第2课 常用逻辑用语(教师版)

四、总结提升
1．区别否命题与命题的否定．
（1）否命题：既否定命题的条件又否定命题的结论；
（2）命题的否定：命题条件不变只否定命题的结论；但要注意全称命题与特称命题的
否定．
①全称命题 p ： x , p(x) ，它的否定 p ： x0 ,p(x0 ).
②特称命题 p ： x0 , p(x0 ), 它的否定 p ： x , p(x).
问题 1：四种命题
例 1：（2011 安徽理变式）写出命题“所有能被 2 整除的整数都是偶数”的否定、否命
题、逆命题和逆否命题；并判断其真假．
答：命题的否定：存在一个能被 2 整除的数不是偶数（假）； 否命题：所有能不能被 2 整除的数都不是偶数（真）；
逆命题：所有偶数都能被 2 整除（真）；
逆否命题：所有不是偶数的数都不能被 2 整除（真）； 问题 2：复合命题
A． q1 ， q3
B． q2 ， q3
C． q1 ， q4
D． q2 ， q4
答案：C
7 ．（ 充 要 条 件 ）（ 2014 湖 北 理 ） 设 U 为 全 集 ， A, B 是 集 合 ， 则 “ 存 在 集 合 C 使 得
A C, B CU C ”是“ A B ”的
ห้องสมุดไป่ตู้
A．充 分而不必要条件
10．（命题真假） (2017 北京，理 13)能够说明“设 a，b，c 是任意实数．若 a＞b＞c，则 a+b
＞c”是假命题的一组整数 a，b，c 的值依次为______________________________．
答案：-1，-2，-3（答案不唯一）
解析： 1 2 3, 1 2 3 3 相矛盾，所以验证是假命题.
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
答案：A
5 （充要条件）（2011 湖南理）设集合 M {1, 2} ，N {a2} 则“ a 1”是“ N M ”的（A）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分又不必要条件
答案：A
二、 中档题：（共 10 题，一般是选择 2 题，填空 4 题，解答题 4 题）
一、 基础题：（共 5 题，一般是选择 2 题，填空 2 题，解答题 1 题）
1．（全称特称命题的否定）（2015 年全国 1 理）设命题 p ： n N, n2 2n ，则 p 为
A． n N, n2 2n
B． n N, n2 2n
C． n N, n2 2n
D． n N, n2 =2n
2．转化与化归思想的应用
（1）遇到否定语句命题的判断与证明时，可利用逆否命题的等价转化到肯定语句命题
的判断与证明；
（2）所谓“正难则反”的解题策略．既遇到较难的命题可利用补集思想，可转化为较
简单的非命题来求解．
3.提炼复习过程中的方法：对集合与常用逻辑用语知识进行沟通与复习，我们还可以对
数学中哪些有关联的知识进行沟通与复习梳理？
p q ： p 是 q 的充分条件 p q ： p 是 q 的必要条件 p q ： p 是 q 的充要条件
关系
命题与命题：四种命题
集合与集合：
子集 A B ： x A x B
原：若 p，则 q， 逆：若 q，则 p，
真子集
A
B
：A
B
但
x0
B
，且
x0
A
否：若 p ，则 q ，
逆否：若 p ，则 q
分条件，若 B A ，则 A 是 B 的必要条件，若 A B ，则 A 是 B 的充要条件，若 A 是 B 的
真子集，则 A 是 B 的充分不必要条件，若 B 是 A 的真子集，则 A 是 B 的必要不充分条件 .
问题 4：生活应用
例 4（2016 年全国 2 理 15）有三张卡片，分别写有 1 和 2，1 和 3，2 和 3．甲，乙，丙三人
并集： A B {x x A 或 x B} 运算 交集： A B {x x A 且 x B}
补集： CU A {x x U 且 x A}
复合命题：或，且，非
p q 真当且仅当 p, q 有一个真； p q 真当且仅当 p, q 都真； p 与 p 的真假性相反.
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知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是 2”，乙看了丙的
卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是 1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是 5”，
则甲的卡片上的数字是
解析：由题意得：丙不拿（2，3），若丙（1，2），则乙（2，3），甲（1，3）满足，
若丙（1，3），则乙（2，3），甲（1，2）不满足，故甲（1，3）
五、即时检测
【2017 天津，文 2】设 x R ，则“ 2 x 0 ”是“ | x 1| 1”的
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
分析： 2 x 0 ，则 x 2 ， x 1 1 ，则 1 x11,0 x2，x 0x2x x2 ，据
此可知：“ 2 x 0 ”是“ x 1 1 ”的的必要的必要不充分条件，本题选择 B 选项.
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13. （全称特称命题的否定）【2015 浙江，理 4】命题“ n N*, f (n) N* 且 f (n) n 的
否定形式是（ ）
A. n N *, f (n) N * 且 f (n) n
B. n N *, f (n) N * 或 f (n) n
例 2：已知命题 p ：对任意 x R ，总有 2x 0 ；命题 q ：“ x 1 ”是“ x 2 ”的充
分不必要条件，则下列命题为真命题的是（ ）
A． p q
B． p q
C． p q
D． p q
解答：由题设可知： p 是真命题， q 是假命题． 所以， p q 是真命题．
提炼：注意 p 的充分不必要条件是 q ，即 q 是 p 的充分不必要条件．
答案：B
3．（复合命题）（2013 湖北 理）在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题 p 是
p
“甲降落在指定范围”， q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定
q
范围”可表示 为
A． (p) (q)
B． p (q)
C． (p) (q)
D． p q
答案：A
4． （充要条件）已知集合 A {1, a} ， B {1, 2, 3} ，则“ a 3”是“ A B ”的（ ）
二、知识梳理
1．回顾上一节课复习过程，归纳数学研究的基本套路（代数）： 概念——要素——表示——关系——运算——性质——应用
2.提出问题：理解和比较这两个体系中的内容，思考它们之间有什么内在的联系. 引导学生根据集合与命题知识的相同内容，思考表格横向项目与纵向项目的确定.
集合
命题
概念 一些元素（研究对象）组成的总体
C. n0 N*, f (n0 ) N* 且 f (n0 ) n0
D. n0 N*, f (n0 ) N* 或 f (n0 ) n0
答案：D.
解析：根据全称命题的否定是特称命题，可知选 D.
14. （生活应用）(2017 全国 2，理 7 文 9)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语
能判断真假的陈述句
要素 元素（确定性，无序性，互异性）
条件 p 与结论 q
列举法：把集合的元素一一列举出来
描述法：用集合所含元素的共同特征表示集 若 p（条件），则 q（结论）
表示
合，{x x 具有属性 P}
真命题 假命题
图示法：用平面上封闭曲线内部代表集合
元素与集合：
aA，aA
条件与结论：充分与必要条件
应用 集合是数学的基础
判断与证明命题的真假
学生填写表格的知识清单，归纳形成知识内容纵向和横向的框架体系.组织学生独立观 察、比较和思考，小组讨论交流集合与命题知识的相关内容，学生参与互动、交流，陈述自
己的观点，并在碰撞中进一步思考提升认识.
说明：学生不一定能够在课堂上完成上述的整理，可布置成课后作业. 三、问题研讨
11．（充要条件）（2016 年北京高考）设 a ， b 是向量，则“ | a || b | ”是“| a b || a b | ”的
（）
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 D
提示：抓住平行四边形法则结合图形得解.
12．（充 要条 件） (2015 四川 ，理 8)设 a，b 都是 不等 于 1 的正 数， 则“ 3a 3b 3 ”是 “ loga 3 logb 3 ”的 （ ）
【考点】充分必要条件
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校本作业 2：常用逻辑用语
问题 1：四种命题 问题 2：复合命题 问题 3：充要条件 问题 4：生活应用
基础题 2 1，3， 4，5
中档题 8 6，10， 7，9， 11，12，13 14，15
提高题 20 16，17，18，21 19
A ，A A ，A B, B C ，则 A C A A A， A A， A A A， 性质 A （特征） A B A A B ； AB A A B
子集的个数： 2n ；真子集的个数： 2n 1
全称命题： p : x M , p(x) ， p : x0 M , p(x0 ) 特称命题： p : x0 M , p(x0 ) p : x M , p(x)
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第 2 课 常用逻辑用语
一、目标导引
1．（2015 年湖南理）设 A，B 是两个集合，则“ A B A ”是“ A B ”的
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案：C
2．问题：用联系的观点看集合与命题有哪些联系呢？谈谈你的认识.
问题 3：充要条件
例 3 【2017 天津，理 4】设 R ，则“| π | π ”是“ sin 1 ”的（）
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A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
分 析 ： | π | π 0 π sin 1 ， 但 0,sin 1 ， 不 满 足
（A）充要条件
（B）充分不必要条件
（C）必要不充分条件
（D）既不充分也不必要条件
答案：B
解析：若 3a 3b 3 ，则 a b 1 ，从而有 loga 3 logb 3 ，故为充分条件. 若 loga 3 logb 3 不一定有 a b 1 ，比如. a 1 , b 3 ，从而 3a 3b 3 不成立.故选 B.
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案：C
8．（命题真假）命题“若 xy 0 ，则 x 0 或 y 0 ”是
命题（填真、假）
答案：真
9．（充要条件）（2012 陕西理）设 n N * ，一元二次方程 x2 4x n 0 有正数根的充要
条件是 n
.
答案：3 或 4
答案：C
2．（否命题）命题“若 f (x) 是奇函数，则 f (x) 是奇函数”的否命题是
A．若 f (x) 是偶函数，则 f (x) 是偶函数
B．若 f (x) 不是奇函数，则 f (x) 不是奇函数
C．若 f (x) 是奇函数，则 f (x) 是奇函数
D．若 f (x) 不是奇函数，则 f (x) 不是奇函数
6．（复合命题）（2010 全国 1 理）已知命题 p1 ：函数 y 2x 2x 在 R 为增函数， p2 ：函
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数 y 2x 2x 在 R 为减函数，则在命题 q1 ：p1 p2 ，q2 ：p1 p2 ，q3 ：(p1) p2 和 q4 ： p1 (p2 ) 中，真命题是
12 12
6
2
2
| π | π ，所以是充分不必要条件，选 A. 12 12
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知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
提炼：本题充要条件的判断，若 p q ，则 p 是 q 的充分条件，若 q p ，则 p 是 q 的必
要条件，若 p q ，则 p 是 q 的充要条件；从集合的角度看，若 A B ，则 A 是 B 的充
竞赛的成绩．老师说：你们四人中有 2 位优秀，2 位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给
乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，