非线性动力学——时间序列分析读书报告

非线性动力学时间序列分析读书报告

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1.时间序列分析简介

用随机过程理论和数理统计学方法研究随机数据序列所遵从的统计规律，以用于解决实际问题。由于在大多数问题中，随机数据是依时间先后排成序列的，称为时间序列。它包括一般统计分析（如自相关分析、谱分析等），统计模型的建立与推断，以及关于随机序列的最优预测、控制和滤波等内容。

经典的统计分析都假定数据序列具有独立性，而时间序列分析则着重研究数据序列的相互依赖关系。后者实际上是对离散指标的随机过程的统计分析，所以又可看作是随机过程统计的一个组成部分。例如,用 x(t)表示某地区第 t月的降雨量，*x(t),t=1,2,…+是一时间序列。对t=1,2,…,T记录到逐月的降雨量数据x(1)，x(2)，…，x(T)称为长度为T的样本序列。依此，即可使用时间序列分析方法，对未来各月的雨量x(T+i) i=1，2，…进行预报。

时间序列分析不仅可以从数量上揭示某一现象的发展变化规律或从动态的角度刻画某一现象与其他现象之间的内在数量关系及其变化规律性，达到认识客观世界之目的，而且运用时间序列模型还可以预测和控制现象的未来行为。时间序列分析在第二次世界大战前就已应用于经济预测。二次大战中和战后，在军事科学、空间科学和工业自动化等部门的应用更加广泛。

2.时间序列概述

时间序列包含一系列数据，这些数据是随时间或者其他变量的增加而得到的，并随着时间的改变，变量值的序列组成了一个时间序列。例如，股票每天的收盘价格就是一个时间序列，每年客运流量是一个时间序列，某种商品的销售数量也是一个时间序列，时间序列存在于日常生活之中。

2.1 时间序列的定义

时间序列是指按照时间顺序获得的一系列观测值。从数学意义上讲，如果对某一过程中的某一变量或一组变量 X(t)进行观察测量，在一系列时刻t1，t2，…，t n (t 为自变量，且t1

从纵向上看，时间序列是指存在于自然科学、社会科学中的某一变量或指标的数值以及观测值，按照其出现时间的先后次序，以相同的或不同的间隔时间排列的一组数值。它是某一现象或

若干现象在不同时刻上的状态所形成的数据，反映的是现象与现象之间关系的发展变化规律。从横向上看，时间序列也可以是将若干相关现象在某一时间点上所处的状态按一定顺序排序的一组数据，反映的是一定时间、地点条件下各相关现象之间存在的内在数值联系。因此，从系统的意义上看，时间序列就是某一系统在不同时间（地点、条件等）的响应。

2.2 时间序列分析基本特征

2.2.1 时间序列分析法是根据过去的变化趋势预测未来的发展，它的前提是假定事物的过去延续到未来时间序列分析，正是根据客观事物发展的连续规律性，运用过去的历史数据，通过统计分析，进一步推测未来的发展趋势。事物的过去会延续到未来这个假设前提包含两层含义：一是不会发生突然的跳跃变化，是以相对小的步伐前进; 二是过去和当前的现象可能表明现在和将来活动的发展变化趋向。这就决定了在一般情况下，时间序列分析法对于短、近期预测比较显著，但如延伸到更远的将来，就会出现很大的局限性，导致预测值偏离实际较大而使决策失误。

2.2.2 时间序列数据变动存在着规律性与不规律性时间序列中的每个观察值大小，是影响变化的各种不同因素在同一时刻发生作用的综合结果。从这些影响因素发生作用的大小和方向变化的时间特性来看，这些因素造成的时间序列数据的变动分为四种类型。

1)趋势性：某个变量随着时间进展或自变量变化，呈现一种比较缓慢而长期的持续上升、下降、

停留的同性质变动趋向，但变动幅度可能不相等。

2)周期性：某因素由于外部影响随着自然季节的交替出现高峰与低谷的规律。

3)随机性：个别为随机变动，整体呈统计规律。

4)综合性：实际变化情况是几种变动的叠加或组合。预测时设法过滤除去不规则变动，突出反

映趋势性和周期性变动。

2.3 时间序列模型

时间序列中的模型，常见的有:

2.3.1 自回归 ( )模型

仅通过时间序列变量的自身历史观测值来反映有关因素对预测目标的影响和作用，不受模型变量相互独立的假设条件约束，所构成的模型可以消除普通回归预测方法中由于自变量选择、多重共线性等造成的困难。

2.3.2 移动平均 ( )模型

用过去各个时期的随机干扰或预测误差的线性组合来表达当前预测值。 ( )的假设条件不满

足时可以考虑用此形式。

2.3.3 自回归移动平均 ( , )模型

使用两个多项式的比率近似一个较长的AR 多项式，即其中+个数比 ( )模型的阶数小。前二种模型分别是该种模型的特例。一个过程可能是与过程、几个过程、与过程的迭加，也可能是测度误差较大的过程。

2.3.4 自回归综合移动平均 ( , , )模型

模型形式类似 ( , )模型，但数据必须经过特殊处理。特别当线性时间序列非平稳时，不能直接利用 ( , )模型，但可以利用有限阶差分使非平稳时间序列平稳化，实际应用中

一般不超过2。若时间序列存在周期性波动，则可按时间周期进行差分，目的是将随机误差有长久影响的时间序列变成仅有暂时影响的时间序列。即差分处理后新序列符合 ( , )模型，原序列符合 ( , , )模型。

2.4 时间序列分析方法

2.4.1 时间序列建模基本步骤是:

1)用观测、调查、统计、抽样等方法取得被观测系统时间序列动态数据。

2)根据动态数据作相关图，进行相关分析，求自相关函数。

3)辨识合适的随机模型，进行曲线拟合，即用通用随机模型去拟合时间序列的观测数据。

对于短的或简单的时间序列，可用趋势模型和季节模型加上误差来进行拟合。对于平稳时间序列，可用通用模型（自回归滑动平均模型）及其特殊情况的自回归模型、滑动平均模型或组合模型等来进行拟合。当观测值多于50个时一般都采用模型。

2.4.2 时间序列分析方法

时间序列分析的基本思想是根据系统有限长度的运行记录（观测数据），建立能精确反映时间序列中所包含的动态依存关系的数学模型。通常的时间序列有水文信息、股票的股价、交通流量和商店中商品的销售状况等。针对不同种类的时间序列，选择的分析方法也会有所差别。为了揭示所研究时间序列的动态规律性，人们在实践中产生了一系列分析研究时间序列的方法。

1)确定性时序分析方法。时间序列分析就是设法消除随机性波动、分解季节性变化和拟确定性

趋势，主要包括发展水平分析、趋势变化分析、季节变动分析和循环波动测定等方法。

2)随机性时序分析方法。通过建立随机模型，对随机时间序列进行分析，可以预测未来值，主

要包括一元（多元）时序分析、可控（不可控）时序分析等方法。