2020-2021年上海市延安中学高三上期中数学试题 PDF版
2020-2021学年上海市长宁区延安中学高二(上)期中数学试卷
2020-2021学年上海市长宁区延安中学高二（上）期中数学试卷试题数：23，总分：1001.（填空题，3分）计算：n→+∞2n+53−n=___ ．2.（填空题，3分）向量 a ⃗ =（-1，1）的单位向量 a 0⃗⃗⃗⃗⃗ =___ ．3.（填空题，3分）已知矩阵A= (211−3) ，矩阵B= (−11) ，则AB=___ ． 4.（填空题，3分）已知直线x+ √3 y-5=0，则其倾斜角为___ ．5.（填空题，3分）将循环小数0.3 6•化成最简分数后，分子与分母的和为 ___ ．6.（填空题，3分）已知△ABC 的顶点坐标A （-6，2），B （6，4），设G （2，0）是△ABC 的重心，则顶点C 的坐标为___ ．7.（填空题，3分）若直线l 过点P （3，4），且与直线2x+y-1=0平行，则直线l 的方程为___ ．8.（填空题，3分）三阶行列式 |x 2−32x251x 4−2| 中第3行第2列元素的代数余子式的值小于0，则实数x 的取值范围为___ ．9.（填空题，3分）已知A （1，0），B （3，1），C （2，-3），则 BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 在 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影为___ ．10.（填空题，3分）设点A （2，1），B （-1，4），若点P 在直线AB 上，且满足| AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=3| BP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，则点P 的坐标为___ ．11.（填空题，3分）已知无穷等比数列{a n }， (a 2a 4) 是增广矩阵为 (3−122012) 的线性方程组的解，则无穷等比数列{a n }的各项的和为___ ．12.（填空题，3分）在平面直角坐标系中，动点P 到两条直线3x-y=0与x+3y=0的距离之和等于4，则点P 到原点距离的取值范围为___ ．13.（填空题，3分）将直线l 1：x+y-1=0、l 2：nx+y-n=0、l 3：x+ny-n=0（n∈N *，n≥2）围成的三角形面积记为S n ，则n→∞S n =___ ．14.（填空题，3分）已知向量 a ⃗ ， b ⃗⃗ 的夹角为 π4，| b ⃗⃗ |=2，若对任意x∈R ，恒有| b ⃗⃗ +x a ⃗ |≥| b⃗⃗ - 12a ⃗ |，则函数f （t ）=|t b ⃗⃗ - a ⃗ |+|t b ⃗⃗ - 12a ⃗ |（t∈R ）的最小值为___ ．15.（单选题，3分）已知直线l 1：3x+ay+2=0和l 2：x+（a-4）y+6a=0，则“a=1”是“l 1⊥l 2”的（ ） A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件D.既非充分又非必要条件16.（单选题，3分）下列命题为真命题的序号是（ ） ① a ⃗2 =| a ⃗ |2；② 若向量 a ⃗ 和 b ⃗⃗ 反向，则| a ⃗ |-| b ⃗⃗ |=| a ⃗ + b ⃗⃗ |； ③ 若| a ⃗ |=| b ⃗⃗ |，则 a ⃗ = b ⃗⃗ 或 a ⃗ =- b ⃗⃗ ； ④ 若 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＞0，则△ABC 为钝角三角形． A. ① ② B. ② ③ C. ③ ④ D. ① ④17.（单选题，3分）已知a ＞0，b ＞0，且a≠b ，若 n→∞a n+1−b n+1a n −b n =5，则a+b 的值可能是（ ） A.9 B.10 C.11 D.1218.（单选题，3分）已知直线l 1：x-y-1=0，动直线l 2：（k+1）x+ky+k=0（k∈R ），则下列结论错误的是（ ）A.存在k ，使得l 2的倾斜角为90°B.对任意的k ，l 1与l 2都有公共点C.对任意的k ，l 1与l 2都不重合D.对任意的k ，l 1与l 2都不垂直19.（问答题，8分）解关于x ，y 的二元一次方程组 {mx −y =3(3m +1)x −4my =8m +4 （m∈R ），并对解的情况进行讨论．20.（问答题，8分）已知| m ⃗⃗⃗ |=1，| n ⃗⃗ |=2， m ⃗⃗⃗ 与 n ⃗⃗ 的夹角为60°，设 a ⃗ = m ⃗⃗⃗ -3 n ⃗⃗ ， b ⃗⃗ =2 m ⃗⃗⃗ +t n ⃗⃗ ，t∈R ．（1）若 a ⃗ ⊥ b⃗⃗ ，求t ； （2）若t=0，求向量 a ⃗ 与 b⃗⃗ 的夹角．21.（问答题，8分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=1，2a n+1+3S n =2（n∈N*）． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）记S=a 1+a 2+……+a n +……，若对任何正整数n ，都有kS ＞S n+1成立，求实数k 的取值范围．22.（问答题，10分）如图，在△ABC 中，∠BAC= π3 ，D 为AB 中点．P 为CD 上一点满足 AP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 13 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，且△ABC 的面积为 3√32．求： （1）实数t 的值； （2）| AP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值．23.（问答题，12分）已知点P和非零实数λ，若两条不同的直线l1，l2均过点P，且斜率之x是一组“O-1共积为λ，则称直线l1，l2是一组“Pλ共轭线对”，如直线l1：y=2x和l2：y= −12轭线对”，其中O是坐标原点．（1）已知l1、l2是一组“O-3共轭线对”，求l1，l2的夹角的最小值；（2）已知点A（0，1）、点B（-1，0）和点C（1，0）分别是三条直线PQ，QR，RP上的点（A，B，C与P，Q，R均不重合），且直线PR，PQ是“P1共轭线对”，直线QP，QR是“Q4共轭线对”，直线RP，RQ是“R9共轭线对”，求点P的坐标；（3）已知点Q（-1，- √2），直线l1，l2是“Q-2共轭线对”，当l1的斜率变化时，求原点O到直线l1、l2的距离之积的取值范围．2020-2021学年上海市长宁区延安中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：23，总分：1001.（填空题，3分）计算： n→+∞2n+53−n=___ ．【正确答案】：[1]-2【解析】：直接利用数列的极限的运算法则化简求解即可．【解答】：解： n→+∞2n+53−n = lim n→+∞ 2+5n3n−1= 2+00−1 =-2． 故答案为：-2．【点评】：本题考查数列极限的运算法则的应用，是基本知识的考查． 2.（填空题，3分）向量 a ⃗ =（-1，1）的单位向量 a 0⃗⃗⃗⃗⃗ =___ ． 【正确答案】：[1]（- √22， √22）或（ √22，- √22）【解析】：运用向量的坐标，以及单位向量的求法，即可得解．【解答】：解：向量 a ⃗ =（-1，1）的单位向量 a 0⃗⃗⃗⃗⃗ =± a⃗⃗|a ⃗⃗|=± √(−1)2+12×（-1，1）=（- √22， √22 ）或（ √22 ，- √22）． 故答案为：（- √22 ， √22 ）或（ √22 ，- √22 ）．【点评】：本题主要考查了向量的坐标运算以及单位向量的求法，属于基础题． 3.（填空题，3分）已知矩阵A= (211−3) ，矩阵B= (−11) ，则AB=___ ． 【正确答案】：[1] (−1−4)【解析】：利用矩阵的乘法法则及其意义进行求解，即可得到答案．【解答】：解：矩阵A= (211−3) ，矩阵B= (−11) ，则AB= (211−3) • (−11) = (2×(−1)+1×11×(−1)+(−3)×1) = (−1−4) ，故答案为： (−1−4) ．【点评】：本题主要考查了矩阵的乘法的意义，是一道考查基本运算的基础题． 4.（填空题，3分）已知直线x+ √3 y-5=0，则其倾斜角为___ ． 【正确答案】：[1] 5π6【解析】：由题意利用直线的倾斜角和斜率的关系，先求出直线的斜率，可得直线的倾斜角．【解答】：解：∵直线x+ √3 y-5=0的斜率为- √33 ，设其倾斜角为θ，θ∈[0，π）， 则tanθ=- √33 ，故θ= 5π6 ， 故答案为： 5π6 ．【点评】：本题主要考查直线的倾斜角和斜率的关系，属于基础题．5.（填空题，3分）将循环小数0.3 6•化成最简分数后，分子与分母的和为 ___ ． 【正确答案】：[1]41【解析】：分别设y=0.3666…6…，x=0.666…6…，求出x ，y ，即可求出答案．【解答】：解：设y=0.3666…6…， ∴10y=3.666…6…=3+0.666…6…， 设x=0.666…6…， ∴10x=6.666…6…， ∴10x -x=6， ∴x= 23， ∴10y=3+ 23 ， ∴y= 1130 ，即循环小数0.3 6•化成最简分数为 1130 ， 11+30=41， 故答案为：41．【点评】：本题考查有理数域的性质和应用，解题时要认真审题，注意合理地进行等价转化．6.（填空题，3分）已知△ABC 的顶点坐标A （-6，2），B （6，4），设G （2，0）是△ABC 的重心，则顶点C 的坐标为___ ． 【正确答案】：[1]（6，-6） 【解析】：利用重心的性质求解．【解答】：解：设点C （a ，b ）， ∵G （2，0）是△ABC 的重心，∴ {−6+6+a3=22+4+b 3=0，解得 {a =6b =−6， ∴点C （6，-6）． 故答案为：（6，-6）．【点评】：本题主要考查了重心的性质，是基础题．7.（填空题，3分）若直线l 过点P （3，4），且与直线2x+y-1=0平行，则直线l 的方程为___ ．【正确答案】：[1]2x+y-10=0【解析】：设过点（3，4）且与直线2x+y-1=0平行的直线方程为 2x+y+m=0，把点（3，4）代入直线方程，求出m 值即得直线l 的方程．【解答】：解：设过点（3，4）且与直线2x+y-1=0平行的直线方程为 2x+y+m=0，把点（3，4）代入直线方程得 6+4+m=0，m=-10，故所求的直线方程为2x+y-10=0， 故答案为：2x+y-10=0．【点评】：本题考查用待定系数法求直线方程的方法，设过点（3，4）且与直线2x+y-1=0平行的直线方程为 2x+y+m=0 是解题的关键． 8.（填空题，3分）三阶行列式 |x 2−32x 251x 4−2| 中第3行第2列元素的代数余子式的值小于0，则实数x 的取值范围为___ ．【正确答案】：[1]（-∞，0）∪（4，+∞）【解析】：由第3行第2列元素的代数余子式的值小于0，得到（-1）3+2 |x22x 21| =-x 2+4x ＜0，由此能求出实数x 的取值范围．【解答】：解：∵三阶行列式 |x 2−32x 251x 4−2| 中第3行第2列元素的代数余子式的值小于0， ∴第3行第2列元素的代数余子式的值为：（-1）3+2 |x22x 21| =-x 2+4x ＜0， 解得x ＜0或x ＞4．∴实数x 的取值范围为（-∞，0）∪（4，+∞）． 故答案为：（-∞，0）∪（4，+∞）．【点评】：本题考查实数的取值范围的求法，考查行列式的代数余子式的定义等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．9.（填空题，3分）已知A （1，0），B （3，1），C （2，-3），则 BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 在 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影为___ ．【正确答案】：[1]-6√55【解析】：根据A ，B ，C 的坐标即可求出向量 BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，进而可求出 BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 和 |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗| 的值，然后即可得出 BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 在 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 上的投影．【解答】：解： BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−1，−4)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(2，1) ， ∴ BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−2−4=−6 ， |AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√5 ， ∴ BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 在 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影为： BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√5=−6√55 ．故答案为： −6√55．【点评】：本题考查了根据点的坐标求向量的坐标的方法，向量坐标的数量积的运算，投影的计算公式，考查了计算能力，属于基础题．10.（填空题，3分）设点A （2，1），B （-1，4），若点P 在直线AB 上，且满足| AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=3| BP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，则点P 的坐标为___ ． 【正确答案】：[1]（-2，5）或（0，3）【解析】：根据题意知 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3 BP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 或 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-3 BP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，设出点P 的坐标，利用向量相等列方程组求出即可．【解答】：解：点A （2，1），B （-1，4），所以 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（-3，3）； 设点P （x ，y ），由P 在直线AB 上，且| AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=3| BP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |， 所以 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3 BP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 或 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-3 BP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ； 又 BP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（x+1，y-4），当 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3 BP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 时，有 {−3=3(x +1)3=3(y −4) ，解得 {x =−2y =5 ，所以点P （-2，5）；当 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-3 BP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 时，有 {−3=−3(x +1)3=−3(y −4) ，解得 {x =0y =3 ，所以点P （0，3）；综上知，点P 的坐标为（-2，5）或（0，3）． 故答案为：（-2，5）或（0，3）．【点评】：本题考查了平面向量的坐标表示与运算问题，也考查了运算求解能力，是基础题． 11.（填空题，3分）已知无穷等比数列{a n }， (a 2a 4) 是增广矩阵为 (3−122012) 的线性方程组的解，则无穷等比数列{a n }的各项的和为___ ． 【正确答案】：[1]32或- 323【解析】：先根据增广矩阵得线性方程组，然后解线性方程组可得a 2，a 4，再求出首项和公比，最后利用无穷等比数列{a n }的各项的和的公式计算可得答案．【解答】：解：∵增广矩阵为 (3−122012) 的线性方程组为 {3x −y =22y =2 ，解得：x=8，y=2，即a 2=8，a 4=2，设无穷等比数列{a n }的公比为q ，则有 {a 1q =8a 1q 3=2 ，解得： {a 1=16q =12 或 {a 1=−16q =−12 ， ∴无穷等比数列{a n }的各项的和为a 11−q=32或- 323，．故答案为：32或- 323【点评】：本题主要考查增广矩阵定义、等比数列基本量的计算及无穷等比数列的各项的和的计算，属于基础题．12.（填空题，3分）在平面直角坐标系中，动点P到两条直线3x-y=0与x+3y=0的距离之和等于4，则点P到原点距离的取值范围为___ ．【正确答案】：[1][2 √2，4]【解析】：先确定两条直线满足垂直关系，设出点到直线的距离分别为a，b，然后根据条件得到a+b=4，利用二次函数的性质即可求解．【解答】：解：∵3x-y=0与x+3y=0的互相垂直，且交点为原点，∴设P到直线的距离分别为a，b，则a≥0，b≥0，则a+b=4，即b=4-a≥0，得0≤a≤4，由勾股定理可知OP= √a2+b2 = √a2+(4−a)2 = √2a2−8a+16 = √2(a−2)2+8，∵0≤a≤4，∴|OP|∈[2 √2，4]．故答案为：[2 √2，4]．【点评】：本题主要考查点到距离的公式，利用二次函数的图象和性质是解决本题的关键，属于中档题．13.（填空题，3分）将直线l1：x+y-1=0、l2：nx+y-n=0、l3：x+ny-n=0（n∈N*，n≥2）围S n =___ ．成的三角形面积记为S n，则n→∞【正确答案】：[1] 12【解析】：由题设条件解相应的方程组可以得到B (n n+1，nn+1) ，由BO⊥AC 结合题设条件能够推导出 S n =n−12(n+1) ，由此能够求出 n→∞S n 的值．【解答】：解：l 2：nx+y-n=0、l 3：x+ny-n=0的交点为B (nn+1，nn+1) ， 所以BO⊥AC ，∵l 1：x+y-1=0与x 轴、y 轴的交点分别为：（1，0）、（0，1）， ∴AC= √2S n = 12×√2×(nn+1√2−√22)=n−12(n+1)所以n→∞S n = 12 ，故答案为： 12．【点评】：本题考查极限问题的综合运用，解题时要仔细审题，认真解答，以免出错． 14.（填空题，3分）已知向量 a ⃗ ， b ⃗⃗ 的夹角为 π4 ，| b ⃗⃗ |=2，若对任意x∈R ，恒有| b ⃗⃗ +x a ⃗ |≥| b ⃗⃗ - 12a ⃗ |，则函数f （t ）=|tb ⃗⃗ - a ⃗ |+|t b ⃗⃗ - 12a ⃗ |（t∈R ）的最小值为___ ． 【正确答案】：[1] √10【解析】：设 OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=a ⃗ ， OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = b ⃗⃗ ，作出向量的几何图形，根据B 到OA 最小距离可计算OA ，将问题转化为求直线OB 上的点到两定点的距离之和问题．【解答】：解：设 OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = a ⃗ ， OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = b ⃗⃗ ，则∠AOB= π4 ，OB=2， 作BC⊥OA ，垂足为C ，则| b ⃗⃗+xa ⃗ |≥|BC|=| OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，∵对任意x∈R ，恒有| b ⃗⃗ +x a ⃗ |≥| b ⃗⃗ - 12a ⃗ |，∴ OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 12 a ⃗ = 12 OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∵OC= √2 ，∴OA=2 √2 ，以O 为原点，以OA 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则O （0，0），C （ √2 ，0），A （2 √2 ，0），设 OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t b ⃗⃗ ，则f （t ）=|t b ⃗⃗ - a ⃗ |+|t b ⃗⃗ - 12a ⃗ |=|DA|+|DC|， 设C 关于直线OB 的对称点为E ，则E （0， √2 ），∴|DA|+|DC|=|DA|+|DE|≥|AE|， ∴当A ，D ，E 三点共线时，f （t ）取得最小值，最小值为|AE|= √OA 2+OE 2 = √10 ． 故答案为： √10 ．【点评】：本题考查平面向量的几何意义，平面最短距离问题，属于中档题．15.（单选题，3分）已知直线l 1：3x+ay+2=0和l 2：x+（a-4）y+6a=0，则“a=1”是“l 1⊥l 2”的（ ） A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件D.既非充分又非必要条件 【正确答案】：B【解析】：结合线面垂直的条件，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】：解：若l 1⊥l 2，则3+a （a-4）=0，即a 2-4a+3=0，解得a=1或a=3． 所以a=1是l 1⊥l 2的充分不必要条件． 故选：B ．【点评】：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，以及直线垂直的应用，要熟练掌握直线垂直的等价条件．a 1x+b 1y+c 1=0和a 2x+b 2y+c 2=0垂直的等价条件为：a 1a 2+b 1b 2=0． 16.（单选题，3分）下列命题为真命题的序号是（ ） ① a ⃗2 =| a ⃗ |2；② 若向量 a ⃗ 和 b ⃗⃗ 反向，则| a ⃗ |-| b ⃗⃗ |=| a ⃗ + b ⃗⃗ |； ③ 若| a ⃗ |=| b ⃗⃗ |，则 a ⃗ = b ⃗⃗ 或 a ⃗ =- b ⃗⃗ ； ④ 若 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＞0，则△ABC 为钝角三角形． A. ① ② B. ② ③ C. ③ ④ D. ① ④ 【正确答案】：D【解析】：直接利用向量的夹角判定 ④ 的结论，利用向量的模判定 ① 的结论，直接利用三角不等式的应用判定 ② 的结论，直接利用三角形的形状的判定 ④ 的结论．【解答】：解：对于 ① ： a ⃗2 =| a ⃗ |2；故 ① 真命题；② 若向量 a ⃗ 和 b ⃗⃗ 反向，则| a ⃗ |-| b ⃗⃗ |≤| a ⃗ + b ⃗⃗ |（当且仅当 |a ⃗|＞|b ⃗⃗| 等号成立），故 ② 假命题； ③ 若| a ⃗ |=| b ⃗⃗ |，只能说明 a ⃗ 和 b ⃗⃗ 的模相等，不能说明则 a ⃗ = b ⃗⃗ 或 a ⃗ =- b ⃗⃗ ，故 ③ 假命题； ④ 若 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＞0，所以△ABC 中∠B 的外角为锐角，则△ABC 为钝角三角形，故 ④ 真命题． 故选：D ．【点评】：本题考查的知识要点：向量的夹角，向量的模，三角不等式的应用，三角形的形状的判定，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题． 17.（单选题，3分）已知a ＞0，b ＞0，且a≠b ，若 n→∞a n+1−b n+1a n −b n =5，则a+b 的值可能是（ ） A.9 B.10 C.11 D.12【正确答案】：A【解析】：直接利用数列极限的运算法则化简求解即可．【解答】：解：由题意可知，表达式具有对称性，不妨设a ＞b ＞0，n→∞a n+1−b n+1a n −b n=5，可得 lim n→+∞a−b•(b a )n1−(b a)n =a=5，所以a+b ＜2a=10．故选：A ．【点评】：本题考查数列的极限的运算法则的应用，是基本知识的考查．18.（单选题，3分）已知直线l 1：x-y-1=0，动直线l 2：（k+1）x+ky+k=0（k∈R ），则下列结论错误的是（ ）A.存在k ，使得l 2的倾斜角为90°B.对任意的k ，l 1与l 2都有公共点C.对任意的k ，l 1与l 2都不重合D.对任意的k ，l 1与l 2都不垂直 【正确答案】：C【解析】：根据直线的一般式方程，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．【解答】：解：对于动直线l 2：（k+1）x+ky+k=0（k∈R ），当k=0时，斜率不存在，倾斜角为90°，故A 正确；由于方程组 {x −y −1=0(k +1)x +ky +k =0 ，可得（2k+1）x=0，此方程有解，可得l 1与l 2都有交点，故B 正确； ∵当k=- 12 时，k+11 = k −1 = k−1成立，此时l 1与l 2重合，故C 错误；由于直线l 1：x-y-1=0 的斜率为1，动直线l 2的斜率为 k+1−k =-1- 1k ≠-1， 故对任意的k ，l 1与l 2都不垂直，故D 正确， 故选：C ．【点评】：本题主要考查直线的一般式方程，两条直线的位置关系，属于中档题．19.（问答题，8分）解关于x ，y 的二元一次方程组 {mx −y =3(3m +1)x −4my =8m +4 （m∈R ），并对解的情况进行讨论．【正确答案】：【解析】：根据题意，联立原方程组，变形可得：（4m2-3m-1）x=4-4m，据此分析x的解的情况，进而可得答案．【解答】：解：根据题意，{mx−y=3(3m+1)x−4my=8m+4，则有（3m+1）x-4m（mx-3）=8m+4，变形可得：（4m2-3m-1）x=4-4m，①当m≠1且m≠- 14时，4m2-3m-1≠0，4-4m≠0，方程① 中，x有唯一的解，则方程有唯一的解，当m=1时，4m2-3m-1=0，4-4m=0，方程① 中，x有无数组解，则方程有无数组解，当m=- 14时，4m2-3m-1=0，4-4m≠0，方程① 无解，则程无解；故当m≠1且m≠- 14时，4m2-3m-1≠0，4-4m≠0，方程有唯一的解，当m=1时，4m2-3m-1=0，4-4m=0，方程有无数组解，当m=- 14时，4m2-3m-1=0，4-4m≠0，方程无解．【点评】：本题考查方程组解的判断，注意联立方程，变为关于x的方程，属于基础题．20.（问答题，8分）已知| m⃗⃗⃗ |=1，| n⃗⃗ |=2，m⃗⃗⃗与n⃗⃗的夹角为60°，设a⃗ = m⃗⃗⃗ -3 n⃗⃗，b⃗⃗ =2 m⃗⃗⃗+t n⃗⃗，t∈R．（1）若a⃗⊥ b⃗⃗，求t；（2）若t=0，求向量a⃗与b⃗⃗的夹角．【正确答案】：【解析】：（1）根据条件及a⃗⊥b⃗⃗即可得出a⃗•b⃗⃗=(m⃗⃗⃗−3n⃗⃗)•(2m⃗⃗⃗+tn⃗⃗)=0，然后进行数量积的运算即可求出t的值；（2）t=0时，可得出b⃗⃗=2m⃗⃗⃗，然后即可求出a⃗•b⃗⃗和|a⃗|的值，然后即可求出cos＜a⃗，b⃗⃗＞的值，从而得出a⃗，b⃗⃗的夹角．【解答】：解：（1）∵ |m⃗⃗⃗|=1，|n⃗⃗|=2，＜m⃗⃗⃗，n⃗⃗＞=60°，a⃗⊥b⃗⃗，∴ a⃗•b⃗⃗=(m⃗⃗⃗−3n⃗⃗)•(2m⃗⃗⃗+tn⃗⃗) = 2m⃗⃗⃗2−3tn⃗⃗2+(t−6)m⃗⃗⃗•n⃗⃗ =2-12t+t-6=0，解得t=−411；（2）t=0时， b ⃗⃗=2m ⃗⃗⃗ ，∴ a ⃗•b ⃗⃗=2(m ⃗⃗⃗−3n ⃗⃗)•m ⃗⃗⃗=2m ⃗⃗⃗2−6m ⃗⃗⃗•n ⃗⃗ =2-6=-4， |a ⃗|=√(m ⃗⃗⃗−3n ⃗⃗)2=√1+36−6=√31 ，∴ cos ＜a ⃗，b ⃗⃗＞=a ⃗⃗•b ⃗⃗|a ⃗⃗||b ⃗⃗|= 2√31=−2√3131，且 ＜a ⃗，b ⃗⃗＞∈[0，π] ， ∴ a ⃗，b ⃗⃗ 的夹角为： π−arccos 2√3131 ．【点评】：本题考查了向量垂直的充要条件，向量数量积的运算，向量长度的求法，向量夹角的余弦公式，考查了计算能力，属于基础题．21.（问答题，8分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=1，2a n+1+3S n =2（n∈N*）． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）记S=a 1+a 2+……+a n +……，若对任何正整数n ，都有kS ＞S n+1成立，求实数k 的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）利用作差法构建a n 和a n-1之间的关系，得出数列为等比数列，进而求出首项即可；（2）利用极限先求出S ，然后表示出 S n+1S，进而利用函数单调性求出最值即可．【解答】：解：（1）由2a n+1+3S n =2可得2a n +3S n-1=2，两式相减得： 2a n+1-2a n +3a n =0（n≥2），即 a n+1a n=−12(n ≥2) ，又因为 a 2=2−3S 12=2−32=−12 ，即 a2a 1=−12 ，所以数列{a n }是以1为首项，以 −12 为公比的等比数列， 所以 a n =(−12)n−1；（2）由（1）可知数列{a n }是以1为首项，以 −12 为公比的等比数列， 所以 S n =1×(1−(−12)n )1−(−12)，因为n→+∞S n =23 ，所以 S =23 ，所以原不等式可变为 k ＞[1−(−12)n+1] ，令 y ={1−(12)n+1，n 为奇数1+(12)n+1，n 为偶数，因为 (12)n+1＞0 恒成立，所以当n 为奇数时，y ＜1，当n 为偶数时，y ＞1， 所以 y max =[1+(12)n+1]max，易知当n 为偶数时， y =1+(12)n+1单调递减， 所以当n=2时， y max =98 ， 所以 k ＞98．【点评】：本题考查了数列通项公式的求法以及简单的极限与函数最值的研究，属于中档题． 22.（问答题，10分）如图，在△ABC 中，∠BAC= π3 ，D 为AB 中点．P 为CD 上一点满足 AP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 13 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，且△ABC 的面积为 3√32．求： （1）实数t 的值； （2）| AP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值．【正确答案】：【解析】：（1）利用向量共线定理设 DP⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λDC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，再利用三角形法则表示出 AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，和已知相等即可求解，（2）利用三角形ABC 的面积求出边AB ，AC 的积为定值， 再把向量AP 用向量AB ，向量AC 表示出，利用基本不等式即可求解．【解答】：解：（1）因为P 为CD 上的一点，设 DP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λDC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 则 AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+DP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+λDC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+λ(AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗) = λAC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+(1−λ)AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 又 AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=tAC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+13AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=tAC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+23AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，由平面向量基本定理可得： {λ=t 1−λ=23，解得t= 13；（2）由S ABC =12|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗||AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|sin π3 = 3√32 ，得| AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗||AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗| =6， 而 |AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|2=|13AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+13AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|2=19 [ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|2+|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|2+2|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗||AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|cos π3]， 所以 |AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|2≥19[2|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗||AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|+|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗||AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|] = 13|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗||AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗| =2， 当且仅当 |AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗| 时取等号， 所以 |AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗| 的最小值为 √2 ．【点评】：本题考查了平面向量基本定理，涉及到利用基本不等式求最值问题，属于中档题． 23.（问答题，12分）已知点P 和非零实数λ，若两条不同的直线l 1，l 2均过点P ，且斜率之积为λ，则称直线l 1，l 2是一组“P λ共轭线对”，如直线l 1：y=2x 和l 2：y= −12x 是一组“O -1共轭线对”，其中O 是坐标原点．（1）已知l 1、l 2是一组“O -3共轭线对”，求l 1，l 2的夹角的最小值；（2）已知点A （0，1）、点B （-1，0）和点C （1，0）分别是三条直线PQ ，QR ，RP 上的点（A ，B ，C 与P ，Q ，R 均不重合），且直线PR ，PQ 是“P 1共轭线对”，直线QP ，QR 是“Q 4共轭线对”，直线RP ，RQ 是“R 9共轭线对”，求点P 的坐标；（3）已知点Q （-1，- √2 ），直线l 1，l 2是“Q -2共轭线对”，当l 1的斜率变化时，求原点O 到直线l 1、l 2的距离之积的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）设l 1的斜率为k ，则l 2的斜率为 −3k ，两直线的夹角为α，利用夹角公式及基本不等式求最值，即可得到l 1，l 2的夹角的最小值；（2）设直线PR ，PQ ，QR 的斜率分别为k 1，k 2，k 3，可得 {k 1k 2=1k 2k 3=4k 3k 1=9 ，求解可得k 1，k 2，k 3的值，进一步得到直线PR 与直线PQ 的方程，联立得P 的坐标； （3）设l 1： y +√2=k (x +1) ，l 2： y +√2=−2k(x +1) ，其中k≠0，利用两点间的距离公式可得原点O 到直线l 1，l 2的距离，变形后利用基本不等式求解．【解答】：解：（1）设l 1的斜率为k ，则l 2的斜率为 −3k ，两直线的夹角为α， 则tanα=| k+3k1+(−3) |= 12(|k |+3|k|)≥√3 ， 等号成立的条件是k= ±√3 ， ∴l 1，l 2的夹角的最小值为 π3 ；（2）设直线PR ，PQ ，QR 的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则 {k 1k 2=1k 2k 3=4k 3k 1=9，得 k 1=32，k 2=23，k 3=6 或 k 1=−32，k 2=−23，k 3=−6 ．当 k 1=32，k 2=23，k 3=6 时，直线PR 的方程为y= 32(x −1) ，直线PQ 的方程为y= 23x +1 ，联立得P （3，3）；当 k 1=−32，k 2=−23，k 3=−6 时，直线PR 的方程为y= −32(x −1) ，直线PQ 的方程为y= −23x +1 ，联立得P （ 35，35）． 故所求为P （3，3）或P （ 35，35）；（3）设l 1： y +√2=k (x +1) ，l 2： y +√2=−2k(x +1) ，其中k≠0，故 d 1d 2=√2|√1+k2•|−2k−√2|√1+4k2=√2•2√(k 2+1)(k 2+4)= √2•√k 4−4k 2+4k 4+5k 2+4 = √2•√1−9k 2k 4+5k 2+4 = √2•√1−9k 2+4k2+5．由于 k 2+4k 2+5≥9 （等号成立的条件是k 2=2）， 故 1−9k 2+4k2+5∈[0，1），d 1d 2∈[0， √2 ）．【点评】：本题考查两直线夹角与到角公式的应用，考查点到直线距离公式的运用，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．。
2020-2021上海延安初级中学高一数学上期中模拟试卷(及答案)
2020-2021上海延安初级中学高一数学上期中模拟试卷(及答案)一、选择题1．设集合{}1,2,4A =，{}240B x x x m =-+=．若{}1A B ⋂=，则B =( ) A ．{}1,3-B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,52．不等式()2log 231a x x -+≤-在x ∈R 上恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)2,+∞B ．(]1,2C ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦3．三个数0.32，20.3，0.32log 的大小关系为（ ）.A ．20.30.3log 20.32<< B ．0.320.3log 220.3<<C ．20.30.30.3log 22<<D ．20.30.30.32log 2<<4．如图，U 为全集，M 、P 、S 是U 的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）A ．()M P S ⋂⋂B ．()M P S ⋂⋃C ．()()U M P S ⋂⋂ðD ．()()U M P S ⋂⋃ð5．函数()sin lg f x x x =-的零点个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．36．已知函数2221,2,()2,2,x x x x f x x -⎧-++<=⎨≥⎩且存在三个不同的实数123,,x x x ，使得123()()()f x f x f x ==，则123x x x ++的取值范围为（ ）A ．(4,5)B ．[4,5)C ．(4,5]D ．[4,5]7．已知111,2,,3,23a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，若()af x x =为奇函数，且在(0,)+∞上单调递增，则实数a的值是( ) A ．1,3-B ．1,33C ．11,,33-D ．11,,3328．已知定义在R 上的函数()f x 是奇函数且满足，3()(2)32f x f x f ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭，，数列{}n a 满足11a =-，且2n n S a n =+，(其中n S 为{}n a 的前n 项和).则()()56f a f a +=（） A ．3B ．2-C ．3-D ．29．若0.23log 2,lg0.2,2a b c ===,则,,a b c 的大小关系为A ．c b a <<B ． b a c <<C ． a b c <<D ．b c a <<10．已知定义在R 上的函数()21()x m f x m -=-为实数为偶函数,记0.5(log 3),a f =2b (log 5),c (2)f f m ==,则,,a b c ,的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．c b a <<11．三个数0.377,0.3,ln 0.3a b c ===大小的顺序是（ ） A ．a c b >>B ．a b c >>C ．b a c >>D ．c a b >>12．已知函数()()()ln 1ln 1f x x x =+--，若实数a 满足()()120f a f a +->，则a 的取值范围是（ ） A ．()1,1-B ．()0,1C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭二、填空题13．函数y=232x x --的定义域是 . 14．下列各式：（1）122[(2)]2---=- ；（2）已知2log 13a〈 ，则23a 〉 . （3）函数2xy =的图象与函数2x y -=-的图象关于原点对称；（4）函数()f x =21mx mx ++的定义域是R ，则m 的取值范围是04m <≤； （5）函数2ln()y x x =-+的递增区间为1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.正确的．．．有________．（把你认为正确的序号全部写上） 15．设函数()f x 是定义在R 上的偶函数，记2()()g x f x x =-，且函数()g x 在区间[0,)+∞上是增函数，则不等式2(2)(2)4f x f x x +->+的解集为_____16．已知函数f(x)＝log a x ＋x －b(a ＞0，且a≠1)．当2＜a ＜3＜b ＜4时，函数f(x)的零点为x 0∈(n ，n ＋1)，n ∈N *，则n= . 17．函数的定义域为___．18．若集合(){}22210A x k x kx =+++=有且仅有2个子集，则满足条件的实数k 的最小值是____.19．若关于 x 的方程2420x x a ---= 在区间 (1, 4) 内有解，则实数 a 的取值范围是_____．20．已知函数()()2ln11f x x x =+-+，()4f a =，则()f a -=________．三、解答题21．已知2256x ≤且21log 2x ≥，求函数22()log log 22xxf x =⋅的最大值和最小值． 22．计算下列各式的值：（Ⅰ)322log 3lg25lg4log (log 16)++- （Ⅱ）2102329273()( 6.9)()()482-----+23．小张经营某一消费品专卖店，已知该消费品的进价为每件40元，该店每月销售量（百件）与销售单价x （元/件）之间的关系用下图的一折线表示，职工每人每月工资为1000元，该店还应交付的其它费用为每月10000元.（1）把y 表示为x 的函数；（2）当销售价为每件50元时，该店正好收支平衡（即利润为零），求该店的职工人数； （3）若该店只有20名职工，问销售单价定为多少元时，该专卖店可获得最大月利润？（注：利润=收入-支出）24．2019年某开发区一家汽车生产企业计划引进一批新能源汽车制造设备，通过市场分析，全年需投入固定成本3000万元，每生产x （百辆），需另投入成本()f x 万元，且210200,050()100006019000,50x x x f x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-≥⎪⎩，由市场调研知，每辆车售价6万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完.（1）求出2019年的利润()L x （万元）关于年产量x （百辆）的函数关系式；（利润=销售额-成本）（2）2019年产量为多少（百辆）时，企业所获利润最大？并求出最大利润.25．已知函数()f x 是定义R 的奇函数，当0x >时，2()2f x x x =-.（1）求函数()f x 的解析式；（2）画出函数()f x 的简图(不需要作图步骤)，并求其单调递增区间（3）当[]1,1x ∈-时，求关于m 的不等式2(1)(1)0f m f m -+-< 的解集．26．已知函数24,02()(2)2,2x x f x xx a x a x ⎧-<≤⎪=⎨⎪-++->⎩，其中a 为实数． （1）若函数()f x 为定义域上的单调函数，求a 的取值范围．（2）若7a <，满足不等式()0f x a ->成立的正整数解有且仅有一个，求a 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】∵ 集合{}124A ，，=，{}2|40B x x x m =-+=，{}1A B ⋂= ∴1x =是方程240x x m -+=的解，即140m -+= ∴3m =∴{}{}{}22|40|43013B x x x m x x x =-+==-+==，，故选C2．C解析：C 【解析】 【分析】由()2223122-+=-+≥x x x 以及题中的条件，根据对数函数的单调性性，对a 讨论求解即可. 【详解】由()2log 231a x x -+≤-可得()21log 23log -+≤a ax x a， 当1a >时，由()2223122-+=-+≥x x x 可知2123-+≤x x a无实数解，故舍去； 当01a <<时，()2212312-+=-+≥x x x a在x ∈R 上恒成立，所以12a ≤，解得112a ≤<. 故选：C 【点睛】本题主要考查对数函数的单调性，涉及到复合函数问题，属于中档题.3．A解析：A 【解析】 【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出． 【详解】∵0＜0.32＜1，20.3＞1，log 0.32＜0， ∴20.3＞0.32＞log 0.32． 故选A ． 【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，属于基础题．4．C解析：C 【解析】 【分析】先根据图中的阴影部分是M∩P 的子集，但不属于集合S ，属于集合S 的补集，然后用关系式表示出来即可． 【详解】图中的阴影部分是： M∩P 的子集，不属于集合S ，属于集合S 的补集,即是C U S 的子集则阴影部分所表示的集合是（M∩P ）∩(∁U S). 故选C ． 【点睛】本题主要考查了Venn 图表达集合的关系及运算，同时考查了识图能力，属于基础题．5．D解析：D 【解析】 【分析】画出函数图像，根据函数图像得到答案. 【详解】如图所示：画出函数sin y x =和lg y x =的图像，共有3个交点. 当10x >时，lg 1sin x x >≥，故不存在交点. 故选：D .【点睛】本题考查了函数的零点问题，画出函数图像是解题的关键.6．A解析：A 【解析】不妨设123x x x <<，当2x <时，()()212f x x =--+，此时二次函数的对称轴为1x =，最大值为2，作出函数()f x 的图象如图，由222x -=得3x =，由()()()123f x f x f x ==，，且1212x x +=，即122x x +=，12332,x x x x ∴++=+由图可知3323,425x x <<∴<+<， 即123x x x ++的取值范围是()4,5，故选A.7．B解析：B 【解析】 【分析】先根据奇函数性质确定a 取法，再根据单调性进行取舍，进而确定选项. 【详解】因为()af x x =为奇函数，所以11,3,3a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭因为()()0,f x +∞在上单调递增，所以13,3a ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭因此选B. 【点睛】本题考查幂函数奇偶性与单调性，考查基本判断选择能力.8．A解析：A 【解析】由奇函数满足()32f x f x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭可知该函数是周期为3T =的奇函数， 由递推关系可得：112,21n n n n S a n S a n +-=+=+-, 两式做差有：1221n n n a a a -=--，即()()1121n n a a --=-， 即数列{}1n a -构成首项为112a -=-，公比为2q =的等比数列， 故：()1122,21n n n n a a --=-⨯∴=-+，综上有：()()()()()552131223f a f f f f =-+=-==--=，()()()()66216300f a f f f =-+=-==，则：()()563f a f a +=. 本题选择A 选项.9．B解析：B 【解析】 【分析】由对数函数的单调性以及指数函数的单调性，将数据与0或1作比较，即可容易判断. 【详解】由指数函数与对数函数的性质可知，a =()3log 20,1,b ∈=lg0.20,c <=0.221>，所以b a c <<，故选：B. 【点睛】本题考查利用指数函数和对数函数的单调性比较大小，属基础题.10．B解析：B 【解析】由()f x 为偶函数得0m =,所以0,52log 3log 32121312,a =-=-=-=2log 521514b =-=-=,0210c =-=,所以c a b <<,故选B.考点：本题主要考查函数奇偶性及对数运算.11．B解析：B 【解析】试题分析：根据指数函数和对数函数的单调性知：0.30771a =>=，即1a >；7000.30.31b <=<=，即01b <<；ln0.3ln10c =<=，即0c <；所以a b c >>，故正确答案为选项B ．考点：指数函数和对数函数的单调性；间接比较法．12．B解析：B 【解析】 【分析】求出函数()y f x =的定义域，分析函数()y f x =的单调性与奇偶性，将所求不等式变形为()()21f a f a >-，然后利用函数()y f x =的单调性与定义域可得出关于实数a 的不等式组，即可解得实数a 的取值范围. 【详解】对于函数()()()ln 1ln 1f x x x =+--，有1010x x +>⎧⎨->⎩，解得11x -<<，则函数()y f x =的定义域为()1,1-，定义域关于原点对称，()()()()ln 1ln 1f x x x f x -=--+=-，所以，函数()y f x =为奇函数，由于函数()1ln 1y x =+在区间()1,1-上为增函数，函数()2ln 1y x =-在区间()1,1-上为减函数，所以，函数()()()ln 1ln 1f x x x =+--在()1,1-上为增函数， 由()()120f a f a +->得()()()1221f a f a f a >--=-，所以，11112121a a a a -<<⎧⎪-<-<⎨⎪>-⎩，解得01a <<.因此，实数a 的取值范围是()0,1. 故选：B. 【点睛】本题考查函数不等式的求解，解答的关键就是分析函数的单调性和奇偶性，考查计算能力，属于中等题.二、填空题13．【解析】试题分析：要使函数有意义需满足函数定义域为考点：函数定义域解析：[]3,1-【解析】试题分析：要使函数有意义，需满足2232023031x x x x x --≥∴+-≤∴-≤≤，函数定义域为[]3,1- 考点：函数定义域14．（3）【解析】（1）所以错误；（2）当时恒成立；当时综上或所以错误；（3）函数上任取一点则点落在函数上所以两个函数关于原点对称正确；（4）定义域为当时成立；当时得综上所以错误；（5）定义域为由复合函解析：（3） 【解析】 （1）(1122212---⎛⎫⎡⎤== ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，所以错误；（2）2log 1log 3aa a <=，当1a >时，恒成立；当01a <<时，023a <<，综上，023a <<或1a >，所以错误； （3）函数2xy =上任取一点(),x y ，则点(),x y --落在函数2x y -=-上，所以两个函数关于原点对称，正确；（4）定义域为R ，当0m =时，成立；当0m >时，240m m ∆=-≤，得04m <≤，综上，04m ≤≤，所以错误；（5）定义域为()0,1，由复合函数的单调性性质可知，所求增区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以错误； 所以正确的有（3）。
2020-2021上海上海中学高三数学上期中一模试题带答案
2020-2021上海上海中学高三数学上期中一模试题带答案一、选择题1．已知函数22()()()n n f n n n 为奇数时为偶数时⎧=⎨-⎩，若()(1)n a f n f n =++，则123100a a a a ++++=LA ．0B ．100C ．100-D ．102002．下列命题正确的是 A ．若 a ＞b,则a 2＞b 2 B ．若a ＞b ，则 ac ＞bc C ．若a ＞b ，则a 3＞b 3D ．若a>b ，则 1a ＜1b3．设{}n a 是首项为1a ，公差为-1的等差数列，n S 为其前n 项和，若124,,S S S 成等比数列，则1a =（ ） A ．2B ．-2C ．12D ．12-4．已知,x y 满足0404x y x y x -≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则3x y -的最小值为（ ）A ．4B ．8C ．12D ．165．若ABC V 的对边分别为,,a b c ，且1a =，45B ∠=o ,2ABC S =V ,则b =（ ） A ．5B ．25CD．6．已知等比数列{}n a 中，31174a a a =，数列{}n b 是等差数列，且77b a =，则59b b +=（ ） A ．2B ．4C ．16D ．87．在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边,若sin cos 0b A B -=,且2b ac =，则a cb+的值为( ) A ．2BCD ．48．,x y 满足约束条件362000x y x y x y -≤⎧⎪-+≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩,若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为12，则23a b+的最小值为 ( )A ．256B ．25C ．253D ．59．若ln 2ln 3ln 5,,235a b c ===，则 A ．a b c << B ．c a b << C ．c b a <<D ．b a c <<10．已知正数x 、y 满足1x y +=，则141x y++的最小值为（ ） A ．2B ．92 C ．143D ．511．“中国剩余定理”又称“孙子定理”1852年英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1至2019中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{}n a ，则此数列的项数为（ ） A ．134B ．135C ．136D ．13712．已知正项数列{}n a 中，*12(1)()2n n n a a a n N ++++=∈L ，则数列{}n a 的通项公式为（ ） A ．n a n =B ．2n a n =C ．2n na =D ．22n n a =二、填空题13．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2a =，且()()()2sin sin sin b A B c b C +-=-，则ABC ∆面积的最大值为______.14．在ABC ∆中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，若32sin sin sin ,cos 5B AC B =+=，且6ABC S ∆=，则b =__________． 15．设是定义在上恒不为零的函数，对任意，都有，若，，，则数列的前项和的取值范围是__________．16．在无穷等比数列{}n a 中，123,1a a ==，则()1321lim n n a a a -→∞++⋯+=______． 17．已知在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2a b c +=，则C ∠的取值范围为________18．我国古代数学名著《九章算术》里有问题：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，问：__________日相逢？19．在△ABC 中，2BC =，7AC =，3B π=，则AB =______；△ABC 的面积是______．20．若等比数列{}n a 的各项均为正数，且510119122a a a a e +=，则1220ln ln ln a a a +++L 等于__________．三、解答题21．已知数列{}n a 是一个公差为()0d d ≠的等差数列，前n 项和为245,,,n S a a a 成等比数列，且515=-S ．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{nS n}的前10项和． 22．已知,,a b c 分别是ABC △的角,,A B C 所对的边，且222,4c a b ab =+-=． （1）求角C ；（2）若22sin sin sin (2sin 2sin )B A C A C -=-，求ABC △的面积． 23．在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知a b >，5,6a c ==，3sin 5B =.（Ⅰ）求b 和sin A 的值； （Ⅱ）求πsin(2)4A +的值. 24．设数列的前项和为，且.（1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和.25．在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，如果A 、B 、C 成等差数列且3b =（1）当4A π=时，求ABC ∆的面积S ；（2）若ABC ∆的面积为S ，求S 的最大值．26．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，已知2223,33A b c a π=+-=． （1）求a 的值；（2）若1b =，求ABC ∆的面积．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】试题分析：由题意可得，当n 为奇数时，()22()(1)121;n a f n f n n n n =++=-+=--当n 为偶数时，()22()(1)121;n a f n f n n n n =++=-++=+所以()1231001399a a a a a a a ++++=+++L L ()()()2410021359999224610099100a a a ++++=-++++-++++++=L L L ，故选B.考点：数列的递推公式与数列求和.【方法点晴】本题主要考查了数列的递推公式与数列求和问题，考查了考生的数据处理与运算能力，属于中档题.本题解答的关键是根据给出的函数()22(){()n n f n n n =-当为奇数时当为偶数时及()(1)n a f n f n =++分别写出n 为奇数和偶数时数列{}n a 的通项公式，然后再通过分组求和的方法得到数列{}n a 前100项的和.2．C解析：C 【解析】对于A ，若1a =，1b =-，则A 不成立；对于B ，若0c =，则B 不成立；对于C ，若a b >，则33a b >，则C 正确；对于D ，2a =，1b =-，则D 不成立.故选C3．D解析：D 【解析】 【分析】把已知2214S S S =用数列的首项1a 和公差d 表示出来后就可解得1a ．，【详解】因为124S S S ，，成等比数列，所以2214S S S =，即211111(21)(46).2a a a a -=-=-，故选D. 【点睛】本题考查等差数列的前n 项和，考查等比数列的性质，解题方法是基本量法．本题属于基础题．解析：A 【解析】 【分析】作出可行域，变形目标函数并平移直线3y x =，结合图象，可得最值． 【详解】作出x 、y 满足0404x y x y x -≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩所对应的可行域（如图ABC V ），变形目标函数可得3y x z =-，平移直线3y x =可知， 当直线经过点(2,2)A 时，截距z -取得最大值， 此时目标函数z 取得最小值3224⨯-=. 故选：A.【点睛】本题考查简单线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题．5．A解析：A 【解析】在ABC ∆中，1a =，045B ∠=，可得114522ABC S csin ∆=⨯⨯︒=，解得42c =． 由余弦定理可得：()222222142214252b ac accosB =+-=+-⨯⨯⨯=． 6．D解析：D 【解析】 【分析】利用等比数列性质求出a 7，然后利用等差数列的性质求解即可．等比数列{a n }中，a 3a 11＝4a 7， 可得a 72＝4a 7，解得a 7＝4，且b 7＝a 7， ∴b 7＝4，数列{b n }是等差数列，则b 5+b 9＝2b 7＝8． 故选D ． 【点睛】本题考查等差数列以及等比数列的通项公式以及简单性质的应用，考查计算能力．7．A解析：A 【解析】 【分析】由正弦定理，化简求得sin 0B B =，解得3B π=，再由余弦定理，求得()224b a c =+，即可求解，得到答案．【详解】在ABC ∆中，因为sin cos 0b A B -=,且2b ac =，由正弦定理得sin sin cos 0B A A B =， 因为(0,)A π∈，则sin 0A >，所以sin 0B B =，即tan B =3B π=，由余弦定理得222222222cos ()3()3b a c ac B a c ac a c ac a c b =+-=+-=+-=+-， 即()224b a c =+，解得2a cb+=，故选A ． 【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解决三角形的边角关系，熟练掌握定理、合理运用是解本题的关键．通常当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解.8．A解析：A 【解析】 【分析】先画不等式组表示的平面区域，由图可得目标函数(0,0)z ax by a b =+>>何时取最大值，进而找到a b ，之间的关系式236,a b +=然后可得23123()(23)6a b a b a b+=++，化简变形用基本不等式即可求解。
2020-2021学年某校高三(上)期中数学试卷
2020-2021学年某校高三（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1. 已知全集U＝R，集合A＝{x|2x<1}，B＝{x|x−2<0}，则(∁U A)∩B＝（）A.{x|x>2}B.{x|0≤x<2}C.{x|0<x≤2}D.{x|x≤2}【答案】B【考点】交、并、补集的混合运算【解析】根据集合补集和交集的定义进行求解即可．【解答】A＝{x|2x<1}＝{x|x<0}，B＝{x|x−2<0}＝{x|x<2}，∁U A＝{x|x≥0}，则(∁U A)∩B＝{x|0≤x<2}，2. 下列命题中的假命题是（）A.∃x∈R，sin x＝B.∃x∈R，ln x＝C.∀x∈R，x2≥0D.∀x∈R，2x≥0【答案】A【考点】全称命题与特称命题全称量词与存在量词【解析】由三角函数的性质能判断A；由对数函数和二次函数以及指数函数的性质能判断B，C，D的正误．【解答】当x∈R时，sin x∈[−1, 1]，故sin x＝不成立，故A错误；由指数函数的性质知：任意x>0，ln x∈R，故∃x∈R，ln x＝，B正确；∵∀x∈R，x2≥0，故C正确；∵x∈R，2x>0，∴x∈R，2x≥0成立，故D正确．3. 已知向量＝(5, m)，＝(2, −2)，若-与共线，则实数m＝（）A.−1B.1C.2D.−5【答案】D【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示【解析】可求出，然后根据与共线即可得出−6−2(m+2)＝0，然后解出m的值即可．【解答】，，且与共线，∴−6−2(m+2)＝0，解得m＝−5．4. 已知f(x)是R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝log x，则f(x)>0的解集是（）A.(−1, 0)B.(0, 1)C.(−∞, −1)∪(0, 1)D.(−1, 0)∪(0, 1)【答案】C【考点】奇偶性与单调性的综合【解析】由已知结合奇函数的性质求出f(x)的解析式，然后结合对数函数的单调性即可求解．【解答】因为f(x)是R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝log x，当x<0时，−x>0，则f(−x)＝−f(x)＝log(−x)，所以f(x)＝−log(−x)，又f(0)＝0，则由f(x)>0可得，或，解可得0<x<1或x<−1．5. 将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，则g(x)＝（）A. B. C.cos2x D.−cos2x【答案】C【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】根据平移变换法则求解g(x)解析式．【解答】函数的图象向左平移个单位长度后，可得y＝sin[2(x+）-]＝sin(2x+）＝cos2x；6. 已知a，b∈R，且ab>0，则下列结论恒成立的是( )A.a2+b2>2abB.a+b≥2√abC.1a +1b>√abD.ba+ab≥2【答案】D【考点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】利用基本不等式需注意：各数必须是正数．不等式a2+b2≥2ab的使用条件是a，b∈R．【解答】解：对于A，a2+b2≥2ab，故A错误；对于B，C，ab>0，只能说明a，b同号，若a，b都小于0，不等式不成立，故B，C错误；对于D，∵ab>0，∴ba +ab≥2√ba⋅ab=2，故D正确.故选D.7. 已知三角形ABC，那么“”是“三角形ABC为锐角三角形”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【考点】充分条件、必要条件、充要条件【解析】三角形ABC，那么“”⇒•>0，可得A为锐角．进而判断出结论．【解答】三角形ABC，那么“”⇒•>0，可得A为锐角．此时三角形ABC不一定为锐角三角形．三角形ABC为锐角三角形⇒A为锐角．∴三角形ABC，那么“”是“三角形ABC为锐角三角形”的必要不充分条件．8. 声音的等级f(x)（单位：dB）与声音强度x（单位：W/m2）满足f(x)=10×lg x1×10−12．喷气式飞机起飞时，声音的等级约为140dB；一般说话时，声音的等级约为60dB，那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的（）A.106倍B.108倍C.1010倍D.1012倍【答案】B【考点】对数的运算性质【解析】由函数f(x)的解析式，分别求出喷气式飞机起飞时声音强度和一般说话时声音强度，即可求出结果．【解答】∵喷气式飞机起飞时，声音的等级约为140dB，∴10×lg x11×10−12=140，解得x1＝102，又∵一般说话时，声音的等级约为60dB，∴10×lg x21×10−12=60，解得x2＝10−6，∴喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的x1x2=10210−6=108倍，9. 函数y=x−2sin x，x∈[−π2, π2]的大致图象是（）A. B.C. D.【答案】D【考点】函数的图象变换【解析】f(−x)=−x+2sin x=−(x−2sin x)=−f(x)，所以函数为奇函数，故函数的图象关于原点对称，只有CD适合；由于CD图象中极值点不同，可再求函数的极值点选择答案．【解答】解：f(−x)=−x+2sin x=−(x−2sin x)=−f(x)，所以函数为奇函数，故函数的图象关于原点对称，只有CD适合，y′=1−2cos x，由y′=0解得x=π，3∴当x=π时，函数取极值，故D适合，3故选：D．10. 已知函数f(x)＝给出下列三个结论：①当a＝−2时，函数f(x)的单调递减区间为(−∞, 1)；②若函数f(x)无最小值，则a的取值范围为(0, +∞)；③若a<1且a≠0，则∃b∈R，使得函数y＝f(x)−b恰有3个零点x1，x2，x3，且x1x2x3＝−1．其中，所有正确结论的个数是（）A.0B.1C.2D.3【答案】【考点】命题的真假判断与应用【解析】直接利用函数的图象和性质求出函数的单调区间，进一步确定①的结论，再利用函数的图象判定函数的单调区间和最值进一步判定②的结论，最后利用分类讨论思想的应用判定③的结论．【解答】对于②：若函数可转换为，画出函数的图象，如图所示：所以函数f(x)无最小值，则a的取值范围为(0, +∞)．故②正确．对于③令y＝f(x)−b＝0，结合函数我的图象，不妨设x1<0<x2<1<x3，则ax1+1＝−ln x2＝ln x3＝b，所以，，所以，令＝−1，即b＝−a+1，当a<0时，b＝−a+1>1，故y＝f(x)−b＝0有三个零点，且x1⋅x2⋅x3＝−1，符合题意，当0<a<1时，0<b＝−a+1<1，故y＝f(x)−b＝0有三个零点，且x1⋅x2⋅x3＝−1，符合题意，故③正确．故正确答案为：②③，故选：C．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）函数y=√x−2的定义域为________．【答案】[2, +∞)【考点】函数的定义域及其求法【解析】直接由根式内部的代数式大于等于0求解即可．【解答】解：由x−2≥0得，x≥2．∴原函数的定义域为[2, +∞)．故答案为：[2, +∞).已知a∈（，π)，且sin a＝，则cos a＝________，tan(a−）＝________．【答案】-,−7【考点】同角三角函数间的基本关系两角和与差的三角函数【解析】直接根据角的范围以及同角三角函数基本关系式求解即可．【解答】∵a∈（，π)，且sin a＝，∴cos a＝-＝-，∴tanα＝-，∴tan(a−）＝＝＝−7．已知非零向量，满足||＝|-|，则-与的夹角等于________．【答案】90∘【考点】平面向量数量积的性质及其运算数量积表示两个向量的夹角【解析】将||＝|-|两边平方化简后可得•＝，于是推出（-）•＝0，从而得解．【解答】∵||＝|-|，∴＝−2•+，即•＝，∵（-）•＝•-＝0∴-与的夹角为90∘．圆x2+y2−ax+2＝0与直线l相切于点A(3, 1)，则圆的半径为________，直线l的方程为________．【答案】,x+y−4＝0【考点】直线与圆的位置关系【解析】先代入切点的坐标求出a，再求出圆心坐标与半径，利用圆的切线与过切点的半径垂直求出直线l的斜率，从而求出直线的方程．【解答】将点A(3, 1)代入圆的方程，得32+12−3a+2＝0，解得：a＝4，则圆的方程为x2+y2−4x+2＝0，化为(x−2)2+y2＝2，可得圆的半径为；∴圆心坐标为O(2, 0)，则，得切线l的斜率k＝−1．∴直线l的方程为：y−1＝−(x−3)，即：y+x−4＝0，关于x的方程g(x)＝t(t∈R)的实根个数记为f(t)．若g(x)＝ln x，则f(t)＝________；若g(x)＝(a∈R)，存在t使得f(t+2)>f(t)成立，则a的取值范围是________．【答案】1,a>1【考点】分段函数的应用【解析】若g(x)＝ln x，则函数的值域为R，且函数为单调函数，故方程g(x)＝t有且只有一个根，故f(t)＝1，若g(x)＝(a∈R)，存在t使得f(t+2)>f(t)成立，则x>0时，函数的最大值大于2，且对称轴位于y轴右侧，解得答案．【解答】若g(x)＝ln x，则函数的值域为R，且函数为单调函数，故方程g(x)＝t有且只有一个根，g(x)＝，当t ≤0时，f(t)＝1恒成立，若存在t 使得f(t +2)>f(t)成立，则x >0时，函数的最大值大于2，且对称轴位于y 轴右侧，即，解得：a >1，三、解答题（本大题共6小题，共85分）在△ABC 中，a ＝3，b −c ＝2，cos B =−12．(Ⅰ)求b ，c 的值；(Ⅱ)求sin (B −C)的值． 【答案】（1）∵ a ＝3，b −c ＝2，cos B =−12． ∴ 由余弦定理，得b 2＝a 2+c 2−2ac cos B =9+(b −2)2−2×3×(b −2)×(−12)， ∴ b ＝7，∴ c ＝b −2＝5；（2）在△ABC 中，∵ cos B =−12，∴ sin B =√32， 由正弦定理有：csin C =bsin B ， ∴ sin C =c sin B b=5×√327=5√314， ∵ b >c ，∴ B >C ，∴ C 为锐角， ∴ cos C =1114，∴ sin (B −C)＝sin B cos C −cos B sin C =√3×11−(−1)×5√3 =4√37． 【考点】 余弦定理 【解析】(Ⅰ)利用余弦定理可得b 2＝a 2+c 2−2ac cos B ，代入已知条件即可得到关于b 的方程，解方程即可；(Ⅱ)sin (B −C)＝sin B cos C −cos B sin C ，根据正弦定理可求出sin C ，然后求出cos C ，代【解答】（1）∵ a ＝3，b −c ＝2，cos B =−12． ∴ 由余弦定理，得b 2＝a 2+c 2−2ac cos B =9+(b −2)2−2×3×(b −2)×(−12)， ∴ b ＝7，∴ c ＝b −2＝5；（2）在△ABC 中，∵ cos B =−12，∴ sin B =√32， 由正弦定理有：c sin C =bsin B ， ∴ sin C =c sin B b=5×√327=5√314， ∵ b >c ，∴ B >C ，∴ C 为锐角， ∴ cos C =1114，∴ sin (B −C)＝sin B cos C −cos B sin C =√32×1114−(−12)×5√314=4√37．已知函数f(x)＝x 3−x ，g(x)＝2x −3．(Ⅰ)求曲线y ＝f(x)在点（1, f(1)）处的切线方程； (Ⅱ)求函数f(x)在[0, 2]上的最大值；(Ⅲ)求证：存在唯一的x 0，使得f(x 0)＝g(x 0)．【答案】（1）由f(x)＝x 3−x ，得f ′(x)＝3x 2−1， 所以f ′(1)＝2，又f(1)＝0所以曲线y ＝f(x)在点（1, f(1)）处的切线方程为：y −0＝2(x −1)， 即：2x −y −2＝0． （2）令f ′(x)＝0，得．f(x)与f ′(x)在区间[0, 2]的情况如下：x- 0+因为f(0)＝0，f(2)＝6，所以函数f(x)在区间[−2, 3]上的最大值为6． (Ⅲ)证明：设ℎ(x)＝f(x)−g(x)＝x 3−3x +3，则ℎ′(x)＝3x2−3＝3(x−1)(x+1)，令ℎ′(x)＝0，得x＝±1．ℎ(x)与ℎ′(x)随x的变化情况如下：则ℎ(x)的增区间为(−∞, −1)，(1, +∞)，减区间为(−1, 1)．又ℎ(1)＝1>0，ℎ(−1)>ℎ(1)>0，所以函数ℎ(x)在(−1, +∞)没有零点，又ℎ(−3)＝−15<0，所以函数ℎ(x)在(−∞, −1)上有唯一零点x0．综上，在(−∞, +∞)上存在唯一的x0，使得f(x0)＝g(x0)．【考点】利用导数研究函数的最值利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】(Ⅰ)求出函数的导数，计算f(1)，f′(1)的值，求出切线方程即可；(Ⅱ)求出函数的导数，求出函数的单调区间，从而函数的最大值即可；(Ⅲ)设ℎ(x)＝f(x)−g(x)＝x3−3x+3，求出函数的导数，根据函数的单调性证明即可．【解答】（1）由f(x)＝x3−x，得f′(x)＝3x2−1，所以f′(1)＝2，又f(1)＝0所以曲线y＝f(x)在点（1, f(1)）处的切线方程为：y−0＝2(x−1)，即：2x−y−2＝0．（2）令f′(x)＝0，得．f(x)与f′(x)在区间[0, 2]的情况如下：x- 0+因为f(0)＝0，f(2)＝6，所以函数f(x)在区间[−2, 3]上的最大值为6．(Ⅲ)证明：设ℎ(x)＝f(x)−g(x)＝x3−3x+3，则ℎ′(x)＝3x2−3＝3(x−1)(x+1)，令ℎ′(x)＝0，得x＝±1．ℎ(x)与ℎ′(x)随x的变化情况如下：则ℎ(x)的增区间为(−∞, −1)，(1, +∞)，减区间为(−1, 1)．又ℎ(1)＝1>0，ℎ(−1)>ℎ(1)>0，所以函数ℎ(x)在(−1, +∞)没有零点，又ℎ(−3)＝−15<0，所以函数ℎ(x)在(−∞, −1)上有唯一零点x0．综上，在(−∞, +∞)上存在唯一的x0，使得f(x0)＝g(x0)．已知函数f(x)＝2cos2ω1x+sinω2x．(Ⅰ)求f(0)的值；(Ⅱ)从①ω1＝1，ω2＝2；②ω1＝1，ω2＝1这两个条件中任选一个，作为题目的已知条件，求函数f(x)在[-，]上的最小值，并直接写出函数f(x)的一个周期．【答案】（1）由函数f(x)＝2cos2ω1x+sinω2x，则f(0)＝2cos20+sin0＝2；（2）选择条件①，则f(x)的一个周期为π；由f(x)＝2cos2x+sin2x＝(cos2x+1)+sin2x＝＝；因为，所以；所以，所以；当，即时，f(x)在取得最小值为．选择条件②，则f(x)的一个周期为2π；由f(x)＝2cos2x+sin x＝2(1−sin2x)+sin x＝；因为，所以；所以当sin x＝−1，即时，f(x)在取得最小值为−1．【考点】三角函数的周期性三角函数中的恒等变换应用【解析】(Ⅰ)由函数f(x)的解析式求出f(0)的值；(Ⅱ)选择条件①时f(x)的一个周期为π，利用三角恒等变换化简f(x)，再求f(x)在的最小值．选择条件②时f(x)的一个周期为2π，化简f(x)，利用三角函数的性质求出f(x)在的最小值．【解答】（1）由函数f(x)＝2cos2ω1x+sinω2x，则f(0)＝2cos20+sin0＝2；（2）选择条件①，则f(x)的一个周期为π；由f(x)＝2cos2x+sin2x＝(cos2x+1)+sin2x＝＝；因为，所以；所以，所以；当，即时，f(x)在取得最小值为．选择条件②，则f(x)的一个周期为2π；由f(x)＝2cos2x+sin x＝2(1−sin2x)+sin x＝；因为，所以；所以当sin x＝−1，即时，f(x)在取得最小值为−1．已知：函数f(x)＝sin x−x cos x．（1）求f(π)；（2）求证：当x∈(0，）时，f(x)<x3；（3）若f(x)>kx−x cos x对x∈(0，）恒成立，求实数k的最大值．【答案】f(x)＝sin x−x cos x，f(π)＝π，证明：令g(x)＝f(x)−x3，x∈(0，），g′(x)＝x(sin x−x)，令ℎ(x)＝sin x−x，ℎ′(x)＝cos x−1<0，∴ℎ(x)在x∈(0，）递减，故ℎ(x)<ℎ(0)＝0，∴g′(x)<0，g(x)递减，∴g(x)<g（）＝<0，故当x∈(0，）时，f(x)<x3成立；若f(x)>kx−x cos x对x∈(0，）恒成立，即k<对x∈(0，）恒成立，令m(x)＝，x∈(0，），m′(x)＝，令n(x)＝x cos x−sin x，x∈(0，），则n′(x)＝cos x−x sin x−cos x＝−x sin x<0，故n(x)在(0，）递减，故n(x)<n(0)＝0，故m′(x)<0，∴m(x)在(0，）递减，m(x)>m（）＝，故k≤，故k的最大值是．【考点】利用导数研究函数的最值【解析】（1）将π代入函数的解析式，求出f(π)的值即可；（2）令g(x)＝f(x)−x3，x∈(0，），求出g(x)的单调性，从而证出结论；（3）问题转化为k<对x∈(0，）恒成立，令m(x)＝，x∈(0，），根据函数的单调性求出k的最大值即可．【解答】f(x)＝sin x−x cos x，f(π)＝π，证明：令g(x)＝f(x)−x3，x∈(0，），g′(x)＝x(sin x−x)，令ℎ(x)＝sin x−x，ℎ′(x)＝cos x−1<0，∴ℎ(x)在x∈(0，）递减，故ℎ(x)<ℎ(0)＝0，∴g′(x)<0，g(x)递减，∴ g(x)<g （）＝<0，故当x ∈(0，）时，f(x)<x 3成立；若f(x)>kx −x cos x 对x ∈(0，）恒成立，即k <对x ∈(0，）恒成立，令m(x)＝，x ∈(0，），m′(x)＝，令n(x)＝x cos x −sin x ，x ∈(0，），则n′(x)＝cos x −x sin x −cos x ＝−x sin x <0，故n(x)在(0，）递减，故n(x)<n(0)＝0，故m′(x)<0，∴ m(x)在(0，）递减，m(x)>m （）＝，故k ≤，故k 的最大值是．已知O 为平面直角坐标系的原点，过点M(−2, 0)的直线l 与圆x 2+y 2=1交于P ，Q 两点．（1）若OP →⋅OQ →=−12，求直线l 的方程；（2）若△OMP 与△OPQ 的面积相等，求直线l 的斜率．【答案】 解：（1）依题意，直线l 的斜率存在，因为直线l 过点M(−2, 0)，可设直线l:y =k(x +2)．因为P 、Q 两点在圆x 2+y 2=1上，所以，|OP →|=|OQ →|=1， 因为OP →⋅OQ →=−12，所以，OP →⋅OQ →=|OP →|⋅|OQ →|⋅cos ∠POQ =−12， 所以，∠POQ =120∘，所以，O 到直线l 的距离等于12． 所以，√k 2+1=12，得k =±√1515， 所以直线l 的方程为√15x −15y +2√15=0，或√15x +15y +2√15=0，即x −√15y +2=0，或x +√15y +2=0．（2）因为△OMP 与△OPQ 的面积相等，所以，MQ →=2MP →，设P(x 1, y 1)，Q(x 2, y 2)，所以，MQ →=(x 2+2,y 2)，MP →=(x 1+2,y 1)． 所以，{x 2+2=2(x 1+2)y 2=2y 1，即{x 2=2(x 1+1)y 2=2y 1(∗)； 因为P ，Q 两点在圆上，所以，{x 12+y 12=1x 22+y 22=1把(∗)代入，得{x 12+y 12=14(x 1+1)2+4y 12=1，所以，{x 1=−78y 1=±√158， 所以，直线l 的斜率k =k MP =±√159，即k =±√159． 【考点】直线与圆的位置关系 直线与圆相交的性质 【解析】（1）利用两个向量的数量积的定义求出，∠POQ =120∘，得到O 到直线l 的距离等于12，根据点到直线的距离公式求出直线l 的斜率，从而得到直线l 的方程．（2）因为△OMP 与△OPQ 的面积相等，可得MQ →=2MP →，再由P ，Q 两点在圆上，可解得点P 的坐标，由两点式求得直线l 的斜率．【解答】 解：（1）依题意，直线l 的斜率存在，因为直线l 过点M(−2, 0)，可设直线l:y =k(x +2)．因为P 、Q 两点在圆x 2+y 2=1上，所以，|OP →|=|OQ →|=1， 因为OP →⋅OQ →=−12，所以，OP →⋅OQ →=|OP →|⋅|OQ →|⋅cos ∠POQ =−12， 所以，∠POQ =120∘，所以，O 到直线l 的距离等于12． 所以，√k 2+1=12，得k =±√1515， 所以直线l 的方程为√15x −15y +2√15=0，或√15x +15y +2√15=0， 即x −√15y +2=0，或x +√15y +2=0．（2）因为△OMP 与△OPQ 的面积相等，所以，MQ →=2MP →，设P(x 1, y 1)，Q(x 2, y 2)，所以，MQ →=(x 2+2,y 2)，MP →=(x 1+2,y 1)． 所以，{x 2+2=2(x 1+2)y 2=2y 1，即{x 2=2(x 1+1)y 2=2y 1(∗)； 因为P ，Q 两点在圆上，所以，{x 12+y 12=1x 22+y 22=1把(∗)代入，得{x 12+y 12=14(x 1+1)2+4y 12=1，所以，{x 1=−78y 1=±√158， 所以，直线l 的斜率k =k MP =±√159，即k =±√159．对于集合M ，定义函数f M (x)={−1,x ∈M1,x ∉M. 对于两个集合M ，N ，定义集合M △N ＝{x|f M (x)⋅f N (x)＝−1}．已知A ＝{2, 4, 6, 8, 10}，B ＝{1, 2, 4, 8, 16}． (Ⅰ)写出f A (1)和f B (1)的值，并用列举法写出集合A △B ；(Ⅱ)用Card(M)表示有限集合M 所含元素的个数，求Card(X △A)+Card(X △B)的最小值；(Ⅲ)有多少个集合对(P, Q)，满足P ，Q ⊆A ∪B ，且(P △A)△(Q △B)＝A △B ？ 【答案】（1）结合所给定义知，f A (1)＝1，f B (1)＝−1，A △B ＝{1, 6, 10, 16}． （2）根据题意可知：对于集合C ，X ，①若a ∈C 且a ∉X ，则Card(C △(X ∪{a})＝Card(C △X)−1； ②若a ∉C 且a ∉X ，则Card(C △(X ∪{a})＝Card(C △X)+1．所以 要使Card(X △A)+Card(X △B)的值最小，2，4，8一定属于集合X ；1，6，10，16是否属于X 不影响Card(X △A)+Card(X △B)的值，但集合X 不能含有A ∪B 之外的元素．所以 当X 为集合{1, 6, 10, 16}的子集与集合{2, 4, 8}的并集时，Card(X △A)+Card(X △B)取到最小值4．所以Card(X △A)+Card(X △B)的最小值 (Ⅲ)因为 A △B ＝{x|f A (x)⋅f B (x)＝−1}， 所以 A △B ＝B △A ．由定义可知：f A△B (x)＝f A (x)⋅f B (x)．所以 对任意元素x ，f （A△B ）△C (x)＝f A△B (x)⋅f C (x)＝f A (x)⋅f B (x)⋅f C (x)， f A△（B△C ）(x)＝f A (x)⋅f B△C (x)＝f A (x)⋅f B (x)⋅f C (x)． 所以 f （A△B ）△C (x)＝f A△（B△C ）(x)．所以 (A △B)△C ＝A △(B △C)．由 (P △A)△(Q △B)＝A △B 知：(P △Q)△(A △B)＝A △B ． 所以 (P △Q)△(A △B)△(A △B)＝(A △B)△(A △B)． 所以 P △Q △⌀＝⌀．所以 P △Q ＝⌀，即P ＝Q ． 因为 P ，Q ⊆A ∪B ，所以 满足题意的集合对(P, Q)的个数为27＝128． 【考点】集合的包含关系判断及应用集合中元素个数的最值【解析】(Ⅰ)根据定义直接得答案；(Ⅱ)对于已知集合E、F，①若a∈E且a∉F，则Card(E△(F∪{a})＝Card(E△F)−1；②若a∉E且a∉F，则Card(E△(F∪{a})＝Card(E△F)+1，据此结论找出满足条件的集合，从而求出Card(X△A)+Card(X△B)的最小值．(Ⅲ)由P，Q⊆A∪B，且(P△A)△(Q△B)＝A△B求出集合P，Q所满足的条件，进而确定集合对(P, Q)的个数．【解答】（1）结合所给定义知，f A(1)＝1，f B(1)＝−1，A△B＝{1, 6, 10, 16}．（2）根据题意可知：对于集合C，X，①若a∈C且a∉X，则Card(C△(X∪{a})＝Card(C△X)−1；②若a∉C且a∉X，则Card(C△(X∪{a})＝Card(C△X)+1．所以要使Card(X△A)+Card(X△B)的值最小，2，4，8一定属于集合X；1，6，10，16是否属于X不影响Card(X△A)+Card(X△B)的值，但集合X不能含有A∪B之外的元素．所以当X为集合{1, 6, 10, 16}的子集与集合{2, 4, 8}的并集时，Card(X△A)+Card(X△B)取到最小值4．所以Card(X△A)+Card(X△B)的最小值(Ⅲ)因为A△B＝{x|f A(x)⋅f B(x)＝−1}，所以A△B＝B△A．由定义可知：f A△B(x)＝f A(x)⋅f B(x)．所以对任意元素x，f（A△B）△C(x)＝f A△B(x)⋅f C(x)＝f A(x)⋅f B(x)⋅f C(x)，fA△（B△C）(x)＝f A(x)⋅f B△C(x)＝f A(x)⋅f B(x)⋅f C(x)．所以f（A△B）△C (x)＝fA△（B△C）(x)．所以(A△B)△C＝A△(B△C)．由(P△A)△(Q△B)＝A△B知：(P△Q)△(A△B)＝A△B．所以(P△Q)△(A△B)△(A△B)＝(A△B)△(A△B)．所以P△Q△⌀＝⌀．所以P△Q＝⌀，即P＝Q．因为P，Q⊆A∪B，所以满足题意的集合对(P, Q)的个数为27＝128．。
2020-2021高三数学上期中试卷含答案(3)
2020-2021高三数学上期中试卷含答案(3)一、选择题1．已知首项为正数的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1008a 和1009a 是方程2201720180x x --=的两根，则使0n S >成立的正整数n 的最大值是（ ）A ．1008B ．1009C ．2016D ．20172)63a -≤≤的最大值为（ ）A ．9B ．92C ．3 D ．23．设{}n a 是首项为1a ，公差为-1的等差数列，n S 为其前n 项和，若124,,S S S 成等比数列，则1a =（ ） A ．2B ．-2C ．12D ．12-4．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*11n n nS S n N n +>∈+.若870a a +<，则（ ） A ．n S 的最大值是8S B ．n S 的最小值是8S C ．n S 的最大值是7SD ．n S 的最小值是7S5．设{}n a 是公差不为0的等差数列，12a =且136,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S =（ ）A ．2744n n +B ．2533n n+C ．2324n n+D ．2n n +6．等差数列{}n a 满足120182019201820190,0,0a a a a a >+>⋅<，则使前n 项和0n S >成立的最大正整数n 是（ ） A ．2018B ．2019C ．4036D ．40377．20,{0,0x y z x y x y x y y k+≥=+-≤≤≤设其中实数、满足若z 的最大值为6，z 的最小值为（ ）A ．0B ．-1C ．-2D ．-38．在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A BC 的对边,若sin cos 0b A B -=,且2b ac =，则a cb+的值为( ) A．2BC ．2D ．49．已知{}n a 为等比数列,472a a +=,568a a =-,则110a a +=（ ） A ．7B ．5C ．5-D ．7-10．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知(a 4－1)3＋2 016(a 4－1)＝1，(a 2 013－1)3＋2 016·(a 2 013－1)＝－1，则下列结论正确的是( ) A ．S 2 016＝－2 016，a 2 013>a 4 B ．S 2 016＝2 016，a 2 013>a 4 C ．S 2 016＝－2 016，a 2 013<a 4 D ．S 2 016＝2 016，a 2 013<a 4 11．若0,0x y >>，且211x y+=，227x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(8,1)-B ．(,8)(1,)-∞-⋃+∞C ．(,1)(8,)-∞-⋃+∞D ．(1,8)-12．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若sin 23sin 0b A a B +=，3b c =，则ca的值为（ ） A ．1B ．3 C ．5 D ．7 二、填空题13．等差数列{}n a 中，1351,14,a a a =+=其前n 项和100n S =，则n=＿＿14．如图,无人机在离地面高200m 的A 处,观测到山顶M 处的仰角为15°、山脚C 处的俯角为45°,已知∠MCN=60°,则山的高度MN 为_________m.15．已知数列{}n a 满足11a =，132n n a a +=+，则数列{}n a 的通项公式为________． 16．已知在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2a b c +=，则C ∠的取值范围为________17．不等式211x x --<的解集是 ．18．设a ∈R ，若x ＞0时均有[(a －1)x －1]( x 2－ax －1)≥0，则a ＝__________．19．（理）设函数2()1f x x =-，对任意3,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，2()4()(1)4()xf m f x f x f m m-≤-+恒成立，则实数m 的取值范围是______． 20．设变量,x y 满足约束条件：21y x x y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则3z x y =-的最小值为__________．三、解答题21．已知数列{}n a 的前n 项和22n n nS +=．（1）求数列{}n a 通项公式； （2）令11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 22．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c，且sin 1cos a CA=-.（1）求角A 的大小；（2）若10b c +=，ABC ∆的面积ABC S ∆=a 的值.23．已知数列{}n a 是公差为2-的等差数列，若1342,,a a a +成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令12n n n b a -=-，数列{}n b 的前n 项和为n S ,求满足0n S ≥成立的n 的最小值.24．已知在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin cos 0a B b A -=． （1）求角A 的大小：（2）若a =2b =．求ABC V 的面积． 25．等差数列{}n a 中，24a =，4715a a +=． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设22n a n b n -=+，求12310b b b b +++⋅⋅⋅+的值．26．已知数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 是公比大于零的等比数列，且112a b ==,338a b ==.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式; （2）记n n b c a =，求数列{}n c 的前n 项和n S .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】依题意知100810091008100920170,20180a a a a +=>=-<，Q 数列的首项为正数，()()1201610081009100810092016201620160,0,022a a a a a a S +⨯+⨯∴>∴==，()12017201710092017201702a a S a+⨯==⨯<，∴使0n S >成立的正整数n 的最大值是2016，故选C.2．B解析：B 【解析】 【分析】根据369a a -++=是常数，可利用用均值不等式来求最大值. 【详解】 因为63a -≤≤， 所以30,60a a ->+> 由均值不等式可得：36922a a -++≤= 当且仅当36a a -=+，即32a =-时，等号成立， 故选B. 【点睛】本题主要考查了均值不等式，属于中档题.3．D解析：D 【解析】 【分析】把已知2214S S S =用数列的首项1a 和公差d 表示出来后就可解得1a ．，【详解】因为124S S S ，，成等比数列，所以2214S S S =，即211111(21)(46).2a a a a -=-=-，故选D. 【点睛】本题考查等差数列的前n 项和，考查等比数列的性质，解题方法是基本量法．本题属于基础题．4．D解析：D 【解析】 【分析】将所给条件式变形，结合等差数列前n 项和公式即可证明数列的单调性，从而由870a a +<可得7a 和8a 的符号，即可判断n S 的最小值.【详解】由已知，得()11n n n S nS ++<， 所以11n n S S n n +<+， 所以()()()()1111221n n n a a n a a n n ++++<+， 所以1n n a a +<，所以等差数列{}n a 为递增数列. 又870a a +<，即871a a <-， 所以80a >，70a <，即数列{}n a 前7项均小于0，第8项大于零， 所以n S 的最小值为7S ， 故选D. 【点睛】本题考查了等差数列前n 项和公式的简单应用，等差数列单调性的证明和应用，前n 项和最值的判断，属于中档题.5．A解析：A 【解析】 【分析】 【详解】 设公差为d 则解得，故选A.6．C解析：C 【解析】 【分析】根据等差数列前n 项和公式，结合已知条件列不等式组，进而求得使前n 项和0n S >成立的最大正整数n .由于等差数列{}n a 满足120182019201820190,0,0a a a a a >+>⋅<，所以0d <，且2018201900a a >⎧⎨<⎩，所以()1403640362018201914037201940374036201802240374037022a a S a a a a a S +⎧=⨯=+⨯>⎪⎪⎨+⎪=⨯=⨯<⎪⎩，所以使前n 项和0n S >成立的最大正整数n 是4036.故选：C 【点睛】本小题主要考查等差数列前n 项和公式，考查等差数列的性质，属于基础题.7．D解析：D 【解析】作出不等式对应的平面区域， 由z=x+y,得y=−x+z,平移直线y=−x+z ，由图象可知当直线y=−x+z 经过点A 时，直线y=−x+z 的截距最大， 此时z 最大为6.即x+y=6.经过点B 时，直线y=−x+z 的截距最小，此时z 最小． 由6{x y x y +=-=得A(3,3)，∵直线y=k 过A ， ∴k=3. 由3{20y k x y ==+=,解得B(−6,3).此时z 的最小值为z=−6+3=−3， 本题选择D 选项.点睛：求二元一次函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：b zy x a b =-+，通过求直线的截距z b的最值间接求出z 的最值．最优解在顶点或边界取得．解析：A 【解析】 【分析】由正弦定理，化简求得sin 0B B =，解得3B π=，再由余弦定理，求得()224b a c =+，即可求解，得到答案．【详解】在ABC ∆中，因为sin cos 0b A B -=,且2b ac =，由正弦定理得sin sin cos 0B A A B =， 因为(0,)A π∈，则sin 0A >，所以sin 0B B =，即tan B =3B π=，由余弦定理得222222222cos ()3()3b a c ac B a c ac a c ac a c b =+-=+-=+-=+-， 即()224b a c =+，解得2a cb+=，故选A ． 【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解决三角形的边角关系，熟练掌握定理、合理运用是解本题的关键．通常当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解.9．D解析：D 【解析】 【分析】由条件可得47a a ，的值，进而由27104a a a =和2417a a a =可得解.【详解】56474747822,4a a a a a a a a ==-+=∴=-=Q 或474,2a a ==-.由等比数列性质可知2274101478,1a a a a a a ==-==或2274101471,8a a a a a a ====-1107a a ∴+=-故选D. 【点睛】本题主要考查了等比数列的下标的性质，属于中档题.10．D【解析】∵(a 4－1)3＋2 016(a 4－1)＝1，(a 2 013－1)3＋2 016(a 2 013－1)＝－1， ∴(a 4－1)3＋2 016(a 4－1)＋(a 2 013－1)3＋2 016(a 2 013－1)＝0， 设a 4－1＝m ，a 2 013－1＝n ， 则m 3＋2 016m ＋n 3＋2 016n ＝0， 化为(m ＋n )·(m 2＋n 2－mn ＋2 016)＝0， ∵2222132?0162016024m n mn m n n ⎛⎫=-++> ⎪⎝⎭＋－＋，∴m ＋n ＝a 4－1＋a 2 013－1＝0， ∴a 4＋a 2 013＝2，∴()()1201642013201620162016201622a a a a S ++===.很明显a 4－1>0，a 2 013－1<0，∴a 4>1>a 2 013， 本题选择D 选项.11．A解析：A 【解析】 【分析】 将代数式21x y+与2x y +相乘，展开式利用基本不等式求出2x y +的最小值8，将问题转化为解不等式()2min 72m m x y +<+，解出即可. 【详解】由基本不等式得()21422448y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥= ⎪⎝⎭， 当且仅当()4,0y xx y x y=>，即当2x y =时，等号成立，所以，2x y +的最小值为8. 由题意可得()2min 728m m x y +<+=，即2780m m +-<，解得81m -<<. 因此，实数m 的取值范围是(8,1)-，故选A. 【点睛】本题考查基本不等式的应用，考查不等式恒成立问题以及一元二次不等式的解法，对于不等式恒成立问题，常转化为最值来处理，考查计算能力，属于中等题．12．D解析：D 【解析】分析：由正弦定理可将sin2sin 0b A B =化简得cosA 2=-，由余弦定理可得222227a b c bccosA c =+-=，从而得解.详解：由正弦定理，sin23sin 0b A a B +=，可得sin23sin 0sinB A sinA B +=， 即2sin 3sin 0sinB AcosA sinA B += 由于：0sinBsinA ≠， 所以3cosA =-：， 因为0＜A ＜π，所以5πA 6=． 又3b c =，由余弦定理可得22222222337a b c bccosA c c c c =+-=++=. 即227a c =，所以7c a =. 故选：D ．点睛：在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．二、填空题13．10【解析】【分析】【详解】故则故n=10解析：10 【解析】 【分析】 【详解】1351,14,a a a =+=故126d 14,2a d +=∴=，则()1n 21002n n n S -=+⨯=故n=1014．300【解析】试题分析：由条件所以所以这样在中在中解得中故填：300考点：解斜三角形【思路点睛】考察了解三角形的实际问题属于基础题型首先要弄清楚两个概念仰角和俯角都指视线与水平线的夹角将问题所涉及的解析：300 【解析】试题分析：由条件，,所以,,,所以,,这样在中，,在中，，解得,中，，故填：300.考点：解斜三角形【思路点睛】考察了解三角形的实际问题，属于基础题型，首先要弄清楚两个概念，仰角和俯角，都指视线与水平线的夹角，将问题所涉及的边和角在不同的三角形内转化，最后用正弦定理解决高度.15．【解析】【分析】待定系数得到得到【详解】因为满足所以即得到所以而故是以为首项为公比的等比数列所以故故答案为：【点睛】本题考查由递推关系求数列通项待定系数法构造新数列求通项属于中档题 解析：1231n -⋅-【解析】 【分析】待定系数得到()13n n a a λλ++=+，得到λ 【详解】因为{}n a 满足132n n a a +=+， 所以()13n n a a λλ++=+， 即132n n a a λ+=+，得到1λ=， 所以()1131n n a a ++=+， 而112a +=，故{}1n a +是以2为首项，3为公比的等比数列，所以1123n n a -+=⋅，故1231n n a -=⋅-.故答案为：1231n -⋅-. 【点睛】本题考查由递推关系求数列通项，待定系数法构造新数列求通项，属于中档题.16．【解析】【分析】将已知条件平方后结合余弦定理及基本不等式求解出的范围得出角的范围【详解】解：在中即当且仅当是取等号由余弦定理知故答案为：【点睛】考查余弦定理与基本不等式三角函数范围问题切入点较难故属 解析：(0,]3π【解析】 【分析】将已知条件平方后，结合余弦定理，及基本不等式求解出cos C 的范围.得出角C 的范围. 【详解】解：在ABC V 中，2a b c +=Q ，22()4a b c ∴+=，222422a b c ab ab ∴+=-≥，即2c ab ≥，当且仅当a b =是，取等号，由余弦定理知，222223231cos 12222a b c c ab c C ab ab ab +--===-≥， 03C π∴<≤.故答案为：(0,]3π.【点睛】 考查余弦定理与基本不等式，三角函数范围问题，切入点较难，故属于中档题.17．【解析】【分析】【详解】由条件可得解析：{}|02x x <<【解析】【分析】【详解】由条件可得18．【解析】【分析】【详解】当时代入题中不等式显然不成立当时令 都过定点考查函数令则与轴的交点为时均有也过点解得或（舍去）故解析：32a =【解析】【分析】【详解】当时，代入题中不等式显然不成立 当时，令， ，都过定点 考查函数，令，则与轴的交点为 时，均有 也过点解得或（舍去）， 故19．或【解析】【分析】先化简不等式再变量分离转化为对应函数最值问题最后根据二次函数最值以及解不等式得结果【详解】即即因为当时所以或故答案为：或【点睛】本题考查不等式恒成立问题以及二次函数最值考查综合分析 解析：3m ≤或3m ≥ 【解析】【分析】先化简不等式，再变量分离转化为对应函数最值问题，最后根据二次函数最值以及解不等式得结果.【详解】 2()4()(1)4()x f m f x f x f m m-≤-+Q 22222()14(1)(1)14(1)x m x x m m∴---≤--+- 即2221(41)230m x x m +---≥ 即222123341,()2m x m x x +-≥+≥ 因为当32x ≥时22323839324x x +≤+= 所以2221834134m m m +-≥∴≥∴32m ≤-或32m ≥ 故答案为：32m ≤-或32m ≥ 【点睛】本题考查不等式恒成立问题以及二次函数最值，考查综合分析求解能力，属中档题.20．-10【解析】作出可行域如图所示：由得平移直线由图象可知当直线经过点时直线的截距最大此时最小由得此时故答案为解析：-10【解析】作出可行域如图所示：由3z x y =-得33x z y =-，平移直线33x z y =-，由图象可知当直线经过点A 时，直线33x z y =-的截距最大，此时z 最小 由1{2x x y =-+=得(1,3)A -，此时13310z =--⨯=- 故答案为10-三、解答题21．（1）n a n =；（2）1n n T n =+ . 【解析】【分析】（1）根据{}n a 和n S 关系得到答案.（2）首先计算数列{}n b 通项，再根据裂项求和得到答案.【详解】解：（1）当1n =时，111a S ==当2n ≥时，()11n n n n a S S n n a n -=-==∴=时符合（2）()11111n b n n n n ==-++ 11111111223111n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L 【点睛】本题考查了{}n a 和n S 关系，裂项求和，是数列的常考题型.22．（1）3A π=；（2） 【解析】【分析】（1）把sin 1cos a C A =-中的边化为角的正弦的形式，再经过变形可得sin()32A π+=进而可求得3A π=．（2）由ABC S ∆=16bc =，再由余弦定理可求得a =．【详解】（1）由正弦定理及sin 1cos a C A =-得sin sin 1cos A C C A =-， ∵sin 0C ≠，∴)sin 1cos A A =-，∴sin 2sin 3A A A π⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭∴sin 32A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 又0A π<<， ∴4333A πππ<+<， ∴233A p p +=， ∴3A π=．（2）∵1sin 2ABC S bc A ∆==， ∴16bc =． 由余弦定理得()()222222cos233a b c bc b c bc bc b c bc π=+-=+--=+-， 又10b c +=，∴221031652a =-⨯=，a ∴=【点睛】解三角形经常与三角变换结合在一起考查，解题时注意三角形三个内角的关系．另外，使用余弦定理解三角形时，注意公式的变形及整体思想的运用，如()2222b c b c bc +=+-等，可简化运算提高解题的速度．23．（1）92n a n =-；（2）5.【解析】【分析】（1）根据等差数列{}n a 的公差为-2，且1342,,a a a +成等比数列列出关于公差d 的方程，解方程可求得d 的值，从而可得数列{}n a 的通项公式；（2）由（1）可知1292n n b n -=-+，根据分组求和法，利用等差数列与等比数列的求和公式可得结果.【详解】（1）1342,,a a a +Q 成等比数列，()()()2111426a a a ∴-=+-，解得：17a =，92n a n ∴=-.（2）由题可知()()0121222275392n n S n -=++++-++++-L L ，()212812nn n -=--- 2281n n n =+--， 显然当4n ≤时，0n S <，580S =>,又因为5n ≥时，n S 单调递增，故满足0n S ≥成立的n 的最小值为5.【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式与求和公式以及等比数列的求和公式，利用“分组求和法”求数列前n 项和，属于中档题. 利用“分组求和法”求数列前n 项和常见类型有两种：一是通项为两个公比不相等的等比数列的和或差，可以分别用等比数列求和后再相加减；二是通项为一个等差数列和一个等比数列的和或差，可以分别用等差数列求和、等比数列求和后再相加减.24．（1）4A π=（2）4 【解析】分析：（1）利用正弦定理化简已知等式，整理后根据sin 0B ≠求出sin cos 0A A -=，即可确定出A 的度数；（2）利用余弦定理列出关系式，把a ，b ，cosA 的值代入求出c 的值，再由b ，sinA 的值，利用三角形面积公式求出即可．详解：在ABC V 中，由正弦定理得sin sin sin cos 0A B B A -=．即()sin sin cos 0B A A -=，又角B 为三角形内角，sin 0B ≠，所以sin cos 0A A -=04A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 又因为()0,A π∈，所以4A π=．（2）在ABC V 中，由余弦定理得：2222cos a b c bc A =+-⋅，则222044c c ⎛⎫=+-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭． 即222160c --=． 解得22c =-（舍）或42c =．所以1224242S =⨯⨯⨯=．· 点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果.25．（1）3(1)12n a n n =+-⨯=+；（2）2101【解析】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ．由已知得()()1114{3615a d a d a d +=+++=， 解得13{1a d ==．所以()112n a a n d n =+-=+．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得2n n b n =+．所以()()()()231012310212223210b b b b +++⋅⋅⋅+=++++++⋅⋅⋅++ ()()2310222212310=+++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+ ()()1021211010122-+⨯=+- ()112255=-+112532101=+=．考点：1、等差数列通项公式；2、分组求和法．26．（1）31,2n n n a n b =-=；（2）1326n n +⨯--. 【解析】试题分析：（1）设出等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，且q>0．由已知列式求得等差数列的公差和等比数列的公比，代入等差数列和等比数列的通项公式得答案；（2）由c n =a bn 结合数列{a n }和{b n }的通项公式得到数列{c n }的通项公式，结合等比数列的前n 项和求得数列{c n }的前n 项和S n ．试题解析：（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，且．由，得，解得．所以．由，得，又，解得．所以．（2）因为，所以．。
2020-2021上海延安初级中学高三数学上期末模拟试卷(及答案)
2020-2021上海延安初级中学高三数学上期末模拟试卷(及答案)一、选择题1．设,x y 满足约束条件 202300x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≤⎩，则46y x ++的取值范围是A ．3[3,]7- B ．[3,1]- C ．[4,1]-D ．(,3][1,)-∞-⋃+∞2．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1142n n a -⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，若对任意*N n ∈，都有()143n p S n ≤-≤成立，则实数p 的取值范围是（ ）A ．()2,3B ．[]2,3C ．92,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．92,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭3．在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，若,1,3A b π==ABC ∆则a 的值为（ ） A ．2BC．2D ．14．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2，n S ，3n a 成等差数列，则5S 的值是（ ） A ．243-B ．242-C ．162-D ．2435．已知实数x 、y 满足约束条件00134x y x ya a⎧⎪≥⎪≥⎨⎪⎪+≤⎩，若目标函数231x y z x ++=+的最小值为32，则正实数a 的值为（ ） A ．4B ．3C ．2D ．16．设x y ，满足约束条件70310,350x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪--⎩，，………则2z x y =-的最大值为（ ）.A ．10B ．8C ．3D ．27．在等差数列{}n a 中，若1091a a <-，且它的前n 项和n S 有最大值，则使0n S >成立的正整数n 的最大值是（ ） A ．15B ．16C ．17D ．148．已知ABC ∆的三个内角、、A B C 所对的边为a b c 、、，面积为S ，且223tan 2S B =+，则A 等于（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 9．数列{}n a 中，对于任意,m n N *∈，恒有m n m n a a a +=+，若118a =，则7a 等于( ) A ．712 B ．714 C ．74D ．7810．若a 、b 、c >0且a (a ＋b ＋c )＋bc ＝4－23，则2a ＋b ＋c 的最小值为( ) A ． 3－1 B ． 3＋1 C ．23＋2D ．23－211．已知等比数列{}n a 的各项都是正数，且13213,,22a a a 成等差数列，则8967a a a a +=+ A ．6B ．7C ．8D ．912．已知函数1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则不等式()24(3)f a f a ->的解集为( )A ．(4,1)-B ．(1,4)-C ．(1,4)D ．(0,4)二、填空题13．若,a b ∈R ，0ab >，则4441a b ab++的最小值为___________.14．已知实数，且，则的最小值为____15．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .2C A π-=，1sin 3A =，3a =，则b =______.16．已知函数1()f x x x=-，数列{}n a 是公比大于0的等比数列，且61a =，1239101()()()()()f a f a f a f a f a a +++⋅⋅⋅++=-，则1a =_______.17．若实数,x y 满足约束条件200220x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩，则3z x y =-的最小值等于_____．18．已知数列{}n a 为正项的递增等比数列，1582a a +=，2481a a =g ，记数列2n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，则使不等式112020|1|13n nT a -->成立的最大正整数n 的值是__________．19．若正项数列{}n a 满足11n n a a +-<,则称数列{}n a 为D 型数列,以下4个正项数列{}n a 满足的递推关系分别为:①2211n n a a +-= ②1111n na a +-= ③121n n n a a a +=+④2121n n a a +-=，则D 型数列{}n a 的序号为_______.20．如果一个数列由有限个连续的正整数组成（数列的项数大于2），且所有项之和为N ，那么称该数列为N 型标准数列，例如，数列2，3，4，5，6为20型标准数列，则2668型标准数列的个数为______．三、解答题21．已知等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠，等差数列{}n b 的公差为2d ，设n A ，n B 分别是数列{}n a ，{}n b 的前n 项和，且13b =，23A =，53A B =. （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）设11n n n n c b a a +=+•，数列{}n c 的前n 项和为n S ，证明：2(1)n S n <+.22．已知数列{}n a 中，11a =，其前n 项的和为n S ，且当2n ≥时，满足21nn n S a S =-．（1）求证：数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；（2）证明：2221274n S S S +++<L ． 23．在ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，角A 、B 、C 的度数成等差数列，b =.（1）若3sin 4sin C A =，求c 的值； （2）求a c +的最大值.24．在△ABC 中，角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，已知3cos()16cos cos B C B C --=，（1）求cos A （2）若3a =，△ABC的面积为求b c 、25．在ABC ∆中，角A ，B 、C 的对边分别为a ，b ，csin bB=. （1）求A ；（2）若2a =，且()cos 2sin sin cos B C B C C -=-，求ABC ∆的面积. 26．在四边形ABCD 中，120BAD ︒∠=，60BCD ︒∠=，1cos 7D =-，2AD DC ==.(1) 求cos DAC∠及AC的长；(2) 求BC的长.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【解析】【分析】【详解】先作可行域，而46yx++表示两点P（x,y）与A（-6,-4）连线的斜率，所以46yx++的取值范围是[,][3,1]AD ACk k=-，选B.点睛：线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.2．B解析：B 【解析】11111444222n n S -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++-+⋅⋅⋅++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11221244133212nnn n ⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎝⎭=+=+-⋅- ⎪⎛⎫⎝⎭-- ⎪⎝⎭()143n p S n ≤-≤Q即22113332n p ⎛⎫⎛⎫≤-⋅-≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对任意*n N ∈都成立， 当1n =时，13p ≤≤ 当2n =时，26p ≤≤当3n =时，443p ≤≤ 归纳得：23p ≤≤故选B点睛：根据已知条件运用分组求和法不难计算出数列{}n a 的前n 项和为n S ，为求p 的取值范围则根据n 为奇数和n 为偶数两种情况进行分类讨论，求得最后的结果3．B解析：B 【解析】试题分析：由已知条件及三角形面积计算公式得131sin ,2,23c c π⨯⨯=∴=由余弦定理得考点：考查三角形面积计算公式及余弦定理．4．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】因为2,,3n n S a 成等差数列，所以223n n S a =+，当1n =时，111223,2S a a =+∴=-；当2n ≥时，1113333112222n n n n n n n a S S a a a a ---=-=+--=-，即11322n n a a -=，即()132nn a n a -=≥，∴数列{}n a 是首项12a =-，公比3q =的等比数列，()()55151213242113a q S q---∴===---，故选B.5．D解析：D 【解析】 【分析】作出不等式组所表示的可行域，根据目标函数的几何意义，利用直线斜率的几何意义以及数形结合进行求解即可. 【详解】 目标函数()12123112111x y x y y z x x x ++++++===+⨯+++， 设11y k x +=+，则k 的几何意义是区域内的点与定点(1,1)D --连线的斜率， 若目标函数231x y z x ++=+的最小值为32，即12z k =+的最小值是32， 由3122k +=，得14k =，即k 的最小值是14，作出不等式组对应的平面区域如图：由斜率的意义知过D 的直线经过()3,0B a 时，直线的斜率k 最小，此时011314k a +==+， 得314a +=，得1a =. 故选：D. 【点睛】本题考查利用线性规划中非线性目标函数的最值求参数，解题时要结合非线性目标函数的几何意义寻找最优解，考查数形结合思想的应用，属于中等题.6．B【解析】 【分析】作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数即可求解. 【详解】 作出可行域如图：化目标函数为2y x z =-，联立70310x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，解得5,2A（）. 由图象可知，当直线过点A 时，直线在y 轴上截距最小，z 有最大值25-28⨯=. 【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，数形结合的思想，属于中档题.7．C解析：C 【解析】 【分析】由题意可得90a >，100a <，且9100a a +<，由等差数列的性质和求和公式可得结论． 【详解】∵等差数列{}n a 的前n 项和有最大值， ∴等差数列{}n a 为递减数列，又1091a a <-， ∴90a >，100a <， ∴9100a a +<， 又()118181802a a S +=<，()117179171702a a S a +==>，∴0n S >成立的正整数n 的最大值是17， 故选C ．本题考查等差数列的性质，涉及等差数列的求和公式，属中档题．8．C解析：C 【解析】 【分析】利用三角形面积公式可得2tan 1acsinB 2bc c B +=，结合正弦定理及三角恒等变换知识cosA 1-=，从而得到角A. 【详解】∵2tan bc c B S +=∴2tan 1acsinB 2bc c B +=即c tan asinB a b B +==()B sinAcosB sinB sinC sinB sin A B +=+=++ cosA 1-= ∴1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， ∴5666A 或πππ-=（舍） ∴3A π=故选C 【点睛】此题考查了正弦定理、三角形面积公式，以及三角恒等变换，熟练掌握边角的转化是解本题的关键．9．D解析：D 【解析】因为11,8m n m n a a a a +=+=,所以2112,4a a == 42122a a ==,3123,8a a a =+= 73478a a a =+=.选D.10．D【解析】由a (a ＋b ＋c )＋bc ＝4－，得(a ＋c )·(a ＋b )＝4－ ∵a 、b 、c >0.∴(a ＋c )·(a ＋b )≤22b c 2a ++⎛⎫ ⎪⎝⎭(当且仅当a ＋c ＝b ＋a ，即b ＝c 时取“＝”)，∴2a ＋b ＋c ＝1)＝－2. 故选：D点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误11．D解析：D 【解析】 【分析】设各项都是正数的等比数列{a n }的公比为q ，（q ＞0），由题意可得关于q 的式子，解之可得q ，而所求的式子等于q 2，计算可得． 【详解】设各项都是正数的等比数列{a n }的公比为q ，（q ＞0）由题意可得31212322a a a ⨯=+， 即q 2-2q-3=0， 解得q=-1（舍去），或q=3，故()26728967679a a qa a q a a a a ．++===++ 故选：D ． 【点睛】本题考查等差数列和等比数列的通项公式，求出公比是解决问题的关键，属基础题．12．B解析：B 【解析】 【分析】先判断函数1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调性，把()24(3)f a f a ->转化为自变量的不等式求解.【详解】可知函数()f x 为减函数，由2(4)(3)f a f a ->，可得243a a -<，整理得2340a a --<，解得14a -<<，所以不等式的解集为(1,4)-．【点睛】本题考查函数不等式，通常根据函数的单调性转化求解，一般不代入解析式.二、填空题13．4【解析】（前一个等号成立条件是后一个等号成立的条件是两个等号可以同时取得则当且仅当时取等号）【考点】均值不等式【名师点睛】利用均指不等式求最值要灵活运用两个公式（1）当且仅当时取等号；（2）当且仅解析：4 【解析】44224141114244a b a b ab ab ab ab ab ab +++≥=+≥⋅= ，（前一个等号成立条件是222a b =，后一个等号成立的条件是12ab =，两个等号可以同时取得，则当且仅当2222,a b ==时取等号）. 【考点】均值不等式【名师点睛】利用均指不等式求最值要灵活运用两个公式，（1）22,,2a b a b ab ∈+≥R ，当且仅当a b =时取等号；（2）,a b R +∈ ，2a b ab +≥ ，当且仅当a b =时取等号；首先要注意公式的使用范围，其次还要注意等号成立的条件；另外有时也考查利用“等转不等”“作乘法”“1的妙用”求最值.14．3+54【解析】【分析】由a+b ＝2得出b ＝2﹣a 代入代数式中化简后换元t ＝2a ﹣1得2a ＝t+1得出1＜t ＜3再代入代数式化简后得出2t6t-(t2+5)然后在分式分子分母中同时除以t 利用基本不等 解析：【解析】 【分析】由a +b ＝2得出b ＝2﹣a ，代入代数式中，化简后换元t ＝2a ﹣1，得2a ＝t +1，得出1＜t ＜3，再代入代数式化简后得出，然后在分式分子分母中同时除以t ，利用基本不等式即可求出该代数式的最小值． 【详解】解：由于a +b ＝2，且a ＞b ＞0，则0＜b ＜1＜a ＜2， 所以，，令t ＝2a ﹣1∈（1，3），则2a ＝t +1，所以，． 当且仅当，即当时，等号成立． 因此，的最小值为．故答案为：．【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，解本题的关键就是对代数式进行化简变形，考查计算能力，属于中等题．15．7【解析】【分析】先求出再利用正弦定理求最后利用余弦定理可求【详解】因为所以故且为锐角则故由正弦定理可得故由余弦定理可得故即或因为为钝角故故故答案为：7【点睛】三角形中共有七个几何量（三边三角以及外解析：7 【解析】 【分析】 先求出22sin C =c ，最后利用余弦定理可求b . 【详解】 因为2C A π-=，所以2C A π=+，故sin sin cos 2C A A π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭， 且A 为锐角，则22cos 3A =，故2sin 3C =. 由正弦定理可得sin sin a c A C =，故223sin 3621sin 3a Cc A=== 由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-，故297223b b=+-⨯即7b=或9b=，因为C为钝角，故c b>，故7b=.故答案为：7.【点睛】三角形中共有七个几何量（三边三角以及外接圆的半径），一般地，知道其中的三个量（除三个角外），可以求得其余的四个量.（1）如果知道三边或两边及其夹角，用余弦定理；（2）如果知道两边即一边所对的角，用正弦定理（也可以用余弦定理求第三条边）；（3）如果知道两角及一边，用正弦定理.16．【解析】【分析】由于是等比数列所以也是等比数列根据题目所给条件列方程解方程求得的值【详解】设数列的公比为则是首项为公比为的等比数列由得即①由得②联立①②解得【点睛】本小题主要考查等比数列的性质考查等解析：2【解析】【分析】由于{}n a是等比数列，所以1na⎧⎫⎨⎬⎩⎭也是等比数列.根据题目所给条件列方程，解方程求得1a 的值.【详解】设数列{}n a的公比为0q>，则1na⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为11a，公比为1q的等比数列，由()()()()()1239101f a f a f a f a f a a+++⋅⋅⋅++=-得121011210111a a a aa a a⎛⎫+++-+++=-⎪⎝⎭L L，即()10101111111111a q a qaqq⎛⎫-⎪-⎝⎭-=---①，由61a=，得511a q=②，联立①②解得12a=.【点睛】本小题主要考查等比数列的性质，考查等比数列的前n项和公式，考查运算求解能力，属于中档题.17．【解析】【分析】先画出可行域改写目标函数然后求出最小值【详解】依题意可行域为如图所示的阴影部分的三角形区域目标函数化为：则的最小值即为动直线在轴上的截距的最大值通过平移可知在点处动直线在轴上的截距最解析：72-【解析】 【分析】先画出可行域，改写目标函数，然后求出最小值 【详解】依题意，可行域为如图所示的阴影部分的三角形区域，目标函数化为：3y x z =-，则z 的最小值即为动直线在y 轴上的截距的最大值．通过平移可知在A 点处动直线在y 轴上的截距最大．因为20:220x y A x y +=⎧⎨-+=⎩解得11,2A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以3z x y =-的最小值()min 173122z =⋅--=-． 【点睛】本题考查了线性规划的简单应用，一般步骤：画出可行域，改写目标函数，求出最值18．8【解析】【分析】根据求得再求出带入不等式解不等式即可【详解】因为数列为正项的递增等比数列由解得则整理得：使不等式成立的最大整数为故答案为：【点睛】本题主要考查了等比数列的性质和等比数列的求和同时考解析：8 【解析】 【分析】 根据1524158281a a a a a a +=⎧⎨==⎩，求得15181a a =⎧⎨=⎩，13-=n n a .再求出13(1)3n n T =-，带入不等式112020|1|13n nT a -->，解不等式即可.【详解】因为数列{}n a 为正项的递增等比数列，由1524158281a a a a a a +=⎧⎨==⎩，解得15181a a =⎧⎨=⎩.则3q =，13-=n n a .1(1)1323(1)1313n n n T -=⨯=--. 112020|1|13n n T a -->⇒1112020|11|133n n ---->. 整理得：38080n <.使不等式成立的最大整数n 为8. 故答案为：8 【点睛】本题主要考查了等比数列的性质和等比数列的求和，同时考查了学生的计算能力，属于中档题.19．①②③④【解析】【分析】根据D 型数列的定义逐个判断正项数列是否满足即可【详解】对①因为且正项数列故故所以成立对②故成立对③成立对④故成立综上①②③④均正确故答案为：①②③④【点睛】本题主要考查了新定解析：①②③④ 【解析】 【分析】根据D 型数列的定义,逐个判断正项数列{}n a 是否满足11n n a a +-<即可. 【详解】对①,因为2211n n a a +-=,且正项数列{}n a .故()222211211n n n n n a a a a a +=+<++=+,故11n n a a +<+.所以11n n a a +-<成立. 对②,1111111111n n n n n n n a a a a a a a +++-=?=Þ++, 故22101111n n n n nn n n n n n a a a a a a a a a a a +--=---++==<<+成立. 对③, 112221101111n nn n n n n n n n a a a a a a a a a a ++⎛⎫=⇒-=-=-<< ⎪+++⎝⎭成立 对④, ()2222112121211n n n n n n n a a a a a a a ++-=⇒=+<++=+.故11n n a a +<+,11n n a a +-<成立. 综上, ①②③④均正确. 故答案为：①②③④ 【点睛】本题主要考查了新定义的问题,需要根据递推公式证明11n n a a +-<.属于中等题型.20．6【解析】【分析】由题意公差d=1na1+=2668∴n （2a1+n-1）=5336=23×23×29得出满足题意的组数即可得出结论【详解】由题意公差d=1na1+=2668∴n （2a1+n-1）=解析：6 【解析】 【分析】由题意，公差d=1，na 1+()12n n -=2668，∴n （2a 1+n-1）=5336=23×23×29，得出满足题意的组数，即可得出结论． 【详解】由题意，公差d=1，na 1+()12n n -=2668，∴n （2a 1+n-1）=5336=23×23×29， ∵n ＜2a 1+n-1，且二者一奇一偶，∴（n ，2a 1+n-1）=（8，667），（23，232），（29，184）共三组； 同理d=-1时，也有三组． 综上所述，共6组． 故答案为6． 【点睛】本题考查组合知识的运用，考查等差数列的求和公式，属于中档题．三、解答题21．（1）n a n =，21n b n =+；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）由等差数列的通项公式及求和公式列1a d ，的方程组求解则n a n =可求，进而得21n b n =+（2）利用()111212111n c n n n n n n ⎛⎫=++=++- ⎪⋅++⎝⎭分组求和即可证明【详解】（1）因为数列{}n a ，{}n b 是等差数列，且23A =，53A B =，所以112351096a d a d d +=⎧⎨+=+⎩.整理得1123549a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得111a d =⎧⎨=⎩，所以()11?n a a n d n =+-=，即n a n =，()11221n b b n d n =+-⋅=+，即21n b n =+.综上，n a n =，21n b n =+. （2）由（1）得()111212111n c n n n n n n ⎛⎫=++=++- ⎪⋅++⎝⎭，所以()11111352112231n S n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋯+++-+-+⋯+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 即()()22211211111n S n n n n n n =++-=+-<+++. 【点睛】本题考查等差数列的通项公式及求和公式，裂项相消求和，考查推理计算能力，是中档题 22．(1)证明见解析；(2)证明见解析 【解析】 【分析】（1）当n ≥2时，S n ﹣S n ﹣121nn S S =-⇒S n ﹣S n ﹣1＝S n •S n ﹣1（n ≥2），取倒数，可得111n n S S --=1，利用等差数列的定义即可证得：数列{1nS }是等差数列； （2）利用222111111211n S n n n n ⎛⎫=<=- ⎪--+⎝⎭进行放缩并裂项求和即可证明 【详解】（1）当2n ≥时，211nn n n S S S S --=-，11n n n n S S S S ---=，即1111n n S S --= 从而1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭构成以1为首项，1为公差的等差数列． （2）由（1）可知，()11111n n n S S =+-⨯=，1n S n∴=． 则当2n ≥时222111111211n S n n n n ⎛⎫=<=- ⎪--+⎝⎭．故当2n ≥时22212111111111123224211n S S S n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++<+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L 1111137111221224n n ⎛⎫=++--<+⋅= ⎪+⎝⎭ 又当1n =时，21714S =<满足题意，故2221274n S S S +++<L ． 法二：则当2n ≥时22211111n S n n n n n=<=---， 那么222121111111717142334144n S S S n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++<++-+-+-=-< ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L 又当1n =时，21714S =<，当时，21714S =<满足题意，【点睛】本题考查数列递推式的应用，考查等差数列的判定，考查等价转化思想，突出裂项法、放缩法应用的考查，属于难题． 23．(1)4c =；(2) 【解析】 【分析】 【详解】(1) 由角,,A B C 的度数成等差数列，得2B A C =+. 又,3A B C B ππ++=∴=.由正弦定理，得34c a =,即34c a =. 由余弦定理，得2222cos b a c ac B =+-,即22331132442c c c c ⎛⎫=+-⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭，解得4c =. (2)由正弦定理，得,.sin sin sin a c b a A c C A C B ====∴==)()sin sin sin sin sin sin 3a c A C A A B A A π⎤⎛⎫⎤∴+=+=++=++ ⎪⎥⎦⎝⎭⎦3sin sin cos 226A A A π⎫⎛⎫=+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭. 由203A π<<，得5666A πππ<+<. 所以当62A ππ+=，即3A π=时，()max a c +=【方法点睛】解三角形问题基本思想方法：从条件出发，利用正弦定理(或余弦定理)进行代换、转化．逐步化为纯粹的边与边或角与角的关系，即考虑如下两条途径：①统一成角进行判断，常用正弦定理及三角恒等变换；②统一成边进行判断，常用余弦定理、面积公式等． 24．：（1）1cos 3A =（2）3{2b c ==或23b c =⎧⎨=⎩【解析】：（1）由3cos()16cos cos B C B C --=得3(cos cos sin sin )1B C B C -=- 即1cos()3B C +=-从而cos A 1cos()3B C =-+=（2）由于0,A π<<1cos 3A =，所以sin A =又ABC S =V 1sin 2bc A =6bc =由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得2213b c += 解方程组2213{6b c bc +==，得3{2b c ==或23b c =⎧⎨=⎩25．(1) 6A π=【解析】 【分析】（1）根据正弦定理得到tan A =，计算得到答案. （2）化简得到()cos cos B C C +=-，即A C =，再计算得到2a c ==，代入面积公式得到答案. 【详解】（1sin sin b a B A ==，∴tan A =.∵()0,A π∈，∴6A π=. （2）∵()cos 2sin sin cos B C B C C -=- ∴cos cos sin sin 2sin sin cos B C B C B C C +=-， ∴()cos cos B C C +=-，即cos cos A C =，即A C =. ∵6A π=，∴23B π=.∵2a =，∴2a c ==.∴11sin 22222ABC S ac B ∆==⨯⨯⨯= 【点睛】本题考查了正弦定理，面积公式，意在考查学生的计算能力.26．(1) cos DAC ∠=AC =(2) 3 【解析】 【分析】（1）用余弦定理求AC ，再求cos DAC ∠；（2）先求出sin BAC ∠和sin B ，再用正弦定理可求得BC ． 【详解】（1）ACD ∆中，由余弦定理可得：222164222277AC ⎛⎫=⨯-⨯⨯-=⎪⎝⎭，解得AC =11272cos 27AC DAC AD ∴∠===； （2）设DAC DCA α∠==∠， 由（1）可得：cos sin αα==()sin sin 120BAC α︒∴∠=-12714=+⨯=，()sin sin()sin 1802B BAC BCA α︒=∠+∠=-sin 227α===在BAC V 中，由正弦定理可得：sin sin BC ACBAC B=∠，3BC ∴==. 【点睛】本题考查余弦定理，正弦定理，考查两角和与差的正弦公式，诱导公式，二倍角公式等．本题属于中档题．解三角形注意公式运用：①利用正弦定理可解决两类三角形问题：一是已知两角和一角的对边，求其他边或角；二是已知两边和一边的对角，求其他边或角；②利用余弦定理可解决两类三角形问题：一是已知两边和它们的夹角，求其他边或角；二是已知三边求角．由于这两种情形下的三角形是唯一确定的，所以其解也是唯一的．。
2020-2021上海延安初级中学高三数学上期中模拟试卷(及答案)
2020-2021上海延安初级中学高三数学上期中模拟试卷(及答案)一、选择题1．已知{}n a 为等差数列，若20191<-a a ，且数列{}n a 的前n 项和n S 有最大值，则n S 的最小正值为( ) A ．1SB ．19SC ．20SD ．37S2．下列命题正确的是A ．若 a ＞b,则a 2＞b 2B ．若a ＞b ，则 ac ＞bcC ．若a ＞b ，则a 3＞b 3D ．若a>b ，则1a ＜1b3．已知数列{}n a 的通项公式为()*21log N 2n n a n n +=∈+，设其前n 项和为n S ，则使5n S <-成立的自然数n ( )A ．有最小值63B ．有最大值63C ．有最小值31D ．有最大值314．已知AB AC ⊥u u u v u u u v ，1AB t=u u uv ，AC t =u u u v ，若P 点是ABC V 所在平面内一点，且4AB AC AP AB AC=+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，则·PB PC u u u v u u u v 的最大值等于（ ）. A ．13B ．15C ．19D ．215．若关于x 的不等式220x ax +->在区间[]1,5上有解,则a 的取值范围是（ ） A ．23,5⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．23,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．()1,+∞D ．23,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦6．数列{a n }满足a 1=1，对任意n ∈N *都有a n +1=a n +n +1，则122019111a a a ++⋯+=（ ） A ．20202019B ．20191010C ．20171010D ．403720207．若x ，y 满足20400x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则2z y x =-的最大值为（ ）．A ．8-B ．4-C ．1D ．28．已知x ，y 满足条件0{20x y xx y k ≥≤++≤(k 为常数)，若目标函数z ＝x ＋3y 的最大值为8，则k ＝( )A ．－16B ．－6C ．-83D ．69．在等比数列{}n a 中，21a a 2-=，且22a 为13a 和3a 的等差中项，则4a 为( ) A ．9B ．27C ．54D ．8110．在数列{}n a 中，12a =，11ln(1)n n a a n +=++，则n a =A ．2ln n +B ．2(1)ln n n +-C ．2ln n n +D ．1ln n n ++11．已知正项数列{}n a 中，*12(1)()2n n n a a a n N ++++=∈L ，则数列{}n a 的通项公式为（ ） A ．n a n =B ．2n a n =C ．2n na =D ．22n n a =12．两个等差数列{}n a 和{}n b ，其前n 项和分别为n S ，n T ，且723n n S n T n +=+，则220715a ab b +=+（ ）A ．49B ．378C ．7914D ．14924二、填空题13．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，12m S -=-，0m S =，13m S +=.其中*m N ∈且2m ≥，则m =______.14．已知数列{}n a 、{}n b 均为等差数列，且前n 项和分别为n S 和n T ，若321n n S n T n +=+，则44a b =_____． 15．已知的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_________．16．设不等式组30,{230,1x y x y x +-<--≤≥表示的平面区域为1Ω，平面区域2Ω与1Ω关于直线20x y +=对称，对于任意的12,C D ∈Ω∈Ω，则CD 的最小值为__________．17．若数列{}n a 通项公式是12,123,3n n n n a n --⎧≤≤=⎨≥⎩，前n 项和为n S ，则lim n n S →∞=______. 18．设等差数列{}na 的前n 项和为n S ．若35a =，且1S ，5S ，7S 成等差数列，则数列{}n a 的通项公式n a =____．19．已知数列{}n a 满足1133,2,n n a a a n +=-=则na n的最小值为__________.20．设变量,x y 满足约束条件：21y x x y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则3z x y =-的最小值为__________．三、解答题21．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c，且sin 1cos a CA=-.（1）求角A 的大小；（2）若10b c +=，ABC ∆的面积ABC S ∆=a 的值.22．已知等差数列{}n a 满足1359a a a ++=，24612a a a ++=，等比数列{}n b 公比1q >，且2420b b a +=，38b a =.（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）若数列{}n c ，满足4nn n c b =-，且数列{}n c 的前n 项和为n B ，求证：数列n n b B ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和32n T <． 23．等差数列{}n a 的各项均为正数，11a =,前n 项和为n S ．等比数列{}n b 中，11b =，且226b S =,238b S +=．（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）求12111nS S S ++⋯+． 24．D 为ABC V 的边BC 的中点．222AB AC AD ===． （1）求BC 的长；（2）若ACB ∠的平分线交AB 于E ，求ACE S V ．25．已知数列{}n a 满足：1=1a ，()*11,2,n n n a n a n N a n ++⎧=∈⎨⎩为奇数为偶数设21n n b a -=． （1）证明：数列{}2n b +为等比数列；（2）求数列3+2n n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ．26．已知函数()[)22,1,x x af x x x++=∈+∞．（1）当12a =时，求函数()f x 的最小值； （2）若对任意[)1,x ∈+∞，()0f x >恒成立，试求实数a 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】由已知条件判断出公差0d <，对20191<-a a 进行化简，运用等差数列的性质进行判断，求出结果. 【详解】已知{}n a 为等差数列，若20191<-a a ，则2019190a a a +<， 由数列{}n a 的前n 项和n S 有最大值，可得0d <，19193712029000,,0,370a a a a a S <=∴+<>>， 31208190a a a a ∴+=+<，380S <，则n S 的最小正值为37S 故选D 【点睛】本题考查了等差数列的性质运用，需要掌握等差数列的各公式并能熟练运用等差数列的性质进行解题，本题属于中档题，需要掌握解题方法.2．C解析：C 【解析】对于A ，若1a =，1b =-，则A 不成立；对于B ，若0c =，则B 不成立；对于C ，若a b >，则33a b >，则C 正确；对于D ，2a =，1b =-，则D 不成立.故选C3．A解析：A 【解析】 【分析】利用对数运算，求得n S ，由此解不等式5n S <-，求得n 的最小值. 【详解】 ∵()*21log N 2n n a n n +=∈+，∴12322223log log log 3142n n S a a a a n n =++++⋯+=++⋯++222312log log 3422n n n +⎛⎫=⨯⨯⋯⨯= ⎪++⎝⎭， 又因为21215log 6232232n S n n <-=⇒<⇒>+， 故使5n S <-成立的正整数n 有最小值：63. 故选：A. 【点睛】本小题主要考查对数运算和数列求和，属于基础题.4．A解析：A 【解析】以A 为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则1(,0)B t，(0,)C t ，10)4(0,1)(1,4)AP =+=u u u r （，，即14)P （，，所以114)PB t=--u u u r （，，14)PC t =--u u u r （，，因此PB PC ⋅u u u r u u u r11416t t =--+117(4)t t =-+，因为114244t t t t+≥⋅=，所以PB PC ⋅u u u r u u u r 的最大值等于13，当14t t =，即12t =时取等号．考点：1、平面向量数量积；2、基本不等式．5．A解析：A 【解析】 【分析】利用分离常数法得出不等式2a x x >-在[]15x ∈，上成立，根据函数()2f x x x=-在[]15x ∈，上的单调性，求出a 的取值范围【详解】关于x 的不等式220x ax +->在区间[]1,5上有解22ax x ∴>-在[]15x ∈，上有解 即2a x x>-在[]15x ∈，上成立，设函数数()2f x x x=-，[]15x ∈，()2210f x x ∴'=--<恒成立 ()f x ∴在[]15x ∈，上是单调减函数且()f x 的值域为2315⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 要2a x x >-在[]15x ∈，上有解，则235a >- 即a 的取值范围是23,5⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭故选A 【点睛】本题是一道关于一元二次不等式的题目，解题的关键是掌握一元二次不等式的解法，分离含参量，然后求出结果，属于基础题．6．B解析：B 【解析】 【分析】由题意可得n ≥2时，a n -a n -1=n ，再由数列的恒等式：a n =a 1+（a 2-a 1）+（a 3-a 2）+…+（a n -a n -1），运用等差数列的求和公式，可得a n ，求得1n a =()21n n +=2（1n -11n +），由数列的裂项相消求和，化简计算可得所求和． 【详解】解：数列{a n }满足a 1=1，对任意n ∈N *都有a n +1=a n +n +1， 即有n ≥2时，a n -a n -1=n ，可得a n =a 1+（a 2-a 1）+（a 3-a 2）+…+（a n -a n -1） =1+2+3+…+n =12n （n +1），1n =也满足上式1n a =()21n n +=2（1n -11n +）， 则122019111a a a ++⋯+=2（1-12+12-13+…+12019-12020） =2（1-12020）=20191010．故选:B ． 【点睛】本题考查数列的恒等式的运用，等差数列的求和公式，以及数列的裂项相消求和，考查化简运算能力，属于中档题．7．D解析：D 【解析】作出不等式组20400x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，所表示的平面区域，如图所示，当0x ≥时，可行域为四边形OBCD 内部，目标函数可化为2z y x =-，即2y x z =+，平移直线2y x =可知当直线经过点(0,2)D 时，直线的截距最大，从而z 最大，此时，max 2z =，当0x <时，可行域为三角形AOD ，目标函数可化为2z y x =+，即2y x z =-+，平移直线2y x =-可知当直线经过点(0,2)D 时，直线的截距最大，从而z 最大，max 2z =， 综上，2z y x =-的最大值为2． 故选D ．点睛：利用线性规划求最值的步骤： (1)在平面直角坐标系内作出可行域．(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（ax by +型）、斜率型（y b x a++型）和距离型（()()22x a y b +++型）． (3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解．(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值． 注意解答本题时不要忽视斜率不存在的情形.8．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】由z ＝x ＋3y 得y ＝－13x ＋3z，先作出0{x y x ≥≤的图象，如图所示，因为目标函数z ＝x ＋3y 的最大值为8，所以x ＋3y ＝8与直线y ＝x 的交点为C ，解得C (2,2)，代入直线2x ＋y ＋k ＝0，得k ＝－6.9．B解析：B 【解析】 【分析】根据题意，设等比数列{}n a 的公比为q ，由22a 为13a 和3a 的等差中项，可得21322a 3a a ⨯=+，利用等比数列的通项公式代入化简为2q 4q 30-+=，解得q ，又21a a 2-=，即()1a q 12-=，q 1≠，分析可得1a 、q 的值，可得数列{}n a 的通项公式，将n 4=代入计算可得答案． 【详解】解：根据题意，设等比数列{}n a 的公比为q ，若22a 为13a 和3a 的等差中项，则有21322a 3a a ⨯=+，变形可得21114a q 3a a q =+，即2q 4q 30-+=，解得q 1=或3；又21a a 2-=，即()1a q 12-=，则q 3=，1a 1=，则n 1n a 3-=，则有34a 327==；故选：B ． 【点睛】本题考查等比数列的性质以及通项公式，关键是掌握等比数列通项公式的形式，属于基础题．10．A解析：A 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：在数列{}n a 中，11ln 1n n a a n +⎛⎫-=+⎪⎝⎭112211()()()n n n n n a a a a a a a a ---∴=-+-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-+12lnln ln 2121n n n n -=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++-- 12ln()2121n n n n -=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-- ln 2n =+ 故选A. 11．B 解析：B 【解析】 【分析】()()1122n n n n +-=-的表达式，可得出数列{}n a 的通项公式. 【详解】(1)(1),(2)22n n n n n n +-=-=≥1=，所以2,(1),n n n a n =≥= ，选B.【点睛】给出n S 与n a 的递推关系求n a ，常用思路是：一是利用1,2n n n a S S n -=-≥转化为n a 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为n S 的递推关系，先求出n S 与n 之间的关系，再求n a . 应用关系式11,1{,2n n n S n a S S n -==-≥时，一定要注意分1,2n n =≥两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起.12．D解析：D 【解析】 【分析】根据等差数列的性质前n 项和的性质进行求解即可. 【详解】因为等差数列{}n a 和{}n b ,所以2201111715111122a a a a b b b b +==+,又211121S a =,211121T b =,故令21n =有2121721214921324S T ⨯+==+,即1111211492124a b =,所以111114924a b = 故选：D. 【点睛】本题主要考查等差数列的等和性质：若{}n a 是等差数列,且(,,,*)m n p q m n p q N +=+∈,则m n p q a a a a +=+ 与等差数列{}n a 前n 项和n S 的性质*21(21),()n n S n a n N -=-∈二、填空题13．5【解析】【分析】设等差数列的再由列出关于的方程组从而得到【详解】因为所以设因为所以故答案为：【点睛】本题考查等差数列前项和公式的灵活运用考查从函数的角度认识数列问题求解时要充分利用等差数列的前前项解析：5 【解析】 【分析】设等差数列的()n An n m S =-，再由12m S -=-，13m S +=，列出关于m 的方程组，从而得到m . 【详解】因为0m S =，所以设()n An n m S =-， 因为12m S -=-，13m S +=， 所以(1)(1)2,125(1)13,13A m m m A m m -⋅-=-⎧-⇒=⇒=⎨+⋅=+⎩.故答案为：5. 【点睛】本题考查等差数列前n 项和公式的灵活运用，考查从函数的角度认识数列问题，求解时要充分利用等差数列的前前n 项和公式必过原点这一隐含条件，从而使问题的计算量大大减少.14．【解析】【分析】根据等差数列中等差中项的性质将所求的再由等差数列的求和公式转化为从而得到答案【详解】因为数列均为等差数列所以【点睛】本题考查等差中项的性质等差数列的求和公式属于中档题 解析：238【解析】 【分析】根据等差数列中等差中项的性质，将所求的174417a a ab b b +=+，再由等差数列的求和公式，转化为77S T ，从而得到答案.【详解】因为数列{}n a 、{}n b 均为等差数列所以7474141422a a b b a a b b ==++ ()()1771777272a a S b b T +==+37223718⨯+==+ 【点睛】本题考查等差中项的性质，等差数列的求和公式，属于中档题.15．【解析】【分析】利用余弦定理得到进而得到结合正弦定理得到结果【详解】由正弦定理得【点睛】本题考查解三角形的有关知识涉及到余弦定理正弦定理及同角基本关系式考查恒等变形能力属于基础题解析：3【解析】 【分析】 利用余弦定理得到cos C ，进而得到sin C ，结合正弦定理得到结果. 【详解】925491cos ,sin 302C C +-==-=，由正弦定理得2sin c R R C ===. 【点睛】本题考查解三角形的有关知识，涉及到余弦定理、正弦定理及同角基本关系式，考查恒等变形能力，属于 基础题.16．【解析】作出不等式组所表示的可行域如图阴影部分由三角形ABC 构成其中作出直线显然点A 到直线的距离最近由其几何意义知区域内的点最短距离为点A 到直线的距离的2倍由点到直线的距离公式有：所以区域内的点与区【解析】作出不等式组所表示的可行域1Ω ，如图阴影部分，由三角形ABC 构成，其中(11),(30),(12)A B C -，，， ，作出直线20x y += ，显然点A 到直线20x y +=的距离最近，由其几何意义知，区域12,ΩΩ 内的点最短距离为点A 到直线20x y +=的距离的2倍，由点到直线的距离公式有：22215521d -==+ ，所以区域1Ω 内的点与区域2Ω 内的点之间的最近距离为25，即255CD = .点睛：本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于中档题. 巧妙识别目标函数的几何意义是解答本题的关键.17．【解析】【分析】利用无穷等比数列的求和公式即可得出结论【详解】数列通项公式是前项和为当时数列是等比数列故答案为：【点睛】本题主要考查的是数列极限求出数列的和是关键考查等比数列前项和公式的应用是基础题解析：5518. 【解析】 【分析】利用无穷等比数列的求和公式，即可得出结论. 【详解】Q 数列{}n a 通项公式是12,123,3n n n n a n --⎧≤≤=⎨≥⎩，前n 项和为n S ，当3n ≥时，数列{}n a 是等比数列，331112731115531123118183182313n n n n S --⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎝⎭=++=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-，5531lim 5518218l m 3i n n n n S →∞→∞⎡⎤⎛⎫-=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=. 故答案为：5518. 【点睛】本题主要考查的是数列极限，求出数列的和是关键，考查等比数列前n 项和公式的应用，是基础题.18．【解析】设等差数列的公差为d ∵且成等差数列∴解得 ∴ 解析：21n -【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ， ∵35a =，且1S ，5S ，7S 成等差数列， ∴111125,7211020a d a a d a d +=⎧⎨++=+⎩解得11,2a d =⎧⎨=⎩ ∴21n a n =-19．【解析】【分析】先利用累加法求出an ＝33+n2﹣n 所以设f （n ）由此能导出n ＝5或6时f （n ）有最小值借此能得到的最小值【详解】解：∵an+1﹣an ＝2n ∴当n≥2时an ＝（an ﹣an ﹣1）+（a 解析：212【解析】 【分析】先利用累加法求出a n ＝33+n 2﹣n ，所以331n a n n n =+-，设f （n ）331n n=+-，由此能导出n ＝5或6时f （n ）有最小值．借此能得到na n的最小值． 【详解】解：∵a n +1﹣a n ＝2n ，∴当n ≥2时，a n ＝（a n ﹣a n ﹣1）+（a n ﹣1﹣a n ﹣2）+…+（a 2﹣a 1）+a 1＝2[1+2+…+（n ﹣1）]+33＝n 2﹣n +33 且对n ＝1也适合，所以a n ＝n 2﹣n +33． 从而331n a n n n=+- 设f （n ）331n n =+-，令f ′（n ）23310n-=+＞， 则f （n）在)+∞上是单调递增，在(0上是递减的，因为n ∈N +，所以当n ＝5或6时f （n ）有最小值．又因为55355a =，66321662a ==， 所以n a n 的最小值为62162a = 故答案为 212【点睛】本题考查了利用递推公式求数列的通项公式，考查了累加法．还考查函数的思想，构造函数利用导数判断函数单调性．20．-10【解析】作出可行域如图所示：由得平移直线由图象可知当直线经过点时直线的截距最大此时最小由得此时故答案为解析：-10 【解析】作出可行域如图所示：由3z x y =-得33x z y =-，平移直线33x zy =-，由图象可知当直线经过点A 时，直线33x zy =-的截距最大，此时z 最小由1{2x x y =-+=得(1,3)A -，此时13310z =--⨯=-故答案为10-三、解答题21．（1）3A π=；（2）13【解析】 【分析】 （1）把sin 31cos a C c A =-中的边化为角的正弦的形式，再经过变形可得3sin()32A π+=进而可求得3A π=．（2）由ABC S ∆=16bc =，再由余弦定理可求得a =．【详解】 （1）由正弦定理及sin 1cos a C A =-得sin sin 1cos A CC A=-，∵sin 0C ≠，∴)sin 1cos A A =-，∴sin 2sin 3A A A π⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭∴sin 3A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 又0A π<<， ∴4333A πππ<+<， ∴233A p p +=， ∴3A π=．（2）∵1sin 2ABC S bc A ∆==， ∴16bc =．由余弦定理得()()222222cos 233a b c bc b c bc bc b c bc π=+-=+--=+-，又10b c +=，∴221031652a =-⨯=，a ∴=【点睛】解三角形经常与三角变换结合在一起考查，解题时注意三角形三个内角的关系．另外，使用余弦定理解三角形时，注意公式的变形及整体思想的运用，如()2222b c b c bc +=+-等，可简化运算提高解题的速度．22．（1）n a n =，2nn b =；（2）证明见解析.【解析】 【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由等差中项的性质可得出3434a a =⎧⎨=⎩，可计算出1a 和d的值，利用等差数列的通项公式可求出n a ，根据题意得出1b 与q 的方程组，结合条件1q >，求出1b 和q 的值，利用等比数列的通项公式可求出n b ；（2）利用分组求和法结合等比数列的求和公式得出()()1122213n n nB++--=，可得出131122121n n n n b B +⎛⎫=- ⎪--⎝⎭，然后利用裂项法可求出n T ，即可证明出32n T <. 【详解】（1）1359a a a ++=Q ，由等差中项的性质得339a =，33a ∴=，同理可得44a =， 设等差数列{}n a 的公差为d ，43431d a a ∴=-=-=，1323211a a d =-=-⨯=，()1111n a a n d n n ∴=+-=+-=.由题意得()22412311208b b b q q b b q ⎧+=+=⎪⎨==⎪⎩，两个等式相除得2152q q +=，整理得22520q q -+=.1q >Q ，解得2q =，12b ∴=，因此，111222n n n n b b q --==⨯=；（2）442n n nn n c b =-=-Q ，()()()1122424242n n n B =-+-++-Q L ()()()()()112121414212444442222214123n n n nnn ++---=+++-+++=-=----L L ()()11112221432233n n n n ++++---⋅+==，()()()()()()111112323222221222121213n n nn n n n n n n n b B +++++⋅∴===⋅------()()()()111212133112221212121n nn n n n +++---⎛⎫=⋅=- ⎪----⎝⎭，22311313113113131122122121221212212n n n n T ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L .【点睛】本题考查等差数列与等比数列通项公式的求解，数列不等式的证明，涉及了裂项求和法与分组求和法，考查计算能力，属于中等题.23．（1）n a n =，12n n b -=；（2）21nn + 【解析】 【分析】（1）由题意,要求数列{}n a 与{}n b 的通项公式,只需求公差，公比,因此可将公差,公比分别设为d ，q ,然后根据等差数列的前项和公式,代入226b S =,238b S +=,求出d ，q 即可写出数列{}n a 与{}n b 的通项公式． （2）由（1）可得()11212n S n n n =++⋯+=+,即()121ns n n =+,而要求12111n S S S ++⋯+,故结合1n s 的特征可变形为11121n s n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭,代入化简即可． 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，d ＞0，{}n b 的等比为q则1(1)n a n d =+- ,1n n b q -=,依题意有()26338q d q d ⎧+=⎨++=⎩，解得12d q =⎧⎨=⎩或439d q ⎧=-⎪⎨⎪=⎩（舍去）故1,2n n n a n b -==,（2）由（1）可得()11212n S n n n =++⋯+=+ ∴11121n s n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭∴1211111111212231n S S S n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋯+=-+-+⋯+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ =122111nn n ⎛⎫-=⎪++⎝⎭． 【点睛】本题第一问主要考查了求数列的通项公式,较简单,只要能写出n S 的表达式,然后代入题中的条件正确计算即可得解,但要注意d ＞0．第二问考查了求数列的前n 项和，关键是要分析数列通项的特征,将()121n s n n =+等价变形为11121n s n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭,然后代入计算，这也是求数列前n 项和的一种常用方法--裂项相消法！ 24．（1）=BC 2【解析】 【分析】（1）由题意知21AB AC AD ===，．设BD DC m ==，在ADB △与ADC V 中，由余弦定理即可解得m 的值．（2）在ACE △与BCE V 中，由正弦定理，角平分线的性质可得AE AC BE BC ==．可求BE =，215AE =（）．利用余弦定理可求cos BAC ∠的值，根据同角三角函数基本关系式可求sin BAC ∠的值，利用三角形的面积公式即可计算得解． 【详解】解：（1）由题意知21AB AC AD ===，．设BD DC m ==．在ADB V 与ADC V 中，由余弦定理得：2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅∠，2222cos AC AD DC AD DC ADC =+-⋅∠．即：212cos 4m m ADB +-∠=，①212cos 1m m ADB ++∠=．②由①+②，得：232m =，所以m =BC = （2）在ACE V 与BCE V 中，由正弦定理得：,sin sin sin sin AE EC BE ECACE EAC BCE CBE==∠∠∠∠，由于ACE BCE ∠=∠，且sin sin BC ACBAC CBA=∠∠，所以6AE AC BE BC ==．所以BE =，所以215AE =（）．又222222121cos 22214AB AC BC BAC AB AC +-+-∠===-⋅⨯⨯，所以sin BAC ∠=，所以11211225420ACE S AC AE sin BAC =⋅⋅∠=⨯⨯⨯=V （）． 【点睛】本题主要考查了余弦定理，正弦定理，角平分线的性质，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题． 25．（1）见解析（2）1242n n n S -+=- 【解析】 【分析】（1）根据数列{}n a 的递推公式及21n n b a -=，可表示出1n b +与n b 的等量关系，再将等式变形即可证明数列{}2n b +为等比数列；（2）由（1）可求得数列{}n b 的通项公式，代入后可得3+2n n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，结合错位相减法即可求得前n 项和n S ． 【详解】（1）()121221212212222n n n n n n b a a a a b ++--===+=+=+，所以()1222n n b b ++=+，即1222n n b b ++=+， 又因为112230b a +=+=≠，所以数列{}2n b +是以3为首项以2为公比的等比数列．（2）由（1）得，1232n n b -+=⋅，11332322n n n n n nb --==+⋅， 所以02111222n n n n n S ---=+++L 0222222n n n S -=+++L 则1021122222n n n n n n S S S --⎛⎫=-=-+++ ⎪⎝⎭L 11111221212n n n --⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭=-+- 1242n n -+=-． 【点睛】 本题考查了由递推公式证明数列为等比数列，错位相减法的求和应用，属于中档题. 26．（1）72（2）3a >- 【解析】 【分析】（1）由题得()122f x x x=++，再利用对勾函数的性质得到函数()f x 的最小值；（2）等价于22y x x a =++＞0,再利用函数的单调性求函数的最小值即得解. 【详解】 （1）当12a =时，()122f x x x =++， ∵()f x 在区间[)1,+∞上为增函数，∴由对勾函数的性质知函数()f x 在区间[)1,+∞上的最小值为()712f =. （2）在区间[)1,+∞上，()220x x af x x++=>恒成立220x x a ⇔++>恒成立．设22y x x a =++，[)1,x ∈+∞，因为()222+a=11y x x x a =+++-在[)1,+∞上递增， ∴当1x =时，min 3y a =+，于是，当且仅当min 30y a =+>时，函数()0f x >恒成立， 故3a >-. 【点睛】本题主要考查对勾函数的性质，考查不等式的恒成立问题和二次函数的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.。
上海市延安中学2020-2021学年高三上学期10月月考数学试题
上海市延安中学2020-2021学年高三上学期10月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．已知集合{}{}1,3,,3,4A m B ==，且B A ⊆，则实数m 的值是__________.2．函数()f x =的定义域是_________. 3．如果圆锥的底面积为π，母线长为2，那么该圆锥的高为___________. 4．在()1521x +的二项展开式中，含5x 的项是二项展开式的第__________项.5．已知复数03z i =+（i 为虚数单位），复数z 满足003z z z z ⋅=+，则z =__________. 6．等差数列{a n }的前10项和为30，则14710a a a a +++=________7．已知双曲线与椭圆221166x y +=有相同的焦点，且双曲线的渐进线方程为12y x =±，则此双曲线方程为_________8．某班从4位男生和3位女生志愿者选出4人参加校运会的点名签到工作，则选出的志愿者中既有男生又有女生的概率的是__________.（结果用最简分数表示） 9．如图，将四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，,A B 是原来小正方形的其中两个顶点，()1,2,7i P i =是小正方形的其余顶点，在所有()1,2,7i AB AP i ⋅=中，不同的数值有__________个.10．函数()()()1,01,0x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨-+<⎪⎩，()()21g x f x =-+，若()3g a =，则()4g a -=__________.11．已知实数数列{}n a 满足()2123n n n a a a n N *+=-+∈，n S 是数列{}n a 的前n 项和.若()32k a k N *=∈，则2017k S +=__________. 12．已知a b 、是平面内两个互相垂直的单位向量，且此平面内另一向量c 在满足()()340a c b c +-=，均能使c bk -≤成立 ，则k 的最小值是_________.二、单选题13．已知,a b 都是实数，那么“22a b >”是“a b >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件14．若数列{}n a 的通项公式1,1,211,3,3n nn n a n n N *⎧=⎪⎪+=⎨⎪≥∈⎪⎩前n 项和为n S ，则下列结论中正确的是（ ） A ．lim n n a →∞不存在 B ．8lim 9n n S →∞=C ．lim 0n n a →∞=或1lim 3n n a →∞=D ．1lim 18n n S →∞=15．有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点．已知最底层正方体的棱长为2，且该塔形的表面积(含最底层正方体的底面面积)超过39，则该塔形中正方体的个数至少是A ．4B ．5C ．6D ．716．对任意一个复数z ，定义集合{}21,n z M z n N αα-==∈，设12ω=-（i 为虚数单位），则集合M ω与2M ω的关系是（ ） A ．{}21,M M ωωω= B ．2M M ωω⊆C ．2M M ωω=D ．M ω和2M ω没有关系三、解答题17．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，12AA AB BC ===，且AB BC ⊥.求：（1）四棱锥11C ABB A -的体积； （2）AC 与平面11A B C 所成角的大小.18．设函数()4sin ,0,3f x x x x π⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦.（1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）ABC ∆中，1,2AB AC ==,且()f A =ABC ∆为直角三角形. 19．某公司进行共享单车的投放与损耗统计，到去年2016年底单车的市场保有量（已投入市场且能正常使用的单车数量）为10000辆，预计今后每年新增单车1000辆，随着单车的频繁使用，估计每年将有200辆车的损耗，并且今后若干年内，年平均损耗在上一年损耗基础上增加10％.（1）预计2019年底单车的市场保有量是多少？（2）到哪一年底，市场的单车保有量达到最多？该年的单车保有量是多少辆（最后结果精确到整数）？20．如图，过抛物线24y x =焦点F 的直线与抛物线交于,A B （其中A 点在x 轴的上方）两点.（1）若线段AF 的长为3，求O 到直线AB 的距离； （2）证明：OAB ∆为钝角三角形；（3）已知AF FB λ=且[]2,3λ∈，求三角形OAB 的面积S 的取值范围. 21．A 是定义在[]1,2上且满足如下条件的函数()x ϕ组成的集合：①对任意的[]1,2x ∈，都有()()1,2x ϕ∈；②存在常数()01L L <<，使得对任意的[]12,1,2x x ∈，都有()()1212x x L x x ϕϕ-≤-. （1）设()[]211,1,25x x x ϕ=+∈，问()x ϕ是否属于A ？说明你的判断理由； （2）若()x A ϕ∈，如果存在()01,2x ∈，使得()00x x ϕ=，证明这样的0x 是唯一的；（3）设,k b 为正实数，是否存在函数()[]1,2x x ϕ=∈，使()x A ϕ∈？作出你的判断，并说明理由.参考答案1．4 【解析】 【分析】根据集合包含关系确定方程，解得结果. 【详解】因为B A ⊆，所以{3,4}{1,3,}4m m ⊆∴= 故答案为：4 【点睛】本题考查根据集合包含关系求参数，考查基本分析求解能力，属基础题. 2．()[),02,-∞+∞【解析】 【分析】 由210x -≥，化为20x x-≥,解分式不等式可得结果. 【详解】要使函数()f x =有意义， 则210x -≥， 即20x x-≥,解得0x <或2x ≥,即函数()f x =的定义域是()[),02,-∞+∞， 故答案为()[),02,-∞+∞.【点睛】本题主要考查抽象函数的定义域、不等式的解法，属于中档题.定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数()f x 的定义域为[],a b ，则函数()()f g x 的定义域由不等式()a g x b ≤≤求出.3【解析】 【分析】由底面积求出底面半径，利用勾股定理可得结果. 【详解】设圆锥底面半径为r , 因为圆锥的底面积为π， 所以21,r r ππ=⇒=又因为母线长为2=【点睛】本题主要考查圆锥的性质，意在考查对基础知识的掌握情况，考查了空间想象能力，属于基础题. 4．11 【分析】根据二项展开式通项公式即可确定结果. 【详解】15115(2)15510rr r T C x r r -+=∴-=∴=,即含5x 的项是二项展开式的第11项.故答案为：11 【点睛】本题考查二项展开式通项公式，考查基本分析求解能力，属基础题. 5【分析】变形003z z z z ⋅=+可得0033z iz z i+==-，分子分母同乘以i ，可得13z i =-，利用复数模的公式可得结果. 【详解】复数03z i =+， 复数z 满足003z z z z ⋅=+，()020333i iz i z z i i ++∴===- 13131ii -+==--，z ==.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分. 6．12 【解析】 【分析】利用等差数列的前n 项和公式即可得到a 1+a 10=6．由等差数列的性质可得a 1+a 10=a 4+a 7，进而可得答案． 【详解】∵等差数列{a n }的前10项和为30，∴()11010302a a +=，解得a 1+a 10=6．由等差数列的性质可得a 1+a 10=a 4+a 7， ∴a 1+a 4+a 7+a 10=2（a 1+a 10）=2×6=12． ∴a 1+a 4+a 7+a 10=12． 故答案为12． 【点睛】熟练掌握等差数列的前n 项和公式、等差数列的性质是解题的关键．7．22182x y -=【分析】根据双曲线的渐进线方程为12y x =±，设双曲线222214x y b b-=，计算椭圆焦点为()，根据双曲线焦点公式得到答案. 【详解】221166x y +=的焦点为：()双曲线的渐进线方程为12y x =±，则设双曲线方程为：222214x y b b-=，焦点为()故2224102b b b +=∴= ，双曲线方程为22182x y -=故答案为：22182x y -=【点睛】本题考查了求双曲线方程，根据渐近线设双曲线为222214x y b b-=是解题的关键.8．3435【分析】“4位男生和3位女生志愿者选出4人参加校运会的点名签到工作，若这4人中必须既有男生又有女生”的对立事件是“只有男生”，利用组合知识求出总事件数，根据古典概型概率公式以及对立事件的概率公式可得结果. 【详解】“4位男生和3位女生志愿者选出4人参加校运会的点名签到工作，若这4人中必须既有男生又有女生”的对立事件是“只有男生”，事件“只有男生”只包含一个基本事件，而总的基本事件数是4735C =，故事件“只有男生”的概率是135， 事件“4位男生和3位女生志愿者选出4人参加校运会的点名签到工作，若这4人中必须既有男生又有女生”的概率是13413535-=，故答案为3435. 【点睛】本题主要考查对立事件的概率公式以及古典古典概型概率公式的应用，属于基础题. 在求解有关古典概型概率的问题时，首先求出样本空间中基本事件的总数n ，其次求出概率事件中含有多少个基本事件m ，然后根据公式mP n=求得概率. 9．5 【分析】建立直角坐标系，根据向量数量积坐标计算，再统计不同结果个数. 【详解】建立如图所示直角坐标系，则123(2,1)(2,0)4,(2,1)(0,1)1,(2,1)(1,1)3,AB AP AB AP AB AP ⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=4567(2,1)(1,0)2,(2,1)(0,2)2,(2,1)(1,2)4,(2,1)(2,2)6,AB AP AB AP AB AP AB AP ⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=所以有5个不同的数值， 故答案为：5 【点睛】本题考查向量数量积坐标计算，考查基本分析求解能力，属基础题. 10．1- 【分析】先根据分段函数求a 的值，再代入求()2f a -的值，即得结果. 【详解】因为()3g a =，所以()()()21322g a f a f a =-+=∴-=因此20(2)(3)2a a a -≥⎧⎨--=⎩或20(2)(1)2a a a -<⎧⎨---=⎩解得4a =或a ∈∅从而()()()2(2)24211f a f g a f a -=-=-∴-=-+=- 故答案为：1- 【点睛】本题考查求分段函数值，考查基本分析求解能力，属基础题. 11．32【分析】根据递推关系求各项，再求和. 【详解】2211323232()02n n n k k k k k a a a a a a a a ++=-+∴=-+=--=当1n k ≥+时，0n a =若2k ≥，则由2123n n n a a a +=-+得2211111323232k k k k k k a a a a a a -----=-+∴-+=∴∈∅，因此=1k ，从而20173,133+02220,2n k n a S n +⎧=⎪=∴==⎨⎪≥⎩， 故答案为：32【点睛】本题考查根据递推关系求通项，考查基本分析求解能力，属中档题. 12【分析】根据题意，()()()1,0,0,1,,a b c x y ===，利用()()340a c b c +⋅-=，求得,x y 的关系，利用圆的几何性质，再求出c b -的最大值，从而求出k 的最小值. 【详解】因为a b 、是平面内两个互相垂直的单位向量，所以可设 ()()()1,0,0,1,,a b c x y ===，()33,a c x y ∴+=+， ()4,4b c x y -=--，又()()340a c b c +⋅-=，()()340x x y y ∴-++-=， 即()22325224x y ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭， 它表示的圆心在3,22M ⎛⎫-⎪⎝⎭，半径为52的圆，c b -表示圆上的点到(0,1)B 的距离，圆心M 到点(0,1)B 的距离为2d =c b ∴-的最大值为55222++=，要使c b k -≤恒成立，52k +≥即k . 【点睛】本题主要考查向量模的几何意义、轨迹方程的应用以及圆的几何意义，考查了转化思想的应用，属于难题. 转化是数学解题的灵魂，合理的转化不仅仅使问题得到了解决，还可以使解决问题的难度大大降低，本题将不等式恒成立问题转化为圆上动点到定点距离的最值问题是解题的关键. 13．D 【分析】举反例说明既不充分也不必要. 【详解】当2,1a b =-=时，满足22a b >，但a b >不成立；所以不充分； 当1,2a b ==-时，满足a b >，但22a b >不成立；所以不必要； 故选：D 【点睛】本题考查充要关系的判定，考查基本分析判断能力，属基础题. 14．B 【分析】先利用等比数列求和公式求和，再求极限得结果. 【详解】1lim lim03n nn n a →∞→∞==3234211(1)11111551133+++(1)1233336618313n n n n S ---=++=+=+--因此2511518lim lim[(1)]61836189n n n n S -→∞→∞=+-=+=故选：B【点睛】本题考查数列解析以及等比数列求和公式，考查基本分析求解能力，属中档题. 15．C 【分析】根据相邻正方体的关系得出个正方体的棱长为等比数列，求出塔形表面积n S 的通项公式，令39n S >，即可得出n 的范围． 【详解】设从最底层开始的第n 层的正方体棱长为n a ，则{}n a 是以2为首项，以2为公比的等比数列. ∴{}2na 是以4为首项，以12为公比的等比数列 ∴塔形的表面积为222222222123123114(1)32264444444248401212nn n n nS a a a a a a a a a -=+++⋅⋅⋅=+++⋅⋅⋅+=⨯+=--. 令3240392n->，解得5n >. ∴塔形正方体最少为6个. 故选C. 【点睛】此题考查了立体图形的表面积问题以及等比数列求和公式的应用．解决本题的关键是得到上下正方体的棱长之间的关系，从而即可得出依次排列的正方体的一个面的面积，这里还要注意把最下面的正方体看做是6个面之外，上面的正方体都是露出了4个面． 16．C 【分析】根据ω的性质化简集合M ω与2M ω，再进行判定选择. 【详解】因为12ω=-，所以231,12ωω=-={}{}212,,1,n M n N ωααωωω-==∈=，{}{}2422,,1,n M n N ωααωωω-==∈=所以2M M ωω=， 故选：C 【点睛】本题考查ω的性质以及集合相等的判定，考查基本分析化简判断能力，属基础题. 17．（1）83；（2）6π【分析】（1）先证线面垂直得高，再根据锥体体积公式求结果；（2）先补成正方体，再根据线面垂直确定线面角，最后解三角形得结果. 【详解】（1）因为直三棱柱111ABC A B C -，所以1AA ⊥平面ABC ∴1AA BC ⊥1,AB BC ABAA A BC ⊥=∴⊥平面11ABB A因此四棱锥11C ABB A -的体积为11118=222333ABB A BC S ⋅⋅⨯⨯⨯=矩形； （2）先补成正方体1111ABCD A B C D -,则AC 与平面11A B C 所成角为AC 与平面11A B CD 所成角，因为1AD ⊥平面11A B CD ,设11A O AD D =,则ACO ∠为AC 与平面11A B C 所成角,因为1sin 26AO ACO ACO AC π∠==∴∠=,因此AC 与平面11A B C 所成角为6π.【点睛】本题考查锥体体积公式、线面角以及线面垂直判定定理，考查基本分析求解能力，属中档题.18．（1）766ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，（2）详见解析【分析】（1）先根据辅助角公式化简函数，再根据正弦函数性质求单调区间；（2）先根据()f A A ，再根据余弦定理求BC ，最后根据勾股定理证结论. 【详解】（1）()sin 2sin(),3f x x x x π==+由322,()232k x k k Z πππππ+≤+≤+∈得722,()66k x k k Z ππππ+≤≤+∈ 因为40,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以7,66x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即单调递减区间为766ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，；（2）因为()f A =2sin()sin()33A A ππ+=+因为(0,)A π∈，所以2333A A πππ+=∴= 222211221232BC AC AB ∴=+-⨯⨯⨯==- 因此ABC ∆为直角三角形. 【点睛】本题考查辅助角公式、正弦函数性质以及余弦定理，考查基本分析求解能力，属基础题. 19．（1）12338（2）2033年底；最多18891辆 【分析】（1）根据等差数列与等比数列进行列式计算；（2）根据题意先列市场的单车保有量函数关系式，再根据数列单调性确定单车保有量最大值. 【详解】（1）2019年底单车的市场保有量是210000+10003200200 1.1200 1.112338⨯--⨯-⨯=（2）到2016n +年底，市场的单车保有量为2110000+1000200200 1.1200 1.1200 1.1n n a n -=⨯--⨯-⨯--⨯1 1.110000+100020010200+10002000 1.11 1.1n n n n -=-⨯=-⨯-11000200 1.1200(5 1.1)n n n n a a +-=-⨯=-1116,;17,;n n n n n a a n a a ++∴≤>≥<即17,n n a =取最大值18891，此时为2033年底；即到2033年底，市场的单车保有量达到最多，为18891辆. 【点睛】本题考查数列单调性以及等比数列再实际问题中的应用，考查综合分析求解能力，属中档题.20．（1（2）详见解析；（3）⎣⎦ 【分析】（1）先根据抛物线定义求出A 点坐标，再根据点斜式求直线AB 的方程，最后根据点到直线距离公式求结果；（2）先设直线方程，与抛物线方程联立，结合韦达定理化简OA OB ⋅,根据OA OB ⋅为负证明结果；（3）先设直线方程，与抛物线方程联立，结合韦达定理以及面积公式表示三角形OAB 的面积S ，再根据对勾函数单调性求值域. 【详解】（1）设111(,),(0)A x y y ，因为3AF =，所以111132x x y +=∴=∴= 因此22:(1),22220AB yx xy从而O 到直线AB |22|2238+1； （2）设直线AB 的方程为1x my =+，11122(,),(0)(,),A x y y B x y ，由214x my y x=+⎧⎨=⎩得211124404,4y my y y m y y --=∴+==- 从而22121212123016y y OA OBx x y y y y ，因此OAB ∆为钝角三角形；（3）因为AF FB λ=，所以12y y λ，由（2）得124y y =-，所以2224|y y λ=，12211||1(1)||22S y y y λ=-⨯=+==因为[]2,3λ∈，而1y tt =+在上单调递增，所以S ∈= 【点睛】本题考查抛物线定义、点到直线距离公式、抛物线中三角形面积以及直线与抛物线位置关系，考查综合分析求解与论证能力，属中档题.21．（1）是，详见解析（2）详见解析（3）详见解析 【分析】（1）根据定义逐一验证，即求函数在[]1,2上值域，再判断是否为()1,2子集；根据不等式寻找满足条件的常数()01L L <<；（2）利用反证法，假设存在两个，根据条件得到1L ≥，即假设不成立，原命题成立； （3）先根据条件①解不等式确定13k <<，再根据条件②利用恒成立转化为对应函数最值，再解不等式确定12k <<.b 的条件由k 确定. 【详解】（1）因为()2115x x ϕ=+在[]1,2上单调递增，所以()69[,](1,2)55x ϕ∈⊆；()()121212121455x x x x x x x x ϕϕ-=-+≤-， 所以存在常数45，使得对任意的[]12,1,2x x ∈，都有()()121245x x x x ϕϕ-≤-， 综上()x ϕ属于A ；（2）设存在()12121,,2,x x x x ≠∈，满足()()1122,x x x x ϕϕ==， 因为()x A ϕ∈，所以存在常数()01L L <<，使得()()1212x x L x x ϕϕ-≤-， 即12121201x x L x x x x L -≤-->∴≥，与01L <<矛盾，因此满足条件的0x 是唯一的；（3）假设存在，则因为()x A ϕ∈，且()x ϕ=[]1,2上单调递增，所以12<121210222b bb k k b b ∴+<<+∴>+>+∴<<，2411243k b k k k k ∴-<<-∴->-∴<，因此13k <<；存在常数()01L L <<，使得对任意的[]12,1,2x x ∈，12L x x≤-，12L x x≤-，所以k≤<，≥>=因此2416022k kk k <+-<∴--<<从而12k <<即当12241,0kk b k b <<-<<->，时存在函数()[]1,2x x ϕ=∈，使()x Aϕ∈；否则不存在.【点睛】本题考查函数新定义、反证证以及恒成立问题，考查综合分析求解与论证能力，属难题.。
2020-2021上海西延安中学高中必修五数学上期中模拟试题含答案
2020-2021上海西延安中学高中必修五数学上期中模拟试题含答案一、选择题1．数列{}n a 的前n 项和为21n S n n =++,()()1N*n n n b a n =-∈,则数列{}n b 的前50项和为（ ） A ．49B ．50C ．99D ．1002．已知数列{}n a 的首项11a =，数列{}n b 为等比数列，且1n n na b a +=．若10112b b =，则21a =（ ）A ．92B ．102C ．112D ．1223．若正数,x y 满足20x y xy +-=，则32x y+的最大值为（ ） A ．13B ．38C ．37D ．14．已知,x y 满足0404x y x y x -≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则3x y -的最小值为（ ）A ．4B ．8C ．12D ．165．已知AB AC ⊥u u u v u u u v ，1AB t=u u uv ，AC t =u u u v ，若P 点是ABC V 所在平面内一点，且4AB AC AP AB AC=+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，则·PB PC u u u v u u u v 的最大值等于（ ）. A ．13B ．15C ．19D ．216．已知数列{a n } 满足a 1=1，且111()(233n n n a a n -=+≥，且n ∈N*），则数列{a n }的通项公式为（ ）A ．32nn a n =+B ．23n nn a +=C ．a n =n+2D ．a n =（ n+2）·3n7．等差数列{}n a 满足120182019201820190,0,0a a a a a >+>⋅<，则使前n 项和0n S >成立的最大正整数n 是（ ） A ．2018B ．2019C ．4036D ．40378．在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边,若sin cos 0b A B -=,且2b ac =，则a cb+的值为( ) A ．2BCD ．49．已知正数x 、y 满足1x y +=，则141x y++的最小值为（ ） A ．2B ．92C ．143D ．510．在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，S 表示ABC V 的面积，若cos cos sin ,c B b C a A += ()22234S b a c =+-，则B ∠=A ．90︒B ．60︒C ．45︒D ．30︒11．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若341118a a a ++=则11S =（ ） A ．9B ．22C ．36D ．6612．“中国剩余定理”又称“孙子定理”1852年英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1至2019中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{}n a ，则此数列的项数为（ ） A ．134B ．135C ．136D ．137二、填空题13．已知数列111112123123n+++++++L L L ，，，，，，则其前n 项的和等于______． 14．已知实数,x y 满足102010x y x y x y ++≥⎧⎪-≥⎨⎪--≤⎩，则目标函数2z x y =+的最大值为____．15．已知120,0,2a b a b>>+=，2+a b 的最小值为_______________. 16．已知三角形中，边上的高与边长相等，则的最大值是__________．17．不等式211x x --<的解集是 ．18．设等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为,n n S T 若对任意自然数n 都有2343n n S n T n -=-，则935784a ab b b b +++的值为_______． 19．设a ＞0,b ＞0． 若关于x,y 的方程组1,{1ax y x by +=+=无解，则+a b 的取值范围是 ．20．已知,x y 满足条件20220220x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，若目标函数=+z -ax y 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为__________．三、解答题21．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，各项为正的等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，11a =-，11b =，222a b +=.（1）若335a b +=，求{}n b 的通项公式； （2）若321T =，求3S22．在等比数列{}n b 中，公比为()01q q <<，13511111,,,,,,50322082b b b ∈⎧⎫⎨⎬⎩⎭. （1）求数列{}n b 的通项公式；（2）设()31n n c n b =-，求数列{}n c 的前n 项和n T . 23．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知24sin 4sin sin 222A BA B -+=+ （1）求角C 的大小；（2）已知4b =，ABC ∆的面积为6，求边长c 的值. 24．已知{}n a 是递增的等差数列，2a ，4a 是方程的根.（1）求{}n a 的通项公式； （2）求数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和. 25．若数列{}n a 是递增的等差数列，它的前n 项和为n T ，其中39T =，且1a ,2a ,5a 成等比数列.（1）求{}n a 的通项公式； （2）设11n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n S ，若对任意*n N ∈，24n S a a ≤-恒成立，求a 的取值范围.26．在ABC ∆角中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若3asinB bcosA =． （1）求角A ；（2）若ABC ∆的面积为235a =，，求ABC ∆的周长．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A 解析：A 【解析】试题分析：当1n =时，113a S ==；当2n ≥时，()()()22111112n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=++--+-+=⎣⎦,把1n =代入上式可得123a =≠.综上可得3,1{2,2n n a n n ==≥.所以3,1{2,12,n n b n n n n n -==-≠为奇数且为偶数.数列{}n b 的前50项和为()()503235749224650S =--+++++++++L L ()()24349252503224922++=--⋅+⋅=.故A 正确.考点：1求数列的通项公式;2数列求和问题.2．B解析：B 【解析】 【分析】由已知条件推导出a n =b 1b 2…b n-1，由此利用b 10b 11=2，根据等比数列的性质能求出a 21． 【详解】数列{a n }的首项a 1=1，数列{b n }为等比数列，且1n n na b a +=， ∴3212212a a b a b a a =＝，＝4312341233aa b b b a b b b a ∴=∴=，，＝，， …101211011211220120219101122n n a b b b b b a b b b b b b b b b -=⋯=∴=⋯=⨯⨯⋯⨯=Q ，，（）（）（） ． 故选B ． 【点睛】本题考查数列的第21项的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意递公式和等比数列的性质的合理运用．3．A解析：A 【解析】 【分析】根据条件可得出2x >，212y x =+-，从而33222(2)52x y x x =+-++-，再根据基本不等式可得出3123x y ≤+，则32x y +的最大值为13.【详解】0x Q >，0y >，20x y xy +-=，2122x y x x ∴==+--，0x >， 333222212(2)522x y x x x x ∴==+++-++--，22(2)5592x x -++≥=-Q ， 当且仅当122x x -=-，即3x =时取等号， 31232(2)52x x ∴≤-++-，即3123x y ≤+，32x y ∴+的最大值为13. 故选：A. 【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值的方法，注意说明等号成立的条件，考查了计算和推理能力，属于中档题.4．A解析：A 【解析】 【分析】作出可行域，变形目标函数并平移直线3y x =，结合图象，可得最值． 【详解】作出x 、y 满足0404x y x y x -≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩所对应的可行域（如图ABC V ），变形目标函数可得3y x z =-，平移直线3y x =可知， 当直线经过点(2,2)A 时，截距z -取得最大值， 此时目标函数z 取得最小值3224⨯-=. 故选：A.【点睛】本题考查简单线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题．5．A解析：A 【解析】以A 为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则1(,0)B t，(0,)C t ，10)4(0,1)(1,4)AP =+=u u u r （，，即14)P （，，所以114)PB t=--u u u r （，，14)PC t =--u u u r （，，因此PB PC ⋅u u u r u u u r11416t t =--+117(4)t t =-+，因为114244t t t t+≥⋅=，所以PB PC ⋅u u u r u u u r 的最大值等于13，当14t t =，即12t =时取等号．考点：1、平面向量数量积；2、基本不等式．6．B解析：B【解析】试题分析：由题可知，将111()(233n n n a a n -=+≥，两边同时除以，得出，运用累加法，解得，整理得23n n n a +=； 考点：累加法求数列通项公式7．C解析：C 【解析】 【分析】根据等差数列前n 项和公式，结合已知条件列不等式组，进而求得使前n 项和0n S >成立的最大正整数n . 【详解】由于等差数列{}n a 满足120182019201820190,0,0a a a a a >+>⋅<，所以0d <，且2018201900a a >⎧⎨<⎩，所以()1403640362018201914037201940374036201802240374037022a a S a a a a a S +⎧=⨯=+⨯>⎪⎪⎨+⎪=⨯=⨯<⎪⎩，所以使前n 项和0n S >成立的最大正整数n 是4036.故选：C 【点睛】本小题主要考查等差数列前n 项和公式，考查等差数列的性质，属于基础题.8．A解析：A 【解析】 【分析】由正弦定理，化简求得sin 30B B =，解得3B π=，再由余弦定理，求得()224b a c =+，即可求解，得到答案．【详解】在ABC ∆中，因为sin 3cos 0b A a B -=,且2b ac =， 由正弦定理得sin sin 3cos 0B A A B =， 因为(0,)A π∈，则sin 0A >，所以sin 30B B =，即tan 3B =3B π=，由余弦定理得222222222cos ()3()3b a c ac B a c ac a c ac a c b =+-=+-=+-=+-，即()224b a c =+，解得2a cb+=，故选A ． 【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解决三角形的边角关系，熟练掌握定理、合理运用是解本题的关键．通常当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解.9．B解析：B 【解析】 【分析】由1x y +=得(1)2x y ++=，再将代数式(1)x y ++与141x y++相乘，利用基本不等式可求出141x y++的最小值． 【详解】1x y +=Q ，所以，(1)2x y ++=，则1414412()[(1)]()559111x y x y x y x y y x ++=+++=++=+++…， 所以，14912x y ++…， 当且仅当4111x y y x x y +⎧=⎪+⎨⎪+=⎩，即当2313x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，等号成立，因此，141x y ++的最小值为92， 故选B ． 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，对代数式进行合理配凑，是解决本题的关键，属于中等题．10．D解析：D 【解析】 【分析】由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得sin A ＝1，即A ＝900，由余弦定理、三角形面积公式可求角C ，从而得到B 的值． 【详解】由正弦定理及cos cos sin ,c B b C a A +=得2sin cos sin cos sin ,C B B C A +=()2sin sin sin 1C B A A ⇒+=⇒=,因为000180A <<，所以090A =；由余弦定理、三角形面积公式及)222S b a c =+-，得1sin 2cos 2ab C ab C =,整理得tan C =，又00090C <<,所以060C =,故030B =. 故选D 【点睛】本题考查正、余弦定理、两角和的正弦公式、三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查计算能力和转化思想，属于中档题．11．D解析：D 【解析】分析：由341118a a a ++=，可得156a d +=，则化简11S =()1115a d +，即可得结果. 详解：因为341118a a a ++=， 所以可得113151856a d a d +=⇒+=， 所以11S =()111511666a d +=⨯=，故选D.点睛：本题主要考查等差数列的通项公式与等差数列的求和公式， 意在考查等差数列基本量运算，解答过程注意避免计算错误.12．B解析：B 【解析】 【分析】由题意得出1514n a n =-，求出15142019n a n =-≤，即可得出数列的项数. 【详解】因为能被3除余1且被5除余1的数就是能被15整除余1的数，故1514n a n =-.由15142019n a n =-≤得135n ≤，故此数列的项数为135，故答案为B.【点睛】本题主要考查阅读能力及建模能力、转化与化归思想及等差数列的通项公式及数学的转化与化归思想.属于中等题.二、填空题13．【解析】【分析】由题意可知此数列为将代入根据数列特点将通项公式化简利用裂项相消的求和方法即可求出前n 项和【详解】由题意可知此数列分母为以1为首项以1为公差的等差数列的前n 项和由公式可得：所以数列通项解析：21 n n+【解析】【分析】由题意可知此数列为1nS⎧⎫⎨⎬⎩⎭，将n S代入，根据数列特点，将通项公式化简，利用裂项相消的求和方法即可求出前n项和.【详解】由题意可知此数列分母为以1为首项，以1为公差的等差数列的前n项和，由公式可得：()12nn nS+=，所以数列通项：()1211211nS n n n n⎛⎫==-⎪++⎝⎭，求和得：122111nn n⎛⎫-=⎪++⎝⎭.【点睛】本题考查数列通项公式与数列求和，当通项公式为分式且分母为之差为常数时，可利用裂项相消的方法求和，裂项时注意式子的恒等，有时要乘上系数.14．5【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域利用数形结合即可得到z 的最大值【详解】作出实数xy满足对应的平面区域如图：由z＝2x+y得y＝﹣2x+z 平移直线y＝﹣2x+z由图象可知当直线y＝﹣2x+解析：5【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合即可得到z的最大值．【详解】作出实数x，y满足102010x yx yx y++≥⎧⎪-≥⎨⎪--≤⎩对应的平面区域，如图：由z＝2x+y得y＝﹣2x+z，平移直线y＝﹣2x+z由图象可知当直线y＝﹣2x+z经过点A时，直线y＝﹣2x+z的截距最大．又x 10y --=与20x y -=联立得A （2，1）此时z 最大，此时z 的最大值为z ＝2×2+1＝5，故答案为5．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，考查了z 的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．15．【解析】【分析】先化简再利用基本不等式求最小值【详解】由题得当且仅当时取等故答案为：【点睛】本题主要考查基本不等式求最值意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力解题的关键是常量代换 解析：92 【解析】 【分析】 先化简11122(2)2(2)()22a b a b a b a b +=⋅+⋅=⋅+⋅+，再利用基本不等式求最小值. 【详解】由题得11121222(2)2(2)()(5)222a b a b a b a b a b b a+=⋅+⋅=⋅+⋅+=++ 1229(52)22a b b a ≥+⋅=. 当且仅当221223222a b a b a b ⎧+=⎪==⎨⎪=⎩即时取等. 故答案为：92【点睛】本题主要考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.解题的关键是常量代换. 16．22【解析】试题分析：由题意得12bcsinA=12a2⇒bcsinA=a2因此ACAB+ABAC+BC2AB ⋅AC=bc+cb+a2bc=b2+c2+a2bc=a2+2bccosA+a2bc=2c 解析：【解析】试题分析：由题意得，因此,从而所求最大值是考点：正余弦定理、面积公式【方法点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是： 第一步：定条件即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.17．【解析】【分析】【详解】由条件可得解析：{}|02x x <<【解析】【分析】【详解】由条件可得18．【解析】【分析】由等差数列的性质和求和公式可得原式代值计算可得【详解】∵{an}{bn}为等差数列∴∵＝∴故答案为【点睛】本题考查等差数列的性质和求和公式属基础题 解析：1941【解析】【分析】 由等差数列的性质和求和公式可得原式1111S T =，代值计算可得． 【详解】∵{a n }，{b n }为等差数列， ∴939393657846666222a a a a a a a b b b b b b b b ++=+==++ ∵61111111111622a S a a T b b b +==+＝211319411341⨯-=⨯-，∴661941a b =， 故答案为1941. 【点睛】本题考查等差数列的性质和求和公式，属基础题．19．【解析】试题分析：方程组无解等价于直线与直线平行所以且又为正数所以（）即取值范围是考点：方程组的思想以及基本不等式的应用解析：(2,)+∞【解析】试题分析：方程组无解等价于直线1ax y +=与直线1x by +=平行，所以1ab =且1a b ≠≠．又a ，b为正数，所以2a b +>=（1a b ≠≠），即+a b 取值范围是(2,)+∞．考点：方程组的思想以及基本不等式的应用．20．或【解析】【分析】先画出不等式组所代表的平面区域解释目标函数为直线在轴上的截距由目标函数取得最大值的最优解不唯一得直线应与直线或平行从而解出的值【详解】解：画出不等式组对应的平面区域如图中阴影所示将 解析：2或1-.【解析】【分析】先画出不等式组所代表的平面区域，解释目标函数为直线=+y ax z 在y 轴上的截距，由目标函数=+z ax y -取得最大值的最优解不唯一，得直线=+y ax z 应与直线20x y +-=或220x y -+=平行，从而解出a 的值.【详解】解：画出不等式组20220220x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩对应的平面区域如图中阴影所示将=+z ax y -转化为=+y ax z ，所以目标函数z 代表直线=+y ax z 在y 轴上的截距 若目标函数=+z ax y -取得最大值的最优解不唯一则直线=+y ax z 应与直线20x y +-=或220x y -+=平行，如图中虚线所示 又直线20x y +-=和220x y -+=的斜率分别为1-和2所以2a =或1a =-故答案为：2或1-.【点睛】本题考查了简单线性规划，线性规划最优解不唯一，说明目标函数所代表的直线与不等式组某条边界线平行，注意区分最大值最优解和最小值最优解.三、解答题21．(1)12n nb -=, (2)36s =-【解析】【分析】（1）首先设出等差数列的公差与等比数列的公比，根据题中所给的式子，得到关于d 与q 的等量关系式，解方程组求得结果，之后根据等比数列的通项公式写出结果即可； （2）根据题中所给的条件，求得其公比，根据条件，作出取舍，之后应用公式求得结果.【详解】(1)设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，由22 2.a b +=得d+q=3，由335a b +=得2d+q 2=6, 解得d=1,q=2.所以{}n b 的通项公式为12n n b -=； （2）由131,21b T ==得q 2+q-20=0, 解得q=-5（舍去）或q=4，当q=4时，d=-1，则S 3=-6。
2020-2021学年上海中学高三上学期期中数学试卷(含解析)
2020-2021学年上海中学高三上学期期中数学试卷一、单选题（本大题共4小题，共20.0分）1.若x，y，z为实数，则下列命题正确的是()A. 若x>y，则1x <1yB. 若x>y，则sinx>sinyC. 若x<y，则x2<y2D. 若x−yz2<0，则x<y 2.在等比数列{a n}中，a3=3，a6=6，则a9=()A. 19B. 112C. 9D. 123.已知且，且，那么函数的图象可能是()A. B.C. D.4.命题“存在x∈R，使得x2+2x<1”的否定是()A. 对任意x∈R，都有x2+2x>1B. 对任意x∈R，都有x2+2x≥1C. 存在x∈R，使得x2+2x>1D. 存在x∈R，使得x2+2x≥1二、单空题（本大题共12小题，共54.0分）5.设集合A={a,2a2}，B={1,a+b}，若A∩B={−1}，则实数b=______．6.已知函数g(x)的图象与函数f(x)=log2(3x−1)的图象关于直线y=x对称，则g(3)=______．7.已知a=log132，b=(13)12，c=(23)12，则a，b，c大小关系为______．8.已知p：a−4<x<a+4，q：(x−2)(x−3)<0，若¬p是¬q的充分条件，则实数a的取值范围是_____．9.若动直线与函数与的图像分别交于两点，则的最大值为．10. 某学校有一块面积为的锐角空地，欲修一个面积最大的内接矩形作为小运动场(如图所示)，已知，则小运动场的最大面积为 ． 11. 设全集U =R ，集合A ={x ｜x 2<1}，B ={x ｜x 2−2x >0)则A ∩(C R B )=________．12. 已知{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和，n ∈N ∗.若a 3=16，S 20=20，则S 10的值为 ．13. 已知集合A ={x|x ≥4或x <−5}，B ={x|a +1≤x ≤a +3,a ∈R}，若B ⊆A ，则a 的取值范围为______．14. 已知函数f(x)={log 2x,0<x <2(23)x +59,x ≥2.若函数g(x)=f(x)−k 有两个不同的零点，则实数k 的取值范围是______．15. 从数列{12n }(n ∈N ∗)中可以找出无限项构成一个新的等比数列{b n }，使得该新数列的各项和为17，则此数列{b n }的通项公式为______．16. 已知函数f(x)=|x 2−1|，g(x)=x 2+ax +2，x ∈R ，若函数ℎ(x)=f(x)+g(x)+2在(0,2)上有两个不同的零点x 1，x 2，则a 的取值范围是______ ．三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17. 设0<x 1<x 2<π2．(Ⅰ)证明：x 1>sinx 1(Ⅱ)x 1sinx 2cosx 1>x 2sinx 1cosx 2．18. 已知函数f(x)=|x −1|−2|x +a|．(Ⅰ)当a =3时，求不等式f(x)>2的解集；(Ⅱ)若f(x)+x +1≤0的解集为A ，且[−2,−1]⊆A ，求a 的取值范围．19. 若为正实数且满足． (1)求的最大值为；(2)求的最大值．20. 已知f 1(x)=|3x −1|，f 2(x)=|a ⋅3x −9|(a >0)，x ∈R ，且f(x)={f 1(x),f 1(x)≤f 2(x)f 2(x),f 1(x)>f 2(x)． (1)当a =1时，求f(x)的解析式；(2)在(1)的条件下，若方程f(x)−m =0有4个不等的实根，求实数m 的范围；(3)当2≤a <9时，设f(x)=f 2(x)所对应的自变量取值区间的长度为l(闭区间[m,n]的长度定义为n −m)，试求l 的最大值．21. 已知数列g(x)的前n 项和为(t,3)，a 1=12,S n =n 2a n −n(n −1)，n =1，2，…．(Ⅰ)证明：数列{n+1n S n }是等差数列，并求S n ； (Ⅱ)设b n =S n n 3+3n 2，求证：b 1+b 2+⋯+b n <512．【答案与解析】1.答案：D解析：解：对于选项A：x=1，y=0，故1y没意义，故错误．对于选项B：x=2π，y=π2，所以sin2π=0<sinπ2=1，故错误．对于选项C：x=−2，y=−1，则x2>y2，故错误．对于选项D：x−yz2<0，所以x<y，故正确．故选：D．直接利用不等式的性质的应用和三角函数的值的应用求出结果．本题考查的知识要点：不等式的性质，赋值法，三角函数的值，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．2.答案：D解析：解：根据题意，在等比数列{a n}中，a3=3，a6=6，则有(a6)2=a3×a9，变形可得a9=(a6)2a3=363=12；故选：D．根据题意，由等比中项的性质可得(a6)2=a3×a9，变形计算可得答案．本题考查等比数列的性质以及应用，注意等比中项的定义，属于基础题．3.答案：A解析：由得到，函数过点(0,1)且单调递减，故选A．4.答案：B解析：解：命题为特称命题，则命题的否定为对任意x∈R，都有x2+2x≥1，故选：B．根据含有量词的命题的否定即可得到结论．本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．5.答案：0解析：解：∵A∩B={−1}，∴−1∈A，−1∈B，∴{a=−1a+b=−1，解得b=0．故答案为：0．根据A ∩B ={−1}，得到关于a ，b 的方程组，解出即可．本题考查了集合的交集的运算，考查对应思想，是一道基础题．6.答案：2解析：解：∵函数g(x)的图象与函数f(x)=log 2(3x −1)的图象关于直线y =x 对称， ∴对于函数f(x)=log 2(3x −1)，令f(x)=3得：log 2(3x −1)=3，∴3x −1=23=8，∴x =2，∴f(2)=3，即g(3)=2，故答案为：2．利用反函数的定义f(x)=3得x =2，所以f(2)=3，即g(3)=2．本题主要考查了反函数的定义及其性质，是基础题．7.答案：c >b >a解析：解：∵a =log 132<log 131=0， 又∵函数y =x 12在(0,+∞)是增函数，∴(23)12>(13)12>0．所以，c >b >a ．故答案为c >b >a ．由对数式的运算性质得到a <0，由幂函数的单调性得到c >b >0，所以答案可求． 本题考查了对数式的运算性质，考查了幂函数的性质，是基础的不等式大小比较问题． 8.答案：[−1,6]解析：解：p ：a −4<x <a +4，q ：(x −2)(x −3)<0⇔2<x <3．又¬p 是¬q 的充分条件，即¬p ⇒¬q ，它的等价命题是q ⇒p ．所以{a −4≤2a +4≥3，解得−1≤a ≤6， 故答案为[−1,6]．解出p ，q 所对应的x 的范围，根据包含关系得出结论．若A ={x|x 满足条件p}，B ={x|x 满足条件q}：①A ⊊B ，则p 是q 的充分不必要条件；②A ⊆B ，则p 是q 的充分条件；若A =B ，则p 是q 的充要条件．。
陕西省延安市2020版高三上学期期中数学试卷(理科)C卷
陕西省延安市2020版高三上学期期中数学试卷（理科）C卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2016·潍坊模拟) 设复数z满足（2﹣i）z=5i（i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点位于（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限2. （2分） (2016高三上·连城期中) 已知集合A={（x，y）|y• =0}，B={（x，y|x2+y2=1）}，C=A∩B，则C中元素的个数是（）A . 1B . 2C . 3D . 43. （2分） (2015高二下·周口期中) 设函数f（x）是R上以5为周期的可导偶函数，则曲线y=f（x）在x=5处的切线的斜率为（）A . -B . 0C .D . 54. （2分）已知函数：，其中：，记函数满足条件：为事件为A，则事件A发生的概率为（）A .B .C .D .5. （2分） (2015高二上·昌平期末) 如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M是左侧面ADD1A1上的一个动点，满足• =1，则与的夹角的最大值为（）A . 30°B . 45°C . 60°D . 75°6. （2分）已知命题p：函数y=ax+1+1（a＞0且a≠1）的图象恒过（﹣1，2）点；命题q：已知平面α∥平面β，则直线m∥α是直线m∥β的充要条件；则下列命题为真命题的是（）A . p∧qB . ￢p∧￢qC . ￢p∧qD . p∧￢q7. （2分）(2017·江门模拟) 若的（x2+a）（x﹣）10展开式中x6的系数为﹣30，则常数a=（）A . ﹣4B . ﹣3C . 2D . 38. （2分）下列有关程序框图的描述正确的是（）A . 程序框图就是算法B . 算法使用自然语言描述解决问题的步骤，程序框图使得这些步骤更为直观C . 程序框图是一种图形，用它来表示算法，形式变复杂了D . 程序框图更接近于计算机理解9. （2分）设数列是由正数组成的等比数列，为其前n项和，已知，则（）A .B .C .D .10. （2分）已知，则等于（）A .B .C .D .11. （2分）五个人坐成一排，甲要和乙坐在一起，乙不和丙坐在一起，则不同排法数为（）A . 12B . 24C . 36D . 4812. （2分）(2018·佛山模拟) 已知等差数列的前项为且，则（）A . 90B . 100C . 110D . 120二、填空题 (共4题；共5分)13. （1分） (2019高二上·长沙期中) 某班共有56名学生，现将所有学生随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知12号、26号、54号同学在样本中，则样本中还有一名同学的编号是________．14. （2分） (2019高三上·宁波月考) 在二项式的展开式中，各项系数的和为________，含x的一次项的系数为________．（用数字作答）15. （1分）某高中数学老师从一张测试卷的12道选择题、4道填空题、6道解答题中任取3道题作分析，则在取到选择题时解答题也取到的概率为________．16. （1分） (2015高三上·潍坊期中) 函数f（x）=cos（x+2φ）+2sinφsin（x+φ）的最大值为________．三、解答题 (共7题；共55分)17. （5分） (2020高二上·青铜峡期末) 在中，内角所对的边分别为，已知．（Ⅰ）求角C的大小（Ⅱ）若，的面积为，求的周长．18. （10分）(2018·河北模拟) 第一届“一带一路”国际合作高峰论坛于2017年5月14日至15日在北京举行,这是2017年我国重要的主场外交活动,对推动国际和地区合作具有重要意义.某高中政数处为了调查学生对“一带一络"的关注情况,在全校组织了“一带一路知多少”的知识问卷测试,并从中随机抽取了12份问卷,得到其测试成绩(百分制),如茎叶图所示.（1）写出该样本的众数、中位数,若该校共有3000名学生,试估计该校测试成绩在70分以上的人数；（2）从所轴取的70分以上的学生中再随机选取4人.①记表示选取4人的成绩的平均数,求；②记表示测试成绩在80分以上的人数,求的分布列和数学期望.19. （10分） (2016高二下·龙海期中) 数列{an}满足：a1= ，前n项和Sn= an ，（1）写出a2，a3，a4；（2）猜出an的表达式，并用数学归纳法证明．20. （10分）解答题（1）已知函数（0≤x＜1），求y=f（x）的单调区间；（2）若0＜α＜β＜1，0≤x＜1，求证：（1+x）α﹣2+（1﹣x）α﹣2≥（1+x）β﹣2+（1﹣x）β﹣2．21. （10分） (2016高二下·日喀则期末) 设函数f（x）=x2+bx﹣alnx．（1）若x=2是函数f（x）的极值点，1和x0是函数f（x）的两个不同零点，且x0∈（n，n+1），n∈N，求n．（2）若对任意b∈[﹣2，﹣1]，都存在x∈（1，e）（e为自然对数的底数），使得f（x）＜0成立，求实数a 的取值范围．22. （5分）(2018·荆州模拟) 设不等式的解集为 .（Ⅰ）求集合；（Ⅱ）若，不等式恒成立，求实数的取值范围.23. （5分）(2017·银川模拟) （Ⅰ）已知函数f（x）=|2x﹣3|﹣2|x|，若关于x不等式f（x）≤|a+2|+2a 恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅱ）已知正数x，y，z满足2x+y+z=1，求证．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共55分)17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、23-1、。
上海市上海中学2021届高三上学期期中数学试题
上海中学2020-2021学年高三年级第一学期期中考试数学试卷一.填空题1. 已知集合{1,2,3}A =，2{|20}B x x x =-≤，则A B =________{2,3}解一元二次不等式得出集合B ，再求交集即可.因为{1,2,3}A =，{2{|20}2B x x x x x =-≤=≥或}0x ≤，所以{}2,3A B ⋂=， 故答案为：{2,3}.2. 函数()21((1,)x f x x =+∈+∞的反函数为________()()12log 1(3)f x x x -=->先求出函数的值域有()3f x >，再得出2log (3)x y =-，从而求得反函数. 由()21x f x =+()1x >，可得()3f x > 由21x y =+，则()2log 1x y =-，所以()()12log 1(3)f x x x -=-> 故答案为：()()12log 1(3)f x x x -=->3. 若2log (1)log (2)a a a a +≤，则实数a 的取值范围是________()0,1本题考查对数函数的性质，涉及基本不等式，由基本不等式得212a a +>，进而判定函数log a y x =的单调性，从而确定a 的范围.由基本不等式得212a a +≥，且∵a ≠1，∴“等号”不能取到， ∴212a a +>，若1a >,则log a y x =为单调递增函数，于是2log (1)log (2)a a a a +>，与2log (1)log (2)a a a a +≤矛盾；若01a <<,则log a y x =是单调递减函数，此时2log (1)log (2)a a a a +<，满足2log (1)log (2)a a a a +≤，(0,1)a ∴∈故答案为()0,1.4. 若,a b ∈R ，则“||||||a b a b +>+”是“a b a b ->-”的________条件（请从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选一个填空） 充分不必要由||||||a b a b +>+可得,a b 异号，即可得a b a b ->-；举出反例可得a b a b ->-成立但||||||a b a b +>+不成立；结合充分条件、必要条件的定义即可得解.若||||||a b a b +>+，则,a b 异号，所以a b a b a b -=+>-； 若1,2a b ==，则满足a b a b ->-，但不满足||||||a b a b +>+； 所以“||||||a b a b +>+”是“a b a b ->-”的充分不必要条件. 故答案为:充分不必要.5. 幂函数()f x 过点(2,4)，那么当0x >时，函数()g x =_____2+【分析】先求出函数()f x 的表达式，得到()122g x x x=++，再利用均值不等式得到答案. 设幂函数()xf x a =，由幂函数()f x 过点(2,4)，则24a =，得2a =所以2()f x x =，当0x >时22211()222x x g x x x x ++===++≥+ 当且当12x x =,即2x =时取等号. 故答案为：2+因为1222(0)()2(0)x m x f x x mx x +⎧+≥=⎨-<⎩，当0x ≥时，1()22x f x m +=+单调递增，则min ()(0)222f x f m m ==+>； 当0x <时，2()2f x x mx =-是开口向上的二次函数，对称轴为4m x =， 若0m ≥，则2()2f x x mx =-在(),0-∞上单调递减，所以()(0)0f x f >=，无最小值，不满足题意；若0m <，则22min ()224448m m m m f x f m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得16m =-或0m =（舍）.综上，16m =-. 故答案为：16-7. 知a >0，b >0，且a ＋3b ＝11b a-，则b 的最大值为________．13先将a ,b 分离，利用基本不等式求得a ＋1a 范围，即得1b－3b 范围，再由已知条件即得结果.由a ＋3b ＝11b a -，得1b－3b ＝a ＋1a .又a >0，所以a ＋1a ≥2(当且仅当a ＝1时取等号)，即得1b －3b ≥2，即得－1≤b ≤13又b >0，得0<b ≤13，所以b 的最大值为13.故答案为：13.8. 已知数列{}n a 为等差数列，1351a a a ++=，n S 表示数列{}n a 的前n 项和，若当且仅当20n =时，n S 取到最大值，则246a a a ++的取值范围是________1617,1718⎛⎫⎪⎝⎭分析】由条件可得31,3a =当20n =时，n S 取到最大值，则202100a a >⎧⎨<⎩得到d 的范围，由24613a a a d ++=+可得答案.由1351a a a ++=，得331,a =即31,3a =24643333,a a a a a d ++==+当且仅当20n =时，n S 取到最大值，则20210a a >⎧⎨<⎩则203213170180a a d a a d =+>⎧⎨=+<⎩，即20211170311803a d a d ⎧=+>⎪⎪⎨⎪=+<⎪⎩，得到11,5154d ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭2464333313a a a a a d d ++==+=+由11,5154d ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，可得1617131718d <+<故答案为：1617,1718⎛⎫⎪⎝⎭9. 对于非空集合12{,,,}n A a a a =⋅⋅⋅（0i a ≥，1,2,,i n =⋅⋅⋅），其所有元素的几何平均数记为()E A ，即()E A =，若非空集合B 满足以下两个条件：①B A ；②()()E B E A =，则称B 为A 的一个“保均值真子集”；据此，集合{}1,2,4,8,16的“保均值真子集”有________个6按照集合B 的元素个数分类列举即可得到答案.101248162⨯⨯⨯⨯=,()4E A ∴==,∴集合A 的“保均值真子集”B 可能为{}{}{}{}{}{}4,1,16,2,8,2,4,8,1,4,16,1,2,8,16，共6个. 故答案为：610. 已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()f x f x π+=-，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x =()()()1g x x f x π=--在区间[],3ππ-上所有零点之和为___________． 4π由已知条件求出函数()f x 的周期性，将问题转化为函数图像交点个数问题，然后求和()f x 为奇函数，()()()f x f x f x π∴+=-=- 故()()()2f x f x f x ππ+=-+=()f x ∴为周期为2π的函数函数()()()1g x x f x π=--在区间[],3ππ-上所有零点之和转化为 函数()y f x =与()1h x x π=-的交点横坐标之和 由()()2f x f x π+=-可得函数关于()0π，对称 ()1h x x π=-的图象关于点()0π，对称 如图所示：由图象可得共有4个交点 其和为224πππ+= 故答案为4π11. 任意实数a ，b ，定义,0,0ab ab a b a ab b ≥⎧⎪⊗=⎨<⎪⎩，设函数()()2log f x x x =⊗，数列{}n a 是公比大于0的等比数列，且61a =，()()()()()12391012f a f a f a f a f a a +++++=，则1a =____.4f （x ）＝()222xlog x x 1log x x log x 0x 1x ，，＜＜≥⎧⎪⊗=⎨⎪⎩，及其数列{a n }是公比大于0的等比数列，且6a ＝1，对公比q 分类讨论，再利用对数的运算性质即可得出．由题()()222xlog x x 1f x log x x log x 0x 1x ，，＜＜≥⎧⎪=⊗=⎨⎪⎩，∵数列{a n }是公比大于0的等比数列，且6a 1=，①1＜q 时，1a ，2a ，…，5a ∈（0，1），7a ，8a ，910a a ，∈（1，+∞），51a q =1．∴151a q =，分别为：51q ，41q，…，1q ，1，q ，…，q 4．∵()()()()()1239101f a f a f a f a f a 2a +++++=∴252122125log a log a log a a a a ++++0+727a log a +…+10210a log a ＝12a ， ∴5251q log q +q 422411log qlog qq+++q 2 log q 442q log q ++=251q ⨯． ∴5251q log q =251q ⨯．左边小于0，右边大于0，不成立，舍去． ②0＜q ＜1时，51a q =1，∴151a q =， 分别为：51q ，41q，…，1q ，1，q ，…，q 4，1a ，2a ，…，5a ∈（1，+∞），7a ，8a ，910a a ，∈（0，1），∵()()()()()1239101f a f a f a f a f a 2a +++++=∴22255441111111log log log q q q qq q q++++log 2q 4241log q q ++=251q⨯． ∴25511log q q =251q ⨯． ∴51q=4， ∴a 1＝4．③q＝1时，1a ＝…＝6a ＝…＝10a ＝1，不满足()()()()()1239101f a f a f a f a f a 2a +++++=，舍去．综上可得：1a ＝4． 故答案为4．12. 已知函数24()ln(1)x f x e -=+，()2g x x a =+-.若存在[](),1a n n n Z ∈+∈，使得关于x 的方程()()f x g x =有四个不相等的实数解，则n 的最大值为_______. 2由题意得242()()10x x a f x g x e e -+-=⇔+-=，令242()1x x a h x e e -+-=+-，x ∈R ，显然()h x 为偶函数，则方程()()f x g x =有四个实根⇔函数242()1x x a h x e e -+-=+-，x ＞0有两个零点，令2x t e-=，x ＞0，则关于t 的方程210a t e t -+=，即1ae t t=+在()2e -+∞，内有两个不相等的实根，结合函数1y t t =+的图象可得4ln(e 1)2ln 21n n ⎧<+-⎨<+⎩，由此可求出答案．解：方程()()f x g x =⇔24ln(1)2x ex a -+=+-24210x x a e e -+-⇔+-=， 令242()1x x a h x e e -+-=+-，x ∈R ，则显然()h x 为偶函数，∴方程()()f x g x =有四个实根⇔函数242()1x x a h x e e -+-=+-，x ＞0有两个零点， 令2x t e -=，x ＞0，则关于t 的方程210a t e t -+=，即1ae t t=+在()2e -+∞，内有两个不相等的实根， 结合函数1y t t=+，2t e ->的图象，得222a e e e -<<+，即4ln 2ln(1)2a e <<+-，∵存在[],1a n n ∈+，使得4ln 2ln(1)2a e <<+-，∴4ln(e 1)2ln 21n n ⎧<+-⎨<+⎩，结合n Z ∈，得max 2n =， 故答案为：2． 二.选择题13. 若,,a b c ∈R 且a b >，则下列不等式一定成立的是（ ） A. ac bc > B. 2()0a b c ->C.11a b< D. 22c a c b -<-D取0c =可否定AB ；当1,1a b ==-时可否定C ；利用不等式基本性质可以证明D . 逐一考查所给的选项：当0c 时，ac bc =，选项A 错误；当0c 时，()20a b c -=，选项B 错误，当1,1a b ==-时，a b >，且11a b>，选项C 错误；由不等式的性质可知22a b -<-，22c a c b -<-，选项D 正确.故选：D.14. 音乐与数学有着密切的联系，我国春秋时期有个著名的“三分损益法”：以“宫”为基本音，“宫”经过一次“损”，频率变为原来的32，得到“徵”；“徵”经过一次“益”，频率变为原来的34，得到“商”；……．依次损益交替变化，获得了“宫、徵、商、羽、角”五个音阶．据此可推得（ ） A. “宫、商、角”的频率成等比数列 B. “宫、徵、商”的频率成等比数列 C. “商、羽、角”的频率成等比数列 D. “徵、商、羽”的频率成等比数列A根据等差等比通项公式，分别计算“宫、徵、商、羽、角”五个音阶，再对照选项，即可得答案；设“宫”的频率为a ，由题意经过一次“损”，可得“徵”的频率是32a ；“徵”经过一次“益”，可得“商”的频率是98a ，“商”经过一次“损”，可得“羽”的频率是2716a ；最后“羽”经过一次“益”，可得“角”的频率是8164a ，由于981,,864a a a 成等比数列，所以“宫、商、角”的频率成等比数列．故选：A ．15. 设平行于x 轴的直线l 分别与函数2x y =与12x y +=的图像相交于点A ，B ，若函数2x y =的图像上存在点C ，使得ABC 为等边三角形，则这样的直线l （ ） A. 不存在 B. 有且只有一条C. 有且只有两条D. 有无数条B设直线l 的方程为(0)y a a =>，求得点()2log ,A a a 、()2log 1,B a a -，得到1AB =，再由CD AB ⊥，得点C ，根据点C 在函数2x y =的图象上，得到关于a 的方程，即可求解. 设直线l 的方程为(0)y a a =>，由2x a =，得2log x a =，所以点()2log ,A a a ； 由12x a +=，得2log 1x a =-，所以点()2log 1,B a a -，从而1AB =； 如图，取AB 的中点D ，连接CD ， 因为ABC 为等边三角形，则CD AB ⊥，且12AD =，32CD =，所以点213log ,22C a a ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭. 因为点C 在函数2x y =的图象上，则2312log 222a a -=-=解得322a =-，所以直线l 有且只有一条.故选：B .16. 给出下列命题：（1）若1212()()()()f x f x g x g x +≥+对任意12,x x ∈R 恒成立，且()y f x =是奇函数，则函数()y g x =也是奇函数；（2）若1212|()()||()()|f x f x g x g x -≥-对任意12,x x ∈R 恒成立，且()y f x =是周期函数，则函数()y g x =也是周期函数；（3）若1212|()()||()()|f x f x g x g x ->-对任意不相等的实数1x 、2x 恒成立，且()y f x =是R 上的增函数，则函数()()y f x g x =+与函数()()y f x g x =-也都是R 上的单调递增函数； （4）若1212|()()||()()|f x f x g x g x -≥-对任意12,x x ∈R 恒成立，且()y f x =在R 上有最大值和最小值，则函数()y g x =在R 上也有最大值和最小值； 其中真命题的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4D（1）根据已知条件，依据函数的奇偶性，周期性的定义，不难证明AB 正确；根据函数单调性的定义，结合不等式的性质可以证明C ；根据已知条件和f (x )既有最大值又有最小值的定义，利用不等式的基本性质，可以证明g (x )既有最大值又有最小值.对于（1），取12,x x x x ==-,则()()()()f x f x g x g x +-≥+-,∵()y f x =是奇函数，()()()()0,0f x f x g x g x ∴+-=∴≥+-,∴()()0g x g x +-=，()g x ∴为奇函数；对于（2）设f (x )的周期为T (T >0),取12,x x x x T ==+,则()()()()f x f x T g x g x T -+≥-+,∵()y f x =以T 为周期，()()()()0,0f x f x T g x g x T ∴-+=∴≥-+,∴()()0g x g x T -+=，()g x ∴为以T 为周期；对于（3）设12x x <, ()y f x =是R 上的增函数，∴()()12f x f x <，1212|()()||()()|f x f x g x g x ->-即为121221()()()()()()f x f x g x g x f x f x -<-<-即为1122()()()()f x g x f x g x -<-，1122()()()()g x f x g x f x +<+，∴函数()()y f x g x =+与函数()()y f x g x =-也都是R 上的单调递增函数；对于（4）()y f x =在R 上有最大值和最小值，∴存在,a b ,使得()()()f a f x f b ≤≤对于任意实数x 恒成立，∴|()()||()()|()()g x g a f x f a f x f a -≤-=-，|()()||()()|()()g x g b f x f b f b f x -≤-=-即()()()()g x g a f x f a -≤-①，()()()()g x g a f a f x -≥-②，()()()()g x g b f b f x -≤-③，()()()()g x g b f x f b -≥-④.①+③得2()()()()()g x g a g b f b f a --≤-， 即()()()()()2f b f ag a g b g x -++≤；②+④得2()()()()()g x g a g b f a f b --≥-， 即()()()()()2f a f bg a g b g x -++≥，由可知函数()y g x =在R 上也有最大值和最小值； 综上,真命题的个数为4，故选：D . 三.解答题17. 若正数a 、b 满足：1a b +=.（1≤（2的最小值.（1）证明见解析；（2）（1）利用基本不等式求得28≤，即可证得结论成立；（2=2的的最小值. （1）因为正数a 、b 满足1a b +=，则()22121421218a b a b =++++≤++++=，当且仅当12a b ==时，等号成立，≤ （2）11a++==，224b a a b ⎛⎫==+++⎪⎝⎭4412b a a b ⎛⎫=+++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==时，等号成立，≥ 的最小值为18. 已知函数()f x =│x +1│–│x –2│. （1）求不等式()f x ≥1的解集；（2）若不等式()f x ≥x 2–x +m 的解集非空，求实数m 的取值范围.（1）[)1,+∞；（2）5,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.（1）由于f （x ）＝|x +1|﹣|x ﹣2|31211232x x x x --⎧⎪=--≤≤⎨⎪⎩，＜，，＞，解不等式f （x ）≥1可分﹣1≤x ≤2与x ＞2两类讨论即可解得不等式f （x ）≥1的解集；（2）依题意可得m ≤[f （x ）﹣x 2+x ]max ，设g （x ）＝f （x ）﹣x 2+x ，分x ≤1、﹣1＜x ＜2、x ≥2三类讨论，可求得g （x ）max 54=，从而可得m 的取值范围．解：（1）∵f （x ）＝|x +1|﹣|x ﹣2|31211232x x x x --⎧⎪=--≤≤⎨⎪⎩，＜，，＞，f （x ）≥1， ∴当﹣1≤x ≤2时，2x ﹣1≥1，解得1≤x ≤2； 当x ＞2时，3≥1恒成立，故x ＞2； 综上，不等式f （x ）≥1的解集为{x |x ≥1}．（2）原式等价于存在x ∈R 使得f （x ）﹣x 2+x ≥m 成立， 即m ≤[f （x ）﹣x 2+x ]max ，设g （x ）＝f （x ）﹣x 2+x ．由（1）知，g （x ）22231311232x x x x x x x x x ⎧-+-≤-⎪=-+--⎨⎪-++≥⎩，，＜＜，， 当x ≤﹣1时，g （x ）＝﹣x 2+x ﹣3，其开口向下，对称轴方程为x 12=-＞1，∴g （x ）≤g （﹣1）＝﹣1﹣1﹣3＝﹣5；当﹣1＜x ＜2时，g （x ）＝﹣x 2+3x ﹣1，其开口向下，对称轴方程为x 32=∈（﹣1，2）， ∴g （x ）≤g （32）9942=-+-154=； 当x ≥2时，g （x ）＝﹣x 2+x +3，其开口向下，对称轴方程为x 12=＜2， ∴g （x ）≤g （2）＝﹣4+2+3＝1； 综上，g （x ）max 54=， ∴m 的取值范围为（﹣∞，54]． 19. 某市为了刺激当地消费，决定发放一批消费券，已知每投放(04,)a a a <≤∈R 亿元的消费券，这批消费券对全市消费总额提高的百分比y 随着时间x (天）的变化的函数关系式近似为()10af x y =，其中302,()3727,xx x f x xxx x +⎧≤≤∈⎪=-⎨⎪-<≤∈⎩R R，若多次投放消费券，则某一时刻全市消费总额提高的百分比为每次投放的消费券在相应时刻对消费总额提高的百分比之和.（1）若第一次投放2亿元消费券，则接下来多长时间内都能使消费总额至少提高40%； （2）政府第一次投放2亿元消费券，4天后准备再次投放m 亿元的消费券，若希望第二次投放后的接下来两天内全市消费总额仍然至少提高40%，试求m 的最小值. （1）5天内；（2）min 20m =-.（1）根据题意分段列出不等式组，求解，然后取并集即得x 的取值范围，从而得解； （2）依题意，列出不等式，并分离参数，然后利用换元方法和基本不等式求相应最值，从而得到所求. 依题意得a=2,321040%4302xxx +⎧⨯≥⨯=⎪-⎨⎪≤≤⎩，解得12x ≤≤， 2(7)1040%427x x ⨯-≥⨯=⎧⎨<≤⎩，解得25x ≤≤， 15x ∴≤≤，即第一次投放2亿元消费券，则接下来5天内都能使消费总额至少提高40%；（2）依题意得3()42[7(4)]43xmf x x m x+≥⇒-++⨯≥-； []0,2x ∈上恒成立，3(22)(3)62433x x x x m m x x +---+≥⇒≥-+，设(28)(6)243[3,5],3202()t t t x x t m t t t--=+∈=-⇒≥=-+20m ≥-min 20m ∴=-.注意：（1）不等式恒成立问题，分离参数后所得式子如果不是特别复杂以至于很难处理，一般常用分离参数法解决；（2）对于二次分式函数的最值，若分子或分母中的式子是一次的，一般作换元，用一个字母t 表示这个一次式，二次分式可以表示为t 函数，一般可用基本不等式或者对勾函数的性质求得相应最值；若分子分母都是二次式，则可以通过分离常数，先将分子转化为一次式在进行处理.20. 设()f x 是定义在()0,∞+上的函数，且()0f x >，对任意0a >，0b >，若经过点()(),a f a 、()(),b f b -的直线与x 轴的交点是(),0c ，则称c 为a 、b 关于函数()f x 的平均数，记为(),f M a b .（1）若()()10f x x =>，求(),f M a b 的表达式；（2）若(),f M a b =()f x 的解析式；（3）若对任意0a >，0b >，且ab ，都有()2,f abM a b a b<+成立，求证：()()()f a b f a f b +>+.（1）(),2f a bM a b +=；（2）()f x =（0x >，k 为常数且0k >）；（3）证明见解析. （1）利用(),1a 、(),1b -、(),0c 三点共线，结合斜率公式可求得c 的表达式，即为所求；（2）利用点()(),a f a 、()(),b f b -、)=，进而可得出函数()f x 的解析式；（3）利用点斜式可求得经过点()(),a f a 、()(),b f b -的直线方程，可求得()()()()b a f ac af a f b -=++，由()2,f abM a b a b <+可推导出函数()f x y x=在()0,∞+上为增函数，进而可得出()()af a b f a a b +<+，()()bf a b f b a b+<+，然后利用不等式的基本性质可证得结论成立.（1）()()10f x x =>，由于点()(),A a f a 、()(),B b f b -、(),0C c 三点共线，即点(),1A a 、(),1B b -、(),0C c 三点共线，由斜率公式可得10012a bc a c c b --+=⇒=--， 因此，(),2f a bM a b +=；（2）(),f c M a b ==()(),a f a 、()(),b f b -、)三点共线，00f a f b-+=f a f b -=，=，对任意的正实数a 、b 且ab=成立，即对任意的0x >f x为常数，由于()0f x >f x k=（其中k 为常数且0k >），所以，()f x =0x >，k 为常数且0k >）；（3）记点()(),A a f a 、()(),B b f b -、(),0C c ， 直线AB 的方程为()()()()()0f a f b y f a x a x a b+-=->-，直线AB 与x 轴的交点是(),0c ，可得()()()()f a f b f a c a a b+-=--，所以，()()()()b a f ac af a f b -=++，对任意0a >，0b >，且ab 都有()2,f abc M a b a b=<+. 则()()()()2b a f a aba f a fb a b -+<++，即()()()()2bf a af b ab f a f b a b+<++，整理可得()()()()220a f b abf a abf b b f a --+<，即()()()0a b bf a af b -->⎡⎤⎣⎦，则()()()0f a f b ab a b a b ⎡⎤-->⎢⎥⎣⎦，设a b >，则()()f a f b a b>，所以，函数()f x y x =在()0,∞+上为增函数，所以，()()f a b f a a b a +>+，可得()()af a b f a a b +<+，同理可得()()bf a b f b a b+<+， 由不等式的基本性质可得()()()()()af a b bf a b f a f b f a b a b a b+++<+=+++.因此，对任意0a >，0b >，且ab 都有()2,f abM a b a b<+成立，()()()f a b f a f b +>+. 21. 若存在常数m ∈R ，使得对于任意*n ∈N ，都有1n n a ma +≥，则称数列{}n a 为()Z m 数列. （1）已知数列{}n a 是公差为2的等差数列，其前n 项和为n S ，若n S 为()1Z 数列，求1a 的取值范围；（2）已知数列{}n b 的各项均为正数，记{}n b 的前n 项和为n R ，数列{}2n b 的前n 项和为n T ，且234n n n T R R =+，*n ∈N ，若数列{}n c 满足1n n nc b b =+，且{}n c 为()Z m 数列，求m 的最大值； （3）已知正项数列{}n d 满足：()*1n n d d n +≤∈N ，且数列{}2121k k d d -+为()Z r 数列，数列2221k k d d +⎧⎫⎨⎬⎩⎭为()Z s 数列，若21d rs d =，求证：数列{}n d 中必存在无穷多项可以组成等比数列.（1）[)2,-+∞；（2）max 1710m =；（3）证明见解析. （1）由已知可得出1n n S S +≥，可推导出12a n ≥-对任意的n *∈N 恒成立，由此可求得1a 的取值范围；（2）利用n b 与n R 、n b 与n T 之间的关系求得2n n b =，利用参变量分离法得出11122122n n n nm +++≤+，求得数列11122122n n n n ++⎧⎫+⎪⎪⎨⎬⎪⎪+⎩⎭的最小项的值，进而可求得实数m 的最大值； （3）根据题中已知条件推导出2123k k rd d -+≤，242k k sd d +≤，结合21d rs d =可推导出56b b =，进一步推导可得出1rs =，910d d =，依次类推得出41424+1434242=k k k k k k d d d rd drd ++-+-=⎧⎪⎨⎪=⎩，由此可证得结论成立.（1）由题意可得1n n S S +≥，即1120n a a n +=+≥，12a n ∴≥-对任意的n *∈N 恒成立， 所以，12a ≥-；（2）当1n =时，由题意可得211134T R R =+，即2211134b b b =+，可得21120b b -=，10b >，解得12b =；当2n =时，222234T R R =+，可得()()()2222234242b b b +=+++，可得22240b b -=，20b >，解得24b =；当2n ≥时，由234n n n T R R =+可得211134n n n T R R ---=+，上述两式作差得()()()22211113444n n n n n n n n n n n n n b R R b R R R R b b R R b ----=-+=-++=++，所以，134n n n b R R -=++，可得1134n n n b R R ++=++， 上述两式相减得1133n n n n b b b b ++-=+，可得12n nb b +=且212bb =，所以，数列{}n b 是首项为2，公比也为2的等比数列，所以，2nn b =，则1122n n n n n c b b =+=+， 由1n n c mc +≥，可得11112222n n n n m ++⎛⎫+≥+ ⎪⎝⎭，所以，11122122n n n n m +++≤+， 而()12122121212131222232133172221222222221022n n n n n n n n n +++++++++-+===-≥-=+++++，1710m ∴≤， 因此，实数m 的最大值为1710；（3）因数列{}2121k k d d -+为()Z r 数列，则21212123k k k k rd d d d -+++≤，可得2123k k rd d -+≤，另一方面，数列2221k k d d +⎧⎫⎨⎬⎩⎭为()Z s 数列，则22222241k k k k s d d d d +++≤，可得242k k sd d +≤， 21d rs d =，且15rd d ≤，56d d ≤，6215sd d d rs sd ≤=≤， 可得56d d =且中间每个等号都需取等，即6215sd d d rs sd ===，21d rs d =，12d d ≤，1rs ∴≥， 又59rd d ≤，106sd d ≤，1056910rsd rd rd d d ∴≤=≤≤，可得1rs ≤，1rs ∴=， 所以，1056910d rd rd d d ≤=≤≤，则910d d =且中间每个等号都需取等.以此类推，可得出41424+1434242k k k k k k d d d rd drd ++-+-=⎧⎪=⎨⎪=⎩.因此，数列{}n d 中必存在无穷多项可以组成等比数列.。
2020-2021年上海市延安中学高二上期中教师版
上海市延安中学2020学年度第一学期期中考试高二年级数学试卷2020.11.4（考试时间：90分钟 满分：100分）一、填空题（每题3分，共42分）1.计算：25lim3n n n→∞+=-_________.【答案】2-2.向量()1,1a =-的单位向量0a =_________.【答案】⎛ ⎝⎭3.已知矩阵2113A ⎛⎫=⎪-⎝⎭，矩阵11B -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则AB =_________.【答案】14-⎛⎫⎪-⎝⎭4.已知直线50x +-=，则其倾斜角为_________. 【答案】56π 5.将循环小数0.36化成最简分数后，分子与分母的和为_________. 【答案】416.已知ABC ∆的顶点坐标()6,2A -，()6,4B ，设()2,0G 是ABC ∆的重心，则顶点C 的坐标为_________. 【答案】(6,6)-7.若直线l 过点()3,4P ，且与直线210x y +-=平行，则直线l 的方程为_________. 【答案】2100x y +-=8.三阶行列式23225142x xx--中第3行第2列元素的代数余子式的值小于0，则实数x 的取值范围为_________. 【答案】(,0)(4,)-∞+∞9.已知()1,0A ，()3,1B ，()2,3C -，则BC 在AB 方向上的投影为_________.10.设点()2,1A ，()1,4B -若点P 在直线AB 上，且满足3AB BP =，则点P 的坐标为_________.【答案】(2,5)(0,3)-或11.已知无穷等比数列{}n a ，24a a ⎛⎫⎪⎝⎭是增广矩阵为3122012-⎛⎫⎪⎝⎭的线性方程组的解，则无穷等比数列{}n a 的各项的和为_________. 【答案】32323-或 12.在平面直角坐标系中，动点P 到两条直线30x y -=与30x y +=的距离之和等于4，则点P 到原点距离的取值范围为_________.【解析】因为直线30x y -=与30x y +=垂直，且均经过原点，所以设点P 到两直线的距离分别为,a b ，则0,0,a b 且4a b +=，所以||OP ===， 因为04a ，所以||OP ∈.13.将直线1:10l x y +-=，2:0l nx y n +-=，()*3:0,2l x ny n n N n +-=∈≥围成的三角形面积记为n S ，则lim n n S →∞=_________.【解析】23:0,:0l nx y n l x ny n +-=+-=的交点为,11n n B n n ⎛⎫⎪++⎝⎭，所以BO AC ⊥， 1:10l x y +-=与x 轴，y 轴分别交于(1,0),(0,1)，所以AC =所以1122(1)n n S n -==+⎭，所以1lim 2n n S →∞=. 14.已知向量a ，b 的夹角为4π，2b =，若对任意x R ∈，恒有12b xa b a +≥-，则函数()1()2f t tb a tb a t R =-+-∈的最小值为_________.【解析】由题意得12b a -为||b xa +的最小值， 设,()OB b OC x a ==-，则OM c l ∈， |||()|||b xa b x a CB +=--=， 易知当BC OC ⊥时，||b xa +最小， 由C 的唯一性知12OC a =，其中a OA =， 故C 为OA 中点，如图建系，则(2,0),(1,,1)(1,0)A B C ，设OD tb =， 则()||||||||f t OD OA OD OC AD CD =-+-=+， 作A 关于OB 的对称点(0,2)A '， 则||||||||5AO CD DA DC A C '+=+=二、选择题（每题3分，共12分）15.已知直线1:320l x ay ++=和()2:460l x a y a +-+=，则“1a =”是“12l l ⊥”的（ B ） A. 必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D. 既非充分又非必要条件 16.下列命题为真命题的序号是 （ D ） ① 22a a = ② 若向量a 和b 反向，则a b a b -=+③若a b =，则a b =或a b =- ④若0AB BC ⋅>，则ABC ∆为钝角三角形 A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④17.已知0,0a b >>，且a b ≠，若1+1lim=5n n n nn a b a b +→∞--，则a b +的值可能是（ A ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【解析】由对称性，不妨设a b >，则1+1l l m15im i n n n n n n nnb a b a b a b a a b a →∞+→∞⎛⎫-⋅ ⎪⎝⎭==⎛⎫- ⎪⎝⎭-=-，所以210a b a +<=，故选A.18.已知直线1:10l x y --=，动直线()()2:10l k x ky k k R +++=∈，则下列结论错误的是（ C ）A. 存在k ，使得2l 的倾斜角为2π； B. 对任意的k ，1l 与2l 都有公共点； C. 对任意的k ，1l 与2l 都不重合； D. 对任意的k ，1l 与2l 都不垂直； 【解析】当0k =时，2l 的倾斜角为2π，故A 正确； 联立方程组10(1)0x y k x ky k --=⎧⎨+++=⎩，得(21)0k x +=，此方程恒有解，故对任意的k ，1l 与2l 都有公共点，B 正确；当12k =-时，1111k k k +==--，此时1l 与2l 重合，故C 错误； 因为1:10l x y --=的斜率为1，2l 的斜率1111k k k+=--≠--， 所以对任意的k ，1l 与2l 都不垂直，D 正确；故选C. 三、解答题（共46分）19.（本题满分8分）解关于x ，y 的二元一次方程组()()331484mx y m R m x my m -=⎧∈⎨+-=+⎩，并对解的情况进行讨论. 【解析】1(41)(1)314m D m m m m -==-+-+-，314(1)844x D m m m -==--+-，3(83)(1)3184y m D m m m m ==+-++，当114m m ≠≠-且时，0D ≠，方程组有唯一解4418341x m m y m ⎧=⎪⎪+⎨+⎪=-⎪+⎩，当14m =-时，00x D D =≠且，方程组无解， 当1m =时，0x y D D D ===，方程组有无数组解()3x tt y t =⎧∈⎨=-⎩R .20. （本题满分8分，第1小题4分，第2小题4分）已知1m =，2n =，m 与n 的夹角为60︒，设3a m n =-，2,b m tn t R =+∈ （1）若a b ⊥，求t ；（2）若0t =，求向量a 与b 的夹角.【解析】（1）22(3)(2)2||(6)3||0a b m n m tn m t m n t n ⋅=-⋅+=+-⋅-=， 即2(6)120t t +--=，得411t =-； （2）2(3)22||6264a b m n m m m n ⋅=-⋅=-⋅=-=-，2222||(3)||69||163631a m n m m n n =-=-⋅+=-+=，得||31a =，cos 31||||231a b θa b ⋅===-，于是得θπ=-. 21. （本题满分8分，第1小题3分，第2小题5分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，()*1232n n a S n N ++=∈.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记12n S a a a =++++，若对任何正整数n ，都有1n kS S +>成立，求实数k 的取值范围.【解析】（1）由1232n n a S ++=得1232(2)n n a S n -+=≥，两式相减得 12230(2)n n n a a a n +-+=≥，即得11(2)2n n a n a +=-≥， 又1223231222S a --===-，即2112a a =-，所以112n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2）121312S ==⎛⎫-- ⎪⎝⎭，由1n kS S +>恒成立，得1max 112n k +⎡⎤⎛⎫>--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 令1111 211 2n n n y n ++⎧⎛⎫-⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪+ ⎪⎪⎝⎭⎩为奇数为偶数， 因为n 为偶数时y 的值恒大于n 为奇数时y 的值，且n 为偶数，1112n y +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭单调递减，所以max 98y =，2n =时取得，所以98k >. 22. （本题满分10分，第1小题4分，第2小题6分）如图，在ABC ∆中，3BAC π∠=，D 为AB 中点.P 为CD 上一点，满足13AP t AC AB =+， 且ABC ∆的面积为322.求： （1）实数t 的值；（2）AP 的最小值. 【解析】（1）因为P 为CD 上一点，设DP λDC =，则()(1)AP AD DP AD λDC AD λAC AD λAC λAD =+=+=+-=+-， 又1233AP t AC AB t AC AD =+=+， 由平面向量分解定理可得213λtλ=⎧⎪⎨-=⎪⎩，从而求得13t =； （2）由133||sin 232ABC πS AB AC ∆==‖，得||||6AB AC =， 2222111||||||2||||cos 3393πAP AC AB AC AB AC AB ⎡⎤=+=++⎢⎥⎣⎦，211||[2||||||||]||||293AP AC AB AC AB AC AB ≥+==， 当且仅当||||AC AB =时取等号， 所以||AP 223. （本题满分12分，第1小题3分，第2小题4分，第3小题5分）已知点P 和非零实数λ，若两条不同的直线1l 、2l 均过点P ，且斜率之积为λ，则称直 线1l 、2l 是一组“P λ共轭线对”，如直线1:2l y x =和21:2l y x =-是一组“1O -共轭线对”， 其中O 是坐标原点.（1）已知直线1l 、2l 是一组“3O -共轭线对”，求1l 的斜率为1，求1l 、2l 的夹角； （2）已知点(0,1)A 、点(1,0)B -和点(1,0)C 分别是三条直线PQ 、QR 、RP 上的点（A 、 B 、C 与P 、Q 、R 均不重合），且直线PR 、PQ 是“1P 共轭线对”，直线QP 、QR 是 “4Q 共轭线对”，直线RP 、RQ 是“9R 共轭线对”，求点P 的坐标；（3）已知点(1,M -，直线1l 、2l 是“2M -共轭线对”，当1l 的斜率变化时，求原点O 到直线1l 、2l 的距离之积的取值范围.【解析】（1）由题意得12:,:3l y x l y x ==-， 则1(3)tan 21(3)θ--==+-，则直线1l 与2l 的夹角为arctan2；（2）由直线PR 、PQ 是“1P 共轭线对”，设1:0(1):1(0)PR PQ l y k x l y x k-=--=-， 由直线QP 、QR 是“4Q 共轭线对”，设:04(1)RQ l y k x -=+，由直线RP 、RQ 是“9R 共轭线对，设9:0(1)4RP l y x k-=-， 于是得94k k =，解得32k =±， 当32k =时，由3(1)2213y x y x⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩得33x y =⎧⎨=⎩，所以(3,3)P ，当32k=-时，由3(1)2213y xy x⎧=--⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩得3535xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以33,55P⎛⎫⎪⎝⎭；（3）由题意设122:(1),:(1)l y k x l y xk-+=++=+，d==d===因为2245[9,)kk++∈+∞，所以d∈.。
上海市延安中学2020-2021学年度高三5月月考数学试卷
上海市延安中学2020-2021学年度高三5月月考数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题11<的解集为________2．点(2,1)到直线340x y +=的距离为________3．在262()x x-的二项展开式中，所有项的系数的和为________ 4．若复数13i z =-（i 是虚数单位），则(10)z z -=________5．已知一个圆锥的底面积和侧面积分别为9π和15π，则该圆锥的体积为________ 6．从2、3、5、7、11、13这六个质数中任取两个数，这两个数的和仍是质数的概率是________（结果用最简分数表示）7．满足线性的约束条件02x x y x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩的目标函数2z x y =-的最大值为________8．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意正整数n ，都有01011012nna n S -=-，则1a =___9．若关于x 的不等式112log (42)0x x λ++⋅<在0x >时恒成立，则实数λ的取值范围是_____10．已知一组数据1-，1，0，2-，x 的方差为10，则x =________11．设1F 、2F 分别为椭圆F ：22143x y +=的左、右两个焦点，过1F 作斜率为1的直线，交Γ于A 、B 两点，则22||||AF BF +=________ 12．已知关于x 的方程1|sin |sin 2a x x +=在区间[0,2]π上恰有两个解，则实数a 的取值范围是________二、单选题 13．1x <是12x x+<-的（ ）条件 A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要14．已知无穷等比数列{}n a 的公比为2，且13211112lim()3n n a a a →∞-++⋅⋅⋅+=，则242111lim()n na a a →∞++⋅⋅⋅+=（ ） A ．13 B ．23C ．1D ．4315．设()f x 、()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且21()()(1)2x f x g x x ++=+-，则(1)(1)f g -=（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．316．已知正三角形ABC 的边长为2，D 为边BC 的中点，E 、F 分别为边AB 、AC 上的动点，并满足2AE CF =，则DE DF ⋅的取值范围是（ ） A ．11[,]216- B ．1(,]16-∞ C ．1[,0]2-D ．(,0]-∞三、解答题17．如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，已知1AB =，12BB =.（1）求异面直线1A C 与直线1AD 所成的角的大小； （2）求点C 到平面11AB D 的距离.18．某市计划在一片空地上建一个集购物、餐饮、娱乐为一体的大型综合园区，如图，已知两个购物广场的占地都呈正方形，它们的面积分别为13公顷和8公顷；美食城和欢乐大世界的占地也都呈正方形，分别记它们的面积为1S 公顷和2S 公顷；由购物广场、美食城和欢乐大世界围成的两块公共绿地都呈三角形，分别记它们的面积为3S公顷和4S 公顷.（1）设BAC θ∠=，用关于θ的函数()S θ表示1234S S S S +++，并求()S θ在区间(0,)π上的最大值的近似值（精确到0.001公顷）；（2）如果123452S S S S +++=，并且12S S <，试分别求出1S 、2S 、3S 、4S 的值. 19．在本题中，我们把具体如下性质的函数()f x 叫做区间D 上的闭函数：①()f x 的定义域和值域都是D ；②()f x 在D 上是增函数或者减函数.（1）若()tan()f x x ω=在区间[1,1]-上是闭函数，求常数ω的值；（2）找出所有形如3()log f x a x =+的函数（,a b 都是常数），使其在区间[1,9]上是闭函数.20．如图，已知圆1Γ：222()2r x y r +-=（0r >）和双曲线2Γ：2221y x b-=（0b >），记1Γ与y 轴正半轴、x 轴负半轴的公共点分别为A 、B ，又记1Γ与2Γ在第一、第四象限的公共点分别为C 、D .（1）若2r ，且B 恰为2Γ的左焦点，求2Γ的两条渐近线的方程； （2）若2r，且(,5)AC AD m +=-，求实数m 的值；（3）若B 恰为2Γ的左焦点，求证：在x 轴上不存在这样的点P ，使得|||| 2.019PA PC -=.21．已知数列{}n a 满足：对任意,u v *∈N ，都有2uv u v a a a =++. （1）若23692a a a a +++=，求18a 的值；（2）若{}n a 是等比数列，求{}n a 的通项公式；（3）设k *∈N ，3k ≥，求证：若123,,,k k k a a a +++⋅⋅⋅成等差数列，则12,,,k a a a ⋅⋅⋅也成等差数列.参考答案1．[1,2) 【解析】 【分析】通过平方，将无理不等式化为有理不等式求解即可。