求解变力做功的六种方法

可将变力等效为恒 力来处理．
根据题意可得
第一次做功： W＝ F1 d＝k2dd.
第二次做功：W＝F2d′＝kd＋d′ 2 d′.
联立解得 d′＝( 2－1)d. [归纳提升] 当力为变力，应用平均值法求功时，
F
＝F1＋ F2
2
只能用于 F 与位移 l 成线性关系的情况，不能用于 F 与时间 t
பைடு நூலகம்
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第七章 机械能守恒定律13:02
•
(2015·西安八校高一联考)某人利用如图所
示的装置，用100 N的恒力F作用于不计质量的
细绳的一端，将物体从水平面上的A点移到B点
．已知α1＝30°，α2＝37°，h＝1．5 m，不计 滑轮质量及绳与滑轮间的摩擦．求绳的拉力对
物体所做的功．
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例5、质量为5t的汽车以恒定的输出功率75KW在一条平直的公路上由静止开始 行驶，在10s内速度达到10m/s，求摩擦阻力在这段时间内所做的功。
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动能定理法
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如果所研究的物体同时受几个力的作用，而这几个力中只有一个力是变力，其余均为 恒力，且这些恒力所做的功和物体动能的变化量容易计算时，利用动能定理可以求变 力做功是行之有效的。
W＝ 1s·ks＝ 1ks2.
2
2
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法二：平均力法
拉力 F＝ks′，力与位移成正比，力 F 为线性力，则平均力为 F
＝0＋ 2
ks＝12ks.
W＝ F s＝12ks2.
[答案] 1ks2 2
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三、微元法求变力做功
• W＝F(Δs1＋Δs2＋Δs3＋…)＝2πRF. • 因此功等于力F与物体实际路径长度的乘积．即 • W＝Fs. • 对于滑动摩擦力、空气阻力，方向总是与v反向，故 • W＝－Ff·s.
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• 如图所示，一质量为m＝2.0 kg的物体从半径为R
＝5.0 m的圆弧的A端，在拉力F作用下沿圆弧缓慢运
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[解析] 绳对物体的拉力虽然大小不变，但方向不断变化，所 以不能直接根据 W＝Flcos α 求绳的拉力对物体做的功． 由于不计绳与滑轮的质量及摩擦，所以恒力 F 做的功和绳对物 体的拉力做的功相等．本题可以通过求恒力 F 所做的功求出绳 对物体的拉力所做的功．由于恒力 F 作用在绳的端点，故需先 求出绳的端点的位移 l，再求恒力 F 的功． 由几何关系知，绳 的端点的位移为 l＝sinh30°－sinh37°＝13h＝0.5 m 在物体从 A 移到 B 的过程中，恒力 F 做的功为 W＝Fl＝100×0.5 J＝50 J. 故绳的拉力对物体所做的功为 50 J.
• [答案] (1)62.8 J (2)－50 J (3)0
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四、转换法求变力做功
• 1．分段转换法：力在全程是变力，但在每一个 阶段是恒力，这样就可以先计算每个阶段的功 ，再利用求和的方法计算整个过程中变力做的 功．
• 2．等效替换法：若某一变力的功和某一恒力的 功相等，则可以用求得的恒力的功来作为变力 的功．
成线性关系的情况 ．
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二、图象法求变力做功
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变力做的功W可用F－l图线与l轴所围成的面积 表示．l轴上方的面积表示力对物体做正功的多 少，l轴下方的面积表示力对物体做负功的多少 ．
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如图所示，轻弹簧一端与竖直墙壁连接
当力的大小不变，力的方向时刻与速度同向(或 反向)时，把物体的运动过程分为很多小段，这 样每一小段可以看成直线，先求力在每一小段 上的功，再求和即可．
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• 例如：如图所示，物体在大小不变、方向始终沿着圆 周的切线方向的一个力F的作用下绕圆周运动了一圈 ，又回到出发点．已知圆周的半径为R，求力F做的功 时，可把整个圆周分成很短的间隔Δs1、Δs2、Δs3…在 每一段上，可近似认为F和位移Δs在同一直线上并且 同向，故
钉进 d，如果铁锤第二次敲钉子时对钉子做的功与第
一次相同，那么，第二次钉子进入木板的深度是(
)
A．( 3－1)d
B．( 2－1)d
5－1d
C.
2
2 D. 2 d
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[解析] 在将钉子钉入木板的过程中，随着深度的增加，阻力
成正比地增 加，这属于变力做功问 题，由于力与深度成正 比，
[解析] (1)将圆弧 AB 分成很多小段 l1、l2、…、ln，拉力在每 小段上做的功为 W1、W2、…、Wn，因拉力 F 大小不变，方向 始终与物体所在位置的切线方向成 37°角，所以： W1＝Fl1cos 37°，W2＝Fl2cos 37°，…，Wn＝Flncos 37°， 所以 WF＝ W1＋ W2＋…＋Wn ＝Fcos 37°(l1＋l2＋…＋ln) ＝Fcos 37°·π3R＝20π J＝62.8 J. (2)重力 mg 做的功 WG＝－m gR(1－cos 60°)＝－50 J. (3)物体受的支持力 FN 始终与物体的运动方向垂直，所以 WFN ＝ 0.
• [答案] 50 J
• [易错提醒] F做功的位移等于左边绳的变短的部分，而 不等于物体的位移．
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五、用公式W=Pt求解
对于机器以额定功率工作时，比如汽车、轮船、火车启动时，虽然它们的牵引力 是变力，但是可以用公式W=Pt来计算这类交通工具发动机做的功。对于交通工具 以恒定功率运动时，都可以根据来求牵引力这个变力所做的功。
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一、平均值法求变力做功 当力的方向 不变，大小随位移按线 性规律变化时，可先求 出力 对位移的平均值 F ＝F1＋F2，再由 W＝ F lcos α 计算功．
2
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用铁锤把小铁钉钉入木板，设木板对钉子的阻
力与钉进木板的深度成正比，已知铁锤第一次将钉子
动到B端(圆弧AB在竖直平面内)．拉力F大小不变始
终为15 N，方向始终与物体所在位置的切线成37°
角．圆弧所对应的圆心角为60°,
• BO边为竖直方向，g取10 m/s2.求这一过程中：
• (1)拉力F做的功；
• (2)重力mg做的功；
•
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(3)圆弧面对物体的支持力FN做的功．
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，另一端与一个质量为m的木块连接，放在光滑的水平
面上，弹簧的劲度系数为k，处于自然状态．现用一
水平力F缓慢拉动木块,使木块向右移动s，求这一过
程中拉力对木块做的功．
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[解析] 缓慢拉动木块，可以认为木块处于平衡状态，故拉力 等于弹力的大小 F＝ks′，是变力． 法一：图象法 力 F 随位移 s′变化的关系如图所示，则力 F 所做的功在数值 上等于图线 OA 与所对应的横轴所包围的面积，即等于△OAs 的面积．则：
例6. 一质量为m的小球，用长为L的轻绳悬挂于O点，小球在水平力F作用下，从
平衡位置P点很缓慢地移到Q点,如图1所示，此时悬线与竖直方向夹角为θ,则拉力
F所做的功为：（ ）
A： mgL cos
B： mgL(1 cos )
C.： FLsin
D： FL cos
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