3章3节 向量组的线性相关性
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3§3 线性相关性
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定理2 定理2
设α1 ,α 2 ,⋯,α r 与 β1 , β 2 ,⋯, β s是两个向量组，如果 1）向量组α1 ,α 2 ,⋯,α r 可以经 β1 , β 2 ,⋯, β s 线性表 出， 2）r > s， 则向量组α1 ,α 2 ,⋯,α r 必线性相关 . 证明： 1 推论1
向量组
α i = (ai1 , ai 2 ,⋯, ain ), (i = 1,2,⋯, s )
线性相关的充分必要条件是齐次线性方程组
a11x1 + a21x2 +⋯+ as1xs = 0 a x + a x +⋯+ a x = 0, 12 1 22 2 s2 s ⋯ ⋯ ⋯ a1n x1 + a2n x2 +⋯+ asn xs = 0
§3 线性相关性
定义
所谓向量 α 与 β 成比例就是说有一数k使 成比例 α = kβ. 定义9 线性组合） 定义9（线性组合） 向量 α 称为向量组 β1 , β 2 ,⋯, β s 的一个线性组合 线性组合， 线性组合 如果有数域P中的数 k1 , k2 ,⋯, ks , 使 α = k1β1 + k2 β 2 + ⋯ + k s β s . 也称向量 α 可经向量组 β1 , β 2 ,⋯, β s 线性表出 .
结束
命题1 命题
任一个n为向量α = (a1 , a2 ,⋯, an ) 都是向量组
ε1 = (1,0,⋯,0),
ε 2 = (0,1,⋯,0),
⋯⋯⋯ ε n = (0,0,⋯,1)
的一个线性组合 . 事实上， α = a1ε1 + a2ε 2 + ⋯ + anε n . 向量 ε1 , ε 2 ,⋯, ε n 称为n维单位向量 . 维单位向量
3向量组的线性相关性-57页文档资料
组成向量的数称为向量的分量, ai 称为向量的第i个 分量. 分量全是实数的向量称为实向量, 分量为复数的向 量称为复向量. 一般情况下，我们只讨论实向量.
定义中两种形式分别称为行向量和列向量, 也可以分 别看成1n矩阵和n1矩阵, 向量可以按矩阵运算规律进行 相应运算, 于是列向量也可写成：=(a1, a2, …, an)T.
(1) [,][,];
(2 )[ ， ] [ ,] [,]
(3)[k,]k[,]
。 (4) [,]0 , 而且, 仅当=0时, [, ]=0.
利用这些性质还可以证明Schwarz不等式:
[,]2[,][,]
下面定义n维向量的长度和夹角 定义3.3 设n维向量=(a1, a2, …, an)T, 称非负实数
定义3.2 设有n维向量=(a1,a2,…,an)T, =(b1,b2,…,bn)T, 令
[, ]=a1b1+a2b2+…+anbn
称[, ]为向量与的内积.
内积是两个向量之间的一种运算, 其结果是一个实数. 内积也可以用矩阵运算表示, 当与都是列向量时, 有
[, ]=T=T
内积具有下列性质(其中, , 为n维向量, k为实数):
2
定义3.5 若[, ]=0, 则称向量与正交.
向量与的内积[, ]也可以表示成： [, ]＝|||| cos<, >
§2 向量组的线性相关性
若干个同维数的列向量(或行向量)组成的集合叫做向
量组. 如: m×n 矩阵A=(aij)对应n 个m 维列向量
a 11
a 1 2
a 1 n
1
例1 设T=(2,1,0,1), 1T=(1,1,0,0), 2T=(0,1,0,1), 3T=(1, 0, 0, 1), 问能否由向量组1, 2, 3线性表示.
定义中两种形式分别称为行向量和列向量, 也可以分 别看成1n矩阵和n1矩阵, 向量可以按矩阵运算规律进行 相应运算, 于是列向量也可写成：=(a1, a2, …, an)T.
(1) [,][,];
(2 )[ ， ] [ ,] [,]
(3)[k,]k[,]
。 (4) [,]0 , 而且, 仅当=0时, [, ]=0.
利用这些性质还可以证明Schwarz不等式:
[,]2[,][,]
下面定义n维向量的长度和夹角 定义3.3 设n维向量=(a1, a2, …, an)T, 称非负实数
定义3.2 设有n维向量=(a1,a2,…,an)T, =(b1,b2,…,bn)T, 令
[, ]=a1b1+a2b2+…+anbn
称[, ]为向量与的内积.
内积是两个向量之间的一种运算, 其结果是一个实数. 内积也可以用矩阵运算表示, 当与都是列向量时, 有
[, ]=T=T
内积具有下列性质(其中, , 为n维向量, k为实数):
2
定义3.5 若[, ]=0, 则称向量与正交.
向量与的内积[, ]也可以表示成： [, ]＝|||| cos<, >
§2 向量组的线性相关性
若干个同维数的列向量(或行向量)组成的集合叫做向
量组. 如: m×n 矩阵A=(aij)对应n 个m 维列向量
a 11
a 1 2
a 1 n
1
例1 设T=(2,1,0,1), 1T=(1,1,0,0), 2T=(0,1,0,1), 3T=(1, 0, 0, 1), 问能否由向量组1, 2, 3线性表示.
高中数学《向量组的线性相关性》课件
高中数学《向量组的线性相关性》课件1、 引言在高中数学学习中，向量是一个重要的概念它可以用来表示方向和大小。
向量组的线性相关性是向量空间理论中的一个重要概念，它可以帮助我们理解向量之间的关系并为后续学习线性代数奠定基础。
二、 向量组的线性相关性定义定义：设向量组 alpℎa 1,α2,...,αm ，如果存在不全为零的数 k 1,k 2,...,k m ，使得 $$k_1\alph_1 + k_2\alpha_2 + ... + k_m\alpha_m = 0$$则称向量组 α1,α2,...,αm 线性相，否则称向量组 线性无关。
三、 向量组线性相关性的判定1. 利用定义判定根据定义，我们可以通过判断是否存在不全为零的数 k 1,k 2,...,k m 使得 k1α1+k 2α2+...+k m αm =0 来判定向量组的线性相关性。
2. 利用秩判定设向量组 $\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_$ 的秩为 r ，则： • 当 r <m 时，向量组线性相关。
• 当 r =m 时，向量组线性无关。
3. 利用行列式判定设向量组 α1,α2...,αm 的坐标分别为(a 11,a 12,...,a 1n ),(a 21,a 22,...,a 2n ),...,(a m1,a m2,...,a mn )，则* 当 m >n 时，向量组线性相关。
* 当 m =n 时，向量组线性相关当且仅当行列式∣∣∣∣∣∣a 11a 12...a 1a 21a 22...a 2n ............a m1a m2...a mn ∣∣∣∣∣∣=0 * 当 m <n 时，向量组线性无关。
四、 向量组线性相关性的性质1. 零向量组线性相关2. 包含零向量的向量组线性相关3. 向量组中任意一个向量可以由其向量线性表示，则该向量组线性相关4. 向量组线性无关，则其任意子向量组线性无关5. 向量组线性相关，则其任意子向量组可能线性相关，也可能线性无关五、向量组线性相关性应用1. 判断向量组的线性相关性2. 求解向量组的线性组合3. 求解向量组的线性无关子组4. 求解向量空间的基六、例题*例1：**判断向量组α1=(1,2,3),α2=(2,4,6),α3=(3,6,9)的线性相关性。
3.3向量组的线性相关性
注：结论对于矩阵的行向量组也同样成立。
推论3：当向量组中所含的向量个数大于向量的维数 时，此向组必线性相关。
例1：n维向量组
ε 1 1, 0 , , 0 , ε 2 0 ,1, , 0 , , ε n 0 , 0 , ,1
T T T
称为n维单位坐标向量组，讨论其线性相关性。 解：n维单位向量组构成的矩阵
T T T
线性相关。 2、定理4：若向量组 α 1 , α 2 , , α s , β 线性相关，而向量组 α 1 , α 2 , , α s 线性无关，则向量 β 可由 α 1 , α 2 , , α s 线性 表示，且表示法唯一 。 α 1 , α 2 , , α s , β 线性相关 故存在一组不全为零的数 k 1 , k 2 , , k s , k 有
x1 2 x 2 3 x 3 0 x 5x 6x 0 2 3 1
1 1
2 5
2 0 6
所以，齐次线性方程组有非零解，即 x1 , x 2 , x 3 不全为零。 故向量组线性相关。
二、线性相关性基本定理 1、定理1：向量组 α 1 , α 2 , , α s s 2 线性相关的充要条件 是向量组中至少有一个向量可由其余s-1个向 量线性表示。 必要性： 设 α 1 , α 2 , , α s线性相关，则存在s个不全为零的 数 k 1 , k 2 , , k s ，使得 k 1α 1 k 2 α 2 k s α s 0 成立 不妨设 k 1 0 ，于是 k 1α 1 k 2 α 2 k s α s
hs α s 0
h s，故表示法唯一
整理得 l1 h1 α 1 l 2 h 2 α 2 l s
推论3：当向量组中所含的向量个数大于向量的维数 时，此向组必线性相关。
例1：n维向量组
ε 1 1, 0 , , 0 , ε 2 0 ,1, , 0 , , ε n 0 , 0 , ,1
T T T
称为n维单位坐标向量组，讨论其线性相关性。 解：n维单位向量组构成的矩阵
T T T
线性相关。 2、定理4：若向量组 α 1 , α 2 , , α s , β 线性相关，而向量组 α 1 , α 2 , , α s 线性无关，则向量 β 可由 α 1 , α 2 , , α s 线性 表示，且表示法唯一 。 α 1 , α 2 , , α s , β 线性相关 故存在一组不全为零的数 k 1 , k 2 , , k s , k 有
x1 2 x 2 3 x 3 0 x 5x 6x 0 2 3 1
1 1
2 5
2 0 6
所以，齐次线性方程组有非零解，即 x1 , x 2 , x 3 不全为零。 故向量组线性相关。
二、线性相关性基本定理 1、定理1：向量组 α 1 , α 2 , , α s s 2 线性相关的充要条件 是向量组中至少有一个向量可由其余s-1个向 量线性表示。 必要性： 设 α 1 , α 2 , , α s线性相关，则存在s个不全为零的 数 k 1 , k 2 , , k s ，使得 k 1α 1 k 2 α 2 k s α s 0 成立 不妨设 k 1 0 ，于是 k 1α 1 k 2 α 2 k s α s
hs α s 0
h s，故表示法唯一
整理得 l1 h1 α 1 l 2 h 2 α 2 l s
3.3向量组的线性相关性
则( k1 l1 ) 1 .... ( k s l s ) s 0 ∵ 1 , 2 ,......, s 线性无关，
∴( k1 l1 ) 0,...., ( k s l s ) 0
k1 l1 ,...., k s l s ，
因此表示法唯一.
证毕
推论2 当向量组中所含向量的个数m大于向量的 维数n时，此向量组 线性相关
r (1 , 2 ,, m ) n m
例1 判断向量组1 (1, 2, 1, 5)T ， 2 (2, 1, 1, 1)T ， 3 (4, 3, 1, 11)T ， 是否线性相关. 解法一 设 k11 k2 2 k3 3 0，即
ks k1 这时 k 0, 则 1 .... s ， k k 即 可由 1 , 2 ,......, s 线性表示.
使 k1 1 k 2 2 .... k s s k 0成立，
(2)证表示法唯一
如果 k1 1 .... k s s ， 且 l1 1 .... l s s
例如，任意n维向量
可由初始单位向量组 1, 2 , , n 唯一的线性表示
1, 2 , ,n
当且仅当 k1 0, k2 0,..., kn 0 时成立
则称向量组 1 , 2 , ..., s 线性无关.
注意
1.对于任一向量组而言, 不是线性无关的
就是线性相关的.
2.向量组只包含一个向量 时，若 0, 则说
线性相关， 若 0 则说 线性无关.
故 1 , 2 , 3 线性相关.
解法二较解法一简单
解法二
1 2 4 2 1 3 1 1 1 5 1 11
三章向量组的相关性
自然语言处理
在自然语言处理中，向量组相关 性可以用于表示文本中的词义和 语义关系。例如，通过分析词向 量的相似性和相关性，可以实现 文本分类、情感分析、信息抽取 等功能。
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THANKS
向量组相关性性质的推论
推论1
如果向量组A线性相关，则存在不全为零的标量$k_1, k_2, ..., k_n$，使得$k_1a_1 + k_2a_2 + ... + k_na_n = 0$。
推论2
如果向量组A线性无关，则其秩等于其维数，即$rank(A) = dim(A)$。
推论3
如果向量组A线性相关，则存在一个向量可以由其他向量线性表 示，即存在$a_i$，使得$a_i = k_1a_1 + k_2a_2 + ... + k_{i1}a_{i-1} + k_{i+1}a_{i+1} + ... + k_na_n$。
力学问题。
02
电磁学
在电磁学中，向量组相关性可以用于研究电场、磁场和电荷、电流之间
的关系。例如，通过分析电磁场的矢量性质和变化规律，可以解决电磁
学中的各种问题。
03
相对论
在相对论中，向量组相关性可以用于描述时空结构、物质运动和能量之
间的关系。例如，通过研究光速矢量、四维矢量等概念，可以解释相对
论中的一些重要现象。
解释
线性无关表示向量组中的向量互相独立，即不存在任何依赖关系。
ห้องสมุดไป่ตู้
向量组相关性的判定定理
定理
如果向量组中有零向量，则该向量组 线性相关；如果向量组中没有零向量 ，且任意两个向量都不共线，则该向 量组线性无关。
向量组的相关性
定理1.14 若向量组α1, α2,…,αm 线性无关,但添加一 线性无关, 定理 线性相关, 个向量β后向量组α1, α2,…,αm, β 线性相关 则β是α1, α2,…,αm的线性组合 且其线性表示是唯一的 的线性组合, 且其线性表示是唯一的.
练习 设向量组 α 1 , α 2 , α 3线性相关 , 向量组 α 2 , α 3 , α 4线性无关 ,问
例
试求向量组 α1=(1, 1, 1) , α2=(0, 2, 5) , α3=(2, 4, 7) , , , , , , , 的一个极大线性无关组 由向量组构成的行列式
解
故由定理1.15知向量组α1, α2, α3线性相关, 知向量组 线性相关, 故由定理 线性无关， 又显然向量组α1, α2线性无关，因此α1, α2就是所 同样 α2, α3 也是向 求向量组的一个极大线性无关组。 求向量组的一个极大线性无关组。 量组的一个极大线性无关组。 量组的一个极大线性无关组。
当 1 2 3 = t − 5 ≠ 0, 即t ≠ 5时, AX = O只有零解 , 线性无关 1 3 t 当 t = 5时, 线性相关
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
例 设α1 = (1,0,2,0), α2 = (3,−1,0,1), α3 = (0,1,−1,0), − − 令β = (−2,3,0,−1) − − 的一个线性组合 线性组合， 则β为向量组α1, α2, α3 的一个线性组合，也可说 β 可由α1, α2, α3 线性表示。 线性表示。
的线性组合， 例 设n 维向量α 是向量β1与β2的线性组合，而β1与 β2又都是γ1 , γ2, γ3的线性组合 求证α是γ1 , γ2, γ3的线 的线性组合, 性组合
性质1 性质 向量组中任一向量都可由其极大无关组线性 (由定理 由定理1.14) 表示 由定理 向量组的极大线性无关组一般不是唯一的， 向量组的极大线性无关组一般不是唯一的，但有
§3.3 向量组的线性相关性
组 A线性表示,且表示式是唯一的.
证明 记A (1,2 , ,m ), B (1,2 , ,m ,b),
则有R( A) R(B). 因A组线性无关,有R( A) m; 因B组线性相关,有R(B) < m 1.
所以m R(B) < m 1, 即有R(B) m.
由R( A) R(B) m,知方程组(1,2 , ,m )x b
因 1,2,3 线性无关,
故有:
x1 x3 0 x1 x2 0,
1 01
x2 x3 0
1 1 0 2 0 , 故方程组只有零解 x1 = x2 = x3 = 0 , 011
所以向量组 1, 2, 3 线性无关.
二、几个简单结论
定理3.10 设向量组A：1,2, ,m 线性相关,则 向量组B :1, ,m ,m1 也线性相关.
则向量 a, b, c 线性相关, 但 c 不可由 a,b 线性表示.
3. 线性相关性在线性方程组中的应用
当方程组中有某个方程是其他方程的线性组 合时,这个方程就是多余的, 这时称方程组(各个方 程)是线性相关的；当方程组中没有多余方程, 就称 该方程组(各个方程)线性无关．
பைடு நூலகம் 定理3.9 向量组 1,2,,m 线性相关的充要条件是 它所构成的矩阵A=(1, 2,,m )的秩小于向量的
向量组 A：a1, a2, …, am
线性相关
m 元齐次线性方程组 Ax = 0
有非零解
R(A) < m
说明
(1) 含有零向量的向量组必线性相关.
(2) 向量组只含一个向量 时: 若 =0, 则向量组线性相关; 若 0, 则向量组线性无关.
(3) 两个向量 1,2 线性相关的充分必要条件是 存在常数k, 使得 1= k2 .
证明 记A (1,2 , ,m ), B (1,2 , ,m ,b),
则有R( A) R(B). 因A组线性无关,有R( A) m; 因B组线性相关,有R(B) < m 1.
所以m R(B) < m 1, 即有R(B) m.
由R( A) R(B) m,知方程组(1,2 , ,m )x b
因 1,2,3 线性无关,
故有:
x1 x3 0 x1 x2 0,
1 01
x2 x3 0
1 1 0 2 0 , 故方程组只有零解 x1 = x2 = x3 = 0 , 011
所以向量组 1, 2, 3 线性无关.
二、几个简单结论
定理3.10 设向量组A：1,2, ,m 线性相关,则 向量组B :1, ,m ,m1 也线性相关.
则向量 a, b, c 线性相关, 但 c 不可由 a,b 线性表示.
3. 线性相关性在线性方程组中的应用
当方程组中有某个方程是其他方程的线性组 合时,这个方程就是多余的, 这时称方程组(各个方 程)是线性相关的；当方程组中没有多余方程, 就称 该方程组(各个方程)线性无关．
பைடு நூலகம் 定理3.9 向量组 1,2,,m 线性相关的充要条件是 它所构成的矩阵A=(1, 2,,m )的秩小于向量的
向量组 A：a1, a2, …, am
线性相关
m 元齐次线性方程组 Ax = 0
有非零解
R(A) < m
说明
(1) 含有零向量的向量组必线性相关.
(2) 向量组只含一个向量 时: 若 =0, 则向量组线性相关; 若 0, 则向量组线性无关.
(3) 两个向量 1,2 线性相关的充分必要条件是 存在常数k, 使得 1= k2 .
3.3 向量组的线性相关性
法２ a1 , a2 , a3 1 2 1 4 0 行列式法 0 1 2
a1 , a2 , a3线性无关
2 1 0
线性代数
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§3.3
向量组的线性相关性
例4 标准单位向量组 : T T T e1 1,0,,0 , e2 0,1,,0 ,, en 0,0,,1
秩法
cor n维n个向量组 a1 ,, an线性相关 a1 , ,, an 0
行列式法
线性无关 a1 , ,, an 0
线性代数
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§3.3
向量组的线性相关性
2 1 0 例3 讨论a1 1 ，a2 2 ，a3 1 线性相关性 0 1 2 2 1 0 1 2 1 秩法 解：法１ A (a1 , a2 , a3 ) 1 2 1 ~ 2 1 0 0 1 2 0 1 2 1 1 2 1 1 2 ~ 0 3 2 ~ 0 1 2 阶梯形矩阵 2 0 0 4 0 1
1 1 2 , 2 2 3 , , n n 1 ,
证明:当 n为奇数时,向量组1 , 2 , , n 线性无关； 当 n为偶数时，向量组 1 , 2 , , n 线性相关. 证：设一组数 k1 , k2 ,kn使k11 k2 2 kn n 0 即k （ （ （ 1 a1 a2 ) k 2 a2 a3 ) k n an a1 ) 0 亦即 （ k1 kn )a1 ( k1 k2 )a2 ( k2 k3 )a3 ( kn1 kn )an 0, a1，a2， , an线性无关，有
3.3 向量组的线性相关性
1 3 4 1 0, 225
因此得到惟一解 k1 0, k2 0, k3 0,
故向量组 1, 2 , 3 线性无关。
注 向量组 1, 2 , 3 线性无关，表明这三个向量不是“共面”
或“共线”的。
9
§3.3 向量组的线性相关性
第 三
例
1
2
3
1
已知向量 1 1 , 2 3 , 3 4 , 4 1 ,
n
维 解 方法一 令 k11 k22 k33 k44 0 ,
向 量 空 间
(k1
,
k2, k3
记为 K
,
k4
)
1 2 3 4
0
,
K A 0,
记为 A
由 | A| 16 0 , 有 A 可逆， K 0 ,
故向量组 1, 2 , 3 4 线性无关。
12
§3.3 向量组的线性相关性
思考 单个向量的线性相关性与线性无关性如何？
6
§3.3 向量组的线性相关性
第 例 下列向量组是否线性相关？ 三 章
n
维
向
量 空
答
(1) 相关，因为 31 42 (1)3 0;
间
(2) 相关，因为 01 02 13 0;
(3) 相关，因为 01 02 23 (1)4 0 .
7
§3.3 向量组的线性相关性
维
其中至少有一个向量可由其余的向量线性表示。
向
量 空
证明 充分性 设 al 可由其余向量线性表示，即
间
al 11 l1l1 l1l1 mm ,
令 l 1, 则有
11 22 ll mam 0 ,
其中 1, 2 , , m 不全为 0.
因此得到惟一解 k1 0, k2 0, k3 0,
故向量组 1, 2 , 3 线性无关。
注 向量组 1, 2 , 3 线性无关，表明这三个向量不是“共面”
或“共线”的。
9
§3.3 向量组的线性相关性
第 三
例
1
2
3
1
已知向量 1 1 , 2 3 , 3 4 , 4 1 ,
n
维 解 方法一 令 k11 k22 k33 k44 0 ,
向 量 空 间
(k1
,
k2, k3
记为 K
,
k4
)
1 2 3 4
0
,
K A 0,
记为 A
由 | A| 16 0 , 有 A 可逆， K 0 ,
故向量组 1, 2 , 3 4 线性无关。
12
§3.3 向量组的线性相关性
思考 单个向量的线性相关性与线性无关性如何？
6
§3.3 向量组的线性相关性
第 例 下列向量组是否线性相关？ 三 章
n
维
向
量 空
答
(1) 相关，因为 31 42 (1)3 0;
间
(2) 相关，因为 01 02 13 0;
(3) 相关，因为 01 02 23 (1)4 0 .
7
§3.3 向量组的线性相关性
维
其中至少有一个向量可由其余的向量线性表示。
向
量 空
证明 充分性 设 al 可由其余向量线性表示，即
间
al 11 l1l1 l1l1 mm ,
令 l 1, 则有
11 22 ll mam 0 ,
其中 1, 2 , , m 不全为 0.
高等数学第三章课件-线性相关性
与
⎧ a11 x1 + ⋯ + a1,n−1 x n−1 = a1n ⎪ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ⎪ ⎪ ⎪ a j −1,1 x1 + ⋯ + a j −1,n−1 xn−1 = a j −1,n ⎨ ⎪ a j +1,1 x1 + ⋯ + a j +1,n −1 xn −1 = a j + 1,n ⎪ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ⎪ ⎪ ⎩ a s1 x1 + ⋯ + a s ,n−1 xn−1 = a sn
ε 1 = (1,0,⋯ ,0), ε 2 = (0,1,⋯ ,0), ⋯ , ε n = (0,0,⋯ ,1)
线性表出.
α = (a1 , a2 ,⋯ , an ) , 事实上，对任意 皆有 α = a1ε 1 + a2ε 2 + ⋯ + anε n . ε 1 , ε 2 ,⋯ , ε n也称为 n 维单位向量组．
若向量 β 可表成向量组 α 1 ,α 2 ,⋯ ,α s 的一个 α1 ,α 2 ,⋯ ,α β 线性组合, 则称向量 可由向量组 s 线性表出.
注： 1) 若 α = k β ，也称向量 α 与 β 成比例. ℝ 3 中,向量 α 与 β 成比例 ⇔ α 与 β 共线. ℝ 3 中,若向量 α 1与 α 2不成比例,则
⎛ α1 ⎞ ⎛ 0⎞ ⎛ α1 ⎞ ⎜ ⋮ ⎟ ⎜ ⋮ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⋮ ⎟ ⎜αs ⎟ ⎜ 0⎟ ⎜αs ⎟ → ⎜ ⎟ ⎯⎯ →⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎯⎯ β1 ⎟ β1 ⎟ 0 ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⋮ ⎟ ⎜ ⋮ ⎟ ⎜ ⋮ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ βt ⎠ ⎝ βt ⎠ ⎝ 0⎠
若能，写出它的一个线性组合．
三章向量组的相关性
反数性质
如果向量组$mathbf{a}$线性相关，那么对于任意非零标量$k$， 向量组$-kmathbf{a}$也是线性相关的。
向量组相关性在向量空间中的性质
向量空间性质
如果向量组$mathbf{a}, mathbf{b}$线性相关，那么存在一个向量$mathbf{c}$，使得 $mathbf{a} = mathbf{b} + mathbf{c}$。
反向量空间性质
如果向量组$mathbf{a}, mathbf{b}$线性无关，那么不存在一个向量$mathbf{c}$，使 得$mathbf{a} = mathbf{b} + mathbf{c}$。
03 向量组相关性的应用
在线性方程组中的应用
线性方程组的解
通过向量组的线性相关性，我们可以将 线性方程组进行化简，从而更容易地找 到解。
ห้องสมุดไป่ตู้VS
解的唯一性
利用向量组的线性相关性，我们可以判断 线性方程组解的唯一性。如果向量组线性 相关，则方程组可能有无数解；如果向量 组线性无关，则方程组有唯一解。
在矩阵理论中的应用
矩阵的秩
向量组的线性相关性决定了矩阵的秩。如果向量组线性相关，则矩阵的秩会减少；如果向量组线性无 关，则矩阵的秩等于向量的个数。
要点二
线性表示的性质
线性表示具有传递性，即如果v被a线性表示，a被b线性表 示，那么v被b线性表示。
向量组的线性表示的性质
唯一性
线性组合
如果向量组$a_1, a_2, ..., a_n$线性表示向 量v，那么这个表示是唯一的，即不存在其 他的向量组$b_1, b_2, ..., b_n$也线性表示v。
线性无关
如果向量组$mathbf{a}, mathbf{b}$ 线性无关，那么不存在不全为零的标 量$k_1$和$k_2$，使得 $k_1mathbf{a} + k_2mathbf{b} = mathbf{0}$。
如果向量组$mathbf{a}$线性相关，那么对于任意非零标量$k$， 向量组$-kmathbf{a}$也是线性相关的。
向量组相关性在向量空间中的性质
向量空间性质
如果向量组$mathbf{a}, mathbf{b}$线性相关，那么存在一个向量$mathbf{c}$，使得 $mathbf{a} = mathbf{b} + mathbf{c}$。
反向量空间性质
如果向量组$mathbf{a}, mathbf{b}$线性无关，那么不存在一个向量$mathbf{c}$，使 得$mathbf{a} = mathbf{b} + mathbf{c}$。
03 向量组相关性的应用
在线性方程组中的应用
线性方程组的解
通过向量组的线性相关性，我们可以将 线性方程组进行化简，从而更容易地找 到解。
ห้องสมุดไป่ตู้VS
解的唯一性
利用向量组的线性相关性，我们可以判断 线性方程组解的唯一性。如果向量组线性 相关，则方程组可能有无数解；如果向量 组线性无关，则方程组有唯一解。
在矩阵理论中的应用
矩阵的秩
向量组的线性相关性决定了矩阵的秩。如果向量组线性相关，则矩阵的秩会减少；如果向量组线性无 关，则矩阵的秩等于向量的个数。
要点二
线性表示的性质
线性表示具有传递性，即如果v被a线性表示，a被b线性表 示，那么v被b线性表示。
向量组的线性表示的性质
唯一性
线性组合
如果向量组$a_1, a_2, ..., a_n$线性表示向 量v，那么这个表示是唯一的，即不存在其 他的向量组$b_1, b_2, ..., b_n$也线性表示v。
线性无关
如果向量组$mathbf{a}, mathbf{b}$ 线性无关，那么不存在不全为零的标 量$k_1$和$k_2$，使得 $k_1mathbf{a} + k_2mathbf{b} = mathbf{0}$。
第3章 3.3向量组的线性相关性
(I )唯一线性表示.
证明: (II )线性相关,故存在不全为0的数
k1 , k2 , , ks , k, 使得
k11 k22 kss k 0
现证k 0.若k 0,则k1, , ks不全为0，使得
k11 k22 kss 0,推出(I )线性相关，
这与(I )线性无关矛盾，故k 0,所以
性质1 向量组1,2, ,s(s 1)(I )线性相关
的充分必要条件是(I )中至少有一个向量可
由其余s 1个向量线性表出.
证明：必要性,1,2 , ,s ( I )线性相关,则
存在不全为零的数k1, k2 , .ks使得
k11 k22 kss 0,
必有一个ki 0,于是
i
k1 ki
1
由1,2 ,,s线性无关，得:
λ1 μ1 , λ2 μ2 , 唯一性得证.
, λs μs
23
性质3.设1,2 , ,（s I )的一部分线性相关， 则(I )线性相关. “部分相关,则整体相关”
证明：为简单起见，不妨设1,2 ,, at (t s)
线性相关,即存在不全为0的数k1, k2 ,, kt，使得
例如 : α1 (1,1，2),α2 (3, 3，6)线性相关，则
β1 (1,2), β2 (3,6)线性相关.
29
性质总结
性质1 向量组1,2, ,s(s 1)(I )线性相关
的充分必要条件是(I )中至少有一个向量可 由其余s 1个向量线性表出.
性质2 设向量组1,2 , ,s (I )线性无关， 1,2 , ,s， ( II )线性相关,则 可由
11
或者说 “个数大于维数必相关”
A
A 的列组是 4 个 3 维向量, 必相关.
证明: (II )线性相关,故存在不全为0的数
k1 , k2 , , ks , k, 使得
k11 k22 kss k 0
现证k 0.若k 0,则k1, , ks不全为0，使得
k11 k22 kss 0,推出(I )线性相关，
这与(I )线性无关矛盾，故k 0,所以
性质1 向量组1,2, ,s(s 1)(I )线性相关
的充分必要条件是(I )中至少有一个向量可
由其余s 1个向量线性表出.
证明：必要性,1,2 , ,s ( I )线性相关,则
存在不全为零的数k1, k2 , .ks使得
k11 k22 kss 0,
必有一个ki 0,于是
i
k1 ki
1
由1,2 ,,s线性无关，得:
λ1 μ1 , λ2 μ2 , 唯一性得证.
, λs μs
23
性质3.设1,2 , ,（s I )的一部分线性相关， 则(I )线性相关. “部分相关,则整体相关”
证明：为简单起见，不妨设1,2 ,, at (t s)
线性相关,即存在不全为0的数k1, k2 ,, kt，使得
例如 : α1 (1,1，2),α2 (3, 3，6)线性相关，则
β1 (1,2), β2 (3,6)线性相关.
29
性质总结
性质1 向量组1,2, ,s(s 1)(I )线性相关
的充分必要条件是(I )中至少有一个向量可 由其余s 1个向量线性表出.
性质2 设向量组1,2 , ,s (I )线性无关， 1,2 , ,s， ( II )线性相关,则 可由
11
或者说 “个数大于维数必相关”
A
A 的列组是 4 个 3 维向量, 必相关.
第三节 向量组的线性相关性
因为 = 21-2+3 , 即 是1,2,3 的线性组合,
L(1,2 , 3 )
☎ 零向量能被任何向量组1 ,, s 线性表示:
0 01 0 s . 0 L(1,2 , , s )
☎ 向量组1 ,, s 中每个向量可被该向量组线性表示:
j 01 1 j 0 s .
j L(1 ,2 , , s ), j 1, 2, , s
(1)
不能由1 , 2
,
线性表示;
3
(2)
可由1
,2
,
线性表示,且表示法唯一;
3
(3)
可由1
,
2
,
线性表示,但表示法不唯一,并求一般表达式.
3
解: 设 k11 k22 k33 ,则
1 2 0 3
1 2 0 3
A
(1
,
2
,
3
,
)
4 0
7 1
1 -1
10 b
r2 -4r1
r4 -2r1
6
1
1
2 2
例1 设 1 0 ,2 2 ,3 1 , 5 ,
1
1
0 4
能否由1 ,2 ,3 线性表示?
解 设 x11 x22 x33 , 则由
1
A (1 , 2 , 3 , ) 0
1
1 2 1
2 1 0
2 5 4
1 0 0
1 2 0
2 1 -2
0 0
-1 1
1
-2
-1 b
2 3 a 4
0 -1 a -2
1 2 0 3
1 2 0 3
- r2
r3 r4
0 0
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即：部份相关, 则全组相关； ?全组无关, 则部份无关。 ?
定理4 若向量组1 ,2 ,, s， 线性相关，而向量组
则向量 可由1 ,2 ,, s线性表示， 1 ,2 ,, s线性无关，
且表示法唯一。
无关组加一个后相关， 则后加者由原组表出法唯一。
定理5 设有两向量组 A:1 , 2 ,, s ; B:1 , 2 ,, t ;
定义1 给定向量组A : 1 , 2 ,, s , 如果存在不全为零的数
k1 , k2 ,, ks , 使k11 k22 ks s 0, 则称向量组
线性相关 ，否则称为线性无关 。
与上一节对应，本定义相当于零向量由一组向量线性表出
(线性组合)， 但这里要求k1 , k2 ,, ks不全为零。
§ 3.3 向量组的线性相关性
上一节分析了某向量与一组向量的线性组合关系，
以及线性组合的表示， 这一内容对应非齐次线性方程组
的有解判断以及求解的内容。为下一步学习向量之间的
相关性做好了理论准备，
本节将分析一组向量内各向量之间的线性相关性。 这一内容则对应齐次线性方程组的有解判断以及求解的
内容。
一、线性相关性概念
秩小于向量的个数s。
即为齐次线性方程组系数矩阵的秩小于未知数个数 ——有非零解。
推论1 s个n维列向量1 ,2 ,, s线性无关(线性相关)的
充要条件是: 矩阵A (1 ,2 , s )的秩(等于)小于向量的个数s。
齐次线性方程组系数矩阵的秩等于未知数个数 ——仅有零解；
推论2 n个n维列向量1 ,2 ,, s线性无关(线性相关)的
1 0 2 r r = 1 2 4 2 1 r3 r1 1 5 7
1 0 2 1 0 2 0 1 1 0 2 2 0 5 5 0 0 0
得r 1，2，3 2 向量个数3，而r 1，2 2 =向量个数2，
由推论1知 1，2，3线性相关，1，2线性无关。 k 2c 1 若要得到相关关系式, 即从行简化矩阵中得相关系数 k 2 c k c 取其一组c = 1,即得相关关系式 21 +2 -3 0。 3
例 3 证明：若向量组，， 线性无关，则向量组 ，
k1 2c 当 k2 2c c 0 k c 3
时都能成立,
1 2 0 可知向量组 1 = 1 ， 2 = 2 ， 3 4 ， 线性相关。 1 7 5
二、线性相关性的判定
， 亦线性无关。
从而矩阵 ， ， 可经初等变换成为，， ， 即知r ， ， r ，， ，
而已知向量组，， 线性无关，由推论1知 r ，， =3 即知r ， ， 3，
2 定理1------组内表出问题
组内有一可由其它线性表出，全组线性相关；
组内无一可由其它线性表出，全组线性无关。
3定理2，推论1------秩与向量个数的关系
向量组线性无关； 向量组的秩=向量个数， 向量组的秩<向量个数，向量组线性相关。
4 推论2------向量方阵的行列式的值
能相互线性表示的两无关组， 其向量个数必相等。
例4 设向量组1，2，3线性相关， 向量组2，3，4线性无关，
证明
11能由2，3线性表示； 24不能由1，2，3线性表示。 证明1 因2，3，4线性无关，
由推论4知 2，3线性无关， 全组无关则部份无关
T
T
2 = 0,1, ,0
T
n = 0,0, ,1 称为n维单位坐标向量组， 讨论其线性相关性。
设有k11 k2 2 kn n o 解法一 用相关性定义，
则此齐次线性方程组的系数矩阵为 1 0 0 0 1 0 ， 其秩为n=未知数个数， n阶单位矩阵 0 0 1 可知该齐次线性方程组仅有0解，
说明 线性无关的充要条件是 o。 1当向量组只有一个向量时， 因此，单个零向量必然线性相关的， 因为1 o o。
包含零向量的任何向量组都是线性相关的，
因为01 02 1 o 0 s o,
2 仅含两个向量的向量组线性相关的充要条件是这两个向量
定理1 向量组1 ,2 ,, s ( s 2), 线性相关的充必要条件是
向量组中至少有一个向量可由其余s-1个向量线性表示。
证明见课本P98。
a1 j a2 j 定理2 设有向量组 j ( j 1, 2,, s), 则向量组 a nj 1 ,2 ,, s线性相关的充要条件是: 矩阵A (1 ,2 ,, s )的
同样成立。
推论3
当向量组中所含向量的个数大于向量的维数时,?
此向量组必线性相关。
即方程组中未知数的个数大于方程的个数时,? 方程组必有非零解。
以上给出了判断向量组线性无关(线性相关)的多个方法：
1 定义——基本法
齐次线性方程组仅有零解，系数矩阵的列向量线性无关； 齐次线性方程组有非零解，系数矩阵的列向量线性相关；
向量方阵行列式=0，向量组线性相关； 向量组线性无关。 向量方阵行列式 0，
以上都是判别向量组线性相关(线性无关)的充要定理。
应尽量掌握并记忆。
后面给出的：
推论3、定理3、推论4、定理4、定理5、推论5、推论6 属于相关或无关向量组的性质。 它们都由前面四组理论推出， 了解、理解就可以了。
例 1 n维向量组 1 = 1,0, ,0
再由推论1可知 ， ， 线性无关。
推论3 当向量组中所含向量的个数大于向量的维数时,?
此向量组必线性相关。
即方程组中未知数的个数大于方程的个数时,? 方程组必有非零解。
定理3 若向量组中有一部分向量(部份组)线性相关,?
则整个向量组线性相关。
推论4 线性无关的向量组中的任一部份皆线性无关。
使k11 k22 ks s 0成立；
1 ,2 ,, s线性无关 ——必须全为零的数k1 , k2 ,, ks , 使k11 k22 ks s 0成立；
例
2 x1 2 x2 x3 0 齐次线性方程组 x1 2 x2 4 x3 0 5 x 7 x x 0 2 3 1
而题设1，2，3线性相关， 无关组加一个后相关， 由定理4知 则后加者由原组表出法唯一。 1能由2，3线性表示。
例4 设向量组1，2，3线性相关， 向量组2，3，4线性无关，
证明
11能由2，3线性表示； 24不能由1，2，3线性表示。 证明 2 反设4能由1，2，3线性表示， 而由1 结论，1能由2，3线性表示。
向量组B能由向量组A线性表示，
若s < t，则向量组B线性相关。
大组能由小组线性表示， 则大组线性相关。
则s t。
推论5 设向量组B能由向量组A线性表示， 若向量组B线性无关，
能线性表示无关组的向量组，其向量个数必不少于无关组。
推论6 设向量组A与B可以互相线性表示， 若A，B都是线性
无关的，则s t。
的对应分量成比例。两个向量线性相关的几何意义是这两个
向量共线。
3 三个向量线性相关的几何意义是这三个向量共面。
如果k11 k22 ks s 0的成立, 当且仅当 k1 k2 ks 0, 则向量组A : 1 ,2 ,, s是线性无关的。
区别 1 , 2 ,, s线性相关 ——存在不全为零的数k1 , k2 ,, ks ,
解法二
用推论2，
n个n维单位坐标向量组构成的矩阵 1 0 0 0 1 0 是n阶单位矩阵， ， n 1， 2， 0 0 1
有 1， 2， ， n =1 0，
， n 线性无关。 由推论2知，n维单位坐标向量组 1， 2，
， 亦线性无关。
证法一 设有一组数k1 , k2 , k3 , 使k1 ( ) k2 ( ) k3 ( ) 0
亦即使(k1 k3 ) (k1 k2 ) (k2 k3 ) 0
k1 k3 0 应有 由于向量组，， 线性无关， k1 k2 0 k k 0 2 3
即应有k1 =k2 =k3 =0
由于使k1 ( ) k2 ( ) k3 ( ) 0成立的 k1，k2，k3全为零，
从而由线性无关定义知 ， ， 线性无关。
2章定理1：初等变换为等秩变换
例 3 证明：若向量组，， 线性无关，则向量组 ，
例
2 x3 0 x1 齐次线性方程组 x1 2 x2 4 x3 0 x 5x 7x 0 2 3 1
亦即
x1 2c 有无数解 x2 2c x c 3
1 0 2 0 k1 1 k2 2 k3 4 0 1 5 7 0
1 0 1 证法二 由于矩阵 ， ， ，， 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 而 1 1 0 = 2 0， 知 1 1 0 可逆， 无关组的秩 0 1 1 0 1 1 等于其向量个数
亦即
只有零解，
2 2 1 0 k1 1 k2 2 k3 4 0 仅当k1 =k2 =k3 = 0 5 7 1 0
才能成立,
2 2 1 线性无关。 = 1 ， = 2 ， 可知向量组 1 2 3 4 ， 5 7 1
齐次线性方程组系数矩阵的秩小于未知数个数 ——有非零解。