第三章气体分子热运动的统计规律PPT课件
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第三章气体分子热运动速率PPT课件
dv
Ndv
2、速率分布函数的物理意义
dP dN f (v ) dv Ndv
在速率v附近，单位速率 区间内的分子数占系统总 分子数N的比率。
对任意一个分子而言，它的 速率刚好处于v值附近单位 速率区间内的概率。
f(v)也称为分子速率分布的概率密度
3、速率分布函数的应用
v～v+dv区间的分子数：
(8)
0
vf (v)dv
(9)
0
v 2 f (v)dv
答：
(1) f (v)dv dN N
dN f (v ) Ndv
—— 分布在速率 v 附近 v ~ v + dv 速率区间内的分子数占 总分子数的比率。
(2) Nf (v)dv dN
—— 分布在速率 v 附近 v ~ v + dv 速率区间内的分子数。
2 2 a
b
四、方差（涨落）
—— 表示随机变量x的取值在其统计平均值附近分散的程度。 （或描述x的取值在其统计平均值上下涨落的平均幅度。）
x 0
定义相对均方根偏差：
(x) 0
2
(x) rms
(x)
2
1/ 2
x
相对均方根偏差表示了随机变量在平均值附近分 散开分布的程度，也称为涨落、散度或散差。
NL PL lim ( ) N N
2、概率的基本性质
(1) 0 Pi 1 ，即事件i的概率只可能在0和1之间。 (2) 各种可能发生的事件的概率总和等于1.
P 1
i 1 i
归一化条件
3、等概率性
在掷骰子时，一般认为出现每一面向上的概率是相等的。 由此可总结出一条基本原理： 等概率性——在没有理由说明哪一事件出现概率更大些（或更 小些）情况下，每一事件出现的概率都应相等。
热学-统计物理3 第3章 气体分子热运动速率和能量的统计分布律
f v
v v pv v 2
讨论
麦克斯韦速率分布中最概然速率 vp 的概念
下面哪种表述正确？
（A） vp 是气体分子中大部分分子所具有的速率. （B） vp 是速率最大的速度值. （C） vp 是麦克斯韦速率分布函数的最大值.
（D） 速率大小与最概然速率相近的气体分子的比 率最大.
例1 计算在 27 C 时，氢气和氧气分子的方均
M
3.方均根速率 v2
v2
N
0
v2dN N
0
v2Nf N
(v)dv
o
v
v2 v2 f (v)dv 4 ( m )3 2 e mv2 2kT v4dv
0
2 kT
0
v4ev2 dv 3
0
8 5
v2 3kT m
v2 3kT 3RT
2kT
v
麦克斯韦速率分布函数的物理意义： f (v) dNv
Nd v
既反映理想气体在热动平衡条件下，分布在速率 v 附近单
位速率区间内的分子数占总分子数的百分比，又表示任意
一分子的速率出现在 v附近单位速率区间内的概率。
如果以速率为横坐标轴，速率分布函数为纵坐标轴，画 出的一条表示f(v) —v之间关系的曲线，称为气体分子的麦 克斯韦速率分布曲线。 ，它形象地描绘出气体分子按速率 分布的情况。
大量分子的速率的算术平均值叫做分子的平均速率.
v
vNf (v)dv
0
vf (v)dv
v 4 (
m
)3 e2 mv2 2kT v2dv
N
0
0
v v pv v 2
讨论
麦克斯韦速率分布中最概然速率 vp 的概念
下面哪种表述正确？
（A） vp 是气体分子中大部分分子所具有的速率. （B） vp 是速率最大的速度值. （C） vp 是麦克斯韦速率分布函数的最大值.
（D） 速率大小与最概然速率相近的气体分子的比 率最大.
例1 计算在 27 C 时，氢气和氧气分子的方均
M
3.方均根速率 v2
v2
N
0
v2dN N
0
v2Nf N
(v)dv
o
v
v2 v2 f (v)dv 4 ( m )3 2 e mv2 2kT v4dv
0
2 kT
0
v4ev2 dv 3
0
8 5
v2 3kT m
v2 3kT 3RT
2kT
v
麦克斯韦速率分布函数的物理意义： f (v) dNv
Nd v
既反映理想气体在热动平衡条件下，分布在速率 v 附近单
位速率区间内的分子数占总分子数的百分比，又表示任意
一分子的速率出现在 v附近单位速率区间内的概率。
如果以速率为横坐标轴，速率分布函数为纵坐标轴，画 出的一条表示f(v) —v之间关系的曲线，称为气体分子的麦 克斯韦速率分布曲线。 ，它形象地描绘出气体分子按速率 分布的情况。
大量分子的速率的算术平均值叫做分子的平均速率.
v
vNf (v)dv
0
vf (v)dv
v 4 (
m
)3 e2 mv2 2kT v2dv
N
0
0
分子热运动的速度和速率统计分布规律
f (v )
C
o
vo
v
解：
0
f (v)dv Cdv Cvo 1
0
vo
1 C vo
v vf (v)dv
0
vo
0
vo 1 v vo 2 2
2 o
2 vo Cvdv C 2
v v f (v)dv
2 2 0
voΒιβλιοθήκη 01 2 Cv dv vo 3
S1
Ag
例：利用麦克斯韦速率分布求：V
m 3 2 ) e 解： f (V ) 4π( 2πkT m 2 V 2 kT
p
V2 V
V2
kT 1.41 m
1.60 kT m
df (V ) 0 dV
2kT 2 RT Vp m M
8kT 8RT V πm πM
V V 2 f (V )dV
5
P 1.013 10 25 -3 N n 2.7 10 m -23 kT 1.38 10 273.15
M 28 10 kg mol
-3
-3
-1
M 28 10 -26 m 4.65 10 kg 23 N A 6.022 10
2 m N N e 2πkT
2 y
) g (v
2 z
)
2
+ v
2 y
g (v ) e
2 -av x
F (V ,V ,V ) Ae -aV
x y z
2
常数的确定：
---
F(v ,v ,v )dvdv dv 1
x y z x y z
气体分子运动的统计规律.ppt
15
答案 统计规律只适用于大量统计的规律，对于少量统计不适用，反映的 是物体整体所呈现的一种可能情况． 方法总结 (1)统计规律必须是大量的随机事件的规律． (2)是有规律的是对可能性的定量描述．对于个别或少数事件是无规律的、 偶然的．
16
【变式1】 在一场乒乓球比赛前，要决定由谁先发球，可用下面的方法： 裁判员拿出一个抽签器，它是一个像大硬币似的均匀塑料圆板，一面 是红圈，一面是绿圈，然后随意指定一名运动员，要他猜上抛的抽签 器落到球台上时，是红圈那面朝上还是绿圈那面朝上，如果他猜对了， 就由他先发球，否则，由另一方先发球，试做出解释．
9
(2)统计规律只能在有大量事件的情况下才显示出来．它的可靠性跟统计事 件的数量有关，事件的数量越多，统计规律就显示得越明显． (3)实测的概率与用统计理论得出的值总会有一定的偏差，叫做“涨落”， 这是统计规律所特有的，一般来说，被统计的事件数量越多，涨落的现象 越不显著．
10
二、气体分子运动的特点 (1)气体分子为球体．
21
【变式2】 关于温度较高的密闭的气体，下列说法正确的是 ( )．
(2)气体分子间距离较大，除相互作用和与器壁碰撞外，不受其他力作用， 在空间自由运动．
11
气体分子运动的特点 (1)气体分子之间有很大空隙． (2)气体分子之间的相互作用力十分微弱，气体分子可以自由地运动，可 以充满它所能达到的空间． (3)气体分子运动时频繁地发生碰撞，气体分子向各个方向运动的机会相 等． (4)速率分布表现为“中间多、两头少”．
7
降水概率 “降水概率”是气象的专业用语，它是指下雨可能性的大小．如果在气 象台以往的气象记录中，有100天的天气变化情况跟今天的相似，而且通 过计算机运算，又发现这100天中有70天会下雨，于是气象台预报说： “明天的降水概率是70%.”这意味着明天有七成可能会下雨．
答案 统计规律只适用于大量统计的规律，对于少量统计不适用，反映的 是物体整体所呈现的一种可能情况． 方法总结 (1)统计规律必须是大量的随机事件的规律． (2)是有规律的是对可能性的定量描述．对于个别或少数事件是无规律的、 偶然的．
16
【变式1】 在一场乒乓球比赛前，要决定由谁先发球，可用下面的方法： 裁判员拿出一个抽签器，它是一个像大硬币似的均匀塑料圆板，一面 是红圈，一面是绿圈，然后随意指定一名运动员，要他猜上抛的抽签 器落到球台上时，是红圈那面朝上还是绿圈那面朝上，如果他猜对了， 就由他先发球，否则，由另一方先发球，试做出解释．
9
(2)统计规律只能在有大量事件的情况下才显示出来．它的可靠性跟统计事 件的数量有关，事件的数量越多，统计规律就显示得越明显． (3)实测的概率与用统计理论得出的值总会有一定的偏差，叫做“涨落”， 这是统计规律所特有的，一般来说，被统计的事件数量越多，涨落的现象 越不显著．
10
二、气体分子运动的特点 (1)气体分子为球体．
21
【变式2】 关于温度较高的密闭的气体，下列说法正确的是 ( )．
(2)气体分子间距离较大，除相互作用和与器壁碰撞外，不受其他力作用， 在空间自由运动．
11
气体分子运动的特点 (1)气体分子之间有很大空隙． (2)气体分子之间的相互作用力十分微弱，气体分子可以自由地运动，可 以充满它所能达到的空间． (3)气体分子运动时频繁地发生碰撞，气体分子向各个方向运动的机会相 等． (4)速率分布表现为“中间多、两头少”．
7
降水概率 “降水概率”是气象的专业用语，它是指下雨可能性的大小．如果在气 象台以往的气象记录中，有100天的天气变化情况跟今天的相似，而且通 过计算机运算，又发现这100天中有70天会下雨，于是气象台预报说： “明天的降水概率是70%.”这意味着明天有七成可能会下雨．
第3章 气体分子热运动速率和能量的统计分布
每个分子的速度可用一个以坐标原点为起点的矢量表示
v vxi vy j vzk
速度空间体积元
速率分布是速度矢量大小被限制在一定区间
满足此条件的速度矢量其端点位于半径为 v，厚度为dv的球壳内
球壳体积为
17
用球壳体积
代替
并注意 v2 vx2 v2y vz2 得麦克斯韦速率分布
dN 4π(
n n 1 n
•分子数∆n 越大，涨落的百分数就越小，涨落现象越不显著。
• 麦克斯韦速率分布律只对大量分子组成的体系才成立。 9
三、用麦克斯韦速率分布函数求平均值
平均速率（算术平均值）
离散型
v v1N1 v2N2 viNi vnNn i viNi
N
N
连续型
N
v 0 vdN 0 vNf (v)dv
•当R 以一定的角速度转动，铋分子由S3到达G需用一段时间。 • 这段时间内R己转过一角度，铋分子不再沉积在板上P处。 • 不同速率的分子将沉积在不同的地方．速率大的分子由S3到G所需
的时间短，沉积在距P较近的地方，速率小的分子沉积在距P较远 的地方。
34
•设速率为 v的分子沉积在P’处以s 表示弧PP’的长度。 表示R的
N1, N2,…, Ni, …
小球在槽内的分配情况，称为一种分布。
总数足够大，槽内的小球的数目与小球总数之比
..........
.. . .
.......
. . .
. . .
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v vxi vy j vzk
速度空间体积元
速率分布是速度矢量大小被限制在一定区间
满足此条件的速度矢量其端点位于半径为 v，厚度为dv的球壳内
球壳体积为
17
用球壳体积
代替
并注意 v2 vx2 v2y vz2 得麦克斯韦速率分布
dN 4π(
n n 1 n
•分子数∆n 越大，涨落的百分数就越小，涨落现象越不显著。
• 麦克斯韦速率分布律只对大量分子组成的体系才成立。 9
三、用麦克斯韦速率分布函数求平均值
平均速率（算术平均值）
离散型
v v1N1 v2N2 viNi vnNn i viNi
N
N
连续型
N
v 0 vdN 0 vNf (v)dv
•当R 以一定的角速度转动，铋分子由S3到达G需用一段时间。 • 这段时间内R己转过一角度，铋分子不再沉积在板上P处。 • 不同速率的分子将沉积在不同的地方．速率大的分子由S3到G所需
的时间短，沉积在距P较近的地方，速率小的分子沉积在距P较远 的地方。
34
•设速率为 v的分子沉积在P’处以s 表示弧PP’的长度。 表示R的
N1, N2,…, Ni, …
小球在槽内的分配情况，称为一种分布。
总数足够大，槽内的小球的数目与小球总数之比
..........
.. . .
.......
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气体分子热运动的统计规律共57页
谢谢！
36、自己的鞋子，自己知道紧在哪里xiexie! 38、我这个人走得很慢，但是我从不后退。——亚伯拉罕·林肯
39、勿问成功的秘诀为何，且尽全力做你应该做的事吧。——美华纳
40、学而不思则罔，思而不学则殆。——孔子
气体分子热运动的统计规律
51、没有哪个社会可以制订一部永远 适用的 宪法， 甚至一 条永远 适用的 法律。 ——杰 斐逊 52、法律源于人的自卫本能。——英 格索尔
53、人们通常会发现，法律就是这样 一种的 网，触 犯法律 的人， 小的可 以穿网 而过， 大的可 以破网 而出， 只有中 等的才 会坠入 网中。 ——申 斯通 54、法律就是法律它是一座雄伟的大 夏，庇 护着我 们大家 ；它的 每一块 砖石都 垒在另 一块砖 石上。 ——高 尔斯华 绥 55、今天的法律未必明天仍是法律。 ——罗·伯顿
第三章气体分子速率及能量分布ppt课件
麦克斯韦主要从事电磁理论、分子物理学、统计物理学、光学、力学、 弹性理论方面的研究。尤其是他建立的电磁场理论，将电学、磁学、光学统 一起来，是19世纪物理学发展的最光辉的成果，是科学史上最伟大的综合 之一。
麦克斯韦大约于1855年开始研究电磁学，在潜心研究了法拉第关于电 磁学方面的新理论和思想之后，坚信法拉第的新理论包含着真理。于是他抱 着给法拉第的理论“提供数学方法基础”的愿望，决心把法拉第的天才思想 以清晰准确的数学形式表示出来。他在前人成就的基础上，对整个电磁现象 作了系统、全面的研究，凭借他高深的数学造诣和丰富的想象力接连发表了 电磁场理论的三篇论文：《论法拉第的力线》（1855年12 月至1856年2 月）；《论物理的力线》（1861至1862年）；《电磁场的动力学理论》 （1864年12月8日）。对前人和他自己的工作进行了综合概括，将电磁场 理论用简洁、对称、完美数学形式表示出来，经后人整理和改写，成为经典 电动力学主要基础的麦克斯韦方程组。据此，1865年他预言了电磁波的存 在，电磁波只可能是横波，并计算了电磁波的传播速度等于光速，同时得出 结论：光是电磁波的一种形式，揭示了光现象和电磁现象之间的联系。 1888年德国物理学家赫兹用实验验证了电磁波的存在。。
(
m
2 kT
)3/
2
em
(
v
2 x
v 2y
vz2
)
/
2kT
dvx dv y dvz
引用速度空间的概念，可以对这个定律得到更直 观的理解。
速度空间：以vx， vy， vz为轴的直角坐标系（或 以v、θ、φ为坐标的球坐标系）所确定的空间。
速率分布公式：
dN 4 ( m )3/ 2 emv2 / 2kTv2dv
第三章 气体分子热运动速率和能量的统计分布规律
m
v2
v2dNv
4
1
v4ev2 / 2 dv 3 2
N
0
3 3
2
所以： a2 2kT m
所以：速度分布率： F(v)
dNv
( m ) e 3/ 2 mv2 / 2kT
Ndvxdvydvz 2kT
速率分布律：
f (v) dNv 4 ( m ) v e 3/ 2 2 mv2 / 2kT
2.统计规律的数学描述
(1).概率：大量偶然事件中，出现某一结果的可能性
PA
lim
N
NA N
所有结果的概率和等于1，即称概率满足归一化条件。
Pi 1 i
0 Pi 1
(2).物理量的统计平均值
W
lim W1N1 W2 N2 Wn Nn
N
N
W1P1 W2 P2 Wn Pn
一般说来，某次测量值与统计平均值之间存在的偏离， 这种偏离就是涨落。
n
•
F (vx2
v
2 y
vz2 )dxdydz
• vzdAdt
n为分子数密度，F为麦克斯韦速度分布 除以dtdA，积分可得单位时间内碰撞到单位器壁面积上的分子数为：
n • (
m
3
)2
Байду номын сангаас
2kT
0 dvz
dv dv • v e x y
m
(
vx2
v
2 y
vz2
)
/
2
kT
z
n( m )1/2 kT 1 n 8kT 1 nv
N
C3
e dv vx2 / 2 x
e dv vy2 / 2 y
高中物理新选修课件气体分子运动的统计规律
• 非平衡态热力学的研究内容：非平衡态热力学主要研究非平衡态系统的基本性 质、演化规律以及与外界环境之间的相互作用等问题。例如，研究非平衡态系 统的熵增加原理、输运过程、涨落现象以及非平衡相变等。
• 非平衡态热力学在物理学中的应用：非平衡态热力学在物理学中有着广泛的应 用，如研究气体的扩散、热传导、黏滞流动等现象，以及解释天体物理、等离 子体物理等领域中的一些现象。
碰撞类型及特点
弹性碰撞
气体分子间发生的碰撞，遵守动量守 恒和能量守恒定律，无动能损失。
完全非弹性碰撞
气体分子间发生的碰撞后粘在一起， 具有共同的末速度，动能损失最大。
非弹性碰撞
气体分子与器壁或其他分子发生的碰 撞，有动能损失，通常伴有能量转换 。
能量交换机制探讨
气体分子间通过碰撞实现能量交换， 包括动能、势能等形式的能量转换。
热传导现象和机理分析
热传导现象
热传导是指热量在气体中由高温区域向低温 区域传递的过程。热传导现象表现为热量在 气体中的扩散和传递，使得气体的温度逐渐 趋于均匀。
热传导机理分析
气体热传导的产生是由于气体分子间的相互 碰撞和能量交换。在高温区域，气体分子的 平均动能较大，而在低温区域，气体分子的 平均动能较小。当高温区域的气体分子与低 温区域的气体分子发生碰撞时，能量会从高 温分子传递到低温分子，从而实现热量的传 递。
01
统计规律揭示了气体压强的本质
气体压强是大量气体分子不断碰撞容器壁所产生的平均持续压力，是大
量分子热运动的统计表现。
02
统计规律解释了热传导现象
热传导是热量从高温区域向低温区域传递的过程，其实质是大量气体分
子通过相互碰撞传递动能的过程，统计规律揭示了这一过程的本质。
• 非平衡态热力学在物理学中的应用：非平衡态热力学在物理学中有着广泛的应 用，如研究气体的扩散、热传导、黏滞流动等现象，以及解释天体物理、等离 子体物理等领域中的一些现象。
碰撞类型及特点
弹性碰撞
气体分子间发生的碰撞，遵守动量守 恒和能量守恒定律，无动能损失。
完全非弹性碰撞
气体分子间发生的碰撞后粘在一起， 具有共同的末速度，动能损失最大。
非弹性碰撞
气体分子与器壁或其他分子发生的碰 撞，有动能损失，通常伴有能量转换 。
能量交换机制探讨
气体分子间通过碰撞实现能量交换， 包括动能、势能等形式的能量转换。
热传导现象和机理分析
热传导现象
热传导是指热量在气体中由高温区域向低温 区域传递的过程。热传导现象表现为热量在 气体中的扩散和传递，使得气体的温度逐渐 趋于均匀。
热传导机理分析
气体热传导的产生是由于气体分子间的相互 碰撞和能量交换。在高温区域，气体分子的 平均动能较大，而在低温区域，气体分子的 平均动能较小。当高温区域的气体分子与低 温区域的气体分子发生碰撞时，能量会从高 温分子传递到低温分子，从而实现热量的传 递。
01
统计规律揭示了气体压强的本质
气体压强是大量气体分子不断碰撞容器壁所产生的平均持续压力，是大
量分子热运动的统计表现。
02
统计规律解释了热传导现象
热传导是热量从高温区域向低温区域传递的过程，其实质是大量气体分
子通过相互碰撞传递动能的过程，统计规律揭示了这一过程的本质。
热学 (3 第三章 气体分子热运动速率和能量的统计分布率)
或概率密度。
f ()d dN
N
dN
2
＝
f
( )d
N 1
表示速率分布在→+d内的
分子数占总分子数的概率
表示速率分布在1→2内的分
子数占总分子数的概率
N
0
dN N
0
f
d
1
归一化条件
应注意的问题:
分布函数是一个统计结果，以上各种讨论都是建立在众多分子微 观运动基础上的，分子的数目越大，结论越正确。所以：
1、作速率分布曲线。 2、由N和vo求常数C。 3、求粒子的平均速率。 4、求粒子的方均根速率。
f (v)
C ( vo> v > 0) 0 ( v > vo )
f (v)
解：
f (v)dv
0
vo 0
Cdv
Cvo
1
C
C 1 vo
o
vo v
o f ()d o Cd C o2
3. 方均根速率
2
2
f
d
0
3
2
4
m
2 kT
2
e
m 2 2kT
4
d
3kT
3RT
0
mM
2 3kT 3RT
m
M
4. 三种速率的比较
最概然速率
p
2kT m
2RT M
平均速率
8kT 8RT m M
方均根速率
一、速率分布函数
气体分子处于无规则的热运动之中，由于碰撞，每个分子的速度都
f ()d dN
N
dN
2
＝
f
( )d
N 1
表示速率分布在→+d内的
分子数占总分子数的概率
表示速率分布在1→2内的分
子数占总分子数的概率
N
0
dN N
0
f
d
1
归一化条件
应注意的问题:
分布函数是一个统计结果，以上各种讨论都是建立在众多分子微 观运动基础上的，分子的数目越大，结论越正确。所以：
1、作速率分布曲线。 2、由N和vo求常数C。 3、求粒子的平均速率。 4、求粒子的方均根速率。
f (v)
C ( vo> v > 0) 0 ( v > vo )
f (v)
解：
f (v)dv
0
vo 0
Cdv
Cvo
1
C
C 1 vo
o
vo v
o f ()d o Cd C o2
3. 方均根速率
2
2
f
d
0
3
2
4
m
2 kT
2
e
m 2 2kT
4
d
3kT
3RT
0
mM
2 3kT 3RT
m
M
4. 三种速率的比较
最概然速率
p
2kT m
2RT M
平均速率
8kT 8RT m M
方均根速率
一、速率分布函数
气体分子处于无规则的热运动之中，由于碰撞，每个分子的速度都
第三章 气体分子热运动速率和能量的统计分布
第三章
气体分子热运动速率 和能量的统计分布
1
第三章 气体分子热运动速率和能量的 统计分布
§1 气体分子的速率分布律 §2 用分子射线实验验证麦克斯韦速度分布律 §3 玻尔兹曼分布律 重力场中微粒按高度的分布 §4 能量按自由度均分定理
2
§1 气体分子的速率分布律
一、速率分布函数
设总分子数N，速率区间v ~ v+dv内分子数 dN占总 分子数的比率为： dN f (v)dv ，其中：
1mol理想气体内能为：
Um
1 2
(r
t
2s)RT
，因此：
CV ,m
1 2
(r
t
2s)R
只与自由度有关
单原子分子气体：
CV ,m
3 2
R
双原子分子气体：
7 CV ,m 2 R
35
五、经典理论的缺陷
CV ,m
根据经典理论：
7R 2
一切双原子分子CV,m相同
5R 2
CV,m与温度无关
3R 2
T/K
理论与实验的不符，根本在于它是建立在经典概念，即能量 连续分布的基础上的。只有用量子理论才能进行较完满的解释。
单位时间内碰到单位面积器壁上速度在vx~vx+dv之间的分子数为：
nvx
f
(vx )dvx
nvx
m
2kT
1/ 2
e dv mvx2 / 2kT x
单位时间内碰到单位面积器壁的总分子数为：
0 nvx f (vx )dvx
n
m
1/ 2
2kT
e v dv mvx2 / 2kT
0
xx
n
kT
气体分子在空间位 置不再呈均匀分布
气体分子热运动速率 和能量的统计分布
1
第三章 气体分子热运动速率和能量的 统计分布
§1 气体分子的速率分布律 §2 用分子射线实验验证麦克斯韦速度分布律 §3 玻尔兹曼分布律 重力场中微粒按高度的分布 §4 能量按自由度均分定理
2
§1 气体分子的速率分布律
一、速率分布函数
设总分子数N，速率区间v ~ v+dv内分子数 dN占总 分子数的比率为： dN f (v)dv ，其中：
1mol理想气体内能为：
Um
1 2
(r
t
2s)RT
，因此：
CV ,m
1 2
(r
t
2s)R
只与自由度有关
单原子分子气体：
CV ,m
3 2
R
双原子分子气体：
7 CV ,m 2 R
35
五、经典理论的缺陷
CV ,m
根据经典理论：
7R 2
一切双原子分子CV,m相同
5R 2
CV,m与温度无关
3R 2
T/K
理论与实验的不符，根本在于它是建立在经典概念，即能量 连续分布的基础上的。只有用量子理论才能进行较完满的解释。
单位时间内碰到单位面积器壁上速度在vx~vx+dv之间的分子数为：
nvx
f
(vx )dvx
nvx
m
2kT
1/ 2
e dv mvx2 / 2kT x
单位时间内碰到单位面积器壁的总分子数为：
0 nvx f (vx )dvx
n
m
1/ 2
2kT
e v dv mvx2 / 2kT
0
xx
n
kT
气体分子在空间位 置不再呈均匀分布
第三章气体分子热运动速率
第三章 气体分子热运动速率 和能量的统计分布
3.1 气体分子的速率分布律 3.2 用分子射线实验验证麦克斯韦速度分布律 3.3 玻尔兹曼分布律 重力场中微粒按高度的分布 3.4 能量按自由度均分定理
1
3.1 气体分子的速率分布律
统计规律性： 统计规律性： 分子运动论从物质微观结构出发， 分子运动论从物质微观结构出发，研究大量分子组成的 系统的热性质。其中个别分子的运动（在动力学支配下） 系统的热性质。其中个别分子的运动（在动力学支配下）是 无规则的 存在着极大的偶然性。但是， 无规则的，存在着极大的偶然性。但是，总体上却存在着确 定的规律性。（例 理想气体压强） 规律性。（ 定的规律性。（例：理想气体压强） 人们把这种支配大量粒子综合性质和集体行为的规律性 称为统计规律性 统计规律性。 称为统计规律性。 气体中个别分子的速度具有怎样的数值和方向完全是偶 然的，但就大量分子的整体来看，在一定的条件下，气体分 然的，但就大量分子的整体来看，在一定的条件下， 子的速度分布也遵从一定的统计规律。 子的速度分布也遵从一定的统计规律。为研究气体分子速度 分布的定量规律，有必要介绍分布函数的概念。 分布函数的概念 分布的定量规律，有必要介绍分布函数的概念。
dNv m mv 2 2kT 2 v dv = 4π e N 2πkT
dNv = f (v)dv N
3 2
麦克斯韦速率分布函数
3 2
m mv 2 2kT 2 f (v) = 4π v e 2πkT
9
麦克斯韦速率分布曲线
f (v)
f (v)
O
v vp
v
10
麦克斯韦速率分布曲线
f (v)
N N N = ∴n f (v)dv= v1 V N V 表示分布在单位体积内， 表示分布在单位体积内，速率区间 v1 →v2
3.1 气体分子的速率分布律 3.2 用分子射线实验验证麦克斯韦速度分布律 3.3 玻尔兹曼分布律 重力场中微粒按高度的分布 3.4 能量按自由度均分定理
1
3.1 气体分子的速率分布律
统计规律性： 统计规律性： 分子运动论从物质微观结构出发， 分子运动论从物质微观结构出发，研究大量分子组成的 系统的热性质。其中个别分子的运动（在动力学支配下） 系统的热性质。其中个别分子的运动（在动力学支配下）是 无规则的 存在着极大的偶然性。但是， 无规则的，存在着极大的偶然性。但是，总体上却存在着确 定的规律性。（例 理想气体压强） 规律性。（ 定的规律性。（例：理想气体压强） 人们把这种支配大量粒子综合性质和集体行为的规律性 称为统计规律性 统计规律性。 称为统计规律性。 气体中个别分子的速度具有怎样的数值和方向完全是偶 然的，但就大量分子的整体来看，在一定的条件下，气体分 然的，但就大量分子的整体来看，在一定的条件下， 子的速度分布也遵从一定的统计规律。 子的速度分布也遵从一定的统计规律。为研究气体分子速度 分布的定量规律，有必要介绍分布函数的概念。 分布函数的概念 分布的定量规律，有必要介绍分布函数的概念。
dNv m mv 2 2kT 2 v dv = 4π e N 2πkT
dNv = f (v)dv N
3 2
麦克斯韦速率分布函数
3 2
m mv 2 2kT 2 f (v) = 4π v e 2πkT
9
麦克斯韦速率分布曲线
f (v)
f (v)
O
v vp
v
10
麦克斯韦速率分布曲线
f (v)
N N N = ∴n f (v)dv= v1 V N V 表示分布在单位体积内， 表示分布在单位体积内，速率区间 v1 →v2
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规律表现出涨落；3）“具有某一速率的分子有多少”是不恰当的说
法 ；4）气体由非平衡到平衡的过程是通过分子间的碰撞来实现的 。
3
4．分布函数的作用
二，麦克斯维速率分布律
麦克斯韦（James Clerk Maxwell 1831--1879)是19世纪伟大的 英国物理学家、数学家。 10岁时进入爱丁堡中学学习14岁就在爱丁 堡皇家学会会刊上发表了一篇关于二次曲线作图问题的论文，已显 露出出众的才华。1847年进入爱丁堡大学学习数学和物理。1850年 转入剑桥大学三一学院数学系学习，1854年以第二名的成绩获史密 斯奖学金，毕业留校任职两年。1856年在苏格兰阿伯丁的马里沙耳 任自然哲学教授。1860年到伦敦国王学院任自然哲学和天文学教授。 1861年选为伦敦皇家学会会员。1865年春辞去教职回到家乡系统地 总结他的关于电磁学的研究成果，完成了电磁场理论的经典巨著 《论电和磁》，并于1873年出版，1871年受聘为剑桥大学新设立的 卡文迪什试验物理学教授，负责筹建著名的卡文迪什实验室，1874 年建成后担任这个实验室的第一任主任，直到1879年11月5日在剑 桥逝世。
的速率，指数衰减的速数值必然较小。的确，分子具有逃逸地球的动能的机会是很小的。 这种指数衰减式的描述在自然科学中最为常见。
第三部分，
m 2kT
3 / 2
是归一化因子
指数衰减部分没有单位，4v2dv具有速度立方的单位，分布律只是 分子数的比值，也没有单位，所以，归一化因子必须具有速度负立方的
单位。 后面将看到(m/2kT)1/2是最可几速率。 记为
vp
2kT m
7
2．麦克斯韦速率分布律的数学分析
（1）分布函数曲线又称为分布曲线
将函数的问题用图形的方式 来描述最为形象直观。以速 率为变量，作函数曲线 f (v) ~ v，如右图所示：
1）具有统计规律的肤浅
特点——中间大两头小； 2）f (v)的物理意义在图中 f (v) dv = N/dN，
4
麦克斯韦主要从事
电磁理论、分子物理学、统计物理学、光学、力学、弹 性理论方面的研究。尤其是他建立的电磁场理论，将电 学、磁学、光学统一起来，是19世纪物理学发展的最光 辉的成果，是科学史上最伟大的综合之一。他预言了电 磁波的存在，他为物理学树起了一座丰碑。造福于人类 的无线电技术，就是以电磁场理论为基础发展起来的。
2）这个公式充分体现了分子热运动的统计矛盾
第一部分，4v2dv是“球壳”的体积，而“球壳”全方位的 高度对称性正是分子热运动向各个方向几率均等的深动表现；
6
第二部分是指数衰减律
这正是分子热运动速率取值不等几率的表现，指数衰减律的结果没 有单位，mv2/2是分子热运动的动能，kT 是体系能量状态特征量，对于大
引入速率分布函数来描述分子热运动在不同速率间隔取值的概率规律。
1．速率分布函数的定义：处于一定温度下的
气体，分布在速率v 附近的单位速率间隔内的 f (v) dN
分子数占总分子数的百分比只是速率v 的函数，
Ndv
称为速率分布函数。记作
2
2．理解分布函数的几个要点：
（1）条件：一定温度（平衡态）和确定的气体系统，即T和m是一定 的；（2）范围：（速率v附近的）单位速率间隔，所以要除以dv； （3）数学形式：（分子数的）比例，局域分子数与总分子数之比。
第三章，气体分子热运动的统计规律
为什么要学习统计规律：第一章我们引入了平衡态和温度的概念， 但在热力学范围内不能深刻认识温度。第二章以分子运动论为基础， 认识了压强和温度的，对平衡态下分子热运动的规律有了初步认识， 那时我们只有一个基本的统计公理。这个公理只解决了分子热运动 速度方向的几率问题，并没有涉及分子热运动速率大小取值的概率， 无法作进一步的定量分析。分子热运动情况是分子物理的重要研究 对象，我们必须讨论速率大小取值的概率问题。由于分子数目如此 巨大，速率的取值从0到 ∞，这个取值区间非常大，分子在任何一个 微小速率范围内的取值其概率都不会大，但到底有多小却不易判断。 所以，这是一个大数量偶然微观运动的集体效应的问题，即统计的 问题，对应的规律就是一个统计规律。一般地研究这个问题比较复 杂，我们以理想气体为基础来开展讨论。
5
二，麦克斯韦速率分布律
1．麦克斯韦速率分布律的数学形式及其意义
1）普通物理的热学范围内， 不能通过任何途径导出速率分 布函数的具体形式，这里直接 采用麦克斯韦和玻尔兹曼等人 由统计物理导出的结果
dNN 42m kT 3/2v2expm 2k(2T v )dv f(v)42m kT3/2v2expm 2k(2T v)
3．分布函数的物理意义
（1）分布函数f(v)实质上反映了分子运动速率取值的不等概率！
（2）根据分布函数的统计意义，可计算分子数比例或分子数
（3）归一化条件是概率意义的典型表现
N Nf (v)dv 即 f (v)dv 1 这就是归一化条件 ！
0
0
（4）应该注意的几个问题 ：1）少数分子谈不上概率分布 ；2）统计
1
§1. 气体分子的速率分布律
一，速率分布函数
两个基本事实：1。分子的碰撞频繁，每个分子热运动的速率是变 化的，要问某一分子具有多大的运动速率没有意义，所以只能估计 在某个速率间隔内出现的概率；2。哪怕是相同的速率间隔，例如 都是100ms-1，但是不同的速率附近其概率不等，例如，0~100 ms-1 和500~600 ms-1有相同的速率间隔，但第一个间隔总的来说速率较 低，第二个间隔总的来说速率较大，其概率是不等的。为此，我们
1859年他首次用统计规律得出麦克斯韦速度分布律，从而找到了由微 观量求统计平均值的更确切的途径。他引入了驰豫时间的概念，发展了 一般形式的输运理论，并把它应用于扩散、热传导和气体内摩擦过程。
麦克斯韦是运用数学工具分析物理问题和精确地表述科学思想的大 师，他非常重视实验，由他负责建立起来的卡文迪什实验室，发展成为 举世闻名的学术中心之一。他用缜密的分析和推理，大胆地提出有实验 基础的假设，建立新的理论，再使理论及其预言的结论接受实验检验， 逐渐完善，形成系统、完整的理论。