初三圆周角和圆心角之间关系讲义和练习

Ⅰ．背景材料分类讨论思想当面临的问题不宜用一种方法处理或同一种形式叙述时，就把问题按照一定的原则或标准分为若干类，然后逐类进行讨论，再把这几类的结论汇总，得到问题的答案，这种解决问题的思想方法就是分类讨论的思想方法．分类讨论的思想方法的实质是把问题“分而治之，各个击破”．其一般规则及步骤是：（1）确定同一分类标准；（2）恰当地对全体对象进行分类，按照标准对分类做到“既不重复又不遗漏”；（3）逐类讨论，按一定的层次讨论，逐级进行；（4）综合概括小结，归纳得出结论．悟与问：圆周角定理是如何进行分类讨论论证的？Ⅱ．课前准备一、课标要求经历探索圆周角和圆心角关系的过程，理解圆周角的概念及其相关性质，体会分类、归纳等数学思想．通过本节学习，应理解圆周角的概念，掌握圆周角定理及其推论，并能熟练地运用它们进行论证和计算．通地圆周角定理的证明，进一步了解分情况证明数学命题的思想和方法．二、预习提示1．关键概念和定理提示关键概念：圆周角．重要定理：圆周角定理及两个推论．2．预习方法提示：本节由射门游戏问题引入圆周角概念，圆周角有两个特征．圆周角与圆心角的关系揭示了分类讨论思想的本质，学习时要注意体会．三、预习效果反馈1．试找出图3-3-1中所有的圆周角．2．如图3-3-2，∠A是⊙O的圆周角，∠A是40°，求∠OBC．3．如图3-3-3，AB是⊙O的直径，∠A=40°，求∠ABC度数．Ⅲ．课堂跟讲一、背记知识随堂笔记（一）必记概念1．圆周角：顶点在，并且的角．2．圆周角的两个特征：（1）；（2）．（二）必记定理1．圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的．2．推论：（1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；（2）直径所对的圆周角是，90°的圆周角所对的弦是．（三）知识结构二、教材中“？”解答1．问题（P 100） 解答：这三个角大小相等．2．议一议（P 101） 解答：∠ABC=21∠AOC ．分三种情况进行证明．小亮考虑的是一种特殊情况，其他两种情况可以转化为第一种情况来解决，转化的条件是添加以角的顶点为端点的直径为辅助线．需要明确：以圆上任意一点为顶点的圆周角，虽然有无数个，但它们与圆心的位置关系归纳起来只有三种情况：（1）圆心在角的一边上；（2）圆心在角的内部；（3）圆心在角的外部．3．问题（P 102） 解答：如果∠ABC 的两边不经过圆心，结果一样．对于图（1）中，圆心O 在∠ABC 的内部，作直径BD ，利用小亮的结果，有⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫∠=∠∠=∠COD CBD AOD ABD 2121⇒∠ABD ＋∠CBD=21∠AOD ＋21∠COD ⇒∠ABC=21∠AOC ． 对于书上图（2）中，圆心O 在∠ABC 的外部，作直径BD ．利用小亮的结果，有⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫∠=∠∠=∠COD CBD AOD ABD 2121⇒∠ABD －∠CBD=21∠AOD －21∠COD ⇒∠ABC=21∠AOC ． 4．问题（P 104） 解答：（1）这一问题实际上是本节一开始提出的问题，解决这一问题的时机已经成熟．∠ABC 、∠ADC 、∠AEC 是同弧（⌒AC ）所对的圆周角，根据圆周角定理，它们都等于圆心角∠AOC 的一半，所以这几个圆周角相等．（2）这是圆周角定理的一种特殊情况，即半圆所对的圆周角是直角，在教科书图3-18中，半圆所对的圆心角是∠BOC=180°，所以∠BAC=90°．（3）这一问题与问题（2）互逆，在教科书图3-19中，连接OB ，OC ．因为圆周角∠BAC=90°，所以圆心角∠BOC=180°，即BOC 是一条线段，也就是说BC 是⊙O 的一条直径．5．议一议（P 105） 解答：在得出本节的结论的过程中，用了度量与证明，分类与转化，以及类比等方法．尤其定理的证明，把圆周角和圆心的位置关系分为三类，又把第2，3类转化为第一类去证明，体现了分类与转化的数学思想．6．做一做（P 106） 解答：（1）船位于暗礁区域内（即⊙O 内）．理由是：假设船在⊙O 上，则有∠α=∠C ，这与∠α＞∠C 矛盾，所以船不可能在⊙O 上；假设船在⊙O 外，则有∠α＜∠AEB ，即∠α＜∠C ，这与∠α＞∠C 矛盾，所以船不可能位于⊙O 外．（2）船位于暗礁区域外（即⊙O 外）说理方法与（1）类似．三、重点难点易错点讲解圆周角的概念、圆周角定理及其推论在推理论证和计算中应用比较广泛，是本章的重点内容之一．认识圆周角定理需分三种情况逐一证明的必要性是本节的难点．圆周角有两个特征：（1）角的顶点在圆上；（2）角的两边都与圆相交，二者缺一不可．这里所说的角的两边都与圆相交可理解为，除角的顶点外，角的各边与圆还另有一个公共点即交点．圆周角定理的证明分三种情况进行讨论，在这三种情况中，第一种情况是特殊情况，是证明的基础，其他两种情况都可以转化为第一种情况来解决，转化的条件是添加以角的顶点为端点的直径为辅助线．这种由特殊到一般的思想方法，应当注意掌握．其证明思路是：（1）将已知图形中各种可能位置进行分类（圆心在圆周角内部，外部，其中一边上）；（2）先证明特殊情况（即圆心在圆周角其中一边上）；（3）利用特殊位置的结论证明其它情况，即将其他情形转化为已证的特殊情形来证；（4）归纳总结出一般性结论．这种方法叫归纳法，可以应用于解题之中．本节常见的错误有：（1）一条弦所对的弧有两条，所对的圆周角有两个，做题时常常忽略一个；（2）对于需要我们自己完成的图形，某些特殊图形往往只画出一种情况，而忽略或根本不考虑其他情况．【例1】 已知⊙O 中的弦AB 长等于半径，求弦AB 所对的圆周角和圆心角的度数． 错解：如图3-3-4，∵AB=OA ，∴△OAB 为等边三角形．∴∠AOB=60°．∴∠C=30°．∴AB 所对的圆心角为60°，圆周角为30°．正确解法：如图3-3-5，∵AB=OA=OB ，∴△AOB 为等边三角形．∴∠AOB=60°．∴∠C=30°．∴∠D=150°．∴弦AB 所对的圆心角为60°，所对的圆周角为30°或150°．错解分析：错解中忽略了弦与弧的差别，同弧所对的圆周角相等，同弦所对的圆周角相等或互补，本题漏掉一个．同学们应加强位置意识的培养，克服思维定势．【例2】 已知AB 为⊙O 的直径，AC 和AD 为弦，AB=2，AC=2，AD=1，求∠CAD 的度数．错解：如图3-3-6，连接BC 、BD ．∵AB 为直径，∴∠C=∠D=90°．在Rt △ABC 中，AB=2，AC=2，∴cos ∠CAB=AB AC =22．∴∠CAB=45°． 在Rt △ADB 中，AD=1，AB=2，∴cos ∠DAB=AB AD =21．∴∠DAB=60°． ∴∠CAD=∠DAB ＋∠CAB=105°．正确解法：如图3-3-6和3-3-7，由题解中得∠DAB=60°，∠CAB=45°，∴图3-3-7中有∠DAC=∠DAB －∠CAB=15°．∴∠DAC 的度数为15°或105°．解错分析：错解中只考虑到弦AC 和AD 在直径AB 同侧的情况，而忽略了AD 和AC 在AB 两侧的情况，因此平时做题一定要细心，思考问题要全面，克服思维的片面性、单一性．四、经典例题精讲（一）教材变型题【例1】 如图3-3-8，已知⊙O 中，AB 为直径，AB=10cm ，弦AC=6cm ，∠ACB 的平分线交⊙O 于D ，求BC 、AD 和BD 的长．思维入门指导：已知条件中若有直径，则利用圆周角定理的推论得到直角三角形，然后利用直角三角形的性质解题．解：∵AB 是直径，∴∠ACB=∠ADB=90°．在Rt △ACB 中，BC=22AC AB -=22610-=8．∵CD 平分∠ACB ，∴⌒AD =⌒BD ．∴AD=BD ．在Rt △ADB 中，AD=BD=22AB=52（cm ）． 点拨：这是利用圆周角定理的推论，同圆中，弧、弦之间的相等关系以及勾股定理解的计算题．（二）中考题【例2】 （2002，眉山，10分）已知等圆⊙O 1和⊙O 2相交于A 、B 两点，⊙O 1经过O 2，点C 是⌒B AO 2上任一点（不与A 、O 2、B 重合），连接BC 并延长交⊙O 2于D ，连接AC 、AD ．求证： ．（1）操作测量：图3-3-9（a ）供操作测量用，测量时可使用刻度尺或圆规将图3-3-9（a ）补充完整，并观察和度量AC 、CD 、AD 三条线段的长短，通过观察或度量说出三条线段之间存在怎样的关系？（2）猜想结论（求证部分），并证明你的猜想；（在补充完整的图3-3-9（a ）中进行证明）（3）如图3-3-9（b ），若C 点是⌒2BO 的中点，AC 与O 1O 2相交于E 点，连接O 1C ，O 2C ．求证：CE 2=O 1O 2·EO 2．思维入门指导：（1）AC=CD=AD ；（2）由△AO 1O 2为等边三角形，求出∠D 和∠ACD 都为60°即可；（3）由△O 1O 2C ∽△CO 2E 可得O 2C 2=O 1O 2·EO 2，再证明O 2C=CE ．解：（1）补充完整图形，三条线段AC 、CD 、AD 相等．（2）结论：△ACD 是等边三角形．证明：连接AO 2、BO 2、AO 1、O 1O 2．∵⊙O 1，⊙O 2是等圆，且⊙O 1经过点O 2，∴AO 2=O 1O 2=AO 1．∴∠AO 2O 1=60°． ∴∠AO 2B=120°．∴∠D=21∠AO 2B=21×120°=60°． ∵∠ACB=∠AO 2B=120°，∴∠ACD=60°．∴△ACD 是等边三角形．（3）∵C 是⌒2BO 的中点，∴∠CO 1O 2=30°．∵∠ACO 2=30°，∴∠CO 1O 2=∠ACO 2．∵∠O 1O 2C=∠CO 2E ，∴△O 1O 2C ∽CO 2E ．∴22221EO CO CO O O ． ∴O 2C 2=O 1O 2·O 2E ．∵O 1O 2=O 1C ，∴∠O 1O 2C=∠O 1CO 2=∠CEO 2．∴CO 2=CE ．∴CE 2=O 1O 2·EO 2．点拨：为了研究两圆相交时图形所蕴含着的规律性关系，以更好地考查动手操作图形的能力，这种以留空回填的命题思路，展示了一道融操作、测量、猜想，证明于一体的探究题．解答时，应按题的要求顺向逐层思考．【例3】 （2003，贵阳，12分）如图3-3-10所示，已知AB 为⊙O 的直径，AC 为弦，OD ∥BC ，交AC 于D ，BC=4cm ．（1）求证：AC ⊥OD ；（2）求OD 的长；（3）若2sinA －1=0，求⊙O 的直径．思维入门指导：根据圆周角定理的推论以及三角形中位线定理计算．解：（1）∵AB 是⊙O 的直径，∴∠C=90°．∵OD ∥BC ，∴∠ADO=∠C=90°．∴AC ⊥OD ．（2）∵OD ∥BC ，又∵O 是AB 的中点，∴OD 是△ABC 的中位线．∴OD=21BC=21×4=2（cm ）． （3）∵2sinA －1=0，∴sinA=21．∴∠A=30°．在Rt △ABC 中，∠A=30°，∴BC=21AB ．∴AB=2BC=8（cm ）．即⊙O 的直径是8cm ． 点拨：关键是利用直径所对的圆周角是直角得到直角三角形，一切就迎刃而解．【例4】 （2003，陕西，3分）如图3-3-11所示，AB 是⊙O 的直径，C 、D 、E 都是⊙O 上的点，则∠1＋∠2= ．思维入门指导：∠1所对的弧是⌒AE ，∠2所对的弧是⌒BE ，而⌒AE ＋⌒BE =⌒AB 是半圆，因此连接AD ，∠ADB 的度数是90°，所以∠ADB=∠1＋∠2．解：∠1＋∠2=90°．点拨：本题可以连接EO ，得到圆心角∠EOA 和∠EOB 而∠EOA ＋∠EOB=180°，所以∠1＋∠2=90°，这是圆周角定理的直接应用．【例5】 （2003，台湾，3分）如图3-3-12所示，AB 为⊙O 的直径，P 、Q 、R 、S 为圆上相异四点，下列斜述何者正确（ ）A ．∠APB 为锐角 B ．∠AQB 为直角C ．∠ARB 为钝角D ．∠ASB ＜∠ARB 思维入门指导：AB 为直径，根据直径所对的圆周角是直角，所以∠APB ，∠AQB ，∠ARB ，∠ASB 都是直角．答案：B 点拨：由于四个角都是直角，所以∠ASB=∠ARB=90°．（三）学科内综合题【例6】 如图3-3-13，已知△ABC 是等边三角形，以BC 为直径的⊙O 交AB 、AC 于D 、E ．（1）求证：△DOE 是等边三角形；（2）如图3-3-14，若∠A=60°，AB ≠AC ，则①中结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由？思维入门指导：△ABC 是等边三角形，所以∠B 、∠C 均为60°，利用60°的圆周角定理，可知△DOB 、△EOC 均为等边三角形．第二种情形类似．解：（1）∵△ABC 为等边三角形，∴∠B=∠C=60°．∵OB=OC=OE=OD ，∴△OBD 和△OEC 都为等边三角形．∴∠BOD=∠EOC=60°．∴∠DOE=60°．∴DOE 为等边三角形．（2）当∠A=60°，AB ≠AC 时，（1）中的结论仍然成立．证明：连接CD ．∵BC 为⊙O 的直径，∴∠BDC=90°．∴∠ADC=90°．∵∠A=60°，∴∠ACD=30°．∴∠DOE=2∠ACD=60°．∵OD=OE ，∴△ODE 为等边三角形．点拨：本题的（2）较难，属于探索题，应掌握好书写格式，本题充分利用了BC 为直径及圆周角定理，将圆心角与圆周角联系起来．（四）创新题【例7】 四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BC=b ，AB=AC=AD=a ，如图3-3-15，求BD 的长．思维入门指导：由AB=AC=AD=a 可以得到点B 、C 、D 在以A 为圆心，以a 为半径的圆上，因而可以作出该圆，利用圆的知识解决该题．本题考查圆的定义和圆周角定理及其推论．解：∵AB=AC=AD=a ，∴点B 、C 、D 到A 点距离相等．故以A 为圆心，以a 为半径作⊙A ，并延长BA 交⊙A 于E ，连接DE ．∵AB ∥CD ，∴⌒BC =⌒DE ．∴BC=DE=b ．∵BE 为⊙A 直径，∴∠EDB=90°．在Rt △EDB 中，BD=22DE BE -=224b a -，∴BD 的长为224b a -． 点拨：本题根据圆的定义作出⊙A 是关键，作出⊙A 才能充分利用已知，否则很难解出BD ．作辅助圆是本题的创新之处，平时解题应注意这种特殊方法．【例8】 如图3-3-16，AB 是半⊙O 的直径，过A 、B 两点作半⊙O 的弦，当两弦交点恰好落在半⊙O 上C 点时，则有AC ·AC ＋BC ·BC=AB 2．（1）如图3-3-17，若两弦交于点P 在半⊙O 内，则AP ·AC ＋BP ·BD=AB 2是否成立？请说明理由．（2）如图3-3-18，若两弦AC 、BD 的延长线交于P 点，则AB 2= ．参照（1）填写相应结论，并证明你填写结论的正确性．思维入门指导：由特征结论为等积式和的形式，不属于常规结论，但又没法化简该结论，显然需要用等积式相加得到．本题考查相似三角形和圆周角定理的推论等．解：∵AB 是半⊙O 直径，∴∠C=90°．∴AC 2＋BC 2=AB 2．（1）当两弦的交点P 在半圆内时，AP ·AC ＋BP ·BD=AB 2成立．连接AD 、BC ，过P 点作PE ⊥AB 于E ，则∠PEA=90°．∵∠PEA=∠C ，∠EAP=∠CAB ，∴△APE ∽△ABC ．∴ACAE AB AP =． ∴AP ·AC=AB ·AE ．①同理可证BP ·BD=BE ·AB ．②由①＋②，得AP ·AC ＋BP ·BD=AB （AE ＋BE ）=AB 2．（2）AB 2=AC ·AP ＋BD ·BP ，过P 点作PE ⊥AB 于E ，连接BC 、AD ．∵AB 为直径，∴∠ACB=90°．∵∠ACB=∠AEP ，∠CAB=∠EAP ，∴△ACB ∽△AEP ．∴AP AB AE AC =． ∴AE ·AB=AC ·AP 同理，△BDA ∽△BEP ．∴PBAB BE BD =．∴BE ·AB=BP ·BD ． ∴AE ·AB ＋BE ·AB=AC ·AP ＋BP ·BD ，AB （AE ＋BE ）=AC ·AP ＋BP ·BD ． ∴AB 2=AC ·AP ＋BP ·BD ．点拨：第（1）小题以待证结论考虑，可构造三角形相似．连接AD 、BC ，虽然△PAD ∽△PBC ，但不能得出AP ·AC 和BP ·BD ，同时也与AB 无联系，所以可构造与△ABD 相似的三角形，故过点P 作PE ⊥AB 于E ，可得△BEP ∽△BDA ，△APE ∽△ABC ．（五）应用题【例9】 用直角钢尺检查某一工件是否恰好是半圆环形，根据图形3-3-19所表示的情形，四个工件哪一个肯定是半圆环形？思维入门指导：本题考查圆周角定理的推论及圆周角定义在实际生产中的应用，认真观察图形，可得只有B 符号定理的推论．解：A 和C 中的直角显然不是圆周角，因此不正确，D 中的直角只满足圆周角的一个特征，也不是圆周角，因而不能判断是否为半圆形．选B ．点拨：实际问题应读懂题意，看懂图形，并将实际问题转化成数学模型．Ⅳ．当堂练习（5分钟）1．如图3-3-20，A 、B 、C 、D 、E 是⊙O 上的五个点，则图中共有 个圆周角，分别是 ．2．在⊙O 中，弦AB 的长恰好等于半径，求劣弧⌒AB 所对的圆周角的大小．【同步达纲练习】Ⅴ．课后巩固练习（130分 120分钟）一、基础题（10～15题每题5分，其余每题3分，共57分）1．在⊙O 中，同弦所对的圆周角（ ）A ．相等B ．互补C ．相等或互补D ．都不对2．如图3-3-21，在⊙O中，弦AD=弦DC，则图中相等的圆周角的对数是（）A．5对B．6对C．7对D．8对3．下列说法正确的是（）A．顶点在圆上的角是圆周角B．两边都和圆相交的角是圆周角C．圆心角是圆周角的2倍D．圆周角度数等于它所对圆心角度数的一半4．下列说法错误的是（）A．等弧所对圆周角相等B．同弧所对圆周角相等C．同圆中，相等的圆周角所对弧也相等．D．同圆中，等弦所对的圆周角相等5．如图3-3-22，AB是⊙O的直径，∠AOD是圆心角，∠BCD是圆周角．若∠BCD=25°，则∠AOD= ．6．如图3-3-23，⊙O直径MN⊥AB于P，∠BMN=30°，则∠AON= ．7．如图3-3-24，AB是⊙O的直径，⌒BC=⌒BD，∠A=25°，则∠BOD= ．8．如图3-3-25，A、B、C是⊙O上三点，∠BAC的平分线AM交BC于点D，交⊙O 于点M．若∠BAC=60°，∠ABC=50°，则∠CBM= ，∠AMB= ．9．⊙O中，若弦AB长22cm，弦心距为2cm，则此弦所对的圆周角等于．10．如图3-3-26，⊙O中，两条弦AB⊥BC，AB=6，BC=8，求⊙O的半径．11．如图3-3-27，AB是⊙O的直径，FB交⊙O于点G，FD⊥AB，垂足为D，FD交AG于E．求证：EF·DE=AE·EG．12．如图3-3-28，AB 是半圆的直径，AC 为弦，OD ⊥AB ，交AC 于点D ，垂足为O ，⊙O 的半径为4，OD=3，求CD 的长．13．如图3-3-29，AB 是⊙O 的直径，AB=AC ，D 、E 在⊙O 上．求证：BD=DE ．14．如图3-3-30，△ABC 内接于⊙O ，E 为⌒BC 的中点．求证：AB ·BE=AE ·BD ．15．已知△ABC 内接于⊙O ，OD ⊥BC ，垂足为D ，若BC=23，OD=1，求∠BAC 的度数．二、学科内综合题（每题8分，共24分）16．根据图3-3-31中所给的条件，求△AOB 的面积及圆的面积．17．如图3-3-32，⊙O 的弦AD ⊥BC ，垂足为E ，∠BAD=∠α，∠CAD=∠β，且sin α=53，cos β=31，AC=2，求（1）EC 的长；（2）AD 的长．18．如图3-3-33，在圆内接△ABC 中，AB=AC ，D 是BC 边上一点．（1）求证：AB 2=AD ·AE ；（2）当D 为BC 延长线上一点时，第（1）小题的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．三、学科间综合题（10分）19．在足球比赛中，甲、乙两名队员互相配合向对方球门MN 进攻，当甲带球冲到A 点时，乙已跟随冲到B 点，如图3-3-34．此时，甲自己直接射门好，还是迅速将球传给乙，让乙射门好？四、应用题（10分）20．如图3-3-35所示，在小岛周围的⌒APB 内有暗礁，在A 、B 两点建两座航标灯塔，且∠APB=θ，船要在两航标灯北侧绕过暗礁区，应怎样航行？为什么？五、创新题（10分）21．如图3-3-36所示，设P 、Q 为线段BC 上两定点，且BP=CQ ，A 为BC 外一动点，当点A 运动到使∠BAP=∠CAQ 时，△ABC 是什么三角形？试证明你的结论．六、中考题（19分）22．（2002，桂林，12分）如图3-3-37，已知BC 为半圆的直径，O 为圆心，D 是⌒AC 的中点，四边形ABCD 对角线AC 、BD 交于点E ．（1）求证：△ABE ∽△DBC ；（2）已知BC=25，CD=25，求sin ∠AEB 的值； （3）在（2）的条件下，求弦AB 的长．23．（2002，河南，5分）如图3-3-38，以△ABC 的BC 边为直径的半圆交AB 于D ，交AC 于E ，过E 点作EF ⊥BC ，垂足为F ，且BF ：FC=5：1，AB=8，AE=2，求EC 的长．24．（2003，辽宁，2分）在半径为1的⊙O 中，弦AB 、AC 分别是3和2，则∠BAC 的度数是 ．加试题：竞赛趣味题（每题10分，共20分）1．已知：如图3-3-39，设P 为⊙O 的劣弧⌒BC 上任一点，△ABC 为等边三角形，AP 交BC 于D ．求证：PB 和PC 是方程x 2－PA ·x ＋PA ·PD=0的两个根．2．已知：如图3-3-40，六边形ABCDEF 各顶点都在⊙O 上，且AB=BC=CD=3＋1，DE=EF=FA=1，求六边形ABCDEF 的面积．参考答案Ⅱ．三、1．图中∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6，∠7，∠8，∠1＋∠2，∠3＋∠4，∠5＋∠6，∠7＋∠8都是圆周角．2．解：∠A 是圆周角，根据圆周角定理可得∠BOC=80°，而∠△BOC 是等腰三角形，所以∠OBC=280180︒-︒=50°． 3．解：由直径所对的圆周角是直角，所以在Rt △ABC 中，∠ABC=90°－∠A=50°． Ⅲ．一、（一）1．圆上；两边都和圆相交2．（1）顶点在圆上；（2）两边都和圆相交（二）1．一半（或21） 2．（2）直角；直径 Ⅳ．一、1．6；∠ACB 、∠BCE 、∠CED 、∠BDE 、∠ACE 、∠CBD 点拨：根据圆周角定义判断．2．30° 点拨：△ABO 是等边三角形，根据圆周角定理得知⌒AB 所对的圆周角等于∠AOB 的一半．Ⅴ．一、1．C 点拨：同弧所对的圆周角相等，但是同弦所对的圆周角有两个不同的度数，它们互补．因此同弦所对的圆周角相等或互补．2．D 解：先找同弧所对的圆周角：⌒AD 所对的∠1=∠3；⌒DC 所对的∠2=∠4；⌒BC 所对的∠5=∠6；⌒AB 所对的∠7=∠8．找等弧所对的圆周角，因为⌒AD =⌒DC ，所以∠1=∠4，∠1=∠2，∠4=∠3，∠2=∠3．由上可知，相等的圆周角有8对．点拨：在同圆或等圆中，判断两个圆周角是否相等，即看它们所对的弧是否相等，因等角对等弧，等弧对等角．3．D 点拨：本题考查圆周角的定义．4．D 点拨：等弦所对的圆周角相等或互补．5．130° 解：∠BOD=2∠BCD=2×25°=50°，∴∠AOD=180°－∠BOD=180°－50°=130°．6．60° 解：∵ON ⊥AB ，∴⌒AN =⌒BN ．∵∠M=30°，∴⌒BN 的度数为60°．∴∠AON=60°．7．50° 解：连CO ．∵∠A=25°，∴∠COB=2∠A=50°．∵⌒BC =⌒BD ，∴∠BOD=∠COB=50°．点拨：本题考查等弧所对的圆心角相等及一条弧所对圆周角等于它所对的圆心角的一半．8．30°；70° 点拨：利用△ABC 内角和定理求得∠C=70°，最后根据同弧所对的圆周角相等得∠AMB=∠ACB=70°，∠CBM=∠CAM=30°．9．45°或135° 点拨：一条弦所对的圆周角相等或互补（两个）．10．解：连接AC ．∵AB ⊥BC ，∴∠ABC=90°．∴AC 为⊙O 直径．在Rt △ABC 中，AB 2＋BC 2=AC 2，∴AC=10，故⊙O 半径是5．点拨：根据90°的圆周角所对的弦是直径．11．证明：∵AB 是直径，∴∠AGB=90°．∴△AED ∽△FEG ．∴EDEG EA EF =，即EF ·DE=AE ·EG ． 点拨：利用直径所对的圆周角是直角得到两三角形相似． 12．解：CD=1．4 点拨：连接BC ，证△AOD ∽△ACB 得CD=57=1．4． 13．证明：连接AD ．∵AB=AC ，∴△ABC 为等腰三角形．又∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB=90°．∴AD 是∠BAC 的平分线．∴∠BAD=∠CAD ．∴⌒⌒DE BD =．∴BD=DE ．14．点拨：通过证明△BAE ∽△DBE 可得．15．60°或120° 点拨：本题目没有给出图形，因此有两种情形：圆心O 在三角形内或圆心O 在三角形外，由两种不同情形可算出两种不同结果．二、16．解：∵∠P=30°，∴∠OBA=∠P=30°．∵B 点坐标为（0，2），∴OB=2． 在Rt △BOA 中，AO=BO ，tan30°=332，AB=︒30cos OB =232=334， ∴S △ABO =21OA ·OB=21×2×332=332，S 圆=4π·AB 2=4π×916×3=34π． 点拨：这是一道代数和几何的综合题，要注意∠BOA=90°这一隐含条件． 17．解：（1）在Rt △AEC 中，cos β=31，AC=2，∴AE=AC ·cos β=2×31=32， EC=22AE AC -=324或EC=AC ·sin β=324． （2）在Rt △ABE 中，AE=32，sin α=53． ∵sin α=AB BE =53，∴可设BE=3k ，则AB=5k ． ∴25k 2－9k 2=（32）2．∴k=61（取正值）．∴BE=3k=21． 连接BD ，则∠D=∠C ，∠DBE=β，∴△BDE ∽△ACE ．∴ED EC EB AE =． ∴AE ·ED=EB ·EC ．∴32ED=21×342．∴ED=2．∴AD=AE ＋ED=32＋2． 18．（1）证明：连接BE ．⎪⎭⎪⎬⎫∠=∠∠=∠=∠⇒=⇒=EAB BAD E C ABC AC AB AC AB ⌒⌒ ⇒△AB D ∽△AE B ⇒AE AB =ABAD ⇒AB 2=A D ·AE ． （2）解：结论成立．如答图3-3-1，连接BE ．⎪⎭⎪⎬⎫∠=∠∠=∠⇒=⇒=DAB BAE ABC AEB AC AB AC AB ⌒⌒ ⇒△ABE ∽△ADB ⇒ADAB =ABAE ⇒AB 2=AD ·AE ．三、19．解：考虑过M 、N 及A 、B 中任一点作圆，这里不妨过M 、N 、B 作圆，则A 点在圆外，设MA 交⊙O 于C ，则∠MAN ＜∠MCN ，而∠MCN=∠MBN ，所以∠MAN ＜∠MBN ，因此在B 点射门为好．点拨：在真正的足球比赛中情况比较复杂．这里仅用数学方法从两点的静止状态来考虑，如果两个点到球门的距离相差不大，要确定较好的射门位置，关键是看这两点各自对球门MN 的张角大小，当张角较小时，则容易被对方守门员拦截．四、20．解：船在航行过程中，始终保持对两灯塔A 、B 的视角小于θ，即可安全绕过暗礁区．（1）在⌒APB 外任取一点C ，连接CA 、CB ，设CA 交⌒APB 于F ，连接FB ．∵∠AFB=∠θ，∠AFB ＞∠C ，∴∠C ＜∠θ．（2）在⌒APB 的弓形内任取一点D ，连接AD 并延长交⌒APB 于E ，连接DB 、EB ．∵∠E=∠θ，∠ABD ＞∠E ，∴∠ADB ＞θ．由（1）（2）知，在航标灯A 、B 所在直线北侧，在圆弧⌒APB 外任一点对A 、B 的视角都小于θ，在圆弧⌒APB 上任一点对A 、B 的视角都等于θ，在圆弧⌒APB 内上任一点对A 、B 的视角都大于θ，为此只有当对两灯塔的视角小于θ的点才是安全点．五、21．解：当∠BAP=∠CAQ 时，△ABC 是等腰三角形．证明：如答图3-3-2，作出△ABC 的外接圆，延长AP 、AQ 交该圆于D 、E ，连接DB 、CE ，由∠BAP=∠CAQ ，得⌒⌒CE BD =．从而⌒⌒CED BDE =，所以BD=CE ，∠CBD=∠BCE ．又BP=CQ ，则△BPD ≌△CQE ，这时∠D=∠E ，由此⌒⌒AC AB =，故AB=AC ．即△ABC 是等腰三角形．六、22．解：（1）∵⌒⌒CD AD =，∴∠ABD=∠DBC ．∵BC 为⊙O 的直径，∴∠BAC=∠BDC=90°．∴△ABE ∽△DBC ．（2）∵△ABE ∽△DBC ，∴∠AEB=∠DCB ．在Rt △BDC 中，BC=25，CD=25，∴BD=22CD BC -=5． ∴sin ∠AEB=sin ∠DCB=BCBD =255=552． （3）∵∠ABD=∠DBC=∠CAD ，∠ADE=∠BDA ，∴△AED ∽△BAD ．∴ADBD ED AD =．∴AD 2=DE ·DB ． ∵CD=AD=25，∴CD 2=DE ·DB=（BD －BE ）·DB ． 即（25）2=（5－BE ）·5．解得BE=453． 在Rt △ABE 中，AB=BE ·sin ∠AEB=453×552=23． 点拨：圆周角定理及其推论，垂径定理，勾股定理在本题中起重要作用．23．解：连接BE ，则BE ⊥AC ，∴BE 2=AB 2－AE 2=82－22=60．设FC=x ，则BF=5x ，BC=6x ．∵EF ⊥BC ，∠EBF=∠CBE ，∴△BEF ∽△BCE ．∴BE 2=BF ·BC ．即60=5x ·6x ． ∵FC ＞0，∴x=2．∴BC=6x=62．∵EC 2=BC 2－BE 2=72－60=12，∴EC=23． 点拨：作出直径上的圆周角是最常见的辅助线之一．24．∠BAC=15°或75° 点拨：如答图3-3-3和3-3-4，分两种情况，作直径AD ，连接BD ，易知∠BAD=30°，∠CAO=45°，∴∠BAC=15°或75°．加试题：1．证明：如答图3-3-5，延长BP 到F ，使PF=PC ，连接PC 、CF ．∵∠3=∠BAC=60°，∴△PCF 为正三角形．∴△APC ≌△BFC ．∴PA=FB=BP ＋PF=BP ＋PC ． ①在△ABP 和△CDP 中，∵∠PCD=∠PAB ，∠DPC=∠BPA=60°，∴△CDP ∽△ABP ．∴PC PA PD PB ．即PB ·PC=PA ·PD ． ② 由①和②两式可知，PB 和PC 是方程x 2－PAx ＋PA ·PD=0的两根．点拨：首先根据方程根的关系分析出所证明的间接结论：（1）PB ＋PC=PA ，（2）PB ·PC=PA ·PD ，然后逐个证出，从而得到求证结论．2．解：如答图3-3-6，若连接OA 、OB 、OC 、OD 、OE 、OF ，则有S △AOB = S △BOC = S △COD ， S △DOE = S △EOF = S △FOA ．由于六边形ABCDEF 的面积等于以上六个三角形面积之和，又因为有三个三角形面积相等的两组三角形，若把两组三角形重新组合，构成面积相等的六边形A ′B ′C ′D ′E ′F ′，其中⊙O 和⊙O ′等圆．如答图3-3-7，A ′B ′=C ′D ′=E ′F ′=3＋1，A ′F ′=B ′C ′=D ′E ′=1．再把A ′B ′，C ′D ′，E ′F ′分别向两边延长相交于M 、N 、P ，易知∠B ′O ′F ′=∠F ′O ′D ′=∠D ′O ′B ′=120°．从而得∠B ′A ′F ′=∠F ′E ′D ′=∠D ′C ′B ′=120°．同样∠A ′F ′E ′=∠E ′D ′C ′=∠C ′B ′A ′=120°．∴△PA ′F ′≌△ND ′E ′≌△MB ′C ′，并且为正三角形．则六边形A ′B ′C ′D ′E ′F ′的面积S ′=S △MNP －3S △PA ′F ′．又∵S △MNP =43（3＋3）2，3S △PA ′F ′=3×43×12，故六边形ABCDEF 的面积=六边形A ′B ′C ′D ′E ′F ′的面积=34929 ．。