
工程优化问题模型举例八: 结构优化设计例子
工程优化问题建模
工程优化问题模型举例八: 结构优化设计例子
最小柔度的拓扑优化问题
Find
X=(x1, x2, …, xn) –单元密度
g1(x)=-L0 g2(x)=-W0
工程优化问题建模
工程优化问题模型举例二: 阶梯型悬臂粱设计
截面尺寸
弹性模量 总长 最大容许应力
工程优化问题建模
工程优化问题模型举例二: 阶梯型悬臂粱设计
参见<材料力学>
参见<材料力学>
工程优化问题建模
1=PLh1/(2I1)
y6
6
V bihili i 1
t1 t0
f0 (x(t),u(t))dt
s.t.
dx dt
f (x,u(t)),x(t0 )
x0
状态方程
u(t) U
控制量约束
(x(t f ),t f ) 0
终点约束
min u
J (u)
t1 t0
x3
dt
s.t.
dx1 dt
x3
,
dx2 dt
x4 ,
dx3 dt
c x5
hi(x)=0, i=1,2,…ห้องสมุดไป่ตู้ p gi(x)0, i=1,2,…, q
优化问题分类 1. 单目标优化问题 2. 多目标优化问题
工程优化问题建模
工程优化问题模型举例一: 篱笆围墙设计
Find: x=(L,W) Minimize: F(x)＝-(ＬＷ+W2/4) Subject to: h(x)=2L+ W=400
1 2
T
d
f
u
dS
1 2
TC
d
f
u dS
总势能
应变能
外力作功
在外力做功条件下,刚体产生动能与势能,弹性体还产生应变能.
1.在静态时,动能为零, 剩下势能与应变能. 2. 在静态平衡时, 势能达到最小值.
(直观地讲,在最低点时才不会自动往高处运动)
上式有个符号变化,不影响极值性
目标-2
即每个目标的减小方向上 均无其它解.
目标-1
解可有多个.
设计变量-2
设计变量-1
工程优化问题建模
工程优化问题模型举例三: 传递转矩的等截面轴的最优设计
1. 设计变量 x=(x1, x2)=(d, l )
2. 设计目标 轴的质量最小
F(x)=W=*(d2/4)*l
工程优化问题建模
工程优化问题模型举例三: 传递转矩的等截面轴的最优设计 3. 约束条件 (1) 扭转应力上界限制
工程优化问题建模
工程优化问题模型举例七: 离散变量优化例子
旅行商问题(Traveling Salesman Problem, TSP)
min s.t.
1
dij xij
i j
4
n
xij 1, i 1,2,..., n
j 1
2 x12=1
1
x23=1
3 x34=1
4
x41=1
其余 xij=0
忽视第一强度理论中的脆断准则
工程优化问题建模
工程优化问题模型举例八: 结构优化设计例子
3. 约束条件
第三强度理论中的 屈服准则
u u
f s=0
f s=0
通常变换为位移的方程,变量减少
应力 (u) C
外力 f
x
u x
弹性力学方程 表征物体总势能达到最小的一种力平衡状态：
E(u)
fc ：混凝土强度,取值在[25, 35]MPa区间服从均匀 分布。
fs ：钢筋强度,取值在[500, 550]MPa区间服从均匀 分布。
随机优化模型
DV： x1:=b, x2:= d, x3:= As， 确定量 目标：成本
f ( X ) Cs x3 Cc (x1x2 x3 ) 2C f (x1 x2 )
约束：强度要求
钢筋与混凝土比例要求
几何范围
工程优化问题建模
工程优化问题模型举例九: 动力系统控制
优化变量: F(t), (t)
目标: L=x(tf)
约束: y(tf)=0, m(tf)>
以及ODE
工程优化问题建模
最优控制数学模型
终点目标
过程性能
min u
J (u) (x(t f ),t f )
x=(x1,x2,…,xn) Rn
工程优化问题模型
Minimize: F(x)= ( f1(x), f2 (x),..., fm (x))
Subject to: hi(x)=0, i=1,2,…, p
gi(x)0, i=1,2,…, q
min F(x) s. t. hi(x)=0, i=1,2,…, p
1. 设计变量 x=(d1, d2)
2. 设计目标 轴的质量最小
F(x)=W=*( l /4)* (2d12+ d22 )
工程优化问题建模
工程优化问题模型举例四: 保证动力稳定性的变截面高转速轴 的最优设计
3. 约束条件
(1) 旋转角速度 要小于临界转速c:
达到临界转速时, 轴便处于共振状态. 临界转速c数值 上等于 轴的横向振动(弯曲振动)的固有频率n:
d1 d2
s.t.
T
xit 1,
i 1,2,...,n
t 1
n
di xit ct , t 1,2,...,T
i1
xit {0,1}
c1
这里目标函数T 比较特殊,没有表达式.
x23=1, x2t=0, t3
c2
c3
工程优化问题建模
工程优化问题模型举例八: 结构优化设计例子
’
Ctg=OC/L
Ctg=OD/L
OC-OD=K
Ctg - Ctg=K/L
’ 逼近
是右轮与左 轮同心的角度
四轮都在同心圆上
工程优化问题建模
工程优化问题模型举例六: 汽车转向机构最优设计
由轮子的同心运动要求, 得出理想参数关系: ctg-ctg=K/L 所以, =f()=ctg-1(ctg-K/L) 然而, 四联杆能够产生的参数关系是:
Eg
10.67Ql 3 2 K 2
( 1 d14
2.38 )
d
4 2
0
(2) 几何尺寸约束
d1,min d1 d1,max d2,min d2 d2,max
工程优化问题建模
工程优化问题模型举例五: 压杆的最优设计
1. 设计变量 x=(d1, d2, l ) P
2. 设计目标 体积最小
内容提要
• 工程优化问题建模 • 优化数学理论 • 一维搜索方法 • 无约束问题直接搜索方法 • 无约束问题间接接搜索方法 • 约束问题直接搜索方法 • 线性规划与二次规划问题求解 • 约束问题间接搜索方法 • 特殊优化问题求解方法 • 启发式算法 • 优化计算与软件系统
工程优化问题建模
Find:
F(x)=V=( /4)* (d22- d12 )* l
3. 约束条件
(1) 应力不超过材料的弹性极限:
g1
(d1,
d2
)
4P
(d
2 2
d12
)
[
]
0
即单位截面的受力大小受限制, 否则会 出现断裂. 与长度无关.
>1, 安全系数.
工程优化问题建模
工程优化问题模型举例五: 压杆的最优设计
(3) 几何尺寸约束
d1,min d1 d1,max, d2,min d2 d2,max. lmin l lmax
Find x=(d1, d2, l )
Minimize F(x)=( /4)* (d22- d12 )* l
Subject to
g1 (d1 ,
d2
)
4P
工程优化问题建模
工程优化问题模型举例八: 结构优化设计例子
离合器盖结构
工程优化问题建模
工程优化问题模型举例八: 结构优化设计例子
离合器盖结构 1. 设计变量
X=(Z1,Z2,…,Z6,t), t—厚度 Zi—曲线高度坐标
2. 设计目标
工程优化问题建模
工程优化问题模型举例八: 结构优化设计例子
离合器盖结构 3. 约束条件
li
6
Find:
x=(h1, h2, …, h6)
Minimize: F(x)=( 1(x), y6(x), V(x) )
Subject to: bi=hi/20,
li=hi/10,
i
hi 70, -hi-5
i=1,2,…,6.
工程优化问题建模
多目标优化问题的解 被称为“非劣解”: