串联谐振电路(教程)

——相频特性 相频特性
H ( jω ) =
H0
ω − ω0 )2 1+ Q ( ω0 ω
2
带宽 B =
ω0
ω − ω0 ) θ (ω ) = − arctan Q( ω0 ω ω0 L 1 =1 L = ρ Q= = r ω 0 Cr r C r
= r (rad/s) Q L
谐振电路具有选频特性 谐振电路具有选频特性 讨论： 讨论： 1、Q值越高，幅频曲 值越高， 、 值越高 线越尖锐， 线越尖锐，电路对偏离 谐振频率的信号的抑制 能力越强， 能力越强，电路的选择 性越好。 性越好。 2、Q值越高，电路带 值越高， 、 值越高 宽越窄。 宽越窄。 3、谐振电路的实际应用举例 、谐振电路的实际应用举例——收音机选台 收音机选台 为减小信号失真要求带宽尽可能宽，希望Q小 为减小信号失真要求带宽尽可能宽，希望 小； 为抑制临近电台信号干扰要求选择性好，希望 大 为抑制临近电台信号干扰要求选择性好，希望Q大； 实际设计时要选取适当Q值 兼顾选择性和带宽要求。 实际设计时要选取适当 值，兼顾选择性和带宽要求。
④无功功率互补
Q ϕ (ω 0 ) = 0
λ = cos 0 o = 1 ∴功率因数
P (ω 0 ) = S cos ϕ = S Q(ω 0 ) = S sin ϕ = 0
并不分别等于零。 但 Q L (ω 0 )，QC (ω 0 ) 并不分别等于零。 2 1 I 2 Q L (ω 0 ) = ω 0 LI 0 , QC (ω 0 ) = − ω 0C 0 它们的绝对值相等，却差了一个负号。 它们的绝对值相等，却差了一个负号。
X = ωL − 1 = 0 ⇒ ω = ωC 1 =ω 0 LC
3、谐振角频率、谐振频率 、谐振角频率、 1 谐振角频率： 谐振角频率： ω 0 = LC
谐、 决定的 与外施激励无关， 决定的， 它们是由电路参数 、C决定的，与外施激励无关，称 固有频率。 为固有频率。
w C 0 max
2 2 I0 2 I0 I0 2 ) = 2 = = C( = LI 0 = w L 0 max 1 C ω 0C ω0 C LC
结论1： 结论 ：谐振时电感和电容 元件储能的最大值相等。 元件储能的最大值相等。 串联谐振电路谐振时总的瞬 时储能为： 时储能为：
w 0 = w L 0 + w C 0 = LI
⑤谐振电路的品质因数 设谐振时电路中电流为： 设谐振时电路中电流为：
uS i0 = = r 2U S cos ω 0 t = 2 I 0 cos ω 0 t r
2 2 则电感瞬时储能为 w L 0 ( t ) = 1 Li 0 = LI 0 cos 2 ω 0 t 2 2I 0 o sin ω 0 t 又 uC 0 ( t ) = 2 I 0 X C 0 cos(ω 0 t − 90 ) = ω 0C 1 Cu 2 = C ( I 0 ) 2 sin 2 ω t 则电容瞬时储能为 w C 0 ( t ) = 0 2 0 ω 0C
串联谐振电路
主要内容： 主要内容： 1、品质因数的定义，电感线圈、电容器的品质因数； 、品质因数的定义，电感线圈、电容器的品质因数； 2、rLC串联电路谐振的条件、谐振特征； 、 串联电路谐振的条件、谐振特征； 串联电路谐振的条件 3、rLC串联谐振电路的选择性、带宽与品质因数的关系。 、 串联谐振电路的选择性、 串联谐振电路的选择性 带宽与品质因数的关系。
一、品质因数 品质因数Q定义 在正弦稳态电路下， 定义： 品质因数 定义：在正弦稳态电路下，元件或谐振电路 储能的最大值与其在一个周期内所消耗能量之比的2π 储能的最大值与其在一个周期内所消耗能量之比的 π 倍。 def 储能的最大值 Q = 2π 周期内消耗的能量 1、电感线圈的品质因数 、 考虑电感线圈的能量损耗时， 考虑电感线圈的能量损耗时， 其电路模型如右。 其电路模型如右。
2 0
结论2：谐振电路中任意时刻 的电磁能量恒为常数 的电磁能量恒为常数， 结论 ：谐振电路中任意时刻t的电磁能量恒为常数， 说明电路谐振时与激励源之间无能量交换。 说明电路谐振时与激励源之间无能量交换。 谐振时，电路中只有r消耗能量。一周期内电阻r所消 谐振时，电路中只有 消耗能量。一周期内电阻 所消 消耗能量 2 2 耗能量为 w r 0 = I 0 rT0 = I 0 r f 0 谐振电路的品质因数为： 谐振电路的品质因数为：
∴ 阻抗角 ϕ = arctan ωCR , 损耗角 δ = 90 o − ϕ 损耗系数 tan δ = 1 = 1 ωCR Q
品质因数越高，损耗系数越小，电容器性能越好。 品质因数越高，损耗系数越小，电容器性能越好。
二、rLC串联谐振电路 串联谐振电路 通常， 通常，电容器损耗比电感线 圈的损耗小很多， 圈的损耗小很多，可忽略不 计，故等效电路如右。 故等效电路如右。 & US Z= = r + j (ωL − 1 ) & ωC I = r + jX
设 i = 2 I cos ωt
则电感的储能为: 则电感的储能为 w L ( t ) = 1 Li 2 ( t ) = LI 2 cos 2 ωt 2 2 w L max = LI
电感最大储能为: 电感最大储能为 一周期内线圈电阻r所消耗能量为 所消耗能量为: 一周期内线圈电阻 所消耗能量为 w r = I 2 rT = I 2 r f 电感线圈的品质因数为: 电感线圈的品质因数为 LI 2 = 2πfL = ωL Q = 2π 2 r r I r f 2、电容器的品质因数 、 考虑电容器的能量损耗时， 考虑电容器的能量损耗时， 其电路模型如右。 其电路模型如右。
2 LI 0 2πf 0 L ω 0 L 1 =1 L = ρ Q = 2π 2 = = = r r ω 0 Cr r C r I 0 rT0
三、rLC串联谐振电路的频率响应 串联谐振电路的频率响应
& & US US & I= = Z r + j (ωL − 1 ) ωC
电路电流的频率响应为： 电路电流的频率响应为：
& 1r I = 1 H ( jω ) = = & U S r + j (ωL − 1 ) ω − ω0 ) 1 + jQ( ωC ω0 ω 令 H0 = 1 r H0 H ( jω ) =
ω − ω0 )2 1+ Q ( ω0 ω
2
——幅频特性 幅频特性
ω − ω0 ) θ (ω ) = − arctan Q( ω0 ω
w L max = LI 2
设 u = 2U cos ωt
1 Cu 2 ( t ) = CU 2 cos 2 ωt 则电容的储能为: 则电容的储能为 w C ( t ) = 2 w C max = CU 2
电容储能最大值为: 电容储能最大值为 w C max = CU 2 一周期内电容损耗电导G所消耗能量为 一周期内电容损耗电导 所消耗能量为: 所消耗能量为 w G = U 2 GT = U 2 G f 电容器的品质因数为: 电容器的品质因数为 CU 2 = 2πfC = ωC = ωCR Q = 2π 2 G G U G f 电容器的性能也常用损耗角或损耗系数来衡量： 电容器的性能也常用损耗角或损耗系数来衡量： R R Q Z C = R // 1 = (1 − jωCR ) = 2 jωC 1 + jωCR 1 + (ωCR )
4、rLC串联谐振的特征： 、 串联谐振的特征： 串联谐振的特征 最小。 ① Z ( jω 0 ) = r ，其阻抗模 Z ( jω 0 ) 最小。
US US = 当输入电压不变时， 当输入电压不变时， I 0 = r Z 最大
实验时成为达到谐振的表征。 实验时成为达到谐振的表征。 ②谐振时感抗与容抗相等。 谐振时感抗与容抗相等。 串联谐振电路的特性阻抗 谐振时的感抗值或容抗值。 特性阻抗： 串联谐振电路的特性阻抗：谐振时的感抗值或容抗值。 ρ = ω0 L = 1 = 1 L = L C ω 0C LC 串联谐振又称为电压谐振 电压谐振。 可能出现过电压现象 串联谐振又称为电压谐振。 过电压现象： ③可能出现过电压现象： & (ω ) = −U (ω ) = jω LI = j ω 0 L U = j ρ U & & & & UL 0 C 0 0 0 S r r S ρ U L (ω 0 ) = U C (ω 0 ) = U S 对于电力系统 电力系统， 对于电力系统，将造成 r 电网的损坏。 电网的损坏。 ρ >> 1时 , U L (ω 0 )，U C (ω 0 )很大 r 对于电子线路 电子线路， 对于电子线路，可以应用
Z = r +X ϕ = arctan X r
2 2
令X = ωL − 1 = 0 ωC
则ω =
1 =ω 0 LC
ω = ω 0 时 , Z = r , 呈阻性 , 电压与电流同相
Z = r2 + X 2 ϕ = arctan X r
ω0 =
1 LC
X>0 感性
X<0 容性
1、谐振定义 、 对于图示串联电路而言， 对于图示串联电路而言，电 压和电流同相 同相时的工作状况 压和电流同相时的工作状况 称为电路发生了谐振。 称为电路发生了谐振。 2、发生谐振的条件 、