2017年成都市武侯区二诊数学试题
成都2017届二诊模拟考试数学试卷(理科)试题及答案
成都2017届二诊模拟考试数学试卷(理科)(时间:120分钟,总分:150分)一.选择题(每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求.把答案涂在答题卷上.) 1.已知集合}2,1,0,1,2{--=A ,}0lg |{≤=x x B ，则B A ＝（ ）A }1{B }1,0{C }2,1,0{D }2,1{2.已知i 是虚数单位，若17(,)2ia bi ab R i+=+∈-，则ab 的值是（ ） A －15 B －3 C 3 D 153.如图，某组合体的三视图是由边长为2的正方形和直径为2的圆组成，则它的体积为（ ） A π44+ B π48+ C π344+ D π348+ 4.为了得到函数41log 2+=x y 的图像，只需把函数x y 2log =的图象上所有的点（ ）A 向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度B 向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度C 向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度D 向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度 5. 某程序框图如图所示，若使输出的结果不大于20，则输入的整数的最大值为（ ）A 3B 4C 5D 6 6.如图，圆锥的高2=PO ，底面⊙O 的直径2=AB ， C 是圆上一点，且︒=∠30CAB ，D 为AC 的中点，则直线OC 和平面所成角的正弦值为（ ） A 21 B 23 C 32D 317.若曲线1C ：2220x y x +-=与曲线2C ：()0y y mx m --=有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是（ ）A (3-，3) B (3-0)∪(0，3)C [-∞，∪+∞)iPAC 正视图侧视图俯视图8.三棱锥A BCD -中，,,AB AC AD 两两垂直，其外接球半径为2，设三棱锥A BCD -的侧面积为S ，则S 的最大值为（ ）A 4B 6C 8D 16 9.已知221)a ex dx π-=⎰，若2017220170122017(1)()ax b b x b x b x x R -=++++∈，则20171222017222b b b +++的值为（ ） A 0 B -1 C 1 D e10.由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国数学家戴金德提出了“戴金德分割”，才结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机．所谓戴金德分割，是指将有理数集Q 划分为两个非空的子集M 与N ，且满足M ∪N=Q ，M ∩N=∅，M 中的每一个元素都小于N 中的每一个元素，则称（M ，N ）为戴金德分割．试判断，对于任一戴金德分割（M ，N ），下列选项中一定不成立的是（ ） A M 没有最大元素，N 有一个最小元素 B M 没有最大元素，N 也没有最小元素 C M 有一个最大元素，N 有一个最小元素 D M 有一个最大元素，N 没有最小元素11.已知函数3211()201732f x mx nx x =+++，其中{2,4,6,8},{1,3,5,7}m n ∈∈，从这些函数中任取不同的两个函数，在它们在(1,(1))f 处的切线相互平行的概率是（ ）A 7120B 760C 730D 以上都不对12.若存在正实数,,x y z 满足 2zx ez ≤≤且ln y z x z =，则ln y x 的取值范围为（ ）A [1,)+∞B [1,1]e -C (,1]e -∞-D 1[1,ln 2]2+二.填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题卷的横线上.) 13. 在中，边、、分别是角、、的对边，若，则=B c o s ．14.已知点的坐标满足条件400x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，若点为坐标原点，点(1,1)M --，那么OM OP ⋅的最大值等于_________.15.动点(,)M x y 到点(2,0)的距离比到y 轴的距离大2，则动点M 的轨迹方程为_______.16.在△ABC 中，A θ∠=，,D E 分别为,AB AC 的中点，且BE CD ⊥,则cos 2θ的最小值为___________.三.解答题(17-21每小题12分, 22或23题10分,共70分.在答题卷上解答,解答应写出文字说明,证明过程或(,)P x y O演算步骤.)17.设数列{}n a 的前n 项和12n n S a a =-，且123,1,a a a +成等差数列. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列1{}nn a -的前n 项和n T ．18. 为宣传3月5日学雷锋纪念日，成都七中在高一，高二年级中举行学雷锋知识竞赛，每年级出3人组成甲乙两支代表队，首轮比赛每人一道必答题，答对则为本队得1分，答错不答都得0分，已知甲队3人每人答对的概率分别为321,,432，乙队每人答对的概率都是23．设每人回答正确与否相互之间没有影响，用X表示甲队总得分．（1）求随机变量X 的分布列及其数学期望()E X ； （2）求甲队和乙队得分之和为4的概率．19．已知等边△//AB CBCD中，1,BD CD BC ==1所示），现将B 与/B ，C 与/C 重合，将△//AB C向上折起，使得AD =2所示）.（1）若BC 的中点O ，求证：⊥平面BCD 平面AOD ;（2）在线段AC 上是否存在一点E ，使ED BCD 与面成30角，若存在，求出CE 的长度，若不存在，请说明理由;（3）求三棱锥A BCD -的外接球的表面积.BACD20.已知圆222:2,E x y +=将圆2E按伸缩变换：//x x y y ⎧=⎪⎨=⎪⎩后得到曲线1E ， （1）求1E 的方程；（2）过直线2x =上的点M 作圆的两条切线，设切点分别是A ，B ，若直线AB 与交于C ,D 两点，求的取值范围.21.已知函数()sin ln sin g x x x θθ=--在[1,)+∞单调递增，其中(0,)θπ∈ （1）求θ的值； （2）若221()()x f x g x x-=+，当[1,2]x ∈时，试比较()f x 与/1()2f x +的大小关系（其中/()f x 是()f x 的导函数），请写出详细的推理过程；（3）当0x ≥时，1(1)xe x kg x --≥+恒成立，求k 的取值范围.请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.2E 1E CD AB22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C ：2sin 2cos (0)a a ρθθ=>，又过点(2,4)P --的直线l的参数方程为224x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(t 为参数)，l 与曲线C 分别交于M ，N.(1)写出曲线C 的平面直角坐标系方程和l 的普通方程； (2)若,,PM MN PN 成等比数列，求a 的值.23．选修4-5：不等式选讲设函数()f x =1(0)x x a a a++->（1）证明：()2f x ≥；（2）若()35f <，求a 的取值范围.成都2017届二诊模拟考试数学试卷(理科参考答案）一、 选择题 1-5：ABDCB 6-10：CBCBC 11-12：BB 二、填空题 13.31 14. 4 15. 28(0)y x x =≥或0(0)y x =< 16.725三、解答题 17 .解：（1）由已知12n n S a a =-有1122(1)n n n n n a S S a a n --=-=->，即12(1)n n a a n -=>. 从而21312,4a a a a ==. 又∵123,1,a a a +成等差数列，即1322(1)a a a +=+，∴11142(21)a a a +=+，解得12a =.∴数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列 故2n n a =．…………6分 （2）由（1）得112n n n n a -=-， 因数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1是首项为21，公比为21的等比数列，∴11[1()](1)1(1)221122212n n n n n n n T -++=-=---．………………12分 18．解：（1）X 的可能取值为0，1，2，3．1111(0)43224P X ==⨯⨯= ,3111211111(1)4324324324P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=,32112131111(2)43243243224P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=,3211(3)4324P X ==⨯⨯=,X ∴…………………………………………6分1111123()012324424412E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．………………………………7分 （2）设“甲队和乙队得分之和为4”事件Ａ，包含“甲队３分且乙队１分”，“甲队2分且乙队2分”,“甲队1分且乙队3分”三个基本事件，则：31)32(4131)32(2411)31(3241)(3223213=⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=C C A P ．………………12分 19. 解：（1）∵△ABC 为等边三角形，△BCD 为等腰三角形，且O 为中点 ∴,BC AO BC DO ⊥⊥，AO DO O ⋂=，BC AOD ∴⊥平面，又BC ABC ⊂面 ∴⊥平面BCD 平面AOD ………………3分（2）（法1）作,A H D O ⊥交DO 的延长线于H ，则平面BCD ⋂平面,AOD HD =则AH BCD ⊥平面，在Rt BCD ∆中，122OD BC ==， 在Rt ACO ∆中，AO AC ==AOD ∆中，222cos 2AD OD AO ADO AD OD +-∠==⋅，sin 3ADO ∴∠=，在R t A D H ∆中sin 1AH AD ADO =∠=，设(0C E x x =≤≤，作E F C H F ⊥于，平面A H C ⊥平面B C D ，,EF BCD EDF ∴⊥∠平面就是E D B C D 与面所成的角。
四川省成都市武侯区2017-2018学年九年级下第二次诊断性检测数学试题(无答案)
成都市武侯区2018年九年级第二次诊断性检测试题数 学A 卷（共100分）第Ⅰ卷（选择题 ，共30分）一、选择题（本大题共 10个小题，每小题 3 分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）1.如果 a 与21互为相反数，则 a 等于 A.21 B.21- C.2 D.-2 2.如图所示的几何体是由 6 个完全相同的小立方块搭成，则这个几何体的左视图是A B C D3.从成都经川南到贵阳的成贵客运专线正在建设中，这项工程总投资约 780亿元，预计2019 年12月建成通车，届时成都到贵阳只要 3 小时，这段铁路被称为“世界第一条山区高速铁路”. 将数据780亿用科学计数法表示为A.91078⨯B.8108.7⨯C.10108.7⨯D.11108.7⨯4.下列计算正确的是A.()63262a a -=-B.3332a a a =+C.236a a a =÷D.933a a a =∙5.在平面直角坐标系中，若直线12-+=k x y 经过第一、二、三象限，则 k 的取值范围是A.1＞kB.2＞kC.1＜kD.2＜k6.如图，直线 a ∥b ，直线 c 与直线 a 、b 分别相交于点 A 、B 过 A 作 AC ⊥b ，垂足为 C ，若∠1=48°，则∠2的度数为第6题 第9题 第10题A.58°B.52°C.48°D.42°7.武侯区部分学校已经开展“分享学习”数学课堂教学，在刚刚结束的 3 月份的月考中，某班 7 个共学小组的数学平均成绩分别为 130 分、128 分、126 分、130 分、127 分、129 分、131 分，则这组数据的众数和中位数分别是A.131分,130分B.130分,126分C.128分,128分D.130分,129分8.关于x 的一元二次方程5322-=-x x 的根的情况，下列说法正确的是A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.不能确定9. 如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都为 1，△AOB 的三个顶点都在格点上，现将△AOB 绕点O 逆时针旋转 90°后得到对应的△COD ，则点A 经过的路径弧AC 的长为A.π23B.πC.2πD.3π10.如图，抛物线()02≠++=a c bx ax y 与 x 轴的一个交点坐标为 ( 3,0)，对称轴为直线1-=x ，则下列说法正确的是A.0＜aB.042＜ac b -C.0=++c b aD.y 随x 的增大而增大第Ⅱ卷（非选择题 ，共70分）二、填空题（本大题共 4个小题，每小题 4分，共 16分，答案写在答题卡上） 11.49的算术平方根是______.12.已知22=+b a ，42-=-b a ，则=-224b a ______.13.如图，在△ABC 中，D 为AB 的中点，E 为AC 上一点，连接 DE ，若AB=12，AE=8，∠ABC =∠AED ，则AC=______.第13题 第14题14.如图，将矩形纸片ABCD 沿直线AF 翻折，使点B 恰好落在CD 边的中点E 处，点F 在BC 边上，若CD=6，则AD=______.三、解答题（本大题共 6个小题，共 54分，解答过程写在答题卡上）15.（本小题满分 12 分，每题 6 分）（1）计算：()2360sin 220183101-+︒+--⎪⎭⎫ ⎝⎛-π（2）求不等式组()⎪⎩⎪⎨⎧--≤-13242-32x x x ＞的整数解.16.（本小题满分6分）先化简，再求值：121113++÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+--a a a a ，其中13+=a .17.（本小题满分 8分）为了减轻二环高架上汽车的噪音污染，成都市政府计划在高架上的一些路段的护栏上方增加隔音屏. 如图，工程人员在高架上的车道 M 处测得某居民楼顶的仰角∠ABC的度数是 20°，仪器 BM 的高是 0.8m，点M 到护栏的距离 MD 的长为 11m，求需要安装的隔音屏的顶部到桥面的距离 ED 的长（结果保留到 0.1m，参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈ 0.94，tan20°≈0.36）18.（本小题满分8分）为了弘扬中国传统文化，“中国诗词大会”第三季已在中央电视台播出. 某校为了解九年级学生对“中国诗词大会”的知晓情况，对九年级部分学生进行随机抽样调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据统计图的信息，解答下列问题：（1）求在本次抽样调查中，“基本了解”中国诗词大会的学生人数；（2）根据调查结果，发现“很了解”的学生中有三名同学的诗词功底非常深厚，其中有两名女生和一名男生. 现准备从这三名同学中随机选取两人代表学校参加“武侯区诗词大会”比赛，请用画树状图或列表的方法，求恰好选取一名男生和一名女生的概率.19.（本小题满分10分）如图，一次函数b kx y +=的图象与反比例函数xm y =的图象相交于A( n,3)，B(3, 2)两点，过 A 作AC ⊥x 轴于点C ，连接 OA.（1）分别求出一次函数与反比例函数的表达式；（2）若直线 AB 上有一点 M ，连接 MC ，且满足AOC ABC S S △△2=，求点 M 的坐标.20.（本小题满分 10 分）如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，连接 CB ，过 C 作 CD ⊥AB 于点 D ，过 C 作∠BCE ，使∠BCE=∠BCD ，其中 CE 交 AB 的延长线于点 E.（1）求证：CE 是⊙O 的切线；（2）如图 2，点 F 在⊙O 上，且满足∠FCE=2∠ABC ，连接 AF 并延长交 EC 的延长线于点 G.ⅰ）试探究线段 CF 与 CD 之间满足的数量关系；ⅱ）若CD=4，21tan =∠BCE ，求线段 FG 的长.图1 图2B 卷（共50分）一、填空题（本大题共 5个小题，每小题 4 分，共20分，答案写在答题卡上）21.若 a 为实数，则代数式6-a 4a 2+的最小值为______.22.对于实数 m ，n 定义运算“※”：m ※n=mn(m+n)，例如：4※2=4×2（4+2）=48，若x 1、x 2是关于 x 的一元二次方程03x 5-x 2=+的两个实数根，则x 1※x 2= ______.23.如图，有 A 、B 、C 三类长方形（或正方形）卡片（a ＞b ），其中甲同学持有 A 、B 类卡片各一张，乙同学持有 B 、C 类卡片各一张，丙同学持有 A 、C 类卡片各一张，现随机选取两位同学手中的卡片共四张进行拼图，则能拼成一个正方形的概率是______.第23题 第24题 第25题24.如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD 的边OB 在x 轴上，过点C(3, 4)的双曲线与 AB 交于点 D ，且AC=2AD ，则点 D 的坐标为______.25.如图，有一块矩形木板 ABCD ，AB=13dm ，BC=8dm ，工人师傅在该木板上锯下一块宽为x dm 的矩形木板 MBCN ，并将其拼接在剩下的矩形木板 AMND 的正下方，其中'M 、'B 、'C 、'N 分别与 M 、B 、C 、N 对应. 现在这个新的组合木板上画圆，要使这个圆最大，则 x 的取值范围是______，且最大圆的面积是______2dm二、解答题（本大题共 3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）26.（本小题满分 8 分）成都市中心城区“小游园，微绿地”规划已经实施，武侯区某街道有一块矩形空地进入规划试点. 如图，已知该矩形空地长为 90m ，宽为 60m ，按照规划将预留总面积为 45362m 的四个小矩形区域（阴影部分）种植花草，并在花草周围修建三条横向通道和三条纵向通道，各通道的宽度相等.（1）求各通道的宽度；（2）现有一工程队承接了对这 45362m 的区域（阴影部分）进行种植花草的绿化任务，该m的绿化任务后，将工作效率提高 25%，结工程队先按照原计划进行施工，在完成了 5362果提前 2 天完成任务，求该工程队原计划每天完成多少平方米的绿化任务？27.（本小题满分 10 分）如图，已知△ABC 是等边三角形，点 D、E 分别在 AC、AB 上，且 CD =AE，BD 与 CE 相交于点P.（1）求证：△ACE≌△CBD；（2）如图 2，将△CPD 沿直线 CP 翻折得到对应的△CPM，过 C 作 CG∥AB，交射线 PM 于点 G，PG与 BC 相交于点 F，连接 BG.ⅰ）试判断四边形 ABGC 的形状，并说明理由；6，PF=1，求 CE 的长.ⅱ）若四边形 ABGC 的面积为328.（本小题满分12分） 在平面直角坐标系中，抛物线46212+-=x x y 的顶点 A 在直线2-=kx y 上. （1）求直线的函数表达式；（2）现将抛物线沿该直线方向进行平移，平移后的抛物线的顶点为'A ，与直线的另一交点为'B ，与x 轴的右交点为 C （点 C 不与点'A 重合），连接C B '、C A '.ⅰ）如图，在平移过程中，当点'B 在第四象限且'''C B A △的面积为 60 时，求平移的距离'AA 的长；ⅱ）在平移过程中，当'''C B A △是以''B A 为一条直角边的直角三角形时，求出所有满足条件的点'A 的坐标.。
2017武侯区二诊数学试卷答案
答 案 证明见解析.
解 析 ∵CD为⊙O直径， ∴ ， ∘
∠DEC = 90
又∵C A⊥C B， ∴ ， ， ED//BC ∠ADE = ∠B ∵AB切⊙O于D， ∴ ， ∘
∠C DB = ∠DEA = 90
又∵AE = C D， ∴△AED≌△C ． DB
iz （2） 如图2，连接BE分别交CD和⊙O于点F、G，连接C ， G DG sh ⅰ）试探究线段DG与BF 之间满足的等量关系，并说明理由 ji ⅱ）若DG = √2，求⊙O的周长（结果保留π）．
∵ ， ∠DGC = ∠C DB = 90∘
∴ ， ∠GDF = ∠GF D
∴ ， DG = F G
∴ ． 1 DG = BF 2
ⅱ）
∵ ， ， DE⊥AC BC ⊥AC
∴ ， DE//BC
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填空题（每小题4分，共20分） 解答题（共30分）
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A卷（共100分） 选择题（每小题3分，共30分） 填空题（每小题4分，共16分） 解答下列各题（满分54分） B卷（共50分）
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01 18. 如图，一艘轮船从A港出发沿射线AB方向开往B港，在A港测得灯塔P 在北偏东60∘方向上，在B港测得灯塔P 在北偏西25∘方
向上，已经AP = 60海里，过P 作P D⊥AB于点D．
（1） 求灯塔P 到轮船航线的距离P D的长．
答 案 ． 30
解析
． P D = AP × sin 30∘ = 30
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A卷（共100分） 选择题（每小题3分，共30分） 填空题（每小题4分，共16分） 解答下列各题（满分54分） B卷（共50分）
（1） 填空：被调查的学生共有______名
成都市武侯区2017年九年级第二次诊断性检测试题
正五边形平行四边形正方形等边三角形EF A B CD 21lA B C E F成都市武侯区2017年九年级数学第二次诊断性检测试题班级______________ 姓名________________A 卷（共100分）一、选择题（本答题共10个小题模块，每小题3分，共30分）A ．5B ．12- C D ．3.62．下列图形中，既是轴对称又是中心对称的图形是（ ）A ．B ．C ．D ．3．刚刚过去的2017年春运总里程达到12亿千米，约等于地球到太阳距离的8倍. 用科学记数法表示12亿为（ ）A ．91.210⨯B ．81.210⨯C ．91210⨯D ．81210⨯ 4．如图，AB ∥CD ，直线l 交AB 于点E ，交CD 于F 点，若∠1=70°，则∠2的度数为（ ） A ．20° B ．70° C ．110° D ．160°4题图 8题图 10题图 5．下列计算正确的是（ ） A ．224a a a +=B ．23236x x x ⋅=C ．()224a b a b -=D ．()2239x x +=+6．将直线23y x =+向下平移4个单位长度，得到的直线的函数表达式是（ ） A ．21y x =- B ．21y x =+ C ．43y x =-+ D ．27y x =+7．如果3a b +=，则代数式222a b a b a a--÷的值为（ ） A ．13B ．16 C ．3D ．68．如图，在菱形ABCD 中，AB=12，点E 为AD 上一点，BE 交AC 于点F ，若13AF FC =，则AE 的长为（ ）B'C'A B C 9．二次函数2243y x x =+-的图象的对称抽为（ ） A ．直线2x = B ．直线4x = C ．直线3x =-D ．直线1x =-10．如图，⊙O 的直径AB=6，点C 在⊙O 上，连接AC ，OC. 若∠A=35°，则BC 的长为（ ）A ．12πB ．73πC ．76π D ．2π二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，答案写在答题卡上）11．在函数35y x =-中，自变量x 的取值范围是_______________.12．如图，△ABC 的顶点A 、B 都在格点上，将△ABC 绕点A 顺时针旋转得到相应的△AB'C'，且点B 的对应点B'也在格点上，则∠CAC'12题图 13题图13．如图，点P 在反比例函数()0ky x x=<的图象上，过P 作x 轴，y 轴的垂线，垂足分别为点A ，B. 已知矩形PAOB 的面积为3，则k =__________.14．位于武侯区“中国女鞋之都”的某制鞋企业为了了解初中学生穿鞋的尺码情况，选择对某校的40名女生进行了调查，结果如下表所示，那么在平均数、中位数、众数三个统计量中，该制鞋企业最感兴趣的统计量是_____________，该统计量的数值是__________码.三、解答题（本大题共6个小题，共54分，解答过程写在答题卡上）15．（本小题满分12分，每题6分） （1）计算：()2cos60 3.14π+︒--；43210-1-2做家务情况的扇形统计图经常做偶尔做不做坚持做30%（2）已知关于x 的一元二次方程2210x kx ++=的一个根为1，求k 的值和该方程的另一个根.16．（本小题满分6分）解不等式组()5231131522x x x x -≥-⎧⎪⎨-<-⎪⎩，并把解集在所给数轴上表示出来.17．（本小题满分8分）“工匠精神”一词被写入去年的政府工作报告，全国人大代表曾呼吁孩子从小就要养成劳动习惯，培育“工匠精神”. “五·一”劳动节即将到来，武侯区某校为了了解学生做家务的情况，对学校部分学生进行了随机问卷调查，并将调查结果绘制成了如下所示的两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）填空：被调查的学生共有__________名； （2）请补全条形统计图；若该学校共有1000名学生，试估计该学校学生做家务情况是“坚持做”和“经常做”的共有多少名？PA BD MN60°25°东北如图，一艘轮船从A 港出发沿射线AB 方向开往B 港，在A 港测得灯塔P 在北偏东60°方向上，在B 港测得灯塔P 在北偏西25°方向上. 已知AP=60海里，过P 作PD ⊥AB 于点D.（1）求灯塔P 到轮船航线的距离PD 的长；（2）若轮船从A 港到B 港的航行时间为4小时，求轮船航行的平均速度（结果保留根号；参考数据：21sin 2550︒≈，9cos2510︒≈，7tan 2515︒≈）.19．（本小题满分10分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，正比例函数53y x =的图象与反比例函数()0ky x x=>的图象相交于点A （a ，5）.（1）求反比例函数的表达式；（2）点B 在反比例函数的图象上，过B 作BC ∥x 轴，交y 轴于点C ，连接AB 、AC ，且AB=AC. 求点B 的坐标及△AOC 的面积.图2图1如图，CD 为⊙O 的直径，直线AB 与⊙O 相切于点D ，过C 作CA ⊥CB ，分别交直线AB 于点A 和B ，CA 交⊙O 于点E ，连接DE ，且AE=CD.（1）如图1，求证：△AED ≌△CDB ；（2）如图2，连接BE 分别交CD 和⊙O 于点F ，G ，连接CG ，DG. ⅰ）试探究线段DG 与BF 之间满足的等量关系，并说明理由；ⅱ）若O 的周长.（结果保留π）B 卷（共50分）一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）21．若73a c eb d f ===，则230b d f +-≠，那么2323ac e bd f +-+-=_____________.22．在一个不透明的盒子中装有x 颗白色棋子和y 颗黑色棋子，它们除颜色外完全相同，现从该盒子中随机抽取一颗棋子，取得白色棋子的概率为25. 将取出的棋子放回，再往该盒子中放进6颗同样的黑色棋子，此时从盒子中随机取出一颗棋子，取得白色棋子的概率是14，那么原来盒子中的白色棋子有_________颗.23．我们知道，同底数幂的乘法法则为：m n m n a a a +⋅=（其中0a ≠；m ，n 为正整数），类似地我们规定关于任意正整数m ，n 的一种新运算：()()()h m n h m h n +=⋅，请根据这种新运A B C D （1）若()213h =，则()2h =____________. （2）若()()10h k k =≠，那么()()2017h n h ⋅=_________.（用含n 和k 的代数式表示，其中n 为正整数）24．如图，直线8y x =-+与双曲线ky x=相交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，点P 是线段BC 上的动点（点P 不与点B 、C 重合），过点P 作y 轴的平行线，交双曲线于点D ，连接CD. 若点A 的横坐标为1-，则△PDC 的面积的最大值为__________.25题图25．如图，⊙O 的直径AB=12，点C ，D 在⊙O 上，连接BC ，CD ，且BC=CD ，若直线CD 与直线AB 相交于点E ，AE=2，则弦BD 的长为____________. 二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）26．（本小题满分8分）小明和小颖在如图所示的四边形场地上，沿边骑自行车进行场地追逐赛（两人中只要一人回到自己的出发点，则比赛结束）. 小明从A 地出发，沿A →B →C →D →A 的路线匀速骑行，速度为8米/秒；小颖从B 地出发，沿B →C →D →A →B 的路线匀速骑行，速度为6米/秒. 已知∠ABC=90°，AB=40米，BC=80米，CD=90米. 设骑行时间为t 秒，假定他们同时出发且每转一个弯需要额外耗时2秒.（1）填空：当t =_________秒时，两人第一次到B 地的距离相等；（2）试问小明能否在小颖到达D 地前追上她？如能，求出此时t 的值；若不能，请说明理由.如图，在矩形ABCD中，E为CD上一点，若△ADE沿直线AE翻折，使点D落在BC边上点D'处.（1）如图1，求证：△CD'E∽△BAD'；（2）如图2，F为AD上一点，且DF=CD'，EF与BD相交于点G. 试探究EF与BD的位置关系，并说明理由；（3）设AD'与BD相交于点H，在（2）的条件下，若D'E∥BD，HG=2，求BD的长.如图，在平面直角坐标系xOy中，边长为4的正方形OABC的顶点A在x轴上，顶点C 在y轴上，点D是OA的中点，连接CD，过D作DE⊥CD，且DE=CD，以点D为顶点的抛物线刚好经过E点. P为射线CB上一点，过点P作PF⊥CD于点F.（1）求E点坐标及抛物线的表达式；（2）若点P从点C出发，沿射线CB以每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为t秒，则当t为何值时，以点P、F、D为顶点的三角形与△COD相似？（3）点Q为抛物线上一点，当点Q在直线PF上，且满足以点D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，求点Q的坐标.。
2017年四川省成都市武侯区中考数学二诊试卷-(27488)
2017年四川省成都市武侯区中考数学二诊试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）下列各数中，为无理数的是（）A．5 B．C．D．3.6 2．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．等边三角形B．正方形C．平行四边形D．正五边形3．（3分）刚刚过去的2017年春运总里程达到12亿千米，约等于地球到太阳距离的8倍，用科学记数法表示12亿为（）A．1.2×109B．1.2×108C．12×109D．12×1084．（3分）如图，AB∥CD，直线l交AB于点E，交CD于F点，若∠1=70°，则∠2的度数为（）A．20°B．70°C．110°D．160°5．（3分）下列计算正确的是（）A．a2+a2=a4B．2x•3x2=6x3C．（﹣a2b）2=a4b D．（x+3）2=x2+96．（3分）将直线y=2x+3向下平移4个单位长度，得到的直线的函数表达式是（）A．y=2x﹣1 B．y=2x+1 C．y=﹣4x+3 D．y=2x+77．（3分）如果a+b=3，则代数式÷的值为（）A．B．C．3 D．6 8．（3分）如图，在菱形ABCD中，AB=12，点E为AD上一点，BE交AC于点F，若=，则AE的长为（）A．3 B．4 C．5 D．6 9．（3分）二次函数y=2x2+4x﹣3的图象的对称轴为（）A．直线x=2 B．直线x=4 C．直线x=﹣3 D．直线x=﹣110．（3分）如图，⊙O的直径AB=6，点C在⊙O上，连接AC，OC，若∠A=35°，则的长为（）A．πB．πC．πD．2π二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）11．（4分）函数y=中，自变量x的取值范围为．12．（4分）如图，△ABC的顶点A，B都在格点上，将△ABC绕点A顺时针旋转得到相应的△AB′C′，且点B的对应点B′也在格点上，则∠CAC′的度数为．13．（4分）如图，点P在反比例函数y=（x ＜0）的图象上，过P作x轴，y轴的垂线，垂足分别为点A，B，已知矩形PAOB的面积为3，则k= ．14．（4分）位于武侯区“中国女鞋之都”的某制鞋企业为了了解初中学生穿鞋的尺码情况，选择对某校的40名女生进行了调查，结果如下表所示，那么在平均数、中位数、众数三个统计量中，该制鞋企业最感兴趣的统计量是，该统计量的数值是码．三、解答题（本大题共6小题，共54分）15．（12分）（1）计算：（）2+cos60°﹣+（3.14﹣π）0（2）已知关于x的一元二次方程2x2+kx+1=0的一个根为1，求k的值和该方程的另一个根．16．（6分）解不等式组，并把解集在所给数轴上表示出来．17．（8分）“工匠精神”一词被写入去年的政府工作报告，全国人大代表曾呼吁孩子从小就要养成劳动习惯，培育“工匠精神”，“五•一”劳动节即将到来，武侯区某校为了了解学生做家务的情况，对学校部分学生进行了随机问卷调查，并将调查结果绘制成如下所示的两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）填空：被调查的学生共有名；（2）请补全条形统计图，若该校共有1000名学生，试估计该校学生做家务情况是“坚持做”和“经常做”的共有多少名？18．（8分）如图，一艘轮船从A港出发沿射线AB方形开往B港，在A港测得灯塔P 在北偏东60°方向上，在B港测得灯塔P 在北偏西25°方向上，已知AP=60海里，过P作PD⊥AB于点D．（1）求灯塔P到轮船航线的距离PD的长；（2）若轮船从A港到B港的航行时间为4小时，求轮船航行的平均速度（结果保留根号，参考数据：sin25°≈，cos25°，tan25°≈）19．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y=x的图象与反比例函数y=（x＞0）的图象相交于点A（a，5）．（1）求反比例函数的表达式；（2）点B在反比例函数的图象上，过B作BC ∥x轴，交y轴于点C，连接AB，AC，且AB=AC，求点B的坐标及△AOC的面积．20．（10分）如图，CD为⊙O的直径，直线AB与⊙O相切于点D，过C作CA⊥CB，分别交直线AB于点A和B，CA交⊙O于点E，连接DE，且AE=CD．（1）如图1，求证：△AED≌△CDB；（2）如图2，连接BE分别交CD和⊙O于点F，G，连接CG，DG．i）试探究线段DG与BF之间满足的等量关系，并说明理由．ii）若DG=，求⊙O的周长（结果保留π）四、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）21．（4分）若===，且2b+3d﹣f≠0，那么= ．22．（4分）在一个不透明的盒子中装有x颗白色棋子和y颗黑色棋子，它们除颜色外完全相同，现从该盒子总随机取出一颗棋子，取得白色棋子的概率是，将取出的棋子放回，再往该盒子中放进6颗同样的黑色棋子，此时从盒子中随机取出一颗棋子，取得白色棋子的概率是，那么原来盒子中的白色棋子有颗．23．（4分）我们知道，同底数幂的乘法法则为：a m•a n=a m+n（其中a≠0，m，n为正整数），类似地我们规定关于任意正整数m，n的一种新运算：h（m+n）=h（m）•h（n），请根据这种新运算填空：（1）若h（1）=，则h（2）= ；（2）若h（1）=k（k≠0），那么h（n）•h（2017）= （用含n和k的代数式表示，其中n为正整数）24．（4分）如图，直线y=﹣x+8与双曲线y=相交于A，B两点，与y轴交于点C，点P 是线段BC上的动点（点P不与点B，C重合），过P作y轴的平行线，交双曲线于点D，连接CD，若点A的横坐标为﹣1，则△PDC的面积的最大值为．25．（4分）如图，⊙O的直径AB=12，点C，D在⊙O上，连接BC，CD，且BC=CD，若直线CD与直线AB相交于点E，AE=2，则弦BD的长为．五、简答题（本大题共3小题，共30分）26．（8分）小明和小颖在如图所示的四边形场地上，沿边骑自行车进行场地追逐赛（两人只要有一个人回到自己的出发点，则比赛结束）．小明从A地出发，沿A→B→C→D→A的路线匀速骑行，速度为8米/秒；小颖从B地出发，沿B→C→D→A→B的路线匀速骑行，速度为6米/秒．已知∠ABC=90°，AB=40米，BC=80米，CD=90米．设骑行时间为t秒，假定他们同时出发且每转一个弯需要额外耗时2秒．（1）填空：当t= 秒时，两人第一次到B地的距离相等；（2）试问小明能否在小颖到达D地前追上她？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由．27．（10分）如图，在矩形ABCD中，E为CD 上一点，将△ADE沿直线AE翻折，使点D落在BC边上点D′处（1）如图1，求证：△CD′E～△BAD′；（2）如图2，F为AD上一点，且DF=CD′，EF与BD相交于点G，试探究EF与BD的位置关系，并说明理由；（3）设AD′与BD相交于点H，在（2）的条件下，若D′E∥BD，HG=2，求BD的长．28．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，边长为4的正方形OABC的顶点A在x轴上，顶点C在y轴上，点D是OA的中点，连接CD，过D作DE⊥CD，且DE=CD，以点D为顶点的抛物线刚好经过E点，P 为射线CB上一点，过点P作PF⊥CD于点F．（1）求E点坐标及抛物线的表达式；（2）若点P从点C出发，沿射线CB以每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为t 秒．则当t为何值时，以点P，F，D为顶点的三角形与△COD相似？（3）点Q为抛物线上一点，当点Q在直线PF上，且满足以点D，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，求点Q的坐标．2017年四川省成都市武侯区中考数学二诊试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）下列各数中，为无理数的是（）A．5 B．C．D．3.6【分析】根据无理数的定义求解即可．【解答】解：5，﹣，3.6是有理数，是无理数，故选：C．【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．2．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．等边三角形B．正方形C．平行四边形D．正五边形【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项正确；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；故选：B．【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．3．（3分）刚刚过去的2017年春运总里程达到12亿千米，约等于地球到太阳距离的8倍，用科学记数法表示12亿为（）A．1.2×109B．1.2×108C．12×109D．12×108【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：12亿=1.2×109．故选：A．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4．（3分）如图，AB∥CD，直线l交AB于点E，交CD于F点，若∠1=70°，则∠2的度数为（）A．20°B．70°C．110°D．160°【分析】先根据平行线的性质得∠EFD=∠1=70°，然后利用邻补角的定义计算∠2的度数．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠EFD=∠1=70°，∵∠2+∠EFD=180°，∴∠2=180°﹣70°=110°．故选：C．【点评】本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．5．（3分）下列计算正确的是（）A．a2+a2=a4B．2x•3x2=6x3C．（﹣a2b）2=a4b D．（x+3）2=x2+9【分析】各项计算得到结果，即可作出判断．【解答】解：A、原式=2a2，不符合题意；B、原式=6x3，符合题意；C、原式=a4b2，不符合题意；D、原式=x2+6x+9，不符合题意，故选：B．【点评】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．6．（3分）将直线y=2x+3向下平移4个单位长度，得到的直线的函数表达式是（）A．y=2x﹣1 B．y=2x+1 C．y=﹣4x+3 D．y=2x+7【分析】根据图象的平移规律，可得答案．【解答】解：由题意，得y=2x+3﹣4，化简，得y=2x﹣1，故选：A．【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，熟记图象的平移规律是解题关键，上加下减，左加右减．7．（3分）如果a+b=3，则代数式÷的值为（）A．B．C．3 D．6【分析】先化简题目中的式子，然后将a+b的值代入即可解答本题．【解答】解：÷==2（a+b），∵a+b=3，∴2（a+b）=6，故选：D．【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．8．（3分）如图，在菱形ABCD中，AB=12，点E为AD上一点，BE交AC于点F，若=，则AE的长为（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】先证明△AFE∽△BCF，然后利用相似三角形的性质即可求出AE的长度．【解答】解：由于AD∥BC，∴△AEF∽△BCF，∴=，∵AB=BC=12，∴AE=4，故选：B．【点评】本题考查相似三角形的性质与判定，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质，本题属于基础题型．9．（3分）二次函数y=2x2+4x﹣3的图象的对称轴为（）A．直线x=2 B．直线x=4 C．直线x=﹣3 D．直线x=﹣1【分析】根据配方法，可得答案．【解答】解：配方，得y=2（x+1）2﹣5，图象得对称轴是x=﹣1，故选：D．【点评】本题考查了二次函数的性质，利用配方法得出顶点式解析式是解题关键．10．（3分）如图，⊙O的直径AB=6，点C在⊙O上，连接AC，OC，若∠A=35°，则的长为（）A．πB．πC．πD．2π【分析】根据圆周角定理得到∠BOC，然后根据弧长的公式即可得到结论．【解答】解：∵∠A=35°，∴∠BOC=2∠A=70°，∴的长==π故选：C．【点评】本题考查了圆周角定理，弧长的计算，熟记弧长的公式是解题的关键．二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）11．（4分）函数y=中，自变量x的取值范围为x≠5 ．【分析】根据分式的分母不为0回答即可．【解答】解：由分式分母不为0可知；x﹣5≠0．解得：x≠5．故答案为：x≠5．【点评】本题主要考查的是函数自变量的取值范围，明确分式的分母不为0是解题的关键．12．（4分）如图，△ABC的顶点A，B都在格点上，将△ABC绕点A顺时针旋转得到相应的△AB′C′，且点B的对应点B′也在格点上，则∠CA C′的度数为90°．【分析】根据旋转的性质即可得到结论．【解答】解：∵AB=4，∴AB′=AB=4，∵点B的对应点B′也在格点上，∴△BAB′是等腰直角三角形，∴∠BAB′=90°，∴∠CAC′=∠BAB′=90°，故答案为：90°．【点评】本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．13．（4分）如图，点P在反比例函数y=（x ＜0）的图象上，过P作x轴，y轴的垂线，垂足分别为点A，B，已知矩形PAOB的面积为3，则k= ﹣3 ．【分析】根据反比例函数k的几何意义可得|k|=﹣3，再根据图象在二、四象限可确定k＜0，进而得到解析式．【解答】解：∵S矩形PAOB=3，∴|k|=3，∵图象在二、四象限，∴k＜0，∴k=﹣3，故答案为：﹣3．【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|．本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注．14．（4分）位于武侯区“中国女鞋之都”的某制鞋企业为了了解初中学生穿鞋的尺码情况，选择对某校的40名女生进行了调查，结果如下表所示，那么在平均数、中位数、众数三个统计量中，该制鞋企业最感兴趣的统计量是众数，该统计量的数值是36 码．【分析】鞋厂最感兴趣的是各种鞋号的鞋的销售量，特别是销售量最多的即这组数据的众数，然后利用众数的定义写出答案即可．【解答】解：由于众数是数据中出现最多的数，故鞋厂最感兴趣的销售量最多的鞋号即这组数据的众数，众数为36．故答案为：众数，36．【点评】本题主要考查了学生对统计量的意义的理解与运用，要求学生对对统计量进行合理的选择和恰当的运用，比较简单．三、解答题（本大题共6小题，共54分）15．（12分）（1）计算：（）2+cos60°﹣+（3.14﹣π）0（2）已知关于x的一元二次方程2x2+kx+1=0的一个根为1，求k的值和该方程的另一个根．【分析】（1）将（）2=10、cos60°=、=2以及（3.14﹣π）0=1代入原式，即可得出结论；（2）将x=1代入原方程，即可求出k值，设方程的另一个根为m，由根与系数的关系，即可得出1×m=，解之即可得出该方程的另一个根．【解答】解：（1）原式=10+﹣2+1=9；（2）将x=1代入原方程，得：2+k+1=0，解得：k=﹣3．设方程的另一个根为m，由根与系数的关系，得：1×m=，解得：m=．∴k的值为﹣3，该方程的另一个根为．【点评】本题考查了一元二次方程的解、根与系数的关系、零指数幂以及特殊角的三角函数值，解题的关键是：（1）牢记a0=1（a ≠0）；（2）将x=1代入原方程求出k值．16．（6分）解不等式组，并把解集在所给数轴上表示出来．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解答】解：解不等式5x﹣2≥3（x﹣1），得：x≥﹣，解不等式x﹣1＜5﹣x，得：x＜3，将解集表示在数轴上如下：∴不等式组的解集为﹣≤x＜3．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．17．（8分）“工匠精神”一词被写入去年的政府工作报告，全国人大代表曾呼吁孩子从小就要养成劳动习惯，培育“工匠精神”，“五•一”劳动节即将到来，武侯区某校为了了解学生做家务的情况，对学校部分学生进行了随机问卷调查，并将调查结果绘制成如下所示的两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）填空：被调查的学生共有200 名；（2）请补全条形统计图，若该校共有1000名学生，试估计该校学生做家务情况是“坚持做”和“经常做”的共有多少名？【分析】（1）根据题意列式计算即可；（2）根据题意即可得到结论．【解答】解：（1）被调查的学生共有60÷30%=200（人）；故答案为：200；（2）“经常做”的学生人数=200﹣60﹣40﹣10=90（名）；则“坚持做”和“经常做”的共有60+90=150名；1000×=750（名）．答：估计该校学生做家务情况是“坚持做”和“经常做”的共有750名．【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图等知识．结合生活实际，绘制条形统计图，扇形统计图或从统计图中获取有用的信息，是近年中考的热点．只要能认真准确读图，并作简单的计算，一般难度不大．18．（8分）如图，一艘轮船从A港出发沿射线AB方形开往B港，在A港测得灯塔P 在北偏东60°方向上，在B港测得灯塔P在北偏西25°方向上，已知AP=60海里，过P作PD⊥AB于点D．（1）求灯塔P到轮船航线的距离PD的长；（2）若轮船从A港到B港的航行时间为4小时，求轮船航行的平均速度（结果保留根号，参考数据：sin25°≈，cos25°，tan25°≈）【分析】（1）在直角△APD中利用三角函数即可直接求得PD的长；（2）利用三角函数求得AD和BD，则AB即可求得，然后利用速度公式求解．【解答】解：（1）在Rt△APD中，PD=AP•sin ∠PAD=AP•sin30°=60×=30（海里）；（2）在直角△APD中，AD=AP•cos∠PAD=60×=30（海里），在直角△PBD中，∠BPD=25°，则BD=PD•tan ∠BPD=30×tan25°≈30×=14，则AB=AD+BD=30+14（海里）．则轮船的平均速度是=（海里/时）．【点评】本题考查解直角三角形的应用，有一定难度，关键在于运用三角函数关系用AD 表示出BD，最终求出AB的长度．19．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y=x的图象与反比例函数y=（x＞0）的图象相交于点A（a，5）．（1）求反比例函数的表达式；（2）点B在反比例函数的图象上，过B作BC ∥x轴，交y轴于点C，连接AB，AC，且AB=AC，求点B的坐标及△AOC的面积．【分析】（1）把A（a，5）代入y=x求出A 的坐标，把A的坐标代入y=求出k即可；（2）过A作AD⊥BC于D，求出CD=3，根据等腰三角形的性质求出CD=BD=3，得出B点的横坐标为6，代入解析式求出B点的坐标，即可得出C点的坐标，根据三角形的面积公式求出面积即可．【解答】解：（1）把A（a，5）代入y=x得：5=a，解得：a=3，即A的坐标为（3，5），把A的坐标代入y=得：k=15，即反比例函数的表达式为y=；（2）过A作AD⊥BC于D，∵BC∥x轴，∴AD⊥x轴，∵A（3，5），∴CD=3，∵AC=AB，AD⊥BC，∴CD=BD=3，∴B点的横坐标为6，把x=6代入y=得：y=，即B点的坐标为（6，），C点的坐标为（0，），∵A（3，5），∴△AOC的面积为×3=．【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，用待定系数法求反比例函数的解析式，能求出各个点的坐标是解此题的关键．20．（10分）如图，CD为⊙O的直径，直线AB与⊙O相切于点D，过C作CA⊥CB，分别交直线AB于点A和B，CA交⊙O于点E，连接DE，且AE=CD．（1）如图1，求证：△AED≌△CDB；（2）如图2，连接BE分别交CD和⊙O于点F，G，连接CG，DG．i）试探究线段DG与BF之间满足的等量关系，并说明理由．ii）若DG=，求⊙O的周长（结果保留π）【分析】（1）由AE=CD，∠AED=∠CDB，∠ADE=∠B，根据AAS即可证明；（2）i）结论：BF=2DG．由△AED≌△CDB，推出DE=DB，推出∠DEB=∠DBE，由∠BDG+∠CDG=90°，∠CDG+∠DCG=90°，推出∠BDG=∠DCG=∠DEB=∠DBG，DG=GB，由∠DFG+∠DBF=90°，∠FDG+∠BDG=90°，推出∠GFD=∠GDF，推出DG=GF=GB，即可解决问题；ii）如图2中，AD=BC=y，DE=DB=z，由DE ∥BC，可得=，即=，整理得y2﹣yz ﹣z2=0，可得y=z或y=z（舍弃），由DE∥BC，推出===，设DF=2k，CF=（1+）k，根据EF•FG=DF•C F，可得（﹣）•=2k•（1+）k，求出k即可解决问题．【解答】解：（1）如图1中，∵CD是直径，∴∠CED=90°，∵AB是⊙O的切线，∴CD⊥AB，∴∠AED=∠CDB=90°，∵∠ACB=∠AED=90°，∴DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∵AE=CD，∴△AED≌△CDB．（2）i）如图2中，结论：BF=2DG．理由如下：∵△AED≌△CDB，∴DE=DB，∴∠DEB=∠DBE，∵∠BDG+∠CDG=90°，∠CDG+∠DCG=90°，∴∠BDG=∠DCG=∠DEB=∠DBG，∴DG=GB，∵∠DFG+∠DBF=90°，∠FDG+∠BDG=90°，∴∠GFD=∠GDF，∴DG=GF=GB，∴BF=2DG．ii）如图2中，设AD=BC=y，DE=DB=z，∵DE∥BC，∴=，∴=整理得y2﹣yz﹣z2=0，∴y=z或y=z（舍弃），∵DE∥BC，∴===，∴=，∴EF=﹣，设DF=2k，CF=（1+）k，∵EF•FG=DF•CF，∴（﹣）•=2k•（1+）k，∴k=，∴CD=DF+CF=+1，∴OC=，⊙O的周长为（+1）π．【点评】本题考查圆综合题、切线的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．四、填空题（本大题共5小题，每小题4分，。
成都市武侯区2017年九年级二诊试题
成都市武侯区2017年九年级第二次诊断性检测试题·数学(考试时间：60分钟 试卷满分：100分)A 卷(共100分)第Ⅰ卷(选择题，共30分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上)1. 下列各数中，为无理数的是( )A. 5B. －12 C. 7 D. 3.62. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )3. 刚刚过去的2017年春运总里程达到12亿千米，约等于地球到太阳距离的8倍，用科学记数法表示12亿为( )A. 1.2×109B. 1.2×108C. 12×109D. 12×1084. 如图，AB ∥CD ，直线l 交AB 于点E ，交CD 于F 点，若∠1＝70°，则∠2的度数为( )第4题图A. 20°B. 70°C. 110°D. 160°5. 下列计算正确的是( )A. a 2＋a 2＝a 4B. 2x ·3x 2＝6x 3C. (－a 2b)2＝a 4bD. (x ＋3)2＝x 2＋96. 将直线y ＝2x ＋3向下平移4个单位长度，得到的直线的函数表达式是( )A. y ＝2x －1B. y ＝2x ＋1C. y ＝－4x ＋3D. y ＝2x ＋77. 如果a ＋b ＝3，则代数式a 2－b 2a ÷a －b2a 的值为( )A. 13B. 16C. 3D. 68. 如图，在菱形ABCD 中，AB ＝12，点E 为AD 上一点，BE 交AC 于点F ，若AFFC ＝13，则AE 的长为( )第8题图A. 3B. 4C. 5D. 69. 二次函数y ＝2x 2＋4x －3的图象的对称轴为( )A . 直线x ＝2B . 直线x ＝4C . 直线x ＝－3D . 直线x ＝－110. 如图，⊙O 的直径AB ＝6，点C 在⊙O 上，连接AC ，OC ，若∠A ＝35°，则BC ︵的长为( )第10题图A. 12πB. 73πC. 76πD. 2π第Ⅱ卷(非选择题，共70分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，答案写在答题卡上) 11. 在函数y ＝3x －5中，自变量x 的取值范围是________． 12. 如图，△ABC 的顶点A ，B 都在格点上，将△ABC 绕点A 顺时针旋转得到相应的△AB ′C ′，且点B 的对应点B ′也在格点上，则∠CAC ′的度数为________．第12题图 第13题图13. 如图，点P 在反比例函数y ＝kx (k<0)的图象上，过P 作x 轴，y 轴的垂线，垂足分别为点A ，B ，已知矩形PAOB 的面积为3，则k ＝________．14. 位于武侯区“中国女鞋之都”的某制鞋企业为了了解初中学生穿鞋的尺码情况，选择对某校的40名女生进行了调查，结果如下表所示，那么在平均数、中位数、众数三个统计量中，该制鞋企业最感兴趣的统计量是________，该统计量的数值是________码．) 15. (本小题满分12分，每题6分) (1)计算：(10)2＋cos 60°－38＋(3.14－π)0(2)已知关于x 的一元二次方程2x ＋kx ＋1＝0的一个根为1，求k 的值和该方程的另一个根．16. (本小题满分6分)解不等式组⎩⎨⎧5x －2≥3（x －1）12x －1<5－32x，并把解集在所给数轴上表示出来．第16题图17. (本小题满分8分)“工匠精神”一词被写入去年的政府工作报告，全国人大代表曾呼吁孩子从小就要养成劳动习惯，培育“工匠精神”，“五·一”劳动节即将到来，武侯区某校为了了解学生做家务的情况，对学校部分学生进行了随机问卷调查，并将调查结果绘制成如下所示的两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下列问题：(1)填空：被调查的学生共有________名；(2)请补全条形统计图；若该学校共有1000名学生，试估计该学校学生做家务情况是“坚持做”和“经常做”的共有多少名？第17题图18. (本小题满分6分)如图，一艘轮船从A港出发沿射线AB方向开往B港，在A港测得灯塔P在北偏东60°方向上，在B港测得灯塔P在北偏西25°方向上．已知AP＝60海里，过P作PD⊥AB于点D.(1)求灯塔P到轮船航线的距离PD的长；(2)若轮船从A港到B港的航行时间为4小时，求轮船航行的平均速度(结果保留根号，参考数据：sin 25°≈2150，cos 25°≈910，tan 25°≈715)．第18题图19. (本小题满分10分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，正比例函数y ＝53x 的图象与反比例函数y＝kx(x>0)的图象相交于点A(a ，5)． (1)求反比例函数的表达式；(2)点B 在反比例函数的图象上，过B 作BC ∥x 轴，交y 轴地点C ，连接AB ，AC ，且AB ＝AC ，且AB ＝AC.求点B 的坐标及△AOC 的面积．第19题图20. (本小题满分10分)如图，CD 为⊙O 的直径，直线AB 与⊙O 相切于点D ，过C 作CA ⊥CB ，分别交直线AB 于点A 和B ，CA 交⊙O 于点E ，连接DE ，且AE ＝CD.(1)如图1，求证△AED ≌△CDB ；(2)如图2，连接BE 分别交CD 和⊙O 于点F ，G ，连接CG ，DG. ⅰ)试探究线段DG 与BF 之间满足的等量关系，并说明理由；ⅱ)若DG ＝2，求⊙O 的周长．(结果保留π)．第20题图B 卷(共50分)一、填空题(本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上) 21. 若a b ＝c d ＝e f ＝73，且2b ＋3d －f ≠0，那么2a ＋3c －e2b ＋3d －f ＝________．22. 在一个不透明的盒子中装有x 颗白色棋子和y 颗黑色棋子，它们除颜色外完全相同，现从该盒子中随机取出一颗棋子，取得白色棋子的概率是25；将取出的棋子放回，再往该盒子中放进6颗同样的黑色棋子，此时从盒子中随机取出一颗棋子，取得白色棋子的概率是14，那么原来盒子中的白色棋子有________颗．23. 我们知道，同底数幂的乘法法则为：a m ·a n ＝a m ＋n (其中a ≠0；m ，n 为正整数)，类似地我们规定关于任意正整数m ，n 的一种新运算：h(m ＋n)＝h(m)·h(n)，请根据这种新运算填空：(1)若h(1)＝23，则h(2)＝________；(2)若h(1)＝k(k ≠0)，那么h(n)·h(2017)＝________(用含n 和k 的代数式表示，其中n 为正整数)．24. 如图，直线y ＝－x ＋8与双曲线y ＝xk 相交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，点P 是线段BC 上的动点(点P 不与点B ，C 重合)，过P 作y 轴的平行线，交双曲线于点D ，连接CD ，若点A 的横坐标为－1，则△PDC 的面积的最大值为________．第24题图 第25题图25. 如图，⊙O 的直径AB ＝12，点C ，D 在⊙O 上，连接BC ，CD ，且BC ＝CD ，若直线CD 与直线AB 相交于点E ，AE ＝2，则弦BD 的长为____________．二、解答题(本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上) 26. (本小题满分8分)小明和小颖在如图所示的四边形场地上，沿边骑自行车进行场地追逐赛(两个人只要有一人回到自己的出发点，则比赛结束)．小明从A 地出发，沿A →B →C →D →A 的路线匀速骑行，速度为8米/秒；小颖从B 地出发，沿B →C →D →A →B 的路线匀速骑行，速度为6米/秒．已知∠ABC ＝90°，AB ＝40米，BC ＝80米，CD ＝90米．设骑行时间为t 秒，假定他们同时出发且每转一个弯需要额外耗时2秒．(1)填空：当t ＝________秒时，两人第一次到B 地的距离相等；(2)试问能否在小颖到达D 地前追上她？若能，求出此时t 的值；若不能，请说明理由．第26题图27. (本小题满分10分)如图，在矩形ABCD 中，E 为CD 上一点，将△ADE 沿直线AE 翻折，使点D 落在BC 边上点D ′处．(1)如图1，求证：△CD ′E ∽△BAD ′；(2)如图2，F为AD上一点，且DF＝CD′，EF与BD相交于点G，试探究EF 与BD的位置关系，并说明理由；(3)设AD′与BD相交于点H，在(2)的条件下，若D′E∥BD，HG＝2，求BD 的长．第27题图28. (本小题满分12分)如图，在平面直角坐标系xOy中，边长为4的正方形OABC的顶点A在x轴上，顶点C在y轴上，点D是OA的中点，连接CD，过D作DE⊥CD，且DE＝CD，以点D为顶点的抛物线刚好经过E点．P为射线CB上一点，过点P作PF⊥CD于点F.(1)求E点坐标及抛物线的表达式；(2)若点P从点C出发，沿射线CB以每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为t秒，则当t为何值时，以点P，F，D为顶点的三角形与△COD相似？(3)点Q为抛物线上一点，当点Q在直线PF上，且满足以点D，E，P，Q为顶点的四边形是平等四边形时，求点Q的坐标．第28题图。
初2017届成都市武侯区中考数学九年级二诊数学试卷(含答案)
初2017届成都市武侯区中考数学九年级二诊数学试卷（考试时间：120分钟满分：150分）A卷（共100分）一、选择题（每小题3分，共30分）1．下列各数中，为无理数的是（）A．5 B．C．D．3.62．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．等边三角形B．正方形C．平行四边形D．正五边形3．刚刚过去的2017年春运总里程达到12亿千米，约等于地球到太阳距离的8倍，用科学记数法表示12亿为（）A．1.2×109B．1.2×108C．12×109D．12×1084．如图，AB∥CD，直线l交AB于点E，交CD于F点，若∠1＝70°，则∠2的度数为（）A．20°B．70°C．110°D．160°5．下列计算正确的是（）A．a2+a2＝a4B．2x•3x2＝6x3C．（﹣a2b）2＝a4b D．（x+3）2＝x2+96．将直线y＝2x+3向下平移4个单位长度，得到的直线的函数表达式是（）A．y＝2x﹣1 B．y＝2x+1 C．y＝﹣4x+3 D．y＝2x+77．如果a+b＝3，则代数式÷的值为（）A．B．C．3 D．68．如图，在菱形ABCD中，AB＝12，点E为AD上一点，BE交AC于点F，若＝，则AE的长为（）A．3 B．4 C．5 D．69．二次函数y＝2x2+4x﹣3的图象的对称轴为（）A．直线x＝2 B．直线x＝4 C．直线x＝﹣3 D．直线x＝﹣110．如图，⊙O的直径AB＝6，点C在⊙O上，连接AC，OC，若∠A＝35°，则的长为（）A．πB．πC．πD．2π二、填空题（每小题4分，共16分）11．函数y＝中，自变量x的取值范围为．12．如图，△ABC的顶点A，B都在格点上，将△ABC绕点A顺时针旋转得到相应的△AB′C′，且点B的对应点B′也在格点上，则∠CAC′的度数为．13．如图，点P在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，过P作x轴，y轴的垂线，垂足分别为点A，B，已知矩形PAOB的面积为3，则k＝．14．位于武侯区“中国女鞋之都”的某制鞋企业为了了解初中学生穿鞋的尺码情况，选择对某校的40名女生进行了调查，结果如下表所示，那么在平均数、中位数、众数三个统计量中，该制鞋企业最感兴趣的统计量是，该统计量的数值是码．33 34 35 36 37 38尺码（单位：码）人数 2 8 8 14 6 2三、解答题（共54分）15．（12分）（1）计算：（）2+cos60°﹣+（3.14﹣π）0（2）已知关于x的一元二次方程2x2+kx+1＝0的一个根为1，求k的值和该方程的另一个根．16．（6分）解不等式组，并把解集在所给数轴上表示出来．17．（8分）“工匠精神”一词被写入去年的政府工作报告，全国人大代表曾呼吁孩子从小就要养成劳动习惯，培育“工匠精神”，“五•一”劳动节即将到来，武侯区某校为了了解学生做家务的情况，对学校部分学生进行了随机问卷调查，并将调查结果绘制成如下所示的两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）填空：被调查的学生共有名；（2）请补全条形统计图，若该校共有1000名学生，试估计该校学生做家务情况是“坚持做”和“经常做”的共有多少名？18．（8分）如图，一艘轮船从A港出发沿射线AB方形开往B港，在A港测得灯塔P在北偏东60°方向上，在B港测得灯塔P在北偏西25°方向上，已知AP＝60海里，过P作PD⊥AB于点D．（1）求灯塔P到轮船航线的距离PD的长；（2）若轮船从A港到B港的航行时间为4小时，求轮船航行的平均速度（结果保留根号，参考数据：sin25°≈，cos25°，tan25°≈）19．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y＝x的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象相交于点A（a，5）．（1）求反比例函数的表达式；（2）点B在反比例函数的图象上，过B作BC∥x轴，交y轴于点C，连接AB，AC，且AB＝AC，求点B的坐标及△AOC的面积．20．（10分）如图，CD为⊙O的直径，直线AB与⊙O相切于点D，过C作CA⊥CB，分别交直线AB于点A和B，CA交⊙O于点E，连接DE，且AE＝CD．（1）如图1，求证：△AED≌△CDB；（2）如图2，连接BE分别交CD和⊙O于点F，G，连接CG，DG．i）试探究线段DG与BF之间满足的等量关系，并说明理由．ii）若DG＝，求⊙O的周长（结果保留π）B卷（50分）一、填空题（每小题4分，共20分）21．若＝＝＝，且2b+3d﹣f≠0，那么＝．22．在一个不透明的盒子中装有x颗白色棋子和y颗黑色棋子，它们除颜色外完全相同，现从该盒子总随机取出一颗棋子，取得白色棋子的概率是，将取出的棋子放回，再往该盒子中放进6颗同样的黑色棋子，此时从盒子中随机取出一颗棋子，取得白色棋子的概率是，那么原来盒子中的白色棋子有颗．23．我们知道，同底数幂的乘法法则为：a m•a n＝a m+n（其中a≠0，m，n为正整数），类似地我们规定关于任意正整数m，n的一种新运算：h（m+n）＝h（m）•h（n），请根据这种新运算填空：（1）若h（1）＝，则h（2）＝；（2）若h（1）＝k（k≠0），那么h（n）•h（2017）＝（用含n和k的代数式表示，其中n为正整数）24．如图，直线y＝﹣x+8与双曲线y＝相交于A，B两点，与y轴交于点C，点P是线段BC上的动点（点P不与点B，C重合），过P作y轴的平行线，交双曲线于点D，连接CD，若点A的横坐标为﹣1，则△PDC 的面积的最大值为．25．如图，⊙O的直径AB＝12，点C，D在⊙O上，连接BC，CD，且BC＝CD，若直线CD与直线AB相交于点E，AE＝2，则弦BD的长为．二、解答题（共30分）26．（8分）小明和小颖在如图所示的四边形场地上，沿边骑自行车进行场地追逐赛（两人只要有一个人回到自己的出发点，则比赛结束）．小明从A地出发，沿A→B→C→D→A的路线匀速骑行，速度为8米/秒；小颖从B地出发，沿B→C→D→A→B的路线匀速骑行，速度为6米/秒．已知∠ABC＝90°，AB＝40米，BC ＝80米，CD＝90米．设骑行时间为t秒，假定他们同时出发且每转一个弯需要额外耗时2秒．（1）填空：当t＝秒时，两人第一次到B地的距离相等；（2）试问小明能否在小颖到达D地前追上她？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由．27．（10分）如图，在矩形ABCD中，E为CD上一点，将△ADE沿直线AE翻折，使点D落在BC边上点D′处（1）如图1，求证：△CD′E～△BAD′；（2）如图2，F为AD上一点，且DF＝CD′，EF与BD相交于点G，试探究EF与BD的位置关系，并说明理由；（3）设AD′与BD相交于点H，在（2）的条件下，若D′E∥BD，HG＝2，求BD的长．28．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，边长为4的正方形OABC的顶点A在x轴上，顶点C在y轴上，点D是OA的中点，连接CD，过D作DE⊥CD，且DE＝CD，以点D为顶点的抛物线刚好经过E点，P为射线CB上一点，过点P作PF⊥CD于点F．（1）求E点坐标及抛物线的表达式；（2）若点P从点C出发，沿射线CB以每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为t秒．则当t为何值时，以点P，F，D为顶点的三角形与△COD相似？（3）点Q为抛物线上一点，当点Q在直线PF上，且满足以点D，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，求点Q的坐标．参考答案与试题解析1．【解答】解：5，﹣，3.6是有理数，是无理数，故选：C．2．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项正确；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；故选：B．3．【解答】解：12亿＝1.2×109．故选：A．4．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠EFD＝∠1＝70°，∵∠2+∠EFD＝180°，∴∠2＝180°﹣70°＝110°．故选：C．5．【解答】解：A、原式＝2a2，不符合题意；B、原式＝6x3，符合题意；C、原式＝a4b2，不符合题意；D、原式＝x2+6x+9，不符合题意，故选：B．6．【解答】解：由题意，得y＝2x+3﹣4，化简，得y＝2x﹣1，故选：A．7．【解答】解：÷＝＝2（a+b），∵a+b＝3，∴2（a+b）＝6，故选：D．8．【解答】解：由于AD∥BC，∴△AEF∽△BCF，∴＝，∵AB＝BC＝12，∴AE＝4，故选：B．9．【解答】解：配方，得y＝2（x+1）2﹣5，图象得对称轴是x＝﹣1，故选：D．10．【解答】解：∵∠A＝35°，∴∠BOC＝2∠A＝70°，∴的长＝＝π故选：C．11．【解答】解：由分式分母不为0可知；x﹣5≠0．解得：x≠5．故答案为：x≠5．12．【解答】解：∵AB＝4，∴AB′＝AB＝4，∵点B的对应点B′也在格点上，∴△BAB′是等腰直角三角形，∴∠BAB′＝90°，∴∠CAC′＝∠BAB′＝90°，故答案为：90°．13．【解答】解：∵S矩形PAOB＝3，∴|k|＝3，∵图象在二、四象限，∴k＜0，∴k＝﹣3，故答案为：﹣3．14．【解答】解：由于众数是数据中出现最多的数，故鞋厂最感兴趣的销售量最多的鞋号即这组数据的众数，众数为36．故答案为：众数，36．15．【解答】解：（1）原式＝10+﹣2+1＝9；（2）将x＝1代入原方程，得：2+k+1＝0，解得：k＝﹣3．设方程的另一个根为m，由根与系数的关系，得：1×m＝，解得：m＝．∴k的值为﹣3，该方程的另一个根为．16．【解答】解：解不等式5x﹣2≥3（x﹣1），得：x≥﹣，解不等式x﹣1＜5﹣x，得：x＜3，将解集表示在数轴上如下：∴不等式组的解集为﹣≤x＜3．17．【解答】解：（1）被调查的学生共有60÷30%＝200（人）；故答案为：200；（2）“经常做”的学生人数＝200﹣60﹣40﹣10＝90（名）；则“坚持做”和“经常做”的共有60+90＝150名；1000×＝750（名）．答：估计该校学生做家务情况是“坚持做”和“经常做”的共有750名．18．【解答】解：（1）在Rt△APD中，PD＝AP•sin∠PAD＝AP•sin30°＝60×＝30（海里）；（2）在直角△APD中，AD＝AP•cos∠PAD＝60×＝30（海里），在直角△PBD中，∠BPD＝25°，则BD＝PD•tan∠BPD＝30×tan25°≈30×＝14，则AB＝AD+BD＝30+14（海里）．则轮船的平均速度是＝（海里/时）．19．【解答】解：（1）把A（a，5）代入y＝x得：5＝a，解得：a＝3，即A的坐标为（3，5），把A的坐标代入y＝得：k＝15，即反比例函数的表达式为y＝；（2）过A作AD⊥BC于D，∵BC∥x轴，∴AD⊥x轴，∵A（3，5），∴CD＝3，∵AC＝AB，AD⊥BC，∴CD＝BD＝3，∴B点的横坐标为6，把x＝6代入y＝得：y＝，即B点的坐标为（6，），C点的坐标为（0，），∵A（3，5），∴△AOC的面积为×3＝．20．【解答】解：（1）如图1中，∵CD是直径，∴∠CED＝90°，∵AB是⊙O的切线，∴CD⊥AB，∴∠AED＝∠CDB＝90°，∵∠ACB＝∠AED＝90°，∴DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∵AE＝CD，∴△AED≌△CDB．（2）i）如图2中，结论：BF＝2DG．理由如下：∵△AED≌△CDB，∴DE＝DB，∴∠DEB＝∠DBE，∵∠BDG+∠CDG＝90°，∠CDG+∠DCG＝90°，∴∠BDG＝∠DCG＝∠DEB＝∠DBG，∴DG＝GB，∵∠DFG+∠DBF＝90°，∠FDG+∠BDG＝90°，∴∠GFD＝∠GDF，∴DG＝GF＝GB，∴BF＝2DG．ii）如图2中，设AD＝BC＝y，DE＝DB＝z，∵DE∥BC，∴＝，∴＝整理得y2﹣yz﹣z2＝0，∴y＝z或y＝z（舍弃），∵DE∥BC，∴＝＝＝，∴＝，∴EF＝﹣，设DF＝2k，CF＝（1+）k，∵EF•FG＝DF•CF，∴（﹣）•＝2k•（1+）k，∴k＝，∴CD＝DF+CF＝+1，∴OC＝，⊙O的周长为（+1）π．21．【解答】解：∵＝＝＝，∴＝＝＝，∵2b+3d﹣f≠0，∴＝．故答案为：．22．【解答】解：根据题意得：，解得：，所以原来盒子中的白色棋子有4颗．故答案为：4．23．【解答】解：（1）∵h（1）＝，h（m+n）＝h（m）•h（n），∴h（2）＝h（1+1）＝×＝；（2）∵h（1）＝k（k≠0），h（m+n）＝h（m）•h（n），∴h（n）•h（2017）＝k n•k2017＝k n+2017．故答案为：；k n+2017．24．【解答】解：把x＝﹣1代入y＝﹣x+8，得y＝1+8＝9，则A的坐标是（﹣1，9）．把（﹣1，9）代入y＝得k＝﹣9．设P的横坐标是m，把x＝m代入y＝﹣x+8，得y＝﹣m+8，则P的坐标是（m，﹣m+8）．把x＝m代入y＝﹣得y＝﹣，则PD＝﹣m+8+．则△PDC的面积y＝（﹣m+8+）m，即y＝﹣m2+4m+＝﹣（m﹣4）2+则y的最大值是．故答案是：．25．【解答】解：①当BD、BC在直径AB的同侧时．连接OC、AD．∵＝，∴OC⊥BD，∵AB是直径，∴∠ADB＝∠OFB＝90°，∴AD∥OC，∴＝，∴＝，∴AD＝，∴BD＝＝．②当BD，CD在直径AB两侧时，连接AD，CO，CO的延长线交BD与F．同法可证：AD∥OC，∴＝，∴＝，∴AD＝3，∴BD＝＝3，故答案为或3．26．【解答】解：（1）由题意得，40﹣8t＝6t，∴t＝，∴当t＝秒时，两人第一次到B地的距离相等；故答案为：；（2）当小颖到点C时，所用时间为80÷6＝秒，此时，小明也骑了秒，而小明到点B时，用了40÷8＝5秒，剩余﹣5﹣2＝，×8＝米＜80米，所以小明不可能在BC边上追上小颖，当小颖到达D点时，所用时间为（80+90）÷6+2＝+2＝秒，小明在AB边上用时：40÷8＝5秒，小明在BC边上用时：80÷8＝10秒，刚好到到点C时，一共用时：5+2+10＝17秒，小明在CD边上用时：90÷8＝11.25秒，所以，小明到达点D时，共用：5+10+2+2+11.25＝30.25秒＜秒∴能在到达D地前追上；根据题意得，8（t﹣2×2）＝6（t﹣2）+40，∴t＝30秒，27．【解答】（1）证明：如图1中，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝90°，∵∠AD′E＝∠D＝90°，∴∠AD′B+∠ED′C＝90°，∠ED′C+∠D′EC＝90°，∴∠AD′B＝∠D′EC，∴△CD′E～△BAD′．（2）解：结论：EF⊥BD，理由如下：如图2中，∵△CD′E～△BAD′，∴＝，∵CD′＝DF，AD′＝AD，D′E＝DE∴＝，∵∠EDF＝∠BAD＝90°，∴△EDF∽△DAB，∴∠FED＝∠ADB，∵∠ADB+∠BDC＝90°，∴∠FED+∠BDC＝90°，∴∠DGE＝90°，∴EF⊥BD．（3）解：∵D′E∥BD，AD′⊥D′E，∴BD⊥AD′，∴∠GHD′＝∠HD′E＝∠HGE＝90°，∴四边形HGED′是矩形，∴HG＝ED′＝DE＝2，设EC＝y，CD′＝x，易知△DGE≌△ECD′，∴DG＝CE＝y，EG＝CD′＝HD′＝x，∵△BHD′∽△D′CE，∴＝，∴＝，∴BH＝，∴BD＝BH+GH+DG＝y+2+，∵△DFE∽△CED′，∴＝，∴＝，∴x2＝2y，∵x2+y2＝4，∴y2+2y﹣4＝0，∴y＝﹣1+或﹣1﹣（舍弃），∴BD＝﹣1++2+2＝3+．28．【解答】解：（1）如图1，过点E作EG⊥x轴于G点．∵四边形OABC是边长为4的正方形，D是OA的中点，∴OA＝OC＝4，OD＝2，∠AOC＝∠DGE＝90°．∵∠CDE＝90°，∴∠ODC+∠GDE＝90°．∵∠ODC+∠OCD＝90°，∴∠OCD＝∠GDE．在△OCD和△GED中，∴△ODC≌△GED （AAS），∴EG＝OD＝2，DG＝OC＝4．∴点E的坐标为（6，2）．∵点D为抛物线的顶点，∴可设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2，将E点的坐标代入解析式，得2＝a（6﹣2）2，解得a＝，抛物线的解析式为y＝（x﹣2）2；（2）①若△DFP∽△COD，则∠PDF＝∠DCO，∴PD∥OC，∴∠PDO＝∠OCP＝∠AOC＝90°，∴四边形PDOC是矩形，∴PC＝OD＝2，∴t＝2；②当△PFD∽△COD，则∠DPF＝∠DCO，．∴∠PCF＝90°﹣∠DCO＝90°﹣∠DPF＝∠PDF．∴PC＝PD．设P（t，4），则CP＝t，DP＝．∴t2＝（t﹣2）2+16，解得t＝5．综上所述：t＝2或t＝5时，以点P，F，D为顶点的三角形与△COD相似；（3）如图2所示：设点P的坐标为（t，0），点Q的坐标为（x，y）．∵四边形DEPQ为平行四边形，∴PD与QE相互平分．∴依据中点坐标公式可知：＝，．∴y＝2，x＝t﹣4．将点Q的坐标代入抛物线的解析式得：（t﹣6）2＝2，解得：t＝2或t＝10（舍去）．∴x＝﹣2，y＝2，．∴点Q的坐标为（﹣2，2）．如图3所示：∵PE和DQ为平行四边形的对角线，∴PE与QD互相平分．∴＝，＝．∴y＝6，x＝t+4．将点Q的坐标代入抛物线的解析式得：（t+2）2＝6，解得：t＝4﹣2或t＝﹣4﹣2（舍去）．∴x＝4+2．∴点Q的坐标为（4+2，6）．∴点Q的坐标为（﹣2，2）或（4+2，6）．。
2017年四川省成都市武侯区中考数学二诊试卷
2017年四川省成都市武侯区中考数学二诊试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）下列各数中，为无理数的是（）A．5B．C．D．3.62．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．等边三角形B．正方形C．平行四边形D．正五边形3．（3分）刚刚过去的2017年春运总里程达到12亿千米，约等于地球到太阳距离的8倍，用科学记数法表示12亿为（）A．1.2×109B．1.2×108C．12×109D．12×108 4．（3分）如图，AB∥CD，直线l交AB于点E，交CD于F点，若∠1=70°，则∠2的度数为（）A．20°B．70°C．110°D．160°5．（3分）下列计算正确的是（）A．a2+a2=a4B．2x•3x2=6x3C．（﹣a2b）2=a4b D．（x+3）2=x2+96．（3分）将直线y=2x+3向下平移4个单位长度，得到的直线的函数表达式是（）A．y=2x﹣1B．y=2x+1C．y=﹣4x+3D．y=2x+77．（3分）如果a+b=3，则代数式÷的值为（）A．B．C．3D．68．（3分）如图，在菱形ABCD中，AB=12，点E为AD上一点，BE交AC于点F，若=，则AE的长为（）A．3B．4C．5D．69．（3分）二次函数y=2x2+4x﹣3的图象的对称轴为（）A．直线x=2B．直线x=4C．直线x=﹣3D．直线x=﹣1 10．（3分）如图，⊙O的直径AB=6，点C在⊙O上，连接AC，OC，若∠A=35°，则的长为（）A．πB．πC．πD．2π二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）11．（4分）函数y=中，自变量x的取值范围为．12．（4分）如图，△ABC的顶点A，B都在格点上，将△ABC绕点A顺时针旋转得到相应的△AB′C′，且点B的对应点B′也在格点上，则∠CAC′的度数为．13．（4分）如图，点P在反比例函数y=（x＜0）的图象上，过P作x轴，y轴的垂线，垂足分别为点A，B，已知矩形PAOB的面积为3，则k=．14．（4分）位于武侯区“中国女鞋之都”的某制鞋企业为了了解初中学生穿鞋的尺码情况，选择对某校的40名女生进行了调查，结果如下表所示，那么在平均数、中位数、众数三个统计量中，该制鞋企业最感兴趣的统计量是，该统计量的数值是码．333435363738尺码（单位：码）人数2881462三、解答题（本大题共6小题，共54分）15．（12分）（1）计算：（）2+cos60°﹣+（3.14﹣π）0（2）已知关于x的一元二次方程2x2+kx+1=0的一个根为1，求k的值和该方程的另一个根．16．（6分）解不等式组，并把解集在所给数轴上表示出来．17．（8分）“工匠精神”一词被写入去年的政府工作报告，全国人大代表曾呼吁孩子从小就要养成劳动习惯，培育“工匠精神”，“五•一”劳动节即将到来，武侯区某校为了了解学生做家务的情况，对学校部分学生进行了随机问卷调查，并将调查结果绘制成如下所示的两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）填空：被调查的学生共有名；（2）请补全条形统计图，若该校共有1000名学生，试估计该校学生做家务情况是“坚持做”和“经常做”的共有多少名？18．（8分）如图，一艘轮船从A港出发沿射线AB方形开往B港，在A港测得灯塔P在北偏东60°方向上，在B港测得灯塔P在北偏西25°方向上，已知AP=60海里，过P作PD⊥AB于点D．（1）求灯塔P到轮船航线的距离PD的长；（2）若轮船从A港到B港的航行时间为4小时，求轮船航行的平均速度（结果保留根号，参考数据：sin25°≈，cos25°，tan25°≈）19．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y=x的图象与反比例函数y=（x＞0）的图象相交于点A（a，5）．（1）求反比例函数的表达式；（2）点B在反比例函数的图象上，过B作BC∥x轴，交y轴于点C，连接AB，AC，且AB=AC，求点B的坐标及△AOC的面积．20．（10分）如图，CD为⊙O的直径，直线AB与⊙O相切于点D，过C作CA⊥CB，分别交直线AB于点A和B，CA交⊙O于点E，连接DE，且AE=CD．（1）如图1，求证：△AED≌△CDB；（2）如图2，连接BE分别交CD和⊙O于点F，G，连接CG，DG．i）试探究线段DG与BF之间满足的等量关系，并说明理由．ii）若DG=，求⊙O的周长（结果保留π）四、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）21．（4分）若===，且2b+3d﹣f≠0，那么=．22．（4分）在一个不透明的盒子中装有x颗白色棋子和y颗黑色棋子，它们除颜色外完全相同，现从该盒子总随机取出一颗棋子，取得白色棋子的概率是，将取出的棋子放回，再往该盒子中放进6颗同样的黑色棋子，此时从盒子中随机取出一颗棋子，取得白色棋子的概率是，那么原来盒子中的白色棋子有颗．23．（4分）我们知道，同底数幂的乘法法则为：a m•a n=a m+n（其中a≠0，m，n 为正整数），类似地我们规定关于任意正整数m，n的一种新运算：h（m+n）=h（m）•h（n），请根据这种新运算填空：（1）若h（1）=，则h（2）=；（2）若h（1）=k（k≠0），那么h（n）•h（2017）=（用含n和k的代数式表示，其中n为正整数）24．（4分）如图，直线y=﹣x+8与双曲线y=相交于A，B两点，与y轴交于点C，点P是线段BC上的动点（点P不与点B，C重合），过P作y轴的平行线，交双曲线于点D，连接CD，若点A的横坐标为﹣1，则△PDC的面积的最大值为．25．（4分）如图，⊙O的直径AB=12，点C，D在⊙O上，连接BC，CD，且BC=CD，若直线CD与直线AB相交于点E，AE=2，则弦BD的长为．五、简答题（本大题共3小题，共30分）26．（8分）小明和小颖在如图所示的四边形场地上，沿边骑自行车进行场地追逐赛（两人只要有一个人回到自己的出发点，则比赛结束）．小明从A地出发，沿A→B→C→D→A的路线匀速骑行，速度为8米/秒；小颖从B地出发，沿B→C→D→A→B的路线匀速骑行，速度为6米/秒．已知∠ABC=90°，AB=40米，BC=80米，CD=90米．设骑行时间为t秒，假定他们同时出发且每转一个弯需要额外耗时2秒．（1）填空：当t=秒时，两人第一次到B地的距离相等；（2）试问小明能否在小颖到达D地前追上她？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由．27．（10分）如图，在矩形ABCD中，E为CD上一点，将△ADE沿直线AE翻折，使点D落在BC边上点D′处（1）如图1，求证：△CD′E～△BAD′；（2）如图2，F为AD上一点，且DF=CD′，EF与BD相交于点G，试探究EF与BD的位置关系，并说明理由；（3）设AD′与BD相交于点H，在（2）的条件下，若D′E∥BD，HG=2，求BD的长．28．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，边长为4的正方形OABC的顶点A在x轴上，顶点C在y轴上，点D是OA的中点，连接CD，过D作DE⊥CD，且DE=CD，以点D为顶点的抛物线刚好经过E点，P为射线CB上一点，过点P作PF⊥CD于点F．（1）求E点坐标及抛物线的表达式；（2）若点P从点C出发，沿射线CB以每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为t秒．则当t为何值时，以点P，F，D为顶点的三角形与△COD相似？（3）点Q为抛物线上一点，当点Q在直线PF上，且满足以点D，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，求点Q的坐标．2017年四川省成都市武侯区中考数学二诊试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）下列各数中，为无理数的是（）A．5B．C．D．3.6【分析】根据无理数的定义求解即可．【解答】解：5，﹣，3.6是有理数，是无理数，故选：C．【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．2．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．等边三角形B．正方形C．平行四边形D．正五边形【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项正确；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；故选：B．【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．3．（3分）刚刚过去的2017年春运总里程达到12亿千米，约等于地球到太阳距离的8倍，用科学记数法表示12亿为（）A．1.2×109B．1.2×108C．12×109D．12×108【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：12亿=1.2×109．故选：A．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4．（3分）如图，AB∥CD，直线l交AB于点E，交CD于F点，若∠1=70°，则∠2的度数为（）A．20°B．70°C．110°D．160°【分析】先根据平行线的性质得∠EFD=∠1=70°，然后利用邻补角的定义计算∠2的度数．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠EFD=∠1=70°，∵∠2+∠EFD=180°，∴∠2=180°﹣70°=110°．故选：C．【点评】本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．5．（3分）下列计算正确的是（）A．a2+a2=a4B．2x•3x2=6x3C．（﹣a2b）2=a4b D．（x+3）2=x2+9【分析】各项计算得到结果，即可作出判断．【解答】解：A、原式=2a2，不符合题意；B、原式=6x3，符合题意；C、原式=a4b2，不符合题意；D、原式=x2+6x+9，不符合题意，故选：B．【点评】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．6．（3分）将直线y=2x+3向下平移4个单位长度，得到的直线的函数表达式是（）A．y=2x﹣1B．y=2x+1C．y=﹣4x+3D．y=2x+7【分析】根据图象的平移规律，可得答案．【解答】解：由题意，得y=2x+3﹣4，化简，得y=2x﹣1，故选：A．【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，熟记图象的平移规律是解题关键，上加下减，左加右减．7．（3分）如果a+b=3，则代数式÷的值为（）A．B．C．3D．6【分析】先化简题目中的式子，然后将a+b的值代入即可解答本题．【解答】解：÷==2（a+b），∵a+b=3，∴2（a+b）=6，故选：D．【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．8．（3分）如图，在菱形ABCD中，AB=12，点E为AD上一点，BE交AC于点F，若=，则AE的长为（）A．3B．4C．5D．6【分析】先证明△AFE∽△BCF，然后利用相似三角形的性质即可求出AE的长度．【解答】解：由于AD∥BC，∴△AEF∽△BCF，∴=，∵AB=BC=12，∴AE=4，故选：B．【点评】本题考查相似三角形的性质与判定，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质，本题属于基础题型．9．（3分）二次函数y=2x2+4x﹣3的图象的对称轴为（）A．直线x=2B．直线x=4C．直线x=﹣3D．直线x=﹣1【分析】根据配方法，可得答案．【解答】解：配方，得y=2（x+1）2﹣5，图象得对称轴是x=﹣1，故选：D．【点评】本题考查了二次函数的性质，利用配方法得出顶点式解析式是解题关键．10．（3分）如图，⊙O的直径AB=6，点C在⊙O上，连接AC，OC，若∠A=35°，则的长为（）A．πB．πC．πD．2π【分析】根据圆周角定理得到∠BOC，然后根据弧长的公式即可得到结论．【解答】解：∵∠A=35°，∴∠BOC=2∠A=70°，∴的长==π故选：C．【点评】本题考查了圆周角定理，弧长的计算，熟记弧长的公式是解题的关键．二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）11．（4分）函数y=中，自变量x的取值范围为x≠5．【分析】根据分式的分母不为0回答即可．【解答】解：由分式分母不为0可知；x﹣5≠0．解得：x≠5．故答案为：x≠5．【点评】本题主要考查的是函数自变量的取值范围，明确分式的分母不为0是解题的关键．12．（4分）如图，△ABC的顶点A，B都在格点上，将△ABC绕点A顺时针旋转得到相应的△AB′C′，且点B的对应点B′也在格点上，则∠CA C′的度数为90°．【分析】根据旋转的性质即可得到结论．【解答】解：∵AB=4，∴AB′=AB=4，∵点B的对应点B′也在格点上，∴△BAB′是等腰直角三角形，∴∠BAB′=90°，∴∠CAC′=∠BAB′=90°，故答案为：90°．【点评】本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．13．（4分）如图，点P在反比例函数y=（x＜0）的图象上，过P作x轴，y轴的垂线，垂足分别为点A，B，已知矩形PAOB的面积为3，则k=﹣3．【分析】根据反比例函数k的几何意义可得|k|=﹣3，再根据图象在二、四象限可确定k＜0，进而得到解析式．=3，【解答】解：∵S矩形PAOB∴|k|=3，∵图象在二、四象限，∴k＜0，∴k=﹣3，故答案为：﹣3．【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|．本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注．14．（4分）位于武侯区“中国女鞋之都”的某制鞋企业为了了解初中学生穿鞋的尺码情况，选择对某校的40名女生进行了调查，结果如下表所示，那么在平均数、中位数、众数三个统计量中，该制鞋企业最感兴趣的统计量是众数，该统计量的数值是36码．333435363738尺码（单位：码）人数2881462【分析】鞋厂最感兴趣的是各种鞋号的鞋的销售量，特别是销售量最多的即这组数据的众数，然后利用众数的定义写出答案即可．【解答】解：由于众数是数据中出现最多的数，故鞋厂最感兴趣的销售量最多的鞋号即这组数据的众数，众数为36．故答案为：众数，36．【点评】本题主要考查了学生对统计量的意义的理解与运用，要求学生对对统计量进行合理的选择和恰当的运用，比较简单．三、解答题（本大题共6小题，共54分）15．（12分）（1）计算：（）2+cos60°﹣+（3.14﹣π）0（2）已知关于x的一元二次方程2x2+kx+1=0的一个根为1，求k的值和该方程的另一个根．【分析】（1）将（）2=10、cos60°=、=2以及（3.14﹣π）0=1代入原式，即可得出结论；（2）将x=1代入原方程，即可求出k值，设方程的另一个根为m，由根与系数的关系，即可得出1×m=，解之即可得出该方程的另一个根．【解答】解：（1）原式=10+﹣2+1=9；（2）将x=1代入原方程，得：2+k+1=0，解得：k=﹣3．设方程的另一个根为m，由根与系数的关系，得：1×m=，解得：m=．∴k的值为﹣3，该方程的另一个根为．【点评】本题考查了一元二次方程的解、根与系数的关系、零指数幂以及特殊角的三角函数值，解题的关键是：（1）牢记a0=1（a≠0）；（2）将x=1代入原方程求出k值．16．（6分）解不等式组，并把解集在所给数轴上表示出来．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解答】解：解不等式5x﹣2≥3（x﹣1），得：x≥﹣，解不等式x﹣1＜5﹣x，得：x＜3，将解集表示在数轴上如下：∴不等式组的解集为﹣≤x＜3．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．17．（8分）“工匠精神”一词被写入去年的政府工作报告，全国人大代表曾呼吁孩子从小就要养成劳动习惯，培育“工匠精神”，“五•一”劳动节即将到来，武侯区某校为了了解学生做家务的情况，对学校部分学生进行了随机问卷调查，并将调查结果绘制成如下所示的两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）填空：被调查的学生共有200名；（2）请补全条形统计图，若该校共有1000名学生，试估计该校学生做家务情况是“坚持做”和“经常做”的共有多少名？【分析】（1）根据题意列式计算即可；（2）根据题意即可得到结论．【解答】解：（1）被调查的学生共有60÷30%=200（人）；故答案为：200；（2）“经常做”的学生人数=200﹣60﹣40﹣10=90（名）；则“坚持做”和“经常做”的共有60+90=150名；1000×=750（名）．答：估计该校学生做家务情况是“坚持做”和“经常做”的共有750名．【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图等知识．结合生活实际，绘制条形统计图，扇形统计图或从统计图中获取有用的信息，是近年中考的热点．只要能认真准确读图，并作简单的计算，一般难度不大．18．（8分）如图，一艘轮船从A港出发沿射线AB方形开往B港，在A港测得灯塔P在北偏东60°方向上，在B港测得灯塔P在北偏西25°方向上，已知AP=60海里，过P作PD⊥AB于点D．（1）求灯塔P到轮船航线的距离PD的长；（2）若轮船从A港到B港的航行时间为4小时，求轮船航行的平均速度（结果保留根号，参考数据：sin25°≈，cos25°，tan25°≈）【分析】（1）在直角△APD中利用三角函数即可直接求得PD的长；（2）利用三角函数求得AD和BD，则AB即可求得，然后利用速度公式求解．【解答】解：（1）在Rt△APD中，PD=AP•sin∠PAD=AP•sin30°=60×=30（海里）；（2）在直角△APD中，AD=AP•cos∠PAD=60×=30（海里），在直角△PBD中，∠BPD=25°，则BD=PD•tan∠BPD=30×tan25°≈30×=14，则AB=AD+BD=30+14（海里）．则轮船的平均速度是=（海里/时）．【点评】本题考查解直角三角形的应用，有一定难度，关键在于运用三角函数关系用AD表示出BD，最终求出AB的长度．19．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y=x的图象与反比例函数y=（x＞0）的图象相交于点A（a，5）．（1）求反比例函数的表达式；（2）点B在反比例函数的图象上，过B作BC∥x轴，交y轴于点C，连接AB，AC，且AB=AC，求点B的坐标及△AOC的面积．【分析】（1）把A（a，5）代入y=x求出A的坐标，把A的坐标代入y=求出k即可；（2）过A作AD⊥BC于D，求出CD=3，根据等腰三角形的性质求出CD=BD=3，得出B点的横坐标为6，代入解析式求出B点的坐标，即可得出C点的坐标，根据三角形的面积公式求出面积即可．【解答】解：（1）把A（a，5）代入y=x得：5=a，解得：a=3，即A的坐标为（3，5），把A的坐标代入y=得：k=15，即反比例函数的表达式为y=；（2）过A作AD⊥BC于D，∵BC∥x轴，∴AD⊥x轴，∵A（3，5），∴CD=3，∵AC=AB，AD⊥BC，∴CD=BD=3，∴B点的横坐标为6，把x=6代入y=得：y=，即B点的坐标为（6，），C点的坐标为（0，），∵A（3，5），∴△AOC的面积为×3=．【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，用待定系数法求反比例函数的解析式，能求出各个点的坐标是解此题的关键．20．（10分）如图，CD为⊙O的直径，直线AB与⊙O相切于点D，过C作CA⊥CB，分别交直线AB于点A和B，CA交⊙O于点E，连接DE，且AE=CD．（1）如图1，求证：△AED≌△CDB；（2）如图2，连接BE分别交CD和⊙O于点F，G，连接CG，DG．i）试探究线段DG与BF之间满足的等量关系，并说明理由．ii）若DG=，求⊙O的周长（结果保留π）【分析】（1）由AE=CD，∠AED=∠CDB，∠ADE=∠B，根据AAS即可证明；（2）i）结论：BF=2DG．由△AED≌△CDB，推出DE=DB，推出∠DEB=∠DBE，由∠BDG+∠CDG=90°，∠CDG+∠DCG=90°，推出∠BDG=∠DCG=∠DEB=∠DBG，DG=GB，由∠DFG+∠DBF=90°，∠FDG+∠BDG=90°，推出∠GFD=∠GDF，推出DG=GF=GB，即可解决问题；ii）如图2中，AD=BC=y，DE=DB=z，由DE∥BC，可得=，即=，整理得y2﹣yz﹣z2=0，可得y=z或y=z（舍弃），由DE∥BC，推出===，设DF=2k，CF=（1+）k，根据EF•FG=DF•C F，可得（﹣）•=2k•（1+）k，求出k即可解决问题．【解答】解：（1）如图1中，∵CD是直径，∴∠CED=90°，∵AB是⊙O的切线，∴CD⊥AB，∴∠AED=∠CDB=90°，∵∠ACB=∠AED=90°，∴DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∵AE=CD，∴△AED≌△CDB．（2）i）如图2中，结论：BF=2DG．理由如下：∵△AED≌△CDB，∴DE=DB，∴∠DEB=∠DBE，∵∠BDG+∠CDG=90°，∠CDG+∠DCG=90°，∴∠BDG=∠DCG=∠DEB=∠DBG，∴DG=GB，∵∠DFG+∠DBF=90°，∠FDG+∠BDG=90°，∴∠GFD=∠GDF，∴DG=GF=GB，∴BF=2DG．ii）如图2中，设AD=BC=y，DE=DB=z，∵DE∥BC，∴=，∴=整理得y2﹣yz﹣z2=0，∴y=z或y=z（舍弃），∵DE∥BC，∴===，∴=，∴EF=﹣，设DF=2k，CF=（1+）k，∵EF•FG=DF•CF，∴（﹣）•=2k•（1+）k，∴k=，∴CD=DF+CF=+1，∴OC=，⊙O的周长为（+1）π．【点评】本题考查圆综合题、切线的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．四、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）21．（4分）若===，且2b+3d﹣f≠0，那么=．【分析】先根据比的性质整理，再根据等比定理解答即可．【解答】解：∵===，∴===，∵2b+3d﹣f≠0，∴=．故答案为：．【点评】本题考查了比例的性质，主要利用了等比性质，熟记性质是解题的关键．22．（4分）在一个不透明的盒子中装有x颗白色棋子和y颗黑色棋子，它们除颜色外完全相同，现从该盒子总随机取出一颗棋子，取得白色棋子的概率是，将取出的棋子放回，再往该盒子中放进6颗同样的黑色棋子，此时从盒子中随机取出一颗棋子，取得白色棋子的概率是，那么原来盒子中的白色棋子有4颗．【分析】根据概率公式列出有关x、y的方程组，求得x、y的值即可．【解答】解：根据题意得：，解得：，所以原来盒子中的白色棋子有4颗．故答案为：4．【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．23．（4分）我们知道，同底数幂的乘法法则为：a m•a n=a m+n（其中a≠0，m，n 为正整数），类似地我们规定关于任意正整数m，n的一种新运算：h（m+n）=h（m）•h（n），请根据这种新运算填空：（1）若h（1）=，则h（2）=；（2）若h（1）=k（k≠0），那么h（n）•h（2017）=k n+2017（用含n和k的代数式表示，其中n为正整数）【分析】（1）将h（2）变形为h（1+1），再根据定义新运算：h（m+n）=h（m）•h（n）计算即可求解；（2）根据h（1）=k（k≠0），以及定义新运算：h（m+n）=h（m）•h（n）将原式变形为k n•k2017，再根据同底数幂的乘法法则计算即可求解．【解答】解：（1）∵h（1）=，h（m+n）=h（m）•h（n），∴h（2）=h（1+1）=×=；（2）∵h（1）=k（k≠0），h（m+n）=h（m）•h（n），∴h（n）•h（2017）=k n•k2017=k n+2017．故答案为：；k n+2017．【点评】考查了同底数幂的乘法，定义新运算，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．24．（4分）如图，直线y=﹣x+8与双曲线y=相交于A，B两点，与y轴交于点C，点P是线段BC上的动点（点P不与点B，C重合），过P作y轴的平行线，交双曲线于点D，连接CD，若点A的横坐标为﹣1，则△PDC的面积的最大值为．【分析】首先求得反比例函数的解析式，然后设P的横坐标是m，利用m表示出△PDC的面积，利用函数的性质求解．【解答】解：把x=﹣1代入y=﹣x+8，得y=1+8=9，则A的坐标是（﹣1，9）．把（﹣1，9）代入y=得k=﹣9．设P的横坐标是m，把x=m代入y=﹣x+8，得y=﹣m+8，则P的坐标是（m，﹣m+8）．把x=m代入y=﹣得y=﹣，则PD=﹣m+8+．则△PDC的面积y=（﹣m+8+）m，即y=﹣m2+4m+=﹣（m﹣4）2+则y的最大值是．故答案是：．【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式以及二次函数的性质，正确求得二次函数解析式是关键．25．（4分）如图，⊙O的直径AB=12，点C，D在⊙O上，连接BC，CD，且BC=CD，若直线CD与直线AB相交于点E，AE=2，则弦BD的长为或3．【分析】分两种情形分别画出图形求解即可解决问题；【解答】解：①当BD、BC在直径AB的同侧时．连接OC、AD．∵=，∴OC⊥BD，∵AB是直径，∴∠ADB=∠OFB=90°，∴AD∥OC，∴=，∴=，∴AD=，∴BD==．②当BD，CD在直径AB两侧时，连接AD，CO，CO的延长线交BD与F．同法可证：AD∥OC，∴=，∴=，∴AD=3，∴BD==3，故答案为或3．【点评】本题考查圆周角定理、垂径定理、勾股定理、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．五、简答题（本大题共3小题，共30分）26．（8分）小明和小颖在如图所示的四边形场地上，沿边骑自行车进行场地追逐赛（两人只要有一个人回到自己的出发点，则比赛结束）．小明从A地出发，沿A→B→C→D→A的路线匀速骑行，速度为8米/秒；小颖从B地出发，沿B→C→D→A→B的路线匀速骑行，速度为6米/秒．已知∠ABC=90°，AB=40米，BC=80米，CD=90米．设骑行时间为t秒，假定他们同时出发且每转一个弯需要额外耗时2秒．（1）填空：当t=秒时，两人第一次到B地的距离相等；（2）试问小明能否在小颖到达D地前追上她？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由．【分析】（1）由题意列出方程即可解决问题．（2）先判断小明在BC还是CD边上追上小颖，再用骑车的路程的关系建立方程，求解即可．【解答】解：（1）由题意得，40﹣8t=6t，∴t=，∴当t=秒时，两人第一次到B地的距离相等；故答案为：；（2）当小颖到点C时，所用时间为80÷6=秒，此时，小明也骑了秒，而小明到点B时，用了40÷8=5秒，剩余﹣5﹣2=，×8=米＜80米，所以小明不可能在BC边上追上小颖，当小颖到达D点时，所用时间为（80+90）÷6+2=+2=秒，小明在AB边上用时：40÷8=5秒，小明在BC边上用时：80÷8=10秒，刚好到到点C时，一共用时：5+2+10=17秒，小明在CD边上用时：90÷8=11.25秒，所以，小明到达点D时，共用：5+10+2+2+11.25=30.25秒＜秒∴能在到达D地前追上；根据题意得，8（t﹣2×2）=6（t﹣2）+40，∴t=30秒，【点评】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是学会构建方程解决问题，熟练行程问题中的等量关系，属于基础题．27．（10分）如图，在矩形ABCD中，E为CD上一点，将△ADE沿直线AE翻折，使点D落在BC边上点D′处（1）如图1，求证：△CD′E～△BAD′；（2）如图2，F为AD上一点，且DF=CD′，EF与BD相交于点G，试探究EF与BD的位置关系，并说明理由；（3）设AD′与BD相交于点H，在（2）的条件下，若D′E∥BD，HG=2，求BD的长．【分析】（1）利用同角的余角相等，证明∠AD′B=∠ED′C，即可解决问题．（2）结论：EF⊥BD．只要证明△EDF∽△DAB，推出∠FED=∠ADB，由∠ADB+∠BDC=90°，推出∠FED+∠BDC=90°，即∠DGE=90°．（3）首先证明四边形HGED′是矩形，推出HG=ED′=DE=2，设EC=y，CD′=x，易知△DGE≌△ECD′，可得DG=CE=y，EG=CD′=HD′=x，由△BHD′∽△D′CE，可得=，即=，推出BH=，推出BD=BH+GH+DG=y+2+，由△DFE ∽△CED′，可得=，推出=，即x2=2y，由x2+y2=4，可得y2+2y﹣4=0，就发现即可解决问题．【解答】（1）证明：如图1中，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠C=90°，∵∠AD′E=∠D=90°，∴∠AD′B+∠ED′C=90°，∠ED′C+∠D′EC=90°，∴∠AD′B=∠D′EC，∴△CD′E～△BAD′．（2）解：结论：EF⊥BD，理由如下：如图2中，∵△CD′E～△BAD′，∴=，∵CD′=DF，AD′=AD，D′E=DE∴=，∵∠EDF=∠BAD=90°，∴△EDF∽△DAB，∴∠FED=∠ADB，∵∠ADB+∠BDC=90°，∴∠FED+∠BDC=90°，∴∠DGE=90°，∴EF⊥BD．（3）解：∵D′E∥BD，AD′⊥D′E，∴BD⊥AD′，∴∠GHD′=∠HD′E=∠HGE=90°，∴四边形HGED′是矩形，∴HG=ED′=DE=2，设EC=y，CD′=x，易知△DGE≌△ECD′，∴DG=CE=y，EG=CD′=HD′=x，∵△BHD′∽△D′CE，∴=，∴=，∴BH=，∴BD=BH+GH+DG=y+2+，∵△DFE∽△CED′，∴=，∴=，∴x2=2y，∵x2+y2=4，∴y2+2y﹣4=0，∴y=﹣1+或﹣1﹣（舍弃），∴BD=﹣1++2+2=3+．【点评】本题考查四边形综合题、矩形的性质、翻折变换、相似三角形的判定和性质，二元二次方程组、勾股定理等知识，解题时根据是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用此时构建方程组解决问题，属于中考压轴题．28．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，边长为4的正方形OABC的顶点A在x轴上，顶点C在y轴上，点D是OA的中点，连接CD，过D作DE⊥CD，且DE=CD，以点D为顶点的抛物线刚好经过E点，P为射线CB上一点，过点P作PF⊥CD于点F．（1）求E点坐标及抛物线的表达式；（2）若点P从点C出发，沿射线CB以每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为t秒．则当t为何值时，以点P，F，D为顶点的三角形与△COD相似？（3）点Q为抛物线上一点，当点Q在直线PF上，且满足以点D，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，求点Q的坐标．【分析】（1）过点E作EG⊥x轴于G点．先证明△ODC≌△GED，从而得到∴EG=OD=2，DG=OC=4，故此可得到点E的坐标，然后设抛物线的解析式为y=a （x﹣2）2，最后将点E的坐标代入抛物线的解析式可求得a的值；（2）①当△DFP∽△COD，则∠PDF=∠DCO，依据平行线的判定定理可知PD∥OC，然后可证明四边形PDOC是矩形，则PC=OD=2，故此可求得t的值；②当△PFD∽△COD，可证明∠PCF=∠PDF，则PC=PD．设P（t，4），则CP=t，DP=，然后由PC=PD列方程求解即可；（3）当点Q在点P的左侧时，设点P的坐标为（t，0），点Q的坐标为（x，y），依据平分四边形对角线互相平分的性质和线段的中点坐标公式可求得y=2，x=t﹣4，从而得到点Q的坐标，然后将点Q的坐标代入抛物线的解析式求解即可；当点Q在点P的右侧时，同理可求得点Q的坐标．【解答】解：（1）如图1，过点E作EG⊥x轴于G点．∵四边形OABC是边长为4的正方形，D是OA的中点，∴OA=OC=4，OD=2，∠AOC=∠DGE=90°．∵∠CDE=90°，∴∠ODC+∠GDE=90°．。
2017年四川省成都高考数学二诊试卷
2017年四川省成都高考数学二诊试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.1．已知复数z=，则z的共轭复数是（）A．1﹣i B．1+i C．i D．﹣i2．设S n是等差数列{a n}的前n项和，a1=2，a5=3a3，则a3=（）A．﹣2 B．0 C．3 D．63．已知向量，=（3，m），m∈R，则“m=﹣6”是“”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件4．设函数f（x）=log2x，在区间（0，5）上随机取一个数x，则f（x）＜2的概率为（）A．B．C．D．5．一个几何体的三视图如图所示，则它的体积为（）A．B．C．20 D．406．已知x，y满足条件（k为常数），若目标函数z=x+3y的最大值为8，则k=（）A．﹣16 B．﹣6 C．D．67．定义运算a*b为执行如图所示的程序框图输出的S值，则的值为（）A．B．C．4 D．68．如图，在正四棱锥S﹣ABCD中，E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，动点P在线段MN上运动时，下列四个结论：①EP⊥AC；②EP∥BD；③EP∥面SBD；④EP⊥面SAC，其中恒成立的为（）A．①③B．③④C．①②D．②③④9．若曲线y=与曲线y=alnx在它们的公共点P（s，t）处具有公共切线，则实数a=（）A．﹣2 B．C．1 D．210．已知△ABC是边长为的正三角形，EF为△ABC的外接圆O的一条直径，M为△ABC的边上的动点，则的最大值为（）A．3 B．4 C．5 D．611．已知双曲线的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），A，B是圆（x+c）2+y2=4c2与C位于x轴上方的两个交点，且F1A∥F2B，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．12．若对∀m，n∈R，有g（m+n）=g（m）+g（n）﹣3，求的最大值与最小值之和是（）A．4 B．6 C．8 D．10二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上.）13．在△ABC中，边a、b、c分别是角A、B、C的对边，若bcosC=（3a﹣c）cosB，则cosB=．14．已知点P（x，y）的坐标满足条件，若点O为坐标原点，点M（﹣1，﹣1），那么的最大值等于．15．动点M（x，y）到点（2，0）的距离比到y轴的距离大2，则动点M的轨迹方程为．16．在△ABC中，∠A=θ，D、E分别为AB、AC的中点，且BE⊥CD，则cos2θ的最小值为．三.解答题（17-21每小题12分，22或23题10分，共70分.在答题卷上解答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．设数列{a n}的前n项和S n=2a n﹣a1，且a1，a2+1，a3成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列的前n项和T n．18．为宣传3月5日学雷锋纪念日，成都七中在高一，高二年级中举行学雷锋知识竞赛，每年级出3人组成甲乙两支代表队，首轮比赛每人一道必答题，答对则为本队得1分，答错不答都得0分，已知甲队3人每人答对的概率分别为，乙队每人答对的概率都是．设每人回答正确与否相互之间没有影响，用X表示甲队总得分．（1）求随机变量X的分布列及其数学期望E（X）；（2）求甲队和乙队得分之和为4的概率．19．已知等边△AB′C′边长为，△BCD中，（如图1所示），现将B与B′，C与C′重合，将△AB′C′向上折起，使得（如图2所示）．（1）若BC的中点O，求证：平面BCD⊥平面AOD；（2）在线段AC上是否存在一点E，使ED与面BCD成30°角，若存在，求出CE 的长度，若不存在，请说明理由；（3）求三棱锥A﹣BCD的外接球的表面积．20．已知圆，将圆E2按伸缩变换：后得到曲线E1，（1）求E1的方程；（2）过直线x=2上的点M作圆E2的两条切线，设切点分别是A，B，若直线AB 与E1交于C，D两点，求的取值范围．21．已知函数g（x）=xsinθ﹣lnx﹣sinθ在[1，+∞）单调递增，其中θ∈（0，π）（1）求θ的值；（2）若，当x∈[1，2]时，试比较f（x）与的大小关系（其中f′（x）是f（x）的导函数），请写出详细的推理过程；（3）当x≥0时，e x﹣x﹣1≥kg（x+1）恒成立，求k的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：ρsin2θ=2acosθ（a＞0），过点P（﹣2，﹣4）的直线l的参数方程为（t为参数），l与C分别交于M，N．（1）写出C的平面直角坐标系方程和l的普通方程；（2）若|PM|、|MN|、|PN|成等比数列，求a的值．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）=|x+|+|x﹣a|（a＞0）．（Ⅰ）证明：f（x）≥2；（Ⅱ）若f（3）＜5，求a的取值范围．2017年四川省成都高考数学二诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.1．已知复数z=，则z的共轭复数是（）A．1﹣i B．1+i C．i D．﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．【分析】复数分子、分母同乘分母的共轭复数，化简为a+bi（a，b∈R）的形式，即可得到选项．【解答】解：复数z==所以它的共轭复数为：1﹣i故选A2．设S n是等差数列{a n}的前n项和，a1=2，a5=3a3，则a3=（）A．﹣2 B．0 C．3 D．6【考点】等差数列的通项公式．【分析】利用等差数列的通项公式即可求得公差d，再利用等差数列的通项公式即可求出答案．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a1=2，a5=3a3，∴2+4d=3（2+2d），解得d=﹣2．则a3=a1+2d=2+2×（﹣2）=﹣2．故选：A．3．已知向量，=（3，m），m∈R，则“m=﹣6”是“”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】由⇔﹣1×（2+m）﹣2×2=0，即可得出．【解答】解：=（﹣1，2）+（3，m）=（2，2+m）．由⇔﹣1×（2+m）﹣2×2=0，⇔m=﹣6．因此“m=﹣6”是“”的充要条件．故选：A．4．设函数f（x）=log2x，在区间（0，5）上随机取一个数x，则f（x）＜2的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】解不等式f（x）＜2的解，利用几何概型的概率公式即可得到结论．【解答】解：∵log2x，x∈（0，5）．∴由f（x）＜2，得log2x＜2解得0＜x＜4，∴根据几何概型的概率公式可得若从区间（0，5）内随机选取一个实数x，f（x）＜2的概率为：=，故选D．5．一个几何体的三视图如图所示，则它的体积为（）A．B．C．20 D．40【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体是四棱锥，根据三视图判断相关几何量的数据，把数据代入棱锥的体积公式计算．【解答】解：由三视图知：该几何体是四棱锥，如图：其中SA⊥平面ABCD，SA=4，四边形ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB=AD=4，BC=1．∴几何体的体积V=××（1+4）×4×4=．故选：B6．已知x，y满足条件（k为常数），若目标函数z=x+3y的最大值为8，则k=（）A．﹣16 B．﹣6 C．D．6【考点】简单线性规划．【分析】由目标函数z=x+3y的最大值为8，我们可以画出满足条件（k为常数）的可行域，根据目标函数的解析式形式，分析取得最优解的点的坐标，然后根据分析列出一个含参数k的方程组，消参后即可得到k的取值．【解答】解：画出x，y满足的（k为常数）可行域如下图：由于目标函数z=x+3y的最大值为8，可得直线y=x与直线8=x+3y的交点A（2，2），使目标函数z=x+3y取得最大值，将x=2，y=2代入2x+y+k=0得：k=﹣6．故选B．7．定义运算a*b为执行如图所示的程序框图输出的S值，则的值为（）A．B．C．4 D．6【考点】程序框图．【分析】由已知的程序框图可知程序的功能是：计算并输出分段函数的值，比较a，b的值，即可计算得解．【解答】解：由已知的程序框图可知本程序的功能是：计算并输出分段函数S=的值，∵a=，∴log100a=lg，∴=lg，∴lga=lg，∴a=，∵b=log98•log4=••=••=，可得：a＞b，∴S=×（﹣）=．故选：B．8．如图，在正四棱锥S﹣ABCD中，E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，动点P在线段MN上运动时，下列四个结论：①EP⊥AC；②EP∥BD；③EP∥面SBD；④EP⊥面SAC，其中恒成立的为（）A．①③B．③④C．①②D．②③④【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【分析】如图所示，连接AC、BD相交于点O，连接EM，EN．（1）由正四棱锥S﹣ABCD，可得SO⊥底面ABCD，AC⊥BD，进而得到SO⊥AC．可得AC⊥平面SBD．由已知E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，利用三角形的中位线可得EM∥BD，MN∥SD，于是平面EMN∥平面SBD，进而得到AC⊥平面EMN，AC⊥EP．（2）由异面直线的定义可知：EP与BD是异面直线，因此不可能EP∥BD；（3）由（1）可知：平面EMN∥平面SBD，可得EP∥平面SBD；（4）由（1）同理可得：EM⊥平面SAC，可用反证法证明：当P与M不重合时，EP与平面SAC不垂直．【解答】解：如图所示，连接AC、BD相交于点O，连接EM，EN．对于（1），由正四棱锥S﹣ABCD，可得SO⊥底面ABCD，AC⊥BD，∴SO⊥AC．∵SO∩BD=O，∴AC⊥平面SBD，∵E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，∴EM ∥BD，MN∥SD，而EM∩MN=N，∴平面EMN∥平面SBD，∴AC⊥平面EMN，∴AC⊥EP．故正确．对于（2），由异面直线的定义可知：EP与BD是异面直线，不可能EP∥BD，因此不正确；对于（3），由（1）可知：平面EMN∥平面SBD，∴EP∥平面SBD，因此正确．对于（4），由（1）同理可得：EM⊥平面SAC，若EP⊥平面SAC，则EP∥EM，与EP∩EM=E相矛盾，因此当P与M不重合时，EP与平面SAC不垂直．即不正确．故选：A．9．若曲线y=与曲线y=alnx在它们的公共点P（s，t）处具有公共切线，则实数a=（）A．﹣2 B．C．1 D．2【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出两个函数的导数然后求出公共点的斜率，利用向量相等，有公共点解方程即可求出a的值．【解答】解：曲线y=的导数为：y′=，在P（s，t）处的斜率为：k=．曲线y=alnx的导数为：y′=，在P（s，t）处的斜率为：k=．曲线y=与曲线y=alnx在它们的公共点P（s，t）处具有公共切线，可得，并且t=，t=alns，即，解得lns=，解得s2=e．可得a=1．故选：C．10．已知△ABC是边长为的正三角形，EF为△ABC的外接圆O的一条直径，M为△ABC的边上的动点，则的最大值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】平面向量数量积的运算．【分析】首先，以边AB所在直线为x轴，以其中点为坐标原点建立平面直角坐标系，然后，对点M的取值情况分三种情形进行讨论，然后运用数量积的坐标表示和二次函数的最值求法，求解其最大值．【解答】解：如图所示，以边AB所在直线为x轴，以其中点为坐标原点建立平面直角坐标系，∵该正三角形ABC的边长为2，∴A（﹣，0），B（，0），C（0，3），E（0，﹣1），F（0，3），当点M在边AB上时，设点M（x0，0），则﹣≤x0≤，∵=（﹣x0，﹣1），=（x0，﹣3），∴•=﹣x02+3，∵﹣≤x0≤，∴•的最大值为3，当点M在边BC上时，∵直线BC的斜率为﹣，∴直线BC的方程为：x+y﹣3=0，设点M（x0，3﹣x0），则0≤x0≤，∵=（﹣x0，x0﹣4），=（x0，x0），∴•=2x02﹣4x0，∵0≤x0≤，∴•的最大值为0，当点M在边AC上时，∵直线AC的斜率为，∴直线AC的方程为：x﹣y+3=0，设点M（x0，3+x0），则﹣≤x0≤0，∵=（﹣x0，﹣x0﹣4），=（x0，x0），∴•=﹣4x02﹣4x0，∵﹣≤x0≤0，∴•的最大值为3，综上，最大值为3，故选：A．11．已知双曲线的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），A，B是圆（x+c）2+y2=4c2与C位于x轴上方的两个交点，且F1A∥F2B，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】连接BF1，AF2，由双曲线的定义，可得|AF2|=2a+2c，|BF2|=2c﹣2a，在△AF1F2中，和△BF1F2中，运用余弦定理求得cos∠AF1F2，os∠BF2F1，由F1A∥F2B，可得∠BF2F1+∠AF1F2=π，即有cos∠BF2F1+cos∠AF1F2=0，化简整理，由离心率公式计算即可得到所求值．【解答】解：连接BF1，AF2，由双曲线的定义，可得|AF2|﹣|AF1|=2a，|BF1|﹣|BF2|=2a，由|BF1|=|AF1|=2c，可得|AF2|=2a+2c，|BF2|=2c﹣2a，在△AF1F2中，可得cos∠AF1F2==，在△BF1F2中，可得cos∠BF2F1==，由F1A∥F2B，可得∠BF2F1+∠AF1F2=π，即有cos∠BF2F1+cos∠AF1F2=0，可得+=0，化为2c2﹣3ac﹣a2=0，得2e2﹣3e﹣1=0，解得e=（负的舍去），故选：C．12．若对∀m，n∈R，有g（m+n）=g（m）+g（n）﹣3，求的最大值与最小值之和是（）A．4 B．6 C．8 D．10【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】构造h（x）=g（x）﹣3，根据函数奇偶性的定义可判定函数h（x）为奇函数，利用奇函数图象的性质即可求出答案．【解答】解：∵∀m，n∈R，有g（m+n）=g（m）+g（n）﹣3，∴令m=n=0时，g（0）=g（0）+g（0）﹣3，∴g（0）=3，令m=﹣n时，g（0）=g（﹣n）+g（n）﹣3，∴g（x）+g（﹣x）=6，令h（x）=g（x）﹣3，则h（x）+h（﹣x）=0即h（x）为奇函数，奇函数的图象关于原点对称，它的最大值与最小值互为相反数，∴g（x）max+g （﹣x）min=6，设F（x）=，则F（﹣x）=﹣F（x），函数为奇函数，最大值与最小值之和为0，∴．的最大值与最小值之和是6．故选B．二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上.）13．在△ABC中，边a、b、c分别是角A、B、C的对边，若bcosC=（3a﹣c）cosB，则cosB=．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】bcosC=（3a﹣c）cosB，由正弦定理可得：sinBcosC=3sinAcosB﹣sinCcosB，可得sin（B+C）=3sinAcosB，即sinA=3sinAcosB，sinA≠0，即可得出．【解答】解：在△ABC中，∵bcosC=（3a﹣c）cosB，由正弦定理可得：sinBcosC=3sinAcosB﹣sinCcosB，∴sin（B+C）=3sinAcosB，即sinA=3sinAcosB，sinA≠0，化为cosB=．故答案为：．14．已知点P（x，y）的坐标满足条件，若点O为坐标原点，点M（﹣1，﹣1），那么的最大值等于4．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，令z==﹣x﹣y，化为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，令z==﹣x﹣y，化为y=﹣x﹣z，由图可知，当直线y=﹣x﹣z过点A（0，﹣4）时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为4．故答案为：4．15．动点M（x，y）到点（2，0）的距离比到y轴的距离大2，则动点M的轨迹方程为y2=8x（x≥0）或y=0（x＜0）．【考点】轨迹方程．【分析】由已知列出方程，化简即可求出动点M的轨迹C的方程．【解答】解：∵动点M（x，y）到点（2，0）的距离比到y轴的距离大2，∴=|x|+2，整理，得y2=4x+|4x|，∴当x≥0时，动点M的轨迹C的方程为y2=8x．当x＜0时，动点M的轨迹C的方程为y=0．故答案为：y2=8x（x≥0）或y=0（x＜0）16．在△ABC中，∠A=θ，D、E分别为AB、AC的中点，且BE⊥CD，则cos2θ的最小值为．【考点】二倍角的余弦．【分析】不妨设C（2，0），B（x，y），A（0，0），根据•=0，可得+y2=，故点B在此圆上．过点A作圆的切线，故当点B为切点时，∠A最大，即θ最大，故cosθ最小，从而求得cos2θ的最小值．【解答】解：△ABC中，∠A=θ，D、E分别为AB、AC的中点，且BE⊥CD，如图所示，不妨设C（2，0），B（x，y），A（0，0），∵AD=AB，AE=AC，∴E（1，0），D（，）．∵BE⊥CD，∴•=（1﹣x，﹣y）•（﹣2，）=（1﹣x）（﹣2）﹣y•=﹣ [+y2﹣]=0，∴+y2=，表示以（，0）为圆心，半径等于的圆，故点B在此圆上．过点A作圆的切线，故当点B为切点时，∠A最大，即θ最大，故cosθ===最小，则cos2θ的最小值为2cos2θ﹣1=2×﹣1=，故答案为：．三.解答题（17-21每小题12分，22或23题10分，共70分.在答题卷上解答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．设数列{a n}的前n项和S n=2a n﹣a1，且a1，a2+1，a3成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列的前n项和T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）运用数列的递推式：a n=S n﹣S n﹣1（n＞1），结合等差数列中项的性质，解方程可得首项，由等比数列的通项公式即可得到所求；（2）求得，运用数列的求和方法：分组求和，结合等比数列和等差数列的求和公式，计算即可得到所求和．【解答】解：（1）由已知S n=2a n﹣a1有a n=S n﹣S n﹣1=2a n﹣2a n﹣1（n＞1），即a n=2a n﹣1（n＞1）．从而a2=2a1，a3=4a1．又∵a1，a2+1，a3成等差数列，即a1+a3=2（a2+1），∴a1+4a1=2（2a1+1），解得a1=2．∴数列{a n}是首项为2，公比为2的等比数列，故．（2）由（1）得，因数列是首项为，公比为的等比数列，即有T n=（++…+）﹣（1+2+…+n），∴．18．为宣传3月5日学雷锋纪念日，成都七中在高一，高二年级中举行学雷锋知识竞赛，每年级出3人组成甲乙两支代表队，首轮比赛每人一道必答题，答对则为本队得1分，答错不答都得0分，已知甲队3人每人答对的概率分别为，乙队每人答对的概率都是．设每人回答正确与否相互之间没有影响，用X表示甲队总得分．（1）求随机变量X的分布列及其数学期望E（X）；（2）求甲队和乙队得分之和为4的概率．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）X的可能取值为0，1，2，3．分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列及数学期望．（2）设“甲队和乙队得分之和为4”事件A，包含“甲队3分且乙队1分”，“甲队2分且乙队2分”，“甲队1分且乙队3分”三个基本事件，由此能求出甲队和乙队得分之和为4的概率．【解答】解：（1）X的可能取值为0，1，2，3．，，，，∴X的分布列为：X0123P…．…（2）设“甲队和乙队得分之和为4”事件A，包含“甲队3分且乙队1分”，“甲队2分且乙队2分”，“甲队1分且乙队3分”三个基本事件，则：．…19．已知等边△AB′C′边长为，△BCD中，（如图1所示），现将B与B′，C与C′重合，将△AB′C′向上折起，使得（如图2所示）．（1）若BC的中点O，求证：平面BCD⊥平面AOD；（2）在线段AC上是否存在一点E，使ED与面BCD成30°角，若存在，求出CE 的长度，若不存在，请说明理由；（3）求三棱锥A﹣BCD的外接球的表面积．【考点】平面与平面垂直的判定；球内接多面体．【分析】（1）运用平面几何中等腰三角形的三线合一，结合线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理，即可得证；（2）（法1）作AH⊥DO，交DO的延长线于H，运用平面几何中有关性质，以及线面垂直和面面垂直的性质，可得∠EDF就是ED与面BCD所成的角．运用直角三角形的知识，计算可得CE；（法2）以D为坐标原点，以直线DB，DC分别为x轴，y轴的正方向，以过D 与平面BCD垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系，设CE=x，求出E的坐标，运用法向量，以及向量的夹角公式，计算即可得到所求；（3）将原图补形成正方体，由AC=，可得正方体边长为1，可得外接球的直径即为正方体的对角线长，由球的表面积公式，计算即可得到所求．【解答】解：（1）证明：∵△ABC为等边三角形，△BCD为等腰三角形，且O为中点，∴BC⊥AO，BC⊥DO，∵AO∩DO=O，∴BC⊥平面AOD，又BC⊂面ABC∴平面BCD⊥平面AOD…（2）（法1）作AH⊥DO，交DO的延长线于H，则平面BCD∩平面AOD=HD，则AH⊥平面BCD，在Rt△BCD中，，在Rt△ACO中，，在△AOD中，，∴，在Rt△ADH中AH=ADsin∠ADO=1，设，作EF⊥CH于F，平面AHC⊥平面BCD，∴EF⊥平面BCD，∠EDF就是ED与面BCD所成的角．由，∴（※），在Rt△CDE中，，要使ED与面BCD成30°角，只需使，∴x=1，当CE=1时，ED与面BCD成30°角…（法2）在解法1中接（※），以D为坐标原点，以直线DB，DC分别为x轴，y轴的正方向，以过D与平面BCD垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系则，，又平面BCD的一个法向量为，要使ED与面BCD成30°角，只需使成60°，只需使，即，∴x=1，当CE=1时ED与面BCD成30°角；（3）将原图补形成正方体，由AC=，可得正方体边长为1，则外接球的直径为，即半径，表面积：S=4πr2=3π…20．已知圆，将圆E2按伸缩变换：后得到曲线E1，（1）求E1的方程；（2）过直线x=2上的点M作圆E2的两条切线，设切点分别是A，B，若直线AB 与E1交于C，D两点，求的取值范围．【考点】平面直角坐标轴中的伸缩变换．【分析】（1）根据题意，由平面直角坐标系中的伸缩变化的规律可得（x′）2+2（y′）2=2，整理即可得答案；（2）根据题意，直线x=2上任意一点M以及切点A，B坐标，分析可得切线AM，BM的方程，分t=0与t≠0两种情况讨论，分别求出的取值范围，综合即可得答案．【解答】解：（1）按伸缩变换：得：（x′）2+2（y′）2=2，则E1：；（2）设直线x=2上任意一点M的坐标是（2，t），t∈R，切点A，B坐标分别是（x1，y1），（x2，y2）；则经过A点的切线斜率k=，方程是x1x+y1y=2，经过B点的切线方程是x2x+y2y=2，又两条切线AM，BM相交于M（2，t），则有，所以经过A、B两点的直线l的方程是2x+ty=2，当t=0时，有A（1，1），B（1，﹣1），C（1，），D（1，﹣），则|CD|=，|AB|=2，=，当t≠0时，联立，整理得（t2+8）x2﹣16x+8﹣2t2=0；设C、D坐标分别为（x3，y3），（x4，y4），则，，，∴令t2+4=x，则x＞4，则f（x）=，又令u=∈（0，），φ（u）=﹣32u3+6u+1，u∈（0，），令φ′（u）=﹣96u2+6，令﹣96u2+6=0，解可得u0=，故φ（u）=﹣32u3+6u+1在（0，）上单调递增，且有φ（u）∈（1，），而，则＜＜1；综合可得≤＜1；所以的取值范围为[，1）．21．已知函数g（x）=xsinθ﹣lnx﹣sinθ在[1，+∞）单调递增，其中θ∈（0，π）（1）求θ的值；（2）若，当x∈[1，2]时，试比较f（x）与的大小关系（其中f′（x）是f（x）的导函数），请写出详细的推理过程；（3）当x≥0时，e x﹣x﹣1≥kg（x+1）恒成立，求k的取值范围．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）令g′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，结合三角函数的性质即可得出sinθ=1；（2）化简得f（x）﹣f′（x）=x﹣lnx++﹣﹣2，利用导数分别求出y=x﹣lnx 和y=+﹣﹣2在[1，2]上的最小值，即可得出结论；（3）令F（x）=e x﹣x﹣1﹣kg（x+1），则F min（x）≥0（x≥0），对k进行讨论，判断F（x）的单调性，计算F min（x）进行检验即可．【解答】解：（1）∵g（x）在[1，+∞）单调递增，∴在[1，+∞）上恒成立，即恒成立．∵当x≥1时，≤1，∴sinθ≥1，又θ∈（0，π），∴0＜sinθ≤1∴sinθ=1，∴．（2）由（1）可知g（x）=x﹣lnx﹣1，∴，∴，∴，令h（x）=x﹣lnx，，∴，，∴h（x）在[1，2]上单调递增，∴h（x）≥h（1）=1，令φ（x）=﹣3x2﹣2x+6，则φ（x）在[1，2]单调递减，∵φ（1）=1，φ（2）=﹣10，∴∃x0∈（1，2），使得H（x）在（1，x0）单调递增，在（x0，2）单调递减，∵H（1）=0，H（2）=﹣，∴，∴，又两个函数的最小值不同时取得；∴，即：．（3）∵e x﹣x﹣1≥kg（x+1）恒成立，即：e x+kln（x+1）﹣（k+1）x﹣1≥0恒成立，令F（x）=e x+kln（x+1）﹣（k+1）x﹣1，则，由（1）得：g（x）≥g（1）即x﹣lnx﹣1≥0（x≥1），∴x+1≥ln（x+1）+1（x≥0），即：x≥ln（x+1）（x≥0），∴e x≥x+1，∴当k=1时，∵x≥0，∴，∴F（x）单调递增，∴F（x）≥F（0）=0，符合题意；当k∈（0，1）时，y=（x+1）+﹣（k+1）在[0，+∞）上单调递增，∴，∴F（x）单调递增，∴F（x）≥F（0）=0，符合题意；当k≤0时，F′（x）在[0，+∞）上是增函数，∴≥F′（0）=1+k﹣（k+1）=0，∴F（x）单调递增，∴F（x）≥F（0）=0符合题意，当k＞1时，F″（x）=e x﹣，∴F″（x）在[0，+∞）上单调递增，又F″（0）=1﹣k＜0，且x→+∞，F″（x）＞0，∴F″（x）在（0，+∞）存在唯一零点t0，∴F′（x）在（0，t0）单调递减，在（t0，+∞）单调递增，∴当x∈（0，t0）时，F′（x）＜F′（0）=0，∴F（x）在（0，t0）单调递减，∴F（x）＜F（0）=0，不合题意．综上：k≤1．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：ρsin2θ=2acosθ（a＞0），过点P（﹣2，﹣4）的直线l的参数方程为（t为参数），l与C分别交于M，N．（1）写出C的平面直角坐标系方程和l的普通方程；（2）若|PM|、|MN|、|PN|成等比数列，求a的值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）利用极坐标与普通方程的关系式，可得C为抛物线方程，消去参数t，可得直线l的方程；（2）由|PM|=|t1|，|MN|=|t1﹣t2|，|PN|=|t2|成等比数列，可转化为关于a的等量关系求解．【解答】解：（Ⅰ）曲线C：ρsin2θ=2acosθ，可得ρ2sin2θ=2aρcosθ，它的直角坐标方程为y2=2ax（a＞0）；，消去t，可得x﹣y﹣2=0，直线l的普通方程为x﹣y﹣2=0．4分（Ⅱ）将直线l的参数方程与C的直角坐标方程联立，得t2﹣2（4+a）t+8（4+a）=0 （*）△=8a（4+a）＞0．设点M，N分别对应参数t1，t2，恰为上述方程的根．则|PM|=|t1|，|PN|=|t2|，|MN|=|t1﹣t2|．由题设得（t1﹣t2）2=|t1t2|，即（t1+t2）2﹣4t1t2=|t1t2|．由（*）得t1+t2=2（4+a），t1t2=8（4+a）＞0，则有（4+a）2﹣5（4+a）=0，得a=1，或a=﹣4．因为a＞0，所以a=1．10分[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）=|x+|+|x﹣a|（a＞0）．（Ⅰ）证明：f（x）≥2；（Ⅱ）若f（3）＜5，求a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）由a＞0，f（x）=|x+|+|x﹣a|，利用绝对值三角不等式、基本不等式证得f（x）≥2成立．（Ⅱ）由f（3）=|3+|+|3﹣a|＜5，分当a＞3时和当0＜a≤3时两种情况，分别去掉绝对值，求得不等式的解集，再取并集，即得所求．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵a＞0，f（x）=|x+|+|x﹣a|≥|（x+）﹣（x﹣a）|=|a+|=a+≥2=2，故不等式f（x）≥2成立．（Ⅱ）∵f（3）=|3+|+|3﹣a|＜5，∴当a＞3时，不等式即a+＜5，即a2﹣5a+1＜0，解得3＜a＜．当0＜a≤3时，不等式即6﹣a+＜5，即a2﹣a﹣1＞0，求得＜a≤3．综上可得，a的取值范围（，）．。
2017年四川省成都市高考数学二诊试卷(理科)
2.若复数z1=a+i a∈R，z2=1−i，且z1为纯虚数，则z1在复平面内所对应的点位于 2．若函数g x的定义域为R，2017年四川省成都市高考数学二诊试卷（理科）一、选择题（共12小题；共60分）1.设集合A=−1,2，B=y y=x2,x∈A，则A∩B= A.1,4B.1,2C.−1,0D.0,2z2A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.在等比数列an 中，已知a3=6，a3+a5+a7=78，则a5= A.12B.18C.24D.364.已知平面向量a，b的夹角为π，且a=1，b=1，则a+2b与b的夹角是 32A.πB.65π C.π D.3π6445.若曲线y=ln x+ax2（a为常数）不存在斜率为负数的切线，则实数a的取值范围是 A.−1,+∞2B.−1,+∞2C.0,+∞D.0,+∞2x+y+2≥0,6.若实数x，y满足不等式x+y−1≤0,且x−y的最大值为5，则实数m的值为 y≥m,A.0B.−1C.−2D.−57.已知m，n是空间中两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且m⊂α，n⊂β．有下列命题：①若α∥β，则m∥n；②若α∥β，则m∥β；③若α∩β=l，且m⊥l，n⊥l，则α⊥β；④若α∩β=l，且m⊥l，m⊥n，则α⊥β．其中真命题的个数是 A.0B.1C.28.已知函数f x=a x（a>0，a≠1）的反函数的图象经过点2,12D.3当x∈−2,2时，有g x=f x，且函数g x+2为偶函数，则下列结论正确的是 A.gπ<g3＜g2 C.g2<g3＜gπB.gπ<g2<g3 D.g2<gπ<g39.执行如图所示的程序框图，若输入a，b，c分别为1，2，0.3，则输出的结果为 11.设双曲线C:x−y=1（a>0，b>0）的左右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆与双4C.3D.3+6A.1.125B.1.25C.1.3125D.1.37510.已知函数f x=sinωx+2φ−2sinφcosωx+φω>0,φ∈R在π,3π上单调递减，则ω2的取值范围是 A.0,2B.0,12C.1,1D.21,52422a2b2曲线左支的一个交点为P，若以OF1（O为坐标原点）为直径的圆与PF2相切，则双曲线C的离心率为 A.2B.−3+627212.把平面图形M上的所有点在一个平面上的射影构成的图形Mʹ叫作图形M在这个平面上的射影．如图，在三棱锥A−BCD中，B D⊥CD，AB⊥DB，AC⊥DC，AB=DB=5，CD=4，将围成三棱锥的四个三角形的面积从小到大依次记为S1，S2，S3，S4，设面积为S2的三角形所在的平面为α，则面积为S4的三角形在平面α上的射影的面积是 21+x的展开式中，若常数项为−10，则a=______．x i−xA.234B.25C.10D.302二、填空题（共4小题；共20分）13.在二项式ax514.在一个容量为5的样本中，数据均为整数，已测出其平均数为10，但墨水污损了两个数据，其中一个数据的十位数字1未污损，即9，10，11，S2可能的最大值是______．15.如图，抛物线y2=4x的一条弦AB经过焦点F，取线段OB的中点D，延长OA至点C，使OA=AC，过点C，D作y轴的垂线，垂足分别为E，G，则EG的最小值为______．16.在数列an中，a1=1，an=n2n2−1an−1n≥2,n∈N∗，则数列a nn2的前n项和Tn=______．三、解答题（共7小题；共91分）17.如图，在平面四边形ABCD中，已知∠A=π，∠B=2π，AB=6，在AB边上取点E，使得23BE=1，连接EC，ED．若∠CED=2π，EC=7．3（1）求sin∠BCE的值；（2）求CD的长．18.某项科研活动共进行了5次试验，其数据如表所示：特征量第1次第2次第3次第4次第5次x555559551563552（附：回归直线的斜率和截距的最小二乘y601605597599598法估计公式分别为b=n i=1x i−x y i−yn2i=1，a=y−b x）（1）从5次特征量y的试验数据中随机地抽取两个数据，求至少有一个大于600的概率；（2）求特征量y关于x的线性回归方程y=b x+a，并预测当特征量x为570时特征量y的值．20.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E:x+y=1a>b>0，圆O:x2+y2=r20<r<b，2,π．e2q+1=4，求3p+2q+r的最小值．3p+19.如图，已知梯形CDEF与△ADE所在平面垂直，AD⊥DE，CD⊥DE，AB∥CD∥EF，AE=2DE=8，AB=3，EF=9，CD=12，连接BC，BF．（1）若G为AD边上一点，DG=1DA，求证：EG∥平面BCF；3（2）求二面角E−BF−C的余弦值．22a2b2若圆O的一条切线l:y=kx+m与椭圆E相交于A，B两点．（1）当k=−1，r=1时，若点A，B都在坐标轴的正半轴上，求椭圆E的方程；2（2）若以AB为直径的圆经过坐标原点O，探究a，b，r之间的等量关系，并说明理由．21.已知函数f x=a ln x−x+1，其中a>0．x（1）若f x在2,+∞上存在极值点，求a的取值范围；（2）设x1∈0,1，x2∈1,+∞，若f x2−f x1存在最大值，记为M a．则a≤e+1时，M a是否存在最大值?若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．x=2cosα,22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为y=2+2sinα（α为参数），直线l的参数方程为x=3−3t,2（t为参数），在以坐标原点O为极点，x轴为正半轴为极轴的极坐标系中，过y=3+1t2极点O的射线与曲线C相交于不同于极点的点A，且点A的极坐标为23,θ，其中θ∈π（1）求θ的值；（2）若射线OA与直线l相交于点B，求AB的值．23.已知函数f x=4−x−x−3，（1）求不等式f x+3≥0的解集；2（2）若p，q，r为正实数，且11rsin∠BCE ，sin∠BCE=BE sin B=7=2210=0.7．bni=1xi−x yi−yxi−x2答案第一部分1.D2.A3.B 6.C7.B8.C 11.D12.A第二部分13.−214.32.815.42n16.n+1第三部分4.A9.D5.D10.C17.（1）在△CBE中，由正弦定理得，CE=BEsin B CE 1×3221．14（2）在△CBE中，由余弦定理得CE2=BE2+CB2−2BE⋅CB cos120∘，即7=1+CB2+CB，解得CB=2．由余弦定理得CB2=BE2+CE2−2BE⋅CE cos∠BEC⇒cos∠BEC=27．⇒sin∠BEC=7sin∠AED=sin120∘+∠BEC327121=×−×272721=,1421，7⇒cos∠AED=57，14在直角△ADE中，AE=5，AE=cos∠AED=57，⇒DE=27，DE14在△CED中，由余弦定理得CD2=CE2+DE2−2CE⋅DE cos120∘=49，∴CD=7．18.（1）从5次特征量y的试验数据中随机地抽取两个数据，共有C5=10种方法，都小于600，有C3=3种方法，所以至少有一个大于600的概率=7（2）x=556，y=600，=ni=1−1×1+3×5+−5×−3+7×−1+−4×−2=1+9+25+49+16=0.3,bx=433.2，所以y=0.3x+433.2，x=570，y=604.2，所以椭圆 E 的方程为：x + y 2= 1．5联立 x 2 ，x 1x 2 = a m −a b即当特征量 x 为 570 时特征量 y 的值为 604.2．19. （1） 因为梯形 CDEF 与 △ ADE 所在平面垂直，AD ⊥ DE ，CD ⊥ DE ，AB ∥CD ∥EF ， 所以以 D 为原点，DC 为 x 轴，DE 为 y 轴，DA 为 z 轴，建立空间直角坐标系，因为 AE = 2DE = 8，AB = 3，EF = 9，CD = 12，连接 BC ，BF ，G 为 AD 边上一点，DG = 1 DA ， 3E 0,4,0 ，G 0,0, 4 33，B 3,0,4 3 ，C 12,0,0 ，F 9,4,0 ，BC = 9,0, −4 3 ，BF = 6,4, −4 3 ，EG = 0, −4, 4设平面 BCF 的法向量 n = x , y , z ，3 3 ，则n ⋅ BC = 9x − 4 3z = 0, n ⋅ BF = 6x + 4y − 4 3z = 0.取 z = 3 3，得 n = 4,3,3 3 ，因为 EG ⋅ n = −12 + 12 = 0，EG ⊄ 平面BCF ， 所以 EG ∥平面BCF ．（2） EB = 3, −4,4 3 ，EF = 9,0,0 ，设平面 BEF 的法向量 n = a , b , c ，则m ⋅ EB = 3a − 4b + 4 3c = 0, m ⋅ EF = 9a = 0. 取 c = 1，n = 0, 3, 1 ，平面 BFC 的法向量 n = 4,3,3 3 ，设二面角 E − BF − C 的平面角为 θ，则 cos θ =m ⋅n m ⋅ n=6 3 2 52 = 3 39 26． 所以二面角 E − BF − C 的余弦值为 339 26 ．20. （1） 依题意原点 O 到切线 l : y = − 1x + m 的距离为半径 1， 2所以m1+14= 1，⇒ m =5 ， 2切线 l : y = − 1 x +2所以 a = 5，b = 5 ，⇒ A 0, 5，B 5, 0 ，2 2 5，22 5 4（2） 设 A x 1, y 1 ，B x 2, y 2 ， y = kx + m ,+ y 2 = 1,a 2b 2得 b 2 + a 2k 2 x 2 + 2a 2kmx + a 2m 2 − a 2b 2 = 0．Δ = 2a 2km 2 − 4 b 2 + a 2k 2 a 2m 2 − a 2b 2 ．x 1 + x 2 = −2a 2kmb 2+a 2k 22 2 2 2 b 2+a 2k 2因为以 AB 为直径的圆经过坐标原点 O ， 所以 OA ⋅ OB = x 1x 2 + y 1y 2 = 0；⇒ k 2 + 1 x 1x 2 + km x 1 + x 2 + m 2 = 0， 所以 m 2 a 2 + b 2 = k 2 + 1 a 2b 2, ⋯ ⋯ ①由y=x+在x∈2,+∞上递增，检验，a>时，f x在x∈2,+∞上存在极值点，m+n=a,mn=1.n−n +n ln n+n−n，所以1+n≤e+，n>1，x −x，x∈1,e，x+x ln x+2x2ln x，x∈1,e，又因为圆O的一条切线l:y=kx+m，所以原点O到切线l:y=kx+m的距离为半径r⇒m2=1+k2r2, ⋯⋯②由①②得r2a2+b2=a2b2．所以以AB为直径的圆经过坐标原点O，则a，b，r之间的等量关系为：r2a2+b2=a2b2．21.（1）fʹx=a−1−x 1x2=−x2−ax+1，x∈0,+∞，x2由题意得，x2−ax+1=0在x∈2,+∞上有根（不为重根），即a=x+1在x∈2,+∞上有解，x1x得x+1∈x 5,+∞2，52所以a∈5,+∞2．（2）若0<a≤2，因为fʹx=−x2−ax+1x2在0,+∞上满足fʹx≤0，所以f x在0,+∞上递减，所以f x2−f x1<0，所以f x2−f x1不存在最大值，则a>2；所以方程x2−ax+1=0有2个不相等的正实数根，令其为m，n，且不妨设0<m<1<n，则，f x在0,m递减，在m,n递增，在n,+∞递减，对任意x1∈0,1,有f x1≥f m，对任意x2∈1,+∞,有f x2≤f n，max=f n−f m，所以f x2−f x1所以M a=f n−f m=a ln n+m−n+m 11m，将a=m+n=1+n，m=1代入上式，消去a，m得：n nM a=211因为2<a≤e+1，e1n e由y=x+1在x∈1,+∞递增，得n∈1,e，x设 x=211ʹx=21−1第7页（共8页）e所以M a存在最大值为．（t为参数），普通方程为x+3y−43=0，3p ++13p+2q+r≥1+1+12=9，1++1=4，所以x max=e=4，4ex=2cosα,22.（1）曲线C的参数方程为y=2+2sinα（α为参数），普通方程为x2+y−2方程为ρ=4sinθ，2=4，极坐标因为点A的极坐标为23,θ，θ∈所以θ=2π．3π,π2，（2）直线l的参数方程为x=3−3t,2 y=3+1t2点A的直角坐标为−3,3，射线OA的方程为y=−3x，代入x+3y−43=0，可得B−23,6，所以AB=3+9=23．23.（1）f x+3≥0，即x+3+x−3≤4，222x≤−3，不等式可化为−x−3−x+3≤4，222所以x≥−2，所以−2≤x≤−3；2−3<x<3，不等式可化为x+3−x+3≤4恒成立；2222x≥3，不等式可化为x+3+x−3≤4，222所以x≤2，所以3≤x≤2，2综上所述，不等式的解集为−2,2；（2）因为1112q r3p2q r 所以3p+2q+r≥9，4所以3p+2q+r的最小值为9．4。