投入产出模型

i 1,2,, n.
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§4.6.1 应 用（二）－投入产出分析 ———————————————————— m j 部门j的纯收入， —
V j 部门j的劳动报酬，
Z j m j V j 部门j的新创造价值
j 1,2,, n
根据上述资料，编制价值型投入产出表：
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§4.6.1 应 用（二）－投入产出分析 ———————————————————— —
§4.6.1 应 用（二）－投入产出分析 ———————————————————— — 投入产出分析由美国经济学家 W.Leontief于20世纪 30年代首先提出，其基本思想是：利用线性代数的理论 和方法，研究一个经济系统的各部门之间错综复杂的联 系，建立相应的数学模型，用于经济分析和预测.
投入产出模型 设一个经济系统有个部门：部门1，部门2，…，部 门n，且规定：（1）部门i仅生产一种产品i（部门i的产 出）.不同部门的产品不能相互替代，即部门与产出一 一对应；（2）在生产过程中，部门j至少需要消耗另一 部门i的产品（部门i对部门j的投入），且部门i对部门j 的投入与部门i的产出成正比.
n
证 仅需证若 | aij | 1, i 1,2,, n的情况.
j 1
设矩阵A属于特征值 的特征向量为
x1 x2 0 x n
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§4.6.1 应 用（二）－投入产出分析 ———————————————————— n A , 则 — 即 aij x j xi , i 1,2,, n
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§4.6.1 应 用（二）－投入产出分析 ———————————————————— 由投入产出表易有 — 产品分配平衡方程组：
xi yi xij , i 1,2,, n
j 1 n
（6.1）
产值构成平衡方程组：
x j z j xij , j 1,2,, n
i 1 n
2
§4.6.1 应 用（二）－投入产出分析 ———————————————————— 先来研究价值型投入产出模型 . 根据往年资料可知， — xi 部门i的产出， xij 部门i对各部门j的投入,
x
j 1
n
ij
部门i的中间产出，
n
yi xi xij 部门i的最终产出，
j 1
（6.2）
（投入＝新创造价值＋物质消耗）
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§4.6.1 应 用（二）－投入产出分析 ———————————————————— — 引入直接消耗系数 xij aij , i, j 1,2,, n xj 显然， aij 表示生产单位产品 j 所需直接消耗产品 i 的数量.
xij aij x j , i, j 1,2,, n 由直接消耗系数的定义知，
性质2
a
i 1
n
ij
1, j 1,2,, n.
n
证（反证法）假设 k ,1 k n，有 aik 1，则
i 1
xik 1 1 aik xk i 1 i 1 xk
n
n
x
i 1
n
ik
xik xk , 矛盾.▍
i 1
n
推论 0 aij 1, i, j 1,2,, n .▍
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§4.6.1 应 用（二）－投入产出分析 ———————————————————— n — Th4.17设矩阵A (a ) ，若 | a | 1, i 1,2,, n或
ij nn

j 1
ij
| a
i 1
n
ij
| 1, j 1,2,, n, 则A的特征值，有 | | 1.
（1）代入（6.1）得
xi yi aij x j , i 1,2,, n
j 1 n
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§4.6.1 应 用（二）－投入产出分析 ———————————————————— a1n x n y1 x1 a11 x1 a12 x 2 — x a x a x a x y 2 21 1 22 2 2n n 2 （6.3） x n a n1 x1 a n 2 x 2 a nn x n y n
a1n— a2n （直接消耗系数矩阵）， a nn
则（6.3）即为 X AX Y 或 ( E A) X Y
（6.4）
直接消耗系数矩阵的性质：
性质1 aij 0, i, j 1,2,, n.
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§4.6.1 应 用（二）－投入产出分析 ———————————————————— xij 0, i, j 1,— 2,, n .▍ 证 aij xj
令
y1 x1 x2 y2 X （产出向量）， Y （投入向量）， y x n n
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§ 4.6.1 应 用（二）－投入产出分析 ————————————————————
a11 a 21 A a n1 a12 a 22 an2
j 1
n
| xj | | xk |
akj 1 akj
j 1
令 | xk | max {| xi |} 0,
1 i n
xk xk 则 | || | 1 | | xk xk
a
j 1
n
kj
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xj
xk xj xk

a
j 1
n
xj
kj
xk
akj
j 1
n
xj xk
akj
j 1
n
akj
1
§4.6.1 应 用（二）－投入产出分析 ———————————————————— —
投入产出模型按计量单位的不同，可分为价值型投 入产出模型和实物型投入产出模型.在价值型投入产出 模型中，各部门的投入，产出均以货币为单位来计量； 在实物型投入产出模型中，各部门的投入，产出均以 实物为单位来计量.