923865-复变函数-4-习题课

tan1
lim f (z) lime z 1 ,
z
z
故知 z 是 f (z) 的可去奇点.
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23
例12
求函数f
(z)
(z
(z 5)sin z 的有限奇点, 1)2 z2(z 1)3
并
确定类型.
解 z 0, z 1, z 1是奇点.
因为
f
(z)
1 z (z
例16
计算
z
5
(
z
1 3)(z5
dz. 1)
2
解
z
5
(z
1 3)(z5
dz 1)
2π
i
5 k 1
Res[
f
(z), zk
]
2
5
Res[ f (z), zk ] Res[ f (z),3] Res[ f (z),]
k 1
Res[
f
( z ),3]
lim( z
z3
9
例5
设函数 f (z)
1
z(z 1)(z 4)
在以原点为中心的
圆环内的洛朗展开式有 m个， 那么m = ( C )
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
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10
二、解析函数的泰勒展开
例6 求 f (z) ez cos z 在z 0 的泰勒展式.
解 因为 ez cos z 1 ez (eiz eiz ) 2
5 z2
25 z4
3
1
1 z4
1 z8
2
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32
1 z
1
15 z2
1
2 z4
1 , z
所以 Res[ f (z),] C1 1,
故
z
3 (z2
z13 5)3 ( z 4
1)2dz
2π
i[(1)]
2i.
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33
第四、五章 级数与留数
一、收敛半径与敛散性. 二、解析函数的泰勒展开 三、洛朗展式 四、判别奇点类型
五、求各奇点处留数 六、用留数定理计算沿封闭曲线的积分
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1
zn 为复常数
zn
n1
zn 为函数 fn(z)
复数项级数
复数列 收敛半径的计算 函数项级数
收敛条件
充必绝条 要要对件 条条收收 件件敛敛
(1)sin 1 , (2)z2 sin 1 , (3) 1 ,
z1
z
z sin z
解 (1)在 0 z 1 内,
sin
z
1
1
z
1
1
1 3!(z
1)3
,
所以
Ressin(
1 z
1)
,1
C1
1.
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26
(2) z2 sin 1 z
解 因为 sin z z z3 z5 , 3! 5!
解
因为
1 (1 z)3
1[(1 2
z )1 ]
( z 1)
所以
1
(1 z)3
1
zn
2 n0
1 2
n2
n(n 1)zn2
1 (m 2)(m 1)zm . 2 m0
( z 1)
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13
例8
求
f (z)
z4
(
z z
3 5z2 3)(z
(z 1)sin 1 z1
的(
D)
(A)可去奇点 (C) 一级零点
（B）一级极点 （D）本性奇点
3. z 是函数
(A)可去奇点 (C) 二级极点
3 2z z3 的( B ) z2
（B）一级极点 （D）本性奇点
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25
五、 求各奇点处留数
例13 求下列各函数在有限奇点处的留数.
2i sin
i
i
1
1 3!
1 5!
71!.
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31
例15
z13 z 3 (z2 5)3(z4 1)2dz.
解 在 3 z 内,
3
2
f (z)
z61
z13
5 z2
3
z
8
1
1
2
z
4
1 z
1
1
5 z2
1
1
1 z4
1 z
1
收敛半径R
运算与性质
幂级数
泰勒级数
洛朗级数
f (z) 在 z0 解析
复变函数
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2
孤立奇点
留数
可去奇点 极点
本性奇点
计算方法 留数定理
函数的零点与 极点的关系
围线积分
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3
一、收敛半径与敛散性.
1. 敛散性
例1
判别级数 i n n n1
的敛散性.
解 因为 in i 1 i 1 i
n1 n
2345
1 2
1 4
1 6
i
1
1 3
1 5
,
故 in 收敛.
n1 n
收敛
收敛
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4
例2 判别级数的敛散性.
1
.
n1 (2 3i)n
解
设
n
(2
1 3i)n
,
因为 lim n1 lim 1 1 1,
z
i
)
1 i2
(z
i
)2
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30
i
1 7!
1 5!
1 3!
1!1
z
1
i
所以
Res[
f
( z ), i ]
i 1
1 3!
1 5!
71!
由留数定理得
z 2
sin( z(z
z i) i)8 dz
2π
i{
Res[
f
( z ),0]
Res[
f
( z ), i ]}
n0
1) z n
2
z
2 3
2 9
z
2
n2
1 3n1
z n
1
2z
(1)n
n2
(n
1)z
n
2
1 3
12 9
z
n2
(1)n (n
1)
2 3n1
z n
( z 1)
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16
三、洛朗展式
1
例9 求 z2e z 在 z 0的去心邻域的洛朗级数.
解 在 0 z 内,
8z 1)2
7
在
点
z
0
的泰勒展开式.
分析: 利用部分分式与几何级数结合法. 即把函数
分成部分分式后, 应用等比级数求和公式.
解
f
(z)
z
2
z
2
3
(z
1 1)2
z
1
3
1 3
1
z 1 3
n0
1 3n1
z n
( z 3)
z
1 1
1 1 (z)
(1)nzn
n0
( z 1)
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14
两端求导得
1 (1 z)2
n1
n(1)n
z n1 ,
( z 1)
即
1 (1 z)2
(1)n1 nz n1
n1
(1)n(n 1)zn ( z 1) n0
故
f
(z)
z
2
z
2
3
(z
1 1)2
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15
z
2
2 n0
1 3n1
z n
(1)n (n
n0
zn 2n1
1 2
i
n0
( i )n z n1
1 2
i
n0
zn 2n1 .
(2) 在 2 z 内,
i 1, 2 1
z
z
故
f
( z)
1 2
i
z
1
i
z
1
2
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19
2
1
i
1 z1
i z
z
1 1
2 z
2
1
i
n0
（A） （B） 1 （C）
（D）
2
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8
例4
若
3n (1)n ,
cn
4n ,
n 0,1,2, n 1,2,
则双边幂级数
cnzn 的收敛域为( A )
n
（A）
1 z 1
4
3
（B） 3 z 4
（C） 1 z 4
（D）
1 z 3
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由cos 1 0, z
得
zk
1 k 1 π
2
为w tan1的一级极点,
z
(k 0,1,)
而ew仅有唯一的奇点z 且为本性奇点,又
1
limtan
zzk
z
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22
所以
zk
k
源自文库1 1 π
(k 0,1,)
2
都是 f (z) 的本性奇点.
当z 时,因为
因为 lim (z nπ ) 1
znπ
z sin z
lim (1)n z nπ (1)n 1 ,
znπ
z sin(z nπ )
nπ
所以
Res
z
1 sin
z
, nπ
(1)n
1 nπ
,
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28
由
lim z2 f (z) lim z 1,
z0
z0 sin z
所以在0 z 内，
z2
sin
1 z
z 2
1 z
1 3! z 3
1 5! z 5
z
1 3! z
1 5! z 3
故
Res z 2
sin
1 z
,0
C1
1 6
.
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27
(3) 1 z sin z
解 z nπ (n 0,1,2,)为奇点,
当 n 0 时 n 为一级极点，
知z 0是二级极点.
Res
z
1 sin
z
,0
lim
z0
d dz
z
2
z
1 sin
z
lim
z0
sin
z sin
z
2
cos z
z
0.
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29
六、用留数定理计算沿封闭曲线的积分
sin(z i)
例14
计算积分
z 2
z(z
i )8
dz.
解 z 0 为一级极点，z i 为七级极点.
所以ez cos z 1 (
2 n0
2)n n!
ni e 4
ni
e4
z n
( 2)n cos n zn .
n0 n!
4
( z )
分析：利用级数的乘除运算较为简单.
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12
例7
求函数 1 (1 z)3
在
z
1内的泰勒展开式.
分析：利用逐项求导、逐项积分法.
f
(z)
sin z z3
z
1 z3
z
z3 3!
z5 5!
z7 7!
z
1 z2 z4 z6 3! 5! 7! 9!
得z 0是f (z)的可去奇点, z 是f (z)的本性奇点.
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21
tan1
(2) e z;
解 令 w tan1 , 则 f (z) ew . z
k 1
2k
k 1
2k 1
而 (1)k ln(1 1 ),
(1)k ln(1
1)
k 1
2k
k 1
2k 1
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6
均为收敛的交错级数，所以
但是
1
1
n1
in
ln(1
) n
收敛.
| 1 ln(1 1) |
in
n1
n
ln(1 1)
n1
n
发散.
所以原级数条件收敛.
因为 ez zn
n0 n!
1
ez
n0
1 n!zn ,
所以
1
z2e z
z21
1 z
1 2! z 2
1 n! z n
z2
z
1 2!
1 3! z
1 n! z n 2
.
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17
例10 将 f (z)
1
在下列圆环域内
(z i)(z 2)
展开成洛朗级数.
(1) 1 z 2,
(2) 2 z .
解
f (z)
1
(z i)(z 2)
2
1
i
z
1
i
2
1
z
(1)
在 1 z 2内,
有
i 1, z
z 1. 2
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18
1 2i
1 z1
i z
1 21
2z
1 2
i
(i)n zn1
n0
Res[
f
(z),0]
lim
z0
zf
(z)
lim
z0
sin( z (z
i) i )8
sin
i;
f
(
z)
sin( z (z
i i )8
)
(
z
1 i)
i
sin( z (z
i i )8
)
i
1
1 z
i
( z
1 i)7
1 3!(z
i )5
1 5!(z
i )3
1 7!(z
i)
i
i 1
1( i
z5 1)2(z
1)3
sin z z
1 z
g(z),
所以 z 0 是单极点； z 1 是二级极点;
z 1 是三级极点.
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24
练习
1. 设 z 0为函数
m( C )
1 ez2 的 z4 sin z
m级极点，那么
（A）5 （B）4
(C) 3
（D）2
2. z 1是函数
1[e(1i )z 2
e(1i )z ]
1 2 n0
(1 i)n zn n!
n0
(1 i)n zn n!
1 1 [(1 i)n (1 i)n]zn ( z ) 2 n0 n!
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11
i
i
由于 1 i 2e 4 , 1 i 2e 4 ;
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7
2.收敛半径
练习
1．设幂级数
cnzn 与
[Re(cn )]zn 的收敛半径
n0
n0
分别为 R1和 R2 ，那么 R1与 R2之间的关系是 R2R1．
2．设函数
e z 的泰勒展开式为 cos z
cnzn，
n0
那么幂级数
cnzn的收敛半径 R ( C )
n0
n n
n 2 3i
13
由正项级数的比值判别法知
n1
(2
1 3i
)n
绝对收敛.
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5
例3 判别级数的敛散性.
n1
1 in
ln(1
1 ). n
解
1
1
n1
in
ln(1
) n
(cos n i sin n )ln(1 1)
n1
2
2
n
(1)k ln(1 1 ) i (1)k ln(1 1 )
(i)n
z n1
n0
2n
z n1
1
(i)n 2n zn1.
2 i n0
思考：在 z = 2 处展开？
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20
四、判别奇点类型
例11 求下列函数f (z)在扩充复平面上的奇点,并
判别类型.
(1)
sin z z z3 ;
(2)
tan1
e z;
解 (1)由于f (z)在0 z 内的洛朗展式为 :