相似三角形周长与面积比
三角形相似,面积比和周长比关系
三角形相似,面积比和周长比关系三角形是几何学中最基本的图形之一。
在三角形的研究中，相似三角形是一个重要的概念。
相似三角形指的是具有相同形状但大小不同的三角形。
在相似三角形中，它们的边长比例是相等的。
本文将探讨相似三角形的性质以及面积比和周长比之间的关系。
首先，让我们来了解一下什么是相似三角形。
相似三角形的定义是：两个三角形如果它们对应的角相等，那么它们就是相似三角形。
例如，如果两个三角形的对应角度分别为A1、B1、C1和A2、B2、C2，那么当∠A1 = ∠A2，∠B1 = ∠B2，∠C1 = ∠C2时，这两个三角形就是相似三角形。
在相似三角形中，它们的边长比例是相等的。
也就是说，对于相似三角形ABC和DEF，有AB/DE = AC/DF = BC/EF。
这个比例关系可以用来判断两个三角形是否相似。
利用相似三角形的边长比例，我们可以通过已知的一个三角形的边长，计算出另一个相似三角形的边长。
接下来，我们来研究相似三角形的面积比。
面积比是指两个相似三角形的面积之比。
如果一个相似三角形的边长比为a:b，那么它们的面积比就是a²:b²。
这个规律可以通过相似三角形的性质来推导。
由于相似三角形的对应边长比例相等，假设一个相似三角形的边长比为a:b，那么它们的高度比也是a:b。
假设两个相似三角形的面积分别为S1和S2，它们的底边长度分别为c1和c2，高度分别为h1和h2。
根据面积的计算公式S=1/2*底边长度*高度，我们可以得到S1/S2 =(1/2)*c1*h1/(1/2)*c2*h2 = c1*h1/c2*h2 = (a*b)/(a*b) = a²:b²。
最后，我们来探讨相似三角形的周长比。
周长比是指两个相似三角形的周长之比。
如果一个相似三角形的边长比为a:b，那么它们的周长比也是a:b。
这个结论可以通过相似三角形的性质推导得到。
由于相似三角形的对应边长比例相等，假设一个相似三角形的边长比为a:b，那么它们的边长之和也满足这个比例。
北师大版九年级数学上册课件 4-7-2 相似三角形中的周长和面积之比
∠BAC=∠EDF。
（1）中线AG与DH的比是多少？
（2）△ABC与△DEF的面积比是多少？
A
B
D
G
C
E
H
F
A
解：(1)∵AB＝2DE，
AC＝2DF，∠BAC＝∠EDF.
∴△ABC∽△DEF，相似比为2 : 1， B
G
∴中线AG与DH的比是2 : 1；
D
△
2
4
∵S△AEF＝S△ABD－S四边形BDFE＝S△ABD－6，
△ − 6 1
∴
＝ .
4
△
∴S△ABD＝8，即△ABD的面积为8.
B
A
E
D
F
C
6. △ABC 中，DE∥BC，EF∥AB，已知△ADE 和
△EFC 的面积分别为 4 和 9，求△ABC 的面积.
解：∵ DE∥BC，EF∥AB，
连接EF.若四边形BDFE的面积为6，求△ABD的面积．
A
E
B
D
F
C
解：∵CF平分∠ACB，DC＝AC，
∴CF是△ACD的中线，即F是AD的中点．
1
∵点E是AB的中点，∴EF∥BD，且 ＝ ，
2
∴∠B＝∠AEF，∠ADB＝∠AFE，
∴△AEF∽△ABD.
△
1 2 1
∴
＝( ) ＝ .
∴△ADE ∽△ABC，
∠ADE =∠EFC，∠A =∠CEF，
∴△ADE ∽△EFC.
又∵S△ADE : S△EFC = 4 : 9，
A
D
B
F
E
C
∴ AE : EC=2 : 3，则 AE : AC =2 : 5，
相似三角形的周长与面积比例关系
相似三角形的周长与面积比例关系相似三角形是指具有相同形状但尺寸不同的两个或多个三角形。
在几何学中，相似三角形和比例关系是重要的概念。
本文将探讨相似三角形的周长与面积之间的比例关系。
一、相似三角形的定义和性质相似三角形是指具有相同形状的三角形，其对应的内角相等，而边的比例也相等。
如果两个三角形的对应角相等，且对应边的比例相等，就称这两个三角形是相似的。
相似三角形具有如下性质：1. 相似三角形的对应边比例相等，可以表示为：∠A/∠A'=∠B/∠B'=∠C/∠C'=k（k为常数）。
2. 相似三角形的周长比例等于对应边的比例，表示为：AB/AB'=BC/BC'=AC/AC'=k。
3. 相似三角形的面积比例等于对应边长度的平方比例，表示为：[ABC]/[A'B'C']=(AB/AB')²=(BC/BC')²=(AC/AC')²=k²。
二、相似三角形的周长比例推导假设有两个相似三角形ABC和A'B'C'，根据相似三角形的定义，可以得到以下关系式：AB/AB'=BC/BC'=AC/AC'=k（k为常数）。
由此可以推导相似三角形的周长比例。
设ABC的周长为L1, A'B'C'的周长为L2。
根据定义可知：AB/AB'=BC/BC'=AC/AC'=k。
则有L1=k(AB+BC+AC)，L2=k(AB'+B'C'+A'C')。
因此，L1/L2=(k(AB+BC+AC))/(k(AB'+B'C'+A'C'))=AB+BC+AC/AB'+B'C'+A'C'。
根据相似三角形的定义，AB/AB'=BC/BC'=AC/AC'，可以将k代入上式，得到L1/L2=3k/3k=1。
相似三角形的周长比与面积之比精品课件PPT
3.在△ABC中,D是AB的中点， DE∥ BC， 则: (1)S △ADE : S △ABC =____
(2)S △ADE: S 梯形DBCE =____
4.△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，
已知△ADE和△EFC的面积分
D
别为4和9，求△ABC的面积。 D
B
B
F
4.7.2相似三角形的周长比与面积之比
•
5、人们都期望自我的生活中能够多 一些快 乐和顺 利，少 一些痛 苦和挫 折。可 是命运 却似乎 总给人 以更多 的失落 、痛苦 和挫折 。我就 经历过 许多大 大小小 的挫折 。
•
6、我就经历过许多大大小小的挫折。 大海因 为有了 狂风的 袭击， 才显示 出了它 顽强的 生命力 ，它把 狂风化 成了朵 朵浪花 ，给人 们带来 美丽；
4
4.7.2相似三角形的周长比与面积之比
求证5
请你类比推断出相似三角形的面积之比。
△ABC∽△A'B'C'，相似比为k， A
它们的面积比是多少？
A1
B
D
C B1
D1 C1
相似三角形面积的比等于 相似比的平方．
4.7.2相似三角形的周长比与面积之比
4.7.2相似三角形的周长比与面积之比
练习：
1、已知两个三角形相似，请完成下列表格
4.7.2相似三角形的周长比与面积之比
第四章 图形的相似
4.7.1 相似三角形的性质
4.7.2相似三角形的周长比与面积之比
4.7.2相似三角形的周长比与面积之比
相似三角形的性质: 相似三角形对应____、_____、____的 比都等于相似比。
4.7.2相似三角形的周长比与面积之比
相似三角形的面积比与周长比
A
SE R
B P DQ C
课堂小结
全等三角形与相似三角形性质比较
全等三角形
相似三角形
对应边_相__等_
对应边__成__比__例
对应角__相__等__ 对应角_相__等__
对应高_相__等___
对应高的比等于_相__似__比_____
对应中线__相__等_ 对应中线的比等__相__似__比___
对应角平分线_相__等_ 对应角平分线的比等于相__似__比___
周长_相__等__
周长的比_____?___________
面积__相__等__
面积的比_____?___________
议一议:
如图,四边形ABCD与四边形A’B’C’D’相似,
且相似比为k,它们周长的比、面积的
比与相似比如成有果五什把边么C四形关边，系形你? 换刚
D
才的结论是否仍 然成立呢? D’
3、两个三角形的周长之比和面积之比各是 多少？ 4、观察一下它们的周长之比和面积之比与
2、C∆ABC=12; S∆ABC= 6;
C∆DEF=36; S∆DEF =54;
相似比有怎样的关系？
F
3、周长比 1：3； 面积比1：9
C
15 9
3
5
A4
BD
图一
12
E
图二
猜想 对于任意三角形这样的结论还成立吗？
3.4.2 相似三角形的性质
第2课时 相似三角形的周长比与面积比 三和中学 向中伟
相似三角形的性质：
相似三角形对应角相等； 相似三角形对应边成比例；
相似三角形对应高的比等于相似比. 相似三角形对应角平分线的比等于相似比. 相似三角形对应中线的比等于相似比.
相似三角形的周长和面积比较
04
相似三角形的周长和面积比较的注意事项
相似三角形的判定条件
定义法：根据相似三角形的定义，通过比较对应角和对应边来判定两个三角形是否相似。
平行法：当两个三角形有一组对应的边平行时，这两个三角形相似。
角-边角法：当两个三角形有两个对应的角相等，并且这两个角所夹的边成比例时，这两个三角形相似。
相似三角形在桥梁建设中的应用：在桥梁建设中，可以利用相似三角形来计算桥墩的高度和位置，以确保桥梁的稳定性和安全性。
相似三角形在航空摄影中的应用：在航空摄影中，可以利用相似三角形的性质来计算建筑物的高度和宽度，以及地面的距离和位置。
相似三角形在建筑设计中的应用
利用相似三角形测量建筑物的高度
利用相似三角形设计建筑物的窗户和门
计算方法：利用相似三角形的性质，将相似三角形的边长比例与周长比例相等，从而计算出周长
应用：在解决实际问题时，可以利用相似三角形的周长比较来推导其他相关量的大小关系
周长的比较
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相似三角形的周长比等于边长比的绝对值
相似三角形的周长与边长成正比
相似三角形的周长比等于相似比的绝对值
测量工具的精度：确保使用高精度的测量工具，以减小误差。
测量方法的准确性：采用多次测量求平均值的方法，提高测量准确性。
相似三角形的选择：选择相似度高、形状接近的三角形进行比较。
计算过程的准确性：仔细核对计算过程，避免因计算错误导致误差。
实际应用中的注意事项
确保两个三角形相似，否则无法进行周长和面积的比较。
周长比等于任意一边长的比
02
相似三角形的面积和周长的关系
相似三角形的面积和周长的关系相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形。
在几何学中，相似三角形是一种重要的概念，它们之间存在着特殊的比例关系。
本文将探讨相似三角形的面积和周长之间的关系。
一、相似三角形的定义相似三角形指的是具有相同形状的两个或多个三角形，它们的对应角度相等，而对应边的长度之比保持一致。
设有两个相似三角形ABC和DEF，如果∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F，并且AB/DE =BC/EF = AC/DF，那么这两个三角形相似。
二、相似三角形的面积关系根据几何学的知识，我们知道两个相似三角形的面积之比等于它们对应边长的平方之比。
即如果两个三角形ABC和DEF相似，那么它们的面积之比为S(ABC)/S(DEF) = (AB/DE)² = (BC/EF)² = (AC/DF)²。
推论一：如果相似三角形的边长之比为a:b，那么它们的面积之比为a²:b²。
推论二：如果相似三角形的边长之比为a:b，那么它们的高之比也为a:b。
以具体的例子来说明面积关系。
设有两个相似三角形ABC和DEF，已知AB/DE = BC/EF = AC/DF = 2/3。
如果我们已知三角形ABC的面积为S1，那么三角形DEF的面积S2可以根据面积之比计算出来。
根据推论一，S1/S2 = (2/3)² = 4/9，即S2 = (9/4)S1。
这表明，两个相似三角形的面积之间的比例是一个定值，与具体的三角形大小无关。
三、相似三角形的周长关系我们知道，周长是指一个几何图形的边界长度。
对于两个相似三角形，它们的对应边长之比是固定的，而周长即为边长之和。
因此，对于相似三角形ABC和DEF，它们的边长之比为a:b，那么它们的周长之比也为a:b。
即P(ABC)/P(DEF) = AB+BC+AC/DE+EF+DF = a/b，其中P表示三角形的周长。
四、面积和周长的关系现在我们来探讨相似三角形的面积和周长之间的关系。
相似三角形的周长比与面积比
M
Q
P
E
D
C
B
A
解：设正方形PQMN是符合要求的△ABC的高AD与PN相交于点E。设正方形PQMN的边长为x毫米。 ∵PN∥BC ∴△APN∽ △ABC ∴
AE
AD
=
PN
BC
因此 ，得 x=48（毫米）。答：----。
80–x
高线
角平分线
中线
想一想
相似三角形的相似比与对应边上高线比有什么关系？
例如： ΔABC∽ΔA/B/C/ ，AD BC于 D， A / D / B / C /于D / ， 求证：
A
B
A /
①相似三角形的对应高线之比等于相似比。
A
B
C
D
A /
B /
C /
D /
②相似多边形面积的比等于相似比的平方.
知 识 归 纳
（1）相似三角形对应的 比等于相似比.
相似三角形(多边形)的性质:
（3）相似 面积的比等于相似比的平方.
多边形
多边形
（2）相似 周长的比等于相似比.
三角形
三角形
高线
角平分线
∴△DEF的周长为
×24=12
面积为
4
3
例2、如图,在△ABC中,D是AB的中点， DE∥BC则: S △ADE : S △ABC = S △ADE: S 梯形DBCE =
01
03
02
（1）相似三角形对应的 比等于相似比.
（3）相似 面积的比等于相似比的平方.
2：3
4：9
3：2
3： 2
3：2
2：3
例 题 讲 解
例1、如图在ΔABC 和ΔDEF中，AB=2DE，AC=2DF，∠A=∠D，ΔABC的周长是24，面积是 ，求ΔDEF的周长和面积。
相似三角形面积比周长比的关系
相似三角形面积比周长比的关系相似三角形，这个话题听起来好像有点儿严肃，但实际上它可以变得很有趣。
想象一下，你在课堂上，老师提到相似三角形时，你可能会想到那些古老的数学书，里面的图形看起来就像是从别的维度里掉下来的。
可实际上，相似三角形就像是生活中的那些好朋友，虽然看起来大小不同，但它们的性格、特点却是一样的。
你知道吗，相似三角形之间不仅有形状的相似，还有面积和周长的关系，真的是一门神奇的学问！先说说周长。
我们平常生活中常常听到“好事成双”，其实在这里，周长的比例也是成双的。
如果你有两个相似的三角形，一个大一个小，它们的周长比就像那种“你有我有”的朋友关系。
如果大三角形的边长是小三角形的两倍，那它们的周长比就是2:1。
是不是很简单？只要记住，边长比决定周长比，简单明了，没毛病！这就好比你和朋友一起去吃饭，你点了两份，他点了一份，结账的时候，大家一起按比例分摊，多简单啊！说完了周长，再聊聊面积。
面积比就有点儿不一样了。
我们来举个例子，假设大三角形的边长是小三角形的两倍，面积就不是简单的2:1了，而是变成了2的平方，即4:1。
这就是让人感到神奇的地方！面积的比例是边长比的平方，这就好比你看一棵树，树的高度翻了一番，树的叶子、果实可能会成倍增长，瞬间变得生机勃勃。
面积比就像是一个放大镜，让你看到小三角形与大三角形之间的真实差异。
这种关系在生活中随处可见。
想想看，你在超市里买水果，看到同样的苹果，大小不同，价格也有差异。
这就好比是周长与面积的关系，虽然看似简单的水果，却包含了很多的数学原理在里面。
更有趣的是，生活中的许多现象都可以用这种比例来解释。
比如，跑步的时候，你的速度和路程也是成正比的，你跑得越快，花的时间就越少，这不就跟周长面积比有点儿相像吗？。
好啦，回到相似三角形。
其实这些看似枯燥的数学知识，真的是有趣得很，尤其是当你把它们和生活结合起来的时候。
记得有一次，我和朋友们去野营，看到两座相似的山，一座高一座矮。
相似三角形的面积比与周长比的应用
相似三角形的面积比与周长比的应用在几何学中，相似三角形是指具有相同形状但大小不一的三角形。
而相似三角形的面积比与周长比是一种重要的几何关系，可以应用在各种实际问题中。
本文将探讨相似三角形的面积比与周长比的应用。
一、相似三角形的定义与性质相似三角形是指具有相同形状但大小不一的三角形。
两个三角形相似的条件是它们对应角度相等。
相似三角形的性质包括边长比例相等、角度相等以及面积比例相等等。
二、相似三角形的面积比的应用1. 面积比的计算相似三角形的面积比等于它们边长比的平方。
假设有两个相似三角形，边长比为a:b，则它们的面积比为a²:b²。
2. 面积比的应用举例（1）建筑物的放大和缩小在建筑规划中，经常需要将设计图纸上的建筑物按照比例进行放大或缩小。
如果已知两个相似建筑物的边长比为a:b，则它们的面积比为a²:b²。
通过计算面积比，可以得知放大或缩小后的建筑物的面积变化情况。
（2）地图的绘制地图是一种将地球表面按比例缩小至纸面上的平面图。
在制作地图时，需要将地球上的各个地区按照比例进行缩小，并保持相似性。
相似三角形的面积比可以帮助绘制出比例准确的地图。
三、相似三角形的周长比的应用1. 周长比的计算相似三角形的周长比等于它们边长比的比例。
假设有两个相似三角形，边长比为a:b，则它们的周长比为a:b。
2. 周长比的应用举例（1）相似物体的放大和缩小在工程制图或模型制作中，常常需要将实物或图纸上的物体按照比例进行放大或缩小。
已知两个相似物体的边长比为a:b，则它们的周长比为a:b。
通过计算周长比，可以得知放大或缩小后的物体的周长变化情况。
（2）道路规划在城市规划或交通规划中，需要对不同区域之间的道路进行规划。
如果两个区域的形状相似，可以利用相似三角形的周长比来确定道路的长度比例，从而给出合理的道路规划方案。
四、相关实际问题的解决方法1. 已知两个相似三角形的面积和一个三角形的面积和周长，如何求另一个三角形的周长？解决这类问题可以利用相似三角形的面积比与周长比。
相似三角形的周长比与面积比
相似三角形的周长比与面积比相似三角形是几何学中重要的概念，它指的是具有相同形状但可能不同大小的三角形。
在研究相似三角形时，我们常常关注它们的周长比与面积比。
本文将详细介绍相似三角形的周长比与面积比，并通过示例来说明它们的应用。
一、周长比的定义与性质相似三角形的周长比是指两个相似三角形的周长之比。
设两个相似三角形的三条边长度分别为a、b、c和k×a、k×b、k×c，其中k为比例因子。
那么它们的周长比为k×(a+b+c)∶(k×a+k×b+k×c)，化简后得到周长比为k∶1。
周长比的性质如下：1. 两个相似三角形的周长比为k∶1，其中k为比例因子。
2. 若两个相似三角形的周长比为k∶1，则它们的边长比也为k∶1。
二、面积比的定义与性质相似三角形的面积比是指两个相似三角形的面积之比。
设两个相似三角形的底边长度分别为a和k×a，高分别为h和k×h，则它们的面积比为(aa∶k^2×aa)，化简后得到面积比为1∶k^2。
面积比的性质如下：1. 两个相似三角形的面积比为1∶k^2，其中k为比例因子。
2. 若两个相似三角形的面积比为1∶k^2，则它们的边长比也为1∶k。
三、应用示例下面通过一个实际的应用示例来说明相似三角形的周长比与面积比的计算方法。
示例：已知两个相似三角形的周长比为3∶2，求它们的面积比。
解：设两个相似三角形的周长分别为3a和2a。
根据周长比的性质，可以得到：3a∶2a = 3∶2若其中一个相似三角形的底边长度为b，则另一个相似三角形的底边长度为(2/3)×b。
设两个相似三角形的高分别为h和(2/3)×h。
根据面积比的定义，可以得到：面积比 = b×h∶((2/3)×b)×((2/3)×h) = 9∶4所以，两个相似三角形的面积比为9∶4。
相似三角形的面积比与周长比
相似三角形的面积比与周长比相似三角形是指两个或多个三角形的对应角相等且对应边成比例的三角形。
在研究相似三角形时，我们经常涉及到面积比和周长比的关系。
本文将探讨相似三角形的面积比与周长比之间的关系。
在开始讨论之前，先来回顾一下面积和周长的定义。
三角形的面积是指该三角形所包围的平面区域的大小，而周长则是指三角形三条边的长度之和。
考虑两个相似三角形，其中一个的边长比为k。
设第一个三角形的边长为a，b，c，而第二个三角形的边长为ka，kb，kc（即第二个三角形的边长是第一个三角形边长的k倍）。
首先，我们来比较两个相似三角形的面积。
根据几何学的知识，两个相似三角形的面积比等于边长比的平方。
也就是说，第一个三角形的面积与第二个三角形的面积之比等于k的平方。
用公式表示如下：（第一个三角形的面积）/（第二个三角形的面积）= k²接下来，我们来讨论相似三角形的周长比。
由于两个相似三角形的边长比为k，那么相应的周长比也是k。
即：（第一个三角形的周长）/（第二个三角形的周长）= k现在，我们将面积比和周长比结合起来。
假设第一个三角形的面积为A，第二个三角形的面积为k²A，第一个三角形的周长为P，第二个三角形的周长为kP。
根据上述推导，我们可以得出以下结论：（第一个三角形的面积）/（第一个三角形的周长）=（第二个三角形的面积）/（第二个三角形的周长）代入具体数值，可以得出：A/P = k²A/kP经过简化，可得：A/P = k通过这个推导，我们可以得出结论：两个相似三角形的面积比与周长比相等。
综上所述，我们可以总结相似三角形的面积比与周长比的关系：两个相似三角形的面积比等于边长比的平方，而周长比等于边长比。
这个结论在几何学和数学的应用中非常重要。
通过理解和应用这个关系，我们可以在解题过程中更好地利用相似三角形的性质，简化问题的求解步骤。
相似三角形的面积比与周长比的关系在数学教学和实际问题中有广泛的应用。
相似三角形面积比和周长比的关系
相似三角形面积比和周长比的关系几何学不止是学术上的一门学问，它还是我们生活中许多规律的缩影。
今天，我们就来聊聊一个有趣的话题——相似三角形的面积比和周长比，它们之间的关系就像一场美妙的魔术秀。
1. 相似三角形的基本概念1.1 什么是相似三角形？首先，我们得搞清楚什么是“相似三角形”。
简单来说，相似三角形就是那些形状一模一样但大小不同的三角形。
就像两个大小不一的迷你三角形，他们的角度都是相同的，只是一个大一个小。
就像两个剪纸，一模一样的形状，只是一个是玩具版，另一个是巨型版。
1.2 相似三角形的特点相似三角形有几个重要的特点：它们的对应角相等，对应边成比例。
这就像是一个放大镜，只不过这里是数学放大镜，把角度和边的比例放大了，却保持了形状的原汁原味。
2. 面积比与周长比的关系2.1 面积比让我们先来看看面积比。
假设有两个相似三角形，一个是大三角形，另一个是小三角形。
如果大三角形的每条边都是小三角形每条边的k倍，那么大三角形的面积就会是小三角形面积的k²倍。
听起来有点复杂对吧？换句话说，面积比就是边长比的平方。
就像你把一张纸上的小图案放大，图案的面积会比原来的大四倍（2²=4），而不是直接翻倍。
2.2 周长比接下来是周长比。
周长比就简单多了。
如果大三角形的每条边都是小三角形每条边的k倍，那么大三角形的周长就是小三角形周长的k倍。
也就是说，周长比直接等于边长比。
比如，你有一个小正方形和一个大正方形，如果每边的长度增加了两倍，那么周长也会增加两倍，不用平方，直接一比一。
3. 举个例子，感受一下3.1 真实生活中的应用让我们通过一个生活中的例子来具体感受一下这些关系。
假设你在做一个模型房子，你做了两个相似的房子，一个是大房子，一个是小房子。
假设大房子的边长是小房子的两倍。
那你想知道这两个房子的面积比和周长比是多少吗？周长比：因为边长的比例是2:1，所以周长的比例也是2:1。
大房子的周长就是小房子的两倍。
4.7 .2 相似三角形的周长和面积之比课件 2023--2024学年北师大版九年级数学上册
少？
S S S k . 四边形A1B1C1D1
A1B1C1
A1C1D1
2
S四边形A2 B2C2 D2
S S A2B2C2
A2C2 D2
两个相似五边形的周长比及面积 D1 比怎样呢？两个相似的 n 边形呢？ C1
D2 C2
周长的比等于相似比，
面积比等于相似比的平方. A1
B1 A2
B2
例1 将△ABC 沿 BC 方向平移得到△DEF，△ABC 与
于相似比的平方吗？两个相似五边形的周长比及面积比
怎样呢？两个相似的 n 边形呢？ D1
做一做
如图，四边形 A1B1C1D1 ∽ 四 边形 A2B2C2D2，相似比为 k.
A1
C1
D2 C2
B1 A2
B2
(1) 四边形 A1B1C1D1 与四边形 A2B2C2D2 的周长比是 多少？
(2) 连接相应的对角线 A1C1，A2C2. 所得的 △A1B1C1 与 △A2B2C2 相似吗？△A1C1D1 与 △A2C2D2 呢？如果相似， 它们的相似比各是多少？为什么？
EC2 BC 2
2. B
.
E
AD G
CF
∴BE BC EC 2 2. 即△ABC 平移的距离为 2 2.
例2 如图，D，E 分别是 AC，AB 上的点，已知 △ABC
的面积为 100 cm2，且 AE = AD = 3 ，求四边形 BCDE 的
AC AB 5
面积.
解：∵ ∠BAC = ∠DAE，且 AE AD 3，
(1)与(2)的面积比=_1__:_4__； (1)与(3)的面积比=__1_:_9__.
猜一猜 如果 △ABC 的 △A'B'C'，相似比为 k，那么你能求 △ABC 与△A'B'C' 的周长比和面积比吗？
相似三角形的周长与面积比
相似三角形的周长与面积比相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形。
在研究相似三角形时，我们常常关注它们的周长和面积比。
本文将探讨相似三角形的周长与面积比，并结合具体例子进行说明。
一、周长比的求解对于两个相似三角形，其周长的比例等于对应边长的比例。
设两个相似三角形的边长分别为a、b、c和k*a、k*b、k*c，则周长比可以表示为：周长比 = (a + b + c) / (k*a + k*b + k*c) = 1 / k这意味着，当两个三角形的相似比例系数为k时，它们的周长比为1/k。
例如，如果一个三角形的边长是另一个三角形边长的2倍，那么它们的周长比为1/2。
二、面积比的求解相似三角形的面积比等于对应边长的平方比例。
即，设两个相似三角形的边长分别为a、b、c和k*a、k*b、k*c，则面积比可以表示为：面积比= (1/2 * a * b * sin(α)) / (1/2 * k*a * k*b * sin(α)) = a^2 / (k^2 * a^2) = 1 / k^2这意味着，当两个三角形的相似比例系数为k时，它们的面积比为1/k^2。
例如，如果一个三角形的边长是另一个三角形边长的3倍，那么它们的面积比为1/9。
三、例子分析为了更好地理解相似三角形的周长与面积比，我们来看一个具体的例子。
假设有两个相似三角形ABC和DEF，它们的相似比例系数为k=2。
已知三角形ABC的周长为12cm，面积为9cm²，我们需要求三角形DEF的周长和面积。
首先，根据周长比的公式，我们可以得到：周长比 = 1 / k = 1 / 2由此可得，三角形DEF的周长为：周长DEF = 周长ABC * 周长比 = 12cm * (1/2) = 6cm接下来，根据面积比的公式，我们可以得到：面积比 = 1 / k^2 = 1 / 2^2 = 1 / 4由此可得，三角形DEF的面积为：面积DEF = 面积ABC * 面积比 = 9cm² * (1/4) = 2.25cm²通过这个例子，我们可以看出，当两个相似三角形的边长比例为2时，它们的周长比为1/2，面积比为1/4。
相似三角形周长和面积比
相似三角形的周长比与面积比一．教学目标1、知识技能： 理解并掌握相似三角形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方，并能用来解决简单的问题。
2、过程与方法：（1）通过探索相似多边形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方，让学生经历动手实验——观察——思考——猜想——归纳探究的学习过程。
（2）在动手参与解决身边实际问题的过程中，增强主动探索、发现数学知识的意识，应用数学知识解决生活中实际问题的水平。
3、情感态度与价值观：在探究过程中发展学生积极的情感、态度、价值观，在学习过程中，培养学生独立思考、合作学习的水平，渗透数学当中的建模思想。
二．教学重点与难点重点：理解并掌握相似三角形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方。
难点：探索相似三角形的面积比等于相似比的平方，利用相似三角形的性质解决实际问题。
三．教学过程（一）设计问题，引入新课我们学校原计划在教学楼旁边设计一个面积为100平方米，周长为80米的三角形绿化地，因为水泥路拓宽绿地被削去了一个角，变成了一个梯形，绿化地一边AB 的长由原来的20米缩短成12米，为了保证学校绿化总面积不变，这样就引出了一个问题：被削去的部分面积有多大？它的周长又是多少？（二）自主探究，发现新知1.分组猜想探究活动， 完成下列实验报告单目的：通过实验发现相似三角形的周长比、面积比与相似比的关系。
《相似三角形的周长与面积》实验报告单C2．验证猜想，得出结论（同桌合作交流）探究一：如果两个三角形相似，它们的周长比是否等于相似比呢？如果△ABC ∽△A'B'C'，相似比为k ，那么 ⇒AB BC CA k A B B C C A ===''''''⇒AB =kA ′B ',BC =kB 'C ',CA =kC 'A ' ⇒AB BC CA kA B kB C kC A k A B B C C A A B B C C A ++''+''+''==''+''+''''+''+''能够得到 相似三角形周长的比等于相似比。
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