数学建模——第一章 最短路问题
终稿-数学建模与数学实验-最短路问题-行遍性问题
M= 1 1 0 1 0 v2
0 0
0 1
1 1
1 0
0 1
v3 v4
对有向图Ｇ，其关联矩阵Ｍ＝ (mij ) ，其中：
1 mij 1
0
若vi
是e
的起点
j
若vi
是e
的终点
j
若vi与e j不关联
返回
邻接矩阵
对无向图Ｇ，其邻接矩阵 A (aij ) ，其中：
v1
e1
v2
e4
e5 e2
v4
e3
e6 v3
v5
e7
e8
v7 e9
v6
情形２ G 有２n 个奇次顶点（n ２）
Edmonds 最小对集算法：
基本思想：
先将奇次顶点配对，要求最佳配对，即点对之间距离总和 最小．再沿点对之间的最短路径添加重复边得欧拉图 G*，G*的 欧拉巡回便是原图的最佳巡回．
算法步骤：
C= v1,v2,… ,vi,,vj , vj-1,… , vi+1,vj+1, …,vn,v1 (3)对 C 重复步骤(2)，直到条件不满足为止，最后得到的 C 即 为所求．
例 对以下完备图，用二边逐次修正法求较优H圈．
返回
数学建模与数学实验 最短路问题
实验目的 实验内容
1．了解最短路的算法及其应用 2．会用MATLAB软件求最短路
中．
欧拉图
定义１ 设 G=(V,E)是连通无向图 （１）经过 G 的每边至少一次的闭通路称为巡回． （２）经过 G 的每边正好一次的巡回称为欧拉巡回． （３）存在欧拉巡回的图称为欧拉图． （４）经过 G 的每边正好一次的道路称为欧拉道路．
《最短路问题》课件
3 最短路问题的历史
渊源
最短路问题最早由荷兰 数学家 Edsger Dijkstra 在 1956 年提出。
最短路问题的定义
图论中的最短路问 题指什么？
在无向连通图或有向连通图 中，从某一起点到其余各顶 点的最短路径。
什么是路径长度？
路径长度是指路径上边或弧 的权值之和。
什么是无环图？
无环图指不存在环的图，可 以用拓扑排序求解最短路。
《最短路问题》PPT课件
欢迎来到最短路问题的世界。在本课件中，我们将介绍四种最短路算法及其 应用，并分析它们的优缺点。
问题背景
1 什么是最短路问题？ 2 为什么需要解决最
短路问题？
最短路问题是计算从源 节点到目标节点的最短 路径的问题。它是图论 中的一个经典算法问题。
很多实际问题都涉及到 最短路径的计算，比如 电网、交通、通信等领 域。
Floyd-Warshall算法解决的是所有点对之间 的最短路径问题，可以处理有向图或负边权 图。
Bellman-Ford算法
Bellman-Ford算法解决的是有向图中含有负 权边的单源最短路径问题。
A*算法
A*算法综合了贪心和广度优先搜索，在启发 函数的帮助下，可以高效解决带权图上的单 源最短路径问题。
算法示例
1
Step 1
假设我们要求从 A 点到其他各点的最
Step 2
2
短路径。
首先初始化 A 点到其他各点的距离为
无穷大，A 点到自身的距离为 0。
3
Step 3
找到 A 点的直接邻居，更新其距离值。
Step 4
4
重复 Step 3，直到所有节点的距离值 都已经更新。
总结
数学建模最短路问题PPT课件
实现Kruskal算法的MATLAB程序： %加权图的存储结构采用边权矩阵[b(i,j)]m×3 b=[1 1 1 2 2 3 3 4
24535455 8 1 5 6 7 9 10 3]; [B,I]=sortrows(b’,3); B=B’; m =size(b,2); n=5; t=1:n; k=0; T=[ ]; c = 0;
1
8
5
1
55
3
44
9
22
7
6 10
33
51 1 421 1 4 22 3 34 5 5 78 inf 196 5 3
第16页/共54页
实现Prim算法的MATLAB程序： a=[0 8 inf 1 5;8 0 6 inf 7;inf 6 0 9 10;1 inf 9 0 3;…
5 7 10 3 0]; T=[ ]; e=0; v=1; n=5; sb=2:n; %1代表第一个红点，sb代表 白点集。 for j=2:n %构造初始候选边的集合
0
7
9
W
0 5 1 2 0 3 9
0 4 6
0
3 0
因 G 是无向图，故 W 是对称矩阵．
第27页/共54页
迭代 次数
１ 2 3 4 5 6 7 8
最后标记:
l (v) z (v)
u1
u2
０
0２
2
l(ui )
u3 u4
u5
１８
8
8
3
8
7
02 17
3
u1 u1
u1 u6
u2
u6 u7
因此, 可采用树生长的过程来求指定顶点到其余顶点 的最短路．
数学建模模最短路
基于最短路问题的研究及应用令狐采学姓名：Fanmeng学号：指导老师：摘要最短路问题是图论中的一大问题，对最短路的研究在数学建模和实际生活中具有很重要的实际意义，介绍最短路问题的定义及这类问题的解决办法Dijkstra算法，并且能够在水渠修建实例运用到此数学建模的方法，为我们解决这类图论问题提供了基本思路与方法。
关键字数学建模最短路问题Dijkstra算法水渠修建。
目录第一章．研究背景1第二章．理论基础22.1 定义22.2 单源最短路问题Dijkstra求解:22.2.1 局限性22.2.2 Dijkstra算法求解步骤22.2.3 时间复杂度22.3 简单样例3第三章．应用实例43.1 题目描述43.2 问题分析43.3符号说明43.4 模型假设53.5模型建立与求解53.5.1模型选用53.5.2模型应用及求解53.6模型评价5第四章. 参考文献5第五章．附录6第一章．研究背景在现实生活中中，我们经常会遇到图类问题，图是一种有顶点和边组成，顶点代表对象，在示意图中我们经常使用点或者原来表示，边表示的是两个对象之间的连接关系，在示意图中，我们使用连接两点G点直接按的下端来表示。
顶点的集合是V，边的集合是E的图记为G[V,E] ,连接两点u和v的边用e(u,v)表示[1]。
最短问题是图论中的基础问题，也是解决图类问题的有效办法之一，在数学建模中会经常遇到，通常会把一个实际问题抽象成一个图，然后来进行求的接任意两点之间的最短距离。
因此掌握最短路问题具有很重要的意义。
第二章．理论基础2.1 定义最短路问题（short-path problem ）：若网络中的每条边都有一个数值（长度、成本、时间等），则找出两节点，（通常是源节点和目标节点）之间总权和最小的路径就是最短路问题。
最短路问题是网络理论解决的典型问题之一，可用来解决管道铺设，线路安装，厂区布局和设备更新等实际问题[2]。
2.2 单源最短路问题Dijkstra 求解: 2.2.1局限性Dijkstra 算法不能够处理带有负边的图，即图中任意两点之间的权值必须非负。
数学建模最短路
二部图的赋权匹配
Kuhn-Munkres算法： (1)设G=(X, Y, E)是二部图，从任一可
行顶点标号L开始，确定GL，并在GL 中选取一个匹配M。 (配2)，若是X是G的饱最和佳的匹，配则，M算是法GL终的止完；美否匹 则令，S=在{uG}，L中T=取Φ一；个M-非饱和点u∈X，
33
定理4 (Hall, 1935)对二部图G=(X, Y, E),G存 在饱和X的每个顶点的匹配的充要条件是： 对任何S X,均有|N(S)|≥|S|，这里N(S)为与S 的顶点相邻的所有顶点的集合。
如果G中所有顶点的度数都为k，则称图G 是k正则的。
推论 若G是k正则二部图（k>0），则G有完 美匹配。
最短路问题求解算法
Dijkstra Algorithm
(1)赋初值:令S {u0},l(u0) 0,vS V \ S, 令l(v) , z(v) , u u0
(2)更新l(v),z(v):vS V \ S,若l(v) l(u) w(u,v), 则令l(v) l(u) w(u,v), z(v) u
6
7
10 12
7
9 12
8
12
最后标记：
l(v) 0 2 1 7 3 6 9 12
z(v)u0 u0 u0 u5 u1 u4 u3 u4
最短路问题求解算法
2. Floyd Algorithm (1962): 求任意两点间的最 短路。
D =（dij）n×n, dij是i到j的最短路长， P =（pij）n×n, pij是i到j的最短路上中间节点的
0 6 1
0
7
9
W
0 5 1 2
0
3
9
0 4 6
数学建模-最短路问题
，其中
d (2) ij
min{di(j1)
,
d (1) i2
d
(1) 2j
}
d
(2) ij
是从
v
i
到
v
j
的只允许以
v
1
、
v 2 作为中间点的路径中最短路的长度．
…
（
）D(ν)=
(d
( ij
)
)
，其中 di(j )
min{di(j 1) , di( 1)
d(j 1)}
0
S(v1)=10, S(v2)=7, S(v3)=6, S(v4)=8.5, S(v5)=7, S(v6)=7, S(v7)=8.5
S(v3)=6,故应将消防站设在v3处.
返回
选址问题--重心问题
例 3 某矿区有 7 个矿点，如图所示．已知各矿点每天的产矿量
为 q(v j ) （标在图的各顶点上）．现要从这 7 个矿点选一个来建造矿
图 论 复习
一、 图 的 概 念
二、 图 的 表 示 1． 关联矩阵 2． 邻接矩阵
图的定义
关联矩阵
对无向图Ｇ，其关联矩阵Ｍ＝ (mij ) ，其中：
1 mij 0
若vi与e
相关联
j
若vi与e
不关联
j
对有向图Ｇ，其关联矩阵Ｍ＝ (mij ) ，其中：
1 mij 1
)
,
i=1,2,3,4,5}∪{
(
X (k ir
)
,
X
(k 1) i 1,r
)
,i=1,2,3,4,5;k=1,2,i-1}
若第 i 年初作了决策 X i 后，第 i+1 年初可以作决策 X i1 ，则顶点 X i 与 X i1 之间有弧( X i , X i1 )，其权 W( X i , X i1 )代表第 i 年初到第 i+1 年
最短路问题的求解方法
最短路问题的求解方法最短路问题是图论中的一个经典问题，它在现实生活中有着广泛的应用。
在很多实际情况下，我们需要找到两个节点之间的最短路径，以便在最短时间内到达目的地或者以最小的成本进行运输。
因此，求解最短路问题具有重要的意义。
在图论中，最短路问题可以分为单源最短路和多源最短路两种情况。
单源最短路指的是从图中的一个固定节点出发，到达其他所有节点的最短路径；而多源最短路则是求解图中任意两个节点之间的最短路径。
针对这两种情况，我们可以采用不同的算法来求解最短路问题。
其中，最著名的算法包括Dijkstra算法和Floyd-Warshall算法。
Dijkstra算法适用于单源最短路问题，它采用贪心策略，逐步确定从源节点到其他节点的最短路径。
而Floyd-Warshall算法则适用于多源最短路问题，它通过动态规划的方式，计算图中任意两个节点之间的最短路径。
除了这两种经典算法外，还有一些其他方法可以用来求解最短路问题，比如Bellman-Ford算法和SPFA算法。
这些算法各有特点，适用于不同的场景，可以根据具体情况选择合适的算法来解决最短路问题。
在实际应用中，最短路问题常常涉及到大规模的图和复杂的网络结构，因此算法的效率和性能也是非常重要的考量因素。
为了提高算法的求解速度，可以采用一些优化手段，比如使用堆优化的Dijkstra算法、矩阵快速幂优化的Floyd-Warshall算法等。
总之，最短路问题是图论中的一个重要问题，它在实际生活中有着广泛的应用。
通过合理选择算法和优化方法，我们可以高效地求解最短路问题，为实际应用提供有力的支持。
希望本文能够为读者对最短路问题的求解方法有所启发，也希望在未来的实际应用中能够发挥一定的作用。
数学建模案例分析最短路问题实用教案
定义３ （１）设 P(u, v) 是赋权图 G 中从 u 到 v 的路径，
则称 w(P) w(e)为路径 P 的权． eE ( P )
(2) 在赋权图 G 中，从顶点 u 到顶点 v 的具有最小权的路
P(u, v) ，称为 u 到 v 的最短路．
2021/11/8
第第1十5五页页，/共共383页8。页
常用术语： （１）端点相同的边称为环． （２）若一对顶点之间有两条以上的边联结，则这些边称为重边． （３）有边联结的两个顶点称为相邻的顶点，有一个公共端点的边
称为相邻的边． （４）边和它的端点称为互相关联的． （５）既没有环也没有平行边的图，称为简单图． （６）任意两顶点都相邻的简单图，称为完备图，记为 Kn，其中 n
2 7 v1
0 8 3 v2
8 3
0 5
5 0
v3 v4
2021/11/8
第第1十2二页页，/共共338页8。页
返回(fǎnhuí)
最短路问题及其算法
一、 基 本 概 念
二、固 定 起 点 的 最 短 路
三、每 对 顶 点 之 间 的 最 短 路
2021/11/8
第第1十3三页页，/共共383页8。页
aij 10
若vi与v j相邻 若vi与v j不相邻
注：假设(jiǎshè)图为简单图
v1
0
A= 1
0 1
v2 v3 v4
1 0 1 v1
0 1 1 v2
1 1
0 1
1 0
v3 v4
对有向图Ｇ＝（Ｖ，Ｅ），其邻接矩阵 A (aij ) ，其中：
aij 10
若（vi，v j） E 若（vi，v j） E
d(j 1)}
最短路问题的求解方法
最短路问题的求解方法最短路问题是图论中的经典问题之一，它在实际生活中有着广泛的应用。
在现实生活中，我们经常需要找到两点之间的最短路径，比如在地图导航、网络通信、交通运输等领域。
因此，求解最短路问题具有重要的理论和实际意义。
在图论中，最短路问题可以分为单源最短路和多源最短路两种情况。
单源最短路指的是从图中的一个固定顶点出发，到达图中其他所有顶点的最短路径；而多源最短路则是指图中任意两个顶点之间的最短路径。
在本文中，我们将重点讨论单源最短路问题的求解方法。
求解最短路问题的方法有很多种，其中比较经典的算法包括Dijkstra算法、Bellman-Ford算法和Floyd-Warshall算法。
下面将分别介绍这三种算法的原理和应用。
Dijkstra算法是一种贪心算法，用于解决带权有向图中的单源最短路径问题。
该算法的基本思想是从起始顶点开始，逐步扩展到其他顶点，每次选择距离起始顶点最近的顶点进行扩展，直到扩展到目标顶点为止。
Dijkstra算法的时间复杂度为O(V^2)，其中V表示图中顶点的个数。
该算法适用于没有负权边的图，且能够快速求解单源最短路的问题。
Bellman-Ford算法是一种动态规划算法，用于解决带权有向图中的单源最短路径问题，该算法允许图中存在负权边。
Bellman-Ford算法的基本思想是通过对图中的所有边进行|V|-1次松弛操作，其中|V|表示图中顶点的个数。
通过多次松弛操作，可以逐步逼近最短路径的结果。
Bellman-Ford算法的时间复杂度为O(VE)，其中V表示图中顶点的个数，E表示图中边的个数。
该算法适用于存在负权边的图，且能够求解单源最短路的问题。
Floyd-Warshall算法是一种动态规划算法，用于解决带权有向图中的多源最短路径问题。
该算法的基本思想是通过对图中的所有顶点进行遍历，逐步更新每对顶点之间的最短路径。
Floyd-Warshall算法的时间复杂度为O(V^3)，其中V表示图中顶点的个数。
数学建模-最短路问题
题 号： ☑ 作业一 作业二 标题： 规划东营到青岛的最短路径 学号： 姓名： 班级：
2020 年 5 月 16 日
1 / 14
目录
摘要 ..........................................................................................................................................................................3 一、问题重述 .......................................................................................................................................................4
现在求最短路已经有了成熟的算法如迪克斯特拉（Dijkstra）算法，其基本思想是按距 u0 从近到远为顺序，依次求得 u0 到 G 的各顶点的最短路和距离，直至 v0（或直至 G 的所有顶
点），算法结束。 本文针对“为老师规划返校路径”的问题，利用图论中最短路相关知识进行求解。 关键词：图论 最短路 距离 Dijkstra 算法
之间的距离； 3) 研究各地级市之间的此问题为图论中基本的求两节点之间最短路的问题，其数学描述为：给定图
G = (V , E,W ) ，其中 V 为顶点集，代表山东省各个地级市，E 为各个顶点相连接组成的边
集，只有在地理上相邻的两地级市之间才会有边相连，W 为边的权值，代表两相邻地级市之 间的距离。
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(4)设V是图G=(V,E)的顶点集合的一个非空 子集,以V作为顶点集合,以两个端点均在V中 的边为边集的子图称为由V导出的G的子图， 记作G[V] 注:1.导出子图G[V/V],记为G-V,它是从G中 去掉V中的顶点,以及与这些顶点相关联的边 所得到的子图. 2.特别地,若V={v},则把G-{v}简记成G-v, 称为主子图. (5)设E是图G=(V,E)的边集合的一个非空子 集,以E中的边为边集, 以E中的边的全部顶点 作为顶点集合的子图称为由E导出的G的子图， 记作G[E]
例1:无向图G:V(G)={v1,v2,v3,v4} E(G)={e1,e2,e3,e4,e5}
v1 e1 e3 v2
e4 e2
G 其中：e1=(v1,v2),e2=(v1,v3),e3=(v1,v4), e4=(v1,v4),e5=(v4,v4)
v3
v4
e5
例2:有向图: D:V(D)={v1,v2,v3,v4} A(D)={e1,e2,e3,e4,e5}
2.邻接矩阵 定义5 对于(p,q)无向图G,其邻接矩阵 A=(aij)p×p,其中: 1 若vi与vj相邻 aij 0 若vi与vj不相邻 对于(p,q)有向图D,其邻接矩阵A=(aij)p×p,其 中: 1 若<vi,vj>∈E(D) aij 0 若<vi,vj> E(D)
2 0 8
0 5
3 0
1.2 最短路问题及其算法
1.2.1 基本概念 定义1 在无向图G=(V,E)中: (1)顶点与边的有限非空交替序列 w= v0e1v1e2…ekvk称为一条从v0到vk的通路,
记为: Wv v ,其中:ei的端点是vi-1,vi; (2)边不重复的通路称为道路,记为 Tv v ; (3)顶点不重复(边自然不重复)的通路称为路径, 记为 P v . v
例:
v2
v1
v1
v2
v3
v3
v4
d(v1)=4,d(v3)=3;d-(v1)=1,d+(v1)=2, d-(v4)=3,d+(v4)=2 注:计算顶点的次数时,环算作两次. Df:在无向图中：度数为0的顶点称为孤立点； 度数为1的顶点称为悬挂点，与悬挂点关联的边 称为悬挂边；所有顶点度数相同的图称为正则图， 度数为k的正则图称为k-正则图。
定理1:(握手定理)一个图G=(V,E),有m条边, 则所有顶点的次数之和是2m(边数的二倍).即: d (v) =2m
vV ( G )
推论1:任何图中次数为奇数的顶点个数必为偶 数.
3.子图 定义3:(1)G=(V,E), G=(V,E)是两个图, G是G的子图记为:GG ,如果:V(G)V(G), E(G)E(G),此时:G称为G的母图. (2)设GG,并且VV或EE，称G为G的真 子图 注:简言之:若GG 但G不等于G,称 G为G 的真子图 (3)若GG且V=V，则称G为G的生成子图 (支撑子图),G称为G的生成母图(支撑母图).
1.1.2 图的矩阵表示(本节假设图为简单图) 1.关联矩阵 定义4 对于(p,q)无向图G,其关联矩阵 M=(mij)p×q,其中: 1 若vi与ej相关联 mij 0 若vi与ej不关联 对于(p,q)有向图D,其关联矩阵M=(mij)p×q, 其中: 1 若vi是ej的起点 mij 1 若vi是ej的终点 0 若v 与e 不关联 i j
2. G1和G2的交,记作G1∩G2:由G1和G2中公 共边组成的图. 3. G1和G2的差,记作G1-G2:由G1中去掉G2中 的边组成的图. 4. G1和G2的环和,记作G1G2:在G1和G2的 并中去掉G1和G2的交所得到的图,即: G1G2=(G1∪G2)-(G1∩G2) =(G1-G2)∪(G2-G1)
对于有向赋权图G,其邻接矩阵A=(aij)p×p,其 中: wij 若<vi,vj>∈E(G),且wij为其权 aij 0 若i=j 若<v ,v >∈E(G), i j 称A为带权邻接矩阵. 注:无向赋权图的带权邻接矩阵可类似定义.
例:
v1
e5 v4 7 e1 2 e2 3 e3 8 e4 v3 v2
v1 e1 e3 v2
e2
e4
D e1=<v1,v2>,e2=<v1,v3>,e3=<v1,v4>, e4=<v4,v2>,e5=<v4,v3> 注:一般用G表示无向图,D表示有向图,且记 为:G(V,E);D(V,A).
e5
v3
v4
常用术语: (1)端点相同的边称为环(自环),如G中的边e5; (2)若一对顶点之间有两条以上(有向边时方向 相同)的边联结,则这些边称为重边; (3)一条边的两个端点称为相邻,有一个公共端 点的边称为相邻的边; (4)边和它的端点称为互相关联的; (5)无环无重边的图称为简单图; (6)任意两个顶点都相邻的简单图(无向图)称 为完全图(完备图).有n个顶点的完全图记为Kn. 显然:|E(Kn)|=n(n-1)/2
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2.顶点的次数 定义2:(1)无向图G=(V,E),任意v∈V(G),与 v关联的边数称为v的次数(度数),记 为:d(v)(或deg(v)) (2)有向图D=(V,A),任意v∈V(D),以v为起点 的弧的数目称为v的引出次数(出度),记为 d+(v),以v为终点的弧的数目称为v的引入次 数(入度),记为d-(v):而d(v)=d+(v)+d-(v)称 为v的次数（度数）.
(2)在图G中,与V中的有序偶<vi,vj>对应的 边e称为图G的有向边(或弧),vi称为e的起 点,vj称为e的终点. 而与V中顶点的无序偶(vi,vj)相对应的边e,称 为图G的无向边. 每条边都是有向边的图称为有向图,每条边都 是无向边的图称为无向图,既有有向边又有无 向边的图称为混合图. (3)若将图G的每条边e(或每个顶点v)都对应 一个实数w(e)(或w(v)),则称w(e)(w(v))为 该边(顶点)的权,并称图G为赋权图. 注:一般:用 (也用n或p表示) 和 (也用 m或q表示)分别表示图G的顶点数和边数.
0 k
0 k
0 k
定义2 (1)任意两点间均有通路的图称为连通图; (2)起点和终点重合的路径称为圈;顶点数位奇数 的圈称为奇圈，顶点数位偶数的圈称为偶圈。 (3)连通而无圈的图称为树. 例如:
v1 e1
v2
e5
e4 e6 e2
v4
通路:v1e4v4e5v2e1v1e4v4 道路:v1e1v2e5v4e6v2e2v3e3v4 路径:v1e1v2e5v4 圈:v1e1v2e5v4e4v1
注:1.在边集E(G)中删去子集E的全部边得到 的G的生成子图(注意:删去一条边时,该边的两 个顶点仍然保留),记作: G-E.类似地,在G上 增加一个边集E所得到的图记作:G+E. 2.特别地,若E={e},则把G-{e}和G+{e}简 记成G-e和G+e. 注：G是一个无向图，G的一条边e=(u,v)称 为被收缩，是指把边e删去并把它的两个端点 u,v合并成一个新顶点w，G中原来与u,v关联 的所有边都与新顶点w关联。
注：图的自然语言定义 定义. 图论中的图是指表示具体事物的集合V和 事物之间的关系集合E所组成的偶对。集合V中 的元素称为图的顶点,集合E中的元素称为图的边。
1.图的定义: (1)定义1:有序二元组G=(V,E)称为一个图,其中: ①V={v1,v2, …,vn}是有限非空集合,称为顶点集,其中 的元素叫做图G的顶点; ②E是V中元素组成的二元偶对的多重集合,称为边集,其 中的元素称为边.(注意:元素允许重复) 注：1.简言之：一个图是由表示具体事物的集合和表示 事物之间的关系的集合组成的偶对。 2.可以用平面上的几何点表示图的顶点，用直线段或者 曲线段表示图的边，那么一个图可以用几何图形来表示， 这也是称为图的原因，但它与几何图形有本质的区别。 3.顶点用空心小圆圈表示。边的长短、曲直、粗细、位 置等都不影响图的本质，边只是表示两个研究对象之间 是否存在某中关系而已。
(7)设图G=(V,E)为无向图，若能将V分成X和Y （XY=V，XY=），使得G中的每条边的两 个端点都是一个属于X，另一个属于Y，则称G为 二部图（或称为二分图、二元图、偶图等），称 X和Y为互补顶点子集，常将二部图G记为 (X,Y;E). 又若G是简单二部图，X中每个顶点均 与Y中所有的顶点相邻，则称G为完全二部图， 记为Km,n，其中m=|X|，n=|Y|. 注:|E(Km,n)|=mn (8)若G的一条边e是无向边,其端点为v1,v2,则 记:e=(v1,v2)或(v2,v1);若e为弧,则记 e=<v1,v2>(不能记为:<v2,v1>)
第一章 最短路问题
1.1.1 图的概念 0.图论的产生：哥尼斯堡七桥问题 早期图论与“数学游戏”有密切关系。普 鲁士的哥尼斯堡城有一条普莱格尔河，河中有 两个小岛，有七座桥把普莱格尔河中的两个小 岛与两河岸联结起来。如下图：
1736年，L.Euler(1707-1783)