第一章 绪论-计算方法的任务与特点

数值方法特点
数值方法的特点
方法是近似的，所以求出的解是有误差的 与计算机紧密结合：上机实现 掌握一门语言：C 语言或 Fortran 语言 熟悉一种数学软件：Matlab，Maple 或 Mathematica
参考资料
参考资料
第三种科学方法：计算机时代的科学计算
石钟慈著，清华大学出版社，院士科普书系，2000
矩阵特征值与特征向量的计算
常微分方程的数值解法
所需知识
所需知识
微积分
高等代数、线性代数
常微分方程 Matlab 编程
考试方式
期末 70% 平时 30%（平时作业，考勤）
基本概念
解析解、精确解、真解、真值
数值解、近似解
数值算法：求问题的数值解的方法 算法的可靠性包括：收敛性，稳定性，误差估计等 算法的评价（优劣） 时间复杂度（计算机运行时间） 空间复杂度（所占用的计算机存储空间） 逻辑复杂度（影响程序开发的周期以及维护的难易程度）


3. 截断误差
在数值求解数学问题时，常常用有限过程逼近无限 过程，用能计算的问题代替不能计算的问题。这种精 确公式用近似公式代替时,所产生的误差叫截断误差。 例如计算机进行函数计算时，大多是按泰勒展开式 进行计算的。易知，泰勒展开式一般都是一个无穷级 数，而实际计算时总是取有限项进行计算，后面的项 被截去，产生了截断误差。以 ex为例，
计算机解决实际问题的步骤
利用计算机解决实际问题通常分下面几个过程：
实际 问题
数学 模型
数值 方法
程序 设计
上机 实现
应用举例
例：一个古老的数学问题
问：今有 上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗； 上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗； 上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗。 问上、中、下禾实一秉各几何？
1 3 0.3333333333
(本应1 3 0.3333333333） 3
一般而言，一次舍入误差不会产生很大的误 差，但进行多次舍入，并参加后继运算，误差随 着运算而传播，这样可能造成不可忽视的影响。
例1 计算 x 255
254
A:x255=x· · x·x · B:x255=x·2·4·8·16·32·64·128 x x x x x x x
§1.2
误差估计
误差的来源
1、模型误差 2、观测误差 3、截断误差 4、舍入误差
1. 模型误差

数学模型是指那些利用数学语言模拟现实而建 立起来的有关量的描述
ຫໍສະໝຸດ Baidu

数学模型的准确解与实际问题的真解不同
为简化模型忽略次要 因素
实际问题的 真解 数学模型的 真解 定理在特定条件下建立与实 际条件有别

数学软件
由于各种科学计算问题最后通常都归结为求解一些基本的问 题，针对这些基本问题，已有一些相对固定的高效的算法， 并设计成软件包。
最有名的软件包之一 LAPACK —— Linear Algebra PACKage 较流行的软件：Matlab，Maple，Mathematica 等 网络资源：NetLib、GAMS
科学计算
科学计算 Scientific Computing (计算科学 Computational Science)
使用数学、统计与计算器的技术，借助计算机高速计算的 能力，来解决现代科学、工程、经济或人文中的复杂问题 狭义的科学计算是针对某些特定的数学问题，设计有效的 计算方法来求解，因此即为数值计算/数值分析/计算方法
——《九章算术》
3 x 2 y z 39 2 x 3 y z 34 x 2 y 3z 26
应用举例
a11 a 21 an1 a12 a1n x1 b1 x b a22 a2 n 2 2 an1 ann xn bn
科学计算导论（第 2 版）（英文影印版） M.T. Heath 著，清华大学出版社：McGraw-Hill，2001
现代科学计算
蔡大用，白峰杉，科学出版社，2000
数值线性代数
徐树方等，北京大学出版社，2000
主要内容
插值法 函数逼近 数值积分和数值微分 线性方程组的直接解法和迭代解法 非线性方程（组）的数值求解
科学计算是一门工具性、方法性、整合性的新学科，是各 种科学与工程计算领域（如：气象、地震、核能技术、石油 探勘、航天工程、 密码解译等）中不可缺少的工具
计算数学是科学计算的核心与基础
科学计算
科学计算
随着计算机的高速发展，数值计算方法已深入到各个科学 研究领域，计算性交叉学科不断涌现，如计算力学、计算物 理、计算化学、计算生物学、计算经济学等 科学计算已成为当今科学研究的三种基本手段之一，是数 学将触角伸向其他学科的桥梁。 使用计算机进行科学计算、数据处理及分析已成为人类科 技活动的主要方法之一。熟练地使用计算机进行科学计算， 已成为科技工作者的一项基本技能
Pn ( x) x( x( x( x(an x an1 ) an2 ) a1 ) a0
有递推公式

sn an sk xsk 1 ak Pn ( x) s0
k n 1,,2,1,0
需乘法n次，加法n次
算法1 (输入a(i)(i=0,1，…,n),x;输出y） 注意 t 1 u a (0) for i 1 : n t x*t u u a(i ) * t end yu
Gx = x,
G: Google Matrix, x: PageRank vector
eTx =1
“the world’s largest matrix computation”
“The $25,000,000,000 Eigenvector” —— SIAM Review，2006
矩阵特征值计算 —— 教材第四章
f(x)=sin x
给定的曲线从 x=0 到 x=48 英寸间的弧长 L，即:
L
48
0
1 ( f '( x )) dx
2
48
0
1 (cos x ) dx
2
上述积分为第二类椭圆积分，无法用普通方法来计算
数值积分与数值微分 —— 教材第七章
应用举例
例：Google 搜索引擎
1998 年创立，目前市值近2000亿
教 师：崔学慧 EMAIL: freecxh5@126.com OFFICE：理学楼A座302 PHONE(O)：89731767
第一章:
绪论
§1.1计算方法的任务与特点 计算方法（也称数值计算方法， 数值方法）的研究对象是从科学与工 程问题中归纳出来的数学问题，它是 研究用计算工具（现代主要指电子数 字计算机，简称计算机)得出数学问 题数值解答方法与算法的科学。
需乘法5次，加法3次。
算法2：p( x ) x[ x(3 x 4) 2] 6
需乘法3次，加法3次 一般地，计算n次多项式的值
Pn ( x) an x an1x
n
n1
a1x a0
算法1、需乘法2n-1次，加法n次。 算法2、秦九韶算法1247 (又称为Horner算法1819)
算法B( Matlab) s x; y x; for i 1 : 7 s s * s; y y * s; end
(输入x, 输出y）
计算量 N 14 flop
存储量=4
例2：计算多项式p( x) 3 x 3 4 x 2 2 x 6的值。
算法1：由x计算出x 2 , x 3后再算。
例3：考察方程组
其解为
x1 x2 x3 1
如 果 把系 数 舍 入 成 三数 字 位 1.000 0.500 0.333 x1 1.83 0.500 0.333 0.250 x 1.08 2 0.333 0.250 0.200 x3 0.783
实际问题的真解与数学模型之间有误差，这种 误差称为模型误差(描述误差)

这种误差难于作定量分析, 在数值方法中总是假
定所研制的数学模型是合理的。

对模型误差只作粗略了解，为选择合适的数值方
法建立必要依据
2. 观测误差

数学模型中的参数和原始数据，是由观测和试 验得到的
由于测量工具的精度、观测方法或客观条件的 限制,使数据含有测量误差,这类误差叫做观测 误差或数据误差 根据实际情况可以得到误差上下界 计算方法中需要了解观测误差,以便选择合理 的数值方法与之适应
计算量 N 2n flop
Pn ( x) an x an1 x
n
n1
a1 x a0
算法2 （秦九韶算法） (输入a(i)(i=0,1，…,n),x;输出y）
p a ( n) for k n 1 : 1 : 0 p x * p a(k ) end y p
1867年法国天文学家达拉姆尼花了整整20年的 时间，了解天体运动的一个摄动级数展开式，以解决 月球运动轨道的数值解。 18世纪英国数学家香克斯用了毕生精力，于 1873年把圆周率π计算到了小数点后707位。 1948年美国原子能研究中心有一计算问题，需 要900万道运算，大约相当于1500名工程师一年的计 算。 准确预报天气变化情况，要解算成千上万个偏 微分方程，这大概相当于数万名工程师一年的计算工 作量。
其原理为
计算量 N n flop
注意
(((an x an1 ) x an2 ) x a1 ) x a0
舍入误差对计算结果影响很大
1 1 11 1 2 3 6 x1 1 1 1 x 13 2 3 4 2 12 x3 1 1 1 47 3 4 5 60
e 1
1 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2! 2 3! 2 n! 2 (n 1)! 2
2
3
n
n1

近似值
截断误差
4. 舍入误差
由于计算机字长有限，一般实数不能精确存 储，于是产生舍入误差。例如，在10位十进制数 限制下：
Ax b
线性方程组数值求解 —— 教材第三章
应用举例
例：人口预测 表格中是我国1950年到2005年的人口数（见
年份 人口(万) 1950 55196 1955 61465 1960 66207 1965 72538 1970 82992 1975 92420 1980 98705 1985 105851 1990 11433 1995 121121 2000 126743 中国统计年鉴），试预测未来的人口数
计算方法的任务
计算方法/数值分析的任务
设计求解各种实际问题的高效可靠的数值方法 有效：易于在计算机上实现 可靠：收敛性稳定性等有理论保证 高效：尽可能地节省计算时间和存储空间 对求得的数值解的精度进行评估 研究数值算法在计算机上的实现 对于同一问题，不同的算法在计算性能 上可能相差百万倍或者更多！
插值与曲线拟合 —— 教材第五、六章
应用举例
例：铝制波纹瓦的长度问题
建筑上用的一种铝制波纹瓦是由机器将一块平整的铝板压 制而成。假若要求波纹瓦长 4 英尺，每个波纹的高度(从中 心线)为 1 英寸，且每个波纹以近似 2 英寸为一个周期。 求制做一块波纹瓦所需铝板的长度 L。
应用举例
这个问题就是要求由函数
计算方法
例：求解一个 n 阶线性方程组，如果使用克莱姆法则，需
要计算 n+1 个 n 阶行列式，在不计加减运算情况下，至少 需要 n!(n2-1) 次乘除运算。而使用高斯消去法，只需约 2n3/3 次乘除运算 当 n=20 时，
20! (20 1) 9.7 10
2
20
用每秒运算 30 亿次（主频3.0G）的计算机求解时，大 约需要10000年的时间 如果使用高斯消去法，不到一秒钟就能完成