习题课(二)
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高等数学习题：习题课2
（2）证明对任何正数 a, b, c ，有 abc3 27( abc )5 。 5
设f ( x , y )与( x , y )均为可微函数,且 y ( x , y ) 0 已知( x0 , y0 )是在约束条件( x , y ) 0下的一个极 值 点,下 列 选 项 正 确 的 是: ( A )若f x ( x0 , y0 ) 0,则f y ( x0 , y0 ) 0; ( B )若f x ( x0 , y0 ) 0,则f y ( x0 , y0 ) 0; ( C )若f x ( x0 , y0 ) 0,则f y ( x0 , y0 ) 0; ( D )若f x ( x0 , y0 ) 0,则f y ( x0 , y0 ) 0. ( 2006年考研题)
0
(2) f(z) z2 , z 0
z 0 ,z0
z0
(3) f(z) 3x3 3y3i
(4)f (z)
x2
x y2
i
x2
y
y2
5. 设my3 nx2y i(x3 lxy2)为解析函数，试求l, m, n。
6. 已知u ex (x cosy y sin y),求解析函数f (z) u iv， 并满足f (0) 0.
一、选择题
习题课
1．曲面 2xy4zez 3 在点 (1,2,0) 处的法线与直线
x1 y z2 的夹角（ ） 1 1 2
（A） ； （B） ； （C） ； （D）0.
4
3
2
2． 设函数 f ( x, y) 在点(0, 0) 附近有定义，且 f x (0,0)3 ， f y (0,0)1 ，则（ ）
（C）（0，2）；
（D）（2，0）。
2. 若函数 f ( x,y) 在点(0,0) 的某个邻域内连续，且满足
设f ( x , y )与( x , y )均为可微函数,且 y ( x , y ) 0 已知( x0 , y0 )是在约束条件( x , y ) 0下的一个极 值 点,下 列 选 项 正 确 的 是: ( A )若f x ( x0 , y0 ) 0,则f y ( x0 , y0 ) 0; ( B )若f x ( x0 , y0 ) 0,则f y ( x0 , y0 ) 0; ( C )若f x ( x0 , y0 ) 0,则f y ( x0 , y0 ) 0; ( D )若f x ( x0 , y0 ) 0,则f y ( x0 , y0 ) 0. ( 2006年考研题)
0
(2) f(z) z2 , z 0
z 0 ,z0
z0
(3) f(z) 3x3 3y3i
(4)f (z)
x2
x y2
i
x2
y
y2
5. 设my3 nx2y i(x3 lxy2)为解析函数，试求l, m, n。
6. 已知u ex (x cosy y sin y),求解析函数f (z) u iv， 并满足f (0) 0.
一、选择题
习题课
1．曲面 2xy4zez 3 在点 (1,2,0) 处的法线与直线
x1 y z2 的夹角（ ） 1 1 2
（A） ； （B） ； （C） ； （D）0.
4
3
2
2． 设函数 f ( x, y) 在点(0, 0) 附近有定义，且 f x (0,0)3 ， f y (0,0)1 ，则（ ）
（C）（0，2）；
（D）（2，0）。
2. 若函数 f ( x,y) 在点(0,0) 的某个邻域内连续，且满足
高等数学习题课3-2
x3 1 x | ( x2 1)
的渐近线。
第
三 章
解
lim y lim y
x1
x0
中 值
x 1, x 0 是曲线的两条铅直渐近线
定 理 与
lim y 1 lim y 1
f ( x) k 0, 且 f (a) 0, 证明：方程 f ( x) 0 在区间
第 三
[a,) 有且仅有一个根。
章
证 因为当 x a 时，f ( x) k 0, 所以 f ( x) 0
中 值
在区间[a,) 至多有一个根。
定 理
又因为 f (a) 0, 且
与 导
f (a f (a)) f (a) f ( )(a f (a) a)
)(1 1) 或 2
x0 )2
f (2
)
( x0 2
16 (1 2
1) x0
1)
-2-
习题课（二）
例2 证明当 x 1 时,
x2 x3
ln(1 x) x .
第
23
三 章
证 当 x 1 时,
中 值
ln(1
x)
x
x2 x
x3 3
1
4(1 )4
x4
定 理
其中
介于 0与x之间.
第 区间，拐点。
三
章 解 函数的定义域为(,1) (1,1) (1, )
中
值 定 理 与
y
x2( x2 3) ( x2 1)2 ,
y
2 x( x2 (x2
3) 1)3
导 数
y 0,得点x 3, y 0,得点x=0
的
应 用x 3, x 0划分函数的定义域，并在各区间研究
习题课2(4~5章)
第四章习题讲解4.6 实训实训1【实训内容】简单if语句。
【实训目的】掌握简单if语句的使用。
【实训题目】分析下面两个程序，写出程序的功能并上机验证。
【程序1】#include <stdio.h>main(){float x,y,z;printf("Please enter x,y,z:");scanf("%f,%f,%f",&x,&y,&z);if(x<y) x=y;if(x<z) x=z;printf("%5.2f\n",x);}【程序2】#include <stdio.h>main(){float x,y,z,max;printf("Please enter x,y,z:");scanf("%f,%f,%f",&x,&y,&z);max=x;if(max<y) max=y;if(max<z) max=z;printf("%5.2f\n",max);}实训2【实训内容】if-else语句。
【实训目的】掌握if-else语句的使用。
【实训题目】简单加法练习程序。
阅读程序并上机调试，改正其中的错误，使之能正常运行。
#include <stdio.h>#include <stdlib.h>#include <time.h>main(){int num1,num2,answer;srand(time(NULL));num1=rand()%100;num2=rand()%100;printf("%d+%d=",num1,num2);scanf("%d",&answer);if(answer==num1+num2)printf("回答正确.\n");elseprintf("回答错误.\n");}实训3【实训内容】if嵌套【实训】编写程序，根据输入的某年某月，输出该月的天数。
长江大学《大学物理》习题课2
4、一根同轴线由半径为R1的长导线和套在它外面 的内半径为R2、外半径为R3的同轴导体圆筒组 成．中间充满磁导率为μ的各向同性均匀非铁磁绝
缘材料，如图．传导电流I沿导
线向上流去，由圆筒向下流回，
R3 R2 R 1 I
在它们的截面上电流都是均匀
分布的．求同轴线内外的磁感 强度大小B的分布．
I
如果做成永磁体 容易退磁
.
4、长直电缆由一个圆柱导体和一共轴圆筒状导体组 成，两导体中有等值反向均匀电流I通过，其间充满 磁导率为 的均匀磁介质．介质中离中心轴距离为r
I 的某点处的磁场强度的大小H =_________ 2 r ，磁感强
I 度的大小B =__________ ． 2 r
(A) 21 212
(B) 21 12 (C) 21 12 1 (D) 21 12 2
I S 1 I 2S 2
二、填空题 1、有一半径为a，流过稳恒电流为I的1/4圆弧形载
流导线bc，按图示方式置于均匀外磁场中，则该
载流导线所受的安培力大小为
aIB
.
c a O I a
a (A) B = 0，因为B1 = B2 = B3 = 0． 1 (B) B = 0，因为B1+B2=0，B3= 0． O (C) B≠0，因为虽然B1+B2=0， 2 I 但B3≠ 0． b (D) B≠0，因为虽然B3= 0，但 B1 B2 0 ． I
c
2、如图所示，导线框abcd置于均匀磁场中(B的方向 竖直向上)，线框可绕AA′轴转动．导线通电时，转过 a 角后，达到稳定平衡．如果导线改用密度为原来1/2 的材料做，欲保持原来的稳定平衡位置(即a 不变)， 可以采用下列哪一种办法？(导线是均匀的) (A) 将磁场B减为原来的1/2或线框中电流减为原来的 1/2． B d (B) 将导线的bc部分长度减小 a A A′ 为原来的1/2． b c (C) 将导线ab和cd部分长度减 小为原来的1/2． (D) 将磁场B减少1/4，线框中电流也减少1/4.
习题课2数列极限2010
n
1 1 1 （2）设 x n = ＋ ＋L＋ ， 1!＋1 2!＋ 2 n !＋ n 证明数列 { x n }收敛 .
a1 − 1 ( 3).设a1 = 2 , a 2 = 2 + , L, 2 + a1 a n −1 − 1 an = 2 + ( n = 2, 3, L)求 lim a n n→ ∞ 2 + a n −1
1!+2!+ L + n! ( 3). lim n→ ∞ n! 1 1 (4). lim n 1 + + L + n→ ∞ 2 n
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(5). lim(
n→ ∞
1 n +n
6
+
2
6
2
n + 2n
+ L+
n
6
2 2
n +n
)
n n n ( 6 ). lim [ ] + +L 2 2 2 n → ∞ ( n + 1) ( n + 2) (n + n)
2.选择题
(1)若数列{a n }有极限，则在 a的ε邻域之外， 有极限， 邻域之外， 数列中的点（ 数列中的点（ (C)必不存在； 必不存在； ） (D)可以有有限多个， 可以有有限多个， (A)至多只有有限多个； (B )必定有无穷多个； 必定有无穷多个； 至多只有有限多个； 也可以有无穷多个 .
).
( A)先给定 ε后唯一确定 N ; ( B )先给定 ε , 后确定 N , 但N的值不唯一 ; (C )先确定 N后给定 ε ; ( D )ε与N无关 .
3.问答题 问答题
(1).有界数列是否一定收敛 ? 无界数列是否发散 ? ( 2). 单调数列是否一定收敛 ? 收敛数列是否 一定 单调 ?
通信原理习题课(2)
解： AMI码：+1 0 -1 +1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 +1 AMI码如图6-18所示。 HDB3码 ：+1 0 -1 +1 0 0 0 +V –B 0 0 –V 0 +1 0 -1 HDB 3 码如图6-19所示
+E
0
-E 图6-18
+E
0
-E 图6-19
6-8 已知信息代码为101100101，试确定相应的双相码和 CIM码，并分别画出它们的波形图。
fsP(1 P)
G1( f
)G2(
2 f)
m
fs PG1(mfs)(1P)G2(mfs)
2 (f
mfs)
计算整理得：
Ps ()
fs
G( f
)2
1T6s 1 cos
fTs 2
0
f 1 Ts
其他
功率谱密度如下图所示。
Ps(ω)
Ts/4
Ts/16
-1/Ts
-1/2Ts
0 1/2Ts
ω 1/Ts
(2)不可以直接提取频率 fs 1/ Ts的位定时分量。
k(与t无关) 且
0 k 1 ，则脉冲序列将无
g2 (t)
离散谱。
解答：基带信号的功率谱分为稳态波功率谱和交变波功率谱 两部分。其中只有稳态波功率谱有离散谱分量。由稳态波功 率谱密度公式：
P ()
v
m
fs PG1(mfs)(1P)G2(mfs) 2g ( f
mf ) s
其中：
G1(mf s )
g(t)
A
t
-Ts/2
0
Ts/2
图P6-3
习题课2(求极限)
习 题 课 二
一. 问答题 : 1.下列说法能否作为 lim xn a的定义 ?
(1). 对于无穷多个 0, N N , n N时, 有 xn a
(2). 对 0, N N , n N时, 有无穷多个xn，使 xn a (3). 对 0, N N , n N时, 有 xn a k （其中k 0) (4). 对 0, n N , 使对所有的正整数 p, 不等式
xn p a 成立
n
2.有界数列是否一定收敛 ? 无界数列是否发散 ?
3.单调数列是否一定收敛 ? 收敛数列是否一定 单调?
4. 若数列xn 与yn 发散,问数列xn yn , xn yn , xn 是否一定发散? yn
n n n 4. lim[ ] 2 2 2 n ( n 1) (n 2) ( n n) xn1 5.x1 1, xn 1 (n 2), 求 lim xn n 1 xn 1
n( n 1) 1 2 n . 2
f ( x) x 3 lim f ( x)
2 x 1
lim f ( x ) lim x 2 3 lim f ( x ) 1 3 lim f ( x )
x 1 x 1 x 1 x 1
1 lim f ( x ) . x 1 2
x x2 xn n 3.求 lim x 1 x 1
( x 1)30 (2 x 3) 70 4.求 lim . 100 x (5 x 9)
5.求 lim ( x
x
x
x
x)
六.1.设 lim f ( x) A, 且A 0, 用极限定义证明
一. 问答题 : 1.下列说法能否作为 lim xn a的定义 ?
(1). 对于无穷多个 0, N N , n N时, 有 xn a
(2). 对 0, N N , n N时, 有无穷多个xn，使 xn a (3). 对 0, N N , n N时, 有 xn a k （其中k 0) (4). 对 0, n N , 使对所有的正整数 p, 不等式
xn p a 成立
n
2.有界数列是否一定收敛 ? 无界数列是否发散 ?
3.单调数列是否一定收敛 ? 收敛数列是否一定 单调?
4. 若数列xn 与yn 发散,问数列xn yn , xn yn , xn 是否一定发散? yn
n n n 4. lim[ ] 2 2 2 n ( n 1) (n 2) ( n n) xn1 5.x1 1, xn 1 (n 2), 求 lim xn n 1 xn 1
n( n 1) 1 2 n . 2
f ( x) x 3 lim f ( x)
2 x 1
lim f ( x ) lim x 2 3 lim f ( x ) 1 3 lim f ( x )
x 1 x 1 x 1 x 1
1 lim f ( x ) . x 1 2
x x2 xn n 3.求 lim x 1 x 1
( x 1)30 (2 x 3) 70 4.求 lim . 100 x (5 x 9)
5.求 lim ( x
x
x
x
x)
六.1.设 lim f ( x) A, 且A 0, 用极限定义证明
运筹学习题课2-解答
运筹学习题课二---小组任务（解答） 要求：1、 以小组形式共同完成习题任务，每小组人数为3人，成员自定；2、 小组成员共同讨论任务解决方案，最后由一人撰写习题报告；3、 习题报告需给出完整的数学模型及求解过程；4、 习题报告中签署所有成员的班级、姓名及学号。
任务1：P152-6.4：某城市的消防总部将全市划分为11个防火区，设有4个消防（救火）站。
图6-8表示各防火区域与消防站的位置，其中①、②、③、④表示消防站，1, 2, 3, …, 11表示防火区域。
根据历史的资料证实，各消防站可在事先规定的允许时间内对所负责的地区的火灾予以消灭。
图中虚线即表示各地区由哪个消防站负责（没有虚线连接，就表示不负责）。
现在总部提出：可否减少消防站的数目，仍能同样负责各地区的防火任务？如果可以，应当关闭哪个？解答：使用0-1整数规划求解，可知规划只有两个可行解，比较后可知可以关闭第2个消防站。
任务2：P312-11.15-(2)：已知矩阵对策A =(400008060)的解为x ∗=(613,313,413)T ,y ∗=(613,413,313)T ,对策值为 2413 . 求下列矩阵对策的解，其赢得矩阵A 分别为(1)(−2−226−2−2−24−2)， (2)(322020202044203820).解答：使用矩阵对策基本定理的定理7-8进行求解，可得(1)及(2)的最优策略不变，最优对策值分别为：−213，33213. 其中矩阵(1)是在矩阵A 的基础上交换了1，3列后再减2而得，易知交换赢得矩阵的任意两行或两列不改变原矩阵对策的值，只需对局中人的最优策略的分量作相应的交换即可。
多元函数微分法习题课2
T ( xt , yt , zt ), 再求出切点，即可得切线及法平面方程。
t 解： 因 xt 1 cos t , yt sin t , zt 2cos 2 故在点 ( 1, 1, 2 2) 处的切向量为 2 T ( xt , yt , zt ) ( 1,1,2 2 ) (1, 1, 2)
处的切线及法平面方程。 分析：此曲线可视 x 为参数, 则求出切向量为
dy dz T (1, , ), 即可得切线及法平面方程。 dx dx
dy m 由 y 2mx 得 , dx y
2
dy dz 解： 视 x 为参数, 则切向量为T (1, , ); dx dx
m 1 , ). 故在点 ( x0 , y0 , z0 ) 处的切向量为T (1, y0 2 z0 x x 0 y y0 z z 0 所求切线方程为 m 1 1 y0 2 z0
2x Fx yz 2 0 a 2z Fz xy 2 0 c
2
2
2
2y Fy xz 2 0 b x2 y2 z2 2 2 2 1 a b c
三式相加得 3 xyz 2
a b c 解得 x , y ,z 3 3 3 2x 2y 或 yz 2 xz 2 a b 2 2 2 2 2 x z y b x x y 两式相除 2 2 2 同理 2 2 x a y a b a c
无条件极值 多元函数的极值 条件极值
(1) 无条件极值求法步骤：
①求 f x ( x, y) 0 , f y ( x, y) 0 得全部驻点. ②求 f xx ( x0 , y0 ) A , f xy ( x0 , y0 ) B , f yy ( x0 , y0 ) C ③由判别驻点为极值点的条件，验证 AC B 的符号,
t 解： 因 xt 1 cos t , yt sin t , zt 2cos 2 故在点 ( 1, 1, 2 2) 处的切向量为 2 T ( xt , yt , zt ) ( 1,1,2 2 ) (1, 1, 2)
处的切线及法平面方程。 分析：此曲线可视 x 为参数, 则求出切向量为
dy dz T (1, , ), 即可得切线及法平面方程。 dx dx
dy m 由 y 2mx 得 , dx y
2
dy dz 解： 视 x 为参数, 则切向量为T (1, , ); dx dx
m 1 , ). 故在点 ( x0 , y0 , z0 ) 处的切向量为T (1, y0 2 z0 x x 0 y y0 z z 0 所求切线方程为 m 1 1 y0 2 z0
2x Fx yz 2 0 a 2z Fz xy 2 0 c
2
2
2
2y Fy xz 2 0 b x2 y2 z2 2 2 2 1 a b c
三式相加得 3 xyz 2
a b c 解得 x , y ,z 3 3 3 2x 2y 或 yz 2 xz 2 a b 2 2 2 2 2 x z y b x x y 两式相除 2 2 2 同理 2 2 x a y a b a c
无条件极值 多元函数的极值 条件极值
(1) 无条件极值求法步骤：
①求 f x ( x, y) 0 , f y ( x, y) 0 得全部驻点. ②求 f xx ( x0 , y0 ) A , f xy ( x0 , y0 ) B , f yy ( x0 , y0 ) C ③由判别驻点为极值点的条件，验证 AC B 的符号,
习题课2幂级数
无穷级数 习题课二
1 内容及要求 (1) 熟练掌握幂级数的收敛半径、收敛域的求法
(2) 会利用幂级数的运算法则求一些幂级数的和函数
(3) 熟悉 1 、e x、sin x、cos x、ln(1 x)、(1 x)m 1 x
麦克劳林展开式，并会利用间接展开法将一些函数 展开成幂级数.
2 典型例题
例1 填空
4
x [1,1)且x 0 x0 x 1
(5)
2n 1 x2n ,
并求
(2n 1)2n的和.
n0 n!
n0
n!
解(5)：易知所给幂级数的收敛半径R=+∞，设其 和函数为s (x)，则
x
s( x)dx
x 2n1
x
( x 2 )n xe x2
0
n0 n!
n0 n!
s( x) ( xe x2 ) (1 2x 2 )e x2
设s(x)
n1
2n 1 2n
x 2n2
n1
1 2n
( x 2n1 )
1 (
2n
n1
x 2n1 )
x
(x 2
x3 22
)
( 1
2 x2
)
2 x2 (2 x2 )2
,
x (
2,
2 ).
2
(3) n( x 1)n;
n1
解(3)： 易知幂级数的收敛域为（0，2）
令x-1=t , n( x 1)n nt n t nt n1
2n 1 x2n2;
2n
n1
xn
(3)
;
n1 n(n 2)
(4)
n1
n( x
1)n;
(5)
n0
1 内容及要求 (1) 熟练掌握幂级数的收敛半径、收敛域的求法
(2) 会利用幂级数的运算法则求一些幂级数的和函数
(3) 熟悉 1 、e x、sin x、cos x、ln(1 x)、(1 x)m 1 x
麦克劳林展开式，并会利用间接展开法将一些函数 展开成幂级数.
2 典型例题
例1 填空
4
x [1,1)且x 0 x0 x 1
(5)
2n 1 x2n ,
并求
(2n 1)2n的和.
n0 n!
n0
n!
解(5)：易知所给幂级数的收敛半径R=+∞，设其 和函数为s (x)，则
x
s( x)dx
x 2n1
x
( x 2 )n xe x2
0
n0 n!
n0 n!
s( x) ( xe x2 ) (1 2x 2 )e x2
设s(x)
n1
2n 1 2n
x 2n2
n1
1 2n
( x 2n1 )
1 (
2n
n1
x 2n1 )
x
(x 2
x3 22
)
( 1
2 x2
)
2 x2 (2 x2 )2
,
x (
2,
2 ).
2
(3) n( x 1)n;
n1
解(3)： 易知幂级数的收敛域为（0，2）
令x-1=t , n( x 1)n nt n t nt n1
2n 1 x2n2;
2n
n1
xn
(3)
;
n1 n(n 2)
(4)
n1
n( x
1)n;
(5)
n0
物理学习题课2
15、如图所示，一均匀细棒，长为l，质量为m，可绕过棒端且 垂直于棒的光滑水平固定轴O在竖直平面内转动，棒被拉到水 平位置从静止开始下落，当它转到竖直位置时，与放在地面上 一静止的质量亦为m的小滑块碰撞，碰撞时间极短，小滑块与 地面间的摩擦系数为μ，碰后滑块移动距离S后停止，而棒继续 沿原转动方向转动，直到达到最大摆角。 求：碰撞后棒的中点C离地面的最大高度h
在经典力学中，两质点的相对位移不随参考系改变。因此凡是遵 从牛顿第三定律的一对作用力与反作用力作功之和均与参考系的 选取无关,并且不论在惯性系中还是在非惯性系中都如此。
3、质量为M半径为R的1/4光滑圆弧形槽D置于光滑水平面 上。开始时质量为m的物体与弧形槽D均静止，在物体由圆弧
顶点a处下滑到圆弧底端b点的过程中，下列说法正确是：
(a)中系统受固定端约束力作用，合外力不为零,系统动量不守 恒；运动过程中，小球速度变化，动能变化；由于固定端约束 力作用点无位移，约束力不做功，小球所受重力与支持力与运 动方向垂直，也不做功，在运动过程中只有弹力做功，所以小 球弹簧系统的机械能守恒。 (b)中系统所受重力与支持力平衡，合外力为零，系统动量守恒； 运动过程中只有保守内力弹力做功，机械能也守恒；而动能和 势能相互转换，动能要发生变化。
的功的代数和为零。 在上述说法中
(A) (1),(2)是正确的； (B) (2),(3)是正确的； (C) 只有(2)是正确的； (D) 只有(3)是正确的。
6、判断下述说法的正误，并说明理由。 ① 不受外力作用的系统,它的动量和机械能必然同时都守恒. ② 内力都是保守力的系统，当它所受合外力为零时，它的机械
解：分两个阶段进行考虑
(1) 子 弹 射 入 细 杆 , 使 细 杆 获 得 初 速度。因这一过程进行得很快,细 杆发生偏转极小,可认为杆仍处于 竖直状态。子弹和细杆组成待分 析的系统,无外力矩,满足角动量 守恒条件。子弹射入细杆前、后 的一瞬间,系统角动量分别为
多元函数微分学习题课 (2)
a
D，使
f
(最值定理)
(a) ;
(介值定理)
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思考与练习
1. 讨论二重极限 lim
xy
时, 下列算法是否正确?
(x,y)(0,0) x y
解法1
原式
lim
x0
y0
1 y
1
1 x
0
解法2 令 y kx,
解法3 令 x r cos , y r sin ,
f3
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例. 设 u f (x,t) , 而 t 是由 Fx, y, z 0确定，
其中f、F具有一阶连续偏导，
证明：
du dx
f F f F x t t x
f F F
t y t
三、多元函数微分法的应用
1. 极值与最值问题 • 极值的必要条件与充分条件 • 求条件极值的方法 (消元法, 拉格朗日乘数法)
f2 (x1, x2 , x3, y1, y2 ) y2 cos y1 6 y1 2x1 x3
x求0 由 (3,f2(,7x),Ty,)y0
0
(0,1)T
确定的隐函数
y
g(
x)在x0处的导数
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多元函数微分法
显式结构 1. 分析复合结构 隐式结构
自变量个数 = 变量总个数 – 方程总个数 自变量与因变量由所求对象判定 2. 正确使用求导法则 注意正确使用求导符号 3. 利用一阶微分形式不变性
x y ( x, y)(0,0) 2
2
而其中 lim (x2 y2 ) ln( x2 y2 ) 0 ( x, y)(0,0)
lim
矩阵及其运算习题课2课件
(6) 主对角线以下(上)的元素都为零的方阵称为上(下)三角 矩阵;
(7) 行列式 | A | 的各个元素的代数余子式Aij 所构成的如下
矩阵
A
A11 A12
A1n
A21 A22 A2n
An1 An2
Ann
称为矩阵A 的伴随矩阵.
性质: AA* = A*A = | A | E.
分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则 相类似．
矩阵及其运算习题课2
n 1 1
例1: 设
A
n 1
n
n n1
n
1
n 1
n
,
计算A2
1 n
1 n
1 n
n 1 n
例2: 设A ac db, 试将 f() = | E–A |写成的多项式, 并验证 f(A) = O.
例3:
设A,
(2) 证明: AB|A||DCA 1B|. CD
矩阵及其运算习题课2
二、 典 型 例 题
n 1 1
例1: 设
A
n 1
n
n n1
n
1
n 1
n
, 计算A2 .
1 n
1 n
1 n
n 1 n
解: 由于
An1n 111
1
n1
1
1 1
n 1
矩阵及其运算习题课2
n1
1
1
2
证明(1): 当A = O时, | A |的所有代数余子式均为0,
从而A* = 0, 故| A* | = 0.
当 A O且| A | = 0时, 用反证法证明.
假设| A* | 0, 则有A*(A*)–1 = E,
1.3三角函数的诱导公式(习题课) (2)
一、复习回顾
三角函数的诱导公式 （a 可以是任意角） 公式一： 公式二：
sin( 2k ) sin
sin( ) －sin cos( ) cos cos( 2k ) cos tan( 2k ) tan (k Z ) tan( + ) tan
π π π 解： (2)∵( －α)＋( ＋α)＝ ， 3 6 2 π π π π 1 ∴cos( ＋α)＝cos[ －( －α)]＝sin( －α)＝ . 6 2 3 3 2
题结：给值求值——观察分析各角的内在联系，再 利用诱导公式或同角关系式进行求值。——角的变换
二、典例分析
1 体验、已知 cos(75 ) , 其中 为第三象限角， 3 求 cos(1050 ) sin( 1050 )的值。
sin cos 公 2 式 五 cos sin 2
sin cos 公 2 式 六 cos sin 2
通过诱导公式可用角的三角函数值表示 k 角 ，k Z的三角函数值 2 诱导公式的记忆口诀： 奇变偶不变，符号看象限
3 2 4 2 3、若 sin( ) ，求 sin( ) cos ( )。 3 3 3 3
3 2 4 2 3、若 sin( ) ，求 sin( ) cos ( )。 3 3 3 3 2 解： sin( ) sin[ ( )] sin( )
0 0 0
二、典例分析
例3、已知A, B, C为ABC的三个内角，求证： （） 1 cos(2 A B C ) cos A A B 3 C ( 2)tan tan 4 4
三角函数的诱导公式 （a 可以是任意角） 公式一： 公式二：
sin( 2k ) sin
sin( ) －sin cos( ) cos cos( 2k ) cos tan( 2k ) tan (k Z ) tan( + ) tan
π π π 解： (2)∵( －α)＋( ＋α)＝ ， 3 6 2 π π π π 1 ∴cos( ＋α)＝cos[ －( －α)]＝sin( －α)＝ . 6 2 3 3 2
题结：给值求值——观察分析各角的内在联系，再 利用诱导公式或同角关系式进行求值。——角的变换
二、典例分析
1 体验、已知 cos(75 ) , 其中 为第三象限角， 3 求 cos(1050 ) sin( 1050 )的值。
sin cos 公 2 式 五 cos sin 2
sin cos 公 2 式 六 cos sin 2
通过诱导公式可用角的三角函数值表示 k 角 ，k Z的三角函数值 2 诱导公式的记忆口诀： 奇变偶不变，符号看象限
3 2 4 2 3、若 sin( ) ，求 sin( ) cos ( )。 3 3 3 3
3 2 4 2 3、若 sin( ) ，求 sin( ) cos ( )。 3 3 3 3 2 解： sin( ) sin[ ( )] sin( )
0 0 0
二、典例分析
例3、已知A, B, C为ABC的三个内角，求证： （） 1 cos(2 A B C ) cos A A B 3 C ( 2)tan tan 4 4
北师大版数学必修二课件：习题课2
(2)待定系数法:先设出圆的方程,再由条件构建系数满足的方程
(组)求得各系数,进而求出圆的方程.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
一题多解
变式训练1 已知圆C与y轴相切,圆心C在直线l1:x-3y=0上,且圆C在
直线l2:x-y=0上截得的弦长为 2 7, 求圆C的方程.
解:因为圆心C在直线l1:x-3y=0上,
(8)圆的常用几何性质.
①圆心在圆的任一条弦的垂直平分线上.
②圆上异于直径端点的点与直径的两端点连线垂直.
③过切点且垂直于该切线的直线必过圆心.
做一做1 已知x2+y2-2x+y+k=0是圆的方程,则实数k的取值范围是
(
)
A.(-∞,5)
C. -∞,
3
2
B. -∞,
D.
3
2
5
4
,+∞
解析:令D2+E2-4F=(-2)2+12-4k>0,得k <5.
即 x2+y2+2(1+λ)x+(λ-4)y+1+4λ=0.
∵此圆过原点,
1
∴1+4λ=0,λ=-4.
3
17
∴所求的圆的方程为 x2+y2+2x- 4 y=0.
①
(2)依题意可知当圆心在直线 2x+y+4=0 上时,所求的圆的面积
最小.
由(1)易得圆心坐标为 -(1 + ),-4
将其代入直线方程得-2(1+λ)-
x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0表示过直线l与圆C的两个交点的
(组)求得各系数,进而求出圆的方程.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
一题多解
变式训练1 已知圆C与y轴相切,圆心C在直线l1:x-3y=0上,且圆C在
直线l2:x-y=0上截得的弦长为 2 7, 求圆C的方程.
解:因为圆心C在直线l1:x-3y=0上,
(8)圆的常用几何性质.
①圆心在圆的任一条弦的垂直平分线上.
②圆上异于直径端点的点与直径的两端点连线垂直.
③过切点且垂直于该切线的直线必过圆心.
做一做1 已知x2+y2-2x+y+k=0是圆的方程,则实数k的取值范围是
(
)
A.(-∞,5)
C. -∞,
3
2
B. -∞,
D.
3
2
5
4
,+∞
解析:令D2+E2-4F=(-2)2+12-4k>0,得k <5.
即 x2+y2+2(1+λ)x+(λ-4)y+1+4λ=0.
∵此圆过原点,
1
∴1+4λ=0,λ=-4.
3
17
∴所求的圆的方程为 x2+y2+2x- 4 y=0.
①
(2)依题意可知当圆心在直线 2x+y+4=0 上时,所求的圆的面积
最小.
由(1)易得圆心坐标为 -(1 + ),-4
将其代入直线方程得-2(1+λ)-
x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0表示过直线l与圆C的两个交点的
广州大学 线性代数 习题课(2)
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一,内 容 提 要
向量组的线性表示 若向量组 B 中的任一向量都可由向量组 A 中的向 量线性表示, 线性表示. 量线性表示 就称向量组 B 可由向量组 A 线性表示 矩阵方程 AX = B 有解的充分必要条件是 矩阵 B 的 有解的充分必要条件是: 任一列向量都可由矩阵 A 的列向量组线性表示. 的列向量组线性表示
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一,内 容 提 要
向量在基下的坐标 维向量空间, 设 V 为一个 r 维向量空间 则 V 中任意 r 个线性无 的一个基, 关向量 a1,…, ar 为 V 的一个基 且有 …
V = L(a1 , , ar )
V 中任一向量 a 可唯一地表示为 a = k1a1 + + kr ar 下的坐标. 称 (k1,…, kr ) 为 a 在基 a1,…, ar 下的坐标 … …
线性相关性 如果存在一组不全为 设有向量组 a1 , , am , 如果存在一组不全为 0 的数
k1 , , km , 使
k1a1 + + km am = 0
那么, 称 a1 , , am 线性相关 否则 称 a1 , , am 线性无关 线性相关. 否则, 线性无关. 那么 基本性质 (1) 若向量 b 可由向量组 a1,…, am 线性表示 则向量组 线性表示, … 线性相关. b, a1,…, am 线性相关 … 当 a1,…, am 线性相关时 表示式不唯一 线性相关时, 表示式不唯一; … 当 a1,…, am 线性无关时 表示式唯一 线性无关时, 表示式唯一. …
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一,内 容 提 要
定理 向量组 b1,…, bl 与向量组 a1,…, am 等价的充分必 … … 要条件是
一,内 容 提 要
向量组的线性表示 若向量组 B 中的任一向量都可由向量组 A 中的向 量线性表示, 线性表示. 量线性表示 就称向量组 B 可由向量组 A 线性表示 矩阵方程 AX = B 有解的充分必要条件是 矩阵 B 的 有解的充分必要条件是: 任一列向量都可由矩阵 A 的列向量组线性表示. 的列向量组线性表示
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一,内 容 提 要
向量在基下的坐标 维向量空间, 设 V 为一个 r 维向量空间 则 V 中任意 r 个线性无 的一个基, 关向量 a1,…, ar 为 V 的一个基 且有 …
V = L(a1 , , ar )
V 中任一向量 a 可唯一地表示为 a = k1a1 + + kr ar 下的坐标. 称 (k1,…, kr ) 为 a 在基 a1,…, ar 下的坐标 … …
线性相关性 如果存在一组不全为 设有向量组 a1 , , am , 如果存在一组不全为 0 的数
k1 , , km , 使
k1a1 + + km am = 0
那么, 称 a1 , , am 线性相关 否则 称 a1 , , am 线性无关 线性相关. 否则, 线性无关. 那么 基本性质 (1) 若向量 b 可由向量组 a1,…, am 线性表示 则向量组 线性表示, … 线性相关. b, a1,…, am 线性相关 … 当 a1,…, am 线性相关时 表示式不唯一 线性相关时, 表示式不唯一; … 当 a1,…, am 线性无关时 表示式唯一 线性无关时, 表示式唯一. …
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一,内 容 提 要
定理 向量组 b1,…, bl 与向量组 a1,…, am 等价的充分必 … … 要条件是
高等数学课件微分方程D12习题课2
习题课 (二)
第十二章
二阶微分方程的
解法及应用
一、两类二阶微分方程的解法 二、微分方程的应用
2019/11/19
高等数学课件
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一、两类二阶微分方程的解法
1. 可降阶微分方程的解法 — 降阶法
d2 y dx2
f
(x)
逐次积分求解
d2y dx2
f
(x,dy) dx
2019/11/19
高等数学课件
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P327 题4(2) 求解
yay20
yx00,
y x01
提示: 令 yp(x),则方程变为 d p a p 2
dx
积分得
1 p
ax C1,
利用
px 0 yx 0 1得C11
再解
(x)ex(x)
(x)(x)ex
解初值问题: (0)0, (0)1
答案: (x)1ex(2x1)1ex
4
4
2019/11/19
高等数学课件
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例3. 设函数 yy(x)在 (, ) 内具有连续二阶导
数, 且 y 0 ,xx(y)是 yy(x)的,函数
x 2 y pxy qy f(x)
令xet ,D d dt
D (D 1 ) p D q y f (et)
练习题: P327 题 2 ;
3 (6) , (7) ;
4(2)； 8
2019/11/19
高等数学课件
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解答提示
P327 题2 求以 yC 1exC 2e2x为通解的微分方程 . 提示: 由通解式可知特征方程的根为 r11,r22,
第十二章
二阶微分方程的
解法及应用
一、两类二阶微分方程的解法 二、微分方程的应用
2019/11/19
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一、两类二阶微分方程的解法
1. 可降阶微分方程的解法 — 降阶法
d2 y dx2
f
(x)
逐次积分求解
d2y dx2
f
(x,dy) dx
2019/11/19
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P327 题4(2) 求解
yay20
yx00,
y x01
提示: 令 yp(x),则方程变为 d p a p 2
dx
积分得
1 p
ax C1,
利用
px 0 yx 0 1得C11
再解
(x)ex(x)
(x)(x)ex
解初值问题: (0)0, (0)1
答案: (x)1ex(2x1)1ex
4
4
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例3. 设函数 yy(x)在 (, ) 内具有连续二阶导
数, 且 y 0 ,xx(y)是 yy(x)的,函数
x 2 y pxy qy f(x)
令xet ,D d dt
D (D 1 ) p D q y f (et)
练习题: P327 题 2 ;
3 (6) , (7) ;
4(2)； 8
2019/11/19
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解答提示
P327 题2 求以 yC 1exC 2e2x为通解的微分方程 . 提示: 由通解式可知特征方程的根为 r11,r22,
Java习题课(2)
P136 第8题
测试类： public class Test { public static void main(String[] args) { Shape square = new Square(2.0); //向上转型 Shape triangle = new Triangle(1.5,2.0); System.out.println(square.getArea()); System.out.println(triangle.getArea()); } }
多态性：方法覆盖和方法重载
方法的覆盖和重载是Java多态性的不同表现。覆盖是父类与子类之间多态性的一 种表现，重载是一个类中多态性的一种表现。 如果在子类中定义某方法与其父类有相同的名称和参数，我们说该方法被覆盖。 子类的对象使用这个方法时，将调用子类中的定义，对它而言，父类中的定义如 同被“屏蔽”了。如果在一个类中定义了多个同名的方法，它们或有不同的参数 个数或有不同的参数类型，则称为方法的重载。 方法覆盖必须满足下列条件 (1) 子类的方法的名称必须和所覆盖的方法相同 (2) 子类的方法的参数必须和所覆盖的方法相同 (3) 子类的方法返回类型必须和所覆盖的方法相同 (4) 子类方法不能缩小所覆盖方法的访问权限 (5) 子类方法不能抛出比所覆盖方法更多的异常 重载方法必须满足下列条件 (1) 方法名必须相同 (2)方法的参数类型，个数顺序至少有一项不同 (3) 方法的返回类型和方法的修饰符可以不相同
P136 第8题
父类Shape： public abstract class Shape { public abstract double getArea(); } 正方形类Square： public class Square extends Shape{ private double length; public Square(double length) { this.length = length; } public double getArea() { System.out.println("square's area = length*length"); return length*length; } }
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邵陽學院機械與能源工程系
第二十二讲
习题课（二）
邵陽學院機械與能源工程系
一、各类液压与气压传动回路的工作原理、性能特点
1、液压基本回路
①压力控制回路：调压回路、卸载回路、减压回路、 增压回路、平衡回路、保压回路、泄压回路；
②调速回路和速度换接回路：定量泵节流调速回路、 变量泵容积调速回路、快速运动回路、速度换接回路；
元件的泄漏和损失忽略不计。 试求： 1） 活塞快速接近工件时，
活塞的运动速度v1（cm/s） 及回路的效率η1；（%）
2） 当切削进给时，活塞的
运动速度v2（cm/s）及回路 的效率η2。（%）
邵陽學院機械與能源工程系
5．在图示的回路中，旁通
型调速阀（溢流节流阀）装
在液压缸的回油路上，通过
分析其调速性能判断下面哪 些结论是正确的。（A）缸 的运动速度不受负载变化的 影响，调速性能较好；（B） 溢流节流阀相当于一个普通
2）系统的工作过程：系统的工作循环是定位—夹 紧—拔销—松开。其动作过程：当1DT得电、换向阀左位 工作时，双泵供油，定位缸动作，实现定位；当定位动 作结束后，压力升高，升至顺序阀A的调整压力值，A阀 打开，夹紧缸运动；当夹紧压力达到所需要夹紧力时，B 阀使大流量泵卸载，小流量泵继续供油，补偿泄漏，以 保持系统压力，夹紧力由溢流阀D控制，同时，压力继电 器C发讯，控制其他相关元件动作。
邵陽學院機械與能源工程系
思考题：
1．是门元件与非门元件结构相似，是门元件中阀芯底部有一弹簧， 非门元件中却没有，说明是门元件中弹簧的作用，去掉该弹簧是 门元件能否正常工作，为什么？
2. 在图示的系统中，两溢流阀的调定压力分别为60×105Pa、 20×105Pa。1）当py1＝60×105Pa，py2＝20×105Pa ，DT吸合和 断电时泵最大工作压力分别为多少？2）当py1＝20×105Pa，py2 ＝60×105Pa，DT吸合和断电时泵最大工作压力分别为多少？
小？
邵陽學院機械與能源工程系
元件 工序
1Y 2Y 3Y 4Y AAAA
快进
Ⅰ工进
Ⅱ工进
快退
停止并卸荷
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解：a.电磁铁动作表
元件 工序
快进
Ⅰ工进
Ⅱ工进 快退
停止并 卸荷
1YA 2YA 3YA 4YA
―― + ―― ――
―― ―― ―― ――
― ―― + ――
+
+ ―― ――
+
+ ―― +
（A）进油节流调速回 （B）回油节流调速回路 （C）旁路节流调速回路
邵陽學院機械與能源工程系
f．在定量泵－变量马达的容积调速回路中，如 果液压马达所驱动的负载转矩变小，若不考虑泄 漏的影响，试判断马达转速（ ）；泵的输出功 率（ ）。 （A）增大 （B）减小 （C）基本不变 （D）无 法判断
g．在限压式变量泵与调速阀组成的容积节流调 速回路中，若负载从F1降到F2而调速阀开口不 变时，泵的工作压力（ ）；若负载保持定值而 调速阀开口变小时，泵工作压力（ ）。 （A） 增加 （B）减小 （C）不变
2．图（a），（b） 所示为液动阀换向
回路。在主油路中
接一个节流阀，当
活塞运动到行程终
点时切换控制油路 的电磁阀3，然后利 用节流阀的进油口 压差来切换液动阀4， 实现液压缸的换向。 试判 断图示两种方
案是否都能正常工 作？
邵陽學院機械與能源工程系
邵陽學院機械與能源工程系
解：在（a）图方案中，溢流阀2装在节流阀1的后 面，节流阀始终有油液流过。活塞在行程终了后， 溢流阀处于溢流状态，节流阀出口处的压力和流 量为定值，控制液动阀换向的压力差不变。因此， （a）图的方案可以正常工作。
夹紧的顺序动作，调整压力略大于10×105Pa ；
B为卸荷阀，作用是定位、夹紧动作完成后，使大流量
泵卸载，调整压力略大于10×105Pa ；
C为压力继电器，作用是当系统压力达到夹紧压力时，
发讯控制其他元件动作，调整压力为30×105Pa
D 为溢流阀，作用是夹紧后，起稳压作用，调整压力
为30×105Pa 。
么回路能实现（ ）调压 （A）一级 （B）二级 （C）三级 （D）四级
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b．在下 面几种调速回路中，（ ）中的溢流阀是安全 阀，（ ）中的溢流阀是稳压阀。 (A) 定量泵和调速阀的进油节流调速回路 (B) 定量泵和旁通型调速阀的节流调速回路 (C) 定量泵和节流阀的旁路节流调速回路 (D) 定量泵和变量马达的闭式调速回路 c．在下列调速回路中，（ ）为流量适应回路，（ ） 为功率适应回路。 (A) 限压式变量泵和调速阀组成的调速回路 (B) 差压式变量泵和节流阀组成的调速回路 (C) 定量泵和旁通型调速阀（溢流节流阀）组成的调速 回路 (D) 恒功率变量泵调速回路
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b.工作循环: 快进时，2YA通电，1YA、3YA、4YA均断电，液压缸 差动连接，快进。 Ⅰ工进时，2YA断电，其余电磁铁均断电，由调速阀 7调节Ⅰ工进速度。 Ⅱ工进时，3YA通电，其余电磁铁均断电，由调速阀 6调节Ⅱ工进速度。 快退时，1YA、2YA通电，3YA、4YA断电，液压缸快 退。 停止并卸荷，退回至原位停止，4YA通电，由先导 式溢流阀卸荷。
（3）平衡回路、快速回路、卸荷回路、换向 回路。
4、图示为某机床的油路图。
泵输出流量qp=30l/min，溢 流阀调定压力 py＝ 24×105Pa，液压缸两腔有效 面积A1=50 cm2， A2=25 cm2， 切削负载Ft=9000N，摩擦负 载Ff=1000N切削时通过调速 阀的流量为qT=1.2l/min，若
10、如图所示的液压系统，能实 现快进→Ⅰ工进→Ⅱ工进→快 退→停止并卸荷的工作循 环,Ⅰ工进比Ⅱ工进速度快。
电磁a铁.动将作表电磁铁动作填入表内;(通电 为 + ，断电为 - )；
b.试简述该液压系统如何实现上 述工作循环？并分别写出快进 和Ⅰ工进两
个动作时的进油路和回油路；
c.此系统主要包括哪些基本回路？ 阀6、阀7中哪一个阀口开度要 调得更
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d．容积调速回路中，（ ）的调速方式为恒转矩 调节；（ ）的调节为恒功率调节。
（A）变量泵—变量马达 （B）变量泵—定量马 达 （C）定量泵—变量马达
e．用同样定量泵，节流阀，溢流阀和液压缸组成 下列几种节流调速回路，（ ）能够承受负值负 载，（ ）的速度刚性最差，而回路效率最高。
1)说出各元件的名称，压力控 制阀4、5、6、9在系统中各 自的功用是什么？其压力应 如何调整？
2) 分析并简述系统的工作过程 和原理。
3)系统主要有哪些基本回路组 成？
邵陽學院機械與能源工程系
邵陽學院機械與能源工程系
• 解：（1）元件1、2—单向定量液压泵 3—单向阀 4—外控内泄顺序阀 5—内控外泄顺序阀 液压缸
进油路：泵1→电磁换向阀3（右位）→缸左腔 回油路：缸右腔→电磁换向阀4（左位）→电磁换向阀5
（左位）→调速阀7→油箱。 Ⅰ工进的速度由调速阀7调节。
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c.此系统基本回路包括：调压回路；差动快进回路； 回油节流调速回路；速度换接回路；换向回路； 卸荷回路。
调速阀6、阀7中阀6阀口开度要调得更小，因为阀 6调节的是比Ⅰ工进更慢的Ⅱ工进速度。
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油路流动： 快进：2YA通电，电磁换向阀4处于右位。其油路为： 进油路：泵1→电磁换向阀3（右位）→缸左腔 回油路：缸右腔→电磁换向阀4（右位）→电磁换向阀3
（右位）→缸左腔。 形成差动连接，液压缸快速前进。
Ⅰ工进：当液压缸接近工作位置，2YA断电，电磁换向阀4 左位接入油路，于是调速阀7接入油路，回油须经调速阀 7才能回油箱，此时油路为：
节流阀，只起回油路节流调
速的作用，缸的运动速度受 负载变化的影响；（C）溢 流节流阀两端压差很小，液
压缸回油腔背压很小，不能 进行调速。
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解：只有C正确，当溢流节流阀装在回油路上， 节流阀出口压力为零，差压式溢流阀有弹簧的一 腔油液压力也为零。当液压缸回油进入溢流节流 阀的无弹簧腔时，只要克服软弹簧的作用力，就 能使溢流口开度最大。这样，油液基本上不经节 流阀而由溢流口直接回油箱，溢流节流阀两端压 差很小，在液压缸回油腔建立不起背压，无法对 液压缸实现调速。
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6．图示的液压回路，原设计要求是夹紧缸I把工件夹 紧后，进给缸II才能动作；并且要求夹紧缸I的速度 能够调节。实际试车后发现该方案达不到预想目的， 试分析其原因并提出改进的方法。
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解：图（a）的方案中，要通过节流阀对缸I进行速 度控制，溢流阀必然处于溢流的工作状况。这时泵 的压力为溢流阀调定值，pB= py。B点压力对工件 是否夹紧无关，该点压力总是大于顺序阀的调定值 px，故进给缸II只能先动作或和缸I同时动作，因此 无法达到预想的目的。
在（b）图方案中，压力推动活塞到达终点后， 泵输出的油液全部经溢流阀2回油箱，此时不再 有油液流过节流阀，节流阀两端压力相等。因此， 建立不起压力差使液动阀动作，此方案不能正常 工作。
3．如图所示的液压系统，立式 液压缸活塞与运动部件的重 力为G，两腔面积分别为A1 和A2，泵1 和泵2 最大工作压 力为P1 ，P2，若忽略管路压 力损失，问：
图（b）是改进后的回路，它是把图（a）中顺序阀 内控方式改为外控方式，控制压力由节流阀出口A 点引出。这样当缸I在运动过程中， A点的压力取决 于缸I负载。当缸I夹紧工件停止运动后，A点压力升 高到py，使外控顺序阀接通，实现所要求的顺序动 作。图中单向阀起保压作用，以防止缸II在工作压 力瞬间突然降低引起工件自行松开的事故。
第二十二讲
习题课（二）
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一、各类液压与气压传动回路的工作原理、性能特点
1、液压基本回路
①压力控制回路：调压回路、卸载回路、减压回路、 增压回路、平衡回路、保压回路、泄压回路；
②调速回路和速度换接回路：定量泵节流调速回路、 变量泵容积调速回路、快速运动回路、速度换接回路；
元件的泄漏和损失忽略不计。 试求： 1） 活塞快速接近工件时，
活塞的运动速度v1（cm/s） 及回路的效率η1；（%）
2） 当切削进给时，活塞的
运动速度v2（cm/s）及回路 的效率η2。（%）
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5．在图示的回路中，旁通
型调速阀（溢流节流阀）装
在液压缸的回油路上，通过
分析其调速性能判断下面哪 些结论是正确的。（A）缸 的运动速度不受负载变化的 影响，调速性能较好；（B） 溢流节流阀相当于一个普通
2）系统的工作过程：系统的工作循环是定位—夹 紧—拔销—松开。其动作过程：当1DT得电、换向阀左位 工作时，双泵供油，定位缸动作，实现定位；当定位动 作结束后，压力升高，升至顺序阀A的调整压力值，A阀 打开，夹紧缸运动；当夹紧压力达到所需要夹紧力时，B 阀使大流量泵卸载，小流量泵继续供油，补偿泄漏，以 保持系统压力，夹紧力由溢流阀D控制，同时，压力继电 器C发讯，控制其他相关元件动作。
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思考题：
1．是门元件与非门元件结构相似，是门元件中阀芯底部有一弹簧， 非门元件中却没有，说明是门元件中弹簧的作用，去掉该弹簧是 门元件能否正常工作，为什么？
2. 在图示的系统中，两溢流阀的调定压力分别为60×105Pa、 20×105Pa。1）当py1＝60×105Pa，py2＝20×105Pa ，DT吸合和 断电时泵最大工作压力分别为多少？2）当py1＝20×105Pa，py2 ＝60×105Pa，DT吸合和断电时泵最大工作压力分别为多少？
小？
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元件 工序
1Y 2Y 3Y 4Y AAAA
快进
Ⅰ工进
Ⅱ工进
快退
停止并卸荷
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解：a.电磁铁动作表
元件 工序
快进
Ⅰ工进
Ⅱ工进 快退
停止并 卸荷
1YA 2YA 3YA 4YA
―― + ―― ――
―― ―― ―― ――
― ―― + ――
+
+ ―― ――
+
+ ―― +
（A）进油节流调速回 （B）回油节流调速回路 （C）旁路节流调速回路
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f．在定量泵－变量马达的容积调速回路中，如 果液压马达所驱动的负载转矩变小，若不考虑泄 漏的影响，试判断马达转速（ ）；泵的输出功 率（ ）。 （A）增大 （B）减小 （C）基本不变 （D）无 法判断
g．在限压式变量泵与调速阀组成的容积节流调 速回路中，若负载从F1降到F2而调速阀开口不 变时，泵的工作压力（ ）；若负载保持定值而 调速阀开口变小时，泵工作压力（ ）。 （A） 增加 （B）减小 （C）不变
2．图（a），（b） 所示为液动阀换向
回路。在主油路中
接一个节流阀，当
活塞运动到行程终
点时切换控制油路 的电磁阀3，然后利 用节流阀的进油口 压差来切换液动阀4， 实现液压缸的换向。 试判 断图示两种方
案是否都能正常工 作？
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解：在（a）图方案中，溢流阀2装在节流阀1的后 面，节流阀始终有油液流过。活塞在行程终了后， 溢流阀处于溢流状态，节流阀出口处的压力和流 量为定值，控制液动阀换向的压力差不变。因此， （a）图的方案可以正常工作。
夹紧的顺序动作，调整压力略大于10×105Pa ；
B为卸荷阀，作用是定位、夹紧动作完成后，使大流量
泵卸载，调整压力略大于10×105Pa ；
C为压力继电器，作用是当系统压力达到夹紧压力时，
发讯控制其他元件动作，调整压力为30×105Pa
D 为溢流阀，作用是夹紧后，起稳压作用，调整压力
为30×105Pa 。
么回路能实现（ ）调压 （A）一级 （B）二级 （C）三级 （D）四级
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b．在下 面几种调速回路中，（ ）中的溢流阀是安全 阀，（ ）中的溢流阀是稳压阀。 (A) 定量泵和调速阀的进油节流调速回路 (B) 定量泵和旁通型调速阀的节流调速回路 (C) 定量泵和节流阀的旁路节流调速回路 (D) 定量泵和变量马达的闭式调速回路 c．在下列调速回路中，（ ）为流量适应回路，（ ） 为功率适应回路。 (A) 限压式变量泵和调速阀组成的调速回路 (B) 差压式变量泵和节流阀组成的调速回路 (C) 定量泵和旁通型调速阀（溢流节流阀）组成的调速 回路 (D) 恒功率变量泵调速回路
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b.工作循环: 快进时，2YA通电，1YA、3YA、4YA均断电，液压缸 差动连接，快进。 Ⅰ工进时，2YA断电，其余电磁铁均断电，由调速阀 7调节Ⅰ工进速度。 Ⅱ工进时，3YA通电，其余电磁铁均断电，由调速阀 6调节Ⅱ工进速度。 快退时，1YA、2YA通电，3YA、4YA断电，液压缸快 退。 停止并卸荷，退回至原位停止，4YA通电，由先导 式溢流阀卸荷。
（3）平衡回路、快速回路、卸荷回路、换向 回路。
4、图示为某机床的油路图。
泵输出流量qp=30l/min，溢 流阀调定压力 py＝ 24×105Pa，液压缸两腔有效 面积A1=50 cm2， A2=25 cm2， 切削负载Ft=9000N，摩擦负 载Ff=1000N切削时通过调速 阀的流量为qT=1.2l/min，若
10、如图所示的液压系统，能实 现快进→Ⅰ工进→Ⅱ工进→快 退→停止并卸荷的工作循 环,Ⅰ工进比Ⅱ工进速度快。
电磁a铁.动将作表电磁铁动作填入表内;(通电 为 + ，断电为 - )；
b.试简述该液压系统如何实现上 述工作循环？并分别写出快进 和Ⅰ工进两
个动作时的进油路和回油路；
c.此系统主要包括哪些基本回路？ 阀6、阀7中哪一个阀口开度要 调得更
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d．容积调速回路中，（ ）的调速方式为恒转矩 调节；（ ）的调节为恒功率调节。
（A）变量泵—变量马达 （B）变量泵—定量马 达 （C）定量泵—变量马达
e．用同样定量泵，节流阀，溢流阀和液压缸组成 下列几种节流调速回路，（ ）能够承受负值负 载，（ ）的速度刚性最差，而回路效率最高。
1)说出各元件的名称，压力控 制阀4、5、6、9在系统中各 自的功用是什么？其压力应 如何调整？
2) 分析并简述系统的工作过程 和原理。
3)系统主要有哪些基本回路组 成？
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• 解：（1）元件1、2—单向定量液压泵 3—单向阀 4—外控内泄顺序阀 5—内控外泄顺序阀 液压缸
进油路：泵1→电磁换向阀3（右位）→缸左腔 回油路：缸右腔→电磁换向阀4（左位）→电磁换向阀5
（左位）→调速阀7→油箱。 Ⅰ工进的速度由调速阀7调节。
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c.此系统基本回路包括：调压回路；差动快进回路； 回油节流调速回路；速度换接回路；换向回路； 卸荷回路。
调速阀6、阀7中阀6阀口开度要调得更小，因为阀 6调节的是比Ⅰ工进更慢的Ⅱ工进速度。
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油路流动： 快进：2YA通电，电磁换向阀4处于右位。其油路为： 进油路：泵1→电磁换向阀3（右位）→缸左腔 回油路：缸右腔→电磁换向阀4（右位）→电磁换向阀3
（右位）→缸左腔。 形成差动连接，液压缸快速前进。
Ⅰ工进：当液压缸接近工作位置，2YA断电，电磁换向阀4 左位接入油路，于是调速阀7接入油路，回油须经调速阀 7才能回油箱，此时油路为：
节流阀，只起回油路节流调
速的作用，缸的运动速度受 负载变化的影响；（C）溢 流节流阀两端压差很小，液
压缸回油腔背压很小，不能 进行调速。
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解：只有C正确，当溢流节流阀装在回油路上， 节流阀出口压力为零，差压式溢流阀有弹簧的一 腔油液压力也为零。当液压缸回油进入溢流节流 阀的无弹簧腔时，只要克服软弹簧的作用力，就 能使溢流口开度最大。这样，油液基本上不经节 流阀而由溢流口直接回油箱，溢流节流阀两端压 差很小，在液压缸回油腔建立不起背压，无法对 液压缸实现调速。
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6．图示的液压回路，原设计要求是夹紧缸I把工件夹 紧后，进给缸II才能动作；并且要求夹紧缸I的速度 能够调节。实际试车后发现该方案达不到预想目的， 试分析其原因并提出改进的方法。
邵陽學院機械與能源工程系
邵陽學院機械與能源工程系
解：图（a）的方案中，要通过节流阀对缸I进行速 度控制，溢流阀必然处于溢流的工作状况。这时泵 的压力为溢流阀调定值，pB= py。B点压力对工件 是否夹紧无关，该点压力总是大于顺序阀的调定值 px，故进给缸II只能先动作或和缸I同时动作，因此 无法达到预想的目的。
在（b）图方案中，压力推动活塞到达终点后， 泵输出的油液全部经溢流阀2回油箱，此时不再 有油液流过节流阀，节流阀两端压力相等。因此， 建立不起压力差使液动阀动作，此方案不能正常 工作。
3．如图所示的液压系统，立式 液压缸活塞与运动部件的重 力为G，两腔面积分别为A1 和A2，泵1 和泵2 最大工作压 力为P1 ，P2，若忽略管路压 力损失，问：
图（b）是改进后的回路，它是把图（a）中顺序阀 内控方式改为外控方式，控制压力由节流阀出口A 点引出。这样当缸I在运动过程中， A点的压力取决 于缸I负载。当缸I夹紧工件停止运动后，A点压力升 高到py，使外控顺序阀接通，实现所要求的顺序动 作。图中单向阀起保压作用，以防止缸II在工作压 力瞬间突然降低引起工件自行松开的事故。