数值分析习题

第一章 绪论

习题主要考察点：有效数字的计算、计算方法的比较选择、误差和误差限的计算。 1 若误差限为5

105.0-⨯,那么近似数0.003400有几位有效数字？（有效数字的计算） 2 14159.3=π具有4位有效数字的近似值是多少？（有效数字的计算）

3 已知2031.1=a ，978.0=b 是经过四舍五入后得到的近似值，问b a +，b a ⨯有几位有效数字？（有效数字的计算）

4 设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差和相对误差？（误差的计算）

5测得某圆柱体高度h 的值为cm h 20*=，底面半径r 的值为cm r 5*

=，已知

cm h h 2.0||*≤-，cm r r 1.0||*≤-，求圆柱体体积h r v

2π=的绝对误差限与相对误差

限。（误差限的计算）

6 设x 的相对误差为%a ,求n

x y =的相对误差。（函数误差的计算）

7计算球的体积，为了使体积的相对误差限为%1，问度量半径r 时允许的相对误差限为多大？（函数误差的计算）

8 设⎰-=1

1

dx e x e

I x n n ，求证： （1）)2,1,0(11 =-=-n nI I n n

（2）利用（1）中的公式正向递推计算时误差逐步增大；反向递推计算时误差逐步减小。（计

算方法的比较选择）

第二章 插值法

习题主要考察点：拉格朗日插值法的构造，均差的计算，牛顿插值和埃尔米特插值构造，插值余项的计算和应用。

1 已知1)2(,1)1(,2)1(===-f f f ，求)(x f 的拉氏插值多项式。（拉格朗日插值）

2 已知9,4,10===

x x x y ，用线性插值求7的近似值。（拉格朗日线性插值）

3 若),...1,0(n j x j =为互异节点，且有

)

())(())(()())(())(()(11101110n j j j j j j j n j j j x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x l ----------=

+-+-

试证明

),...1,0()(0

n k x x l x

n

j k j

k j =≡∑=。

（拉格朗日插值基函数的性质） 4 已知352274.036.0sin ,333487.034.0sin ,314567.032.0sin ===，用抛物线插值计算3367.0sin 的值并估计截断误差。（拉格朗日二次插值） 5 用余弦函数x cos 在00=x ，4

1π

=x ，2

2π

=

x 三个节点处的值，写出二次拉格朗日插值

多项式, 并近似计算6

cos π

及其绝对误差与相对误差，且与误差余项估计值比较。（拉格朗

日二次插值）

6 已知函数值212)6(,82)4(,46)3(,10)1(,6)0(=====f f f f f ，求函数的四阶均差

]6,4,3,1,0[f 和二阶均差]3,1,4[f 。（均差的计算）

7 设)())(()(10n x x x x x x x f ---= 求][1,0p x x x f 之值，其中1+≤n p ，而节点

)1,1,0(+=n i x i 互异。（均差的计算）

8 如下函数值表

建立不超过三次的牛顿插值多项式。（牛顿插值多项式的构造）

9求一个次数小于等于三次多项式)(x p ，满足如下插值条件：2)1(=p ，4)2(=p ，

3)2(='p ，12)3(=p 。（插值多项式的构造）

10 构造一个三次多项式)(x H ，使它满足条件1)1(,1)2(,0)1(,1)0(='===H H H H （埃尔米特插值）。

11 设4/9,1,4/1,)(2102

3====x x x x x f 。(1)试求)(x f 在[]4/9,4/1上的三次埃尔米特插值多项式)(x H ，使得)()(,2,1,0),()(11x f x H j x f x H j j '='==，)(x H 以升幂形式给出。(2)写出余项)()()(x H x f x R -=的表达式。（埃尔米特插值及其余项的计算）。 12 若0)()(],,[)(2

==∈b f a f b a c x f ，试证明：

()|)( |max 8

1

|)( |max 2x f a b x f b x a b

x a ''-≤

≤≤≤≤（插值余项的应用）

13 设,2)2(,1)0(,1)2(==-=-f f f 求)(x p 使)2,1,0()()(==i x f x p i i ； 又设 M x f ≤'''|)(| ，则估计余项)()()(x p x f x r -=的大小。（插值误差的估计）

习题主要考察点：最小二乘法，最佳平方逼近，正交多项式的构造。

1 设x x f πsin )(=，求)(x f 于]1,0[上的线性最佳平方逼近多项式。（最佳平方逼近）

2 令11,)(≤≤-=x e x f x

，且设x a a x p 10)(+=,求10,a a 使得)(x p 为)(x f 于]1,1[- 上的最佳平方逼近多项式。（最佳平方逼近） 3证明：切比雪夫多项式序列

)arccos cos()(x k x T k =

在区间[]1,1-上带权2

11)(x

x -=

ρ正交。（正交多项式的证明）

4求矛盾方程组：⎪⎩⎪

⎨⎧=-=+=+2

42321

2121x x x x x x 的最小二乘解。（最小二乘法）

5 已知一组试验数据

试用直线拟合这组数据. (计算过程保留3位小数)。（最小二乘线性逼近） 6 用最小二乘原理求一个形如2

bx a y +=的经验公式,使与下列数据相拟合。

（最小二乘二次逼近）