数值分析第四章

T
n
n1
[
1
i0 12
h3
f
(i
)],
i
[ xi
,
xi1],
若f (x)在[a,b]上连续，则
R n h3 f () b a h2 f (), [a,b].
12
12
此时复化梯形公式为O(h2)阶，是收敛的. 其实, f C[a,b]
Tn
1 [b 2
n
a
n1
i0
f
( xi
)
b
n
a
n
i1
ab
f
( x)dx
n1 xi1
i0 xi
f
( x)dx
n1h [
i02
f
(xi )
f
( xi 1 )]
h[ 2
f
(a)
n1
2 f
i1
(xi )
f
(b)].
记为
Tn
n1h [
i02
f
(xi )
f
(xi1)]
h[ 2
f
(a)
n1
2 f
i0
(xi )
f
(b)].
复化梯形公式Tn的余项
R
I
第4章 数值积分和数值微分
一、数值求积的基本思想
问题的提出和解决办法:
I ab f (x)dx. ab f (x)dx F (b) F (a).
ab f (x)dx f ( )(b a).
梯形公式 ab
中矩形公式
f (x)dx
ab f (x)dx
[f
(a) f (a
2
f (b)]b b)(b
三、插值型求积公式
在n 1个互异节点a x0 x1 xn b上已知函数值f0,
f1, , fn，就有拉格朗日插值多项式
得到
n
Ln (x) lk (x) fk
k 0
ab f (x)dx abLn (x)dx
n
ablk (x)dx
fk ,
k 0
即得求积公式
ab f (x)dx
n
wk
考察辛普森公式
S b a[ f (a) 4 f (a b) f (b)].
6
2
三、几种低阶Newton-Cotes求积公式的余项
1. 梯形公式的余项 若f (x)在[a,b]上连续,则梯形公式的余项为
R1[
f
]
I
T
(b a)3 12
f
( ),
[a,b].
(2.5)
2. 辛普森公式的余项
a
2 a).
.
(1.1) (1.2)
一般地, 求积公式
ab
f
( x)dx
n
wk
fk ,
(1.3)
k 0
通常称为机械求积公式.
二、代数精度的概念
定义1 若一个求积公式对于所有次数不超过m的多项式
都准确成立,而对于某一个m 1次的多项式等式不准确成
立, 则称该求积公式具有m次代数精度. 一般方法？ .
… … 0.8414709
T8
1[ 8
f (0) 2
f
(1) 8
f
Fra Baidu bibliotek
(1) 4
f
(3) 8
f
(1) 2
f
(5) 8
f
(3) 4
f
(7) 8
f (1)] 2
0.9456909.
S4
4
1 6
f
(0) 4[
f
(1) 8
f
(3) 8
f
(5) 8
f
(7 )] 8
2[
f
(1) 4
f
(1) 2
将求积区间[a,b]做n等分，步长h b a ,在等距节点
xk
a
kh上的插值型求积公式
ab
f
(
x)dx
(b
a)
n
C(kn)
n
ab
fk ,
n
f (x)dx k fk
wk ablkk(x0)dx(2.1)
k 0
称为Newton- Cotes公式，C(kn)称为Cotes系数.
作变换x a th，则有
余项
R
I
S
n
h 180
h 2
4
n1
i0
f
(4) (i
),
i
(xi ,
xi1),
当f C4[a,b]时,
R
I
S
n
ba 180
h 2
4
f
(4)
(
)
ba 2880
h4
f
(4)
( ),
(a,b).
复合柯特斯求积公式
Cn
h [7 90
f
(a)
n1
32
i0
f
(
xi
1 4
)
n1
12
i0
f
(
xi
1 2
若f (4) (x)在[a,b]上连续, 则辛普森公式的余项为
R2[
f
]
I
S
ab
f
(x)dx b a[ 6
f
(a) 4
f
(a b) 2
f
(b)]
ba 180
b
2
a 4
f
(4) (),
[a,b].
(2.7)
3. 柯特斯公式的余项
若f (6) (x)在[a,b]上连续, 则柯特斯公式的余项为
)
n1
n1
n1
32
i0
f
(
xi
3 4
)
12
i0
f
(
xi
1 2
)
14
i1
f
(
xi
)
7
f
(b)].
余项 .
例1 根据数据表利用复合求 积公式求I 01sinx x dx 的值.
xi
0 1/8
1/4
3/8 1/2
5/8
f (xi) 1 0.9973978 … … … … … … …
3/4 7/8
1
f
( xi
)]
I
,
n
.
二、复化辛普森公式
记[
xi
,
xi
1]的中点为xi
1，在每个小区间上应用辛普森公式,
2
则得复化辛普森公式
I
ab
f
( x)dx
n1h [
i06
f
(xi ) 4
f
(xi12 )
f
( xi 1)],
即
Sn
h[ 6
f
(a)
n1
4 f
i0
(
xi
1 2
)
n1
2 f
i1
(xi )
f
(b)].
R4[
f
]
I
C
2(b a) 945
b
4
a 6
f
(6) (),
[a,b].
(2.8)
问题的提出和解决办法. 一、复化梯形公式
把区间[a,b]n等分为n个小区间[xi , xi1],其中
xi
a ih,
(h
b a,i n
0,1,
,n 1),
并在每个小区间上应用梯形公式, 则得复化梯形公式
I
C(kn)
h b
a
0n
nt
j0k
j dt j
(1)nk nk!(n k
)!0n
n
(t
j0
j)dt.
jk
jk
(2.2)
当n 1时, 得到梯形公式
ab
f
( x)dx
T
b a[ 2
f
(a)
f
(b)],
当n 2时, 得到抛物线公式, 也称为辛普森(Simpson)公式
ab
f
( x)dx
S
b
6
fk ,
其中wk ablk (x)dx.
k 0
称为插值型求积公式.
(1.5)
它的余项为
R[
f
]
ab
f
(x)
Ln
(x)dx
ab
f (n1) ( )
(n 1)!
n
(x
j0
x
j
)dx.
(1.7)
定理1
求积公式
ab
f
( x)dx
n
wk
fk至少具有n次代数精度
k 0
它是插值型求积公式.
一、Newton-Cotes公式的导出
f
(3)] 4
f
(1)
0.9460832
C2
1 2 90
7
f
(0) 32[
f
(1) 8
a[
f
(a)
4
f
(a
2
b)
f
(b)]，
(2.3)
当n 4时,得到柯特斯(cotes)公式
C
b a[7 90
f
( x0
)
32
f
(
x1)
12
f
(
x2 )
32
f
( x3 )
7
f
( x4
)],
其中xk
a kh,h
b a. 4
( 2.4)
二、 Newton-Cotes公式的代数精度
由定理1知,n阶N C公式至少n次代数精度.