立体几何微专题
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因为 AC＝BC＝CC1＝2，D，E，F 分别是棱 AB，BC，B1C1 的中点， 所以 C(0,0,0)，A1(2,0,2)，D(1,1,0)，E(0,1,0)，B(0,2,0)，F(0,1,2)， G(0,2,1)，―A1→B ＝(－2,2，－2)，―A1→F ＝(－2,1,0)，―C→G ＝(0,2,1)．由 CD 知―C→G 为平面 A1DE 的一个法向量．
―→ ＝(0,0,2a)， CE ＝(1,0，a)，易知 m ＝(1,0,0)为平面
―→ ―→ PAC 的一个法向量．设 n ＝(x，y，z)为平面 EAC 的法向量，则 n ·CA ＝n ·CE
＝0，即2xy＋＝a0z＝，0， 取 x＝a，则 z＝－1，n ＝(a,0，－1)．依题意，|cos〈m ，
又 C1E∩DE＝E，所以 CG⊥平面 A1DE， 故平面 CDG⊥平面 A1DE.
(2)由(1)知，当 G 为 BB1 的中点时，平面 A1DE 的一个法向量为―C→G . 三棱柱 ABCA1B1C1 中，∠ACB＝90°，CC1⊥底面 ABC，所以以 C 为原点， CA，CB，CC1 所在的直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系， 如图所示．
所以 DE∥AC 且 DE＝12AC，
又 AC∥A1C1，AC＝A1C1， 所以 DE∥A1C1，DE＝12A1C1，
故 D，E，C1，A1 四点共面． 如图，连接 C1E 交 GC 于 H.在正方形 CBB1C1 中，tan∠C1EC＝2，tan∠
BCG＝12，
故∠CHE＝90°，即 CG⊥C1E.因为 A1C1⊥平面 CBB1C1，CG⊂平面 CBB1C1， 所以 DE⊥CG，
―→ ―→ ―→ (2)如图，以 C 为原点， CB ， CA ， CP 的方向分别
为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，
并设 CB＝2，CP＝2a(a>0)．则 C(0,0,0)，A(0,2,0)，
―→
―→
B(2,0,0)，P(0,0,2a)，则 E(1,0，a)，CA ＝(0,2,0)，CP
设平面 A1BF 的法向量为 n＝(x，y，z)，
n·―A1→F ＝0， 则n·―A1→B ＝0，
即－ －22xx＋ ＋y2＝ y－0， 2z＝0，
令 x＝1 得 n＝(1,2,1)，为平面 A1BF 的一个法向量．
设平面 A1BF 与平面 A1DE 所成的锐二面角为 θ ，
则 cos
(2)求平面 A1BF 与平面 A1DE 所成的锐二面角的余弦值．
分析： 1、强调正方形中的垂直应用 2、强调平面的延展 3、第一步不会用传统几何法时也可直 接用空间向量法
BG 1 解：(1)当BB1＝2，即
G
为
BB1
的中点时，平面
CDG⊥平面
A1DE.
证明如下：因为点 D，E 分别是 AB，BC 的中点，
|m ·n | n 〉|＝ ＝
|m ||n |
a2a＋1＝ 36，则 a＝
2.于是 n ＝(
―→ 2，0，－1)， PA ＝(0,2，
－2 2)．设直线 PA 与平面 EAC 所成角为 θ，
―→
则 sin
―→
| PA ·n |
θ＝|cos〈 PA ，n 〉|＝ ―→ ＝
32，即直线
PA
与平面
EAC
所成角
题型(一) 利用三线两两垂直建系
(2018·山西八校联考)如图，三棱柱 ABCA1B1C1 中，∠ACB＝90°，CC1⊥底面 ABC，AC
＝BC＝CC1＝2，D，E，F 分别是棱 AB，BC，B1C1的中点，G 是棱 BB1上的动点．
BG (1)当BB1为何值时，平面 CDG⊥平面 A1DE?
| PA ||n |
的正弦值为 32.
跟踪检测十（来自百度文库）作业：
4.如图，在多面体 ABCDEF 中，底面 ABCD 是边长为 2 的菱形， ∠BAD＝60°，四边形 BDEF 是矩形，平面 BDEF⊥平面 ABCD，BF＝3， H 是 CF 的中点．
(1)求证：AC⊥平面 BDEF； (2)求直线 DH 与平面 BDEF 所成角的正弦值； (3)求二面角 H-BD-C 的大小．
挖掘平行隐含条件的常用结论： 1、中位线：三角形，平行四边形，梯形的中 位线性质 2、平行四边形的应用：构造平行四边形， 利用对边平行得线线平行 3、平行公理的应用：利用平行公理进行转化 4、初中平面几何的的平行结论
挖掘垂直隐含条件的常用结论： 1、等腰三角形三线合一 2、特殊图形中的垂直：矩形、菱形、圆、 正方形（最多） 3、勾股定理（给出很多边长时）、三角形内 角和定理（给出角度时） 4、初中的相似和全等的应用
θ
＝|― |C―→CG→G|· ·n|n||＝
5＝ 30
630，
所以平面 A1BF 与平面 A1DE 所成的锐二面角的余弦值为
30 6
[对点训练] (2018·唐山模拟)如图，在四棱锥 P-ABCD 中，
PC⊥底面 ABCD，ABCD 是直角梯形，AB⊥
AD，AB∥CD，AB＝2AD＝2CD，E 是 PB 的
立体几何微专题 （课时一）
建系原则： 1、首先三直线两两垂直处，其次线面垂 处，面面垂直先转化为线面垂直，最后选 底面两线垂直处补作Z轴 2、让更多的点、线、面位于坐标轴或面 上 3、兼顾对称性会让计算更简单
确定点的坐标方法： 1、坐标轴上的点：若在X轴上则为（a，0，0） 2、坐标面上的点：若在XOY面上则为（a,b,0） 3、不在轴或面上的点： 方法一：先过点P作面XOY的垂线PM，垂足为 M，则、横纵坐标与点M的一致，竖坐标的值 为PM的长度。 方法二：用向量共线或中点坐标等公式
中点．
(1)求证：平面 EAC⊥平面 PBC；
(2)若二面角 P-AC-E 的余弦值为 36，求直线 PA 与平面 EAC 所
成角的正弦值． 分析： 1、强调直角梯形的分割应用 2、勾股定理的应用
解：(1)证明：因为 PC⊥平面 ABCD，AC⊂平面 ABCD，所以 AC⊥PC. 因为 AB＝2AD＝2CD， 所以 AC＝BC＝ 2AD＝ 2CD， 所以 AC2＋BC2＝AB2，故 AC⊥BC. 又 BC∩PC＝C， 所以 AC⊥平面 PBC. 因为 AC⊂平面 EAC， 所以平面 EAC⊥平面 PBC.
―→ ＝(0,0,2a)， CE ＝(1,0，a)，易知 m ＝(1,0,0)为平面
―→ ―→ PAC 的一个法向量．设 n ＝(x，y，z)为平面 EAC 的法向量，则 n ·CA ＝n ·CE
＝0，即2xy＋＝a0z＝，0， 取 x＝a，则 z＝－1，n ＝(a,0，－1)．依题意，|cos〈m ，
又 C1E∩DE＝E，所以 CG⊥平面 A1DE， 故平面 CDG⊥平面 A1DE.
(2)由(1)知，当 G 为 BB1 的中点时，平面 A1DE 的一个法向量为―C→G . 三棱柱 ABCA1B1C1 中，∠ACB＝90°，CC1⊥底面 ABC，所以以 C 为原点， CA，CB，CC1 所在的直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系， 如图所示．
所以 DE∥AC 且 DE＝12AC，
又 AC∥A1C1，AC＝A1C1， 所以 DE∥A1C1，DE＝12A1C1，
故 D，E，C1，A1 四点共面． 如图，连接 C1E 交 GC 于 H.在正方形 CBB1C1 中，tan∠C1EC＝2，tan∠
BCG＝12，
故∠CHE＝90°，即 CG⊥C1E.因为 A1C1⊥平面 CBB1C1，CG⊂平面 CBB1C1， 所以 DE⊥CG，
―→ ―→ ―→ (2)如图，以 C 为原点， CB ， CA ， CP 的方向分别
为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，
并设 CB＝2，CP＝2a(a>0)．则 C(0,0,0)，A(0,2,0)，
―→
―→
B(2,0,0)，P(0,0,2a)，则 E(1,0，a)，CA ＝(0,2,0)，CP
设平面 A1BF 的法向量为 n＝(x，y，z)，
n·―A1→F ＝0， 则n·―A1→B ＝0，
即－ －22xx＋ ＋y2＝ y－0， 2z＝0，
令 x＝1 得 n＝(1,2,1)，为平面 A1BF 的一个法向量．
设平面 A1BF 与平面 A1DE 所成的锐二面角为 θ ，
则 cos
(2)求平面 A1BF 与平面 A1DE 所成的锐二面角的余弦值．
分析： 1、强调正方形中的垂直应用 2、强调平面的延展 3、第一步不会用传统几何法时也可直 接用空间向量法
BG 1 解：(1)当BB1＝2，即
G
为
BB1
的中点时，平面
CDG⊥平面
A1DE.
证明如下：因为点 D，E 分别是 AB，BC 的中点，
|m ·n | n 〉|＝ ＝
|m ||n |
a2a＋1＝ 36，则 a＝
2.于是 n ＝(
―→ 2，0，－1)， PA ＝(0,2，
－2 2)．设直线 PA 与平面 EAC 所成角为 θ，
―→
则 sin
―→
| PA ·n |
θ＝|cos〈 PA ，n 〉|＝ ―→ ＝
32，即直线
PA
与平面
EAC
所成角
题型(一) 利用三线两两垂直建系
(2018·山西八校联考)如图，三棱柱 ABCA1B1C1 中，∠ACB＝90°，CC1⊥底面 ABC，AC
＝BC＝CC1＝2，D，E，F 分别是棱 AB，BC，B1C1的中点，G 是棱 BB1上的动点．
BG (1)当BB1为何值时，平面 CDG⊥平面 A1DE?
| PA ||n |
的正弦值为 32.
跟踪检测十（来自百度文库）作业：
4.如图，在多面体 ABCDEF 中，底面 ABCD 是边长为 2 的菱形， ∠BAD＝60°，四边形 BDEF 是矩形，平面 BDEF⊥平面 ABCD，BF＝3， H 是 CF 的中点．
(1)求证：AC⊥平面 BDEF； (2)求直线 DH 与平面 BDEF 所成角的正弦值； (3)求二面角 H-BD-C 的大小．
挖掘平行隐含条件的常用结论： 1、中位线：三角形，平行四边形，梯形的中 位线性质 2、平行四边形的应用：构造平行四边形， 利用对边平行得线线平行 3、平行公理的应用：利用平行公理进行转化 4、初中平面几何的的平行结论
挖掘垂直隐含条件的常用结论： 1、等腰三角形三线合一 2、特殊图形中的垂直：矩形、菱形、圆、 正方形（最多） 3、勾股定理（给出很多边长时）、三角形内 角和定理（给出角度时） 4、初中的相似和全等的应用
θ
＝|― |C―→CG→G|· ·n|n||＝
5＝ 30
630，
所以平面 A1BF 与平面 A1DE 所成的锐二面角的余弦值为
30 6
[对点训练] (2018·唐山模拟)如图，在四棱锥 P-ABCD 中，
PC⊥底面 ABCD，ABCD 是直角梯形，AB⊥
AD，AB∥CD，AB＝2AD＝2CD，E 是 PB 的
立体几何微专题 （课时一）
建系原则： 1、首先三直线两两垂直处，其次线面垂 处，面面垂直先转化为线面垂直，最后选 底面两线垂直处补作Z轴 2、让更多的点、线、面位于坐标轴或面 上 3、兼顾对称性会让计算更简单
确定点的坐标方法： 1、坐标轴上的点：若在X轴上则为（a，0，0） 2、坐标面上的点：若在XOY面上则为（a,b,0） 3、不在轴或面上的点： 方法一：先过点P作面XOY的垂线PM，垂足为 M，则、横纵坐标与点M的一致，竖坐标的值 为PM的长度。 方法二：用向量共线或中点坐标等公式
中点．
(1)求证：平面 EAC⊥平面 PBC；
(2)若二面角 P-AC-E 的余弦值为 36，求直线 PA 与平面 EAC 所
成角的正弦值． 分析： 1、强调直角梯形的分割应用 2、勾股定理的应用
解：(1)证明：因为 PC⊥平面 ABCD，AC⊂平面 ABCD，所以 AC⊥PC. 因为 AB＝2AD＝2CD， 所以 AC＝BC＝ 2AD＝ 2CD， 所以 AC2＋BC2＝AB2，故 AC⊥BC. 又 BC∩PC＝C， 所以 AC⊥平面 PBC. 因为 AC⊂平面 EAC， 所以平面 EAC⊥平面 PBC.