初二数学希望杯全国邀请赛

合集下载

历届1-24“希望杯”全国数学邀请赛八年级-真题及答案

第二届（1991 年）初中二年级第一试试题
一、选择题:（每题1分，共15分）
1．如图1，已知AB=8，AP=5，OB=6，则OP的长是[ ] A．2; B．3; C．4; D．5
2．方程x2-5x+6=0的两个根是[ ] A．1，6 ; B．2，3; C．2，3; D．1，6
A
O
P
B
(1)
3．已知△ABC是等腰三角形，则[ ]
8x
2y 5
z
6x 3
z
x
2
y
x y z
3
x 1 5
y 1 3
3x 4 y 5z 1
则1989x-y+25z=______． 10．已知3x2+4x-7=0，则6x4+11x3-7x2-3x-7=______．
一、选择题
答案与提示
提示： 1．因为所求角α=5(90°-α),解得α=75°．故选(B)． 2．因为2的平方是4，4的平方根有2个，就是±2．故选(C)． 3．以x=1代入，得a0-a1+a0-a1-a1+a1-a0+a1-a0+a1=2a0-3a1+3a1-2a0=0．故选(A)．
1． △ABC中，∠CAB ∠B=90°，∠C的平分线与AB交于L，∠C的外角平分线与BA
的延长线交于N．已知CL=3，则CN=______．
2．若 a 1 (ab 2)2 0 ,那么
1
1
ab (a 1)(b 1)
1
的值是_____.
(a 1990)(b 1990)
3．已知a，b，c满足a+b+c=0，abc=8，则c的取值范围是______．

全国“希望杯”八年级数学竞赛试题(第一届至第二十二届)【含答案】

希望杯第一届（1990年）初中二年级第一试试题一、选择题:（每题1分，共10分）1．一个角等于它的余角的5倍，那么这个角是 ( )A ．45°.B ．75°.C ．55°.D ．65°2．2的平方的平方根是 ( )A ．2.B ．2. C ．±2. D ．43．当x=1时，a 0x 10-a 1x 9+a 0x 8-a 1x 7-a 1x 6+a 1x 5-a 0x 4+a 1x 3-a 0x 2+a 1x 的值是( ) A ．0B ．a 0.C ．a 1D ．a 0-a 14. ΔABC,若AB=π27则下列式子成立的是( )A ．∠A ＞∠C ＞∠B;B ．∠C ＞∠B ＞∠A;C ．∠B ＞∠A ＞∠C;D ．∠C ＞∠A ＞∠B 5．平面上有4条直线，它们的交点最多有( ) A ．4个B ．5个.C ．6个.D ．76．725-的立方根是[ ]（A ）12-. （B ）21-.（C ）)12(-±. （D ）12+. 7．把二次根式a a 1-⋅化为最简二次根式是[ ](A) a . (B)a -. (C) a --. (D) a -8．如图1在△ABC 中，AB=BC=CA ，且AD=BE=CF ，但D ，E ，F 不是AB ，BC ，CA 的中点．又AE ，BF ，CD 分别交于M ，N ，P ，如果把找出的三个全等三角形叫做一组全等三角形，那么从图中能找出全等三角形( ) A ．2组B ．3组.C ．4组D ．5组。

9.已知 1112111222222--÷-+++-⨯--++x y x y xy y y x y xy x 等于一个固定的值，则这个值是( ) A ．0.B ．1.C ．2.D ．4.把f 1990化简后，等于 ( ) A ．1-x x . B.1-x. C.x1. D.x.二、填空题（每题1分，共10分） 1..________6613022=-2.().__________125162590196.012133=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+÷- 3.89850-+=________.4．如图2，∠A=60°，∠1=∠2，则∠ABC 的度数是______．5．如图3,O 是直线AB 上一点,∠AOD=117°,∠BOC=123°,则∠COD 的度数是____度． 6．△ABC 中，∠C=90°，∠A 的平分线与∠B 的平分线交于O 点，则∠AOB 的度数是______度．7．计算下面的图形的面积（长度单位都是厘米）（见图4）.答：______． 8．方程x 2+px+q=0，当p ＞0，q ＜0时，它的正根的个数是______个． 9．x ，y ，z 适合方程组826532113533451x y z x z x yx y z x y x y z -+++⎧=-⎪⎪++-+⎪+=⎨⎪+=-⎪⎪⎩则1989x-y+25z=______．10．已知3x 2+4x-7=0，则6x 4+11x 3-7x 2-3x-7=______．答案与提示一、选择题提示：1．因为所求角α=5(90°-α),解得α=75°．故选(B)．2．因为2的平方是4，4的平方根有2个，就是±2．故选(C)．3．以x=1代入，得a0-a1+a0-a1-a1+a1-a0+a1-a0+a1=2a0-3a1+3a1-2a0=0．故选(A)．＜3，根据大边对大角，有∠C＞∠B＞∠A．5．如图5，数一数即得．又因原式中有一个负号．所以也不可能是(D)，只能选(A)．7．∵a＜0，故选(C)．8．有△ABE，△ABM，△ADP，△ABF，△AMF等五种类型．选(D)．9．题目说是一个固定的值，就是说：不论x，y取何值，原式的值不变．于是以x=y=0代入，得：故选(B)．故选(A)．二、填空题提示：4．∠ADC=∠2+∠ADB=∠1+∠ADB=180°--∠A=120° 所以∠ADC 的度数是120度． 5．∠COD 度数的一半是30度．8．∵Δ=p 2-4q ＞p 2．9．方程组可化简为：解得： x=1，y=-1，z=0． ∴1989x-y+25z=1990．10．∵6x 4+11x 3-7x 2-3x-7=(3x 2+4x-7)(2x 2+x+1)而3x 2+4x-7=0．希望杯第一届（1990）第二试试题一、选择题:（每题1分，共5分）1.等腰三角形周长是24cm ，一腰中线将周长分成5∶3的两部分，那么这个三角形的底边长是[ ] A ．7.5B ．12.C ．4.D ．12或42.已知P=2)1989(11991199019891988-++⨯⨯⨯，那么P 的值是[ ] A ．1987B ．1988.C ．1989D ．19903．a ＞b ＞c ，x ＞y ＞z ，M=ax+by+cz ，N=az+by+cx ，P=ay+bz+cx ，Q=az+bx+cy ，则[ ] A ．M ＞P ＞N 且M ＞Q ＞N. B ．N ＞P ＞M 且N ＞Q ＞MC ．P ＞M ＞Q 且P ＞N ＞Q.D ．Q ＞M ＞P 且Q ＞N ＞P4．凸四边形ABCD 中，∠DAB=∠BCD=900, ∠CDA ∶∠ABC=2∶1,AD ∶CB=1∶3,则∠BDA=[ ] A ．30°B ．45°.C ．60°.D ．不能确定5．把一个边长为1的正方形分割成面积相等的四部分，使得在其中的一部分内存在三个点，以这三个点为顶点可以组成一个边长大于1的正三角形，满足上述性质的分割[ ]A ．是不存在的.B ．恰有一种.C ．有有限多种，但不只是一种.D ．有无穷多种二、填空题:（每题1分，共5分）1． △ABC 中，∠CAB ∠B=90°，∠C 的平分线与AB 交于L ，∠C 的外角平分线与BA的延长线交于N ．已知CL=3，则CN=______． 2． 21(2)0a ab -+-=,那么111(1)(1)(1990)(1990)ab a b a b ++++++的值是_____.3．已知a ，b ，c 满足a+b+c=0，abc=8，则c 的取值范围是______．4． ΔABC 中, ∠B=30053三个两两互相外切的圆全在△ABC 中，这三个圆面积之和的最大值的整数部分是______．5．设a,b,c 是非零整数,那么a b c ab ac bc abc a b c ab ac bc abc++++++的值等于_________.三、解答题:（每题5分，共15分）1．从自然数1，2，3…，354中任取178个数，试证：其中必有两个数，它们的差是177．2．平面上有两个边长相等的正方形ABCD 和A ＇B ＇C ＇D ＇，且正方形A ＇B ＇C ＇D ＇的顶点A ＇在正方形ABCD 的中心．当正方形A ＇B ＇C ＇D ＇绕A ＇转动时，两个正方形的重合部分的面积必然是一个定值．这个结论对吗？证明你的判断．3．用1，9，9，0四个数码组成的所有可能的四位数中，每一个这样的四位数与自然数n之和被7除余数都不为1，将所有满足上述条件的自然数n由小到大排成一列n1＜n2＜n3＜n4……，试求：n1·n2之值．答案与提示一、选择题提示：1．若底边长为12．则其他二边之和也是12，矛盾．故不可能是(B)或(D)．又：底为4时，腰长是10．符合题意．故选(C)．=19882+3×1988+1-19892=(1988+1)2+1988-19892=19883．只需选a=1，b=0，c=-1，x=1，y=0，z=-1代入，由于这时M=2，N=-2，P=-1，Q=-1．从而选(A)．4．由图6可知：当∠BDA=60°时，∠CDB5．如图7按同心圆分成面积相等的四部分．在最外面一部分中显然可以找到三个点，组成边长大于1的正三角形．如果三个圆换成任意的封闭曲线，只要符合分成的四部分面积相等，那么最外面部分中，仍然可以找到三个点，使得组成边长大于1的正三角形．故选(D)．二、填空题提示：1．如图8：∠NLC=∠B+∠1=∠CAB-90°+∠1=∠CAB-∠3 =∠N．∴NC=LC=3．5．当a，b，c均为正时，值为7．当a，b，c不均为正时，值为-1．三、解答题1．证法一把1到354的自然数分成177个组：(1，178)，(2，179)，(3，180)，…，(177，354)．这样的组中，任一组内的两个数之差为177．从1~354中任取178个数，即是从这177个组中取出178个数，因而至少有两个数出自同一个组．也即至少有两个数之差是177．从而证明了任取的178个数中，必有两个数，它们的差是177．证法二从1到354的自然数中，任取178个数．由于任何数被177除，余数只能是0，1，2，…，176这177种之一．因而178个数中，至少有两个数a，b的余数相同，也即至少有两个数a，b之差是177的倍数，即a b=k×177．又因1~354中，任两数之差小于2×177=354．所以两个不相等的数a，b之差必为177．即a b=177．∴从自然数1，2，3，…，354中任取178个数，其中必有两个数，它们的差是177．2．如图9，重合部分面积S A＇EBF是一个定值．证明：连A＇B，A＇C，由A＇为正方形ABCD的中心，知∠A＇BE=∠A＇CF=45°．又，当A＇B＇与A＇B重合时，必有A＇D＇与A＇C重合，故知∠EA＇B=∠FA＇C．在△A＇FC和△A＇EB中，∴S A＇EBF=S△A＇BC．∴两个正方形的重合部分面积必然是一个定值．3．可能的四位数有9种：1990，1909，1099，9091，9109，9910，9901，9019，9190．其中 1990=7×284+2，1909=7×272+5．1099=7×157,9091=7×1298+5,9109=7×1301+2,9910=7×1415+5，9901=7×1414+3，9019=7×1288+3，9190=7×1312+6．即它们被7除的余数分别为2，5，0，5，2，5，3，3，6．即余数只有0，2，3，5，6五种．它们加1，2，3都可能有余1的情形出现．如0+1≡1，6+2≡1，5+3≡(mod7)．而加4之后成为：4，6，7，9，10，没有一个被7除余1，所以4是最小的n．又：加5，6有：5+3≡1，6+2≡1．(mod7)而加7之后成为7，9，10，12，13．没有一个被7除余1．所以7是次小的n．即 n1=4，n2=7∴ n1×n2=4×7=28．第二届（1991年）初中二年级第一试试题一、选择题:（每题1分，共15分）1．如图1，已知AB=8，AP=5，OB=6，则OP的长是[ ]A．2; B．3; C．4; D．52．方程x2-5x+6=0的两个根是[ ]A．1，6 ; B．2，3; C．2，3; D．1，63．已知△ABC是等腰三角形，则[ ]A．AB=AC;B．AB=BC;C．AB=AC或AB=BC;D．AB=AC或AB=BC或AC=BC344134b c-==+,则a,b,c的大小关系是[ ]A．a＞b＞c B．a=b=c C．a=c＞b D．a=b＞c5.若a≠b,则[ ]6．已知x，y都是正整数，那么三边是x，y和10的三角形有[ ]A．3个B．4个; C．5个D．无数多个7．两条直线相交所成的各角中，[ ]A．必有一个钝角;B．必有一个锐角;C．必有一个不是钝角;D．必有两个锐角8．已知两个角的和组成的角与这两个角的差组成的角互补，则这两个角 [ ]A．一个是锐角另一个是钝角;B．都是钝角;C．都是直角;D．必有一个角是直角9．方程x2+|x|+1=0有[ ]个实数根．A．4; B．2; C．1; D．010．一个两位数，用它的个位、十位上的两个数之和的3倍减去-2，仍得原数，这个两位数是[ ]A．26; B．28; C．36; D．3811．若11个连续奇数的和是1991，把这些数按大小顺序排列起来，第六个数是[ ] A．179; B．181; C．183; D．18512.1,>+等于[ ]A．2x+5 B．2x-5; C．1 D．113．方程2x5+x4-20x3-10x2+2x+1=0有一个实数根是[ ]14．当a＜-1时，方程(a3+1)x2+(a2+1)x-(a+1)=0的根的情况是 [ ]A．两负根;B．一正根、一负根且负根的绝对值大(1)BOC ．一正根、一负根且负根的绝对值小;D ．没有实数根15．甲乙二人，从M 地同时出发去N 地．甲用一半时间以每小时a 公里的速度行走，另一半时间以每小时b 公里的速度行走；乙以每小时a 公里的速度行走一半路程，另一半路程以每小时b 公里的速度行走．若a ≠b 时，则[ ]到达N 地． A ．二人同时; B ．甲先;C ．乙先;D ．若a ＞b 时，甲先到达，若a ＜b 时，乙先二、填空题:（每题1分，共15分）1．一个角的补角减去这个角的余角，所得的角等于______度． 2.有理化分母=______________.3.0x =的解是x=________. 4．分解因式：x 3+2x 2y+2xy 2+y 3=______．5．若方程x 2+(k 2-9)x+k+2=0的两个实数根互为相反数，则k 的值是______．6．如果2x 2-3x-1与a(x-1)2+b(x-1)+c 是同一个多项式的不同形式,那么a bc+=__.7．方程x 2-y 2=1991有______个整数解．8．当m______时，方程(m-1)x 2+2mx+m-3=0有两个实数根．9．如图2，在直角△ABC 中，AD 平分∠A ，且BD ∶DC=2∶1，则∠B 等于______度．CBAFFEDCBA(2) (3) (4)10．如图3，在圆上有7个点，A ，B ，C ，D ，E ，F ，和G ，连结每两个点的线段共可作出__条． 11．D ，E 分别是等边△ABC 两边AB ，AC 上的点，且AD=CE ，BE 与CD 交于F ，则∠BFC 等于__度． 12．如图4，△ABC 中，AB=AC=9，∠BAC=120°，AD 是△ABC 的中线，AE 是△ABD 的角平分线，DF ∥AB 交AE 延长线于F ，则DF 的长为______．13．在△ABC 中，AB=5，AC=9，则BC 边上的中线AD 的长的取值范围是______．14．等腰三角形的一腰上的高为10cm ，这条高与底边的夹角为45°，则这个三角形的面积是______．15．已知方程x 2+px+q=0有两个不相等的整数根，p ，q 是自然数，且是质数，这个方程的根是______．答案与提示一、选择题提示：1．∵OP=OB-PB=OB-(AB-AP)=6-(8-5)=3．∴选(B)．2．∵以2，3代入方程，适合．故选(B)．3．∵有两条边相等的三角形是等腰三角形．∴选(D)．4．∵a=1，b=-1，c=1．∴选(C)．6．∵x=y＞5的任何正整数，都可以和10作为三角形的三条边．∴选(D)．7．两直线相交所成角可以是直角，故而(A)，(D)均不能成立．∴选(C)．8．设两个角为α,β.则(α+β)+(α-β)=180°,即α=90°．故选(D)．9．∵不论x为何实数，x2+|x|+1总是大于零的．∴选(D)．即7a=2b+2，可见a只能为偶数，b+1是7的倍数．故取(A)．11．设这11个连续奇数为：2n+1，2n+3，2n+5，…，2n+21．则(2n+1)+(2n+3)+(2n+5)+…+(2n+21)=1991．即 11(2n+11)=1991．解得n=85．∴第六个数是2×85+11=181．故选(B)．∴选(A)．13．原方程可化为(2x5-20x3+2x)+(x4-10x2+1)=0．即 (2x+1)(x4-10x2+1)=0．即 x4-10x2+1=0．故取(C)．14．a＜-1时，a3+1＜0，a2+1＞0，a+1＜0．而若方程的两根为x1，x2，则有15．设M，N两地距离为S，甲需时间t1，乙需时间t2，则有∴t1＜t2，即甲先．另外：设a=1，b=2，则甲走6小时，共走了9公里，这时乙走的时间为从这个计算中，可以看到，a，b的值互换，不影响结果．故取(B)．二、填空题提示：1．设所求角为α，则有(180°-α)-(90°-α)=90°．4．x3+2x2y+2xy3+y3=(x3+y3)+(2x2y+2xy2)=(x+y)(x2-xy+y2)+2xy(x+y)=(x+y)(x2+xy+y2)5．设二根为x1，-x1，则x1+(-x1)=-(k2-9)．即k2-9=0．即k=±3．又，要有实数根，必须有△≥0．即 (k2-9)2-4(k+2)＞0．显然 k=3不适合上面的不等式，∴k=-3．6．由2x2-3x-1=a(x+1)2+b(x-1)+c是恒等式，故由x=1代入，得c=-2；x2项的系数相等，有a=2，这时再以x=0代入，得-1=a-b+c．即b=1．7．x2-y2=1991，(x-y)(y+x)=11×181可以是9．BD∶DC=2∶1，故有AB∶AC=2∶1，直角三角形斜边与直角边之比为2∶1，则有∠B=30°．10．从A出发可连6条，从B出发可连5条，（因为BA就是AB），从C出发可连4条，…，从F出发可连一条．共计1+2+3+4+5+6=21（条）．另法：每个点出发均可连6条，共有42条．但每条都重复过一次，11．如图28．∠F=∠1+∠A+∠2．又：△ADC≌△CEB．∴∠1=∠3．∴∠F=∠3+∠A+∠2=∠B+∠A=120°．12．△ABC是等腰三角形，D为底边的中点，故AD又是垂线，又是分角线，故∠BAD=60°，∠ADB=90°．又：AE是分角线，故∠DAE=∠EAB=30°．又：DF∥AB，∴∠F=∠BAE=30°．在△ADF中，∠DAF=∠F=30°．∴AD=DF．而在△ADB中，AB=9，∠B=30°．13．∵4＜BC＜14．∴当BC为4时，BD=CD=2，AD＜7．当BC=14时，BC=CD=7，有AD＞2．∴2＜AD＜7．14．等腰三角形一腰上的高与底边的夹角是45°，则顶角是90°，高就是腰，其长为10cm．15．设两根为x1，x2．则x1+x2=-p① x1x2=q②由题设及①，②可知，x1，x2均为负整数．q为质数，若q为奇数，则x1，x2均为奇数．从而p为偶数，而偶质数只有2，两个负整数之和为-2，且不相等，这是不可能的．若q为偶数（只能是2），两个负整数之积为2，且不相等，只能是-1和-2．∴方程的根是-1和-2．希望杯第二届（1991年）初中二年级第二试试题一、选择题:（每题1分，共10分）1．如图29，已知B是线段AC上的一点，M是线段AB的中点，N为线段AC的中点，P为NA的中点，Q为MA的中点，则MN∶PQ等于( )A．1 ; B．2; C．3; D．42．两个正数m，n的比是t(t＞1)．若m+n=s，则m，n中较小的数可以表示为( )A.ts; Bs-ts; C.1tss+; D.1st+.3.y>0时,3x y-等于( )4．(x+a)(x+b)+(x+b)(x+c)+(x+c)(x+a)是完全平方式，则a ，b ，c 的关系可以写成( ) A ．a ＜b ＜c. B ．(a-b)2+(b-c)2=0. C ．c ＜a ＜b. D ．a=b ≠c 5．如图30，AC=CD=DA=BC=DE ．则∠BAE 是∠BAC 的 ( ) A ．4倍.B ．3倍.C ．2倍.D ．1倍6．D 是等腰锐角三角形ABC 的底边BC 上一点，则AD ，BD ，CD 满足关系式( ) A.AD 2=BD 2+CD 2. B ．AD 2＞BD 2+CD 2. C ．2AD 2=BD 2+CD 2. D ．2AD 2＞BD 2+CD 2 7.方程2191()1010x x -=+的实根个数为( ) A ．4 B ．3. C ．2 D ．18.能使分式33x y y x-的值为x 2、y 2的值是( )A.x 2，y 22y 2;C. x 2，y 2; D. x 2y 2.9．在整数0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中，设质数的个数为x ，偶数的个数为y ，完全平方数的个数为z ，合数的个数为u ．则x+y+z+u 的值为 ( ) A ．17B ．15.C ．13D ．1110．两个质数a ，b ，恰好是x 的整系数方程x 2-21x+t=0的两个根,则b aa b+等于( ) A.2213; B.5821; C.240249; D.36538.二、填空题（每题1分，共10分）1.1989×19911991-1991×19891988=______．2.分解因式:a 2+2b 2+3c 2+3ab+4ac+5bc=______．3.(a 2+ba+bc+ac):[(b 2+bc+ca+ab):(c 2+ca+ab+bc)]的平方根是______．4．边数为a ，b ，c 的三个正多边形，若在每个正多边形中取一个内角,其和为1800,那么111a b c++=_________. 5.方程组51x ay y x +=⎧⎨-=⎩有正整数解,则正整数a=_______.6.从一升酒精中倒出13升,再加上等量的水,液体中还有酒精__________升;搅匀后,再倒出13升混合液,并加入等量的水, 搅匀后,再倒出13升混合液, 并加入等量的水,这时,所得混合液中还有______升酒精.7．如图31，在四边形ABCD 中．AB=6厘米，BC=8厘米，CD=24厘米，DA=26厘米．且∠ABC=90°，则四边形ABCD 的面积是______． 8．如图32，∠1+∠2+∠3∠4+∠5+∠6=______． 9.2243x x +++的最小值的整数部分是______.10．已知两数积ab ≠1．且2a 2+1234567890a+3=0,3b 2+1234567890b+2=0,则ab=______. 三、解答题:（每题5分，共10分，要求：写出完整的推理、计算过程，语言力求简明，字迹与绘图力求清晰、工整）1. 已知两个正数的立方和是最小的质数．求证：这两个数之和不大于2．2．一块四边形的地（如图33）(EO ∥FK ，OH ∥KG)内有一段曲折的水渠，现在要把这段水渠EOHGKF 改成直的．（即两边都是直线）但进水口EF 的宽度不能改变，新渠占地面积与原水渠面积相等，且要尽可能利用原水渠，以节省工时．那么新渠的两条边应当怎么作？写出作法，并加以证明．答案与提示一、选择题提示：3．由y＞0，可知x＜0．故选(C)．4．容易看到a=b=c时，原式成为3(x+a)2，是完全平方式．故选(B)．5．△ACD是等边三角形,△BCA和△ADE均为等腰三角形.故知∠BAC=30°,而∠BAE=120°,所以选(A)．6．以等边三角形为例，当D为BC边上的中点时，有AD2＞BD2+CD2，当D为BC边的端点时，有AD2=BD2+CD2，故有2AD2＞BD2+CD2．故选(D)．故选(C)．∴选(C)．9．∵x=4，y=5，z=4，u=4．∴选(A)．10．由a+b=21，a，b质数可知a，b必为2与19两数．二、填空题提示：1．1989×19911991-1991×19891988=1989(1991×104+1991)-1991(1989×104+1988)=1989×1991-1991×1988=1991．2．原式=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca+b2+2c2+ab+2ac+3bc=(a+b+c)2+(b+c)(b+2c)+a(b+2c)=(a+b+c)2+(b+2c)(a+b+c)=(a+b+c)(a+2b+3c)．3．原式=(a+c)(a+b)∶[(b+a)(b+c)∶(c+a)(c+b)]∴平方根为±(a+c)．4．正多边形中，最小内角为60°，只有a，b，c均为3时，所取的内角和才可能为180°．5．两式相加有(1+a)y=6，因为a，y均为正整数，故a的可能值为5，这时y=1，这与y-x=1矛盾，舍去；可能值还有a=2，a=1，这时y=2，y=3与y-x=1无矛盾．∴a=1或2．7．在直角三角形ABC中，由勾股定理可知AC=10cm，在△ADC中，三边长分别是10，24，26，由勾股定理的逆定理可△ADC为直角三角形．从而有面积为8．∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6，正好是以∠2，∠3，∠5为3个内角的四边形的4个内角之和．∴和为360°．10．由已知条件可知a是方程2x2+1234567890x+3=0的一个根，b是方程3y2+1234567890y+2=0的一个根，后者还可以看成：三、解答题1．设这两个正数为a，b．则原题成为已知a3+b3=2，求证a+b≤2．证明（反证法）：若a+b＞2由于a3+b3=2，必有一数小于或等于1，设为b≤1，→a＞2b，这个不等式两边均为正数，→a3＞(2-b)3．→a3＞8-12b+6b2-b3．→a3+b3＞8-12b+6b2．→6b2-12b+6＜0．→b2-2b+1＜0．→(b-1)2＜0．矛盾．∴a+b≤2．即本题的结论是正确的．2．本题以图33为准．由图34知OK∥AB，延长EO和FK，即得所求新渠．这时，HG=GM（都等于OK），且OK ∥AB，故△OHG的面积和△KGM的面积相同．即新渠占地面积与原渠面积相等．而且只挖了△KGM这么大的一块地．我们再看另一种方法，如图35．作法：①连结EH，FG．②过O作EH平行线交AB于N，过K作FG平行线交于AB于M．③连结EN和FM，则EN，FM就是新渠的两条边界线．又：EH∥ON∴△EOH面积=△FNH面积．从而可知左半部分挖去和填出的地一样多，同理，右半部分挖去和填出的地也一样多．即新渠面积与原渠的面积相等．由图35可知，第二种作法用工较多（∵要挖的面积较大）．故应选第一种方法。

第二十二届“希望杯”全国数学邀请赛厦门市八年级获奖情况公布

初二初二初二初二初二初二初二初二初二初二初二初二初二初二初二初二初二初二初二初二初二初二初二初二初二初二初二初二初二初二初二初二初二初二初二初二初二初二初二初二初二初二初二初二初二初二初二
厦门外国语学校肖宜厦门外国语学校郑润丰厦门双十中学张煜风厦门双十中学王晨霖厦门十一中张宇辰厦门一中吴凡厦门一中曾正厦门一中游路加厦门一中吴品萱厦门同安一中陈秀梅厦门同安一中高恬厦门同安一中林薇厦门同安一中黄雅兰厦门同安一中洪妍厦门同安一中张剑岚厦门同安一中邵禹铭厦门翔安一中郭增佳厦门英才学校方艺鸿厦门五缘实验学校纪聪杰厦门五缘实验学校江薇厦门五缘实验学校曾昊厦门外国语学校陈轲厦门外国语学校曲玥玥厦门外国语学校黄宇厦门双十中学白若泰厦门市莲花中学王维厦门市湖里区蔡塘学校郑晓婷厦门市槟榔中学荆远方厦门九中卜昕月厦门一中陈见淳厦门一中陈嘉琪厦门一中许文熙厦门一中郑佳欣厦门第六中学涂锦程厦门第六中学李欧阳厦门第六中学刘雅文厦门大同中学（兴华校区）姚毓群厦门同安一中张睿厦门市启悟中学苏文宇厦门五缘实验学校刘航尔厦门外国语学校陈思曲厦门外国语学校阮聪逸厦门市汀溪中学叶栋梓厦门一中李途越厦门一中康梓屹厦门五中罗蔚榕厦门五缘实验学校刘豪
全国三等奖全国三等奖全国三等奖全国三等奖全国三等奖全国三等奖全国三等奖全国三等奖全国三等奖全国三等奖全国三等奖全国三等奖全国三等奖全国三等奖全国三等奖全国三等奖全国三等奖全国三等奖全国三等奖全国三等奖全国三等奖全国三等奖全国三等奖全国三等奖全国三等奖全国三等奖全国三等奖全国三等奖全国三等奖全国三等奖全国三等奖全国三等奖全国三等奖全国三等奖全国三等奖全国三等奖全国三等奖全国三等奖全国三等奖全国三等奖全国三等奖全国三等奖全国三等奖全国三等奖全国三等奖全国三等奖全国三等奖

初二第22届希望杯”一试试题+解析

第二十二届“希望杯”全国数学邀请赛初二第1试一、选择题(每小题4分，共40分)以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将正确答案前的英语字母写在1、将a 千克含盐10%的盐水配制成含盐15%的盐水，需加盐水x 千克，则由此可列出方程为( ) A 、%)151)(x a (%)101(a -+=- B 、%15)x a (%10a ⨯+=⨯ C 、%15a x %10a ⨯=+⨯ D 、%)151(x %)101(a -=-2、一辆汽车从A 地匀速驶往B 地，如果汽车行驶的速度增加a%，则所用的时间减少b%，则a ，b 的关系是( ) A 、%a 1a 100b +=B 、%a 1100b +=C 、a 1a b +=D 、a100a100b +=3、当1x ≥时，不等式|2x |m 1x |1x |--≥-++恒成立，那么实数m 的最大值是( ) A 、1 B 、2 C 、3 D 、44、在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点，已知k 为整数，若函数1x 2y -=与k kx y +=的图象的交点是整点，则k 的值有( )A 、2个B 、3个C 、4个D 、5个5、The sum of all such integers x that satisfy inequality 6|1x 2|2≤-≤ is ( ) A 、8 B 、5 C 、2 D 、0(英汉词典：sum 和；integer 整数；satisfy 满足；inequality 不等式)6、若三角形的三条边的长分别为a ，b ，c ，且0b c b c a b a 3222=-+-，则这个三角形一定是( ) A 、等腰三角形 B 、直角三角形 C 、等三角形 D 、等腰直角三角形7、As shown in figure 1，point C is on the segment BG and quadrilateral ABCD is a square. AG intersects BD and CD at points E and F, respectively. If AE=5 and EF=3, then FG=( ) A 、316 B 、38C 、4D 、5 (英汉词典：square 正方形；intersect …at … 与…相交于…) 8、1215-能分解成n 个质因数的乘积，n 的值是( ) A 、6 B 、5 C 、4 D 、3 9、若关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧=+-=++0a y 2bx 01ay x 没有实数解，则( )A 、2ab -=B 、2ab -=且1a ≠C 、2ab -≠D 、2ab -=且2a ≠10、如图2，∠AOB=45°，OP 平分∠AOB ，PC ⊥OB 于点C ，若PC=2，则OC 的长是( )A 、7B 、6C 、222+D 、32+二、A 组填空题(每小题4分，共40分) 11、化简：5252549+=++；12、若关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧=--=+2y 3x 21k y 2x 3的解使2y 7x 4>+，则k 的取值范围是3k >；figure 1A O BP C 2 图213、如图3，平行于BC 的线段MN 把等边△ABC 分成一个三角形和一个四边形，已知△AMN 和四边形MBCN 的周长相等，则BC 与MN 的长度之比是 4:3 ；14、小华测得自家冰箱的压缩机运转很有规律，每运转5分钟，停机15分钟，再运转5分钟，再停机15分钟，……，又知8月份这台冰箱的耗电量是24.18度 (1度=1千瓦时)，则这台冰箱的压缩机运转时的功率是 130 瓦；15、已知自然数a ，b ，c ，满足c 12b 4a 442c b a 222++<+++和02a a 2>--，则代数式c1b 1a 1++的值是 1； 16、已知A 、B 是反比例函数x2y =的图象上的两点，A 、B 的横坐标分别是3，5.设O 为原点，则△AOB 的面积是1516；17、设完全平方数A 是11个连续整数的平方和，则A 的最小值是 121 ；18、将100个连续的偶数从小到大排成一行，其中第38个数与第63个数的和为218，则首尾两个数的和是 218 ； 19、A 、B 两地相距15km ，甲、乙两人同时从A 出发去B 。

第 27届“希望杯”全国数学邀请赛初二1试解析

第27届“希望杯”全国数学邀请赛初二1试解析一、选择题1、【解析】A ，B 选项SSA 不能判定全等；C 明显不是判定全等的条件，D 项正确，选D .2、【解析】由3-=x y 与k kx y -=，得ky k x -+-=-+=122121，，∵交点为整点，∴k 可取1-，0，2，3，共计4个不同的值，故选B .3、【解析】由题可得混合后男女生的比为23:22)1112(:)1210(=++，故选D .4、【解析】解不等式2|1|＞+x ，得1＞x 或3-＜x ；解不等式)0(||≥≤a a x ，得a x a ≤≤-，∵它们的解集没有公共部分，∴1≤a 且3-≥-a ，∴10≤≤a ，故选A .5、【解析】解不等式组，得5＜x 且21m x -＞，∵要满足不等式组只有四个整数解，∴需要满足以下关系：1210＜m -≤，解得11≤-m ＜，故选C .6、【解析】∵ED AE =，∴A EDA ∠=∠，∴A A EDA DEB ∠=∠+∠=∠2；∵DB ED =，∴A DEB DBE ∠=∠=∠2，∴A DBE A CDB ∠=∠+∠=∠3；∵CD BC =，∴A CBD CDB ∠=∠=∠3，∴A CBD DBE ABC ∠=∠+∠=∠5；∵AC AB =，∴A ABC C ∠=∠=∠5，∴︒=∠=∠+∠+∠18011A ABC C A ，∴11180︒=∠A ，故选D .7、【解析】当0=n 时，4205==A ；当1=n 时，44411==A ；当2=n 时，47619==A ；当3=n 时，411629==A ……，要使得p A +的平方根是有理数，需满足p A +是一个平方数，观察发现，有且仅有各项的分子加上5，就使各数均成为平方数，故45=p ，答案是D .8、【解析】∵504201625.0=⨯，63)42(504=⨯÷，∴动点p 回到A 点；∵7251820151⋯=÷⨯，即动点p 再从A 往原方向移动7个单位到AD 中点，故选D .9、【解析】不妨从1开始，取1，2，3，5，8，13共六个数，其中没有任何3条线段可以构成三角形，如果往其中加入任意一个141-的其它数，那么必有3可以构成一个三角形；故n 最小可取值为7，选A .10、【解析】不妨设)(2x k a C ，)00(＞，＞k a ，则ak BC BC a OB 2'===，，设'AA 的中点为D ，延长'AA 交'BC 于E ；∵A 点在xy 1=上，∴1=⋅DO AD ；易证CBO Rt ODA Rt △∽△，∴有22a k OB BC AD DO ==，∴222ak DO =，∴a k DO =，k a D A AD =='，∴k a a D A OB E A -=-=''，a k a OB AD AE +=+=，a k a k BC DO BC EB EC 2+=+=+=，ak a k EB BC EC -=-=2''；∴10'=+ECA AEC S S △△，即10))((21))((2122=--+++a k a k k a a a k a k a k a ，整理得20222=+k ，∴92=k ，∵0＞k ，∴3=k ，∴6)(21)(212122=+=+⋅=⋅=k k a k a a k AE BC S ABC△，故选B .二、A 组填空题11、【解析】∵1＞ab ，1＞bc ，1＞ca ，∴1)(2＞abc ，∴1＞abc 或1-＜abc ，∴1)(2016＞abc A =，故1＞A .12、【解析】∵A ，B 关于原点对称，∴21x x -=，21y y -=，∴221221253y x y x y x =-；∵422=y x ，∴8222=y x ，即8531221=-y x y x .13、【解析】∵0)11()3()12(=--+--k y k x k ，∴0)113()12(=-+---y x y x k ∴⎩⎨⎧=-+=--0113012y x y x ，解得⎩⎨⎧==32y x ，∵无论k 取何值，当32==y x ，时，关于x 的一次函数的值恒为零，∴不论k 取何值，关于x 的一次函数0)11()3()12(=--+--k y k x k 的图象必经过点)32(，.14、【解析】设a =+⋯⋯+++2016131211，原式20161)201611()20161)(1(=-----=a a a a .15、【解析】根据题意，三角形三边长可以有以下情形：16153，，，16144，，，15145，，，16135，，，15136，，，16126，，，14137，，，15127，，，16117，，，14128，，，15118，，，16108，，，13129，，，14119，，15109，，，131110，，，故有16个.16、【解析】原式2223223)1)(1()1)(1(1)1(+-+=+-+=+-++-=a a a a a a a a a a a ，∵31131=+-=+a ，33663)113324()1(222-=++--=+-a a ，∴108363)33663(3)1)(1(22-=-=+-+a a a ，∴10836312345-=+-++-a a a a a .17、【解析】易证BCE Rt AFE Rt △≌△，∴1==CE FE ，∴2222=-==AE AF AE BE ，∴122+=+=CE AE AC ，∴2422)122(2121+=⨯+⨯=⋅=BE AC S ABC △.18、【解析】40722⋯=÷，617)32(22⋯=÷+，147)432(222⋯=÷++，577)5432(2222⋯=÷+++，6127)65432(22222⋯=÷++++677)765432(222222⋯=÷+++++，297)8765432(2222222=÷++++++4407)98765432(22222222⋯=÷+++++++，∵62877)12016(⋯=÷-，∴a 除以7所得的余数是6.19、【解析】设梯形两条对角线分别为a ，b ，根据题意有16=+b a ，14422=+b a ，∴56=ab ∴28562121=⨯==ab S 梯形.20、【解析】∵20162016)2016)(2016(2222=-+=-+++x x x x x x ，∴y y x x ++=-+2016201622，∴y x -=，∴0=+y x .三、B 组填空题21、【解析】如图，易证BEC Rt ADB Rt △≌△，∴2==AD BE ，1==DB EC ，∴)25(，C ；∴)25(')32('--，，，C A ，设直线''C A 的解析式为b kx y +=，则有⎩⎨⎧-=+-=+2532b x b x ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==31131b k ，∴直线''C A 的解析式为31131-=x y .22、【解析】所有多边形的内角和是︒=︒⨯+36000360)199(；边数最多的多边形最多有103499=+条边.23、【解析】依题意有⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++=+++4141664313927212481d c b a d c b a d c b a d c b a ，解得241-=a ，125=b ，∴83=+b a ，∴85)(1=+-=+b a d c .24、【解析】∵ABC △是△Rt ，∴①222c b a =+，∵0111=+--ba b a ，∴②ab a b =-22，②①+得③ab c b +=222，①②-得④ab c a -=222；④③⨯得2222245210(b a b a =-+，∴252+=ab 或252--=ab 舍去，将252+=ab 代入④解得2=a 或2-=a 舍去；∴1521+==ab S ABC △.25、【解析】如图，将CDM △绕点D 顺时针旋转︒60得到EDN △，连接AM ，MN ，则EN CM =，∵ND MD =，︒=∠60MDN ，∴MDN △是等边三角形，∴MN MD =；∵CM 与AM 关于BD 对称，∴CM AM =，∴当E 、N 、M 、A 共线时，AE NE AM MN MC MD =++=+2(最小)，此时︒=∠=∠=∠60DMN BMA BMC ，作DA EF ⊥交AD 的延长线于F ，则︒=∠90F ，由旋转可得︒=∠60CDE ，2==ED CD ，∴︒=︒-︒=∠306090EDF ，∴在DEF Rt △中，2221==DE FE ，∴2622=-=EF DE DF ，∴262+=+=DF AD AF ；∴AEF Rt △中，22EF AF AE +=22)22()262(++=13+=.故答案为：13+，︒60.。

第14届“希望杯”全国数学邀请赛试卷(初二1)试题和详解

6，midline for hypotenuse（斜边）is 1，then
AC•BC= _________ ． 17、如图，两点 A、B 在直线 MN 外的同侧，A 到 MN 的距离 AC=8，B 到 MN 的距离 BD=5， CD=4，P 在直线 MN 上运动，则|PA﹣PB|的最大值等于 _________ ．
18、如图，等腰梯形 ABCD 中，AB∥CD，∠DAB=60°，AC 平分∠DAB，且 AC=2 ABCD 的周长等于 _________ ．
3边形 ABCDEF、 PQRSTU，其中点 P 位于正六边形 ABCDEF 的中心，如果它们的面积均为 1，则阴影部分的面积是 _________ ．
1 2
）
A、90° B、100° C、110° D、120° 10、2002 年 9 月 28 日，“希望杯”组委会第二次赴俄考查团启程，途经哈巴罗夫斯克和莫斯科，两地航程约 9000 千米，往返飞行所用的时间并不相同，这是因为在北半球的高纬度地区，有一股终年方向恒定的西风，人们称它为“高空西风带”．已知往返飞行的时间相差 1.5 小时，飞机在无风天气的平均时速为每小时 1000 千米，那么西风速度最接近（） A、60 千米/小时 B、70 千米/小时 C、80 千米/小时 D、90 千米/小时二、填空题（共 15 小题，满分 100 分） 11、设 0＜x＜1＜y＜2，则
��﹣�� ≥ 0 ��﹣�� ≥ 0
，
1 ��﹣1 1 ��﹣�� + ��﹣�� + ��﹣ �� =0+0+ �� =1﹣��．
故选 A．点评：本题主要考查了二次根式的意义和性质．

第七届“希望杯”全国数学邀请赛初二第1试(1996年)

第七届“希望杯”全国数学邀请赛初二第1试一、选择题:1.下列各式中与分式a a b --的值相等的是（） A.a a b ---；B.a a b +；C.a b a -；D.a b a--； 2．一个角的补角的一半比这个角的余角的2倍小3︒，那么这个角等于（）A ．58︒；B ．59︒；C ．60︒；D ．61︒；3．如图23，//,//,AB CD AC DB AD 与BC 交于,O AE BC ⊥于,E DF BC ⊥于F ，那么图中全等的三角形有（）A ．5对；B ．6对；C ．7对；D ．8对；4.设19961995199519961995199619961995,,,1995199619951996a b c d ====，则下列不等关系中成立的是（） A ．a b c d >>>；B ．c a d b >>>；C ．a d c b >>>；D ．a c d b >>>；5．如图24，已知在ABC ∆中，,AB AC BAC =∠和ACB ∠的平分线相交于D 点，130ADC ∠=︒，那么CAB ∠的大小是（）A ．80︒；B ．50︒；C ．40︒；D ．20︒；6．已知一个三角形中两条边的长分别为,a b ，且a b >，那么这个三角形的周长l 的取值范围是（）A ．33a l b >>；B ．2()2a b l a +>>；C ．22a b l b a +>>+；D ．32a b l a b ->>+； 7.若111::2:3:4a b c=，则::a b c 等于（） A ．4:3:2；B ．6:4:3；C ．3:4:2；D ．3:4:6；8．如图25，四边形ABCD 是一个梯形，//,90,9AB CD ABC AB ∠=︒=厘米，8BC =厘米，7CD =厘米，M 是AD 的中点，从M 作AD 的垂线交BC 于N ，则BN 的长等于（）A ．1厘米；B ．1.5厘米；C ．2厘米；D ．2.5厘米；9．在一家三口人中，每两个人的平均年龄加上余下一人的年龄分别得到47,61,60，那么这三个人中最大年龄与最小年龄的差是（）A ．28；B ．27；C ．26；D ．25；10.已知,,,x y a b 都是正数，且,x a a b y b<=如果x y c +=，则x 与y 中较大的一个是（） A.ab a b +；B.ab b c +；C.ac a b +；D. bc a b +；二、A 组填空题：1．因式公解：222944a b ab c -+-=________； 2．化简分式:()()()()()()b c a a b b c b c c a c a a b ++=------________； 3．已知多项式32331x ax x +++能被21x +整除，且商式是31x +，那么a 的值是________；4．关于x 的方程(23)1a x -=的根为负数，则a 的取值范围是________；5．如图26，凸四边形ABCD 的四边,,AB BC CD 和DA 的长分别是3,4,12和13,90ABC ∠=︒，则四边形ABCD 的面积S =________；6．如图27，AOB 是一条直线，60,,AOC OD OE ∠=︒分别是AOC ∠和BOC ∠的平分线，则图中互为补角关系的角共有________对；7．如果336,72a b a b +=+=，那么22a b +的值是________； 8.如果2310a a -+=，那么361a a +的值是________； 9．如图28，ABC ∆中，AD 平分,BAC AB BD AC ∠+=，则:B C ∠∠的值是________；10．如图29，已知DO 平分,ADC BO ∠平分ABC ∠，且27,33A O ∠=︒∠=︒，则C ∠的大小是________；三、B 组填空题:1.若24422x a b x x x =--+-，则22a b +的值是________； 2．已知0a b ≥>且326480a b ac b +-=+-=，则c 的取值范围是________；3．一个凸多边形有且仅有4个内角是钝角，这样的多边形的边数最多是________；4．如图30，在ABC ∆中，2,B C AD BC ∠=∠⊥于,D M 为BC 的中点，10AB =厘米，则MD 的长为________；5．已知三个质数,,m n p 的乘积等于这三个质数的和的5倍，则222m n p ++=________；答案·提示一、选择题提示：∴选C ．2．设该角为x °．3．在图23中有△ABC ≌△DCB ，△ACD ≌△DBC ，△AOB ≌△DOC ，△AOC ≌△DOB ，△AOE ≌△DOF ，△AEC ≌△DFB ，△AEB ≌△DFC ，共有7对三角形全等，选C ．∴a ＞c ＞d ＞b ，选D ．5．解法1：如图31，连接BD ，则BD 也是∠ABC 的角平分线．∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∠ADB=∠ADC=130°．∴∠BDC=360°－2×130°=100°．∴∠DCB=∠DBC=40°．∴∠ABC=∠ACB=80°．∴∠CAB=180°－2×80°=20°，选D．解法2：设∠CAB=x°，则∠B=∠ACB∴∠ACD＋∠CAD=180°－∠ADC．解得x=20°，∴选D．6．三角形中两边长为a，b，且a＞b，则第三边为C，满足条件a－b＜c＜a＋b，∴a+b+（a-b）＜a+b+c＜a+b+（a+b）．即 2a＜a+b+c＜2（a+b），∴选B8．如图32，连接AN，DN．∵M为AD中点，MN⊥AD，∴AN=DN设BN=x，则CN=8-x，∵CD2+CN2=AB2+BN2．∴72+（8-x）2=92+x2．解得x=2，∴选C．9．设三个人年龄分别是x，y，z．①+②+③得2（x+y+z）=168．∴38-10=28，选A．10．∵x，y，a，b均为正数，且a＜b，得x＜y．∴x，y中较大的数是y．二、A组填空题提示：1．因式分解9a2－4b2＋4bc－c2=9a2－（4b2－4bc＋c2）=9a2－（2b－c）2=（3a＋2b－c）（3a－2b＋c）3．由已知3x3＋ax2＋3x＋1=（x2＋1）（3x＋1）,∴3x3＋ax2＋3x＋1=3x3＋x2＋3x＋1,∴a=14．关于x的方程（2－3a）x=1的根为负数，5．连接AC，△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，根据勾股定理得AC=5．在△ACD中，AC=5，CD=12，AD=13．∵132=122＋52∴△ACD是直角三角形．∠ACD=90°．∴S四边形ABCD=S△ABC＋S△ACD6．∵∠AOC=60°，∴∠BOC=120°，又OD，OE分别是∠AOC，∠BOC的平分线，∴∠AOD=∠COD，∠BOE=∠COE=60°．有∠AOD＋∠DOB=180°，∠AOC＋∠COB=180°，∠AOE＋∠BOE=180°，∠COD＋∠DOB=180°，∠AOC＋∠AOE=180°，∠COE＋∠AOE=180°，∠BOE＋∠BOC=180°，∠COE＋∠BOC=180°，共有8组角互为补角．7．∵a＋b=6 ①,a3＋b3=（a＋b）（a2－ab＋b2）=72．∴a2－ab＋b2=12 ②①2－② 3ab=24∴ab=8 ③把③代入②得a2＋b2=20．8．∵a2－3a＋1=0，∴a2＋1=3a．∵a≠0，=3（7－1）=18．9．如图33，在AC上取AE=AB．连接DE，在△ABD和△AED中，AB=AE，∠BAD=∠EAD，AD=AD∴△ABD≌△AED．∴BD=DE，∠B=∠AED．又AC=AB＋BD，AE=AB，∴EC=BD=DE．∴∠EDC=∠C，∴∠B=∠AED=∠EDC＋∠C=2∠C．10．由已知，∠ABO=∠CBO，∠ADO=∠CDO．比较△ABG和△OGD的角的关系得∠A＋∠ABG=∠O＋∠ODG，①同理比较△OBH和△CDH得∠C＋∠CDH=∠O＋∠OBH．②①＋②得∠A＋∠C=2∠O．∴∠C=2×33°－27°=39°．三、B组填空题提示：∴a2＋b2=8．①×2－②得（6－c）a=4．∵a≥b＞c．∴6－c＞0，c＜6且4≥12－3c＞03．设这个凸多边形的边数为n，其中4个内角为钝角，n－4个内角为直角或锐角．∴（n－2）·180°＜4·180°＋（n－4）·90°∴n＜8，取n=7．当n=7时，可以作4个170°的内角，其余3个内角分别为80°，80°，60°．4．如图34，取AB中点N，连接DN，MN．在Rt△ADB中，N是斜边AB上的中点，∠NDB=∠B，在△ABC中，M，N分别是BC，AB的中点．∴MN∥AC，∠NMB=∠C．又∠NDB是△NDM的外角，∴∠NDB=∠NMD＋∠DNM．即∠B=∠NMD＋∠DNM=∠C＋∠DNM．又∠B=2∠C，∴∠DNM=∠C=∠NMD．又AB=10（厘米），∴DM=5（厘米）．5．由已知，mnp=5（m＋n＋p）．由于m，n，p均为质数，5（m＋n＋p）中含有因数5．∴m，n，p中一定有一个是5．不妨设m=5．则5np=5（5＋n＋p）．即np=5＋n＋p．∴np－n－p＋1=6即（n－1）（p－1）=6又n，p均为质数．。

第九届“枫叶新希望杯”全国数学大赛八年级试题(B卷)(解析版)

第九届“枫叶新希望杯”全国数学大赛八年级试题（B 卷）一、选择题1. 下列几种说法中：（1）无理数都是无限小数；（2）带根号的数是无理数；（3）实数分为正实数和负实数；（4）无理数包括正无理数、零和负无理数．正确的有（）A. （1）（2）（3）（4）B. （2）（3）C. （1）（4）D. 只有（1）【答案】D【解析】【分析】本题考查了无理数的知识，无限不循环小数叫无理数．无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．【详解】解：（1）无理数都是无限不循环的小数，所以（1）正确；（20=是有理数，所以（2）不对；（3）实数除了正实数和负实数外，还有0．所以（3）不对；（4）零是有理数，不是无理数，所以（4）不对．故选：D ．2. 已知一个等腰三角形的一条边长为8cm ，其中一个外角等于120°，则它的周长为（）A. 16cmB. 18cmC. 24cmD. 条件不足，无法计算【答案】C【解析】【分析】本题考查等边三角形的判定及性质．根据题意可得该三角形为等边三角形，即可求得周长．【详解】解：∵等腰三角形一个外角为120°，则内角为60°，∴该三角形为等边三角形．从而知周长为2483=×．故选：C ．3. 把一个正方形如图对折三次后沿虚线剪下两个角，则展开余下部分所得的图形想是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】此题主要考查了学生的动手操作能力，此类问题实际动手操作一下最直观．把一个正方形的纸片向上对折，向右对折，向右下方对折，从上面与下面各剪去一个等腰直角三角形，展开，看得到的图形为选项中的哪个即可．【详解】解：从折叠的图形中剪去10个等腰直角三角形，易得将从正方形纸片中剪去5个小正方形，故选：C ．4. 已知a 、b 、c 分别是ABC 的三边，则()2222224a b c a b +−−为（） A. 正数B. 负数C. 零D. 无法确定【答案】B【解析】【分析】先利用平方差公式和完全平方公式把原式分解因式得到()()()()a b c a b c a b c a b c +++−−+−−，再根据三角形中，任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边推出()22222240a b c a b +−−<即可得到答案．【详解】解：()2222224a b c a b +−−()()22222222a b ab c a b ab c =++−+−− ()()2222a b c a b c =+−−−()()()()a b c a b c a b c a b c =+++−−+−−，∵a 、b 、c 分别是ABC 的三边，∴0000a b c a b c a c b a b c ++>+−>+−>−−<，，，，∴()()()()0a b c a b c a b c a b c +++−−+−−<，∴()22222240a b c a b +−−<5. +=（）A. 2−B. 2C. −D. 【答案】D【解析】【分析】本题考查了二次根式的加减，熟练掌握二次根式的加减运算法则以及完全平方公式是解答的关键，11=++−=故选D6. 一次函数y kx b =+与正比例函数y kbx =在同一坐标系中的图象可能为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】此题主要考查了一次函数图象．根据一次函数的图象与系数的关系，由一次函数y kx b =+图象分析可得k 、b 的符号，进而可得kb 的符号，从而判断y kbx =的图象是否正确，进而比较可得答案．【详解】解： A 、由一次函数y kx b =+图象可知0k <，0b >，则0kb <；由正比例函数y kbx =的图象可知0kb <，故此选项符合题意；B 、由一次函数y kx b =+图象可知0k >，0b <；即0kb <，由正比例函数y kbx =的图象可知0kb >，矛盾，故此选项不符合题意；C 、由一次函数y kx b =+图象可知0k <，0b >；即0kb <，由正比例函数y kbx =的图象可知0kb >，矛盾，故此选项不符合题意；D 、由一次函数y kx b =+图象可知0k >，0b >；即0kb >，由正比例函数y kbx =的图象可知0kb <，矛盾，故此选项不符合题意；7. 在四边形ABCD 中，AD BC ∥，AE BE ，分别平分BAD ABC ∠∠、，点F 为AB 的中点，连接EF ，则下列结论中，一定成立的是（）A. EF BE =B. BF BE =C. BC DE =D. 2AD BC EF +=【答案】D【解析】【分析】本题考查了直角三角形斜边中线，两直线平行，同旁内角互补，全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点是解题的关键，根据题意，作辅助线，在AB 上截取AG AD =，连接,DG EG ，由题意可得出90AEB ∠=°，故12EF AF BF AB ===，根据题意判定BEG BEC ≌与BEG BEC ≌，进一步推论出2AB BC AG BG AB EF +=+==即可．【详解】解：在AB 上截取AG AD =，连接,DG EG ．∵AD BC ∥，AE BE ，分别平分BAD ABC ∠∠、， ∴()1902EAB EBADAB CBA ∠+∠=∠+∠=°， ∴90AEB ∠=°， ∵点F 为AB 的中点， ∴12EFAF BF AB ===，由题意可知， ADE AGE ≌，∴AED AEG ∠=，∵90,90AED BECAEG BEG ∠+∠=°∠+∠=°， ∴BEC BEG ∠=∠，同理可得：BEG BEC ≌，∴BG BC =，∴2AB BC AG BG AB EF +=+==．故选：D ．8. 如图，已知ABC 为等腰三角形，AB AC =，点F 为AC 上一点，点D 为BC 延长线上一点，点E 为AB 延长线上一点，EF 与BC 相交于点G ，如果2,,ABC D CAD BAC BE CF ∠=∠∠=∠=，那么下列说法中，正确的个数有（）（1）EG FG =，（2）AD AB BC =+，（3）E D ∠=∠，（4）点G 到AB ，AC 的距离之和为定值． A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【解析】【分析】本题考查等腰三角形的判定及性质，熟练应用等腰三角形的判定和性质是解题的关键．过点F 作FH AB ∥，则FHFC BE ==，从而易证BEG HFG △≌△，因此EG FG =，故（1）正确；在AD 上截取AK AB =，则ABC AKC △≌△，且易证CDK 为等腰三角形，从而,AB AK BC CK DK ===，因此AB BC AK DK AD +=+=，故（2）正确；连接AG ，利用等面积法，易证（4）正确．【详解】解：如图，过点F 作FH AB ∥，AB AC =，∴A ABC CB =∠∠，FH AB ∥，∴FHC ABC ∠=∠，EBG FHG ∠=∠，∴FCH FHC ∠=∠，∴FH FC BE ==，BGE HGF ∠=∠，∴FGH EGB △≌△，∴EG FG =，故（1）正确；在AD 上截取AK AB =，CAD BAC ∠=∠，AK AB =，AC AC =，∴ABC AKC △≌△，∴BC CK =，ABC AKC ∠=∠，2ABC D ∠=∠，∴2AKC D ∠=∠，∴D KCD ∠=∠，∴CK DK =，∴BC KD =，∴AD AK KD AB BC =+=+，故（2）正确；连接AG ，过点G 作GH AB ⊥，GJ AC ⊥，CI AB ⊥，垂足分别为H ，G ，I ，1S 2ABG AB GH =⨯△，1S 2ACG AC GJ =⨯△，1S 2ABC AB CI =⨯△， S ABC ABG ACG S S =+△△△， ∴111222AB CI AB GH AC GJ ⨯=⨯+⨯， AB AC =，∴GH GJ CI +=，∴点G 到AB ，AC 的距离之和为定值，故（4）正确；故选：C二、填空题9. 44310()×=_______．（结果用科学记数法表示）【答案】178.110×【解析】【分析】本题考查了科学记数法的表示方法以及幂的乘方，正确计算出结果是解题的关键．先进行幂的乘方，然后化为科学记数法的变式即可．详解】解：()4444416173103108110.10(1)8×=×=×=×故答案为178.110×． 10. 已知5332859x y z x y z ++=++=，，则x y z ++的平方根为______．【答案】3±【解析】【分析】本题考查了解三元一次方程组，平方根．解三元一次方程组，得到32z y =−−，12x y =+，求得【x y z ++的值，再根据平方根的定义求解即可．【详解】解：533x y z ++=①，2859x y z ++=②， −②①得，326x y z ++=③， −①③得23y z +=−，即32z y =−−，将32z y =−−代入③得()32326x y y ++−−=，整理得12x y =+， ∴12329x y z y y y ++=++−−=，9的平方根为3±．即x y z ++的平方根为3±．故答案为：3±．11. 全等三角形也叫做合同三角形，平面内的合同三角形分为真正合同三角形和镜面合同三角形．假如ABC 和A B C ′′′ 是全等三角形，且点A 与点A ′对应，点B 与点B ′对应，点C 与点C ′对应．如下图，当沿周界A B C A →→→及A B C A ′′′′→→→环绕时，若运动方向相同，则称它们是真正合同三角形；若运动方向相反，则称它们是镜面合同三角形．下列各组合同三角形中，属于镜面合同三角形的有__________．【答案】①③##③①【解析】【分析】本题主要考查了全等三角形．根据真正合同三角形和镜面合同三角形的定义进行解答，即可求解．【详解】解：根据题意得：①③运动方向相反，∴属于镜面合同三角形的有①③．故答案为：①③12. 已知()2f x x =，例如()()22224,339f f ====．又规定()()()1f x f x f x ∆=+−，则()f a b ∆+=__________．【答案】221a b ++【解析】【分析】本题考查求代数式值，解题的关键是熟练掌握题目中的运算公式．根据题目中的运算公式代入求解即可．【详解】解：()Δf a b +()()1f a b f a b =++−+()()221a b a b =++−+()()11a b a b a b a b =++++++−−221a b =++，故答案为：221a b ++．13. 若直线2425y x a b =−+−−与直线2y x a b =−+相交于点(),5m ，则a b +=__________．【答案】10【解析】【分析】本题考查了两条直线相交问题．根据两条直线相交的问题把(),5m 分别代入两个解析式可得到52425m a b =−+−−，52m a b =−+，然后计算a b +的值即可．【详解】解：把(,5)m 代入2425y x a b =−+−−得52425m a b =−+−−，则25m a b −−，把(,5)m 代入2y x a b =−+得52m a b =−+，则52m a b =+−，所以5225a b a b +−−−．得10a b +=．故答案为：10．14. 如图，在ABC 中，AB AC =，AD 是BC 边上的高，点E ，F ，G 分别是AD ，BD ，CE 的中点，若ABC 的面积为224cm ，则图中阴影部分的面积是________2cm ．【答案】15【解析】的【分析】本题考查了等腰三角形的性质，根据三角形中线求三角形的面积，解题的关键是数形结合熟练掌握三角形中线将三角形的面积分为相等的两部分．先根据等腰三角形性质得出BD CD =，ABD △和ACD 的面积相等，然后根据中线的性质得出图中阴影部分中三角形的面积，据此作答即可．【详解】解：∵ABC 中，AB AC =，AD 是BC 边上的高，∴BD CD =，∵ABC 的面积为224cm ， ∴()212412cm 2ABD ACD S S ==×=，∵点E 为AD 的中点， ∴()26cm ABE BDE ACE CDES S S S ==== ， ∵F 为BD 的中点， ∴()2163cm 2DEF S =×= ， ∵G 为CE 的中点，∴()23cm ACG CDG S S == ，∴图中阴影部分的面积为：()2633315cm +++=．故答案为：15．15. 记边长为64cm 的等边三角形为第1个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接得到一个正六边形，记为第1个正六边形，取这个正六边形不相邻的三边中想点，顺次连接又得到一个等边三角形，记为第2个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接又得到一个正六边形，记为第2个正六边形（如图），…，按此方式依次操作，则第7个等边三角形的边长为_________cm ．【答案】1【解析】【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形的中位线定理，作辅助线并求出后一个等边三角形是前一个等边三角形的边长的12是解题的关键．延长第2个等边三角形的一边与第1个等边三角形的一边相交于D ，然后判定BD 是三角形的中位线，然后求出BD 的长，再求出BC 的长，从而求出第2个等边三角形与第一个等边三角形边长的关系，再根据此规律依次求解即可.【详解】如图，延长AB 与第1个等边三角形的边相交于点D ，∵ B 为中点, 113264233BD ∴=××=， 3264643233BC ∴=−−=， ∴第2个等边三角形的边长是第1个等边三角形的边长的 12，第7个等边三角形的边长：6164 1.2 ×=故答案为：1．16. 如图，直线l 上依次摆放着七个正方形，其中正放的四个正方形的面积分别是1、2，3，4，斜放的三个正方形的面积之和是【答案】15【解析】【分析】本题考查了全等三角形的判断与性质，正方形的性质，勾股定理，解题的关键是证明222DF AC AB +=．【详解】解：如下图：由题意得：,90,90,90AB BF ABC ACB FDB =∠=°∠=°∠=°，90,90ABC DBF ABC BAC ∴∠+∠=°∠+∠=°，DBF BAC ∴∠=∠，ACB BFD ∴ ≌，BC DF ∴=，222BC AC AB += ，222DF AC AB ∴+=2123AB ∴=+=，即第一正方形的面积是3，同理可证：第二正方形的面积是235+=，第三正方形的面积是437+=，所以斜放的三个正方形的面积之和是35715++=，故答案为：15．三、解答题17. 已知a 、b 、c 满足如下关系式：0−+=，求a 、b 、c 的值．【答案】1012,1000,3018ab c ==【解析】【分析】本题考查了算术平方根的非负性，二元一次方程；根据题意可知20120,20120a b a b +−≥−−≥，得2012a b +=0=，得12a b −=，最终利用方程组得解；熟知算术平方根的非负性是解题的关键．【详解】解：由20120,20120a b a b +−≥−−≥，得2012a b +=①0+=，所以543603320a b c a b c +−−= +−=，即()()2543633320a b c a b c +−−−+−=，得12a b −=②由①②联立得，201212a b a b += −=解得1012,1000a b =，从而3018c =．18. 已知：4a b −是11的倍数，其中a ，b 是整数，求证：224023a ab b +−能被121整除．【答案】证明见解析【解析】【分析】本题考查了因式分解，整数的整除性，熟练掌握因式分解是解答本题的关键．设411a b n −=，则411b a n =−，先将代数式224023a ab b +−因式分解，再将b 的值代入并化简得()12123n a n −，即能证明结论．【详解】设411a b n −=，则411b a n =−，224023a ab b +−()()4103a b a b =−+()11103411n a a n =+−()12123n a n −．故224023a ab b +−能被121整除．19. 已知：如图1，,,AB AC AD AE BAC DAE ==∠=∠，且点B ，A ，D 在一条直线上，连接BE 、CD ，点M ，N 分别为BE 、CD 的中点．（1）求证：①BE CD =，②AMN 是等腰三角形；（2）在图1的基础上，将ADE 绕点A 旋转180°，其他条件不变，得到图2所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立．【答案】（1）①证明见解析；②证明见解析（2）（1）中的两个结论仍然成立【解析】【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识，利用“SAS ”证明BAE CAD △≌△、MAE NAD ≌是解题关键．（1）①利用“SAS ”证明BAE CAD △≌△，由全等三角形的性质即可证明BE CD =；②结合全等三角形的性质可得AEB ADC ∠=∠，根据题意再证明ME ND =，然后利用“SAS ”证明MAE NAD ≌，进而可得AM AN =，即可证明结论；（2）①利用“SAS ”证明BAE CAD △≌△，由全等三角形的性质即可证明BE CD =；②结合全等三角形的性质可得AEB ADC ∠=∠，根据题意再证明ME ND =，然后利用“SAS ”证明MAE NAD ≌，进而可得AM AN =，即可证明结论．【小问1详解】证明：①∵BAC DAE ∠=∠，∴BAC CAE CAE DAE ∠+∠=∠+∠，∴BAE CAD ∠=∠，在BAE 和CAD 中，AB AC BAE CAD AE AD = ∠=∠ =， ∴(SAS)BAE CAD ≌△△，∴BE CD =；②∵BAE CAD △≌△，∴AEB ADC ∠=∠，∵BE CD =，点M ，N 分别为BE 、CD 的中点， ∴1122ME BE CD ND ===，在MAE 和NAD 中，AE AD AEB ADC ME ND = ∠=∠ =， ∴(SAS)MAE NAD ≌，∴AM AN =，∴AMN 是等腰三角形；【小问2详解】（1）中的两个结论仍然成立，理由见详解：①将ADE 绕点A 旋转180°，此时点B ，A ，D 仍在一条直线上，在BAE 和CAD 中，AB AC DAE CAB AE AD = ∠=∠ =， ∴(SAS)BAE CAD ≌△△，∴BE CD =；②∵BAE CAD △≌△，∴AEB ADC ∠=∠，∵BE CD =，点M ，N 分别为BE 、CD 的中点， ∴1122ME BE CD ND ===，在MAE 和NAD 中，AE AD AEB ADC ME ND = ∠=∠ =， ∴(SAS)MAE NAD ≌，∴AM AN =，∴AMN 是等腰三角形．20. 在平面直角坐标系内，先将直线134y x =−−向上平移3个单位长度，然后再向右平移8个单位长度，得到的直线L 与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点．（1）求A 、B 两点的坐标；（2）在y 轴上有一点()0,8C ，在x 轴上有一动点D ，它从A 点以每秒1个单位长度的速度沿x 轴向左移动，求COD △的面积S 与点D 的移动时间t 之间函数关系式；（3）当t 为何值时COD AOB △△≌?并求此时D 点的坐标．【答案】（1）()8,0A ，()0,2B（2）324? (08)432? (8)t t S t t −≤< = −>（3）6s 或10s ，D 点坐标为()20，或()20−，【解析】【分析】本题考查了一次函数图象的平移，一次函数的几何应用，全等三角形的判定，灵活运用相关知识是解答本题的关键．（1）先求出直线134y x =−−向上平移3个单位长度后的函数解析式，再求出向右平移8个单位长度后的函数解析式，最后求得到的直线L 与x 轴、y 轴的交点坐标即可；（2）当点D 在线段OA 上，即08t ≤<时，8OD t =−，324S t =−；当点D 在线段AO 的延长线上，即8t >时，8OD t =−，432S t =−，即可得到答案；（3）当2OD OB ==时，COD AOB △△≌，即82t −=或82t −=，求出t 值，并求出点D 的坐标即可．【小问1详解】解：直线134y x =−−向上平移3个单位长度得14y x =−，再向右平移8个单位长度得()118244y x x =−−=−+，当0y =时，8x =，所以()80A ，；当0x =时，2y =，所以()02B ，．【小问2详解】由（1）知8OA =，又8OC =，AD t =，当点D 在线段OA 上，即08t ≤<时，8OD t =−，所以COD △的面积为()118832422S OC OD t t =⋅⋅=××−=−，当点D 在线段AO 的延长线上，即8t >时，8OD t =−，的的所以COD △的面积为()118843222S OC OD t t =⋅⋅=××−=−，当8t =时，点D 与原点O 重合，点C 、O 、D 不构成三角形．综上，COD △的面积324(08)432(8)t t S t t −≤< = −>；小问3详解】因为COD △与AOB 均为直角三角形，且8OC OA ==，所以当2OD OB ==时，COD AOB △△≌，即82t −=或82t −=，解得6s t =或10s ，此时D 点的坐标为()2,0D 或()2,0D −．【。

第18届希望杯全国数学竞赛初二决赛试题与答案--WORD

第十八届“希望杯”全国数学邀请赛初二第二试年4月15日上午8：30至10：30一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，菜40分。

）以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将正确答案的英文字母写在每题后面的圆括号内。

1、红丝带是关注艾滋病防治问题的国际性标志，人胶将红丝带剪成小段，并用别针将折叠好的红丝带加紧在胸前，如图1所示，红丝带重叠部分形成的图形是（）（A ）正方形（B ）矩形 C ）菱形（D ）梯形2、设a 、b 、C 是不为零的实数，那么||||||a b c x a b c =+-的值有（）（A ）3种（B ）4种（C ）5种（D ）6种3、ABC ∆的边长分别是21a m =-，21b m =+，()20c m m =>，则ABC ∆是（）（A ）等边三角形（B ）钝角三角形（C ）直角三角形（D ）锐角三角形4、古人用天干和地支记序，其中天干有10个；甲乙丙丁戊己庚辛壬癸，地支有12个；子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥，将天干的10个汉字和地支的12个汉字对应排列成如下两行；甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙丁……子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥……从左向右数，第1列是甲子，第2列是乙丑，第3列是丙寅……，我国的农历纪年就是按这个顺序得来的，如公历年是农历丁亥年，那么从今年往后，农历纪年为甲亥年的那一年在公历中（）（A ）是，（B ）是2031年，（C ）是2043年，（D ）没有对应的年号5、实数 a 、b 、m 、n 满足a<b, -1<n<m, 若1a mb M m +=+，1a nb N n+=+，则M 与N 的大小关系是（）（A ）M>N (B)M=N (C)M<N (D)无法确定的。

6、若干个正方形和等腰直角三角形拼接成如图2所示的图形，若最大的正方形的边长是7cm ，则正方形A 、B 、C 、D 的面积和是（）（A ）214cm （B ）242cm （C ）249cm （D ）264cm7cmDC B A7、已知关于x 的不等式组230320a x a x +>⎧⎨-≥⎩恰有3个整数解，则a 的取值范围是（）（A ）23≤a ≤32 (B)43≤a ≤32 (C)43＜a ≤32 (D)43≤a ＜328 、The number of intersection point of the graphs of function||k y x= and function (0)y kx k =≠ is( ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)0 or 2.9、某医药研究所开发一种新药，成年人按规定的剂量限用，服药后每毫升血液中的含药量y （毫克）与时间t （小时）之间的函数关系近似满足如图3所示曲线，当每毫升血液中的含药量不少于0.25毫克时治疗有效，则服药一次治疗疾病有效的时间为（）（A ）16小时（B ）7158小时（C ）151516小时（D ）17小时图3y=m/ty=ktO t （小时)y(毫克)4321110、某公司组织员工一公园划船，报名人数不足50人，在安排乘船时发现，每只船坐6人，就剩下18人无船可乘；每只船坐10人，那么其余的船坐满后内参有一只船不空也不满，参加划船的员工共有（）（A ）48人（B ）45人（C ）44人（D ）42人二、填空题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）11、已知a b c ⋅⋅o 为ABC ∆三边的长，则化简|a b c -+|+2()a b c -+的结果是＿＿＿12、自从扫描隧道显微镜发明后，世界上便诞生了一间新科学，这就是“纳米技术”，已知1毫米微米，1微米纳米，那么纳米的长度用科学记数法表示为＿＿米。

【精品】八年级希望杯决赛真题与标准答案.doc

4.已知三角形三个内角的度数之比为x ： y ： z ,且x+yvz, 则这个三角形是（）（A ）锐角三角形. （B ）直角三角形. （C ）钝角三角形. （D ）等腰三角形.5.如图1, 一个凸六边形的六个内角都是120。

，六条边的长分a, b, c, d, e, f,则下列等式中成立的是）(D)a+c=b+d.（英汉词典：integer 整数)(A)a+b+c=d+e+f .(B)a+c+e=b+d+f . (C)a+b=d+e.6. 在三边互不相等的三角形中，最长边的长为a,最长的中线的长为m,最长的高线的长为h,则（）（A ）a>m>h .（B ）a>h>m .（C ）m>a>h.（D ）h>m>a .7. 某次足球比赛的计分规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得O 分，某球队参赛15场，积33分，若不考虑比赛顺序，则该队胜、平、负的情况可能有（）（A ） 15 种.（B ） 11 种.（C ）5 种.（D ）3 种.第二十一届“希望杯”全国数学邀请赛初二第2试(2010 年 4 月 11 U 上午 9:00 至 11:00)得分—一、选择题（每小题4分，共40分.）以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题后面的圆括号内. 1 .计算2,2X 59,得数是（）（A ）9位数. （B ） 10位数. （C ） 11位数.(D) 12位数.2.若三=1,Or + v — ]8则代数式一的值（）9x-y-\S 7 （A ）等于；・55 7（B ）等于+（C ）等写或不存在.（D ）等专或不存在.3. The integer solutions of the inequalities about x3(x — q) + 22 2(1 — 2x — ci)x b b — xarcl,2,3,--- < -----then the number of integer pairs (a,b) (A)32.(B)35.(C)40.(D)48.(A)2.(B)— 2. (C)4.(D) 一4.8.若 xy *O,x+y *0,—+ —与 x+y 成反比,则(x + y)2与亍+)=()工 )'（A ）成正比.（B ）成反比.（C ）既不成正比，也不成反比. （D ）的关系不确定.2k9.如图2,已知函数y - —（X > 0）,y = —（x < 0）,点A 在正y 轴上，过点A 作BC//x 轴, x x交两个函数的图象于点B 和C,若AB:AC = 1:3,则k 的值是（）（A ）6.（B ）3.（C ）— 3.（D ）— 6.10. 10个人围成一圈做游戏.游戏的规则是：每个人心里都想一个数，并把目己想的数告许与他相邻的两个人，然后每个人将与他相邻的两个人告诉他的数的平均数报出来，若报出来的数如图3所示，则报出来的数是3的人心里想的数是（）110 2 9 3二、填空题（每小题4分，共40分.） 11 .若了 _ 2A /7X + 2 = 0,则 X 4—24X 2=12. 如图4,已知点A （a, b ）, 0是原点，OA=OA|, OA ± OA },则点A 〕的坐标是 13.已知 ab + 0 , 并且 a + b >。

第十七届“希望杯”全国数学邀请赛初二一试及参考答案

第十七届“希望杯”全国数学邀请赛初二第1试2006年3月19日上午：30至10：00学校______________班__________学号__________姓名__________辅导教师________成绩__________ 一、选择题（每小题4分，共40分）以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在下面的表格内．1．实数m ＝20053－2005，下列各数中不能整除m 的是（）（A ）2006 （B ）2005 （C ）2004 （D ）2003 2．a ，b ，c ，d 是互不相等的正整数，且abcd ＝441，那么a ＋b ＋c ＋d 的值是（）（A ）30 （B ）32 （C ）34 （D ）36 3．三角形三边的长都是正整数，其中最长边的长为10，这样的三角形有（）（A ）55种（B ）45种（C ）40种（D ）30种4．已知m ，n 是实数，且满足m 2＋2n 2＋m －34n ＋3617＝0，则－mn 2的平方根是（）（A ）62 （B ）±62（C ）61 （D ）±61 5．某校初一、初二年级的学生人数相同，初三年级的学生人数是初二年级学生人数的54．已知初一年级的男生人数与初二年级的女生人数相同，初三年级男生人数占三个年级男生人数的41，那么三个年级女生人数占三个年级学生人数的（）（A ）199 （B ）1910（C ）2111 （D ）106．如图1，点E 、F 、G 、H 、M 、N 分别在△ABC 的BC 、AC 、AB 边上，且NH ∥MG ∥BC ，ME ∥NF ∥AC ，GF ∥EH ∥AB ．有黑、白两只蚂蚁，它们同时同速从F 点出发，黑蚁沿路线F →N →H →E →M →G →F 爬行，白蚁沿路线F →B →A →C →F 爬行，那么（）（A ）黑蚁先回到F 点（B ）白蚁先回到F 点（C ）两只蚂蚁同时回到F 点（D ）哪只蚂蚁先回到F 点视各点的位置而定 7．一个凸多边形截去一个角后形成的多边形的内角和是2520°，则原多边形的边数是（）（A ）14（B ）15（C ）15或16（D ）15或16或178．Let a be integral part of 2 and b be its decimal part ．Let c be the integral part of π and d be thedecimal part.．if ad －bc ＝m ，the （）（A ）－2＜m ＜－1 （B ）－1＜m ＜0 （C ）0＜m ＜1 （D ）1＜m ＜2（英汉词典：integral part 整数部分；decimal part 小数部分）9．对a ，b ，定义运算“＊”如下：a ＊b ＝⎩⎨⎧∙≥时＜，当时，，当b a ab b a b a 22已知3＊m ＝36，则实数m 等于（）（A ）23（B ）4（C ）±23（D ）4或±2310．将连续自然数1，2，3，…，n （n ≥3）的排列顺序打乱，重新排列成a 1，a 2，a 3，…，a n ．若(a 1－1)(a 2－2)(a 3－3)…(a n －n )恰为奇数，则（）（A ）一定是偶数（B ）一定是奇数（C ）可能是奇数，也可能是偶数（D ）一定是2m －1（m 是奇数）图1二、A 组填空题（每小题4分，共40分）11．已知a 、b 都是实数，且a ＝43＋x ，b ＝312＋x ，b ＜37＜2a ，那么实数x 的取值范围是_________． 12．计算12008200720062005＋⨯⨯⨯－20062的结果是__________．13．已知x ＝22＋1，则分式15119232－－－－x x x x 的值等于__________．14．一个矩形各边的长都是正整数，而且它的面积的数量等于其周长的量数的2倍，这样的矩形有__________个．15．Suppose that in Fig.2，the length of side of square ABCD is 1，E and F are mid－points of CD and AD respectively ，GE and CF intersect at a point P ．Then the length of line segment CP is __________．（英汉词典：figure （缩写Fig.）图；length 长度；square 正方形；mid －point 中点；intersect 相交；line segment 线段） 16．要使代数式2113｜－－｜｜＋－｜x x 有意义，实数x 的取值范围是____________．17．图3的梯形ABCD 中，F 是CD 的中点，AF ⊥AB ，E 是BC 边上的一点，且AE ＝BE ．若AB ＝m （m 为常数），则EF 的长为__________． 18．A ，n 都是自然数，且A ＝n 2＋15n ＋26是一个完全平方数，则n 等于__________．19．一个长方体的长、宽、高均为整数，且体积恰好为2006cm 3，现将它的表面积涂上红色后，再切割成边长为1cm 的小正方体，如果三面为红色的小正方体有178个，那么恰好有两面为红色的小正方体有________个． 20．一条信息可以通过如图4所示的网络按箭头所指方向由上往下传送，例如到达点C 2的信息可经过B 1或B 2送达，共有两条途径传送，则信息由A 点传送到E 1、E 2、E 3、E 4、E 5的不同途径共有________条．三、B 组填空题（每小题8分，共40分．每小题两个空，每空4分．）21．某学校有小学六个年级，每个年级8个班；初中三个年级，每个年级8个班；高中三个年级，每个年级12个班．现要从中抽取27个班做调查研究，使得各种类型的班级抽取的比例相同，那么小学每个年级抽取________个班，初中每个年级抽取________个班． 22．矩形ABCD 中，AB ＝2，AB ≠BC ，其面积为S ，则沿其对称轴折叠后所得的新矩形的对角线长为__________或__________．23．已知m ，n ，l 都是两位正整数，且它们不全相等，它们的最小公倍数是385，则m ＋n ＋l 的最大值是__________，最小值是__________．24．某工程的施工费用不得超过190万元．该工程若由甲公司承担，需用20天，每天付费10万元；若由乙公司承担，需用30天，每天付费6万元．为缩短工期，决定由甲公司先工作m 天，余下的工作由乙公司完成，那么m ＝________，完工共需要__________天． 25．将2006写成n （n ≥3）个连续自然数的和，请你写出两个表达式：（1）__________________________________；（2）__________________________________．ABCD E FP图2ABCDEFm图31B A 2B 1C 2C3C 1D 2D 3D 4D 1E 2E 3E 4E 5E 图4第十七届“希望杯”全国数学邀请赛答案²评分标准初二第1试1．答案（1）选择题（2）A组填空题（3）B组填空题2．评分标准（1）第1～10题：答对得4分；答错或不答，得0分．（2）第11～20题：答对得4分；答错或不答，得0分．（2）第21～25题：答对得8分，每个空4分；答错或不答，得0分．。

第21届希望杯初二第1试试题及答案

第二十一届“希望杯”全国数学邀请赛初二第1试一、选择题（每小题4分，共40分．）以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将正确答案前的英文字母写在下面的表格内．1．下列图案都是由字母m 组合而成的，其中不是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．【解析】 B ．B 中5个”m ”分布在正五边形上，不是中心对称图形．2．若230a a ≥≥，则（）A 3a aB 3a aC ．1a ≥D ．01a <<【解析】 B ．∵23a a ≥≥0，∴01a ≤≤3a a320102009xx --x 的取值范围是（）A ．2010x ≤B ．2010x ，≤且2009x ≠±C ．2010x ≤且2009x ≠D ．2010x ，≤且2009x ≠-【解析】 B ．2010020090x x -⎧⎪⎨-≠⎪⎩≥，解得2010x ，≤且2009x ≠±． 4．正整数a b c ，，是等腰三角形三边的长，并且24a bc b ca +++=，则这样的三角形有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解析】 C ．()()124a bc b ca a b c +++=++=∵a b c +>，,,a b c 均为正整数，∴1a b c ++≥ 又12c +≥，∴1c +只能取2，3，4．若12c +=，即1c =，则12a b +=，于是6a b ==；若13c +=，即2c =，则8a b +=，于是4a b ==；若14c +=，即3c =，则6a b +=，于是3a b ==．综上，这样的三角形有3个．5．顺次连接一个凸四边形各边的中点，得到一个菱形，则这个四边形一定是（）A ．任意的四边形B ．两条对角线等长的四边形C ．矩形D ．平行四边形【解析】 B ．顺次连接一个凸四边形各边的中点得到的四边形，每组对边都等于对应对角线长的一半．因此若得到的四边形为菱形，则这个四边形一定是两条对角线等长的四边形．6．设p =a b c d ，，，是正实数，并且1a b c d +++=，则（）A ．5p >B ．5p <C ．4p <D ．5p =【解析】 A ．1a >=+，于是()()()()1111p a b c d >+++++++5=．7．Given a b c ，， satisfy c b a << and 0ac <，then which one is not sure to be correct in the following inequalities ？（） A ．b c a a>B ．0b ac->C ．22b ac c>D ．0a cac-< 【解析】 C ．∵a c >且0ac <，∴0a >，0c <∵b c >，0a >，∴b c a a >；∵b a <，0c <，∴0b ac ->； ∵a c >，0ac <，∴0a cac-<；因此只有C 不一定成立．8．某公司的员工分别住在A B C 、、三个小区，A 区住员工30人，B 区住员工15人，C 区住员工10人，三个小区在一条直线上，位置如图1所示，若公司的班车只设一个停靠点，为使所有员工步行到停靠点的路程总和最短，那么停靠点的位置应在（） A ．A 区 B ．B 区C ．C 区D ．A B C 、、区以外的一个位置【解析】 A ．以A 区为原点，从A 区往方向为正方向建立数轴，设停靠点的坐标为x ，那么所有员工步行到停靠点的路程总和为301510010300x x x +-+-，由绝对值函数的性质易知在0x =处，该函数值最小．9．ABC △的内角A 和B 都是锐角，CD 是高，若2AD AC DB BC ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则ABC △是（）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形【解析】 D ．∵22AC AD BC BD =，∴cos cos ADAC A AC BD BC B BC==，又由正弦定理sin sin AC BBC A=， ∴cos sin cos sin A B B A=，于是sin2sin2A B =，∴A B =或90A B +=︒． 10．某人沿正在向下运动的自动扶梯从楼上走到楼下，用了24秒；若他站在自动扶梯上不动，从楼上到楼下要用56秒．若扶梯停止运动，他从楼上走到楼下要用（） A ．32秒B ．38秒C ．42秒D ．48秒【解析】 C ．设若扶梯停止运动，他从楼上走到楼下要用x 秒，则1112456x=+，解得42x =（秒）．图1二、A 组填空题（每小题4分，共40分．）11．四个多项式：①22a b -+；②22x y --；③22249x y z -；④4221625m n p -，其中不能用平方差公式分解的是_______________．（填写序号）【解析】 ②．①()()22a b b a b a -+=+-；③()()2224977x y z xy z xy z -=+-； ④()()4222216254545m n p m np m np -=+-．12．若111111a b c b c d===---，，，则a 与d 的大小关系是a _______d ．（填“>”、“=”或“<”）【解析】 =．1111111111111111111da d d d d d cd dd======--+----+----- 13．分式方程222510111x x x x ++=--+的解是x =______________．【解析】 2-．222510111x x x x ++=--+ ()()225110x x x +++-=22640x x ++= 2320x x ++=1x =-（舍去）或2x =-14．甲、乙两人从A 点同时同向出发沿400米的环形跑道跑步，过一段时间后，甲在跑道上离A 点200米处，而乙在离A 点不到100米处正向A 点跑去，若甲、乙两人的速度比是4：3，则此时乙至少跑了____________米．【解析】 750．假设甲的速度是4m ，乙的速度是3m ，题中所述情况是在开始跑步后t 时刻且此时甲、乙已经跑了1k 、2k 个整圈，则14400200m t k ⋅=⋅+，23400m t k x ⋅=⋅+（其中300400x <<）于是1240020040043k k x ++=，即()121234002004003004001504x k k k k =+-=-+ ∵300400x <<，∴123685k k <-<，因此12684k k -=．于是当12k =，21k =时，2k 最小，此时乙跑了400350750+=（米）．15．已知等腰三角形三边的长分别是421156x x x -+-，，，则它的周长是_____________．【解析】 12.3．421x x -=+时，1x =，此时三角形的三边长分别为2,2,9，矛盾；42156x x -=-时，1710x =，此时三角形的三边长分别为242724,,5105，周长为1231412.310x -==； 1156x x +=-时，2x =，此时三角形的三边长分别为6,3,3，矛盾．16．若29453737a b =-=-，，则336a ab b -+=______________．【解析】 8-．∵294523737a b +=--=-，∴2b a =-- 于是()()33336622a ab b a a a a -+=---+--()3321262a a a a =++-+()32326126128a a a a a a =++-+++8=-17．直线59544y x =-与x 轴、y 轴的交点分别为A B 、，则线段AB 上（包括端点A B 、）横坐标和纵坐标都是整数的点有_____________个．【解析】 5．59544y x =-即5495x y -=，于是y 必然整除5；另一方面()19,0A 、950,4B ⎛⎫-⎪⎝⎭，∴954y -≤≤0，于是y 的可能取值为20,15,10,5,0----对应的点均在线段AB 上．18．已知关于x 的不等式()2132343a x a x --->-的解是1x >-，则a =_______________．【解析】 0．原不等式⇔231124433a x a x -⎛⎫--> ⎪⎝⎭232114343a x a -⎛⎫⎛⎫⇔->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()24131a x a ⇔+>-∴231141410a a a ⎧-=-⎪+⎨⎪+>⎩，解得43a =-（舍去）或0a =．19．当a 分别取2,1,0,1,2,3,,97--这100个数时，关于x 的分式方程212(1)1232a a x x x x +-=---+有解的概率是_______________．【解析】 4950．2112(1)1232a x x x x +-=---+()()()2221213232x a x a x x x x -+-+⇔=-+-+()2134320a x a x x ⎧+=+⎪⇔⎨-+≠⎪⎩ ∴当()1134a a +⋅=+和()1234a a +⋅=+以及()134a x a +=+无解时原方程无解，即2a =-和1a =-时原方程无解．因此方程有解的概率为4950．20．十位数2010888abc 能被11整除，则三位数abc 最大是______________．【解析】 990．()()218800811b a c k ++++-++++=，∴b a c --能整除11∴而9abc bc ≤，此时9b c --能整除11，∴三位数abc 最大是990．（注：能被11整数的自然数的特点是：奇数位上的数字和与偶数位上的数字和的差是11的整数倍）三、B 组填空题（每小题8分，共40分）21．一个矩形的长与宽是两个不相等的整数，它的周长与面积的数值相等，那么这个矩形的长与宽分别是______________和______________．【解析】 6，3．设长和宽分别为x 、y ，则()2x y xy +=，即()()224x y --= 因为x y ≠，∴24x -=，21y -=，于是长和宽分别为2和1．22．用[]x 表示不大于x 的最大整数，如[][]414253=-=-.，.．则方程[]6370x x -+=的解是______________或______________．【解析】 196x =-；83x =-． ∵[]673x x +=，而[]1x x x -<≤，∴()31673x x x -<+≤，解得10733x <-≤-．因此13677x -<+-≤，∴67x +的可能取值为12-和9-，解得196x =-和83x =-．经验证，这两个解均为原方程的解．23．As in figure 2，in a quadrilateral ABCD ，we have its diagonal AC bisects DAB ∠，and21910AB AD BC DC ====，，，then the distance from point C to line AB is______________，and the length of AC is________________．（英汉词典：quadrilateral 四边形：bisect 平分）Fig 22191010D C BAEDCBA【解析】 8；17．如图，过D 作AC 的垂线，交AB 于E ，连结CE ，则AD AE =，CD CE = 于是CEB △中，10CE CD BC ===，12BE AB AE =-=，因此容易算得等腰三角形△CEB 底边上的高为8．∴22218912642252892AC ⎛⎫=++⋅=+= ⎪⎝⎭，17AC =．24．如图3，Rt ABC △位于第一象限内，A 点的坐标为（1，1），两条直角边AB AC 、分别平行于x轴、y 轴，43AB AC ==，，若反比例函数(0)ky k x=≠的图象与Rt ABC △有交点，则k 的最大值是____________，最小值是______________．【解析】 36148；1．当反比例函数的图象过A 点时k 最小，为1；当反比例函数的图象与BC 相切时k 最大，此时∵()5,1B ，()1,4C ，直线BC 的方程为31944y x =-+∴方程2319044x x k -+-=的判别式3613016k -=，解得36148k =． 25．设011n A A A -，，，依次是面积为整数的正n 边形的n 个顶点，考虑由连续的若干个顶点连成的凸多边形，如四边形3446A A A A 、七边形2101234n n A A A A A A A --等，如果所有这样的凸多边形的面积之和是231，那么n 的最大值是_________________，此时正n 边形的面积是_____________．【解析】 23；1．设正n 边形的面积为n S ，则∵正n 边形的对角线共有()112n n -条，∴所有满足条件的凸边形共有()1n n -个，它们的面积之和为()112n n n S -⋅∴()146223711n n n S -==⋅⋅⋅ ∴711n n S =⎧⎨=⎩或231nn S =⎧⎨=⎩，于是n 的最大值是23，此时正n 边形的面积是1．第二十一届“希望杯”全国数学邀请赛答案第二第1试1．答案（1）选择题（2）A 组填空题（3）B 组填空题。

第二十届希望杯全国邀请赛八年级数学试题第二试

第二十届“希望杯”全国数学邀请赛初二试题第二试一、选择题（每小题4分，共40分）以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将正确答案的英文字母写在每题后面的圆括号内.1．篆刻是中国独特的传统艺术,篆刻出来的艺术品叫印章．印章的文字刻成凸状的称为“阳文”，刻成凹状的称为“阴文”．如图1的“希望”即为阳文印章在纸上盖出的效果，此印章是下列选项中的（阴影表示印章中的实体部分，白色表示印章中镂空的）（）2．如果1-<<y x ，那么代数式xy x y -++11的值是（）（A ） 0 （B ）正数（C ）负数（D ）非负数3．将x 的整数部分记为[x ]，x 的小数部分记为{x }，易知=x [x ]+{x }（{}10<<x ）．若5353+--=x ，那么[x ]等于（）（A ） 2- （B ）1- （C ） 0 （D ）14．某种产品由甲、乙、丙三种元件构成．根据图2，为使生产效率最高，在表示工人分配的扇形图中，生产甲、乙、丙元件的工人数量所对应的扇形圆心角的大小依次是（）（A ）120°，180°，60°（B ）108°，144°，108°（C ）90°，180°，90° （D ） 72°，216°，72°5．面积是48的矩形的边长和对角线的长都是整数，则它的周长等于 ( )（A ）20 （B ） 28 （C ） 36 （D ）406．In the rectangular coordinates,abscissa and ordinate of the intersection point ofthe lines k x y -= and 2+=kx y are integers for imteger k ,then the number of the possible values of k is （）（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7（英汉小词典：abscissa 横坐标；ordinate 纵坐标；intersection point 交点；integer 整数）7．将一张四边形纸片沿两组对边的中点连线剪开，得到四张小纸片，如图3所示．用这四张小纸片一定可以拼成（）（A ）梯形（B ）矩形（C ）菱形（D ）平行四边形8．若不等式组⎩⎨⎧>++<+-m x x m x 1104的解集是4>x ，则（）（A ）29≤m （B ）5≤m （C ）29=m （D ）5=m 9．如图4，四边形ABCD 中，∠A=∠C=90°，∠ABC=60°，AD=4，CD=10，则BD 的长等于（）（A ） 134 （B ）38 （C ）12 （D ）31010．任何一个正整数n 都可以写成两个正整数相乘的形式，对于两个乘数的差的绝对值最小的一种分解q p n ⨯=（q p ≤）可称为正整数n 的最佳分解，并规定q p n F =)(．如：12=1×12=2×6=3×4，则43)12(=F ．则在以下结论 ①21)2(=F ②83)24(=F ③若n 是一个完全平方数，则1)(=n F④若n 是一个完全立方数，即3a n =（a 是正整数），则an F 1)(=．中，正确的结论有（）（A ） 4个（B ）3个（C ）2个（D ）1个二、填空题（每小题4分，共40分）11．将一根钢筋锯成a 段,需要b 分钟,按此速度将同样的钢筋锯成c 段(a ，b ，c 都是大于1的自然数)，需要分钟．12．给机器人下一个指令[s ，A ]（0≥s ，1800<≤A ），它将完成下列动作： ①先在原地向左旋转角度A ；②再朝它面对的方向沿直线行走s 个单位长度的距离．现机器人站立的位置为坐标原点，取它面对的方向为x 轴的正方向，取它的左侧为y 轴的正方向，要想让机器人移动到点（5-，5）处，应下指令：． 13．已知实数x ，y ，z 满足3321z y x z z y y x x ++=+=+=+，则_________或=++z y x ． 14．已知实数x ，y 满足432=-y x ，并且0≥x ，1≤y ，则y x -的最大值是，最小值是．15．汽车燃油价税费改革从2009年元旦起实施：取消养路费，同时汽油消费税每升提高0.8元．若某车一年的养路费是1440元,百公里耗油8升,在“费改税”前后该车的年支出与年行驶里程的关系分别如图5中的1l 、2l 所示，则1l 与2l 的交点的横坐标=m .(不考虑除养路费和燃油费以外的其它费用)16．Given d cx bx ax x f +++=23)(,if when x takes the value of its inverse number ，the corresponding value of )(x f is also the inverse number,and 0)2(=f ，then =++ba d c ．（英汉小词典：inverse number 相反数） 17．8人参加象棋循环赛,规定胜1局得2分.平1局得1分,败者不得分,比赛结果是第二名的得分与最后4名的得分之和相同,那么第二名得分．18．若正整数a ,b 使等式20092)1)((=-+++b a b a a 成立,则=a ,=b ． 19．如图6,长为2的三条线段'AA 、'BB 、'CC 交于O 点，并且OB C OA B ''∠=∠=∠=OC A '60°，则这三个三角形的面积的和21S S S ++．（填“<”、“=”、“>”）20．已知正整数x ，y 满足2492y x =+，则=x ，=y ．三、解答题（每题都要写出推算过程） 21．（本题满分10分）在分母小于15的最简分数中，求不等于52但与52最接近的那个分数．22．（本题满分15分）如图7，一次函数33+-=x y 的函数图象与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，以线段AB 为直角边在第一象限内作Rt △ABC ，且使∠ABC=30°．（1）求△ABC 的面积；（2）如果在第二象限内有一点P （m ，23），试用含m 的代数式表示四边形AOPB 的面积，并求当△APB 与△ABC 面积相等时m 的值；（3）是否存在使△QAB 是等腰三角形并且在坐标轴上的点Q ？若存在，请写出点Q 所有可能的坐标；若不存在，请说明理由．23．（本题满分15分）点A （4，0），B （0，3）与点C 构成边长分别为3，4，5的直角三角形，如果点C 在反比例函数xk y的图象上，求k 可能取的一切值．。

第二十三届“希望杯”全国数学邀请赛初二(八年级)第1试试题及答案

第二十三届“希望杯”全国数学邀请赛初二第1试2012年3月11日上午8：30至10：00 得分_______一、选择题(每小题4分，共40分．)以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将正确答案前的英文字母写在下面的表格内．1．如果0＜m ＜1，那么m 一定小于它的( )(A)相反数 (B)倒数 (C)绝对值 (D)平方2．在277,355,544,633这四个数中，最大的数是( )(A)277 (B)355 (C)544 (D)6333．若a+b=2012,b ≠a 十1，则ba b a b b a ++--+-222212的值等于( ) (A)2012 (B)2011 (C)20112012 (D)201220114.方程3112112=---x x （） (A)只有一个根x=1 (B)只有一个根x=2(C)有两个根x 1=l ，x 2=2 (D)无解． rz+，+o=10，5．方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=-+=++40250310y x z y x z y x ( )(A)无解 (B)有1组解 (C)有2组解 (D)有无穷多组解．6. As in the figure 1, there are four circle with radius of 2. The four circles are apart from each other. Link their centers to form a quadrilateral, thenthe total area of the shaded parts in the figure is( )(A) 2π (B) 4π (C) 6π (D) 8π7．在平面直角坐标系中．先将直线y=3x －2关于x 轴作轴对称变换，再将所得直线关于y轴作轴对称变抉，则经两次变换后所得直线的表达式是( )(A)y=2x一3 (B)y=3x一2 (C)y=2x＋3 (D)y=3x＋2 8．一次函数y=(m2一4)x＋(1一m)和y=(m+2)x+(m2—3)的图象分别与y 轴交于点P和Q，这两点关于x轴对称，则m的值是( )(A)2 (B)2或一1 (C)l或一1 (D)－19．如图2，在周长是lOcm的□ABCD中，AB≠AD，AC、BD相交于点O，点E在AD边上，且OE⊥BD，则△ABE的周长是( )(A)2cm (B)3cm (C)4cm (D)5cm10．x1,x2,x3,…,x100是自然数，且x1＜x2＜x3＜…x100,若x1＋x2＋…＋x100=7001，那么x1＋x2＋…＋x50的最大值是( )(A)2225 (B)2226 (C)2227 (D)2228二．A组填空题(每小题4分，共40分)11.有下列命题：①矩形既是中心对称图形，又是轴对称图形；②平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形；④等腰梯形是轴对称图形，不是中心对称图形；④有一个锐角是30°的直角三角形不是中心对称图形，也不是轴对称图形．其中正确命题的序号是______________．(把所有正确的命题的序号都填上)12．若n 是正整数，且x 2n=5 , 则()()n n x x 22342÷=______________． 13．已知整数a ，b 满足6ab=9a 一10b ＋16．则a ＋b 的值是____________.14. The original railway from A to B is 310 km, and now a 280km long high-speed railwayis built. The train speed on the high -speed railway is twice the original speed, so the traveling time fromA toB is 2 hours shorter. Then the original train speed on the original railway is_________km/hottr.15．如图3，已知△ABC 中，AD 平分∠BAC ．∠C=20°，AB ＋BD=AC ，则∠B 的度数是____________．16．若△ABC 的三个内角满足3∠A ＞5∠B ，3∠C ＜2∠B ，则△ABC 必是___________三角形．(填“锐角”、“直角”或“钝角”)17．若关于x 的分式方程22121=-+--x x mx 有整数解,m 的值是_____________________.18．已知a 十x 2=2011，b ＋x 2=2012,c ＋x 2=2013，且abc=24，则c b a ab c ac b bc a 111---++=______________. 19．若x 是自然数,x ＋13和x －76都是完全平方数，那么x=_____________．20．如图4，在□ABCD 中，点E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点,点P 在线段GF 上，则△PHE 与□ABCD 的面积的比值是_____________．三、B 组填空趣(每小题8分，共40分．)21．直线y=3x+k+2与直线y=-x+2k 的交点在第二象限，且k 是正整数，则k 的值是_____________；交点的坐标是__________．22．一个三角形的三条边的长分别是5,7,10，另一个三角形的三条边的长分别是5，3x 一2，2y ＋1，若这两个三角形全等,则x ＋y 的值是__________或_____________.23．点A 和B 在直线643+-=x y 上，点A 的横坐标是2，且AB=5．当线段AB 绕点A 顺时针旋转90°后，点B 的坐标是____________或____________．24．等腰直角△ABC 中，∠ACB=90°，点D 和E 在AB 边上，AD=3，BE=4，∠DCE=45°，则DE=_______或_________．25．袋中有红、黄、黑三种颜色的球各若干个，黄色球上标有数字5，黑色球上标有数字6，红色球上标的数字看不清．现从袋中拿出8个球，其中黄色球和黑色球的个数分别少于红色球的个数．已知8个球上的数字和是39，那么红色球上标的数字是______________；拿出黑色球的个数是_________________．。

第8-22届希望杯全国数学邀请赛(初二)试题

第八届“希望杯”全国数学邀请赛初二第1试第八届“希望杯”全国数学邀请赛初二第2试第九届“希望杯”全国数学邀请赛初二第1试第九届“希望杯”全国数学邀请赛初二第2试第十届“希望杯”全国数学邀请赛初二第1试第十届“希望杯”全国数学邀请赛初二第2试第十一届“希望杯”全国数学邀请赛初二第1试第十一届“希望杯”全国数学邀请赛初二第2试一、选择题：1．－20001999, －19991998, －999998, －1000999这四个数从小到大的排列顺序是（AA ）－20001999<－19991998<－1000999<－999998 （B ）－999998<－1000999<－19991998<－20001999（C ）－19991998<－20001999<－1000999<－999998 （D ）－1000999<－999998<－20001999<－199919982．一个三角形的三条边长分别是a , b , c (a , b , c 都是质数)，且a ＋b ＋c ＝16，则这个三角形的形状是（A ）直角三角形（B ）等腰三角形（C ）等边三角形（D ）直角三角形或等腰三角形 3．已知25x =2000, 80y =2000，则y1x 1+等于（A ）2 （B ）1 （C ）21（D ）23 4．设a ＋b ＋c =0, abc >0，则|c |ba |b |ac |a |c b +++++的值是（A ）－3 （B ）1 （C ）3或－1 （D ）－3或15．设实数a 、b 、c 满足a <b <c (ac <0)，且|c |<|b |<|a |，则|x －a |＋|x －b |＋|x ＋c |的最小值是（A ）3|c b a |++ （B ）|b | （C ）c －a （D ）―c ―a 6．若一个等腰三角形的三条边长均为整数，且周长为10，则底边的长为（A ）一切偶数（B ）2或4或6或8 （C ）2或4或6 （D ）2或4 7．三元方程x ＋y ＋z ＝1999的非负整数解的个数有（A ）20001999个（B ）19992000个（C ）2001000个（D ）2001999个 8．如图1，梯形ABCD 中，AB //CD ，且CD ＝3AB ，EF //CD ，EF 将梯形 ABCD 分成面积相等的两部分，则AE ：ED 等于（）。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

（英汉词典 acute angle ：锐角；obtuse angle ：钝角）
B A
D
C
第十六届“希望杯”全国数学邀请赛
初二第1试
2005年3月20日上午8∶30至10∶00
校名班次姓名辅导教师成绩一、选择题（每小题4分，共40分）以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表题号 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
共得分
答案
1、
30
288642-+-+-+- 等于
A ．41
B ．41-
C ．21
D ．2
1-
2、已知x =3是不等式m mx 412-<+的一个解，如果m 是整数，那么m 的最大值是
A ．－1
B ．0
C ．1
D ．－2
3、一个两位数的个位数字和十位数字交换位置后，所得的数比原来的数大9，这样的两位数中，质数有
A ．1个
B ．3个
C ．5个
D ．6个
4、有三组数x 1，x 2，x 3；y 1，y 2，y 3；z 1，z 2，z 3，它们的平均数分别是a ，b ，c ，那么x 1＋y 1－z 1，x 2＋y 2－z 2，x 3＋y 3－z 3的平均数是
A ．
3c b a ++ B ．3c
b a -+ C ．
c b a -+ D ．)(3c b a -+ 5、已知1
21
221121214
333-++++++= A ，则A 与1的大小关系是 A ．A > 1 B ．A = 1 C ．A < 1 D ．无法确定的 6、Given in the △ABC ，a ，b ，c are three sides of the triangle ，and
c
b a 1
23+=，then ∠A is A ．acute angle B ．right angle
C ．obtues angle
D ．acute angle or obtues angle
7、如图1，点D 是△ABC 的边BC 上一点，如果AB =AD =2，AC=4，
且BD ∶DC =2∶3，则△ABC 是
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．锐角三角形或直角三角形
8、已知0<<<c b a ，则c b a
+，a c b +，b
a c +的大小关系是 A ．
c b a +<a c b +<b a c + B ．
c b a
+<b a c +<a c b + C ．a c b +<c b a +<b
a c +
D ．b a c +<a c b +＋c
b a +
9、某人月初用x 元人民币投资股票，由于行情较好，他的资金每月都增加3
1
，即使他每月
末都取出1000元用于日常开销，他的资金仍然在三个月后增长了一倍，那么x 的值是
图1
A
B
C D E
F
G H
图3
A ．9000
B ．10000
C ．11000
D ．11100 10、判断下列命题的真假：
甲：在边长为1的正三角形中（包括边界）的任意四个点，必有两点的距离不大于
2
1. 乙：在边长为1，一个内角为600的菱形中（包括边界）的任意六个点，必有两点的距离不大于
2
1. 那么正确的结论是
A ．甲真乙真
B ．甲真乙假
C ．甲假乙真
D ．甲假乙假
二、A 组填空题（每小题4分，共40分。

含两个空的小题，每个空2分。

）
11、计算：2000
2000
2000
20001998
35
715337++⨯⎪
⎭
⎫ ⎝⎛= 12、分解因式：1)()(2
2
++-+b a b a ab =
13、已知质数p 与q 满足4173=+q p ，则)1)(1(-+q p =
14、如图2，将直径AB =1的半圆形纸片平放在桌面上，然后让它绕直径的一个端点旋转到某个位置，这时它扫过的面积为8
5π
，则AB 旋转的角度为
15、如图3，从一个边长为a 的正方形纸片ABCD 中剪去一个宽为b 的长方形CDEF ，再从剩下的纸片中沿平行短边的方向剪去一个边长为c 的正方形BFHG ，若长方形CDEF 与AGHE 的面积比是3∶2，那么
a
b
= ；正方形BFHG 与正方形ABCD 的面积比是
16、已知a 是整数，x ，y 是方程012
=++--ay ax xy x 的整数解，则y x -= 或 17、A 、B 、C 三种服装的进价分别是30元、40元、50元，售价分别是35元、m 元、60元，经核算，三种服装的总利润相同，且A 、B 两种服装的销售量之和C 服装销售量的4倍，则m =
图2
B
A
；A 、B 、C 三种服装的销售量之比是 18、已知b a b a x -+=，b
a b
a y +-=)(
b a ±≠，且2005191431922=++y xy x ，则x ＋y = 或
19、已知一个两位整数ab 的五次方是一个六位数，且最高位的数字与个位数字都是3，那么ab =
；中间的四个数字之和是
20、In figure 4 ，five points A 、B 、C 、D 、E are located on a line. When the ten distances between pairs are listed from smallest to largest ，the list reads ： 2，4，5，7，8，k ，13，15，17，19. Then the value of k is
三、B 组填空题（每小题8分，共40分。

每题两个空，每个空4分）
21、在公式b kx y +=（k ，b 为常数）中，当－3≤x ≤1时，1≤y ≤9，则2k －b 的值为或 22、已知方程c c x x 11+=+
（c 是常数，c ≠0）的解是c 或c 1，那么方程=-+6
41
x x a
a a 21
32++（a 是常数，且a ≠0）的解是或
23、已知△ABC 的某两个内角的比是4∶7且AB=AC ，BD ⊥AC 于D ，BE 平分∠ABC 交AC 于E ，则∠EBD 的大小是或
24、已知正△ABC 的面积是1，P 是平面上一点，并且△P AB 、△PBC 、△PCA 的面积相等，那么满足条件的点P 共有个；△P A B 的面积是
25、某靶场有红、绿靶标共100个，其中红靶标的数量不到绿靶标数量的
3
1
.若打中一个红靶标得10分，打中一个绿靶标得8.5分，小明打中了全部绿靶标和部分红靶标，在计算他所得的总分时，发现总分与红靶标的总数无关（包括打中的和没有打中的），则靶场有红靶标个，打中的红靶标的个数为
B
A C
D E
Figure 4。